TarArmaduras

1

1. Para la armadura de la figura, determinar: el desplazamiento del punto B y del punto intermedio de la barra BF, los esfuerzos en todas las barras y las reacciones en los apoyos. La estructura est bien definida?.Todas las barras tienen la misma longitud L y la misma seccin transversal A.

Todas las barras a excepcin de BF son de acero, BF de aluminio.

Acero: E=200GPa, Sy=250MPa, =12x104C-1.Aluminio: E=72GPa, Sy=410MPa, =23x104C-1.

Geometra: L=2m, A=4cm2.P=1000kgf.

Desarrollo General.Inicialmente se enumeran los elementos, los nodos y los GDL que se utilizarn, tal como se muestra en la figura.

Utilizando la herramienta MATLAB7.0, se determinan inicialmente las matrices de rigidez locales, luego se ensamblan y se obtiene la global. Con la matriz de rigidez global y las fuerzas en cada nodo y haciendo uso del mtodo de eliminacin se determinan los desplazamientos de cada nodo globalmente. KQ=FQ=KFSeguidamente se calculan los esfuerzos en cada elemento.

Luego se determinan las reacciones.R=KQ-F

Y se estiman los desplazamientos del punto medio del elemento .Con la finalidad de generalizar la solucin del problema se puede hacer interactiva la introduccin de la data.Desarrollo en detalle.

Algoritmo para coordenadas nodales e informacin de elementos.

clear

E=input('E= ')

A=input('A= ')

%%%%%%%%%%%%%%%%%Coordenadas Nodos

N=[]

nn=input('Num_Nodos= ')

for i=1:nn

for j=1:2

disp('Nodo'),i

disp('Introduzca Coordenada de i')

N(i,j)=input('N_coordenada = ')

end

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%Conectividad

%%%%%%%Areas y E

N

CONEC=[]

ne=input('Intro_Num_Elementos')

for i=1:ne

disp('Para c/elemento')

disp (i)

A(i)=input('Area _elemento')

E(i)=input('E')

CONEC(i,1)=input('Nodo_Inicio= ')

CONEC(i,2)=input('Nodo_Fin= ')

end

%%%%%%%%%%%Geometria

GEO=[]

disp('Areas y E, para c/elemento')

j=0

for i=1:ne

hee=N(CONEC(i,2),1:2)-N(CONEC(i,1),1:2)

he=sqrt(dot(hee,hee))

dX=N(CONEC(i,2),1)-N(CONEC(i,1),1)

dY=N(CONEC(i,2),2)-N(CONEC(i,1),2)

l=dX/he

m=dY/he

j=j+1

GEO(i,j)=he

GEO(i,j+1)=l

GEO(i,j+2)=m

j=0

end

Ejecutando se muestran las coordenadas nodales N:

N=N10,00000,0000

N22,00000,0000

N34,00000,0000

N41,00001,7321

N53,00001,7321

CONEC=

Elemento12

112

223

324

425

535

614

745

GEO=Lelm

E1210

E2210

E32-0,50,866

E420,50,866

E52-0,50,866

E620,50,866

E7210

Algoritmo para matriz de rigidez.

Primeramente se crean las matrices para cada elemento Ke.

%%Matrices de rigidez

for i=1:ne;

L=GEO(i,2);

M=GEO(i,3);

L2=L^2;

M2=M^2;

LM=L*M;

if i==1

%for j=1:8

A(i)=A1;E(i)=E1

K1=(E(i)*A(i)/GEO(i,1))*[L2 LM -L2 -LM;LM M2 -LM -M2;-L2 -LM L2 LM;-LM -M2 LM M2]

elseif i==2

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==3

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==4

A(i)=A1;E(i)=E2


elseif i==5

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==6

A(i)=A1;E(i)=E1


else

A(i)=A1;E(i)=E1


end

end

Lo cual produce:K1=

400000000-400000000

0000

-400000000400000000

0000

K2=

400000000-400000000

0000

-400000000400000000

0000

K3=

1,00E+07*

0,9999-1,732-0,99991,732

-1,73231,732-3

-0,99991,7320,9999-1,732

1,732-3-1,7323

K4=

1,00E+07*

0,360,6235-0,36-0,6235

0,62351,08-0,6235-1,08

-0,36-0,62350,360,6235

-0,6235-1,080,62351,08

K5=

1,00E+07*

0,9999-1,732-0,99991,732

-1,73231,732-3

-0,99991,7320,9999-1,732

1,732-3-1,7323

K6=

1,00E+07*

0,99991,732-0,9999-1,732

1,7323-1,732-3

-0,9999-1,7320,99991,732

-1,732-31,7323

K7=

400000000-400000000

0000

-400000000400000000

0000

Se crean matrices de ceros para cada elemento de dimensin [nnxGDL], y con la matriz de conectividad, se ubica la posicin de cada ke(i,j)_local en la Ke(2*ne_inicial-1 ne_inicial; 2*ne_final-1 ne_final).%KT

z=nn*2

KT1=zeros(z),KT2=zeros(z),KT3=zeros(z),KT4=zeros(z);KT5=zeros(z);KT6=zeros(z);KT7=zeros(z);

for e=1:ne

u1=2*CONEC(e,1)-1

v1=2*CONEC(e,1)

u2=2*CONEC(e,2)-1

v2=2*CONEC(e,2)

f1=[u1 v1 u2 v2]

f2=[u1 v1 u2 v2]

if e==1

for i=1:4

for j=1:4

KT1(f1(i),f2(j))=K1(i,j);

end

end

KT1

elseif e==2

for i=1:4

for j=1:4

KT2(f1(i),f2(j))=K2(i,j);

end

end

KT2

elseif e==3

for i=1:4

for j=1:4

KT3(f1(i),f2(j))=K3(i,j);

end

end

KT3

elseif e==4

for i=1:4

for j=1:4

KT4(f1(i),f2(j))=K4(i,j);

end

end

KT4

elseif e==5

for i=1:4

for j=1:4

KT5(f1(i),f2(j))=K5(i,j);

end

end

KT5

elseif e==6

for i=1:4

for j=1:4

KT6(f1(i),f2(j))=K6(i,j);

end

end

KT6

else

for i=1:4

for j=1:4

KT7(f1(i),f2(j))=K7(i,j);

end

end

end

endKT7

Producindose las siete matrices de rigidez una por cada elemento, finalmente se suman y se obtiene la matriz de rigidez estructural K.KTT=KT1+KT2+KT3+KT4+KT5+KT6+KT7

KTT =

1,0e+007 *

4,99991,732-4000-0,9999-1,73200

1,73230000-1,732-300

-409,3599-1,1085-40-0,99991,732-0,36-0,6235

00-1,10854,08001,732-3-0,6235-1,08

00-404,9999-1,73200-0,99991,732

0000-1,7323001,732-3

-0,9999-1,732-0,99991,732005,99990-40

-1,732-31,732-3000600

00-0,36-0,6235-0,99991,732-405,3599-1,1085

00-0,6235-1,081,732-300-1,10854,08

Luego, tomando en cuenta las condiciones de frontera, las cuales son cargadas interactivamente por pantalla, y son las restricciones en los nodos, se utiliza el mtodo de eliminacin, descartando de K las filas y columnas que representan a los vnculos fijos, en nuestro caso los nodos y .Solicitud de restricciones:%Restricciones

for ii=1:nn*2

qt(ii)=0;

%q(ii)=0

end

disp('GDL restringidos_Indicar' )

n=input('Nm_GDL Restringidos?=')

for i=1:n

r(i)=input('Introduzca_Nm. del GDL Correspondiente= ');

end

Produce un vector r de GDL restringidos.GDL restringidos_Indicar

Nm_GDL Restringidos?=4

n =

4

Introduzca_Nm. del GDL Correspondiente= 1



Introduzca_Nm. del GDL Correspondiente= 6r =

1 2 5 6

Se crea un vector de ceros, de dimensin nnxGDL=nmero nodosxGDL%Restricciones

for ii=1:nn*2

qt(ii)=0;

end

Produce:

qt =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Se llenan las posiciones r, de las restricciones, con el respectivo GDL global, haciendo:qt(r)=r;

Produce:

qt =

1 2 0 0 5 6 0 0 0 0

Se crea un vector que indique para cada posicin el nmero de su GDL.

for w=1:nn*2

qt1(w)=w;

end

Produce:

qt1 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se resta el vector de todos los GDL del que representa las restricciones, donde haya restricciones el resultado ser cero.dif=qt1-qt;

Resulta:

dif =

0 0 3 4 0 0 7 8 9 10

Se identifica la posicin NO CERO, que corresponder al GDL no restringido, creando un vector v con tales valores.j=0

for i=1:nn*2

if dif(i)==i

j=j+1

v(j)=dif(i);

else

dif(i)=dif(i);

end

endResulta:

v =

3 4 7 8 9 10Se seleccionan en la matriz de rigidez estructural las filas y columnas correpondientes a los GDL no restringidos.KTTF=KTT(v,v)

KTTF =

1.0e+007 *

9,3599-1,1085-0,99991,732-0,36-0,6235

-1,10854,081,732-3-0,6235-1,08

-0,99991,7325,99990-40

1,732-30600

-0,36-0,6235-405,3599-1,1085

-0,6235-1,0800-1,10854,08

Se introducen las fuerzas en cada nodo, segn su GDL,%Fuerzas en c/GDL=?7

disp('Fuerzas en c/GDL')

for i=1:nn*2

disp(i)

ff=input('F(i)=');

F(i)=ff;

end

Producindose:

F =

0 0 0 -9800 0 0 0 -49000 19600 -19600

E igualmente, se reduce el vector F con v, haciendo F(v), se procede a calcular los desplazamientos nodales para toda la estructura con Q=KF, Para mostrarlos todos, se crea un vector Qe1 de ceros, para todos los GDL, asignndosele a las posiciones no restringidas los respectivos valores q1, q2,%Desplazamientos

FT=F(v)

FTT=FT;

Qe=inv(KTTF)*FTT'

Qet=Qe'

for i=1:nn*2

Qe1(i)=0;

end

for j=1:(nn*2-n)

Qe1(v(j))=Qet(j);

end

disp('Desplazamientos')

Qe1

Se tiene:FTT =

0 -9800 0 -49000 19600 -19600

Qet =

0.0002 -0.0023 0.0013 -0.0020 0.0009 -0.0008Qe1'

ans =

0

0

0.0002

-0.0023

0

0

0.0013

-0.0020

0.0009

-0.0008Esfuerzos en cada barra.Se calcula el esfuerzo en cada barra con:

,

Haciendo:

%Esfuerzos

disp('Esfuerzos en Elementos')

for i=1:ne;

L=GEO(i,2);

M=GEO(i,3);

%for j=1:8

S=(E(i)/GEO(i,1))*[-L -M L M]*[Qe1(2*CONEC(i,1)-1); Qe1(2*CONEC(i,1)); Qe1(2*CONEC(i,2)-1); Qe1(2*CONEC(i,2))];

SS(i)=S;

end

disp('Esf_en_c_elem')

SST=SS'

Lo cual produce:SST =

1.0e+008 *

0.2286

-0.2286

-0.3157

0.5986

-1.1644

-1.0988

-0.3915

Las reacciones, con R=KQ-F, donde para K se seleccionan slo las filas restringidas, utilizando el vector r, como en esos nodos no hay fuerzas externas F, se hace:

%Reacciones

KTR=KTT(r,1:nn*2);

disp('Reacciones')

R=KTR*Qe1'

Que produce:R =

1.0e+004 *

1.2831

3.8063

-3.2431

4.0337

El desplazamiento del punto intermedio de la barra BF:Se determinan las coordenadas finales de los nodos inicial y final del elemento 4, sumando a las posiciones iniciales los desplazamientos, se determina l y m de ese elemento para la posicin final, %%%%%%%%%%%%%%%%Desplazamiento Punto Medio de BF Barra(4), en este

%%%%%%%%%%%%%%%%desarrollo, va de GDL (3,4 a 9,10)

disp('Nuevas Coordenadas BFmedio')

XFM=((Qe1(9)-Qe1(3))+(N(5,1)-N(2,1)))/2+Qe1(3)+N(2,1)

YFM=((Qe1(10)-Qe1(4))+(N(5,2)-N(2,2)))/2+N(2,2)+Qe1(4)

disp('Desplazamientos BFmedio')

QexM=XFM-N(2,1)-1*GEO(4,2)

QeyM=YFM-N(2,2)-1*GEO(4,3)

Se determinaron las nuevas coordenadas del punto medio del elemento 4, resultando:Nuevas Coordenadas BFmedio

XFM =

2.5006

YFM =

0.8645

Y finalmente los desplazamientos del punto BFmedio:QexM =

5.9530e-004

QeyM =

-0.00152.

Desarrollo General.De la misma manera que en el ejercicio 1, se numeran los elementos, los nodos y los GDL que se utilizarn, tal como se muestra en la figura, tomando en cuenta que la rigidez en los elementos elsticos (8) y (9), estn representados por la constante de resorte C de cada uno de ellos.Introduccin datos, E1, E2, coordenadas de nodos y conectividad.clear

E1=input('E1= ')

E2=input('E2= ')

A=input('A= ')

%A1=.0004

%E1=200000000000

%E2=72000000000%%%%Coordenadas Nodos

N=[]

nn=input('Num_Nodos= ')

for i=1:nn

for j=1:2

disp('Nodo'),i

disp('Introduzca Coordenada de i')

N(i,j)=input('N_coordenada = ')

end

end

N

%N=[0 0;2.0000 0;4.0000 0;1.0000 1.7321;3.0000 1.7321;5 0;4 -1]

%%Conectividad

%Areas y E

CONEC=[]

ne=input('Int_Num_ementos')

for i=1:ne

disp('Para c/elemento')

disp (i)

A(i)=input('Area _elemento')

E(i)=input('E')

CONEC(i,1)=input('Nodo_Inicio= ')

CONEC(i,2)=input('Nodo_Fin= ')

end

CONEC

%CONEC=[1 2;2 3;2 4;2 5;3 5;1 4;4 5;3 6;3 7]

Resulta:

ne =

9

CONEC =

1 2

2 3

2 4

2 5

3 5

1 4

4 5

3 6

3 7

Se calcula la geometra de los elementos.

%%%%Geometria

GEO=[]

disp('Areas y E, para c/elemento')

j=0

for i=1:ne

hee=N(CONEC(i,2),1:2)-N(CONEC(i,1),1:2)

he=sqrt(dot(hee,hee))

dX=N(CONEC(i,2),1)-N(CONEC(i,1),1)

dY=N(CONEC(i,2),2)-N(CONEC(i,1),2)

l=dX/he

m=dY/he

j=j+1

GEO(i,j)=he

GEO(i,j+1)=l

GEO(i,j+2)=m

j=0

end

Produce:

GEO =

2.0000 1.0000 0

2.0000 1.0000 0

2.0000 -0.5000 0.8660

2.0000 0.5000 0.8660

2.0000 -0.5000 0.8660

2.0000 0.5000 0.8660

2.0000 1.0000 0

1.0000 1.0000 0

1.0000 0 -1.0000Se determinan las matrices de rigidez de cada elemento en coordendas globales, en los resortes Ke=C*[L2 LM -L2 -LM;LM M2 -LM -M2;-L2 -LM L2 LM;-LM -M2 LM M2], donde C es la constante de resorte dada. Luego se suman todas las matrices obteniendo K global%%%Matrices de rigidez

for i=1:ne;

L=GEO(i,2);

M=GEO(i,3);

L2=L^2;

M2=M^2;

LM=L*M;

if i==1

%for j=1:8

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==2

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==3

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==4

A(i)=A1;E(i)=E2


elseif i==5

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==6

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==7

A(i)=A1;E(i)=E1


elseif i==8

C1=3*10^5

K8=C1*[L2 LM -L2 -LM;LM M2 -LM -M2;-L2 -LM L2 LM;-LM -M2 LM M2]

else

C2=4*10^5

K9=C2*[L2 LM -L2 -LM;LM M2 -LM -M2;-L2 -LM L2 LM;-LM -M2 LM M2]

end

end

%KT

z=nn*2

KT1=zeros(z),KT2=zeros(z),KT3=zeros(z),KT4=zeros(z);KT5=zeros(z);KT6=zeros(z);KT7=zeros(z);KT8=zeros(z);KT9=zeros(z);

for e=1:ne

u1=2*CONEC(e,1)-1

v1=2*CONEC(e,1)

u2=2*CONEC(e,2)-1

v2=2*CONEC(e,2)

f1=[u1 v1 u2 v2]

f2=[u1 v1 u2 v2]

if e==1

for i=1:4

for j=1:4

KT1(f1(i),f2(j))=K1(i,j);

end

end

KT1

elseif e==2

for i=1:4

for j=1:4

KT2(f1(i),f2(j))=K2(i,j);

end

end

KT2

elseif e==3

for i=1:4

for j=1:4

KT3(f1(i),f2(j))=K3(i,j);

end

end

KT3

elseif e==4

for i=1:4

for j=1:4

KT4(f1(i),f2(j))=K4(i,j);

end

end

KT4

elseif e==5

for i=1:4

for j=1:4

KT5(f1(i),f2(j))=K5(i,j);

end

end

KT5

elseif e==6

for i=1:4

for j=1:4

KT6(f1(i),f2(j))=K6(i,j);

end

end

KT6

elseif e==7

for i=1:4

for j=1:4

KT7(f1(i),f2(j))=K7(i,j);

end

end

KT7

elseif e==8

for i=1:4

for j=1:4

KT8(f1(i),f2(j))=K8(i,j);

end

end

KT8

else

for i=1:4

for j=1:4

KT9(f1(i),f2(j))=K9(i,j);

end

end

KT9

end

end

KTT=KT1+KT2+KT3+KT4+KT5+KT6+KT7+KT8+KT9

KTT =

1.0e+007 *

Columns 1 through 9

4.9999 1.7320 -4.0000 0 0 0 -0.9999 -1.7320 0

1.7320 3.0000 0 0 0 0 -1.7320 -3.0000 0

-4.0000 0 9.3599 -1.1085 -4.0000 0 -0.9999 1.7320 -0.3600

0 0 -1.1085 4.0800 0 0 1.7320 -3.0000 -0.6235

0 0 -4.0000 0 5.0299 -1.7320 0 0 -0.9999

0 0 0 0 -1.7320 3.0400 0 0 1.7320

-0.9999 -1.7320 -0.9999 1.7320 0 0 5.9999 0 -4.0000

-1.7320 -3.0000 1.7320 -3.0000 0 0 0 6.0000 0

0 0 -0.3600 -0.6235 -0.9999 1.7320 -4.0000 0 5.3599

0 0 -0.6235 -1.0800 1.7320 -3.0000 0 0 -1.1085

0 0 0 0 -0.0300 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -0.0400 0 0 0

Columns 10 through 14

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

-0.6235 0 0 0 0

-1.0800 0 0 0 0

1.7320 -0.0300 0 0 0

-3.0000 0 0 0 -0.0400

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

-1.1085 0 0 0 0

4.0800 0 0 0 0

0 0.0300 0 0 0

0 0 0 0 0

Se introducen las condiciones de frontera, identificando los nodos restringidos, luego las fuerzas externas por nodo, procediendo igual que en el ejercicio 1 y as obtener por eliminacin las ecuaciones del elementos finito reducido, para hacer Q=KF y obtener los desplazamientos nodales en toda la estructura.%Restricciones

for ii=1:nn*2

qt(ii)=0;

end

disp('GDL restringidos_Indicar' )

n=input('Nm_GDL Restringidos?=')

for i=1:n

r(i)=input('Introduzca_Nm. del GDL Correspondiente= ');

endGDL restringidos_Indicar

Nm_GDL Restringidos?=6

n =

6







r =

1 2 11 12 13 14

qt(r)=r;

for w=1:nn*2

qt1(w)=w;

end

dif=qt1-qt;

j=0

for i=1:nn*2

if dif(i)==i

j=j+1

v(j)=dif(i);

else

dif(i)=dif(i);

end

end

KTTF=KTT(v,v)

dif =

0 0 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0

KTTF =

1.0e+007 *

Columns 1 through 7

9.3599 -1.1085 -4.0000 0 -0.9999 1.7320 -0.3600

-1.1085 4.0800 0 0 1.7320 -3.0000 -0.6235

-4.0000 0 5.0299 -1.7320 0 0 -0.9999

0 0 -1.7320 3.0400 0 0 1.7320

-0.9999 1.7320 0 0 5.9999 0 -4.0000

1.7320 -3.0000 0 0 0 6.0000 0

-0.3600 -0.6235 -0.9999 1.7320 -4.0000 0 5.3599

-0.6235 -1.0800 1.7320 -3.0000 0 0 -1.1085

Column 8

-0.6235

-1.0800

1.7320

-3.0000

0

0

-1.1085

4.0800

%%%%%%%%Fuerzas en c/GDL=?7%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

disp('Fuerzas en c/GDL')

for i=1:nn*2

disp(i)

ff=input('F(i)=');

F(i)=ff;

end

%F=[0 0 0 -9800 0 0 0 -5*9800 2*9800 -2*9800 0 0 0 0]

Fuerzas en c/GDL

F'

ans =

0

0

0

-9800

0

0

0

-49000

19600

-19600

0

0

0

0

Desplazamientos

%%%%%%%Desplazamientos

FT=F(v);FTT=FT;

Qe=inv(KTTF)*FTT';

Qet=Qe';

for i=1:nn*2

Qe1(i)=0;

end

for j=1:(nn*2-n);

Qe1(v(j))=Qet(j);

end

disp('Desplazamientos')

Qe1'

Resulta:

Qe1

ans =

0

0

0.0010

-0.0532

0.0016

-0.1008

0.0458

-0.0277

0.0454

-0.0769

0

0

0

0

Esfuerzos.%Esfuerzos

disp('Esfuerzos en Elementos')

for i=1:ne;

L=GEO(i,2);

M=GEO(i,3);

if i

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