1. LMITES
1.1 Introduccin a lmites
Los lmites se ocupan para el clculo de funciones. Existen
funciones con puntos tanto definidos como no definidos. Los lmites
son mayormente tiles para funciones con puntos no definidos, por lo
que con ellos podemos encontrar el valor aproximado de un punto
indefinido en cierta funcin.
Para tener una idea ms relativa de la definicin de lmite, se
puede dar la interpretacin grfica de una funcin particular. Por
ejemplo, si se tiene la siguiente funcin: (1.1)
Tenemos que la funcin no est determinada en , por lo tanto debe
ser diferente de 1 para poderla resolver. El equivalente de dicha
funcin sera: (1.2)
Entonces tomar el valor de 1 para todos los valores de , excepto
cuando . La grafica de la funcin se muestra en la figura 1, se
puede observar que en el punto esta indefinido.
-3 -2 -1 1 2 3 4 2
1
-1
-2
Figura 1.1: Grfica de la funcin ecuacin 1
Si ponemos valores a que sean prximos a 1, como por ejemplo
0.999 del lado izquierdo o 1.001 en el lado derecho, el valor de se
aproximar bastante a 1, pero nunca es 1.
Por lo que podemos decir que tiende a 1 en el punto . La notacin
para esta funcin quedara de la siguiente manera: (1.3)
1.2 Calculo de un lmite.
Si queremos encontrar el lmite para la siguiente funcin :
(1.4)
Tenemos que cuando el , la funcin no est definida en 2. En la
figura 1.2 podemos ver la grfica de esta funcin.
Figura 1.2: Grafica de la funcin
Entonces si factorizamos la funcin tenemos que:(1.5)
(1.6)
El valor de se aproxima a 5 cuando el valor de tiende a 2
1.3 Definicin formal de un lmite
Para poder formalizar esta definicin de lmite, se usa la
proposicin de Augustn-Lous Cauchy. Su definicin - de lmite es la
que suele usarse en la actualidad y esta denotada por las letras
griegas (psilon) y (delta).
1.3.1 Definicin de lmite de una funcin.Sea una funcin definida
en cada nmero de algn intervalo abierto que contiene a , excepto
posiblemente en el mismo . El lmite de cuando se aproxima a es , y
se escribe como
si la siguiente proposicin es verdadera:
Dada cualquier , no importa cun pequea sea, existe una tal
que
En otras palabras, esta definicin establece que los valores de
funcin se aproximan al lmite conforme lo hace al nmero si el valor
absoluto de la diferencia entre y puede hacerse tan pequea como se
desee tomando suficientemente cerca de pero no igual a .
Figura 1.3: Definicin - del lmite cuando tiende a .
En la figura 1.3 se tiene que es un nmero positivo. De lo
escrito en la ecuacin () donde tenemos que se acerca
arbitrariamente a , significa que pertenece al intervalo . Esto se
puede escribir como(1.7)
Del mismo modo, denotamos que se aproxima a , eso significara
que existe un nmero positivo tal que pertenece al intervalo , o
bien al intervalo . De modo que esto puede expresarse de manera
concisa mediante la doble desigualdad(1.8)
La primera desigualdad expresa que . La segunda desigualdad
indica que est a una distancia menor que .
Esta definicin de limite se puede comprobar con algn ejemplo, en
este caso se comprobara que el
Sean . De acuerdo con la definicin (), se debe demostrar que
para todo , existe tal que si , entonces .
Para tener una idea de cmo elegir se pueden estudiar la
desigualdad en la que interviene . La siguiente es una lista de
desigualdades equivalentes: (1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Tomando , si , entonces se satisface la ltima desigualdad de la
lista , como todas ellas son equivalentes, la primera tambin
satisface. Entonces, por la definicin 1.3.1 .
2. DERIVADAS
2.1 Ejemplo de la recta tangente
Muchos problemas del clculo dependen de la determinacin de la
recta tangente, es decir, cuando se quiere encontrar la funcin en
un punto especifico de su grfica, como se muestra en la figura
2.1.
Figura 2.1: Recta tangente de la grfica de en .
La solucin para hallar la ecuacin de la recta tangente en el
punto se basa en conocer la pendiente en ese punto. Para tener una
aproximacin de esta pendiente se traza una recta por el punto
tangencial y otro punto sobre la curva, como se muestra en la
figura 2.2a. A esta recta se le da el nombre de recta secante. Si
es el punto tangencial y es un segundo punto en la grfica, la
pendiente de la recta secante que pasa por estos puntos se denota
como: (2.1)
a) La recta secante que pasa por b) Cuando Q tiende a P, las
rectas y aproximado a la recta tangenteFigura 2.2
A medida que el punto se aproxima al punto , la pendiente de la
recta secante se aproxima a la de la recta tangente, como se
muestra en la figura 2.2b. Cuando existe tal posicin aproximada, se
dice que la pendiente de la recta tangente es el lmite de la
pendiente de la recta secante.
Por lo tanto la definicin de la recta tangente con pendiente
sera: si est definida en un intervalo abierto que contiene a y
adems existe un lmite, tenemos que: (2.2)
entonces, la recta que pasa por el punto y cuenta con una
pendiente es la recta tangente a la grfica de en el punto .
Si quisiramos buscar la pendiente en la grfica para una funcin
lineal especfica como por ejemplo en el punto (2,1). Tenemos que
cuando aplicamos la definicin de la ecuacin () en la funcin cuando
, entonces: (2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
La pendiente de en es , como se muestra en la figura 2.3.
Figura 2.3: La pendiente de en es 2.2 Definicin de la
derivada
2.2.1 Definicin de derivada de una funcin La derivada de la
funcin es aquella, denotada por , tal que su valor en un nmero del
dominio de est dado por
si este lmite existe.
Se puede observar que la derivada de una funcin de tambin es una
funcin de . Esta nueva funcin proporcional a la pendiente de la
recta tangente a la grfica de f en el punto (x, , siempre y cuando
la grfica tenga una recta tangente en dicho punto.
Por ejemplo si se quisiera determinar la derivada si de acuerdo
con la definicin 2.2.1. Para encontrar la solucin podemos decir que
si es un nmero del dominio de , entonces de (3) (2.8)
(2.9)
(2.10)
Por tanto, la derivada de es la funcin de definida por
El uso del smbolo destaca que se deriva (o proviene) de la
funcin y su valor en x es se considera que (2.11)
donde se denomina incremento de y denota un cambio de valor de
la funcin cuando vara en . Al utilizar la formula () y escribir en
lugar de la formula se transforma en (2.12)
El smbolo que fue introducido por el matemtico Joseph Langrange,
se emplea en este texto como un smbolo para la derivada.
Por ejemplo podramos calcular si . Se tiene que a se le ha dado
el valor de por lo tanto (2.13)
Racionalizamos el numerador para poder evaluar este lmite.
(2.13)
Si dividimos el numerador y el denominador entre (ya que se
obtiene (2.14)
3. INTEGRALES
Como en las operaciones bsicas de adiccin y multiplicacin que
tienen las operaciones inversas de sustraccin y divisin,
respectivamente, la derivada tambin tiene su operacin inversa, a
esta se le conoce como antiderivada o en todo caso, integral.
3.1 Definicin de una Integral
3.1.1 Definicin de una IntegralUna funcin se denomina funcin
integral de la funcin en un intervalo si para todo valor de en
.
Un ejemplo ilustrativo podra ser si F es la funcin definida por
entonces se tiene que .
Ahora si es la funcin definida por entonces es la derivada de ,
y es la integral de .
Y si definimos otra funcin como entonces . En realidad,
cualquier funcin determinada por en donde es una constante, es una
integral de .
3.2 Diferentes tipos de Integrales.
Ejemplo de integral inmediata para la funcin
(3.1)
La solucin de este ejemplo denota en
(3.2)
Otro ejemplo pero para una integral varia.
(3.3)
La solucin de esta sera
(3.4)
Otro Integral podra ser
(3.5)
Y su respectiva solucin es
(3.6)
Y as se puede observar que de acuerdo a ciertos teoremas en
virtud a las condiciones de derivadas podemos encontrar la solucin
inversa de esta.
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Si quisiramos conocer el precio de un objeto particular, este
puede depender de diversas variables como por ejemplo el costo de
produccin, el costo de materia prima, los gastos generales y el
costo de transporte. Ese ejemplo nos muestra la nocin de funcin a
funciones de ms de una variable independiente. Para entender bien
este concepto tendremos que conocer el espacio dimensional en el
que nos encontramos. As como normalmente se denota para un nmero
real , puede ser un punto de un par ordenado de nmeros reales , o
como para una terna de nmeros reales y as sucesivamente para -ada
nmeros reales denotada por .
Por lo que se establece se puede decir que el conjunto -adas de
nmeros reales se denomina espacio numrico -dimensional y se denota
por . Cada -ada se llama punto del espacio numrico -dimensional.
Por lo que con esto se establece la definicin para variables.
4.1.1 Definicin de funcin de variables Se le determina a una
funcin de variables a un conjunto de pares ordenados de la forma ,
estos pares ordenados no tienen el mismo primer elemento. es un
punto del espacio numrico n-dimensional y es un nmero real.
El conjunto de todos los puntos admisibles en son el dominio de
la funcin y as mismo todo el conjunto de nmeros admisibles para son
el contradominio de la funcin. Por lo que el dominio de una funcin
de variables es un conjunto de y su contradominio es un conjunto de
nmeros de R. Por ejemplo para , se tiene una funcin de dos
variables, el dominio vendra siendo un conjunto de los puntos ,
equivalentemente un conjunto de los nmeros reales .
Un ejemplo ilustrativo de lo que se ha dicho hasta el momento
puede ser para una funcin (4.1)
Tenemos que el dominio de la funcin es el conjunto . Esto nos
representa la grfica de una circunferencia sobre un plano . En la
figura se muestra a el , podemos notar el contradominio de la
funcin es el intervalo cerrado .
Figura 4.1: Representacin grfica de sobre el plano .
Por otra parte tambin tenemos que en una funcin de variables
puede definirse por la ecuacin (4.2)
As que las variables son independientes, mientras que w es una
variable dependiente.
Ahora por ejemplo dndole numricamente valores arbitrarios a la
misma funcin tenemos que: (4.3)
o por ejemplo para (4.4)
Se puede apreciar que depende los valores de
Definicin de la grfica de una funcin de dos variables Si es una
funcin de dos variables, entonces la grfica de f es el conjunto de
todos los puntos de para los cuales es un punto del dominio de
y
Por lo tanto se tiene que la grfica en el espacio tridimensional
consta de todos los puntos de una superficie y su ordenada de
nmeros corresponde a . El ejemplo ilustrativo lo representamos con
la misma funcin del ejemplo anterior.
Esta se puede representar de la siguiente manera: (4.5)
Donde la sabemos que el par ordenado de corresponde al valor de
z. Por lo tanto la grfica de es la semiesfera en el plano y por
arriba de ste cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta
semiesfera se muestra en la figura 4.2.
Figura 4.2: Grfica de la funcin de la ordenada de nmeros .
5. DERIVADAS PARCIALES
Si se busca la derivada en funcin a un valor real de variables,
esta se debe considerar como la funcin de una variable manteniendo
fijas a las otras variables. Es de aqu donde surge el termino de
derivada parcial, que en otras palabras es, derivar una funcin de
variables con respecto a una de ellas.
5.1.1 Definicin de derivada parcial de una funcin de dos
variablesSea una funcin de las variables de y . La derivada parcial
de con respecto a es la funcin denotada y su valor en cualquier
punto esta dado por
siempre y cuando el lmite exista. Ahora de similar forma, la
derivada parcial con respecto a es la funcin denotada y su valor en
cualquier punto esta dado por
si el lmite existe.
Otra manera de llamarle a la derivada parcial es por el trmino
diferenciacin parcial. Tambin otras notaciones mayormente
utilizadas para son . Adems para la notacin esta es . El mismo caso
es para las notaciones de y .
Ahora si se tiene que , entonces se puede expresar como . Solo
hay que tener en cuenta que y no son la razn una de otra, puesto
que ninguno de los smbolos tiene significado por separado.
Para comprobar la definicin 5.1.1 de derivada parcial, vamos a
calcular y para la siguiente funcin:(5.1)
Primero para
(5.2)
(5.4)(5.5)(5.3)
(5.6)
(5.7)
Ahora para
(5.8)
(5.9)
(5.10)(5.11)
(5.12)
(5.13)
Como se puede notar el resultado de derivada parcial es
diferente para cada variable. Por lo que ninguna es funcin de la
otra.
6. MXIMO Y MINIMOS
Los mximos o mnimos de una funcin son los conocidos como
extremos de dicha funcin, es decir, son los valores ms grandes
(mximos) o ms pequeos (mnimos) que toma la funcin en un punto
situado ya sea dentro de un rea en particular o en el dominio de la
funcin.
6.1 Valor mximo relativoUna funcin tiene un valor mximo relativo
en el nmero c si existe un intervalo abierto que contiene un nmero
, tal que para toda x en ese intervalo. Esto se muestra en la
figura () donde los dos incisos muestran una porcin de la grfica de
una funcin que tiene un valor mximo en . (a)(b)
Figura 6.1: Representacin grfica funciones que tienen un valor
mximo en .
6.2 Valor mnimo relativoUna funcin tiene un valor mnimo relativo
en el nmero c si existe un intervalo abierto que contiene un nmero
, tal que para toda x en ese intervalo. En los incisos de la figura
() se muestra una porcin de la grfica de una funcin que tiene un
valor mnimo en .
(a)(b)
Figura 6.2: Representacin grfica funciones que tienen un valor
mnimo en .
Si una funcin tiene un valor mximo relativo o un valor mnimo
relativo entonces dicha funcin tiene un extremo relativo en . Si
queremos determinar algn nmero posible en los que la funcin tiene
un extremo relativo podemos decir que existe para todos los valores
de en el intervalo abierto y si tiene un extremo relativo en ,
donde , y adems existe, entonces .
7. OPERADORES DIFERENCIALES
Un operador es un objeto matemtico que convierte una funcin en
otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una funcin en una
funcin diferente llamada la funcin derivada. Podemos definir el
operador derivaba como D que al actuar sobre una funcin
diferenciable produce la derivada de esta, esto es:
(7.1)
Es posible construir la siguiente combinacin lineal con los
operadores diferenciales: (7.2)
donde son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar
Operador Polinomial de orden n.
La utilidad de este objeto matemtico quedar clara si hacemos la
siguiente definicin.
(7.3)
Por otro lado, recordemos que una ecuacin diferencial lineal de
orden con coeficientes constantes es una ecuacin de la forma
(7.4)
por lo tanto, (7.4), se puede escribir compacta como (7.5)
EJEMPLO: Si queremos encontrar una ecuacin particular de
(7.6)
Por alguno de los mtodos anteriormente visto podemos encontrar
las soluciones particulares de cada una de las siguientes
ecuaciones
(7.7)
Las soluciones son, respectivamente
(7.8)
Por lo tanto la, una solucin particular de la ecuacin
diferencial del problema es (7.9)
8. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Algunas veces es necesario maximizar o minimizar una funcin que
est a una relacin . Esta relacin se denomina condicin lateral o
restriccin.
Los multiplicadores de Lagrange son otro mtodo alterno para
hallar los extremos sujetos a restricciones. Si suponemos la
relacin es una curva en el plano y se sabe que (8.1)
es perpendicular a la curva de todos sus puntos. Si maximizamos
o minimizamos se tendr que (8.2)
este apunta en la direccin de mximo crecimiento de la funcin en
todos sus puntos. Adems si calculamos con un vector unitario
tenemos que es
Ahora bien, en un punto en la curva , donde tiene un extremo
local cuando se considera solamente en la curva, la derivada
direccional de a lo largo de la curva debe ser cero. Es decir debe
ser normal a la curva en tal punto. Por esto y son paralelos en ese
punto por lo que existe . Tal que(8.4)
Esta ltima ecuacin conduce a las siguientes tres condiciones
(8.5)
Es posible resolver las tres condiciones en las tres incgnitas .
Estas ecuaciones son las condiciones del mtodo de los
multiplicadores de Lagrange. Se puede decir que esta es una
herramienta apropiada para obtener dichas condiciones. Sea(8.6)
Estas condiciones son equivalentes en el mismo orden tal sea
(8.7)
La variable es la denominada multiplicador de Langrage.
Para tener una mejor de la definicin utilizaremos un ejemplo
donde previamente se busco encontrar las dimensiones de un
rectngulo de rea mxima que est inscrito en un crculo de radio , tal
como se muestra en la figura 8.1.
Figura 8.1: rea mxima de un rectngulo inscrita en un semicrculo
de radio a
De la figura del problema consisti en maximizar la funcin que es
el rea, y est sujeta a la restriccin
Tenemos que y y as por lo que .Ahora si en el mismo ejemplo
ocupamos la definicin de Lagrange. Primero formamos que (8.8)
luego escribimos(8.9)
Se sustituyen y , se obtiene lo siguiente: (8.10)
Y se sabe que (8.11)
Por lo tanto (8.12)
Para este caso el nico valor valido sera el de e . De esto se
obtiene(8.12)
Entonces el valor mximo deseado es (8.12)
9. BIBLIOGRAFA
John B. Fraleigh, Calculo con geometra analtica, Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, E.U.A, 1980.
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analtica, Mc Graw Hill, Sexta Edicin en Espaol, Mxico,
Louis Leithold, El Calculo 7. Edicin, Oxford University Press
Mxico, 2007
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