TÉCNICA ZAD APLICADA A UN CONVERTIDOR BUCK: ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Y DE TRANSICIÓN AL CAOS 1

TÉCNICA ZAD APLICADA A UNCONVERTIDOR BUCK: ANÁLISIS DE

ESTABILIDAD Y DE TRANSICIÓN AL CAOS 1

Fabiola Angulo*, Enric Fossas† y Gerard Olivar*

*Universidad Nacional de Colombia. Departamento deIngeniería Eléctrica, Electrónica y Computación,

Campus La Nubia, Manizales, ColombiaEmail: fangulog,[email protected]

†Universitat Politècnica de Catalunya. Institutd’Organització i Control de Sistemes Industrials. Avda.

Diagonal 647, pl 11. 08027 Barcelona, EspañaEmail: [email protected]

Resumen: En este trabajo se presentan algunos resultados obtenidos al analizar elconvertidor buck controlado mediante un modulador de anchura de pulsos (PWM)centrado. El ciclo de trabajo se calcula obligando a que una salida, definida comouna ecuación diferencial de primer orden en el error en tensión, tenga promediocero en cada ciclo. Los resultados obtenidos han mostrado que la técnica garantizafrecuencia de conmutación fija y una variedad de fenómenos no lineales comobifurcaciones y caos, en la medida en que el parámetro asociado a la dinámica deprimer orden, varía. Estos fenómenos han sido estudiados en el presente trabajo deforma analítica y numérica. Finalmente a nivel de simulación se ha hecho uso dela técnica Time Delay Auto-Synchronization para controlar el sistema. Copyrightc©2005 CEA-IFAC

Palabras clave: frecuencia de conmutación fija, bifurcaciones, caos, control decaos, convertidor buck.

1. INTRODUCCIÓN

Una rama de los sistemas de potencia se dedicaal estudio y control de fuentes conmutadas ensus diferentes clases: DC/DC, DC/AC, AC/DCy AC/AC y configuraciones: buck, boost, buck-boost, Čuk, etc. Debido a la necesidad de disponerde fuentes de voltaje altamente fiables y al amplioabanico de fenómenos no lineales que de por sípresentan, su estudio y control ocupan un lugarimportante en los sistemas dinámicos.

1 Trabajo financiado por el Proyecto Europeo SICONOS:IST-2001-37172.

En general, los modelos dinámicos de estos con-vertidores vienen dados por campos vectorialescontinuos que se definen promediando ciclo a cicloel comportamiento del convertidor. A su vez, sediseña una ley de control continua que se im-plementa mediante un modulador de anchura depulsos (PWM); la acción del modulador coincide,en promedio, con la acción de control. Debido a larealimentación y a la continua conmutación de lafuente, el sistema en conjunto presenta, para cier-tos valores de los parámetros, comportamientospropios de sistemas no lineales. A principios de ladécada de los 80 ya se observó la presencia de caosen circuitos de potencia (Baillieul et al., 1980)

Los convertidores de potencia han sido am-pliamente estudiados como sistemas de estruc-tura variable debido a la conmutación inherentea su configuración. En (Bilalović et al., 1983;Venkataramanan et al., 1985) Sabanovič y suscolaboradores diseñan controladores en modo dedeslizamiento para estas estructuras. En (Carpitaet al., 1988) se sintetiza como superficie de desliza-miento un esquema Proporcional-Derivativo en elerror de salida. Este esquema se generalizará en(Fliess and Sira-Ramírez, 1993) para sistemas lin-eales de grado relativo mayor que uno. Los resul-tados de Sabanovič y Carpita mostraron un con-trolador robusto, estable y eficiente. Sin embargo,debido a la acción discontinua del controlador,aparece “chattering” en el sistema, aumentandoel rizado y la distorsión a la salida. Con objetode disminuir el “chattering” diversos autores hantrabajado un esquema de control que garanticeuna frecuencia de conmutación fija. Así, en (Borleand Chemmangot, 1995), se plantea sintetizar uncontrolador (Zero Averaged Current Error) quegarantice promedio cero del error de corriente encada iteración. Recientemente Fossas y sus co-laboradores (Fossas et al., 2001) han propuestouna nueva técnica de control para convertidoresde potencia. Esencialmente se trata de un diseño“feed-forward” el cual, fijada una salida auxiliar,define una acción de control digital que garan-tiza promedio cero de la salida auxiliar en cadaiteración. Con esta técnica de control se tiene fre-cuencia fija de conmutación. Asimismo se heredanel desempeño y las características de robustezderivadas de la elección de la salida auxiliar. Re-sultados numéricos y experimentales han mostra-do la bondad de la técnica de ZAD (Zero AverageDynamics) para implementaciones del moduladorcon pulso al lado (Biel et al., 2002; Ramos etal., 2003). Sin embargo, la mayoría de imple-mentaciones contempla el caso de pulso centrado,debido principalmente a razones técnicas relativasa la medición de corriente. Además, la expresióndel ciclo de trabajo que se obtiene para este casoes mucho más sencilla que para el pulso a un lado.

En el presente artículo se estudian analítica ynuméricamente los controladores ZAD con pulsocentrado. En la sección 2 se plantea el problema aresolver. La sección 3 está dedicada al estudio dela estabilidad del sistema en lazo cerrado, usandolos exponentes de Lyapunov para determinar ellímite de estabilidad. En la sección 4 se analizala transición al caos, basándose en la aplicaciónde Poincaré y se caracterizan analíticamente lastres primeras bifurcaciones. La sección 5 presentaalgunos resultados experimentales que confirmanel límite de estabilidad. En la sección 6 se aplicala técnica de autosincronización por retardo detiempo (TDAS) para controlar el sistema cuando

Figura 1. Esquema de un convertidor de potencia

opera en zona de caos. Las conclusiones se detal-lan, finalmente, en la sección 7.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Un modulador por anchura de pulsos (PWM) con-siste en un circuito compuesto de interruptores yuna fuente de alimentación DC, el cual en conjun-to debe entregar a la salida un valor promedio enun período de conmutación. A este efecto el PWMconmuta entre la posición ON (conducción) y laposición OFF (no conducción). En cada período,al tiempo (normalizado a 1) que el conmutadorpermanece en ON se le conoce como ciclo detrabajo.

Existen diferentes formas de calcular el ciclo detrabajo; la más usada consiste en comparar unarampa de referencia con la señal de error delsistema. Con este esquema (Deane and Hamill,1990; Fossas and Olivar, 1996; di Bernardo etal., 1996; di Bernardo et al., 1997) han observadoy estudiado fenómenos caóticos en el convertidorreductor.

En la Figura 1 se muestra un esquema simplificadode un convertidor de potencia. Este sistema puedeactuar como un convertidor DC-DC o DC-ACdependiendo de si la señal de referencia (Vref enla figura) es constante o senoidal.

El convertidor reductor de la Figura 1 se puedemodelar mediante el sistema de ecuaciones:

dv

dτ

di

dτ

=

− 1

RC

1C

− 1L

0

v

i

+

0

V

L

u (1)

El voltaje v en el condensador y la corriente ien el inductor configuran las variables de estado.La variable de control u toma valores discretosen el conjunto −1, 1 haciendo referencia a la

posición de los interruptores 1 y 2 en la Figura1, los cuales permiten alimentación +V o -V .Con el objeto de adimensionalizar la dinámica seefectúa el siguiente cambio de variables x1 = v/V ,

x1ref = Vref/V , x2 = 1V

√LC i y t = τ/

√LC,

donde t es la nueva variable respecto de la cualse van a obtener las derivadas. De acuerdo conlos cambios de variables propuestos se tiene queγ = 1

R

√LC , el período de muestreo T = Tc/

√LC

y las ecuaciones se pueden reescribir como:

d

dt

(x1

x2

)=

(−γ 1−1 0

)(x1

x2

)+

(01

)u (2)

y de forma compacta como x = Ax + bu.

Este sistema va a ser controlado mediante unPWM imponiendo que el promedio de la funcións(x) en cada período de conmutación sea cero.Siguiendo a (Carpita et al., 1988), s(x) se definecomo:

s(x) = (x1 − x1ref ) + ks(x1 − x1ref ) (3)

donde x1 es la variable a regular, x1ref es laseñal de referencia y ks es la constante de tiempoasociada a la dinámica de primer orden en elerror. Para ks ∈ [0,15, 3,24] el sistema regula enrégimen caótico; cuando ks > 3,24 el sistemaregula en régimen periódico estable. Sin embargo,para valores altos de ks, del orden de 10, el sistemapierde la capacidad de regulación. La señal decontrol suministrada al sistema para l ≤ T resultaen

u =

u+ si kT ≤ t ≤ kT + l/2u− si kT + l/2 < t < kT + (T − l/2)u+ si kT + (T − l/2) ≤ t ≤ kT + T

(4)

donde u+ = 1 y u− = −1. Así pues se estásuponiendo que entre kT y kT + l

2 el signo delpulso es positivo y que entre kT + l

2 y (k+1)T − l2

el pulso cambia a−1, para finalmente, en el últimotramo, retornar a +1. Esto implica que l hacealusión al tiempo que la fuente permanece en +1.Al valor l

T se le conoce como el ciclo de trabajo yse denotará por d.

Por tratarse de un sistema lineal e invariante enel tiempo sometido a pulsos unitarios, la solucióngeneral se puede escribir como

x(kT + T ) = eAT x (kT ) +(eA(T−l/2) + I

)A−1

(eAl/2 − I

)b− eAl/2A−1

(eA(T−l) − I

)b

(5)

El ciclo de trabajo l/T , que puede variar de cicloa ciclo, se obtiene, tal como se ha dicho antes, deresolver la siguiente ecuación

(k+1)T∫

kT

s(x(t))dt = 0 (6)

El cálculo exacto del tiempo de conmutación im-plica, en cada iteración, la resolución de unaecuación trascendente, lo que puede ser un incon-veniente en caso de una implementación en línea.Por este motivo se buscan nuevas alternativaspara evaluar l de manera más simple. Una aprox-imación consiste en suponer que la salida auxiliarse comporta como una función lineal a trozos. Lasconsideraciones básicas tenidas en cuenta en esteesquema se pueden resumir en

1. La dinámica del error o salida auxiliar secomporta como una recta a tramos.2. Las pendientes de la dinámica del erroren cada tramo están determinadas por laspendientes calculadas en el momento de laconmutación. Esto incluye suponer que lapendiente al inicio del período, notada comos1(x(kT )), es la misma que al final. Paraobtener un valor aproximado de la pendientes2(x(kT )), correspondiente al tramo interme-dio, se toman los mismos datos que se hanusado para calcular s1(x(kT )) y se invierteel signo de la señal de control.

Con estas aproximaciones se tiene

d :=l

T=

2s(x(kT )) + T s2(x(kT ))T (s2(x(kT ))− s1(x(kT )))

. (7)

Esta expresión será válida si su valor se encuentraentre 0 y 1. De lo contrario se tomará el valorresultante de saturar d en el intervalo [0, 1]. Afin de resaltar el acierto de estas simplificacioneslas Figuras 2 y 3 muestran, respectivamente, elpromedio de la salida y el error en tensión parauna señal de referencia senoidal (DC-AC). Se hanasignado los siguientes valores a los parámetrosdel convertidor: C = 40µF , L = 2mH, R = 20Ω,Tc = 50µs y V = 40V . En el sistema adimensionalse tiene: γ = 0,35 y T = 0,1767. El parámetrode bifurcación ks toma el valor 4,5 y la señal dereferencia es

x1ref = 0,8 sin 0,0889t

que corresponde a una señal de 32V y 50Hz.

La Figura 2 muestra el valor de la integral dela salida auxiliar y la Figura 3 el error relativo,tomando como base la amplitud de la señal dereferencia.

De estas gráficas se concluye que la aproximaciónes buena. La integral de la salida auxiliar es delorden de 4e-4 y el error de salida máximo es0,44%, tomando como base la amplitud de la señalde entrada.

0 200 400 600 800 1000

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4

muestras

inte

gra

l de

su

pe

rfic

ie

Figura 2. Integral de la salida auxiliar suponiendos(x) lineal a trozos.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

tiempo en seg.

(x1−

x1

ref)*

10

0/0

.8

Figura 3. Error de seguimiento suponiendo s(x)recta a trozos.

Estos resultados validan la ley de control que seobtiene de suponer una salida auxiliar s(x) lineala trozos. Se procede a continuación a analizar elcomportamiento dinámico del sistema en el casode regulación (DC-DC): estabilidad y estudio dela transición al caos.

3. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE LATÉCNICA ZAD

Nótese que el punto de equilibrio x∗ satisfacex(T ) = x(0); a su vez x∗ permite calcular el ciclode trabajo “de equilibrio” d∗. Sin embargo, ciertasaproximaciones permiten simplificar los cálculossin aumentar significativamente el error. Parecenatural suponer que el sistema no satura, así puesla expresión de d viene dada por:

d =2s + T s2

T (s2 − s1)(8)

donde s = s(x(kT )), s1 = s1(x(kT ))|u+ y s2 =s2(x(kT ))|u− . Se asume que la generación delpulso obedece a la secuencia +1,−1, +1 y serála utilizada a lo largo de este trabajo.

El término correspondiente al denominador s2−s1

se puede escribir como

∂s2

∂xx− ∂s1

∂xx = −2ksu+ = −2ks (9)

Igual que antes se toma u+=1 que corresponde alpulso al inicio del ciclo. Esto permite expresar dde manera más simple como

d = −2s + T s2

2 T ks(10)

3.1 Puntos de equilibrio

Para calcular los puntos de equilibrio procedemosa determinar s y s2. De la ecuación de la salidaauxiliar se tiene,

s = (1− ksγ)x1 + ksx2 − x1ref − ksx1ref (11)

Para calcular s2 se debe tener en cuenta queésta corresponde a la pendiente de s(x) en eltramo intermedio y que por lo tanto la señalde control allí toma el valor de u = −1. Si sereemplazan x1 y x2 de las ecuaciones de estado,con la consideración anterior se tiene

s2 = (ksγ2 − γ − ks)x1 + (1− ksγ)x2

−ks − x1ref − ksx1ref(12)

Para el sistema en el equilibrio x1 = x1ref con locual s = 0 y x2 = x1ref + γx1ref . En el caso deregulación todas las derivadas de la referencia soncero, y por lo tanto el ciclo de trabajo en estadoestacionario viene dado por :

d∗ =1 + x1ref

2(13)

En el supuesto que el ciclo iniciara con u = −1,d∗ tomaría el valor d∗ = 1

2 (1− x1ref ).

Se ha obtenido el punto de equilibrio (x∗1, x∗2) =

(x1ref , γx1ref ), que corresponde a un ciclo detrabajo en estado estacionario d∗ = 1+x1ref

2 .

A continuación se hace uso de los exponentesde Lyapunov para determinar el límite de laestabilidad y la presencia de caos en el sistema.

3.2 Exponentes de Lyapunov

Los exponentes de Lyapunov (E. L.) son unaherramienta matemática por medio de la cualse puede determinar la velocidad de convergen-cia o divergencia de dos órbitas de una ecuación

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

parametro ks

exp

on

en

tes

de

Lya

pu

no

v

Comportamiento de los exponenetes de Lyapunov. Referencia: 0.8

Figura 4. Exponentes de Lyapunov.

diferencial, las cuales se inician infinitesimalmentecerca la una de la otra. Si las trayectorias que seinician muy cerca convergen una a la otra, los E.L. asociados serán negativos. Si las trayectoriasdivergen existirá, por lo menos, un E. L. positivo.Para calcular los E. L se requiere el conocimientode las órbitas y por lo tanto su cálculo analíticose hace muy complejo. Por este motivo, general-mente se recurre a un procedimiento numéricopara hallarlos.

En esta sección se calculan los E. L. directamentede la aplicación de Poincaré sustituyendo, en lasecuaciones dinámicas, los valores de los parámet-ros definidos al final de la sección 2. La aplicaciónde Poincaré, a su vez, resulta directamente delmuestreo síncrono. Nótese la continuidad, en losinstantes de muestreo, del campo vectorial que de-scribe el sistema dinámico. Ello facilita el cálculode los E. L. (Lim and Hamill, 1999). De tener dis-continuidad, se pueden usar otros métodos ya seannuméricos (Lim and Hamill, 1999) y/o analíticos(Janaki et al., 1999), (Batlle et al., 2003).

La solución de las ecuaciones de estado dada por(5) puede escribirse de manera simplificada como

x (k + 1) = F (x (k))

que corresponde a la aplicación de Poincaré. Con-sidérese DF (x) la matriz jacobiana de F y seaqi (DF (x)) el i-ésimo valor propio de DF (x). Elexponente de Lyapunov λi para cada valor propioestá dado por:

λi = lımn→∞

1n

n∑

k=0

log∣∣∣qi(DF(x(k)))

∣∣∣

(14)

La Figura 4 muestra la evolución de los expo-nentes de Lyapunov en función del parámetroks. Se observa un valor límite de estabilidad enks = 3,25.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

75

80

85

90

95

parametro de bifurcacion ks

cicl

o d

e t

rab

ajo

en

po

rce

nta

je

Diagrama de bifurcaciones: Referencia 0.8

Figura 5. Diagrama de bifurcaciones, referenciax1ref = 0,8.

La presencia de un E. L positivo en un sistemacuyas trayectorias evolucionan en una zona acota-da del espacio de estado garantiza comportamien-to caótico (Banerjee and Verghese, 2001). Porotro lado, la suma de todos los exponentes deLyapunov en un atractor caótico debe ser negativa(Parker and Chua, 1989).

En la Figura 5 se presenta un diagrama de bifur-caciones 1-dimensional, en el cual la variable deestudio es el ciclo de trabajo y el parámetro debifurcación sigue siendo ks. Como puede obser-varse, la transición al caos es lenta. A continuaciónse estudian las primeras bifurcaciones, a través delas cuales el sistema evoluciona a comportamientocaótico.

4. ANÁLISIS DE LA TRANSICIÓN AL CAOS

En esta sección se presenta de manera resumidala forma en la que el sistema pasa de establea caótico, Se han estudiado las tres primerasbifurcaciones desde un punto de vista analítico ynumérico. Debe tenerse en cuenta que una vez quese pierda la estabilidad debe haber un momentoen el cual el ciclo de trabajo se sature.

El ciclo de trabajo se puede definir como

d = c1x1(0) + c2x2(0) + c3 (15)

donde c1 = 2−2ksγ+Tksγ2−γT−Tks

−2Tks, c2 = 2ks+T−ksγT

−2Tks

y c3 = x1ref

Tks+ 1

2 . El sistema presenta una zona deno saturación definida en el espacio de estados porla ecuación

0 < c1x1(0) + c2x2(0) + c3 < 1, (16)

cuyo resultado se ha esquematizado en la Figura6.

(a) ks=4.5

(b) ks=3.24

Figura 6. Zona del plano de fase donde el estadono da lugar a saturación del ciclo de trabajo.

La frontera de la región está definida por d = 0y d = 1. Dentro de la zona comprendida entre lasrectas, el sistema evoluciona de acuerdo con lasecuaciones (15) y (5). Por fuera de esta región elsistema evoluciona de acuerdo a

x(k + 1)T = eAT x(kT ) + A−1(eAT − I)b, (17)

si d ≥ 1 o a

x(k + 1)T = eAT x(kT )−A−1(eAT − I)b, (18)

si d ≤ 0. Estando A y b definidas como en laecuación (2). A la recta d = 0 se la notará comoP, y a la recta d = 1 se la notará como Q. a partirdel análisis de estas ecuaciones y sus implicacionesen el comportamiento del sistema se analiza latransición al caos.

Diversas simulaciones han mostrado que, inde-pendientemente del valor de la constante ks ∈(0,3, 5), el voltaje de salida del sistema permaneceen torno al valor de estado estacionario con un

error no superior al 1%.Esta observación permitehacer algunas simplificaciones respecto al valor delestado x1, asociado al voltaje en el condensador,al poderse considerar constante.

Cuando el ciclo de trabajo se encuentra entre0 y 1, existen dos puntos de conmutación, quese corresponden con dos puntos de las curvasen el espacio de estados X(d/2) y X(1-d/2), talcomo se muestra en la Figura 7. Se han calculadolos diversos puntos de conmutación de las curvasX(d/2) y X(1-d/2) en el espacio de estados de lasiguiente manera: se supone que el sistema regula,es decir se asume x1(0) = 0,7996 que correspondeal valor de estado estacionario para una referenciade 0,8. Cada valor de d ∈[0, 1] se sustituye enla ecuación (15) para obtener los diversos valoresde x2(0). Una vez se ha evaluado x2(0) se tienetoda la información (x(0) y d), para resolver lasecuaciones de estado y se pueden hallar las curvasque limitan el momento de la conmutación, talcomo se muestra en la Figura 7. Nótese que paraun tiempo d = 0 la curva de X(d/2) toca la rectaP debido a que se corresponde con el estado inicialx(0). Las curvas X(d/2) y X(1-d/2) se intersectanpara el tiempo d = 1; el punto de interseccióncorresponde al vértice de la figura.

Otro límite importante para un posterior análisisdel sistema es la imagen de la recta límite inferiorQ, a la cual llamaremos R, ya que para cualquiercondición inicial por debajo de Q le correspondeuna imagen por debajo de R. En la Figura 7 semuestran estas zonas. Al variar la constante ks seva perdiendo simetría. En la Figura 8, se presentala misma clasificación en el espacio de estados paraun valor de la constante ks = 0,5. Se puede vercómo la curva X(1-d/2) ha perdido su simetríarespecto de X(d/2) comparada con la Figura 7.

A partir de estos elementos que hemos señaladoen el espacio de estados se puede iniciar el análisisdel sistema en su transición al caos.

4.1 Primera bifurcación

En la tabla 1 se determinan los multiplicadorescaracterísticos de la aplicación de Poincaré, loscuales corresponden a los valores propios del sis-tema linealizado alrededor del punto fijo (x1ref , γx1ref ).Un análisis de estos valores propios permite es-tablecer que la primera bifurcación es de tipo “flip”(Kuznetsov, 1998), debido a que el valor propioque pasa de estable a inestable lo hace cruzandopor −1 en el intervalo ks ∈ (3,24, 3,25).

Este tipo de bifurcación presenta un doblamientode período; a saber, el sistema pasa de tener unaórbita 1-periódica estable a tener una órbita 1-periódica inestable y una órbita 2-periódica es-table. En la Figura 9 se muestra la evolución de

0.799 0.7995 0.8 0.8005 0.801 0.8015 0.802 0.8025 0.803

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

voltaje

co

rrie

nte

P

Q

X(d/2)

X(1−d/2)

R

Figura 7. Separación en zonas del espacio deestado para un valor de ks = 4,5. Las rectasP y Q se corresponden con las rectas d = 0 yd = 1 de la Figura 6. La recta R correspondecon la imagen de d = 1.

0.796 0.797 0.798 0.799 0.8 0.801 0.8020.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

voltaje

co

rrie

nte

P

Q

R

X(d/2)

X(1−d/2)

Figura 8. Separación en zonas del espacio deestado para un valor de ks = 0,5.

Tabla 1. Multiplicadores característicosde la aplicación de Poincaré cerca del

límite de la estabilidad

ks λ1 λ2

3,25 0,9474 −0,99983,24 0,9472 -1.0000

una órbita 1-periódica estable cuando ks=4,5. Eneste caso el sistema evoluciona de acuerdo a:

x(0) 7→ x(d/2) 7→ x(1− d/2) 7→ x(0)

Después de perderse la estabilidad de la órbita1-periódica, se observa el comportamiento de laFigura 10. Debido a la bifurcación “flip”, la órbita2-periódica es una órbita estable, que da lugar ados nuevos puntos fijos 2-periódicos. En un ran-go muy estrecho del parámetro ks esta órbita 2-

0.7994 0.7995 0.7996 0.7997 0.7998 0.7999 0.8 0.8001 0.8002 0.8003 0.8004

0.26

0.265

0.27

0.275

0.28

0.285

0.29

0.295

0.3

voltaje

co

rrie

nte

x(0)

x(d/2)

x(1−d/2)

X(d/2)

X(1−d/2)

R

Q

Figura 9. Evolución de las trayectorias en el espa-cio de estados para un valor de ks = 4,5.

0.7997 0.7998 0.7999 0.8 0.8001 0.8002 0.8003 0.8004

0.265

0.27

0.275

0.28

0.285

0.29

0.295

voltaje

co

rrie

nte

R

Q

X(d/2)

X(1−d/2)

A

B

C

D

E

F

Figura 10. Evolución de las trayectorias en elespacio de estados para un valor de ks =3,2443.

periódica satisface que ninguno de sus dos ciclosde trabajo satura. A medida que el parámetro ks

disminuye, uno de los puntos fijos 2-periódicos seacerca a la recta Q y el otro a R. Así mismo se gen-eran nuevos puntos de conmutación, desplazadosrespecto del de la órbita 1-periódica: uno hacia laderecha (sobre la curva X(d/2)), lo que implica und menor como resultado del hecho de que el estadoinicial se está alejando de la recta Q; y el otro, ala izquierda, acercándose al vértice de las curvasX(d/2) y X(1-d/2), esto implica un d mayor, comoresultado del equilibrio que se acerca a la curva Q.En este caso la órbita evoluciona de acuerdo con lasecuencia A-B-C-D-E-F-A, que puede ser escritacomo

x(0) 7→ x(d/2) 7→ x(1− d/2) 7→ x(1)7→ x(1 + d/2) 7→ x(2− d/2) 7→ x(0)

0.799 0.7995 0.8 0.8005 0.801 0.8015

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

0.3

0.31

voltaje

co

rrie

nte

R

Q

X(d/2)

X(1−d/2)

A

B

C

D

E

F

Figura 11. Evolución de las trayectorias en elespacio de estados para un valor de ks =3,2425.

Disminuyendo más la constante, para un valorde ks=3.2425 las órbitas del sistema evolucionancomo se muestra en la Figura 11, en la cual seha preservado el orden de asignación de puntos enrelación con la órbita (A-B-C-D-E-F-A). Los pun-tos fijos, obtenidos de la aplicación de Poincaréson A (x(0)) y D (x(1)).

Cuanto más se disminuye el parámetro ks, másse acerca un punto fijo 2-periódico al límite Q; ymayor se vuelve el tiempo de conmutación d paraun período y menor para el otro. Finalmente elpunto fijo colisionará con la recta d = Q lo quellevará a un ciclo d = 1 y un ciclo 0 < d < 1. Poreste motivo la siguiente bifurcación se sucede por“corner collision” (di Bernardo et al., 2001).

4.2 Segunda bifurcación

Una vez un equilibrio 2-periódico choca con ellímite Q se sucede una “corner collision” y puedeser confirmada via un estudio del Jacobiano de laaplicación P 2, la cual corresponde con la segundaiteración de la aplicación de Poincaré. Esta bifur-cación se caracteriza porque preserva el númerode puntos de equilibrio pero cambia la evoluciónde las órbitas en el espacio de estados tal como semuestra en la Figura 12. Al saturar un período,en un tramo de la órbita ésta no tocará las curvasX(d/2) y X(1-d/2). En este caso la secuencia esA-B-C-D-A y puede ser escrita como

x(0) 7→ x(d/2) 7→ x(1− d/2) 7→ x(1) 7→ x(0)

En la tabla 2 se presentan los multiplicadorescaracterísticos de la segunda iteración de la apli-cación de Poincaré evaluados en el equilibrio. Sehan calculado suponiendo primero que ningunode los dos ciclos satura (no sat-no sat), y luego

0.799 0.7995 0.8 0.8005 0.801 0.8015 0.802

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

0.3

0.31

0.32

voltaje

co

rrie

nte

A

B

C

D

R

Q

X(d/2)

X(1−d/2)

Figura 12. Evolución de las trayectorias en elespacio de estados para un valor de ks =3,242.

Tabla 2. Multiplicadores característicosde P 2: cerca de ks = 3,24

2T: no sat-no sat.ks = 3,2425

2T: sat-no sat.ks3,242

λ1 = 0,89741 λ1 = 0,89815λ2 = 0,99999 λ2 = −0,99129

suponiendo que uno satura y el siguiente no (sat-no sat). Se observa que hay una discontinuidad enel Jacobiano, al cambiar abruptamente un valorpropio del sistema linealizado.

En el rango comprendido entre ks ∈ [2.995, 3.242]aproximadamente, siguen existiendo órbitas 2-periódicas, caracterizadas porque en un períodoel ciclo satura y en el siguiente no. La imagen delpunto de equilibrio que colisiona con el límite Qse encuentra sobre R y la trayectoria generada alpasar de Q a R no toca las curvas X(d/2) ni X(1-d/2). El ciclo de trabajo siguiente, que se genera apartir de la imagen en R, está comprendido entre0 < d < 1 y eso da lugar a una trayectoria quelleva nuevamente el estado al límite Q. Como unvalor propio se ha acercado a −1, se tiene quela siguiente bifurcación es de tipo “flip”, cosa quesucede en ks=2.998 aproximadamente.

4.3 Tercera bifurcación

La tercera bifurcación que se sucede en el sistemaes nuevamente de tipo “flip”. Se caracteriza porqueun valor propio de la segunda iteración de laaplicación de Poincaré cruza por −1, tal comose muestra en la tabla 3. Debido a que nosencontramos en una órbita 2-periódica y se sucedeuna bifurcación tipo flip, se generarán entoncesórbitas 4-periódicas.

Tabla 3. Multiplicadores característicosde P 2: sat-no sat, cerca de ks = 3

ks λ1 λ2

2,998 0,890369 −0,999852,997 0,890335 −1,0000237

0.799 0.7995 0.8 0.8005 0.801 0.8015

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

0.3

0.31

voltaje

co

rrie

nte

R

Q

A

B

C

D

E

F

G

H

X(d/2)

X(1−d/2)

Figura 13. Evolución de las trayectorias en elespacio de estados para un valor de ks =2,998.

El punto de equilibrio que se encuentra por de-bajo del límite Q (pero muy cerca a él) generados nuevos equilibrios. Ambos puntos por estardebajo del límite Q dan lugar a ciclos saturados,proyectando sus imágenes debajo del límite R.Éstas están muy cerca entre sí, provocando que losvalores del ciclo de trabajo estén también próxi-mos por lo que aparecen las órbitas muy juntas,como se muestra en la Figura 13.

Las órbitas 4-periódicas se suceden en un rangomuy estrecho del parámetro ks, lo cual lleva caside inmediato a la aparición de bandas, las cualesse asemejan mucho a órbitas 8-periódicas, 16-periódicas, etc. debido a la precisión. En realidaddebe pensarse que a partir de ks = 2,997 aprox-imadamente se sucede el fenómeno de generaciónde bandas.

4.4 Cuarta bifurcación y aparición de caos

En un rango aproximado de ks entre 3 y 2.5,una pequeña zona entre el límite Q y su imagenen el espacio de estados R, operan como zonasde acumulación, lo que conlleva la presencia debandas caóticas, ya que no aparecen puntos deequilibrio estables claramente distinguibles sinoregiones 8-periódicas etc. del espacio de estadosque atraen a las órbitas. Así se suceden las suce-sivas bifurcaciones y se llega al caos. En la Figura14, se observa una órbita más compleja, habiendocambiado muy poco el parámetro ks. Está carac-terizada porque la trayectoria toca nuevamente el

0.799 0.7995 0.8 0.8005 0.801 0.8015

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

0.3

0.31

voltaje

co

rrie

nte

R

Q

X(d/2)

X(1−d/2)

Figura 14. Evolución de las trayectorias en elespacio de estados para un valor de ks =2,99794.

vértice y hay puntos de equilibrio que han entradoen la franja comprendida entre Q y R, lo que hacesuponer que inmediatamente después de sucederel doblamiento de período le sigue una “cornercollision”.

En la medida en que se disminuye el parámetro ks

se van generando las bandas caóticas que llevan alsistema lentamente al caos completo (caos de unabanda), posiblemente por sucesivos doblamientosde período seguidos de “corner collision”.

En la siguiente sección se controlará el sistemacuando opera en régimen caótico. Los resultadoshan sido obtenidos únicamente a nivel de simu-lación.

5. CONTROL DE CAOS, CON APLICACIÓNDE LA TÉCNICA TDAS

Actualmente son bien conocidas dos técnicas decontrol de caos: OGY (Ott et al., 1990) y TDAS(Pyragas, 1992). La técnica OGY usa pequeñasperturbaciones de la órbita inestable a controlarque convive con el caos para estabilizarla, mien-tras que en el método TDAS se toma como base dela realimentación el estado retardado. Diferentesautores han explotado la potencia de las técnicasOGY y TDAS para controlar el caos, o introducirvariaciones en ellas y generar nuevas estrategias decontrol. Por ejemplo Poddar (Poddar et al., 1995),define dos maneras de controlar el caos: por per-turbación de los parámetros y por cambio en elinstante de conmutación. Otros investigadores porel contrario (Batlle et al., 1997), (Baranovski etal., 2000) y (Rodríguez et al., 1999), utilizarony demostraron la validez de las técnicas OGY,TDAS y algunas variantes sobre ellas confirmandode manera analítica y experimental su utilidad(Santos and Rodríguez, 1998).

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

ks

η

Zona estable

Zona inestable

Figura 15. Zonas estable e inestable para el sis-tema con TDAS.

En esta sección se hará uso de la técnica TDASpara controlar el caos. Teniendo en cuenta que lavariable que induce la inestabilidad en el sistemapropuesto, puede ser asociada al ciclo de trabajo,para controlar la órbita 1-periódica se presumesuficiente modificar el ciclo de trabajo de acuerdoa

d(k) = d + η(d(k)− d(k − 1)) (19)

donde d(k) es el ciclo de trabajo que se va aaplicar, d es valor obtenido con la ecuación (10),d(k − 1) es el ciclo de trabajo de la iteraciónanterior y η es el factor de realimentación.

En la Figura 15 se muestra el límite de la estabil-idad calculado con los Exponentes de Lyapunov,cuando el sistema es controlado con la técnica aquídescrita. En ella se observa la combinación de η yks que garantizan estabilidad en el sistema.

En la Figura 16 se presentan los resultados cuandoks=0.5 y η = −0,1. Los valores de los estadosobtenidos de la aplicación de Poincaré en régimenpermanente son x1=0.7999 y x2=0.2801, llevandoa un error de regulación de 0,0125%.

6. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO

En el presente artículo se han estudiado analíticay numéricamente los controladores ZAD con pulsocentrado. Estos controladores digitales garantizanfrecuencia fija de conmutación, bajo error de sal-ida y robustez ante perturbaciones.

Se ha hecho un cálculo numérico del límite dela estabilidad a través de los exponentes de Lya-punov, el cual permite concluir la presencia decaos en el sistema.

Se ha hecho un estudio de la transición al caos.En este sentido se han detectado bifurcaciones

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

muestras

cic

lo d

e t

rab

ajo

, k s

=0

.5

η=−0.1

sistema sin control

Figura 16. Ciclo de trabajo para el sistema cony sin realimentación, para un valor de laconstante ks = 0,5 y controlado con TDAS.

por doblamiento de período y por “corner col-lision”. También se presentan bandas caóticas yprobablemente doblamiento de estas bandas. Elestudio de la conformación exacta de las bandasy su doblamiento forma parte del trabajo futuro.

La técnica de control de caos por TDAS hademostrado ser efectiva en este caso, permitiendoque el sistema estabilice y logrando nuevamenteun promedio cero de la dinámica del error, elcual se había perdido en régimen caótico. Suimplementación a nivel de laboratorio tambiénforma parte del trabajo futuro.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a los revisores las sugeren-cias que han contribuido a mejorar la calidad deeste artículo.

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