TD du Cours STA 202 Séries temporelles · Exercice 2 (Modèle ARCH) Les modèles Autorégressifs Conditionnellernent Hétéroscédastiques (ARCH) sont été introduits par Engle

TD du Cours STA 202Séries temporelles

A.A. 2016-2017Di Bernardino - [email protected]

Exercice 1 (Fonction d'auto-covariance et densité spectrale)Soit fx la densité spectrale du processus statioimaire Xt alors la fonction de auto-covariancede Xt s'écrit comme :

-ïx(h)=

1. Etant donné un huit blanc avec

2, si h — 0

, s ,2

vérifier que fx(u) = fj est la densité spectrale de ce processus.2. Vice-versa démontrer que si la densité spectrale d'un processus Xt est une constante alors le

processus est un bruit blanc.

Exercice 2 (Modèle ARCH)Les modèles Autorégressifs Conditionnellernent Hétéroscédastiques (ARCH) sont été introduits parEngle (1982) pour prendre en compte des variances conditionnelles dépendant du temps. Un exempledu modèle ARCH est :

Yt = Ci et,

où e est un bruit blanc gaussien de variance <r2.

1. Calculer E[Yt] et E[Yt2}.2. Calculer3. Est-ce que Yt est un processus stationnaire (faible)? Yt est-il un bruit blanc faible?4. Calculer la variance conditionnelle au passé de Yt, i.e. Var(lt|lt_i), où Y"t_i := {Y" t^i,Y" t_2 , . . .}.

Rappel : Si X est une distribution normale de variance cr2, les moments de X existent et sont finis pour tout p. Pour tout entiernon négatif p, les moments centrés de X sont donnés par :

I G V V P I - / °> si p est impairIh, A \ < „ / - . X M[ av (p — 1)!!, si p est pair

où n!! désigne la factorielle double, qui est le produit de chaque nombre impair de n à 1. Exemple: 5!! = 5 X 3 X 1 = 15

Exercice 3 (Modèle bilinéaire)Un modèle bilinéaire présente la particularité d'être à la fois linéaire en Yt et et, mais de ne pas l'êtrepar rapport à ces deux variables prises conjointement. La représentation associée est:

avec OQ — l.

Certains processus bilinéaires ont des propriétés proches de celles des modèles ARCH. Considéronspar exemple le processus défini par :

où et est un bruit blanc gaussien de variance a2.

1. Ecrire les vecteurs de coefficients //, <p, 0_ et c pour ce processus.2. Calculer E[Yt] et E[Ft2].3. Ecrire l'équation pour la variance de Yt.4. Montrer que le processus bilinéaire présente de l'hétéroscédasticité à l'horizon 2. Pour démontrer

cette propriété, calculer la variance conditionnelle à l'horizon 2 de Yt, i.e. Var(Vt|Ft_2), où

Exercice 4 (Un modèle d'hétéroscédasticité d'ordre 1)Considérons un modèle d'hétéroscédasticité d'ordre 1 avec coefficient de régression <f>, avec (j) |< 1.La valeur présente du processus est donnée par :

où et est un bruit blanc faible satisfaisant la condition de différence de martingale :

E[ej | Ê(_I ] = 0, V t, (condition d'orthogonalité au passé).

1. Montrer que le processus d'erreur et est aussi orthogonal à tout son passé, i.e.

E [ e t \ 6 t - h ] = 0, V h > 0.

2. Cette propriété d'orthogonalité implique aussi des non-corrélations conditionnelles. Montrer que

COV[(Ê£, £t+k)\Ct-h] = 0, pour h et k deux entiers strictement positifs.

3. Contrairement à la condition E[ej tt-i] = 0, V t, nous ne supposerons pas que la varianceconditionelle du bruit soit aussi independente du temps, c.a.d. Var[et |e t_i ] ^ 0. Au con-traire, nous introduirons la possibilité d'une liaison temporelle par l'intermédiaire d'une équationautoregressive d'ordre 1 portan sur le carré des innovations, i.e.,

e2 = c + ae2_1 +ut, V t,

où ut est un bruit blanc fort. Par récursivité, déduire l'équation suivante :

Var[et e^h] = c (^} + ah ̂ h.

4. Montrer que lorsque h — > oo les variances conditionnelles convergent vers la variance non-conditionnelle (et constante).

Exercice 5 (Les distributions des erreurs)Engle (1982) a initialement introduit un processus tt avec une distribution conditionnellement nor-male :

f-t \i ~ N(0, c+ af^}.

1. Montrer avec une argumentation simple que ce processus n'est pas marginalement gaussien.2. Calculer E[c?].3. Fournir une borne pour E[e|].4. En déduire le comportement de la kurtosis du processus marginal ct et commenter les résultats

obtenus.