Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle

Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle

Yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x) tunnetaan (m. asteen) Taylor-polynomipisteen c ympäristössä, kun f(x):llä on (ainakin) m+1 asteen jatkuvat derivaatat c:nsisältämällä välillä:

Kun f(x) on ’riittävän säännöllinen’ pisteen c läheisyydessä, voidaan se lisäksi esittääTaylor kehitelmänsä avulla eli lausekkeena

m)m(

m )cx(!m

)c(f...)cx(

!

)c(''f)cx(

!

)c('f)c(f)x(p 2

21

Nämä käsiteet voidaan yleistää n:n muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x). Funktionf(x1,...,xn) m. asteen Taylor polynomi pisteen c = (c1,...,cn) ympäristössä on

'.välissän:cjan:'xonmissä

,)cx()!m(

)(f)cx(

!m

)c(f...)cx(

!

)c(''f)cx(

!

)c('f)c(f)x(f m

)m(m

)m(

1

12

121

)cx()cx)((!m

...)cx)(cx)((!

)cx)((!

)(f)(p

mm

m

m

iiii

n

i...ii ix...ixix

f

jjii

n

ji jxix

fii

n

i ix

fm

11

2

1 221

2

c1

c2

1c

1

1cx

1

11

111

kaikki m:n asteen sekaderivaatat... ...pisteessä C

...kertaa vastaavienkoordinaattien erotus

Erikoistapauksia Taylor polynomistaTarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen ensimmäisen kertaluvun Taylor-polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä on

)by)(b,a(f)ax)(b,a(f)b,a(f)y,x(p yx 1

Mutta tämähän on pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a, b, f(a,b)) piirretyn tangenttitasonyhtälö, jota myös f(x,y):n ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi sanotaan.

Kun muistamme, että pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a,b,f(a,b)) piirretyn gradienttivektorin f(a,b) lauseke oli f(a,b) = fx(a,b)i + fy(a,b)j (missä luettiin ’nabla’) ja huomaamme,että f(c)·(x – c) = [fx(a,b)i + fy(a,b)j] ·[(x - a)i + (y - b)j]

),by)(b,a(f)ax)(b,a(f yx

voimme päätellä, että 1. kl. Taylor polynomi voidaan kätevästi esittää gradientin avulla: p1(x) = f(c) + f(c)·(x – c).Tarkemmin ajatellen kyseinen kaava pätee kaikille n:n muuttujan funktioille!

Tarkastellaan seuraavaksi kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen toisen kertaluvun Taylor polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä sisältää ’sekaderivaattatermit’

])by)(b,a(f)by)(ax)(b,a(f)ax)(b,a(f[ yyxyxx22

2

1 2

Muodostamalla f(x,y):n Hessen matriisi pisteessä c voidaan todeta (kotitehtävänä!), että

))(()( T ccHc2

1 xx

Siten toisen kertaluvunTaylor polynomille saadaan lauseke:

Toisen kertaluvun Taylor polynomin lauseke (joka itse asiassa pätee kaikille n:n muuttujan funktioille f(x)): ))(()()()(f)(f)(p T ccHcccc

2

12 xxxx

Esimerkki. Laskettava (a) nollannen (b) ensimmäisen ja (c) 2. asteen Taylor-polynomifunktiolle f(x,y) = x3y4 kehityskeskuksessa c = (1,2).

(a) 0. asteen Taylorpolynomi on f(c) = 13·24 = 16

(b) 1. asteen Taylorpolynomia varten pitää ’nablata f’ ja laskea pistetulo:

)2y1,(xf(1,2) 2)y1,(x)y,4xy(3x 3342 2)y1,(x)21,421(3 3342 2)y1,(x(48,32)

11232y48x2)(32y1)48(x

Siten 1. asteen Taylor polynomi on p1(x) = 48x + 32y – 96.

(c) 2. asteen Taylorpolynomia varten muodostetaan aluksi f:n Hessen matriisi:

2

432

x

)yx(

2

432

y

)yx(

yx

)yx(

432

xy

)yx(

432

46xy 32y12x

32y12x 23y12x

Siten erityisesti

H(1,2) =

4896

9696

Lasketaan sitten matriisitulo ))(()( T ccHc2

1 xx1222

212

1

2y

1x

4896

96962)y1,(x

2y

1x2)]48(y1)2),96(x96(y1)[96(x

2

1

2)}2)](y48(y1)[96(x1)2)](x96(y1){[96(x2

1

1222

21 2y

1x

4896

96962)y1,(x

2

1

]2)48(y2)1)(y96(x1)2)(x96(y1)[96(x 222

1

22 2)24(y1)2)(x96(y1)48(x

2. asteen Taylor polynomi saadaan nyt lisäämällä p1(x):n lausekkeeseen nämä termit:

22 24y+192y-96yx+336+288x-48x

:= ( )p2 x 240 240 x 160 y 48 x

296 y x 24 y

2

Hetkonen, mihin näitä Taylor polynomeja oikein tarvitaan?

Insinööritieteissä tarvitaan useinmm likiarvoja. Taylor polynomiaon helpo integroida, derivoida, laskea raja-arvoja, likiarvoja, jne. jne... Lähellä kehityskeskustase käyttäytyy likimain kuin alku-peräinen funktio.

Usean muuttujan vektoriarvoisista funktioista (Edwards&Penney Luku 13.7)

Matriisiteorian yhteydessä lienee jo tutustuttu lineaarikuvauksiin :Rn→Rm (niitä, jotkavoidaan esittää matriisikertolaskun avulla AX = Y ja joille (l(x + y)) = l(x) + l(y).Usean muuttujan vektoriarvoinen funktio f kuvaa n-ulotteisia vektoreita m-ulotteisiksivektoreiksi, esim.

2

3

2

)zyln(

ex

)ycos()xsin(

z

y

x

f z

on kuvaus f:R3→R5

jonka arvopisteessä

on

1

02

2

0

2

2

10

0

1

0

2

4

3

1

22

2

2

e

)ln(

e

)cos()sin(

f)(

Tässä funktiot sin(x) + cos(y), x2, ez ln(y+z3) ja 2 ovat f:n komponenttifunktiot, merkään niitä seuraavasti:

25

34

3

22

1

)z,y,x(f

)zyln()z,y,x(f

e)z,y,x(fx)z,y,x(f

)ycos()xsin()z,y,x(f

z

Varoitus: merkintä fi

ei ole yksikäsitteinen,sehän voisi tarkoittaasamaa kuin useanmuuttujan funktioni:s osittaisderivaatta

Jatkossa tarkastellaan yleisiävektoriarvoisia usean muuttujanfunktiota f:Rn→Rm , missäm, n ³ 1. Monet niiden omi-naisuuksista palautuvat kompo-nettifunktioiden ominaisuuksiin:

* f on määritelty pisteessä x0 täsmälleen silloin kuin jokainen komponettifunktio on määritelty tässä lähtöavaruuden Rn pisteessä, ts. f:n määrittelyalue on komponettifunktioiden määrittelyalueiden leikkaus* funktiolla f on raja-arvo pisteessä x0 täsmälleen silloin kun jokaisella komponetti- funktiolla on raja arvo tässä pisteessä,* f on jatkuva pisteessä x0 silloin ja vain silloin kun sen jokainen komponettifunktio on jatkuva tässä pisteessä [vastaavasti f:n jatkuvuus jossakin alueessa].Esimerkki. Olkoon f:R2→R4 kuvaus 2- ja 4-ulotteisten Euklidisten avaruuksien välilläja määritelty ehdolla

)y,x(f

)y,x(f

)y,x(f

)y,x(f

))yx(sin(

yx

yxy

)y,x(f

yx

yx4

3

2

1

224

4416

2

2

23

2

(a) Mikä on f:n määrittelyjoukko Deff? Ratkaisu. Tarkastellaan komponettifunktioden määrittelyjoukkoja:

f1 ja f3 on selvästi määritelty aina eli Deff1

= Deff3 = R2.

},y2x)y,x{(Deff 22R2

},y2x&yx4)y,x{(DefSiten f 2222R

},yx4)y,x{(Def Edelleen, f222R

4

(b) Laske raja-arvo),()y,x()(flim

21x Ratkaisu: Tutkitaan

komponettien raja-arvoja:

6212)(limf 23

),()y,x(1

21

x

5)(limf(1,2)y)(x,

2

x 1)sin()(limf(1,2)y)(x,

3

3x

2

224

224224

224

4416x

yx

)yx)(yx(

(1,2)y)(x,

yx

yx

(1,2)y)(x,(1,2)y)(x,4

lim

lim)(limf

8

)(flim),()y,x(

x21

8

1

5

6

(c) Miten f(x) tulisi määritellä joukossa, jossa 4x2 = y2, jotta siitä tulisi jatkuva?Ratkaisu. Edellisen raja-arvotarkastelun nojalla ongelmallinen on 4. komponettifunktio.Koska

224

224224224

4416xyx

)yx)(yx(

yx

yx4 )(f

änmääritellä

,yxkun aina, )yx( 2222 44 224 yxjoukossa

y4x

y))(xsin(

2yx

yxy

)y,x(f

222

π

2

23

Funktioiden f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk yhdistetty funktio on kuvaus g○f:Rn→Rk, joka on määritelty kaavalla

gf Def)f(jaDefkun aina,(f(g)(fg xxx))x

Esimerkki. Olkoot funktiot f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk määritelty kaavoilla

x

z

y

x

)z,y,x(g,

y

xy

x

)y,x(f4

2

23

f:n määrittelyalue on koko R2 taso,mutta g:tä ei ole määritelty, jos xon negatiivinen eli Defg = {(x,y,z)ÎR3, x³0}

))y,x(f(g)y,x(fg )y,xy,x(g 3

3

4

2

23

x

y

)xy(

)x(

23

4

22

6

x

y

yx

x

Yhdistetyn funktion määrittelyalue:jossDef)y,x( fg x

joss Def)y,x(g jaDef)y,x( gf

joss Def)y,xy,x( jaR)y,x( g 32

joss x jaR)y,x( 032

02 x jaR)y,x(

Siis

0} x:Ry){(x,Def 2fg

)yxja( 22

Differentioituvuus, kokonaisderivaatta, Jacobin matriisiOlkoon f:Rn→Rm määritelty jossakin n-ulotteisen avaruuden pisteen X0 ympäristössä.Jos on olemassa lineaarikuvas :Rn→Rm [eli itse asiassa matriisi Amn !] ja funktiog:Rn→Rm siten, että tässä ympäristössä on aina voimassa

0XX

XX

XXXXXX

0

0

0

000

0

)(glimmissä

),(g)()(f)(f

XX

on f differentioituva pisteessä X0.f on differentioituva jossakin alueessa,jos se on differentoituva tämän alueenkaikissa pisteissä

Riittävä ehto f:n differentioituvuudelle on kaikkien komponenttifunktioiden fi, i=1,...,mkaikkien osittaisderivaattojen ∂fi/∂xj, j=1,...,n olemassaolo jatkuvina pisteessä X0.Lineaarikuvauksen rooliin tulee silloin funktion f Jacobin matriisi

)(f

)(f

)(f

)(J

m

f

0

02

01

0

X

X

X

X

nm

1

1

x

f

2

1

x

f

nx

f

1

1

2

x

f

2

2

x

f

nx

f

2

1x

fm

2x

fm

n

m

x

f

0XX

Arvoa Jf(X0)sanotaan funktion fkokonaisderivaataksipisteessä X0.

2

122

f

f

e)z,y,x(f

zyxz

xyEsimerkki. Olkoon funktio f:Rn→Rm määritelty kaavalla

Lasketaan sen kokonaisderivaattapisteessä (x,y,z) = (1, -1, 2):

)(J f 0X

),,(X 211

x

f

1

y

f

1

z

f

1

x

f

2

y

f

2

z

f

2

z

yz

x2z

xy

22 zyxe 22 zyxe2y 22 zyxe2z

64

1

62

1

62

1

4e2ee

Yhdistetyn funktion derivaatta, yleinen ketjusääntö Yhden muuttujan yhdistetyn funktion derivaatan ketju- sääntö D(g(f(x)) = g’(f(x)f(x) on opittu jo lukiossa, näimme myös derivoinnin ketjusäännön usean muuttujan muuttujan reaaliarvoisille funktioille. Nyt tämä sääntö esitetään kaikkein yleisimmässä muodossaan Jacobin matriisin avulla: Olkoot funktiot f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk differentioituvia. Silloin yhdistetyn funktiong○f:Rn→Rk kokonaisderivaatalle pätee: nkfg )](J[ 0X nmfmkg )](J[))](f(J[ 00 XX

g:n Jacobi pisteessä f(X0)f:n Jacobi pisteessä X0

matriisitulo

Esimerkki. Todennetaan kaava nmfmkg )](J[))](f(J[ 00 XXnkfg )](J[ 0X

32

3

2

1

2 RR:feli

)y,x(f

)y,x(f

)y,x(f

yx

xy

)y,x(fefunktioill

y

x

),()y,x(pisteessäRR:geli

)z,y,x(g

)z,y,x(g

)z,y,x(g

)z,y,x(g

zyx

xyz

zx

)z,y,x(gjax

yz14

432

43

4

3

2

122

1° Lasketaan ensin yhdistetty funktio g○f ja sitten sen Jacobin matriisi Jg○f:Koska

y

x

yx

xy

g))y,x(fg( y)f(x,g 2

y

xxy

y

x

)yx(

)yx(xy

y

x)yx(xy

y

xyx

4232

2

2

2

222

y

xyxxyyy

xyxx

y

xyx

4632

22

2

23

2

222

4

3

2

1

)fg(

)fg(

)fg(

)fg(

on Jacobin matriisi Jg○f =

x

)fg(

1

y

)fg(

1

x

)fg(

2

y

)fg(

2

x

)fg(

3

y

)fg(

3

x

)fg(

4

y

)fg(

4

22 2

2y

xxy

3

22 2

2y

xyx

xyx 43 2 22x

2

1

y23

22

yy

x

yy

423

2

426

y

xx

16 0

64 32

1 10

9 2

2° Lasketaan ensin Jacobin matriisit Jg(f(4,1)) ja Jf((4,1) ja sitten näiden matriisitulo.Tarvitsemme myös arvoa f(4,1) = (4,6,4).

))](f(J[ g 0X

x

g

1

y

g

1

z

g

1

x

g

2

y

g

2

z

g

2

x

g

3

y

g

3

z

g

3

x

g

4

y

g

4

z

g

4

x2 0 z2

yz xz xy

2x

yz

x

z

x

y

2 3 4

4

24

8

3

1

16

0

2

24

8

2

3

2

3

)(J f 0X

x

f

1

y

f

1

x

f

2

y

f

2

x

f

3

y

f

3

2y

x

y

1

2

x

1

y

4

2

4

1

1

1

Siten matriisituloksi saadaan

)]4,1(J[))]4,1(f(J[ fg

4

24

8

3

1

16

0

2

24

8

2

3

2

3

4

2

4

1

1

1

2-

10

32

0

9

1

64

16 Samatulos!

Yhdistetyn funktion derivoimiskaavan nkfg )](J[ 0X nmfmkg )](J[))](f(J[ 00 XX

yleinen todistus on suoraviivainen, mutta teknisesti hankalahko; ensin todetaan että koska f on differentioituva pisteessä X0, on sitä myös yhdistetty funktio. Tämän jälkeen muodostetaan yhdis-tetyn funktion Jacobin matriisi ja tarkastellaan sen paikalla (i,j) olevaa alkiota. Matriisin kertolas-kuominaisuuksista seuraa, että tämä alkio on sama kuin tulomatriisin vastaavalla paikalla oleva alkio.

Acrobat Document