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Professor Luiz Antonio Farani de Souza
1 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
7 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Ciclo iterativo k = 1,2, ..., kmáx
λ
λ
Verificar o critério de convergência: __________________________________________________________________________
3. Problema numérico
Considere a estrutura correspondente a uma cobertura articulada plana, abatida e não
simétrica, conforme ilustrada na Figura 2. Essa estrutura foi estudada por Powell e Simons
(1981) e Menin (2006), apresentando 18 nós e 33 elementos de barra, com rigidez axial
adimensional EA = 9,0 106 e está submetida ao efeito de três forças P de igual magnitude. A
trajetória de equilíbrio não linear para o deslocamento vertical do nó cinco versus força P é
obtida. Nas simulações foram considerados 0 l = 1,0, kmáx = 150, Nd = 5, tol = 1,0 10
-7 e P =
100.
Figura 2: Modelo estrutural da treliça abatida não simétrica
Fonte: Adaptada de Menin (2006)
Solução do problema Foi considerada formulação Corrotacional do Método dos Elementos Finitos para a
discretização do problema e a deformação de Green-Lagrange.
Os sistema de equações não lineares que descreve o problema estrutural foi solucionado
com o método de Newton-Raphson padrão. Foi considerada a mesma solução predita para todas
as técnicas de continuação baseada no método de comprimentos de arco linear:
λ
λ
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8 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Dados de entrada do método de solução
Definição da técnica de continuação
Barra de progresso
Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Norma
Mínima dos Deslocamentos Residuais
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9 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Resultados numéricos (ktotal, NP, kmédio e t)
Técnica de continuação NP ktotal kmédio t (s) Comprimento de Arco Linear Fixo 45 133 2,66 3,5650577 Comprimento de Arco Linear Atualizado 44 129 2,58 3,3386126 Norma mínima dos Deslocamentos Residuais 45 132 2,64 3,5912192 Trabalho Externo Constante Não convergiu para a trajetória de equilíbrio Deslocamento Generalizado 45 133 2,66 3,4365265 Deslocamento Constante Não convergiu para a trajetória de equilíbrio
Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Trabalho
Externo Constante
Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Deslocamento
Constante
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10 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
4. Programa computacional
4.1 Programa principal //Programa principal - treliça 2D
//Formulação Posicional do Método dos Elementos Finitos //Análise não linear geométrica
//Deformação de Green-Lagrange
//Método de solução: Newton-Raphson padrão //Técnica de continuação: comprimento de arco linear
clear clc
exec('DKG.sci',-1);
exec('DFG.sci',-1); exec('dkelem.sci',0);
exec('ensamkg.sci',-1);
exec('contkg.sci',-1); exec('dfelem.sci',-1);
exec('ensamfg.sci',-1);
exec('contfg.sci',-1); exec('apontador.sci',-1);
exec('result.sci',-1);
exec('krenk.sci',-1); exec('dofs.sci',-1);
exec('tecnicas_cont.sci',-1);
//_____________________________________
//entrada de dados (pré-processamento)
//tol - tolerância //deltal - comprimento de arco inicial
//Nd - número desejável de iterações
//kmax - número máximo de iterações por passo //nmax - número máximo de passos de carga
//P - incremento de carga
txt = ['tolerância:';'número máximo de iterações:';'número de passos de carga:';'comprimento de arco inicial:';'número de iterações
desejadas por passo de carga:';'incremento de carga:'];
sig = x_mdialog('Parâmetros método de solução',txt,['10^-7';'150';'50';'1';'5';'-100']) tol = evstr(sig(1));
kmax = evstr(sig(2));
nmax = evstr(sig(3)); deltal = evstr(sig(4));
Nd=evstr(sig(5)); P=evstr(sig(6));
l1 = list('Escolha:',1,['Arco Linear Fixo','Arco Linear Atualizado','Deslocamentos Residuais','Trabalho Externo','Deslocamento Generalizado','Deslocamento Constante']);
rep = x_choices('Técnicas de continuação',list(l1));
FG=zeros(NTGL,1); //vetor de força interna vu(1,1)=0;
vf(1,1)=0;
ktotal=0; ierro=0;
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11 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
aux2=norm(Fr);
tic //inicia um cronômetro
winH=waitbar('Processamento ...'); //inicia barra de progresso realtimeinit(0);
//for np=1:nmax //passos de carga
np=0; while abs(u(10,1))<16
np=np+1;
[KG]=DKG(d,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez dr=KG\Fr;
if np==1
drt=dr; end
Dlambda=deltal/norm(dr); if DU'*dr<0 then
Dlambda=-Dlambda;
end D0=Dlambda*dr;
DU=D0;
[FG,vdef]=DFG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //vetor de força interna g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desiquilibradas
k=0;
realtime(np); while k<kmax //ciclo iterativo
k=k+1; //contador
[KG]=DKG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez dgi1=dg;
dg=KG\g;
dr=KG\Fr; [dlambda]=tecnicas_cont(D0,dg,dr,DU,Fr,drt,rep); //subincremento do parâmetro carga
du=dg+dlambda*dr; //vetor subincremento de coordenadas nodais
DU=DU+du; //vetor incremento de coordenadas nodais Dlambda=Dlambda+dlambda; //incremento do parâmetro carga
[FG,vdef]=DFG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //vetor de força interna
g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desiquilibradas if norm(g)<=aux2*tol //critério de convergência
break
end end
if k==kmax
messagebox('não convergiu!') ierro=1;
break
end drt=dr;
d=d+DU; //vetor de coordenadas nodais
lambda=lambda+Dlambda; //parâmetro de carga total deltal = deltal0*(Nd/k)^0.5;