Calculo Diferencial Numero reales y sus propiedades Miembros del Equipo: Cano Lizárraga Sergio Daniel García Rosales Jorge Alfredo Medina Pelayo Adolfo Ismael Espinoza Martinez Darwin Alexis Valtierra Espinosa Christian Grupo: 1B Carrera: Ingeniería Eléctrica Para: Enrique Jesús Blanqueto Córdova Fecha: 05 de septiembre de 2010
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Tarea N° 2 Reporte de Investigación del subtema 4 de la Unidad 1
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Calculo Diferencial Numero reales y sus propiedades
Miembros del Equipo: Cano Lizárraga Sergio Daniel
García Rosales Jorge Alfredo Medina Pelayo Adolfo Ismael Espinoza Martinez Darwin Alexis Valtierra Espinosa Christian
Grupo: 1B Carrera: Ingeniería Eléctrica Para: Enrique Jesús Blanqueto Córdova Fecha: 05 de septiembre de 2010
INTRODUCCION
Como hemos repasado en los temas anteriores nos hemos dado cuenta de que las matemáticas comienzan desde lo más básico que son los números reales y su clasificación; a partir de estos conceptos comenzamos adentrarnos a los pequeños razonamientos y a otros conocimientos elementales matemáticos como los de los intervalos, las propiedades de valor absoluto y las leyes del orden; prosiguiendo con los pequeños problemas matemáticos donde los razonamientos deben llevar un poco más de esfuerzo y estos son el álgebra y todas sus aplicaciones como la división, la factorización, etc.
CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS EN R1.
“Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan
mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados.”(1)
INTERVALOS ACOTADOS:
Intervalo abierto (a, b). Este intervalo está formado por los números reales x
comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a<x<b.
Intervalo cerrado [a, b]. Está formado por los números reales x comprendidos
entre a y b, incluidos ambos. Se expresa: a≤x≤b
Intervalo abierto a la derecha [a, b). Está formado por los números reales x
comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa: a≤x<b
Intervalo abierto a la izquierda (a, b]. Está formado por los números reales x
comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a<x≤b. (1)
Figure 1 Ilustración Mostrando Los intervalos acotados y su grafica (2)
INTERVALOS NO ACOTADOS
“Los intervalos no acotados se representan mediante una semirrecta.
(-∞, a). Está formado por los números reales x menores que a, excluido a. Se
expresa: x<a.
(-∞, a). Está formado por los números reales x menores que a, excluido a. Se
expresa: x<a.
[a,+∞). Está formado por los números reales x mayores que a, incluido a. Se
expresa: a<x.
(a,+∞). Está formado por los números reales x mayores que a, excluido a. Se
expresa: a<x. (1)
FIGURE 2ILLUSTRANDO INTERVALOS NO ACOTADOS Y SUS GRAFICAS
LA LEYES DE ORDEN
Un número a que pertenezca a los reales (a IR) es positivo si está a la
derecha del cero, esto se denota así: a > o
Un número a que pertenezca a los reales (a IR ) es negativo si está a la
izquierda del cero; esto se denota así: a < 0 o 0 > a
Si dos números reales son positivos se cumple que su suma y su producto
también son números positivos: a > 0 & b > 0 => a + b> 0 y también a*b > 0
Ley de tricotomía. Se cumple una de tres:
a & b IR => a > b o bien a=b o bien a < b
a > 0 ↔ -a < 0
A dos miembros de una desigualdad se le puede sumar una misma cantidad y
se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la dada:
a > b & c IR →a + c > b + c
Ejemplo
2≤5
=2+2≤5+2
=4≤7
Una desigualdad no cambia de sentido cuando su multiplican sus dos miembros
por un mismo factor o se divide entre un mismo divisor positivo
Ejemplo
10<20
=10/5<20/5
=2<4
Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican por un factor negativo
o se divide entre un mismo divisos también negativo.
Ejemplo
2≤5
2*-2≤5*-2
=-4≥-10
Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma
potencia la desigualdad no cambia de sentido.
2<8
=22<42
=4<16
Si dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia
degrado impar no cambia en el sentido de la desigualdad. Pero hay cambio de
sentidos si la potencia es par.
Ejemplos
-2<-1 -23<-13
=-22<-12 =-8<-1
=4>1
Sumando miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene
otra desigualdad del mismo sentido: a>b & c>d → a + c > b + d
(2x>5) & (3x>6) =
2x>5
+3x>6
5x>11
Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario resulta
una desigualdad de igual sentido que el minuendo.
5 minuendo 2x>5 -3 -x>6 2 x>-1
Transitividad: a > b & b > c →a > c
TODO EL ALGEBRA DE LOS NUMEROS REALES
A D I C I Ó N O S U M A
“La suma de expresiones algebraicas se obtiene agrupando los términos semejantes y reduciendo los
coeficientes, poniendo mucha atención a los signos de cada término.
Ejemplo:
(3x2 + 6x – 4 + 2xy) + (3 – 4x + 3yx – 9x2 ) =
3x2 + 6x + 2xy – 4
– 9x2 – 4x + 3yx + 3
- 6x2 + 2x + 5xy - 1
S U S T R A CC I Ó N O R E S T A
Se realiza la misma agrupación que para la suma, el cambio que presenta la sustracción es la inversión
de signos en cada término del sustraendo.
(- 3 x + 6 x2 – 9 x3 + 6 x y) - (2 x2 + 3x3 – 9 x y + 3) =
(- 3 x + 6 x2 – 9 x3 + 6 x y) - 2 x2 - 3x3 + 9 x y - 3 =
- 9 x3 + 6 x2 - 3 x + 6 x y
- 3 x3 - 2 x2 + 9 x y - 3
-12 x3 + 4 x2– 3 x + 15 x y – 3
P R O D U C T O Ó MULTIPLICACIÓN.
Para el producto de expresiones algebraicas se utiliza la propiedad distributiva de los números
reales; a ( b + c ) = a b + a c y a ( b – c ) = a b - a c , es decir, se multiplica cada término del
1er factor por cada término del 2do factor, el producto realizado anteriormente tiene que implicar las
leyes de los signos y las leyes de los exponentes.