TE220 DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS Bibliografia: 1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 8 va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J. Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17. 2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U. Cambridge University Press (1988) 3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company (1977) 4. Física Vol 1. 4 ta edição. Tipler P. LTC editora (1999) 1
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TE220
DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J.
Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.
2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U.
Cambridge University Press (1988)
3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P.,
Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company
Conteúdo sobre oscilaçõesConteúdo sobre oscilaçõesConteúdo sobre oscilaçõesConteúdo sobre oscilações�Deslocamento, velocidade e aceleração no Movimento
Harmônico Simples - MHS.
�Energia no MHS.
�Exemplos de MHS: sistema massa mola, pêndulo
matemático, pêndulo físico, pêndulo de torção.
�Oscilador Harmônico amortecido.
�Oscilação forçadas/ressonância.
�Oscilações não lineares
�Sistemas complexos2
Des
loca
men
to
Tempo (t)
( ) ( ) cosmx t x tω φ= +2
2 fT
πω π= =
Exemplo de um Movimento
Harmônico Simples (MHS)
O movimento é periódico, ou seja se repete com o tempo. O tempo
necessário para uma repetição é chamado período (símbolo T, unidade: s).
O número de repetições por unidade de tempo é chamado frequência
(símbolo f, unidade: Hz). f = 1/T .
O deslocamento da partícula é dado pela equação x(t)= xmcos(ωt+φ).
A fig. (b) é o gráfico de x(t) contra t. xm é chamada amplitude do
movimento. Ela expressa o deslocamento máximo possível do objeto que
oscila. “ω” é chamada frequência angular do oscilador. Ela é determinada
pela equação:
3
A figura mostra duas partículas P e Q com a mesma ω.
Escolhemos t=0 quando P passa pelo eixo x.
Q passa pelo eixo x no momento t=t1 (na figura abaixo t1 = T/8)
Portanto a dependência temporal da coordenada x para P e Q é:
xp = A cos(ωt) xq = A cos[ω(t-t1)]
O movimento harmônico de Q se diz atrasado respeito de P em t1
O valor negativo de t1 indica que Q está detrás de P
O argumento da função cosseno, ω(t-t1) é chamada de fase.
O deslocamento angular φ =ωt1 é chamado de ângulo de fase.
Fase e ângulo de fase
Vamos utilizar como
definição do movimento
harmônico:
x = A cos[ω(t-t1)]
= A cos(ωt- φ)
φ
φ
4
Des
loca
men
toV
elo
cid
ade
Ace
lera
ção
( )( ) cosmx t x tω φ= + “φ” é o ângulo de fase do oscilador, é determinado
a partir do deslocamento x(0) e da velocidade v(0)
em t = 0. Na fig. (a) x(t) é desenhado contra t para φ
= 0. x(t) = xm cos ωt.
Velocidade no MHS
( )[ ] ( )φωωφω +−=+== tsenxtxdt
d
dt
tdxtv mm cos
)()(
“ωxm” é chamado amplitude da velocidade vm. Ele
expressa o máximo valor possível de v(t).
Na fig. (b) a velocidade v(t) é desenhada contra t
para φ = 0. v(t) = -ωxm sen ωt.
Aceleração no MHS ( )[ ] ( ) xtxtsenxdt
d
dt
tdvta mm
22 cos)(
)( ωφωωφωω −=+−=+−==
“ω2xm” é chamado amplitude da aceleração am. Ele expressa o máximo valor
possível de a(t). Na fig. (c) a aceleração a(t) é desenhada contra t para φ = 0.
a(t) = -ω2xm cos ωt.5
1. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma
amplitude de 2,20 cm a uma frequência de 6,60 Hz ?
( )( ) ( )22 2 2(2 ) 2 6.60 Hz 0.0220 m 37.8 m/s .
m m ma x f xω π π= = = =
2.Uma partícula com massa igual a 1,00 10-20 kg está oscilando em um
MHS com um período de 1,00 10-5 s e uma velocidade máxima de 1,00
103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máximo
da partícula.
ω = 2π/(1.00 × 10–5 s) = 6.28 × 105 rad/s.(a)
(b) = =1.00 10
6.28 10= 1.59 10 .
3
5
3x
vm
m
ω
×
×× − m / s
rad / s m
Exercícios
6
3. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás por
uma distância de 2,00 mm em MHS, com uma frequência de 120 Hz.
Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) a