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Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de
LilleLicence 2 / Économie - Gestion
Calcul matriciel
Techniques Mathématiques de l’Économiste
M. Pelini, V. Ledda
24 juin 2018
Livret d’exercices
Table des matières
1 Les matrices1 Les matrices 2
2 Opérations sur les matrices2 Opérations sur les matrices 2
3 Réduction de Gauss-Jordan3 Réduction de Gauss-Jordan 63.1
Matrice inversible3.1 Matrice inversible . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Calcul du
rang d’une matrice3.2 Calcul du rang d’une matrice . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Systèmes linéaires4 Systèmes linéaires 94.1 système n×n4.1
système n×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 94.2 système n×m4.2 système n×m . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 104.3 Application au calcul de l’inverse d’une matrice4.3
Application au calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 10
5 Déterminant5 Déterminant 12
6 Diagonalisation6 Diagonalisation 14
Version 0.3
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
1 Les matrices
� Exercice 1� Exercice 1Écrire en extension la matrice A = (aij)
deM4 définie pour tout (i, j) ∈ ~1;42 par :
aij =1
i + j − 1
� Exercice 2� Exercice 2Écrire en extension la matrice A = (aij)
deM4 définie pour tout (i, j) ∈ ~1;42 par :
aij =
i si i = j1 si i > j0 si i < j
.
Que peut-on dire de la matrice A?
� Exercice 3� Exercice 3Soit A = (2(j−1)(k−1))16j,k6n écrire A
en extension pour n = 3.
� Exercice 4� Exercice 4Donner la taille des matrices suivantes,
et indiquer celles qui sont échelonnées, échelonnéesréduites.
A =
1 2 3 4 10 1 0 0 23 1 2 1 10 0 1 2 30 0 0 0 2
B =1 0 4 1 00 1 0 0 10 0 0 1 3
C =1 0 4 0 0 1 0 4 1 00 1 7 0 1 1 0 4 1 00 0 0 1 3 9 0 4 1 00 0
0 0 0 0 1 4 1 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 Opérations sur les matrices
� Exercice 5� Exercice 5Dans chacun des cas suivants calculer :
A + B, AB et BA :
1. A =(
2 3−1 0
)et B =
(−2 43 1
).
2. A =(
1 10 0
)et B =
(0 10 2
).
3. A =(
1 23 4
)et B =
(3 00 3
).
� Exercice 6� Exercice 6On pose
A =(
1 32 5
)B =
(2 5 73 9 2
)C =
1 20 1−2 1
2 M. Pelini, V. Ledda
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1. Calculer si c’est possible A ·B et B ·A.2. Calculer de deux
manières différentes t(B ·C).3. Que peut-on dire de la matrice tB
·B? Justifier.
� Exercice 7� Exercice 7 Le fleuristeUn fleuriste fabrique trois
types de bouquets :
— le «Rosy» : avec 10 roses blanches, 10 roses rouges, 3 lys et
7 œillets, vendu 23 e ;— le «Neige» : avec 8 roses blanches, 10 lys
et 5 œillets blancs, vendu 19 e ;— le «Sang» : avec 5 roses rouges,
10 œillets rouges et 5 roses blanches, vendu 15 e.
Un comité d’entreprise commande 51 «Rosy», 48 «Neige» et 37
«Sang». Répondre à l’aide d’uncalcul matriciel aux questions
suivantes :
1. Combien le fleuriste a besoin de fleurs de chaque type pour
répondre à cette commande ?2. Quel est le prix de cette
commande?
On détaillera la démarche sans donner nécessairement de réponses
chiffrées aux questions.
� Exercice 8� Exercice 8 La biscuiterieUne entreprise fabrique
deux qualités de biscuits et vend trois sortes de paquets contenant
desmélanges de ses biscuits. Les compositions des biscuits et les
contenus des paquets sont donnéspar les tableaux suivants :
QualitéStandard Premium
beurre 35 40farine 33 25sucre 28 35œufs 14 15
PaquetsP1 P2 P3
Standard 225 70 273Premium 275 280 147
QuantitésP1 1 200P2 2 520P3 850
Quantités (en gramme) de produitsnécessaires pour fabriquer
100
grammes de biscuits.
Contenus des paquets (en gramme). Nombre de paquetsproduits
aujourd’hui.
Quelles sont les quantités totales de produits nécessaires pour
assurer la fabrication du jour?
� Exercice 9� Exercice 9Vérifier l’associativité du produit
matricel avec les matrices suivantes :
A =(
0 2 −1−2 −1 2
), B =
1 0 1−1 1 −20 2 1
et C = −2 11 0
0 2
.� Exercice 10� Exercice 10
On pose A =(
1 2 3−2 1 0
)et B =
(4 0−2 5
)Calculer de deux manières différentes t(BA).
� Exercice 11� Exercice 11Déterminer toutes les matrices X de
l’ensembleM2(R) vérifiant :
1.(
0 10 2
)X =
(0 00 0
);
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
2.(
1 10 1
)X =
(1 00 1
).
� Exercice 12� Exercice 12
On considère la matrice M =(a cb d
)∈M2(R) où a, b, c et d sont quatre nombres réels.
Démontrer que : M2 − (a+ d) M + (ad − bc) I2 = O2.� Exercice 13�
Exercice 13Résoudre dansM2(R) le système :
X + Y =(−3 1−1 3
)X + 2Y =
(6 45 3
) (S)d’inconnues X et Y.
� Exercice 14� Exercice 14On considère l’ensemble des matrices
:
E =
M ∈M3 telles que M = a b c2c a b
2b 2c a
où a, b et c sont trois nombres réels
1. Montrer que toute matrice de E peut s’écrire de manière
unique M = aI3 + bB + cC, où B et Csont des matrices que l’on
précisera.
2. Calculer BC, CB, B2 et C2. En déduire que le produit de deux
matrices M et M′ de E estencore un élément de E.
� Exercice 15� Exercice 15
On considère la matrice A =(
1 2 −1 3−1 0 2 1
).
Calculer : tA ·A et A · tA.� Exercice 16� Exercice 16
On considère les matrices : A =(
1 10 1
)et B =
(1 11 0
).
1. Calculer (AB)2 et A2B2.
2. Commenter ce résultat ?
� Exercice 17� Exercice 17
On considère les matrices : A =
1 1 1−1 1 −30 −1 0
et B = −1 −1 11 0 −1
3 1 −2
.1. Calculer AB, BA, (A + B)2 et A2 + 2A ·B + B2. Que remarquez
vous?2. Calculer t(AB) et (tA)(tB)
4 M. Pelini, V. Ledda
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� Exercice 18� Exercice 18
On considère la matrice A =
1 2 −32 5 −15 12 −5
.Déterminer tous les vecteurs U de dimension 3 vérifiant : A ·U
= O3.� Exercice 19� Exercice 19
On considère la matrice : A =
0 1 −1 10 0 1 −10 0 0 10 0 0 0
. Déterminer An pour tout n ∈N∗.Remarque. La matrice A est dite
nilpotente.
De manière générale, toute matrice triangulaire (inférieure ou
supérieure) ayant que des zéros surla diagonale est nilpotente.
� Exercice 20� Exercice 20
On considère la matrice : A =
2 2 31 3 3−1 −2 −2.
1. Calculer A2.2. Déterminer la matrice B telle que : A2 = A +
B.3. (a) Démontrer que : AB = B.
(b) En déduire que : ∀n ∈N∗ on a : An = A + (n− 1)B.
� Exercice 21� Exercice 21
On considère la matrice : A =
2 2 2−1 −1 −11 1 1
.1. Calculer A2 puis A3. Que remarquez vous?2. Pour tout entier
n ∈N∗, conjecturer l’expression de An en fonction de la matrice A.
Vérifier
cette conjecture grâce à une récurrence.
� Exercice 22� Exercice 22
On considère la matrice : A =
α 1 00 α 10 0 α
, α désignant un paramètre réel donné.1. Calculer A2 puis A3.2.
(a) Trouver une matrice B telle que A = αI3 + B.
(b) Calculer B2 et B3. En déduire Bk, ∀k > 3.3. En déduire
l’expression de An en fonction de n.
� Exercice 23� Exercice 23
On considère la matrice : A =
1 1 a1 1 b−12 −12 c, où a, b et c sont des nombres réels.
5 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
1. Déterminer a, b et c pour que A2 soit la matrice nulle.
2. On considère la matrice : M =
2 1 41 2 4−12 −12 −1. On veut calculer Mn, pour tout n ∈N∗.
(a) Trouver P telle que M = P + I3.
(b) Par récurrence :i. Exprimer M2 et M3 en fonction de I3 et
P
ii. Démontrer que, pour tout n ∈N∗, Mn = I3 +nP.(c) Retrouver ce
résultat avec la formule du binôme de Newton.
3. On pose Sn = M + ...+ Mn, avec n ∈N∗.
Exprimer Sn en fonction de n.(
Rappel : 1 + ...+n =n(n+ 1)
2
)
3 Réduction de Gauss-Jordan
3.1 Matrice inversible
� Exercice 24� Exercice 24Soient A et B deux matrices carrées
n×n telles que A ·B = A + In. Montrer que A est inversible
etdéterminer son inverse (en fonction de B).
� Exercice 25� Exercice 25
Soit A =
0 1 11 0 11 1 0
.1. Calculer A2 et vérifier que A2 = A + 2I3, où I3 est la
matrice identité 3× 3.2. En déduire que A est inversible et
calculer son inverse.
� Exercice 26� Exercice 26Montrer qu’une matrice triangulaire
supérieure est inversible si et seulement si ses
coefficientsdiagonaux sont tous non nuls.
� Exercice 27� Exercice 27Soit A une matrice carrée d’ordre n ;
on suppose que A2 est une combinaison linéaire de A et In :A2 = αA
+ βIn.
1. Montrer que An est également une combinaison linéaire de A et
In pour tout n ∈N∗.
2. Montrer que si β est non nul, alors A est inversible et que
A−1 est encore combinaison linéairede A et In.
3. (a) Application 1 : soit A = Jn − In, où Jn est la matrice
dont tous les coefficients valent 1,avec n > 1. Montrer que A2 =
(n− 2) A + (n− 1) In ; en déduire que A est inversible,
etdéterminer son inverse.
6 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
(b) Application 2 : Montrer que si n = 2, A2 est toujours une
combinaison linéaire de A etI2, et retrouver la formule donnant A−1
en utilisant 2.
� Exercice 28� Exercice 28Déterminer l’inverse de la matrice 1 0
22 −1 3
4 1 8
� Exercice 29� Exercice 29
On considère la matrice P =
1 2 03 −1 10 1 2
.1. Calculer P2, P3 puis P3 − 2P2 − 8P.2. En déduire que la
matrice P est inversible et déterminer P−1.
� Exercice 30� Exercice 30On considère la matrice A ∈Mn(R) de la
forme A = In −N où N est une matrice nilpotented’ordre p, c’est à
dire une matrice pour laquelle les puissances sont nulles à partir
du rang p+ 1.
1. Démontrer que A est inversible et que : A−1 = In + N + N2 +
...+ Np.
2. Appliquer le résultat précédent à la matrice : A =
1 1 10 1 10 0 1
. Calculer alors A−1.
3.2 Calcul du rang d’une matrice
� Exercice 31� Exercice 31Trouver le rang des matrices suivantes
:
1.
A =
1 3 1 −2 −31 4 3 −1 −42 3 −4 −7 −33 8 1 −7 −8
2.
B =
1 2 −32 1 0−2 −1 3−1 4 −2
3.
C =
1 30 −25 −1−2 3
7 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
� Exercice 32� Exercice 32Donner la forme échelonnée réduite de
la matrice suivante. Quel est son rang?2 6 1 5 −12 6 2 6 1
1 3 0 2 1
� Exercice 33� Exercice 33On considère la matrice suivante :
M =
1 3 4 27 2 4 80 0 0 0−2 2 5 9
Répondre sans calcul à la question suivante : «Parmi les
matrices suivantes laquelle est susceptibled’être la matrice
échelonnée réduite ligne-équivalente à M ?». Justifier
succinctement.
A =
1 0 0 160 1 0 220 0 1 1990 0 0 0
B =
1 0 2 160 1 0 220 0 1 1990 0 0 0
C =
1 0 0 160 2 0 220 0 1 1990 0 0 0
D =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
� Exercice 34� Exercice 34Donner la matrice échelonnée réduite
équivalente à la matrice suivante en déduire le rang de
cettematrice.
1 1 3 47 7 2 44 4 2 1−2 −2 2 5
Livret d’exercices
Table des matières
Version 0.3
8 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
4 Systèmes linéaires
4.1 système n×n� Exercice 35� Exercice 35Résoudre le système
suivant d’inconnues x, y et z :
x+ 3y + 5z = 22−x+ 2y + 3z = 12−12x+ y − z = −13
� Exercice 36� Exercice 36Dans une entreprise de 60 personnes,
le salaire mensuel des employés est de 1 500 e, celui
destechniciens est de 2 600 e et celui des cadres de 4 200 e. La
masse salariale mensuelle de cetteentreprise est de 114 000 e. Si
on augmente de 6,4 % le salaire des employés et de 4,5 % celui
descadres et des techniciens alors la masse salariale augmente de
5,6%.Quel est le nombre d’employés, de techniciens et de
cadres?
� Exercice 37� Exercice 37Les 1 500 salariés d’une entreprise
sont répartis dans trois services A, B et C. Pour rééquilibrer
leseffectifs des trois services, il a été décidé que :
— 10 % des salariés du service B seront affectés au service C ;—
5 % des salariés du service A seront affectés au service B et 15 %
au service C.
Après cette restructuration, le nombre de salariés du service B
a diminué de 15 personnes et 159salariés ont été mutés dans le
service C.Calculer les effectifs de chaque service avant la
restructuration.
� Exercice 38� Exercice 38Un complexe industriel est constitué
d’une centrale électrique équipée de turbine à gaz, d’unterminal de
gaz naturel liquéfié et d’une station d’alimentation d’une ligne de
chemin de fer.
— La centrale électrique utilise pour 1€ d’électricité produite
50 centimes de gaz, 10 centimesd’électricité et 5 centimes de
transport ferroviaire ;
— le terminal de GNL utilise pour 1€ de gaz produit 20 centimes
d’électricité et 10 centimesde transport ferroviaire ;
— la ligne de chemin de fer utilise pour 1€ de transport 60
centimes d’électricité et 5 centimesde gaz.
Combien le complexe industriel devra-t-il produire
d’électricité, de gaz et de transport (en valeur)pour réaliser une
production de 1 million d’euros de gaz et de 1,5 million d’euros
d’électricité etcinq cents mille euros de transport ?
� Exercice 39� Exercice 39
On considère le système (S) :
ax+ y + z = 1x+ ay + z = ax+ y + az = a2
où a désigne un paramètre réel.
Résoudre le système (S) en discutant selon les valeurs du
paramètre a.
� Exercice 40� Exercice 40Résoudre les systèmes suivants :
9 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
1. (S) :
x+ y + z = 32y + z = 4x − 2y = −1
2. (S) :
y + 3z + t = 1x+ 2y + z + t = 2y − 4z = 0
4.2 système n×m� Exercice 41� Exercice 41Résoudre les systèmes
suivants :
1. (S) :
x+ 2y + 2z = 23x − 2y − z = 52x − 5y + 3z = −4x+ 4y + 6z = 0
.
2. (S) :
x+ 2y − z + 3w = 32x+ 4y + 4z + 3w = 93x+ 6y − z + 8w = 10
.
� Exercice 42� Exercice 42Résoudre le système suivant :
x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 12x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 + 3x5 = 12x1 +
2x2 + 4x3 + 4x4 + 2x5 = 23x1 + 5x2 + 8x3 + 6x4 + 5x5 = 3
4.3 Application au calcul de l’inverse d’une matrice
� Exercice 43� Exercice 43
On considère la matrice : B =
1 2 −22 1 −22 2 −3
.1. Calculer B2. En déduire que la matrice B est inversible et
préciser B−1.
2. Résoudre dans R le système :
x+ 2y − 2z = 12x+ y − 2z = 32x+ 2y − 3z = 4
.
� Exercice 44� Exercice 44
On considère le système (S) :
x+ 2y − 4z = a−x − y + 5z = b2x+ 7y − 3z = c
où a, b et c sont trois nombres réels donnés.
On pose : X =
xyz
et Y = abc
.10 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
1. Résoudre (S).
2. On pose A =
1 2 −4−1 −1 52 7 −3
.En utilisant la question 1), justifier que A est inversible et
préciser A−1
� Exercice 45� Exercice 45Déterminer la matrice inverse des
matrices suivantes (après avoir justifié son existence) :
1. A =
1 a b0 1 c0 0 1
où a, b et c sont trois nombres réels donnés.2. A =
1 −a 0 00 1 −a 00 0 1 −a0 0 0 1
où a est un nombre réel donné.
Livret d’exercices
Table des matières
Version 0.3
11 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
5 Déterminant
� Exercice 46� Exercice 46Sans aucun calcul, donner le
déterminant des matrices suivantes :
I3 =
1 0 00 1 00 0 1
, M1 = 0 1 01 0 0
0 0 1
, M2 = 2 0 00 1 0
0 0 1
, 2I3,N1 =
9 4 01 3 06 2 0
, N2 = 9 4 91 3 1
6 2 6
et N3 = 9 4 181 3 2
6 2 12
� Exercice 47� Exercice 47
On considère les matrices M1 =(1 23 −1
)et M2 =
(0 2−1 0
)1. Calculer M1M2 puis det(M1M2). Comparer ce résultat à
det(M1)det(M2).
2. Calculer M1 + M2 puis det(M1 + M2). Comparer ce résultat à
det(M1) + det(M2).
� Exercice 48� Exercice 48En utilisant les formules de
développement, calculer le déterminant des matrices suivantes
A =
1 2 3 43 −1 −9 130 0 0 20 0 −1 0
et B = 1 −2 32 4 −1
1 5 −2
.� Exercice 49� Exercice 49En utilisant les opérations sur les
lignes et les colonnes, calculer le déterminant des
matricessuivantes.
A =
12 −1 −
13
34
12 −1
1 −4 1
, B = 2 1 −31 0 2−1 1 1
et C =−2 4 −82 1 3
1 1 1
.� Exercice 50� Exercice 50Calculer les déterminants suivants :
( a, b, c et d désignent des nombres réels donnés)
∆1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∆2 =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 3 0 50 b 0 21 2 c 30 0 0 d
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∆3 =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a a a aa b b ba b c ca b c d
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣� Exercice 51� Exercice 51
On considère la matrice A =
a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a
où a désigne un paramètre réel.1. Montrer que le déterminant de
la matrice A est égal à
(a+ 3)(a− 1)3 .
2. Pour quelles valeurs du paramètre a la matrice A est-elle
inversible ?
12 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
� Exercice 52� Exercice 52On considère la matrice
M =
0 1 −1−3 4 −3−1 1 0 .
1. Calculer le déterminant de la matrice M.
2. En déduire que la matrice M est inversible.
3. Calculer M2 puis M2 − 3M + 2I3. En déduire M−1.
� Exercice 53� Exercice 53
1. La lettre n désigne un nombre entier naturel impair supérieur
à 2 et A est une matrice deMn(R).Démontrer que si on a : tA = −A
alors det(A) = 0.
2. Vérifier le résultat précédent sur la matrice A =
0 1 −4−1 0 34 −3 0
.3. Le résultat démontré à la question 1 est-il encore valable
lorsque n est un entier naturel pair
non nul? Justifier la réponse.
� Exercice 54� Exercice 54
On considère la matrice A =
0 1 −14 −3 43 −3 λ
où λ est un paramètre réel.1. Exprimer le déterminant de la
matrice A, en fonction de λ.
En déduire les valeurs de λ pour lesquelles la matrice A est
inversible.
2. (a) Calculer A2.
(b) Pour quelle valeur de λ a-t-on : A2 = I3 ? Que peut-on en
déduire pour la matrice A?
3. Par un calcul direct déterminer A−1 et vérifier le résultat
de la question 2.b.
� Exercice 55� Exercice 55Les matrices suivantes sont-elles
inversibles ?Dans l’affirmative, déterminer la matrice inverse, en
utilisant la formule de la comatrice.
A =(
2 1−3 5
), B =
(a b0 c
), C =
3 8 −3−1 −2 1−2 −4 2 et D =
1 1 1 20 3 1 40 0 0 30 0 0 1
.� Exercice 56� Exercice 56
1. Pour quelle valeur de m le système suivant est-il de
Cramer?x+ y + (1−m)z = m
(1 +m)x − y + 2z = m2x −my + 3z = 0
2. Résoudre ce système dans le cas où m = 1
13 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
3. Résoudre ce système dans le cas où m = 0
� Exercice 57� Exercice 57
Soit m ∈R. On considère le système (S) :
x+ y +mz = mx+my − z = 1x+ y − z = 1
d’inconnues x, y, z
1. Pour quelles valeurs de m le système S est-il de Cramer ?2.
On suppose m , −1 et m , 1. Résoudre S en utilisant les formules de
Cramer.3. Étudier le cas m = −1 puis le cas m = 1.
6 Diagonalisation
� Exercice 58� Exercice 58Pour chacune des matrices suivantes,
déterminer les valeurs propres ainsi que les vecteurs
proprescorrespondants :
A =(
4 41 4
), B =
(2 54 3
), C =
3 2 0−1 0 00 0 1
.� Exercice 59� Exercice 59
1. Diagonaliser la matrice A =(
1 22 1
).
2. On considère la matrice B =(−5 9−4 7
). Montrer que la matrice B n’est pas diagonalisable.
3. Diagonaliser la matrice C =
3 0 0−4 3 4−4 0 7.
� Exercice 60� Exercice 60
On considère la matrice A =(
2a+ 3 −2(a+ 1)a+ 1 −a
).
1. Déterminer les valeurs propres de A.
2. On suppose a , −1.(a) Justifier que A est diagonalisable.
(b) Déterminer une matrice inversible S telle que S−1AS =(a+ 2
0
0 1
)3. Que dire quand a = −1 ?
� Exercice 61� Exercice 61On considère les matrices
A =
1 1 10 0 −1−2 −2 −1 , B =
2 1 1−3 −2 −11 1 0
et D = 0 0 00 −1 0
0 0 1
14 M. Pelini, V. Ledda
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1. Vérifier que A ·B = B ·A.2. Déterminer les valeurs propres de
A et les vecteurs propres associés.
3. Déterminer une matrice inversible S, de deuxième ligne (−1 1
1) telle que telle que A = SDS−1.4. Calculer S−1 puis B′ = S−1 ·B ·
S. Vérifier que B′ est diagonale.
Remarque. Dans cet exercice, nous avons fait une diagonalisation
simultanée de A et B. C’estpossible quand les matrices A et B
commutent.
� Exercice 62� Exercice 62
On considère la matrice A =
0 3 2−2 5 22 −3 0
et on appelle P le polynôme caractéristique de lamatrice A.
1. Démontrer que : P(X) = (2−X)2 (1−X).Comment peut-on en
déduire le déterminant de A?
2. (a) Déterminer les valeurs propres de la matrice A ainsi que
les vecteurs associés.
(b) Diagonaliser la matrice A.
(c) Soit n ∈N∗. Écrire alors An sous la forme d’un produit de
trois matrices.
� Exercice 63� Exercice 63On considère la matrice
A =
3 −1 −1−3 1 32 2 0
.1. (a) Montrer que le polynôme caractéristique de la matrice A
est : P(λ) = (λ+ 2)(λ− 4)(2−λ).
(b) En déduire que A est diagonalisable et trouver une matrice S
inversible telle que S−1 ·A·Ssoit une matrice diagonale D que l’on
précisera.
2. Montrer que ∀n > 1,
An = 2n−1 1 + 2
n 1− 2n 1− 2n−2n + (−1)n 2n + (−1)n 2n − (−1)n
1− (−1)n 1− (−1)n 1 + (−1)n
3. (a) Justifier que D et inversible et calculer la matrice D−1.
En déduire que A est inversible.
(b) Montrer que A−1 = S ·D−1 · S−1.(c) Calculer alors la valeur
de la matrice A−1.
� Exercice 64� Exercice 64
On considère la matrice A =
1 1 01/2 3/2 −1/2−1/2 1/2 3/2
1. Déterminer les valeurs propres de A ainsi que les vecteurs
propres associés.
2. Justifier que A n’est pas diagonalisable.
15 M. Pelini, V. Ledda
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3. Soit P la matrice P =
1 1 01 0 10 1 1
.(a) Justifier que P est inversible et calculer P−1.
(b) Calculer T = P−1AP puis Tn, pour tout n ∈N.(c) En déduire
An, pour tout n ∈N.
� Exercice 65� Exercice 65
On considère la matrice A =
4 6 0−3 −5 0−3 −6 −5.
1. Déterminer les valeurs propres de A ainsi que les vecteurs
propres associés.
2. Justifier que A est diagonalisable et la diagonaliser.
3. Exprimer An, pour tout n ∈N.
� Exercice 66� Exercice 66On considère la matrice P.
P =
1 −1 01 a −1a 0 2
1. (a) Pour quelle valeur de a cette matrice est-elle inversible
?
(b) Déterminer l’inverse de P lorsque c’est possible.
2. On pose
A =
2 −2 −13 −3 −1−4 4 1
(a) Montrer que A est diagonalisable.
(b) Soit n un entier naturel. Déterminer An en fonction de
n.
3. On pose
B =
−2 3 1−3 4 12 −2 0
(a) La matrice B est-elle diagonalisable?
(b) On pose Q =
1 −1 01 −1 −1−1 0 2 et T =
0 0 00 1 10 0 1
. Vérifier que Q−1 ·B ·Q = T.(c) Calculer T5 et en déduire
B5.
16 M. Pelini, V. Ledda
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� Exercice 67� Exercice 67
On considère les suites (un), (vn) et (wn) définies par :
un+1 = −vn +wnvn+1 = un + 2vn −wnwn+1 = −un − vn + 2wnu0 = v0 =
w0 = 1
.
On pose A =
0 −1 11 2 −1−1 −1 2.
1. (a) Déterminer les valeurs propres de A ainsi que les
vecteurs propres associés.(On choisira des vecteurs dont la
première composante est égale à 1).
(b) Justifier que A est diagonalisable et la diagonaliser.
(c) Exprimer An, pour tout n ∈N.2. Exprimer un, vn et wn en
fonction de n.
17 M. Pelini, V. Ledda
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Éléments de correction
Les éléments de correction n’ont pas pour objectif de donner un
corrigé type. Parfois la rédaction estvolontairement lacunaire,
c’est au lecteur de combler les manques pour parfaire sa
compréhension dessujets abordés.
Correction 1
A =
1 12
13
14
12
13
14
15
13
14
15
16
14
15
16
17
Énoncé de l’exercice n°1.Énoncé de l’exercice n°1.
Correction 2
A =
1 0 0 01 2 0 01 1 3 01 1 1 4
La matrice A est triangulaire supérieure.
Énoncé de l’exercice n°2.Énoncé de l’exercice n°2.
Correction 3
A =
1 1 11 2 41 4 16
Énoncé de l’exercice n°3.Énoncé de l’exercice n°3.
Correction 4
1. A ∈M5, B ∈M3,5 et C ∈M5,102. A n’est pas échelonnée, B l’est
mais n’est pas réduite, C est une matrice échelonnée réduite.
Énoncé de l’exercice n°4.Énoncé de l’exercice n°4.
Correction 5
1.
A + B =(
0 72 1
)A ·B =
(5 112 −4
)B ·A =
(−8 −65 9
)2.
A + B =(
1 20 2
)A ·B =
(0 30 0
)B ·A =
(0 00 0
)3.
A + B =(
4 23 7
)A ·B =
(3 69 12
)B ·A =
(3 69 12
)
18 M. Pelini, V. Ledda
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Énoncé de l’exercice n°5.Énoncé de l’exercice n°5.
Correction 6
1. Seul le produit de A par B est réalisable.
A ·B =(11 32 1319 28 24
)2. (a)
B ·C =(−12 16−1 17
)Donc t(B ·C) =
(−12 −116 17
)(b)
t(B ·C) = tC · tB =(−12 −116 17
)3.
tB ·B =
13 37 2037 106 5320 53 53
tB ·B est symétrique car :
(tB ·B)ij =n∑
k=1
b̃ikbkj =n∑
k=1
bkibkj =n∑
k=1
bkjbki =n∑
k=1
b̃jkbki = (tB ·B)ji
Ou encore :t(tB ·B) = tB · ttB = tB ·B
Ainsi t(tB ·B) = tB ·B donc B est symétrique.
Énoncé de l’exercice n°6.Énoncé de l’exercice n°6.
Correction 7 Si l’on distingue œillets, œillets blancs et
œillets rouges.en posant
F =
10 10 3 7 0 08 0 10 0 5 05 5 0 0 0 10
C = ( 51 48 37 ) P = 2319
15
on peut répondre aux questions par :
1.C · F =
(1079 695 633 357 240 370
)2.
C · P =(
2640)
Énoncé de l’exercice n°7.Énoncé de l’exercice n°7.
19 M. Pelini, V. Ledda
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Correction 8 Posons :
Q =
35 4033 2528 3514 15
T =(225 70 273275 280 147
)et P =
12002520850
Les quantités cherchées exprimées en kilogramme s’obtiennent par
:
Q · (T/100) · P× 11000
=
701,6775514,026
596,1585269,0655
Énoncé de l’exercice n°8.Énoncé de l’exercice n°8.
Correction 9
A ·B ·C = A ·
−2 33 −52 2
=(−2 0 −5−1 3 2
)·C =
(4 −125 3
)Énoncé de l’exercice n°9.Énoncé de l’exercice n°9.
Correction 10
t(BA) =
4 −128 112 −6
Énoncé de l’exercice n°10.Énoncé de l’exercice n°10.
Correction 11
1. Posons X =(a bc d
)(
0 10 2
)X =
(0 00 0
)⇔
(c d
2 · c 2 · d
)(0 00 0
)⇔
{c = 0d = 0
S ={(
a b0 0
)|(a;b) ∈R2
}2. Posons X =
(a bc d
).
(1 10 1
)X =
(a+ c b+ dc d
)=
(1 00 1
)⇔
a+ c = 1b+ d = 0
c = 0d = 1
⇔
a = 1
b = −1c = 0d = 1
S ={(
1 −10 1
)}Énoncé de l’exercice n°11.Énoncé de l’exercice n°11.
20 M. Pelini, V. Ledda
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Correction 12
M2 =(a2 + bc ac+ dbab+ bd bc+ d2
)= (bc − ad)I2 +
(a2 + ad ac+ dcab+ bd d2 + ad
)= (bc − ad)I2 +
(a(a+ d) c(a+ d)b(a+ d) d(a+ d)
)M2 = (bc − ad)I2 + (a+ d) M
Énoncé de l’exercice n°12.Énoncé de l’exercice n°12.
Correction 13 Posons A =(−3 1−1 3
)et B =
(6 45 3
). Le système (SS) est équivalent à
{X + Y = A
X + 2Y = B{X + Y = AY = B−A{
X = 2A−BY = B−A
D’où X =(−12 −2−7 3
)et Y =
(9 36 0
).
Énoncé de l’exercice n°13.Énoncé de l’exercice n°13.
Correction 14
1.
M =
a b c2c a b2b 2c a
= aI3 + b0 1 00 0 12 0 0
︸ ︷︷ ︸B
+c
0 0 12 0 00 2 0
︸ ︷︷ ︸C
2.
B·C =
2 0 00 2 00 0 2
= 2I C·B = 2 0 00 2 0
0 0 2
= 2I B2 = 0 0 12 0 0
0 2 0
= C C2 = 0 2 00 0 2
4 0 0
= 2BSoit M et M′ deux matrices de E.
M ·M′ = (aI + bB + cC)(a′I + b′B + c′C)M ·M′ = aaI + ab′B + ac′C
+ ba′B + bb′C + 2bc′I + ca′C + 2cb′I + 2cc′BM ·M′ = (aa+ 2bc′ +
2cb′)I + (ab′ + ba′ + 2cc′)B + (ac′ + bb′ + ca′)C
Donc M ·M′ ∈ E.
Énoncé de l’exercice n°14.Énoncé de l’exercice n°14.
21 M. Pelini, V. Ledda
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Correction 15
tA ·A =
2 2 −3 22 4 −2 6−3 −2 5 −12 6 −1 10
A · tA =(
15 00 6
)
Énoncé de l’exercice n°15.Énoncé de l’exercice n°15.
Correction 16
1.
(AB)2 =(
5 22 1
)A2B2 =
(4 31 1
)2. Donc en général pour les matrices (AB)2 , A2 ·B2, C’est tout
à fait normal, en effet (AB)2 =
ABAB , AABB.
Énoncé de l’exercice n°16.Énoncé de l’exercice n°16.
Correction 17
1.
AB =
3 0 −2−7 −2 4−1 0 1 BA =
0 −3 21 2 12 6 0
(A + B)2 = 6 0 −4−12 1 4−6 0 10
A2 + 2A ·B + B2 =
9 3 −8−20 −3 7−9 −6 11
2.
t(AB) =
3 −7 −10 −2 0−2 4 1 (tA)(tB) =
0 1 2−3 2 62 1 0
Énoncé de l’exercice n°17.Énoncé de l’exercice n°17.
Correction 18 Soit
xyz
un vecteur vérifiant A ·U = O3. 1 2 −3 02 5 −1 0
5 12 −5 0
. 1 2 −3 00 1 5 00 2 10 0
. 1 2 −3 00 1 5 00 0 0 0
.
22 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
En remontant le système on obtient y = −5z et x = 13z, donc
l’ensemble des vecteurs tels queA ·U = O3 est
{z
13−51
|z ∈R}.Énoncé de l’exercice n°18.Énoncé de l’exercice n°18.
Correction 19
A2 =
0 0 1 −20 0 0 10 0 0 00 0 0 0
A3 =
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
A4 = O4∀n > 4,An = O4
Énoncé de l’exercice n°19.Énoncé de l’exercice n°19.
Correction 20
1.
A2 =
3 4 62 5 6−2 −4 −5
2.
A2 =
2 2 31 3 3−1 −2 −2+
1 2 31 2 3−1 −2 −3︸ ︷︷ ︸
B
3. (a) Il suffit de faire le calcul !
(b) Procédons par récurrence sur n > 1. La proposition est
clairement vrai pour n = 1.Supposons qu’elle soit vraie au rang
n.
An+1 = A(An) = A · (A + (n− 1)B) = A2 + (n− 1)AB = A + B + (n−
1)B = A +nB
Ainsi la proposition est héréditaire. D’après le principe de
récurrence, ∀n ∈N∗ on a :An = A + (n− 1)B.
Énoncé de l’exercice n°20.Énoncé de l’exercice n°20.
Correction 21
1.
A2 =
4 4 4−2 −2 −22 2 2
= 2A A3 = 8 8 8−4 −4 −4
4 4 4
= 4AIl semblerait que
An = 2n−1A
23 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
2. Nous procédons par récurrence. La proposition est vraie au
rang 1. Supposons la propositionvraie au rang n.
An+1 = A ·An = A · 2n−1A = 2n−1A2 = 2n−1 · 2A = 2nA
Ainsi la proposition est héréditaire. D’après le principe de
récurrence, pour tout entier n ∈N∗,An = 2n−1A.
Énoncé de l’exercice n°21.Énoncé de l’exercice n°21.
Correction 22
1.
A2 =
α2 2 ·α 1
0 α2 2 ·α0 0 a2
A3 = α
3 3 ·α2 3 ·α0 α3 3 ·α20 0 α3
(a) B =
0 1 00 0 10 0 0
(b) B2 =
0 0 10 0 00 0 0
et ∀k > 3, B=O32. Remarquons que I3 et B commutent, on peut
donc appliquer la formule du binôme de
Newton. Pour n > 3 on a :
An = (αI3 + B)n =
n∑k=0
(n
k
)Bk(αI3)
n−k =2∑
k=0
(n
k
)αn−kBk
An =
αn 0 0
0 αn 00 0 αn
+0 nα
n−1 00 0 nαn−1
0 0 0
+0 0 α
n−2 n(n−1)2
0 0 00 0 0
An =
αn nαn−1 αn−2 n(n−1)2
0 αn nαn−1
0 0 αn
Énoncé de l’exercice n°22.Énoncé de l’exercice n°22.
Correction 23
1.
A2 =
12 · (−a+ 4)
12 · (−a+ 4) a · c+ a+ b
12 · (−b+ 4)
12 · (−b+ 4) b · c+ a+ b
12 · (−c − 2)
12 · (−c − 2) c
2 − 12 · a−12 · b
Clairement pour que A2 soit nulle, il est nécessaire que a = 4,
b = 4 et c = −2. On vérifiefacilement que cette condition est
suffisante.
24 M. Pelini, V. Ledda
-
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2. (a)
P =
1 1 41 1 4−12 −12 −2
C’est la matrice A pour a = 4, b = 4 et c = −2. Donc P2 = O3.(b)
i.
M2 = (I + P) · (I + P) = I + 2P + P2 = I + 2P =
3 2 82 3 8−1 −1 −3
M3 = (I + P) ·M = (I + P) · (I + 2P) = I + 3P + P2 = I + 3P
=
4 3 123 4 12−32
−32 −5
ii.
Mn+1 = M ·Mn = (I + P) · (I +nP) = I +nP + P +nP2 = I + (n+
1)P
(c) On remarque que P et I3 commutent. Puis, on applique la
formule du binôme de Newton.Toutes les puissances de P supérieures
ou égales à 2 étant nulles, on a :
Mn = (I + P)n = I3 +(n
1
)P = I3 +nP
3.
Sn =n∑
k=1
Mk =n∑
k=1
I3 + kP = nI3 +n∑
k=1
kP = nI3 +n(n+ 1)
2P =
n+ n(n+1)2
n(n+1)2 2n(n+ 1)
n(n+1)2
n(n+1)2 +n 2n(n+ 1)
−n(n+1)4 −n(n+1)
4 n−n(n+ 1)
Sn =
n(n+3)
2n(n+1)
2 2n(n+ 1)n(n+1)
2n(n+3)
2 2n(n+ 1)−n(n+1)4 −
n(n+1)4 −n
2
Énoncé de l’exercice n°23.Énoncé de l’exercice n°23.
Correction 24A ·B = A + In⇔ A · (B− In) = In
Donc A est inversible à gauche, donc tout simplement inversible
et A−1 = (B− In).
Énoncé de l’exercice n°24.Énoncé de l’exercice n°24.
Correction 25
1.
A2 =
2 1 11 2 11 1 2
= A + 2I3
25 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
2. Ainsi A · 12(A− I3) = I3, A est inversible et A−1 = 12(A− I3)
=
−12
12
12
12 −
12
12
12 −
12
12
Énoncé de l’exercice n°25.Énoncé de l’exercice n°25.
Correction 26 Si A est inversible alors A−1 ·A = I, donc A est
ligne équivalente à In qui possèden pivots. Supposons que A possède
un élément nul sur sa diagonale. Donc A est échelonnée,on peut
réduire la matrice à l’aide d’opérations élémentaires sur les
lignes. Donc A est ligneéquivalente à une matrice échelonnée
réduite qui possède au plus n− 1 pivots. Cela nous amène àune
contradiction car A est ligne équivalente à une matrice échelonnée
réduite unique.Réciproquement. Soit A une matrice triangulaire
supérieure. Si tous les termes diagonaux sontnon nuls, la matrice
est échelonnée et possède n pivots alors on peut échelonnée et
réduire lamatrice à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes
(Li ← 1ai Li , puis Lj ← Lj − ajiLi pour j > i).La matrice
équivalente sera l’identité.Donc il existe une matrice inversible P
telle que P ·A = In, la matrice A est inversible.
Énoncé de l’exercice n°26.Énoncé de l’exercice n°26.
Correction 27
1. Procédons par récurrence.
An+1 = A ·An = A · (αnA + βnI) = αnA2 + βnA = αn(αA + βI) + βnA
= (αnα+ βn)A +αnβI
Au passage {αn+1 = αnα+ βn
βn+1 = αnβ
avec α1 = 1 et β1 = 1.
2. Supposons que β , 0. Dans ce cas :
A · (A−αI) = βI⇔ A · 1β
(A−αI) = I
La matrice A est donc inversible et A−1 = 1β (A−αI)3. (a)
0 1 1 · · · 11 0 1 · · · 1...
. . ....
1 1 · · · 0 11 1 · · · 1 0
2
=
n− 1 n− 2 n− 2 · · · n− 2n− 2 n− 1 n− 2 · · · n− 2...
. . ....
n− 2 n− 2 · · · n− 1 n− 2n− 2 n− 2 · · · n− 2 n− 1
= (n− 2)A + (n− 1)I
Comme n− 1 , 0, A est inversible et A−1 = 1n−1(A− (n− 2)I)
Énoncé de l’exercice n°27.Énoncé de l’exercice n°27.
Correction 28
A−1 =
−11 2 2−4 0 16 −1 −1
26 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
Remarque 1. Il peut-être intéressant de vérifier à l’aide d’un
logiciel. Par exemple avec XcasXcas.
Énoncé de l’exercice n°28.Énoncé de l’exercice n°28.
Correction 29
1.
P2 =
7 0 20 8 13 1 5
P3 = 7 16 424 −7 10
6 10 11
P3 − 2P2 − 8P = −15 0 00 −15 0
0 0 −15
2. D’après la question précédente P3 − 2P2 − 8P = −15I3. Ainsi P
· −115 (P
2 − 2P − 8I3) = I3 et lamatrice P est inversible.
P−1 =−115
(P2 − 2P− 8I3) =1
15
3 4 −26 −2 1−3 1 7
Énoncé de l’exercice n°29.Énoncé de l’exercice n°29.
Correction 30
1. Il suffit de vérifier que In + N + N2 + ...+ Np est bien
l’inverse de A.
(In −N) · (In + N + N2 + ...+ Np) = In −Np+1 = In
2. A = I3 +
0 1 10 0 10 0 0
N =
0 −1 −10 0 −10 0 0
N2 =0 0 10 0 00 0 0
N3 = O3A−1 = I3 +
0 −1 −10 0 −10 0 0
+0 0 10 0 00 0 0
=1 −1 00 1 −10 0 1
Énoncé de l’exercice n°30.Énoncé de l’exercice n°30.
Correction 31
27 M. Pelini, V. Ledda
http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
Remarque 2. Pour les matrices B et C, il est plus simple de
transposer les matrices et de travaillersur les lignes, en sachant
que rang(tB) = rang(B).
Remarque 3. Il peut-être intéressant de vérifier à l’aide d’un
logiciel. Par exemple avec XcasXcas.
1. rang(A) = 2
2. rang(B) = 3
3. rang(C) = 2
Énoncé de l’exercice n°31.Énoncé de l’exercice n°31.
Correction 32 La matrice est ligne-équivalente à 1 3 0 2 00 0 1
1 00 0 0 0 1
Donc son rang vaut 3.
Énoncé de l’exercice n°32.Énoncé de l’exercice n°32.
Correction 33 Remarquons tout d’abord que la matrice M possède
une ligne de 0, donc son rangest au plus 3. On peut donc exclure la
matrice D. La matrice C a un pivot différent de 1, doncla matrice C
n’est pas échelonnée-réduite. La matrice B a trois pivots égaux à
1, mais dans latroisième colonne, il y a un coefficient non nul au
dessus du pivot, donc la matrice B n’est
paséchelonnée-réduite.Seule la matrice A est potentiellement la
matrice échelonnée réduite ligne-équivalente à M.
Énoncé de l’exercice n°33.Énoncé de l’exercice n°33.
Correction 34 La matrice est ligne équivalente à1 1 0 00 0 1 00
0 0 10 0 0 0
Donc son rang vaut 3.
28 M. Pelini, V. Ledda
http://www.xcasenligne.fr/giac_online/demoGiacPhp.php
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
Énoncé de l’exercice n°34.Énoncé de l’exercice n°34.
Correction 35
S = {(1;2;3)}
Vous pouvez utiliser l’outil solveuse linéairesolveuse linéaire
sur un serveur wims pour vérifier votre réponse.
Énoncé de l’exercice n°35.Énoncé de l’exercice n°35.
Correction 36 Soit e, t, c les nombres respectifs d’employés, de
techniciens et de cadres de l’entre-prise.
e+ t + c = 60
1500e+ 2600t + 4200c = 1140001500× 1,064e+ 2600× 1,045t + 4200×
1,045 = 114000× 1,056 1 1 1 6015 26 42 1140
1596 2717 4389 120384
1 1 1 600 11 27 2400 0 456 1824
En remontant le système, on obtient : c = 4, t = 12 et e =
44.Dans l’entreprise, il y a donc 44 employés, 12 techniciens et 4
cadres.
Énoncé de l’exercice n°36.Énoncé de l’exercice n°36.
Correction 37 On note a, b et c les effectifs de chaque service
avant la restructuration. L’énoncépeut se traduire par :
a+ b+ c = 15000,05a− 0,1b = −150,15a+ 0,1b = 159
a+ b+ c = 15000,05a− 0,1b = −15
0,2a = 144⇔
a+ b+ c = 1500
0,05a− 0,1b = −15a = 720
⇔
a+ b+ c = 1500
b =−15− 0,05× 720
−0,1= 510
a = 720c = 1500− 720− 510 = 270
b = 510a = 720
Donc, avant la restructuration, les effectifs étaient
respectivement de 720, 510 et 270 personnes.
Énoncé de l’exercice n°37.Énoncé de l’exercice n°37.
29 M. Pelini, V. Ledda
http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?lang=fr&+module=tool%2Flinear%2Flinsolver.fr
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
Correction 38Il s’agit de modéliser un système économique par un
tableau entrées-sorties. Ce modèle simple aété développé par
l’économiste américain d’origine soviétique Wassily LeontiefWassily
Leontief et a été utilisé àgrande échelle.
E G TE 0,9 -0,5 -0,05G -0,2 1 -0,1T -0,6 -0,05 1
Répondre au problème revient à résoudre le système suivant :0,9
-0,5 -0,05 1,5-0,2 1 -0,1 1-0,6 -0,05 1 0,5
ou encore9 -5 -0,5 15-2 10 -1 10-6 -0,5 10 5
Après résolution, on peut conclure que pour atteindre ses
objectifs le complexe doit produire pour2,78 millions d’euro
d’électricité (409/147), pour 1,78 millions d’euro de gaz (262/147)
et pour
2,25 millions d’euro de transport (332/147).
Le paradoxe de LeontiefLe paradoxe de Leontief, Les tableaux
entrées-sortiesLes tableaux entrées-sorties
Pour aller plus loin
Énoncé de l’exercice n°38.Énoncé de l’exercice n°38.
Correction 39
Méthode n°1 a 1 1 11 a 1 a1 1 a a2
1 a 1 a0 −a+ 1 a− 1 a · (a− 1)0 0 (−a+ 1) · (a+ 2) (−a+ 1)(a+
1)2
Cas a=1 La matrice augmentée devient : 1 1 1 10 0 0 0
0 0 0 0
Donc le système est compatible et x+ y + z = 1, l’ensemble des
solutions est :
S = {(1− y − z;y;z)|(x;y) ∈R2}
30 M. Pelini, V. Ledda
http://fr.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontiefhttp://www.alternatives-economiques.fr/le-paradoxe-de-leontief_fr_art_1199_64110.htmlhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_entr%C3%A9e-sortie
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
Cas a=-2 La matrice augmentée devient : 1 −2 1 −20 3 −3 60 0 0
3
Le système est incompatible et n’a pas de solution.
Cas a < {1;−2} Le système admet une unique solution et en
remontant le système, on obtient :
z =(−a+ 1)(a+ 1)2
(−a+ 1) · (a+ 2)=
(a+ 1)2
a+ 2
y = −a+ z = −a+ (a+ 1)2
a+ 2=
1a+ 2
x = a− z − ay = a− (a+ 1)2
a+ 2− aa+ 2
= −a+ 1a+ 2
S = {(−a+ 1a+ 2
;1
a+ 2;(a+ 1)2
a+ 2)}
Méthode n°2
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 11 a 11 1 a
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 1− a2 1− a1 a 10 1− a a− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣1− a2 1− a1− a a− 1
∣∣∣∣∣ = −(1− a)2 ∣∣∣∣∣1 + a 11 −1∣∣∣∣∣
Ainsi det(A) = −(1− a)2(−1− a− 1) = (1− a)2(a+ 2), le
déterminant s’annule pour a = 1 ou a = −2.Les cas a = 1 et a = −2
se traitent de la même manière que précédemment. Lorsque a <
{1;−2}, onpeut calculer l’inverse à l’aide de la comatrice.
Com(A) =
a2 − 1 1− a 1− a
1− a a2 − 1 1− a1− a 1− a a2 − 1
A−1 =
1(1− a)2(a+ 2)
a2 − 1 1− a 1− a
1− a a2 − 1 1− a1− a 1− a a2 − 1
X = A−1 ·
1aa2
=
−a−1a+2
1a+2
a2+2·a+1a+2
S = {(−a+ 1
a+ 2;
1a+ 2
;(a+ 1)2
a+ 2)}
Énoncé de l’exercice n°39.Énoncé de l’exercice n°39.
Correction 40
31 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
1. S = {(−1;0;4)}.2. 0 1 3 1 11 2 1 1 2
0 1 −4 0 0
L2↔ L1
L3← L1 − L3
1 2 1 1 20 1 3 1 10 0 7 1 1
x, y et z sont des variables essentielles et t une variable
libre et
z =17
(1− t) y = 47
(1− t) x = 17
(2t + 5)
S = {(17
(2t + 5);47
(1− t); 17
(1− t)|t ∈R}
Énoncé de l’exercice n°40.Énoncé de l’exercice n°40.
Correction 411. S = {(2;1;−1)}.2. S = {
(−5w2 − 2y +
72 ; y;
w2 +
12 ; w
)|w ∈R}
Énoncé de l’exercice n°41.Énoncé de l’exercice n°41.
Correction 42S = {
(−x3 − 2x4 + 1; −x3 + 1; x3; x4 −1
)|(x3;x4) ∈R2}
Énoncé de l’exercice n°42.Énoncé de l’exercice n°42.
Correction 431. B2 = I3, B est involutive. B−1 = B.
2.
BX =
134
⇔ X = B134
⇔ X =−1−3−4
Énoncé de l’exercice n°43.Énoncé de l’exercice n°43.
Correction 441. xy
z
= −16a− 11b+ 3c7a/2 + 5b/2− c/2−5a/2− 3b/2 + c/2
2. Le système A ·X = Y admet une unique solution, donc A est
inversible, de plus X = A−1 ·Y,
on en déduit :
A−1 =
−16 −11 372 52 −12−52
−32
12
32 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
Énoncé de l’exercice n°44.Énoncé de l’exercice n°44.
Correction 45 Les matrices sont triangulaires supérieurs et les
éléments diagonaux sont tous nonnuls. Donc les matrices sont
inversibles.
1.
A−1 =
1 −a a · c − b0 1 −c0 0 1
2.
A−1 =
1 a a2 a3
0 1 a a2
0 0 1 a0 0 0 1
Énoncé de l’exercice n°45.Énoncé de l’exercice n°45.
Correction 46 det(I3) = 1, det(M1) = −1 (échange de deux
lignes), det(M2) = 2, det(2I3) = 8,det(N1) = 0 (colonne nulle),
det(N2) = 0 (deux colonnes identiques) et det(N3) = 0 (C3 =
2C1).
Énoncé de l’exercice n°46.Énoncé de l’exercice n°46.
Correction 47
1. D’après le cours det(M1M2) = det(M1)det(M2)
2. det(M1 + M2) = −9, det(M1) + det(M2) = −5
Énoncé de l’exercice n°47.Énoncé de l’exercice n°47.
Correction 48
1. det(A) = −142. det(B) = 9
Énoncé de l’exercice n°48.Énoncé de l’exercice n°48.
Correction 49 det(A) = 76 , det(B) = −10 et det(C) = 0
Énoncé de l’exercice n°49.Énoncé de l’exercice n°49.
Correction 50∆1 = −8 ∆2 = abcd ∆3 = a(b − a)(c − b)(d − c)
Énoncé de l’exercice n°50.Énoncé de l’exercice n°50.
Correction 51
1.
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 + a 3 + a 3 + a 3 + a
1 a 1 11 1 a 11 1 1 a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3 + a)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3 + a)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 01 a− 1 0 01 0 a− 1 01 0 0
a− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Donc det(A) = (a+ 3)(a− 1)3.
33 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
2. La matrice A est inversible si et seulement si a <
{1;−3}.
Énoncé de l’exercice n°51.Énoncé de l’exercice n°51.
Correction 52
1. det(M) = 2, vous pouvez vérifier vos calculs à l’aide
d’XcasXcas.
2. Le déterminant étant non nul, la matrice M est
inversible.
3. M2 =
−2 3 −3−9 10 −9−3 3 −2
M2 − 3M + 2I3 = O3, donc 3M −M2 = 2I3 et M · (12(3I3 −M)) = I3,
donc
M−1 =12
(3I3 −M) =
32−12
12
32−12
32
12−12
32
Énoncé de l’exercice n°52.Énoncé de l’exercice n°52.
Correction 53
1. det(A) = det(tA) = det(−A) = (−1)ndet(A) = −det(A) car n est
impair. Donc det(A) = 0.2. À faire...
3. Non. Par exemple si B =(
0 1−1 0
)alors tB = −B et det(B) = 1 , 0.
Énoncé de l’exercice n°53.Énoncé de l’exercice n°53.
Correction 54
1. det(A) = −4λ+ 15. La matrice A est inversible si et seulement
si det(A) , 0, i.e. λ , 154 .2. (a)
A2 =
1 0 −λ+ 40 1 4 ·λ− 163 ·λ− 12 −3 ·λ+ 12 λ2 − 15
(b) On vérifie rapidement que A2 = I3 si et seulement si λ = 4.
On peut en déduire que
lorsque λ = 4, A−1 = A.
34 M. Pelini, V. Ledda
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
3. En utilisant par exemple la formule donnant l’inverse de A à
partir de la comatrice, onobtient :
A−1 =1
4λ− 15
3 ·λ− 12 λ− 3 −14 ·λ− 12 −3 43 −3 4
On vérifie bien que lorsque λ = 4, A−1 = A.
Énoncé de l’exercice n°54.Énoncé de l’exercice n°54.
Correction 55
A−1 =1
13
(5 −13 2
)B−1 =
1ac
(c −b0 a
)pour ac , 0
Les matrices C et D ne sont pas inversibles. (C : L3 = 2L2. D :
matrice triangulaire supérieure avecun 0 sur la diagonale)
Énoncé de l’exercice n°55.Énoncé de l’exercice n°55.
Correction 561.
S =
1 1 1−m1 +m −1 22 −m 3
det(S) = m(m− 2)(m+ 2)2. S = {(43 ;
−13 ;−1)}
3. S = {(−3x2 ;x2 ;x)|x ∈R}
Énoncé de l’exercice n°56.Énoncé de l’exercice n°56.
Correction 571. ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 m1 m −11 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1−m2Le système est de Cramer si et seulement si m
< {−1;1}.
2. Lorsque le système est de Cramer, il admet une unique
solution :(2·m
(m+1) 0(m−1)(m+1)
)3. (a) Cas m = 1 1 1 1 11 1 −1 1
1 1 −1 1
1 1 1 10 0 −2 00 0 0 0
Le système admet une infinité de solution, les variables x et z
sont essentielles etl’ensemble des solutions est
{(1− y,y,0)|y ∈R}
35 M. Pelini, V. Ledda
-
Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
(b) Cas m = −1 1 1 −1 −11 −1 −1 11 1 −1 1
1 1 −1 −10 −2 0 20 0 0 2
Le système n’admet aucune solution.
Énoncé de l’exercice n°57.Énoncé de l’exercice n°57.
Correction 58 σA = {2;6} et v2 =(−21
), v6 =
(21
)σB = {7;−2} et v7 =
(11
), v−2 =
(−54
)σC = {2;1} et v2 =
2−10
, v1 = −11
0
, v′1 = 00−1
,Énoncé de l’exercice n°58.Énoncé de l’exercice n°58.
Correction 59
1. PA = (X − 3) · (X + 1), v3 =(
11
)et v−1 =
(−11
).
On pose P =(
1 −11 1
). (
3 00 −1
)= P−1 ·
(1 22 1
)· P
2. PB = (X − 1)2. Cherchons les vecteurs propres associés à la
valeur propre 1 : résolvons lesystème BX = X. (
−6 9 0−4 6 0
) (−2 3 00 0 0
)E1 = {
(32
)t | t ∈R}
Le nombre de vecteurs propres associés à 1 est strictement
inférieur à l’ordre de multiplicitéde 1 dans le polynôme
caractéristique, donc la matrice B n’est pas diagonalisable.
3. PC = (X − 7)(X − 3)2. Cherchons les vecteurs propres associés
à la valeur propre 3 : résolvonsle système CX = 3X. 0 0 0 0−4 0 4
0−4 0 3 0
⇔ 1 0 −1 00 0 0 0
0 0 0 0
⇔ z = x⇔ xyz
= x 10
1
+ y 01
0
Donc
36 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
E3 = {x
101
+ y 01
0
| (x;y) ∈R2}Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur
propre 7 : résolvons le système CX = 7X. −4 0 0 0−4 −4 4 0−4 0 0
0
⇔ 1 0 0 00 1 −1 0
0 0 0 0
⇔ z = y et x = 0⇔ xyz
= y 01
1
E7 = {y
011
|y ∈R}La matrice C est diagonalisable et 7 0 00 3 0
0 0 3
=0 1 01 0 11 1 0
−1
·C ·
0 1 01 0 11 1 0
Énoncé de l’exercice n°59.Énoncé de l’exercice n°59.
Correction 60
1. ∣∣∣∣∣2a+ 3− x −2(a+ 1)a+ 1 −a− x∣∣∣∣∣ = x2 − (3 + a)x+ 2 + a
= (x − 1)(x − (a+ 2))
Les valeurs propres de A sont 1 et a+ 2.
2. (a) Dans ce cas A est une matrice deM2 qui possède 2 valeurs
propres distinctes, donc Aest diagonalisable.
(b) i. Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur
propre 1.
(2a+ 2 −2(a+ 1) 0a+ 1 −a− 1 0
)⇔
(a+ 1 −a− 1 0
0 0 0
)⇔
(1 −1 00 0 0
)⇔ x = y car a , −1
E1 = {x(
11
)|x ∈R}
ii. Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre
a+ 2.(a+ 1 −2(a+ 1) 0a+ 1 −2a− 2 0
)⇔
(a+ 1 −2(a+ 1) 0
0 0 0
)⇔
(1 −2 00 0 0
)⇔ x = 2y car a , −1
Ea+2 = {y(
21
)|y ∈R}
Ainsi
S =(2 11 1
)
37 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
3. Cas où a = −1, dans ce cas la matrice ne possède qu’une
valeur propre : 1. Et A = I2 ; lamatrice est une matrice
diagonale.
Énoncé de l’exercice n°60.Énoncé de l’exercice n°60.
Correction 61
1. Facile ! !
2. PA = X · (X − 1) · (X + 1), A a trois valeurs propres
distinctes, donc A est diagonalisable.
E0 = {
1−10
x |x ∈R}, E1 = { 01−1
x |x ∈R} et E−1 = { −11
1
x |x ∈R}.3.
S =
1 0 −1−1 1 10 −1 1
4.
S−1 =
2 1 11 1 01 1 1
et
B′ = S−1 ·B · S =
1 0 00 −1 00 0 0
Énoncé de l’exercice n°61.Énoncé de l’exercice n°61.
Correction 62
1.
det(A−XI3) =
∣∣∣∣∣∣∣∣−X 3 2−2 5−X 22 −3 −X
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣−X 3 2−2 5−X 20 2−X 2−X
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−X)∣∣∣∣∣∣∣∣−X 3 2−2 5−X 20 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−X)∣∣∣∣∣∣∣∣−X 1 2−2 3−X 20 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣Ainsi
P(X) = (2−X)(−X(3−X) + 2) = (2−X)(X2 − 3X + 2) = (2−X)(X − 1)(X
− 2) = (2−X)2 (1−X) .
Le déterminant de A vaut P(0) = 4.
2. (a) La matrice possède deux valeurs propres : 1 et 2.
E1 ={ 11−1
x |x ∈R}
E2 ={ 10
1
x+ 02−3
y | (x;y) ∈R2}
38 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
(b) 2 0 00 2 00 0 1
= 1 0 10 2 1
1 −3 −1
−1
·
0 3 2−2 5 22 −3 0
· 1 0 10 2 1
1 −3 −1
(c)
An =
1 0 10 2 11 −3 −1
· 2
n 0 00 2n 00 0 1
· 1 0 10 2 1
1 −3 −1
−1
Si l’on mène les calculs à leurs termes :
An =
−2n + 2 3 · 2n − 3 2n+1 − 2
−2n+1 + 2 2n+2 − 3 2n+1 − 22 · 2n − 2 −3 · 2n + 3 −2n + 2
Énoncé de l’exercice n°62.Énoncé de l’exercice n°62.
Correction 63
1. (a)
det(A−λI3) =
∣∣∣∣∣∣∣∣3−λ −1 −1−3 1−λ 32 2 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣2−λ −1 −1
0 1−λ 32−λ 2 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−λ)∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −10 1−λ 31 2 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣det(A−λI3) = (2−λ)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −10 1−λ 30 3 1−λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (2−λ)∣∣∣∣∣1−λ 33 1−λ
∣∣∣∣∣ = (2−λ)((1−λ)2 − 9)det(A−λI3) = (2−λ)(−2−λ)(4−λ) = (λ+
2)(λ− 4)(2−λ)
(b) A possède 3 valeurs propres 2 à 2 distinctes donc A est
diagonalisable.La matrice S est composée de 3 vecteurs propres
associés à chaque valeur propre.On obtient (cf. exercice (6262))
:
S =
1 −1 0−1 0 10 −1 −1
D = 4 0 00 2 0
0 0 −2
2. A = S ·D · S−1 et en itérant on obtient : An = S ·Dn ·
S−1.
Calculons S−1, det(S) = 2 et en utilisant la formule qui donne
l’inverse en fonction de lacomatrice on obtient :
S−1 =
12
−12
−12
−12
−12
−12
12
12
−12
= 12 1 −1 −1−1 −1 −1
1 1 −1
En effectuant le produit S ·Dn · S−1, on obtient le résultat
annoncé.
39 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
3. D est inversible car c’est une matrice diagonale dont tous
les éléments sont non nuls.
D−1 =
14 0 00 12 00 0 −12
4.
A · (S ·D−1 · S−1 = S ·D · S−1 · S ·D−1 · S−1 = I3Donc A est
inversible et A−1 = S ·D−1 · S−1
5. En effectuant le produit, on obtient :
A−1 =
38
18
18
−38
−18
38
12
12 0
= 18 3 1 1−3 −1 3
4 4 0
Énoncé de l’exercice n°63.Énoncé de l’exercice n°63.
Correction 64
1. PA = (X − 2)(X − 1)2, A a deux valeurs propres 1 et 2.
E1 ={ 10
1
x |x ∈R} et E2 = { 11
0
x |x ∈R}.2. La matrice A n’est pas diagonalisable car le nombre
de vecteurs propres indépendants associés
à la valeur propre 1 est strictement inférieur à l’ordre de
multiplicité de 1 dans le polynômecaractéristique PA.
3. (a)
P−1 =12
1 1 −11 −1 1−1 1 1
(b)
T =
2 0 00 1 10 0 1
Tn =
2n 0 0
0 1 n0 0 1
4.
An =12
−n+ 2n + 1 n+ 2n − 1 n− 2n + 1
2n − 1 2n + 1 −2n + 1−n n n+ 2
Énoncé de l’exercice n°64.Énoncé de l’exercice n°64.
Correction 65 Exercice très similaire à l’exercice (6262).
1. χA(X) = −(X − 1)(X + 2)(X + 5), σA = {1;−2;−5}.
40 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
2. A possède 3 valeurs propres distinctes 2 à 2 donc A est
diagonalisable.
D = P−1 ·A · P avec :
D =
1 0 00 −2 00 0 −5
et P = 2 1 0−1 −1 0
0 1 1
3. An = P ·Dn · P−1
P−1 =
1 1 0−1 −2 01 2 1
Dn =
1 0 00 (−2)n 00 0 (−5)n
An =
2− (−1)n · 2n 2− (−1)n · 2n · 2 0
−1 + (−1)n · 2n −1 + (−1)n · 2n · 2 0− (−1)n · 2n + (−1)n · 5n −
(−1)n · 2n · 2 + (−1)n · 5n · 2 (−1)n · 5n
Énoncé de l’exercice n°65.Énoncé de l’exercice n°65.
Correction 66
1. (a)
(b)
P−1 =1
3a+ 2
2 · a 2 1−a− 2 2 1−a2 −a a+ 1
2. (a) PA[X] = −X3 + X = −(X + 1)(X − 1)X. A est diagonalisable
et pour a = −1 la matrice P estune matrice de passage qui
«diagonalise» A.
(b)
An =
2 −2 −1− (−1)n + 2 (−1)n − 2 −1(−1)n · 2− 2 − (−1)n · 2 + 2
1
3. (a) PB[X] = −X(X − 1)2 et dim(E0) = 1 mais dim(E1) = 1 <
2, donc B n’est pas diagonalisable.
(b)
(c)
T5 =
0 0 00 1 50 0 1
B5 = −6 7 1−7 8 1
2 −2 0
Énoncé de l’exercice n°66.Énoncé de l’exercice n°66.
Correction 67
41 M. Pelini, V. Ledda
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Techniques Mathématiques de l’Économiste Calcul Matriciel
1. (a) 2 0 00 1 00 0 1
= 1 1 0−1 0 1
1 1 1
−1
·A ·
1 1 0−1 0 11 1 1
(b)
(c)
An =
−2n + 2 −2n + 1 2n − 1
2n − 1 2n −2n + 1−2n + 1 −2n + 1 2n
2. Posons Xn =
unvnwn
, d’après l’énoncé Xn+1 = A · Xn. En itérant cette formule on
obtientfacilement :
Xn = An ·X0
D’après la question précédente :
Xn =
−2n + 2 −2n + 1 2n − 1
2n − 1 2n −2n + 1−2n + 1 −2n + 1 2n
·111
= −2
n + 22n
−2n + 2
Ainsi pour tout n > 0, un = −2n + 2, vn = 2n et wn = −2n +
2.
Énoncé de l’exercice n°67.Énoncé de l’exercice n°67.
42 M. Pelini, V. Ledda
Les matricesOpérations sur les matricesRéduction de
Gauss-JordanMatrice inversibleCalcul du rang d'une matrice
Systèmes linéairessystème nnsystème nmApplication au calcul de
l'inverse d'une matrice
DéterminantDiagonalisation