PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE POSGRADO TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA IMPLEMENTADO EN MATLAB PARA RESOLVER PROBLEMAS DINAMICOS DE UN SISTEMA DE 1 GDL TAREA N° 02 Curso: Ingeniería Sismo Resistencia GRUPO: N° 03 Integrantes: López Montalbán, Saulo Montesinos Escobar, Mijail Ramírez Caparó, Eduardo Retamozo Fernández, Saul Saucedo Abanto, Cristhian Docente: Dr. Ing. Víctor Iván Fernández Dávila Gonzales. Lima, Mayo del 2015 Comentarios: Buen trabajo. No obstante, faltan algunos comentarios, ¿Què ocurre con la estabilidad? ¿Precisiòn? ¿Qué método recomienda? NOTA: 18 DIECIOCHO
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
ESCUELA DE POSGRADO
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA IMPLEMENTADO EN MATLAB
PARA RESOLVER PROBLEMAS DINAMICOS DE UN SISTEMA DE 1 GDL
TAREA N° 02
Curso:
Ingeniería Sismo Resistencia
GRUPO: N° 03
Integrantes:
López Montalbán, Saulo
Montesinos Escobar, Mijail
Ramírez Caparó, Eduardo
Retamozo Fernández, Saul
Saucedo Abanto, Cristhian
Docente:
Dr. Ing. Víctor Iván Fernández Dávila Gonzales.
Lima, Mayo del 2015
Comentarios:Buen trabajo. No obstante, faltan algunos comentarios,
¿Què ocurre con la estabilidad? ¿Precisiòn?¿Qué método recomienda?
3.1. Método basado en la interpolación de la excitación:...................................................... 7
3.2. Método de la diferencia central. ..................................................................................... 8
3.3. Método de Newmark (aceleración lineal y promedio). .................................................. 9
4. Casos de estudio y resultados .................................................................................... 10
4.1. Caso 1: Carga externa igual a medio pulso sinusoidal y con condiciones iniciales. .... 10
4.2. Caso 2: Carga externa dada por un registro de aceleraciones que actúa en la base del sistema. ................................................................................................................................ 13
4.3. Resultados teóricos del Caso 1. .................................................................................... 14
4.4. Influencia del intervalo de integración ∆ en la solución de los métodos numéricos .. 16
Tabla 5:Ecuacion de movimiento para diferentes condiciones .......................................... 15
Tabla 6:Velocidades y desplazamientos del sistema bajo diferentes condiciones ............. 16
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL.
Resumen
Las estructuras civiles normalmente están sometidas a solicitaciones arbitrarias como son
los eventos sísmicos, la solución de este tipo de sistemas puede ser muy compleja debido a
la variabilidad de la carga impuesta. Ante este escenario, diferentes métodos de integración
numérica se han aplicado a la solución de problemas de 1 grado de libertad (1 GDL)
sometidos a este tipo de cargas. Dichos métodos permiten encontrar una solución
aproximada sin resolver las ecuaciones diferenciales cuya solución exacta puede tener un
alto costo computacional. En el presente documento se han implementado tres métodos
numéricos para resolver ecuaciones diferenciales aplicadas a la solución de sistemas de 1
GDL. Mediante una comparación con los resultados teóricos de una carga semi-sinusoidal,
se ha determinado que los métodos planteados pueden reproducir con una buena
aproximación la respuesta exacta.
1. Introducción
En la naturaleza existen fenómenos que condicionan el comportamiento de las
edificaciones, como es el caso de los sismos que hacen que las edificaciones tengan un
desempeño determinado ante estos. En los últimos siglos se han desarrollado maneras de
representar el comportamiento de las estructuras en modelos simples. Estos modelos
pueden ser sistemas de uno (1GDL) o varios grados de libertad (MGDL) que son
necesarios para el análisis de la respuesta dinámica de las estructuras. Dichos modelos
incluyen las propiedades de la estructura y la naturaleza de la fuerza que las excita
descritas en una ecuación de movimiento. Esta fuerza excitadora puede ser representada
por una fuerza exterior o un movimiento sísmico. La solución analítica de la ecuación de
movimiento para un sistema de 1GDL no es posible si la excitación varía arbitrariamente
con el tiempo o si el sistema no es lineal. En estas circunstancias se emplean métodos
numéricos para la integración de ecuaciones diferenciales. Existe gran variedad de
bibliografía para desarrollar estos métodos como son [1] y [2] donde se observan algunos
métodos como el de diferencia central, basados en la interpolación, Newmark y Euler-
Gauss que brindan una buena aproximación al cálculo de la respuesta dinámica.
2. Antecedentes
Durante años se han buscado formas de representar el comportamiento de la estructuras
ante fenómenos naturales. En este contexto se ha construido la ecuación de movimiento
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
6
hacia finales del siglo XVIII e introducida por Isaac Newton. Esta ecuación diferencial
representa el comportamiento de la estructuras ante determinadas fuerzas de excitación. La
naturaleza de estas fuerzas de excitación juega un papel importante debido a su la
variabilidad y no linealidad de la estructura. En respuesta a estas condiciones, se han
creado distintos métodos numéricos que permitían evaluar este fenómeno. La naturaleza de
dichos métodos condiciona el realizar cálculos extensos que en su mayoría resultan
imposibles de realizar. Con la aparición de las primeras computadoras en el año 1938 –
1958, diferentes problemas que incluían cálculos aritméticos exorbitantes fueron
desarrollados de una manera más rápida y eficaz. En el caso de la solución de ecuaciones
de movimiento, los métodos numéricos pasaron a convertirse en herramientas
imprescindibles para comprender la naturaleza de las edificaciones ante fuerzas externas.
3. Metodologías
No siempre es posible encontrar la solución analítica de la ecuación de movimiento de un
sistema de 1GDL cuando la excitación o carga que genera el movimiento varía
arbitrariamente en el tiempo. Este tipo de problemas es posible solucionarlos mediante la
utilización de métodos numéricos paso a paso. Entre estos métodos tenemos el basado en
la interpolación de la excitación, diferencia central y el de Newmark.
En el presente trabajo se desarrolló estos tres métodos implementados en una rutina en el
programa MATLAB. Se creó una interface para el usuario que permite su fácil aplicación
al cálculo de la respuesta de un sistema de 1GDL. Un manual de uso de esta herramienta se
encuentra en los Anexos de este documento.
Con la finalidad de validar la herramienta implementada se desarrolló dos casos de estudio
donde se analiza la respuesta de un sistema de 1GDL ante dos tipos de carga, una
sinusoidal (Caso 1) y la otra una aceleración debido a un movimiento sísmico (Caso 2).
Para el Caso 1 se desarrollan 6 sub-casos donde se varía las condiciones iniciales del
movimiento del sistema y el periodo de duración de la carga. Adicionalmente el Caso 1
también fue solucionado de manera teórica que permitió realizar una comparación con la
solución numérica calculada con la herramienta implementada en MATLBAB.
Todos los resultados encontrados se muestran en tablas y graficas que permiten comparar y
medir la sensibilidad de cada uno de los métodos numéricos implementados ante los
diferentes paramentos y condiciones de la estructura y de las cargas.
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
7
A continuación se hace una breve descripción de cada uno de los métodos de análisis
desarrollados:
3.1. Método basado en la interpolación de la excitación:
Mediante la interpolación de la excitación (carga) en cada intervalo de tiempo es posible
desarrollar un procedimiento numérico muy eficiente, empleando intervalos de tiempo
muy cortos. En la Figura 1 se muestra que durante el intervalo de tiempo ti ≤ t ≤ ti+1, la
función de excitación está dada por:
Figura 1: Notación para una excitación interpolada linealmente
Donde:
Y la variable de tiempo varia de 0 a ∆ . por simplicidad algebraica se explica el método
para un sistema sin amortiguamiento.
Sometida a las condiciones iniciales 0 0 . La respuesta durante el intervalo de tiempo 0 resultados0 ∆ es la suma de tres partes: (1) (1) la vibración
libre debida al desplazamiento inicial y la velocidad .en τ = 0, (2) la respuesta a la fuerza de paso pi con condiciones iniciales nulas y (3) la respuesta a la fuerza incremental ∆
∆ con condiciones iniciales nulas. Al adaptar las soluciones disponibles para estos tres
casos en, se obtiene:
Y las diferencias de
Inserte fuente!
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
8
Si se evalúan estas ecuaciones en ∆ , se obtiene el desplazamiento u i+1 y velocidad ui+1 en el instante i + 1. Estas ecuaciones pueden reescribirse después de sustituir la ecuación anterior como fórmulas de recurrencia:
Este procedimiento numérico es de gran utilidad cuando la excitación se define en
intervalos de tiempo espaciados de tal forma (como en la aceleración del suelo en un
sismo) que la interpolación lineal es en esencia perfecta. Si el paso de tiempo ∆t es
constante, los coeficientes A, B, …, D′ necesitan calcularse solo una vez.
3.2. Método de la diferencia central.
Se realiza una aproximación por diferencias finitas de las derivadas del desplazamiento
(velocidad y aceleración). Este método esta descrito en detalle en el Capítulo 5 del libro
Dinámica de Estructuras [chopra]. Se describe en detalle en la siguiente tabla:
1.0 Calculos iniciales
2.0 Calculo para el paso del tiempo i
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
9
3.0 Repetición para el próximo paso de tiempo
Reemplace i por i+1 y repita los pasos 2.1, 2.2 y 2.3 para el siguiente paso de tiempo.
3.3. Método de Newmark (aceleración lineal y promedio).
Este método fue desarrollado en 1959 por N. M. Newmark basados en métodos paso a
paso en el tiempo como muestran las siguientes formulas:
Este método se puede modificar para obtener los métodos de la aceleración promedio
constante y el método de la aceleración lineal que vienen a ser casos especiales del método
de Newmark.
(1) Método de la aceleración promedio constante
(2) Método de la aceleración lineal
1. Cálculos iniciales
2. Cálculos para cada paso de tiempo i=0, 1, 2,…
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
10
3. Repetición para el siguiente paso de tiempo, Reemplace i por i+1 y aplique los pasos 2.1
a 2.4 para el siguiente paso de tiempo
4. Casos de estudio y resultados
Para la validación de la herramienta implementada en MATLAB se desarrollaran dos casos
de estudio basados en los datos del ejercicio 5.1 del libro de Dinámica de Estructuras de
Chopra [1] . EL resumen de la información de entrada se presenta en la Figura 2 a
continuación
Masa (m) = 0.2533 kips-s2/pulg
Rigidez (k) = 10 kips/pulg
Periodo T = 1 seg
w = 6.2832 rad/seg
ξ = 0.05
w = 6.2753 rad/seg
P = 10 kips
t =tiempo de duración de la carga
armónica
Figura 2 Características dinámicas del sistema y carga aplicada
Los dos casos de estudio desarrollados en este trabajo son los que se mencionan a
continuación:
4.1. Caso 1: Carga externa igual a medio pulso sinusoidal y con condiciones
iniciales.
Para una mejor apreciación de la influencia de las variables, este caso se divide en
subcasos que se diferencian por los valores asignados a las condiciones iniciales (u0 y ů
0) y
las duraciones del medio pulso sinusoidal (tp): Los subcasos son los siguientes:
1) Caso 1_1: u0 = 0.0 in y ů0 =0.0 in/sec; tp= 0.6 sec (Sistema original).
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
11
2) Caso 1_2: u 0 = 0.5 in y ů0 =1.5 in/sec; tp= 0.6 sec.
3) Caso 1_3: u 0 = 0.0 in y ů0 =0.0 in/sec; tp= 0.2 sec.
4) Caso 1_4: u 0 = 0.5 in y ů0 =1.5 in/sec; tp= 0.2 sec.
5) Caso 1_5: u 0 = 0.0 in y ů0 =0.0 in/sec; tp= 1.8 sec.
6) Caso 1_6: u 0 = 0.5 in y ů0 =1.5 in/sec; tp= 1.8 sec.
En las Tabla 1, Tabla 2, Tabla 3 y Tabla 4 se muestran los resultados de los subcasos para
los métodos de Integración de la excitación, Diferencia Central, y Newmark tanto para
aceleración lineal como para promedio. Estos valores fueron calculados haciendo uso de la
herramienta implementada en MATLAB.
Tabla 1. Velocidades y Desplazamientos calculados por el método de Integración de la excitación Caso 1_1 Caso 1_2 Caso 1_3 Caso 1_4 Caso 1_5 Caso1_ 6
(c) (d) Figura 7 Respuesta del sistema (a) desplazamientos casos 1_1, 1_3 y 1_5, (b) desplazamientos casos 1_2, 1_4 y 1_6 , (c) velocidades casos 1_1, 1_3 y 1_5 y (d) velocidades casos 1_2, 1_4 y 1_6
4.4. Influencia del intervalo de integración ∆ en la solución de los métodos
numéricos
Para evaluar la precisión de los cuatro métodos implementados se desarrolló el caso 1_1
para tres intervalos de tiempo: 0.02 segundos, 0.1 segundos y 0.2 segundos y así
determinar la influencia de este parámetro en la solución que brinda cada método. El
primer intervalo de tiempo se recomienda para el cálculo de estructuras [1], el segundo es
el dado por el problema y tercero se escogió de tal forma que no se tuvieran problemas de
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Des
plaz
amie
nto
(pul
g)
Tiempo (seg)
Tp=0.6
Tp=0.2
Tp=1.8
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Des
plaz
amie
nto
(pul
g)
Tiempo (seg)
Tp=0.6
Tp=0.2
Tp=1.8
-6.0
-3.0
0.0
3.0
6.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Vel
ocid
ad (
pulg
/seg
)
Tiempo (seg)
TP=0.6
Tp=0.2
Tp=1.8-9.0
-6.0
-3.0
0.0
3.0
6.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Vel
ocid
ad (
pulg
/seg
)
Tiempo (seg)
Tp=0.6
Tp=0.2
Tp=1.8
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
17
solución [1]. En la Figura 8 se muestran resultados puntuales de desplazamiento para los
diferentes valores del intervalo de tiempo según cada método numérico.
Se observa que para el método basado en la interpolación de la excitación para el intervalo
de 0.02, 0.1 y 0.2 segundos se tienen diferencias de 1, 2 y 10% del valor teórico
respectivamente. Para el método de la diferencia central para el intervalo de 0.02, 0.1 y 0.2
segundos se tienen diferencias de 4, 9 y 38% del valor teórico respectivamente. Para el
método de Newmark con aceleración promedio para el intervalo de 0.02, 0.1 y 0.2
segundos se tienen diferencias de 0.5, 10 y 40% del valor teórico respectivamente. Para el
método de Newmark con aceleración lineal para el intervalo de 0.02, 0.1 y 0.2 segundos se
tienen diferencias de alrededor de 0.5, 8 y 30% del valor teórico respectivamente. Estos
métodos muestran sin embargo errores que van desde el 100 al 1000% en ciertos puntos.
El método que mejor se ajusta a los resultados teóricos para intervalo de tiempo de 0.2
segundos es el de la interpolación de la excitación, mientras que para intervalos de tiempo
más pequeños el método de Newmark se ajusta mejor siendo el de la aceleración lineal el
que muestra mejores resultados (ver Figura 9).
(a) (b)
(c) (d)Figura 8. Respuesta del sistema para diferentes intervalos de tiempo (a) método basado en la interpolación de la excitación (b) método de la diferencia central (c) método de Newmark con aceleración promedio y (d) método de Newmark con aceleración lineal.
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Des
plaz
amie
ntos
(pu
lg)
Tiempo (seg)
Teórico delta 0.2 delta 0.1 delta 0.02
-2.0-1.5-1.0-0.5
0.00.51.01.52.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Des
plaz
amie
ntos
(pu
lg)
Tiempo (seg)
Teórico delta 0.2 delta 0.1 delta 0.02
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Des
plaz
amie
ntos
(pu
lg)
Tiempo (seg)
Teórico delta 0.2 delta 0.1 delta 0.02
-2.0-1.5-1.0-0.50.0
0.51.01.52.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Des
plaz
amie
ntos
(pu
lg)
Tiempo (seg)
Teórico delta 0.2 delta 0.1 delta 0.02
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
18
(a)
(b)
(c) Figura 9. Respuesta numérica (a) intervalo de 0.02 segundos (c) intervalo de 0.1 segundos y (d) intervalo de 0.2 segundos
-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Des
plaz
amie
ntos
(pu
lg)
Tiempo (seg)
Teórico Integración
Diferencia Newmark lineal
Newmark promedio
-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0Des
plaz
amie
ntos
(pu
lg)
Tiempo (seg)
Teórico Integración
Diferencia Newmark lineal
Newmark promedio
-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Des
plaz
amie
ntos
(pu
lg)
Tiempo (seg)
Teórico Integración
Diferencia Newmark lineal
Newmark promedio
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
19
5. Conclusiones
Del caso 1 se puede concluir que a manera global los métodos presentan una buena
aproximación, siendo el método de Newmark promedio el que produce un ligera
imprecisión con respecto a los resultados teóricos. También se puede observar que cuando
se analiza la influencia del ∆t en el cálculo de la respuesta el método de la interpolación de
la excitación es el que mejor se aproxima para valores de ∆t altos. Adicionalmente el
método de Newmark con aceleración lineal presenta una mejor aproximación cuando se
analiza un ∆t más bajo.
En el caso 2 los métodos de Newmark y diferencia central presentan resultados parecidos
entre ellos inclusive precien el mismo tiempo donde se presenta el desplazamiento pico, y
el método de interpolación predice un valor pico más alto que los otros tres.
Referencias
1] A. K. Chopra, Dynamics of Structures Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice
Hall: Upper Saddle River, NJ., 1995.
2] R. W. Clough y J. Penzien, Dynamics of Structures 2° Edición, Berkley: MacGraw-Hill, 1993.
Grupo 3 - Técnicas de integración numérica implementadas en MATLAB para resolver problemas dinámicos de un sistema de 1 GDL
20
Anexos
A. Manual de usuario ‘Programa_Tarea_2’
Lee detenidamente estas instrucciones antes de utilizar el programa