Tarjans Algorithmus zur Bestimmung der starken Zusammenhangs- komponenten

Katja LosemannChris Schwiegelshohn

G = <V,E> gerichteter Graph

Gesucht sind alle starken Zusammenhangskomponenten (SZK)

Einmalige Tiefensuche durch den Graph reicht aus

SZK werden durch Wurzeln der DFS-Teilbäume eindeutig identifiziert

dfs_index(v): Reihenfolge der DFS-Aufrufe

Stack S wird in der Reihenfolge der besuchten Knoten befüllt

Bei Rückkehr Überprüfung ob aktueller Knoten v die Wurzel einer SZK

Wenn eine Wurzel gefunden wurde, bilden alle Knoten des Stacks bis zu dieser Wurzel eine SZK

zusätzlicher Wert lowlink(v) für alle v mit

lowlink(v) =min ( {num[v]} {num[x] | v→*−x )

v Wurzel, wenn lowlink(v) = dfs(v)

Eingabe Graph G ( V, E )

current_dfs := 0V‘ := VS = ∅ // S ist der Stackwhile ( V‘ not emtpy)

tarjan ( v ) // v ∊ V‘

Tarjan ( v ) :dfs_index( v ) := current_dfslowlink( v ) := current_dfsS.push ( v )current_dfs ++V‘ = V \ { v }For ( v1 | ( v, v1 ) ∊ E )

if ( v1 ∊ V‘ )tarjan ( v1 )lowlink( v ) := min ( lowlink( v ),

lowlink( v1 ) )

else if (v1 ∊ S )

lowlink( v ) := min ( lowlink( v ), dfs_index( v1 ) )

If ( lowlink( v ) = dfs_index( v ) )repeat

k = S.pop( )//Ausgabe

until ( k = v )

dfs(v)

lowlink(v))

0

1

2 3

4

5

6 7

8 9

SZK 1

lowlink(1) = 1

lowlink(5) = 2

lowlink(4) = 2

lowlink(9) = 6

lowlink(8) = 6

lowlink(7) = 6

lowlink(6) = 6

lowlink(3) = 0

lowlink(2) = 0

lowlink(10) = 3

lowlink(0) = 0

lowlink(12) = 11SZK 6,7,8,9

SZK 0,2,3,4,5

10 12 11

lowlink(11) = 11SZK 11,12

Stack:

0123456789

10

1112

Fall 1: (v‘‘,v‘) Vorwärtskante◦ Dann dfs(v‘) > dfs(v‘‘) trägt nicht zum Min bei

Fall 2: (v‘‘,v‘) Rückwärtskante◦ Dann v‘ noch auf dem Stack und in gleicher SZK

Fall 3: (v‘‘,v‘) Querkante◦ Entweder nicht im Stack und in nächster SZK,◦ oder nicht im Stack und in gleicher SZK, dann

aber normale Baumkante

lowlink garantiert, dass es immer einen Weg zu einem Knoten höher im DFS-Baum als der aktuelle Knoten existiert

lowlink(v) = dfs(v)⇒ Kein Knoten oberhalb von v kommt für SZK

in Frage Mit der letzten Kante kommt man nicht in

eine SZK, die nicht aktuell und auf dem Stack liegt.

Wäre ein Weg nur in einer Richtung vorhanden, wäre lowlink(v) = dfs(v)

Aber ist das effizient berechenbar? Tarjan muss für jeden Knoten einmal

aufgerufen werden Die Berechnung von dfs und lowlink erfolgt

rekursiv über alle angrenzenden Kanten Insgesamt wird jede Kante maximal 2x

betrachtet, damit: O( |V| + |E| )