Jun 23, 2020
2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
Lugar das raízes é um método de análise e projeto de sistemas É uma representação gráfica dos polos de um sistema
de malha fechada à medida que os parâmetros do sistema variam
A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho de um sistema de controle e também serve como uma ferramenta quantitativa que dá mais informações do que os métodos já discutidos A técnica pode ser usada para descrever
qualitativamente o desempenho de um sistema quando vários parâmetros são mudados
3 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
Os polos de sistemas de malha aberta são facilmente encontrados; o mesmo não acontece com sistemas de malha fechada
Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de
serem encontrados, mas os polos de
[1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração
do denominador e variam com K
4 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
Representação de números complexos como vetores
a) s = + j;
b) (s + a) = ( + a) + j;
c) Representação
alternativa para (s + a);
d) (s + 7)|s5 + j2
+a
+a
5 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
No caso mais geral, considere a função:
Magnitude de F(s) em
qualquer ponto s
Ângulo de F(s) em
qualquer ponto s
6 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
Exemplo 1: Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]
Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4
Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado no plano complexo....
7 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
Exemplo 1 (cont.): F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]
s = -3 + j4
V1: |V1| = √20
V1 = 180 - tg-1(4/2) = 116º
V2: |V2| = √25=5
V2 = 180 - tg-1(4/3) = 127º
V3: |V3| = √17
V3 = 180 - tg-1(4/1) = 104º
V1
V2
V3
V1
s
8 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
Exemplo 1 (cont.):
= √20
5√17
= 116º - (127º + 104º) = -115º
Assim, F(s) = 0,2169-115º no ponto s = -3 + j4
9 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Introdução
Exemplo 2: Dado
encontre F(s) para s = -7 + 9j
10 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes?
Considere o exemplo abaixo:
Variando K...
11 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes?
Considere o exemplo abaixo:
Plotagem dos polos da Tabela anterior Lugar das raízes
Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K 0.
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Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes?
O lugar das raízes mostra as mudanças na resposta de transiente com a variação de K
Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos menores que 25 Sistema Sobreamortecido
No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais Sistema Criticamente Amortecido
Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido Observe que, nesse caso, a parte real do polo
permanece constante
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Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes?
Como a parte real do polo permanece constante, o tempo de amortecimento (Ts) também é constante Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real
do polo
Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento diminui e a porcentagem sobressinal aumenta
O tempo de pico diminui com o aumento do ganho
Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável, independente do valor do ganho
A análise também é aplicável a sistemas com ordem maior que 2
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Propriedades do Lugar das Raízes
A partir das propriedades do lugar das raízes, é possível fazer seu rascunho para sistemas de alta ordem sem precisar fatorar o polinômio do denominador
Considere um sistema de controle de malha fechada geral que tem função de transferência:
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Propriedades do Lugar das Raízes
Para tal sistema, um polo s existe quando o polinômio no denominador é igual a zero, ou: KG(s)H(s) = -1 = 1(2k + 1)180º , k = 0, 1, 2, 3, ...
Onde -1 está representado em sua forma polar
Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um número complexo e, se o ângulo desse número for um múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para algum valor de K
Considerando: |KG(s)H(s)| = 1 e KG(s)H(s) =(2k + 1)180º
Então: K = 1/(|G(s)||H(s)|)
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Propriedades do Lugar das Raízes
Vamos considerar novamente o exemplo anterior e a tabela associada ao valor de K:
Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53.
KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)]
Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9,47 + 10)) = -1
K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1
K = 35 => KG(s)H(s) = -1
....
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 1: Considere o sistema abaixo
A função de malha aberta é:
A função de malha fechada é:
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j = (1 + 2) – (3 + 4) = -70,55º
Assim, -2 + 3j não faz parte do lugar das raízes
Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K
Para o ponto -2 + j√2/2
1 = 19,47º
2 = 35,26º
3 = 90º
4 = 144,73º
=(1 + 2) - (3 + 4) = -180º
Assim, -2+j2/2 faz parte do
lugar das raízes
-2+3j
19 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j√2/2, o ganho K é: K = L3L4/(L1L2) = (2/2)(3/2)/[(9/2)(3/2)] = 0,33
Assim, o ponto -2 + j2/2 é um ponto do lugar das raízes para um ganho de 0,33
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Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação unitária que tem a seguinte função à frente:
Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0)
Determine se o ponto está no lugar das raízes Se sim, ache o ganho K
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Esboçando o Lugar das Raízes
O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se todo ponto no plano s para localizar os pontos cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180 Obviamente, essa tarefa é muito custosa
Podemos simplificar o processo com algumas regras: 1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se
desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa, então haverá um ramo para cada polo em malha fechada
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha fechada
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação
ao eixo real
Os polos complexos sempre aparecem com seus conjugados
3) Segmentos do Eixo Real: Usamos a propriedade que o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para determinar onde existem segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 3) Segmentos do Eixo Real:
Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos P1, P2, P3 e P4 abaixo
A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é nula (são simétricos, então seus ângulos se anulam)
A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau)
Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º)
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o
lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real
O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo de 180º seja ímpar
No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4
26 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 4) Pontos de Início e Término:
Início do lugar das raízes: ganho zero
Término do lugar das raízes: ganho infinito
O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)
Considere o sistema abaixo:
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Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 4) Pontos de Início e Término:
Considerando:
Temos:
Quando K → 0:
Quando K → :
N = Numerador
D = Denominador
28 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 4) Pontos de Início e Término:
Quando K → 0:
Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha aberta (os polos de T(s) são os mesmos de G(s) e H(s))
Quando K → , os polos de T(s) se aproximam à combinação dos zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então, termina nos zeros de G(s)H(s)
Observe que são os polos e zeros da função de malha aberta!!
29 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 4) Pontos de Início e Término:
No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4
O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no espaço entre esses polos indo de um para o outro
Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e partem como números complexos conjugados até se encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles caminham em direção a esses zeros
30 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 4) Pontos de Início e Término:
1 1
2
3
3
4
5 5
31 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Regras: 5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes
tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A equação das assíntotas é dada pela interseção com o eixo real em a com ângulo a, como segue:
k = 0, 1, 2, 3, ...
# = Número de....
O número de polos deve ser maior que o de zeros!!
32 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o sistema:
Polos: 0, -1, -2, -4
Zeros: -3
Primeiro, calculamos as assíntotas:
a = [(0 – 1 – 2 – 4) – (-3)]/(4 – 1) = -4/3
a = (2k + 1)/(4 – 1) = (2k + 1)/3 =
/3, para k = 0
, para k = 1
5/3, para k = 2 A partir daqui, os ângulos
se repetem....
33 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo (cont.): O número de linhas é igual à diferença entre o número
de polos finitos e o número de zeros finitos
-4/3
Polos e zeros Assíntota
Assíntota
Assíntota
34 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo (cont.): Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta
e termina nos zeros de malha aberta
Existem mais polos do que zeros
Assim, devem existir zeros no infinito
As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito
A forma final pode ser vista a seguir....
35 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo (cont.): Forma final
Assíntota
Assíntota
Assíntota
Inicia nos polos e termina nos zeros:
• Começa entre -1 e 0 e segue para infinito
• Começa em -2 e termina em -3
• Começa em -4 e termina em infinito
36 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Esboçando o Lugar das Raízes
Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o sistema de re-alimentação unitária com função de transferência à frente:
38 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
Ponto de Saída Ponto de Entrada
39 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um
ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou chegando no ponto de entrada
Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de 180º/2 = 90º com o eixo real
Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e -2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse ponto
O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo nesse ponto em relação ao eixo real apenas
40 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho
mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros
Para encontrar os pontos: Três soluções possíveis...
41 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 1: Derivar K = -1/[G()H()] em relação a
Exemplo:
Para todos os pontos no lugar das raízes:
Resolvendo para K:
1=-1,45
2 = 3,82 = 0
42 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a
relação:
Exemplo: Considerando o exemplo anterior:
1=-1,45
2 = 3,82
zi e pi são os negativos
dos zeros e polos!!!
Polos: -1 e -2
Zeros: 3 e 5
43 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e
mínimo ganho através de recursos computacionais
44 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo j Considere um exemplo anterior:
Como os polos estão no semi-plano esquerdo, o ponto de interceptação com o eixo imaginário indica no lugar das raízes o ponto que separa uma operação estável do sistema de uma operação instável do sistema
45 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo j
Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo j,
podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte
maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser
nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando
uma linha para a equação de polinômios par, com esse
vsalor de K, buscam-se as raízes, obtendo a frequência
de cruzamento com o eixo imaginário
46 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo j Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o
ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário
Tabela Routh:
47 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Interceptação com o Eixo j Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que
pode ser completamente anulada é a de s1
No caso, temos: -K2 – 65K + 720 = 0
K = -74,65 e 9,65
Se usarmos K = -74,65, então provocamos mudança de sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim, vamos usar K = 9,65
Considerando esse valor de K e retornando para s2:
(90 – K)s2 + 21K = 80,35s2 + 202,7 = 0
s = j1,59
Assim, o lugar das raízes corta o eixo j em j1,59 para um ganho 9,65
48 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Refinando o Esboço
Ângulos de Chegada e Partida É possível também calcular os ângulos de chegada e de
partida dos polos e zeros
Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é mais apropriado
49 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Resumo
Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes Número de ramos é igual ao número de polos em
malha fechada
O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real
No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real
O lugar das raízes se inicia nos polos finitos ou infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)
O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são definidas por:
50 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Resumo
Regras Adicionais para Refinar o Esboço O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o
ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o ganho é máximo
O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto onde G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de Routh-Hurwitz pode ser usado para determinar esse ponto de cruzamento
Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados precisamente
Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à relação G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por:
51 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1
Considere o sistema abaixo:
Esboce o lugar das raízes e encontre: a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo j
b) O ponto de saída do eixo real
c) A faixa de K na qual o sistema é estável
52 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1 (cont.)
Polos de G(s): -2 e -4
Zeros de G(s): 2 j4
No. de zeros = No. de polos
Não se calculam as assíntotas.
53 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1 (cont.)
Polos: -2 e -4
Zeros: 2 j4
O lugar começa entre os
polos e termina nos zeros
sendo simétrico em relação
ao eixo real
55 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1 (cont.)
56 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1 (cont.)
a) Cruzamento com o eixo imaginário
s2
s1
s0
(K + 1) (20K + 8)
(6 – 4K) 0 Essa linha pode ser
anulada com K = 3/2
Tabela de Routh:
57 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1 (cont.)
a) Cruzamento com o eixo imaginário Considerando a linha anterior de equação par para o
ganho definido, temos:
Assim, o cruzamento com o eixo imaginário
se dá em j3,9 com ganho K = 3/2
58 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1 (cont.)
b) Pontos de entrada e saída
Polos: -2 e -4
Zeros: 2 j4
1 = 5,28
2 = -2,88 Pelo esboço do lugar
das raízes, só pode
ser esse valor
59 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exemplo 1 (cont.)
c) A faixa de K na qual o sistema é estável Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5
60 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Lugar das Raízes para Sistema de Re-
Alimentação Positiva
Considere o sistema abaixo:
61 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Lugar das Raízes para Sistema de Re-
Alimentação Positiva
Regras: 1. Número de ramos: Mesmo que antes
2. Simetria: Mesmo que antes
3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha aberta
4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes
5. Comportamento no Infinito: Assíntotas:
62 Carlos Alexandre Mello – [email protected]
Exercícios Sugeridos (Nise)
Cap. 8, Problemas:
1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d)
Ferramenta gratuita para desenhar Lugar das
Raízes:
http://www.coppice.myzen.co.uk/RootLocs_Site/RootLoc
s.html