TD 6 : Intégrales généralisées - Corrigé Exercice 1 : 1) ↦ 1+ ) est continue sur 0; +∞ et pour tout ∈ 0; +∞, 1+ ) = 1 2 2 1+ ) = 1 2 − 1 1+ = 1 2 − 1 1+ + 1 = 1 2 − 1 21 + ) → 1 2 lorsque tend vers + ∞. On peut donc dire que 1+ ) converge et que 1+ ) = 1 2 ↦ est continue sur 0; +∞ et pour tout ∈ 0; +∞, =− 1 2 −2 =− 1 2 =− 1 2 − 1 = 1 2 − 1 2 → 1 2 lorsque tend vers + ∞. On peut donc dire que converge et que = 1 2 ↦ ln) est continue sur 0; 1 et pour tout ∈ 0; 1, ln) = × ln) On pose ) = et ) = ln) : les fonctions et sont de classe sur ; 1, on peut donc appliquer une IPP × ln) = 2 ln) − 2 × 1 =− ln) 2 − 2 =− ln) 2 − 4 =− ln) 2 − 1 4 + 4 →− 1 4 lorsque tend vers 0. On peut donc dire que ln) converge et que ln) =− 1 4 2) Les fonctions ↦ 1+ ) et ↦ sont impaires De plus les intégrales 1+ ) et sont convergentes On peut donc affirmer que les intégrales 1+ ) et convergent et valent 0. 3) ↦ 1 −1 est continue sur 1; 2 et pour tout ∈ 1; 2, 1 −1 = ln − 1) = −ln − 1) lim → ln − 1) = −∞ donc lim → 1 −1 = +∞ ∶ l intégrale 1 −1 est divergente. ↦ 1+ est continue sur 0; +∞ donc en particulier sur 1; +∞ 1+ ~ ~ 1 et les fonctions ↦ 1+ et ↦ 1 sont positives sur 1; +∞. Par comparaison, les intégrales 1+ et 1 sont de même nature Or l intégrale 1 est une intégrale de Riemann convergente donc 1+ converge.