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Revista digital
Matemtica, Educacin e
Internet(http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).
Vol 15, No 1. Agosto Febrero 2015. ISSN 1659 -0643
Creacin de problemas: un mtodo alternativo paraintroducir y
reafirmar el concepto de grupo
Lorena Salazar [email protected]
Escuela de MatemticaUniversidad de Costa Rica
Universidad Nacional de Costa Rica
Recibido: 21 Abril, 2014 Aceptado: 12 Julio, 2014
Resumen. En este documento se presenta el diseo de una secuencia
de tareas basadas en creacin deproblemas y uso de material
concreto, para introducir el concepto de grupo como estructura
algebraicaen un curso de lgebra abstracta del plan de estudios de
Enseanza de la Matemtica de la Universidadde Costa Rica. Se
muestran algunas evidencias que indican que con esto se logra, no
solo reafirmar losconocimientos matemticos, sino tambin que los
futuros docentes desarrollen la habilidad de formularproblemas que
respondan a un objetivo especfico y a su vez reflexionen sobre la
actividad matemtica.
Palabras clave: Diseo de tareas, creacin de problemas, educacin
matemtica, estructuras algebraicas.
Abstract. This paper describes the design of a task sequence
based on creating problems and use ofconcrete material in order to
introduce the concept of group as an algebraic structure, in a
course ofabstract algebra from the curriculum of Mathematics
Education at the University of Costa Rica. Someevidence indicates
that this achives, not only to reaffirm the mathematical knowledge,
but also thatfuture teachers develop the ability to formulate
problems that meet a specific target and reflect on themathematical
activity.
KeyWords: Task design, posing problems, mathematics education,
algebraic structures.
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1.1 Introduccin
El origen de esta investigacin est relacionado con varios
aspectos que me llevaron a reflexionar sobrela necesidad de
realizar algunas innovaciones en los cursos tradicionales de
matemtica formal de lacarrera de Enseanza de la matemtica, tanto en
la Universidad Nacional de Costa Rica (UNA) comoen la Universidad
de Costa Rica (UCR), donde imparto cursos de matemtica:
La imparticin en la UNA de un mdulo sobre resolucin de problemas
a futuros profesoresde matemticas de secundaria, en el que se
discutieron artculos de educadores matemticos(Ellerton, Malaspina,
Van Harpen, Presmeg), los cuales coinciden en que el crear
problemas,fomenta el anlisis del enunciado y repercute sobre el
conocimiento del contenido matemtico.
Las conclusiones de una comisin curricular de la UCR, en la que
particip, cuyo objetivo fue eldiseo de un plan de estudios para una
nueva carrera en Educacin Matemtica, en la que sehicieron
reflexiones sobre el contenido matemtico, su abordaje y
metodologa.
Las bajas promociones y alta repitencia en los cursos de
estructuras algebraicas, a lo largo de miexperiencia docente.
Errores conceptuales en las pruebas escritas por los
estudiantes, que indican carencia de unaadecuada asimilacin del
concepto de grupo como estructura algebraica.
Es por esto que en este trabajo se propone desarrollar el
concepto de grupo como estructura algebraicabase, usando como y
como estrategia el planteamiento de problemas y uso de material
concreto, perono se queda ah, sino que se propone que el futuro
profesor reflexione sobre estos conceptos y suenseanza.
Especficamente, se plantea el siguiente objetivo:
Objetivo
Disear e implementar una secuencia de tareas que permita
consolidar el concepto degrupo, como base para las siguientes
estructuras algebraicas: anillos y campos, as como suspropiedades
fundamentales, mediante uso de material concreto, el planteamiento
de problemas,y a su vez, que los futuros docentes, reflexionen
sobre la actividad matemtica.
La estructura del artculo es la siguiente, despus de planter el
objetivo de la investigacin, a con-tinuacin se hace una revisin de
la literatura que se ha tenido en cuenta como referentes
tericos.Despus se explica la metodologa que se ha seguido para
pasar, a continuacin, a la descripcin de laexperiencia realizada.
El artculo termina con unas consideraciones finales.
1.2 Nociones tericas
A continuacin se hacen referencias a algunos elementos tericos
que fundamentaron esta investi-gacin, a saber creacin de problemas,
constructivismo con uso de material concreto y diseo detareas.
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1.2.1 Creacin de problemasEn la ltima dcada, las investigaciones
en educacin matemtica centran su atencin no solo a laresolucin de
problemas, sino tambin al planteamiento de problemas. Por ejemplo
Malaspina (2013),afirma que la creacin de problemas est
estrechamente ligada a la resolucin de problemas y con-tribuye al
desarrollo del pensamiento matemtico al brindar oportunidades, a
alumnos y profesores,para examinar generalizaciones e iniciarse en
la investigacin y en el hacer matemticas. Sin embargo,el hacer
matemticas, aunque es una competencia importante y necesaria en un
futuro profesor dematemtica, no es suficiente, tambin debe tener
competencia en el anlisis de la actividad matemtica,Rubio
(2012).
Es importante que los profesores desarrollen competencia en la
creacin de problemas, al menos enla variacin de un problema dado,
con el fin de adaptarlo a un objetivo especfico. Malaspina
(2013),por ejemplo, afirma que el planteamiento de problemas es una
estrategia que estimula la capacidad decrear y resolver problemas,
lleva a reflexiones didcticas y matemticas que favorecen el
aprendizaje,posibilita encontrar mayores potencialidades que las
que se pensaron al crear un problema, muestra laimportancia de la
redaccin de un enunciado y dado que posibilita generalizaciones,
lleva a ampliar elhorizonte matemtico inicial. Sin embargo, hay
investigaciones que muestran que los problemas quecrean los
profesores tienen serias limitaciones, Por ejemplo, Singer y Voica
(2013) reportan una investi-gacin con profesores sobre creacin de
problemas en la que los resultados mostraron porcentajes muybajos
en cuanto a aspectos como claridad, coherencia y originalidad.
En nuestro contexto nacional, que el profesor sea capaz de crear
problemas, es fundamental en su fu-turo profesional, pues los
libros de texto usados en secundaria, contienen problemas que
usualmenteno estan contextualizados a las realidades de los
alumnos. Por otro lado, los programas del Ministeriode Educacin
Pblica (MEP 2012), estan fundamentados en la resolucin de
problemas. Esto hace queen la formacin inicial de los profesores de
matemtica, se incluyan tareas que den al futuro docnete,formacin al
respecto.
1.2.2 El constructivismoEl constructivismo, donde el individuo
es responsable de su propio conocimiento, es aplicable a
lasmatemticas en todos sus niveles. La experiencia de esta
investigacin se centra en el mbito universi-tario, con un doble
propsito: que el estudiante aprenda el concepto matemtico
involucrado, pero queadems la actividad le resulte un foco de
reflexin para su futura actividad profesional, como docentede
secundaria. Segn Kilpatrick, Gmez y Rico (1995), mencionado por
Castillo (2008), refirindose acomo se construye el conocimiento
matemtico, sealan que:
El conocimiento matemtico es construido, al menos en parte, a
travs de un proceso de abstrac-cin reflexiva.
Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de
construccin.
Las estructuras cognitivas estn en desarrollo continuo.
La actividad con propsito induce la transformacin de las
estructuras existentes.
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Segn Castillo (2008), el individuo que aprende matemticas desde
un punto de vista constructivistadebe construir los conceptos a
travs de la interaccin que tiene con los objetos y con otros
sujetos. Talparece que para que el alumno pueda construir su
conocimiento y llevar a cabo la interaccin activacon los objetos
matemticos es preciso que dichos objetos se presenten inmersos en
un problema, noen un ejercicio. Con base en estos investigadores,
la actividad reportada en este documento, presenta la aplicacin
dediferentes tareas diseadas con el objetivo de que el estudiante,
asimile el concepto de grupo: creandogrupos, primero en los
conjuntos numricos, y luego en conjuntos no tan familiares a ellos,
mediantemanipulacin de material concreto.
1.2.3 Diseo y secuencia de tareasMuchos investigadores en
educacin matemtica (Sullivan, Clarke y Clarke, 2013), han
manifestadointers en el diseo de tareas que respondan a un objetivo
especfico. En el 2013 se desarroll un ICMIStudy especfico sobre
este tema (Margolinas, 2013), con el fin de contestar preguntas
relacionadas acomo disear una secuencia de tareas pertinentes.
En una clase convencional de estructuras algebraicas, usualmente
el docente se limita a exponer, me-diante clases magistrales y a un
ritmo acelerado, la definicin de grupo, seguido inmediatamente
deejemplos, teoremas y resultados sobre sus principales
propiedades, para proseguir con ejercicios prop-uestos. Despus de
seguir esta metodologa en repetidas ocasiones, se fue haciendo ms
evidente queen realidad el concepto de grupo, que es la base del
resto de las estructuras algebraicas, en muchoscasos, no estaba
claro en los estudiantes. Lograr la comprensin y la articulacin de
las diferentesestructuras algebraicas, requieren un mayor esfuerzo
por parte de los estudiantes, pero tambin serequiere un mayor
esfuerzo por parte del docente, pues debe romper con el esquema de
enseanzatradicional, donde usualmente l es un transmisor de
conocimientos y el estudiante es un receptorpasivo, que se supone
debe asimilar los conceptos de esta manera. Debe pasar de ser un
simple emisor,a ser un creador y organizador de una secuencia de
tareas con un fin especfico.
Lamentablemente, no es habitual que los docentes del rea de
matemtica formal, diseen secuenciasde tareas con el objetivo de
facilitar la comprensin de los objetos matemticos en general y la
articu-lacin coherente de los componentes involucrados. Tampoco es
habitual disear tareas que desarrollencompetencias de reflexin
sobre la matemtica en los futuros docentes de secundaria. Por
ejemplo,Rico (2004) expone diez competencias especficas,
consensuadas por formadores de profesores e inves-tigadores en
educacin matemtica, que participaron de un seminario celebrado en
Granada, Espaa,dedicado al anlisis y diseo de las competencias que
debe tener un profesor de matemtica de secun-daria. Entre ellas
destacan algunas relacionadas a esta investigacin:
Reconocer los tipos de razonamiento de los estudiantes.
Proponer tareas que los orienten.
Diagnosticar sus errores, y proponer los correspondientes
procesos de intervencin.
Seleccionar y secuenciar actividades para el aprendizaje
escolar.
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Analizar los diversos problemas que surgen en situaciones de
aprendizaje.
Utilizar tcnicas de comunicacin para dotar de significado los
conceptos matemticos.
Conocer recursos y materiales (computacionales, audiovisuales,
manuales, bibliogrficos, etc.) yemplearlos adecuadamente en la
enseanza de las matemticas de secundaria.
Otros investigadores, Gimnez, Font & Vanegas (2013),
reflexionan sobre las tareas que permiten eldesarrollo de la
competencia de anlisis didctico en la formacin de futuros
profesores de matemticasde secundaria. En este trabajo se pretende
reflexionar sobre dos de los seis tipos de tareas propuestospor
ellos: anlisis de prcticas, objetos y procesos matemticos y
propuesta de mejora justificada deesas prcticas, refirindose en
este caso a las prcticas, como a las consignas o tareas propuestas
enlas actividades diseadas. Es decir, se pretende que los alumnos
hagan el papel dual: de estudiantesaprendices y de analistas de una
prctica pedaggica. Aspecto importante que debe ser consideradoen la
formacin inicial de estos profesionales.
1.3 Metodologa
La aplicacin de las tareas diseadas, tuvieron lugar a inicios
del I ciclo del 2014, donde el primertema a desarrollar es el
concepto de grupo, en el curso lgebra para la enseanza de la
carrera deEnseanza de la Matemtica de la Universidad de Costa Rica,
la cual forma profesores de matemticapara educacin media. Este
curso est ubicado en el I ciclo del IV ao y tiene una modalidad
presencialcon 5 horas de clases por semana. El mismo introduce los
conceptos bsicos de estructuras algebraicas:grupos, anillos y
campos, sin perder de vista su tratamiento formal, dando pruebas y
definiciones demanera rigurosa.
Participaron 21 estudiantes del curso mencionado anteriormente
(19 estudiantes regulares y dos estu-diantes de sedes regionales),
que en su gran mayora estan llevando el curso por primera vez, lo
cuallo hace ideal para la experiencia y para concluir sobre si las
actividades realizadas, tienen un impactopositivo o no. Cada
estudiante ingresa a un curso con una nota llamada promedio
ponderado, que esel promedio de las notas finales obtenidas en
cursos anteriores, aprobados o no. La grfica 1.1 nos dauna idea del
promedio ponderado de los integrantes regulares del grupo, (no se
tom en cuenta losdos estudiantes de sedes regionales), donde se
realiz la actividad. Se puede ver que la mayora seencuentra entre
un promedio entre 6.0 y 8.0. Cabe aclarar que la nota en la
Universidad de Costa Ricase encuentra entre 0 y 10, siendo 7.0 lo
mnimo para aprobar un curso.
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Figura 1.1: Promedio ponderado de los estudiantes del curso
1.3.1 Tcnicas e instrumentos de recoleccin de datosPara la
recoleccin de datos, se us la observacin no participante y registro
detallado, para lo cualse us un diario donde se fue anotando todo
lo que fue ocurriendo en el aula: percepciones sobre laactitud e
inters de los estudiantes, expresiones verbales de los
participantes, tiempo de ejecucin delas tareas, etc. Se
recolectaron adems, evidencias escritas por los grupos de trabajo
en el desarrollode la actividad realizada. Entre las tareas
asignadas, se les solicit evaluar la actividad, desde la pticadel
futuro docente que ser cada uno de ellos. Para que tuvieran un
argumento slido y capacidadde debate, se les asign realizar una
lectura sobre creacin y planteamiento de problemas, ms unaactividad
donde pudieran plasmar diseo de tareas en un tema especfico de
secundaria. Finalmentese les aplic una prueba escrita, para evaluar
el concepto de grupo. Todos estos elementos, ayudaron aevaluar la
actividad.
1.3.2 Diseo de tareas para la actividadPara la implementacin de
la experiencia, se disearon tres bloques, cada uno de ellos agrupa
variasconsignas o actividades en los que se especifica: intencin de
las consignas, contenidos matemticos,instrucciones para el
estudiante y lo que se espera que el estudiante realice.
Bloque 1
Propsito: Este bloque pretende que los estudiantes asimilen el
concepto de grupocomo estructura algebraica base, mediante reflexin
detallada sobre cadauna de las partes involucradas en su definicin.
Se pide asmismo, lacreacin de grupos en conjuntos familiares a
ellos.
Contenidos: Conceptos de operacin binaria, grupo, neutro e
inversos.
Resultado esperado: Se espera que el estudiante refuerce,
mediante creacin de grupos, losconceptos de cerradura,
asociatividad, elemento neutro, unicidad, los in-versos, etc.
Tiempo: 1.5 horas.
Consignas: 0 a 2
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Bloque 2
Propsito: Este bloque pretende que los estudiantes implementen
tablas de gruposde simetras de polgonos regulares, mediante
manipulacin de materialconcreto, para simular rotaciones y simetras
de las figuras.
Contenidos: Concepto de grupo, concepto del neutro, de los
inversos, movimientosrgidos del plano.
Resultado esperado: Este bloque pretende propiciar que el
estudiante descubra, con base en supropia manipulacin del material,
los grupos de simetras algunos pol-gonos regulares y logren una
generalizacin intuitivamente, a cualquierorden.
Tiempo: 2.5 horas.
Consignas: 3 a 6.
Bloque 3
Propsito: Este bloque pretende que los estudiantes asimilen, con
ms conviccin,la prueba formal, de lo que la intuicin y la
construccin de tablas degrupos, les dej respecto a los grupos de
simetras de cualquier polgonoregular de orden n.
Contenidos: Grupos de simetras, movimentos rgidos del plano,
conceptos de neutro,inversos, composicin de movimientos.
Resultado esperado: Este bloque pretende que los estudiantes
comprendan la prueba formalde los grupos de simetras.
Tiempo: 2.5 horas.
Consignas: 7 a 9.
Bloque 4
Propsito: En este bloque se pretende que el estudiante haga una
valoracin y unanlisis reflexivo de la actividad.
Contenidos: Anlisis didctico, reflexin de la prctica, diseo de
tareas.
Resultado esperado: Se espera que los estudiantes diseen
consignas para responder a un ob-jetivo especfico sobre algn tema
de matemtica de los programas desecundaria.
Tiempo: 4 horas (extra clase)
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Consignas: 10 a 12.
1.4 Descripcin de la experiencia
A continuacin se detallan tanto las consignas o tareas diseadas
para el logro de los objetivos, comoalgunos comentarios resultado
de la aplicacin o implementacin en el aula. Antes de cada
consignase hace un comentario sobre la intencin de la misma y lo
que se espera de ella.
1.4.1 Consignas del bloque 1:Dado que en experiencias anteriores
de enseanza, se ha notado que an en este nivel, tienen prob-lemas
de conexin y aplicacin de la lgica formal, se inici con una
consigna para que reflexionaranentre las diferencias de orden de
los cuantificadores al analizar la veracidad de validez de una
proposi-cin P(x,y). Esta es la idea de la primera consigna, a la
que se le ha numerado con 0, porque podraconsiderarse opcional,
dependiendo si se considera necesario o no.
Consigna 0:Discuta con sus compaeros, cul es la interpretacin de
x y P(x,y)? Cundo es verdaderaesta expresin? Cundo es falsa? Haga
lo mismo con x y P(x,y), x y P(x,y), x y P(x,y).Construya un
ejemplo para mostrar que en general x y P(x,y) y x y P(x,y), tienen
signifi-cados diferentes.
Se introdujo la consigna anterior, dado que algunos estudiantes,
en cursos pasados, confunden hechoscomo que el neutro del grupo es
un elemento nico, y debe neutralizar a todos los elementos
delconjunto, mientras que el inverso es nico para cada elemento del
conjunto.La siguiente consigna, intenta, que en lugar de que el
docente escriba y explique la definicin de grupo,se les de una
ficha con esta, de modo que discutan y asimilen por s mismos, este
concepto antes deproceder a niveles superiores de dificultad.
Consigna 1:Exprese con sus propias palabras qu entiende por cada
uno de los puntos 1, 2 y 3 en ladefinicin de grupo siguiente. Ponga
atencin a los cuantificadores y involucrados en lamisma. Definicin
de Grupo
Un grupo (G,) es un conjunto cualquiera G con una operacin (),
usualmente llamadaoperacin suma, aunque no se relaciona con alguna
suma que usted conozca, tal que:
1) La operacin es cerrada y asociativa2) Existe un elemento e G
tal que g e = g = e g, g G.3) Para cada elemento g G, existe un
elemento g G tal que g g = e = g g
Dada que esta es la primera consigna, y probablemente la primera
vez que los estudiantes reflexionarnsobre una definicin, se dise
una gua de preguntas con la intencin de que los estudiantes
tomen
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conciencia, cada vez que lean una definicin, enunciado de algn
teorema o resultado, de prestaratencin a los detalles y cada una de
las partes involucradas en la misma.
Gua de preguntas para consigna 1:
Qu significa ese par (G,) ? Es la notacin que se va a usar para
denotar un grupo? El conjunto G debe ser de nmeros? de letras? de
funciones? de figuras geomtricas?
podra ser de los integrantes de ste grupo de trabajo?
qu es una operacin? que significa operacin binaria? Es cerrada?
qu significa la propiedad de asociatividad? Entonces la operacin
debe ser cerrada y
asociativa, porqu cerrada?
Qu significa que se satisface g e = g = e g, g G. ? Porqu cree
usted que el ele-mento e recibe el nombre de neutro? satisfice ste
elemento, la propiedad mencionadacon todos los elementos de G? para
cada elemento de G, hay un neutro?
Qu significa que se satisface g g = e = g g. ? Porqu cree usted
que el elementorecibe el nombre de inverso de g? satisfice ste
elemento la propiedad mencionada contodos los elementos de G? para
cada elemento de G, hay un inverso?
Finalmente conteste la pregunta de la consigna 1, qu es entonces
un grupo, en sus propiaspalabras.
Esta consigna llev mucho ms del tiempo estipulado para ello. Sin
embargo, les ayud a la compren-sin de cada uno de los puntos de la
definicin de grupo. Algunos hasta este punto, comprendieronque cada
elemento de un grupo debe tener su propio inverso.
Una vez asimilada la definicin de grupo, la siguiente consigna
pide construir grupos, primero enconjuntos finitos pequeos, y luego
en conjuntos numricos conocidos. Tambin hay inmersa la ideade que
vayan introduciendose en el concepto de isomorfismos de grupos.
Esta es la primera tarea enla que se le pide que cree un grupo,
bajo la modalidad de creacin de problemas.
Consigna 2:
Defina, de ser posible, una operacin en cada uno de los
conjuntos siguientes de modoque se forme un grupo:
a) {bola}, b) {0,1}, c) {1,-1}, d) {a,b}, e) {0,1,-1}, f)
{a,b,c}.
Haga lo mismo con los conjuntos infinitos N,Z,Q,R.
Con el conjunto G = {bola}, tuvieron problemas para definir una
operacin. Algunos dejaron de ladola cerradura, definiendo,
errneamente,
bola + bola = 2bola
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Figura 1.2: Operacin en un grupo unitario
Al indicarles que el elemento 2bola no perteneca al conjunto,
hubo un poco de confusin, pues contes-taron que tena que estar en
el conjunto, precisamente por la cerradura. Esto se aprovech para
haceruna reflexin a nivel de todo el grupo sobre la definicin,
nuevamente. Efectivamente bola + bola debeestar en el conjunto, y
como el nico elemento de G es bola, pues no queda otra alternativa
ms quedefinir
bola + bola = bola
As, tenemos la primera sorpresa! Las cosas en los grupos no
resultan como se espera que ocurrieran.
Se reflexion sobre la importancia de apegarse muy bien a la
definicin y sobre lo que es en generaluna definicin en matemtica, y
no asumir cosas que no se digan explcitamente. Tambin se
reflexionsobre la operacin +, en un grupo la operacin es una idea
abstracta que une dos elementos y da untercero, pero que la
simbologa no debe apegarse a una idea preconcebida, en este caso la
operacin +es solo un smbolo, no se refiere a la suma usual de
conteo en los nmeros naturales.
Se les indic que de ahora en adelante, se usara este smbolo, en
la mayora de los casos, para referirsea la operacin del grupo.
Una vez aclarado esto, se les pidi que ahora pasaran de ser
alumnos a ser profesores, es decir que sevisualizaran como lo que
pronto les tocara enfrentar en su labor profesional. Se les hizo
ver, que noesperaba que la discusin hubiera llegado al punto que
lleg, que esto no era algo que se plane conantelacin. Se les
solicit que analizaran la discusin dada, las respuestas de la
docente, como habaconducido la discusin y sobre como la mejoraran
ellos. Esto dio pie a ms reflexiones y comentariosimportantes desde
el punto de vista formativo, como por ejemplo el de uno de ellos
que expres:profesora ahora veo que uno tiene que estar alerta, pues
no se sabe que estar pasando por la cabezadel muchacho, uno cree
que estn entendiendo, y tal vez no tienen ni idea. Otra muchacha
dijo: uno puede planear una clase muy linda, y no sabe que puede
pasar luego en el aula, lo cual esperfectamente una realidad que
debern enfrentar los profesores.
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Figura 1.3: Creacin de grupos de orden dos
Al continuar con los siguientes conjuntos de la consigna
anterior, uno de los grupos defini una op-eracin para cada uno de
los conjuntos {0,1},{1,1} y {a,b}, como se muestra en la figura
1.3. Observeque en el caso del conjunto {0,1}, despus de intentar
con la suma usual de nmeros enteros, la cualno resulta cerrada
cuando se opera 1 + 1, definen otra operacin como 0 si son iguales
y 1 si sondiferentes. Para el conjunto {1,1} definen la operacin
producto de nmeros enteros, y para {a,b},definen la operacin como a
si son iguales y b si son diferentes, repitiendo el argumento usado
en elconjunto {0,1}.
Al preguntarles si los tres eran grupos diferentes, ellos
contestaron, un poco extraados por la pre-gunta, que claro que eran
diferentes dado que la operacin era diferente y los elementos eran
difer-entes. Se les hizo plantear los grupos creados usando una
tabla, como se muestra en la figura 1.4, paraque se les facilitara
notar la similitud de las mismas, y que si miraban de una forma
diferente, es decirviendo solo la estructura de los grupos, en
realidad los tres eran el mismo grupo.
Esto se hizo con el fin de ir introduciendo el concepto de
isomorfismo. Tambin se les hizo la ob-servacin de que este hecho, s
se haba planeado y anticipado, razn por la cual se haba incluidoen
la consigna anterior. Esto con el fin, de ir logrando la reflexin
sobre la actividad matemtica, eir mostrando un modelo de enseanza,
donde todo debe estar justificado y preparado de antemano.Aunque es
claro que siempre pueden ocurrir, y pasan constantemente, hechos no
previstos por el do-cente.
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Figura 1.4: Tablas de grupos isomorfos de orden dos
LLama la atencin el hecho de que un grupo de estudiantes intent
definir una operacin en N {0},que no resulta ser un grupo, como
puede verse en figura 1.5. Es importante aprovechar algunos
errores,para recalcar aspectos que reafirmen algunos conceptos. De
los errores se puede lograr un aprendizajesignificativo.
Figura 1.5: Una operacin que no hace de N {0} un grupo
1.4.2 Consignas del bloque 2:La siguiente consigna pide que
construyan grupos en conjuntos no comunes a ellos, pero usando
ma-terial concreto y manipulable. La idea es que los estudiantes
logren crear las tablas de los grupos desimetras de polgonos
regulares.
Para ello se les proporcion a cada estudiante alfombras
rompecabezas, como se muestra en la figuraadjunta, numerados del 1
al 9. No se les indic como usar el material dado.
Figura 1.6: Material concreto
A otros grupos se les proporcion, el mismo material pero con
letras seguidas del abecedario, en lugarde nmeros, con el fin de
que solo vieran estructura y caractersticas propias de los
elementos.
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Figura 1.7: Material
Algunos tuvieron un poco de dificultad, pues las instrucciones
se referan a los nmeros 1,2 3 y 4, perose les indic que este
acomodo era parte del ejercicio, pues la idea es ir introducindoles
el conceptode isomorfismos de grupos, de modo que la apariencia de
los elementos no importa.
Consigna 3: Un juego!Se tienen un cuadrado con vrtices numerados
con {1,2,3,4}.
Construya un un grupo (G,) donde la operacin es la composicin de
movimientos simtri-cos con respecto a rectas que mantengan la
figura del cuadrado invariante, y G es el conjuntoformado por los
todos los posibles movimientos. Haga una tabla del grupo creado e
indiquecul es el neutro y los inversos de cada movimiento.
Al principio, los estudiantes muy entusiasmados con el material
concreto, no saban como empezar,poco a poco fueron creando ideas de
como usar el material concreto dado, para generar los movimien-tos
solicitados. Una dificultad que se present en todos los grupos, fue
el poder plasmar por escrito, losmovimientos y su combinacin. Cmo
representar una simetra vertical? En este momento, la
docenteintervino sugierindoles darle nombres sugestivos a cada
movimiento, por lo que les solicit elegir unanotacin adecuada. Por
consenso, el grupo decidi usar la siguiente notacin:
Simetra vertical: con (V), por vertical
Simetra horizontal: con (H), por horizontal
Movimiento diagonal: con (D), por diagonal
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Movimiento nulo: con (I), para indicar que la figura se deja
igual.
Figura 1.8: Movimientos respecto a simetras del cuadrado
Tuvieron un poco de problemas al hacer las primeras
combinaciones, pero poco a poco todos lograronel objetivo. Algo que
llama la atencin es que cada vez que iniciaban una combinacin de
movimien-tos, ponan la figura en su posicin inicial. Aunque la
docente les indicaba que podan realizar elmovimiento desde
cualquier posicin en que se hallaban la numeracin de las
alfombritas, pareca queno comprendan, hasta verificarlo ellos
mismos y anotar en la tabla.
De modo que la combinacin de los movimientos (simetra diagonal)
(simetra horizontal), se repre-sentar como D H, y eso es lo mismo
que V, como puede verse en la figura 1.9.
Figura 1.9: Movimiento D H = V
Una vez superada la dificultad de notacin, los estudiantes
avanzaron muy rpido formando todasla posibles combinaciones de
movimientos ir plasmando en una tabla los resultados. Determinaron
elmovimiento que funciona como identidad, as como los movimientos
inversos de cada uno de ellos.Hicieron algunos casos de la
asociatividad. A continuacin puede apreciarse la tabla 1.10 creada
poruno de los grupos, que refleja los movimientos con respecto a
las simetras indicadas.
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Figura 1.10: Ejemplo de un grupo creado
En esta siguiente consigna, se les solicit hacer una variacin al
problema anterior, con un grado dedificultad mayor, hay ms
movimientos incluidos.
Consigna 4: Una variacin al juego anterior
Ahora incluya, adems de los movimientos vertical y horizontal
del problema anterior, rota-ciones de 90 en sentido contrario a las
manecillas del reloj, y en lugar del movimiento verticalde antes,
seprela en dos simetras con respecto a las diagonales del
cuadrado.Construya una tabla de un grupo (G,) donde la operacin es
la composicin de estosmovimientos y G es el conjunto formado por
los todos los posibles movimientos. Hay ahoramovimientos repetidos?
Identifique cul movimiento funciona como identidad y cules
sonmovimientos inversos. Ser conmutativa la operacin?
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Una vez pasada la consigna dos, esta ya no gener mayor problema
al incluir ahora como nuevosmovimientos las rotaciones y dos
simetras diagonales, en lugar de solo una. Uno de los grupos us
lasiguiente notacin:
D1: que consiste en dejar 1 y 4 fijos e intercambiar 2 y 3,
D2: que consiste en dejar 2 y 3 fijos e intercambiar 1 y 4.
R1: que corresponde a una rotacin de 90.
R2: que corresponde a una rotacin de 180.
R3: que corresponde a una rotacin de 270.
R4: que corresponde a una rotacin de 360.
H: que consiste en cambiar 1 con 3 y 2 con 4.
V: que consiste en cambiar 1 con 2 y 3 con 4.
I: que consiste en dejar todo igual
Figura 1.11: Movimiento D1H = R3
Inmediatamente otro grupo, mejor la notacin al percatarse de que
la rotacin de 360, volva a laposicin inicial, es decir que R4 = I,
de modo que resultaban 8 movimientos en lugar de 9. Otro grupoindic
que para simplicar notacin, se podra usar (R1)2 en lugar de la
rotacin de 180, y as con losdems. Este grupo us la siguiente
notacin:
D1: que consiste en dejar 1 y 4 fijos e intercambiar 2 y 3,
D2: que consiste en dejar 2 y 3 fijos e intercambiar 1 y 4.
R: que corresponde a una rotacin de 90.
R2: que corresponde a una rotacin de 180.
R3: que corresponde a una rotacin de 270.
H: que consiste en cambiar 1 con 3 y 2 con 4.
V: que consiste en cambiar 1 con 2 y 3 con 4.
I: que consiste en dejar todo igual
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Al realizar la composicin de los movimientos y formar la tabla
del grupo, nuevamente al igual que enla consigna anterior, cada vez
que queran ver el resultado, ponan la figura en la posicin
identidad.La docente intervino, impulsndolos a realizar las
combinaciones, desde cualquier posicin en que sehallara la figura,
ms fcilmente, usando la ltima posicin. Los estudiantes dudaron un
poco, puesno se sentan cmodos hacindolo, sin embargo, comprobaron
que los resultados se mantenan.
Otra observacin a recalcar es que dos de los grupos de trabajo,
concluyeron que no resultaba ser ungrupo dado que al realizar la
combinacin D1 H, vea figura 1.11, se obtena la diagonal doble de
laconsigna anterior D, la cual cambiaba a la vez: 1 con 2 y 3 con
4, sin percatarse que esta correspondaal movimiento R270 = R3, lo
que fue aclarado por otro grupo.
Con miras a conocimientos a desarrollar luego, se les solicit
que verificaran que D1 R3 = R D1,como puede verse en figuras 1.12 y
1.13, con la idea de conducirlos al caso general de un
polgonoregular de n lados, a probar luego, que indica que si S es
la simetra que pasa por el vrtice 1, se tieneque
SRk = RkS, para todo k = 1, ,n.
Figura 1.12: Movimiento D1 R3
Figura 1.13: Movimiento R D1
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Figura 1.14: Tabla del grupo diedro D2
Finalmente, todos lograron completar la tabla del grupo, y se
les indic que haban descubierto unode los grupos ms conocidos, el
grupo diedro denotado por D4, por los 4 vrtices del polgono, el
cualtiene 8 elementos. Uno de los grupos present la tabla dada en
la figura 1.14.En esta siguiente consigna, se les solicita hacer
una variacin al problema anterior, con miras a unageneralizacin,
con menos cubos, pero con movimientos similares: simetras y
rotaciones. Se trata delas simetras del tringulo.
Consigna 5: Menos cubos, movimientos similaresTome solamente
tres cubos, numerados del 1 al 3, y posicinelos como si fueran los
vrticesde un tringulo equiltero. Defina movimientos como simetras
con respecto a las alturasimaginarias y rotaciones, de cuntos
grados deberan ser las rotaciones?
Construya una tabla de un grupo (G,) donde la operacin es la
composicin de estosmovimientos y G es el conjunto formado por los
todos los posibles movimientos. Identifique
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cul movimiento funciona como identidad y cules son movimientos
inversos. Ser conmuta-tiva la operacin? De cuntos elementos result
el grupo? Y el anterior?
Los integrantes de los grupos, en forma diferentes, usaron la
creatividad y versatilidad del material,para simular los
movimientos del tringulo. Uno de ellos simul en tringulo equiltero
como muestrala figura 1.15.
Figura 1.15: Representacin de un tringulo
As, la rotacin de 90 y la simetra con respecto a la altura sobre
el vrtice 1, A1 , la representaronrespectivamente, como se muestra
en las figuras 1.16 y 1.17.
Figura 1.16: Rotacin de 90 Figura 1.17: Simetra respecto a
vrtice 1
Sin embargo, cuando empezaron a hacer las composiciones, se les
complic la representacin usadacon el material, cuando los nmeros no
estaban en la posicin inicial desde la identidad. Se
dierondiscusiones sobre si lo que importaba era el orden de los
nmeros que se movan de posicin, o laposicin de los vrtices en los
que los nmeros se iban moviendo. Analizaron los dos casos,
llegandoa la conclusin de que lo que resultaba ser un grupo, era
posicionar los vrtices y a partir de ah de-terminar las
combinaciones de los movimientos. Por ejemplo, al realizar el
movimiento A2R, es decirdespus de una rotacin de 90, hacer una
simetra con respecto al vrtice 2, tuvieron dificultad aldecidir
entre cul de las dos figuras 1.18 1.19, lo representaba.
Figura 1.18: Representacin errnea de A2R Figura 1.19:
Representacin correcta de A2R
Es por esto, que result ms adecuada la representacin planteada
por otro de los grupos, que usel material, de modo que la posicin
quedara establecida desde el inicio, usndolo de la manera que
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muestra la figura 1.20, donde al sacar los nmeros queda la forma
del nmero en su posicin inicial.
Figura 1.20: Rotacin de 90Figura 1.21: Simetra respecto a vrtice
1
En este caso, quedan ms claras las combinaciones de los
movimientos, pues las posiciones de los vr-tices quedan plasmados
con el agujero del nmero faltante. As, el movimiento A2R, se puede
verfcilmente.
Figura 1.22: Rotacin de 90 Figura 1.23: Representacin de A2R
Se adjunta en figura 1.24 la tabla creada por uno de los
grupos.
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Figura 1.24: Tabla del grupo de simetras del tringulo
La siguiente consigna, es para hacer en la casa. Esta involucra
hacer una variacin al problema an-terior, con un nmero mayor de
cubos, con un grado de dificultad mayor, para as as lograr
unageneralizacin. Es decir, la intencin es que construya un grupo
con movimientos similares, pero ahoraen un heptgono.
Consigna 6: Hacia una generalizacinAhora suponga que tiene 7
cubos numerados del 1 al 7. Defina movimientos bsicos de modoque al
combinarlos, obtenga un grupo. De cuntos elementos estar
constituido este grupo, siincluye simetras y rotaciones?
Para este ltimo, se le deja al estudiante que defina las
simetras y rotaciones, tambin es una tareapara la casa. Finalmente
se espera que construya la tabla. La idea es que la siguiente clase
se haga lademostracin formal de los resultados y pueda aplicarlos a
estas dos consignas.
Ya para esta altura, los estudiantes rpidamente concluyeron que
este resultara en un grupo de orden14, y que realizar todos los
movimientos y sus combinaciones, iba a resultar tedioso. De ah la
necesi-dad, surgida de ellos mismos, de buscar formas alternativas
de deducir la tabla de cualquier grupo enque se incluyeran
rotaciones y simetras a un polgono regular de n lados, buscando
algn softwaredinmico.
1.4.3 Consignas del bloque 3:En este bloque, la docente
instituciona las ideas y construcciones de tablas del bloque
anterior, probandoque para cualquier polgono regular de n lados, se
puede formar un grupo, si se toma como operacinla composicin de
rotaciones y simetras. Pero antes de iniciar la prueba del teorema,
se les present lasiguiente definicin, para ir introducindolos en el
lenguaje formal de la prueba.
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Definicin 1.1
Dado un conjunto A del plano, denotaremos por S(A) al conjunto
de todos los movimientosque se le pueden aplicar a A, dejndolo
invariante, es decir que no cambian su forma. Msespecficamente,
S(A) = {M : M es un movimiento y M(A) = A}Tipos de estos
movimientos, pueden ser traslaciones, rotaciones, simetras respecto
a una recta,etc, como las aplicadas en las consignas anteriores. A
este conjunto de movimientos S(A), se lellama simetras del
plano.
Consigna 7: Prueba formal del grupo de las simetras del planoEl
siguiente teorema da una prueba formal, que indica que al aplicar
movimientos como losrealizados en las consignas del bloque
anterior, al cuadrado, hexgono y dems polgonos reg-ulares, se
obtiene un grupo con la operacin composicin. Frmese en los grupos
de trabajo, ysiga paso a paso la demostracin dada por la
docente.
Teorema 1.1
El conjunto de las simetras de un conjunto A del plano, es un
grupo, con la operacin composi-cin de movimientos.
Prueba: Sea A un conjunto del plano y sea S(A) = {M : M es un
movimiento y M(A) = A}. SeanM,N S(A). Entonces M(A) = A y N(A) = A.
Luego
(M N)(A) = M(N(A)) = M(A) = A,
por lo que M N S(A), es decir se cumple la cerradura. La
asociatividad es vlida, pues si M,N,L S(A), entonces ((M N) L)(A) =
A = (M (N L))(A). El neutro es el movimiento de no hacernada, es
decir no mover a A, que denotaremos con I, de identidad y el
inverso es el movimiento dedevolverse. El inverso de M es un
elemento de S(A), pues
M1(A) = M1(M(A)) = (M1 M)(A) = I(A) = A
Veamos uno de los ejemplos realizados en la actividad 1, antes
de probar el teorema que formalizalos resultados hallados. Para
mayor comodidad en la notacin, de ahora en adelante obviaremos
elsmbolo de la composicin , de modo que, para referirse a M N,
simplemente usaremos la notacinMN.
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Consigna 8: Formalizando el grupo de las simetras del tringuloEn
la consigna 5, ustedes realizaron los movimientos de simetras y
rotaciones para un tringulo.Vuelva a reconstruir los movimientos
hechos, y comprelos con la demostracin formal dada porla
docente.
Ejemplo 1.1 (Simetras del tringulo)
Considere un tringulo equiltero con vrtices en las posiciones
1,2 y 3.
Sea R la rotacin de 120. Observe que R2 es la rotacin de 240,
mientras que R3 es la rotacinde 360, que denotaremos con I, de
identidad. Vea figura 1.25.Sea ahora S1 la simetra con respecto a
la altura que pasa por el vrtice 1,S2 la simetra conrespecto a la
altura que pasa por el vrtice 2 y S3 la simetra con respecto a la
altura que pasapor el vrtice 3. Observe que R S1 = S3, mientras que
R2 S1 = S2.
Figura 1.25: Simetras del tringulo
De modo que S2 y S3 se pueden expresar como composiciones de las
rotaciones y de la simetracon respecto a la altura que pasa por el
vrtice 1. Para simplificar la notacin, llamaremos a estaltima,
simplemente S y obviaremos el smbolo de la operacin composicin, es
decir en lugarde escribir R S1, escribiremos RS, como se mencion
anteriormente.
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La tabla para este grupo, est dada en la figura 1.26.
Figura 1.26: Tabla del grupo de simetras del tringulo
De este modo, las simetras del tringulo tiene 6 elementos y est
dado por el conjunto:
S(A) ={I,R,R2,S,RS,R2S
}
Ahora, se generaliza formalmente el grupo de simetras de
cualquier polgono regular en el siguienteteorema.
Teorema 1.2
Sea P(n) un polgono regular con n vrtices. Sea R la rotacin de
2pin radianes alrededor delcentro del polgono y sea S la simetra
con respecto a una recta que pasa por el centro de P(n)y uno de sus
vrtices. Entonces el conjunto de simetras S(P(n)), es un grupo con
la operacincomposicin de movimientos, que consta de 2n elementos. A
este grupo se le llama grupo diedrodel polgono y se acostumbra a
denotarlo con D2n.
D2n ={I, R, R2, , Rn1, S, RS, R2S, , Rn1S
}
Prueba: Las ideas de esta prueba, fueron tomadas de
Dorronsoro(1996). Es claro que R2 es una rotacinde 4pin , R
3 es una rotacin de 6pin , y continuando as, obtenemos que Rn es
una rotacin de 2npin , que
lleva al polgono a la posicin inicial. De modo que si j denota
el vrtice de la posicin j, al plicarleuna rotacin de 4pin una vez,
este vrtice pasa a la posicin j+ 1, es decir se tiene que
R(j) = j+ 1, para j = 1, ,n 1 y R(n) = 1Veamos ahora qu hacen
las simetras a cualquiera de los vrtices. Sin prdida de
generalidad, podemossuponer que S es la simetra con respecto a la
recta que pasa por el vrtice 1.
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Como puede verse en la figura 1.27 , esta simetra cambia el
vrtice 2 con el vrtice n, el 3 con n 1, el4 con n 2, y en
general
S(j) = n (j 2), para j = 2, ,n, y S(1) = 1
Mostraremos que RS,R2S, ,Rn1S, son todas las simetras con
respecto a las rectas que pasan por lovrtices del polgono.
Sea L la recta que pasa por uno de los vrtices y por el punto
medio del lado que une los vrtices 1 y2, es decir la recta que est
girada pin con respecto a la recta S.
Figura 1.27: Simetra con respecto a la recta que pasa por vrtice
1
Es claro, segn figura 1.28, que L cambia los vrtices 1 con 2, 3
con n, 4 con n 1, y en general sigue lasiguiente regla:
L(j) = n (j 3), para j = 3, ,n y L(1) = 2, L(2) = 1
Mostraremos que la simetra con respecto a L corresponde al
movimiento RS. En efecto
RS(j) = R(S(j)) = R(n j+ 2) = n j+ 3, para j = 3, ,n
pues R(j) = j+ 1 para j = 1, ,n 1. Adems
RS(1) = R(1) = 2, RS(2) = R(n) = 1, y RS(n) = R(1) = 3,
de modo qe efectivamente la simetra con respecto a L, es el
mismo movimiento dado por la composi-cin RS.
Consideramos ahora la simetra con respecto a la recta S2 que
pasa por el vrtice 2. Como puede verseen la figura 1.29, sta
simetra cambia los vrtices de acuerdo con la siguiente regla:
S2(j) = n (j 4), para j = 4, ,n y S2(1) = 3, S2(2) = 2, S2(3) =
1
Pero esto, nuevamente, coincide con R2S, pues
R2S(j) = R2(S(j)) = R(n j+ 2) = n j+ 4 = S2(j), para j = 1,
,n
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De modo que tenemos que RS = L y que R2S = S2. Generalizando por
un proceso inductivo, si deno-tamos por Sk a la simetra con
respecto a la recta que pasa por el vrtice k, tenemos que
RkS = Sk para k = 2, ,n 1de modo que entonces obtenemos que
RS,R2S, ,Rn1S, son todas las simetras con respecto a las rec-tas
que pasan por los vrtices del polgono. Con esto el conjunto tiene
todas las rotaciones y simetrasdel polgono, es decir est completo,
no le falta ninguna rotacin ni ninguna simetra.
Figura 1.28: Simetra con respecto a la recta entre los vrtices 1
y 2
Ahora solo falta probar que D2n es efectivamente un grupo. El
neutro es claramente I = Rn, pues estavuelve a poner en la posicin
original al polgono, despus de cualquier rotacin dado que Rn(j)
=j,n = 1, ,n, es decir que
RnRk = Rk, k = 1, ,n.Pero tambin este funciona como identidad
para cualquier movimiento que involucre una simetra,pues
RnRkS = RkS k = 1, ,n.La asociatividad se hereda de la operacin
composicin, que es vlida en este caso.Por otro lado, para analizar
la existencia de los inversos, podemos ver que
Rk(j) = j+ k, y que Rk(j) = j k, k = 1, ,npor ser la rotacin en
sentido contrario. De modo que el inverso de cualquier rotacin Rk
es Rk, pues
(RkRk)(j) = Rk(j k) = j, k = 1, ,nPor otro lado, probaremos,
como la intuicin indica despus de las actividades realizadas, que
elinverso de cualquier simetra es ella misma, pues mueve los
vrtices y los devuelve a su posicin. Paraello mostraremos antes,
una propiedad muy til que ocurre con la composicin de estos
movimientos,y es que
SRk = RkS, k = 1, ,n.En efecto,
(SRk)(j) = S(Rk(j)) = S(j+ k) = n (j+ k 2), para j = 1, ,n, k =
1, ,nmientras que
(RkS)(j) = Rk(S(j)) = Rk(n (j 2)) = Rk(n j+ 2) = n j+ 2 k,
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para j = 1, ,n, k = 1, ,n, por lo que ambas coinciden. Esto nos
indica que el inverso de RkSes el mismo RkS. En efecto
(RkS)(RkS) = Rk(SRk)S = Rk(RkS)S = (RkRk)S2 = I
La propiedad es muy til para completar la tabla de D2n, y as
finalmente verificar la cerradura. Seconcluye que este es un
grupo.
Figura 1.29: Simetra con respecto a la recta que pasa por el
vrtice 2
Despus de realizar la prueba, se les dej de tarea de construir
la tabla, usando la propiedad
RkS = Sk para k = 2, ,n 1,
en un polgono de mayor cantidad de vrtices. Tambin se les pidi
simular los movimientos usandoalgn software dinmico.
Consigna 9: Un polgono con mayor nmero de vrticesAhora suponga
que tiene 9 cubos numerados del 1 al 9. Defina movimientos bsicos
de modoque al combinarlos, obtenga un grupo. De cuntos elementos
estar constituido este grupo, siincluye simetras y rotaciones?
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Uno de los grupos present su solucin, un grupo de orden 18, como
puede verse en la figura 1.30.
Figura 1.30: Grupo de simetras del nongono
1.4.4 Consignas del bloque 4: Actividades de reforzamiento
extra-clase
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A continuacin se le dejaron tres consignas para realizar fuera
de clase. En esta ltima parte de la ac-tividad, se espera que los
estudiantes hagan una valoracin de toda la experiencia, ahora en
calidad defuturos docentes, de manera que reflexionen sobre la
misma, su funcionalidad y mejoras, respondiendoa las preguntas de
la siguiente consigna. Se les motiv para que contestaran con toda
la transparen-cia y sinceridad posible, dieran crticas
constructivas, a nivel de profesores sugeriendo mejoras a
otraprofesora.
Figura 1.31: Comentarios sobre la intencin de la actividad
Consigna 10:Conteste las preguntas: Se logra aprender con las
actividades propuestas? He aprendido?Cul podra haber sido la
intencin de la docente al plantearnos estas consignas? Porqu nodar
simplemente la definicin y luego todos esos ejemplos? No debera la
docente desarrollarcada uno de estos ejercicios en lugar de
ponernos a nosotros a hacer tal cantidad de trabajo? Sepodra
mejorar la gestin de la clase? Se usaron los recursos adecuados? El
tiempo estuvo biengestionado?
Figura 1.32: Comentarios sobre el uso de material concreto
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Figura 1.33: Comentarios sobre el uso de material concreto
Esta consigna la respondieron fuera de la clase, de modo que
tuvieran plena tranquilidad de dar susrespuestas. Algunas de las
respuestas se dieron a continuacin. Con respecto a la intencin de
lasconsignas y de la actividad en s, se agregan algunos
comentarios, en las figuras 1.33 y 1.31.
Figura 1.34: Comentarios sobre el uso de material concreto
Con respecto al uso de material concreto, en general fue muy
bien aceptado, les result una clasediferente y amena, como lo
expresaron. Unos de los estudiantes coment: gracias, la clase
estuvomuy linda. Algunos de los estudiantes que en clases
tradicionales, se caracterizan por sentarse atrsmuestran poca
participacin e inters, en esta actividad estuvieron participativos
por el entusiasmomostrado. Cabe mencionar que se destacaron en los
logros y alcances de la actividad, inclusive ter-minando primero
que otros grupos. Algunos comentarios al respecto son los de las
figuras 1.32 y1.34.
Con respecto a si la actividad logr su objetivo acadmico, es
decir si logr el aprendizaje del conceptode grupo, tambin se
lograron resultados y comentarios muy positivos, como puede verse
en figuras1.35 y 1.36.
Figura 1.35: Comentario sobre el aprendizaje logrado
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Figura 1.36: Comentario sobre el aprendizaje logrado
Finalmente, con respecto a mejoras, hubo un consenso en el hecho
de que el tiempo estuvo limitado.otro grupo coment que falt ms
comentarios a nivel de todo el grupo, y sobre como resolvieron
cadauno las consignas.
Figura 1.37: Sugerencias de mejora a la actividad
La siguiente consigna solicita que los estudiantes lean e
investiguen sobre el tema de creacin deproblemas, se les da un
artculo reciente para su lectura, y se les solicita investigar
sobre dos msrelacionados al tema, que ellos deben buscar en la web,
e indicar su direccin y el porqu de suescogencia.
Figura 1.38: Tareas creadas por los estudiantes para el tema de
funciones
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Figura 1.39: Continuacin...
Consigna 11:Lea el artculo relacionado a creacin y plantamiento
de problemas de Malaspina, U. (2013).Nuevos horizontes matemticos
mediante variaciones de un problema. Unin, 35, 135-143.Haga un
resumen del artculo y un comentario. Luego busque dos artculos ms
relacionados altema y comntelos.
Figura 1.40: Tareas creadas por los estudiantes para introducir
tringulos rectngulos
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La siguiente consigna est dirigida a que ellos implementen
algunas tareas sobre algn tema de se-cundaria, con ayuda de las
lecturas seleccionadas y la prctica llevada a cabo en las consignas
de laactividad realizada.
Consigna 12:Cuando usted sea docente, diseara consignas de modo
que los estudiantes descubran losconceptos y hagan creacin de
problemas? Disee 5 consignas para ensear algn tema
desecundaria.
Figura 1.41: Tareas creadas por los estudiantes para ubicar
nmeros en la recta real
Esta fue una de las consignas ms productivas desde el punto de
vista de su futuro profesional comodocentes. Los estudiantes
plantearon varios consignas para diferentes problemas. Sin embargo,
es claroque an falta mayor madurez para el diseo de tareas con un
objetivo concreto, pero esto es algo querequiere tiempo y
dedicacin. Algunas de las tareas creadas se adjuntan en las figuras
1.38, 1.40 y 1.41.
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(http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 15, No
1. Agosto Febrero 2015.
En la figura 1.38, los estudiantes escogieron el tema de
funciones; ciertamente un tema que es difcilde ensear y el cual
encierra conceptos muy delicados y sutiles, y que adems es la base
del anlisisy cursos universitarios, por lo que en secundaria, su
enseanza y aprendizaje es fundamental. Intere-sante notar como este
grupo propone el uso de dados para que se realicen lanzamientos de
ellos yanalizar si se obtiene una funcin. Por otro lado proponen
tambin buscar funciones en la vida real,contextualizando la
matemtica.
En la figura 1.40, tambin usan material concreto, en este caso
tiras de papel para que los estudi-antes intenten formar tringulos
rectngulos. Faltara sin embargo, una consigna que los lleve a
unageneralizacin sobre la relacin entre los lados del tringulo, que
los acerque al teorema de Pitgoras.
En la figura 1.41 se trata de realizar ubicaciones de nmeros
reales en la recta numrica. Primeroconstruyen una consigna que los
haga pensar como ubicar un nmero irracional que est entre
dosenteros, pero no se les gua a como hacerlo. Luego en la consigna
siguiente, se les pide usar regla ycomps y se les da el mtodo
tradicional de hacerlo.
1.5 Consideraciones Finales
Se present una secuencia de tareas diseadas con un doble
propsito: lograr una asimilacin slidadel concepto de grupo como
base para las otras estructuras algebraicas: anillo y campo. Sin
embargo,la actividad no lleg hasta aqu, sino que adems se logr
cierto nivel de reflexin sobre la actividadrealizada, desde la
prespectiva de estudiantes que pronto, sern docentes. Se deben
realizar ms activi-dades de este tipo, de modo que estas
reflexiones mejoren cada da. Con respecto al primer objetivo,se
puede decir que se logr ampliamente; los estudiantes asimilaron muy
bien la existencia del neutro,su unicidad y su funcin dentro de un
grupo. As mismo, comprendieron la idea de lo que son losinversos as
como de su unicidad, y de que cada elemento tiene su inverso. Esto
se evidenci en losresultados de una prueba escrita que se les aplic
una semana despus de concluidas las actividades.La mayora de los
estudiantes, lograron resultados muy por encima, de otros semestres
donde se lesimparti el mismo concepto, pero con una clase
magistral. Tambin, qued clara la idea de isomorfismoentre grupos,
concepto que en otras ocasiones, haba tenido fuertes limitaciones y
mostrado carenciasde conexiones.
Con respecto al objetivo dos, que era lograr la reflexin sobre
la matemtica, podra concluir quean falta mucho en este aspecto, sin
embargo es claro que esto lleva tiempo y madurez, requiere dems
experiencias similares y de una constante que debe mantenerse en el
aula. Se requiere adems,despertar en los estudiantes, la necesidad
de bsqueda de informacin y realizacin de lecturas queno solo
respondan a una tarea que se debe cumplir. Se debe insistir en
estos aspectos formadores.
Es importante sealar que el diseo de un conjunto de tareas debe
tener un propsito claro, y que eldocente debe realizar un
planeamiento de ellas, tratando de predecir el desarrollo que puede
darse enla prctica, pero que debe tenerse muy claro, que en la
realidad de aula, pueden presentarse situacionesque no resulten
como se ha planeado. El profesor debe estar anuente a tomar medidas
para encauzara los estudiantes en el logro del objetivo
planteado.
Por ltimo, es importante recalcar la responsabilidad de todos
los docentes que de alguna manera par-ticipamos en la formacin
inicial de profesores de matemtica para secundaria, de incluir
actividadesque desarrollen la competencia de reflexin sobre la
actividad matemtica y que una forma de lograrlo,es modelando con
actividades prcticas en la mismo aula y en la enseanza de los
propios cursos dematemtica.
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IntroduccinNociones tericasCreacin de problemas El
constructivismo Diseo y secuencia de tareas
MetodologaTcnicas e instrumentos de recoleccin de datos Diseo de
tareas para la actividad
Descripcin de la experienciaConsignas del bloque 1: Consignas
del bloque 2: Consignas del bloque 3: Consignas del bloque 4:
Actividades de reforzamiento extra-clase
Consideraciones FinalesBibliografaBibliografa