f , i \ C { J Prefa{5 r, ..... {lap. I SISTEI{E DE PROIECTIE i.l Sistemr-rl entral de proiecf e 1.2 Sisternul paralel de proicclic 1.3 Tran-sformiri geometrice . I .3.1 Transformarea rin cmologie 1.3.2 Aplica{ii ale transfornriirii rin onrolo- gie pi af nitatc l.'1 Generalitili asupra sistemelor spcciale de nr^ io^i i6 1.5 Problcme propuse Cap. l PUNCTUL 2.1 Sistemul de proieclic dublu ortogonal Monge 2.1 1 Plane de proiec{ic. Linia d e pdmilt. Diedre. Sistemul de proiecfie Monge 2.1 2 Plane bisectoare 2.1 3 Epur5 3.L3 Purrctc pe drcaptii detcrminate n anu- mite condifii date Pozi{iile caracteristice le dreptci 3.2.1 Dreapta orizon{ali 3.2.2 Dreapta rontalii 3,2.3 Drcapta fronto-orizontal:l 3.2.4 Dreapta verticala 3.2.5 Dreapta de capdt 3.2.6 Dreapta conf nuiii itr planelc bisectoare 3.2.7 Dreapta de profil Pozi{ia rclativi dintre doul clrepte 3 l 9 l 9 20 2 l 2 l 2"1 2 5 2 5 27 2 7 2 7 2 7 2 8 4l Aq 43 4 3 4:l 43 4r l 4 4 44 44 45 47 48 48 49 50 5 l 5 l hz 52 (c, 53 D+ 56 56 56 o(] 56 60 60 60 64 05 3 . 2 3 . 3 ,1.3 3.3.1 Drepte paralele 3.3.2 Drepte concurentc 2 B 29 30 3 l 32 32 .1{+ 3 4 34 36 { I \ ri 9.1 4 ,)l< 2.1 r i 2.1.7 numence Punctele ituate n serniolanele isec- Cap. V. PLANUI, Epura punctului di"ia-.riii.l."' a"r.iiot iu..' aui. ' u. Depbrtarea. ot a Epura punctului dat prin coordonatc l).3.3 Aplicatii 3.3.4 Ablicatii l c tort'ntci rnglrilrlui rcpt: 1:erpcttdicttlrrrc c dlcptc orizontalc at t fronta e 3.3.5 PcrperrdicLrlara ,c u rlreapta oarccar(r 3.3.0 Pcr'fcrrtl culara 6t-,murra 'dcrua dreptc datc n pozi ii caracterisiice 3.3.7 Adevdraia utrgime a rtnui segment 3.3.8 Proiectia paraleld qi centrali a dreptei 3.3.9 Aplica{ii 3..4 Problcnre propuse 4.1 Ileprezentarea latrului 4.1'.1 Urmele lanului. Punct gi drcaptd o n- {inute ir.r plan 4.1.3 Dreptclc mDortatttc lc platrului 4.1,3 Pozitiilc caiactcri"ticc alc planttlui ilt raport c u planele de proieclie 4.2 Drepte gi plane paralelc 4.2.i Dre'apta aralelri c u planul 4.2.2 Plan paralel crr o drcrptd 4.2.3 Plan paralel c u un plan . \ . . . . 4.2.4 Pian paralcl cu tloul drcptc arbilrare loare . , . 2.1.8 Alfabetul descriptiv f'prn.tului . . . 2 2. Al treilea plan de proiec{ie 2.2.1 Al treilea plan de proiectie. Planul lateral. Triedre 2.2.2 Simetria in raport cu axele triedrului 2.2.3 Simetria n railort cu planelc de pro- iec e 2.2.4 Simetria in rapori cu plauele bisec- toare . 2.2.5 Exemplc .2.6 Aplicalii 1.3 Probleme propuse . -.p. lll. DREAPTA IN SISTEMUL DII PROTECTTE 1ONGE - ' 1 Dreapta 3.1.1 Reprezentare. roicclii. Urme 3.1.2 Impirtirea dreptei n regiuni. uncte caracteristice e o dreaptd lntcrsec{ii de plane -1.3.1 Plane date prin urme 4.3.2 Plane date prin alte elemente gconte' tr ce 4.3.3 Utilizarea planului biscctor oica plan auxiliar Intersec{ii dintre drepte gi plalie 4.4.1 Mctoda planelor proiectante 4,4.2 Metorla ploiec iei paralele 4.4.3 Metoda proiecf ci centrale 37 37 ,{.1t 2n
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
i. l Sistemr-rl entral de proiecfe1.2 Sisternulparale l de proiccl ic1.3 Tran-sformiri geometrice .
I .3.1 Transformarea rin cmologie1.3.2 Aplica{ii ale transfornriir i i r in onrolo-
gie p i af n itatcl. '1 Generalit i l i asupra sistemelor spcciale de
nr^ io^i i6
1.5 Problcme propuse
Cap. l PUNCTUL
2.1 Sistemulde proieclic dublu ortogonal Monge
2.1 1 Plane de proiec{ ic. L in ia de pdmilt .Diedre. Sistemul de proiecfie Monge
2.1 2 Planebisectoare2.1 3 Epur5
3.L3 Purrctcpe drcaptiidetcrminaten anu-mite condif i i date
Pozi{ i i le caracterist ice le dreptci3.2.1 Dreaptaorizon{al i3.2.2 Dreapta rontalii3,2.3 Drcapta fronto-orizontal: l
3 .2.4 Dreapta vert icala3.2.5 Dreapta de capdt3.2.6 Dreaptaconf nuiii i t r planelcbisectoare3.2.7 Dreapta de profilPozi{ia rclativi dintre doul clrepte
3
l9
l9202l
2 l
2"1
2525
27
27
272728
4l
azAq
43
434:l434r l44444445
4748
4849505l5 l
hz
52
(c,
53
D+
565656o(]56
6060606405
3.2
3.3
,1.3
3.3.1 Drepte parale le3.3.2 Drepte concurentc
2B
29
303l32
32.1{+
34
34
36
{
I
\
ri
9.1 4, ) l<
2.1r i
2.1.7numencePunctele ituate n serniolaneleisec- Cap. V. PLANUI,
Epura punctulu idi"ia-.riii.l."'a"r.iiotiu..' aui.'u.Depbrtarea. ot aEpura punctuluidat prin coordonatc
l ) .3 .3 Apl icat i i3 .3.4 Abl icat i i lc tor t 'n tc irng lr i l r lu ircpt :
1:erpct td ict t l r rrcc dlcptcor izontalc at t
fronta e3.3.5 Pcrperrd icLr lara,c u r lreaptaoarccar(r3.3.0 Pcr' fcrrt lculara 6t-,murra
'dcruadreptc
datc n pozi i i caracterisiice3.3.7 Adevdraia utrgimea rtnui segment3.3.8 Proiect iaparale ldqi centra l i a dreptei3.3.9 Apl ica{ i i
3..4 Problcnre propuse
4.1 Ileprezentarealatrului4.1 ' .1 Urmele lanulu i. Punct gi drcaptd on-
{inute ir . rplan4.1.3 Dreptclc mDortat t tc lc platru lu i
4.1,3 Pozit i i lc caiactcr i" t iccalc plant t lu i i l traport cu planelede proiecl ie4.2 Dreptegi p lane parale lc
4.2. i Dre 'apta arale lr i cu planul4.2.2 Plan parale lcrro drcrptd4.2.3 Plan parale lcu un plan . \ . . . .4.2.4 Pian paralcl cu t loul drcptc arbi lrare
loare . , .2.1.8 Alfabetul descr ipt iv f 'prn. tu lu i . . .
2 2. Al treilea plan de proiec{ie
2.2.1 Al t re i lea plan de proiect ie. Planul
lateral. Triedre2.2.2 Simetria in raport cu axele triedrului2.2.3 Simetr ia n rai lort cu p lanelcde pro-
iec e2.2.4 Simetria in rapori cu plauele bisec-
toare .2.2.5 Exemplc .2 .6 Apl ica l i i
1.3 Probleme propuse
.- .p . l l l . DREAPTA IN SISTEMUL DII
PROTECTTE1ONGE
-' 1 Dreapta3.1.1 Reprezentare.ro icc l i i .Urme3.1.2 Impir t i readreptein regiuni . uncte
caracteristicee o dreaptd
ln tcrsec{i ide plane-1.3.1Plane date prin urme4.3.2 Plane date prin alte elementegconte'
tr ce4.3.3 Ut i l izareaplanulu i b iscctor oica plan
auxi l iarIntersec{iidintre dreptegi plalie
4.4.1 Mctoda planelorproiectante4,4.2 Metorla ploiec iei paralele4.4.3 Metoda proiecfci centrale
.. . '^^ au.r ,:nrr .rdep eyd h- i;-u . l tsn l lsuald . rn l r l oun ola leqe>r.c.c rl]:zo0op) crq8unldo:pnlnrq8rrnr-rjplnddd tnlnuBlde alerr l ia, r Juln rrJJ l-BqBr,urr ,Bzl l l lnrr fcoroldop leluoir . roInUBI(t d alBJaJBoeld rrrunej. raleqaN r.c.c' ( lualBqel ea.rerrprg) r.raleqe.l-epollWS S
' : : ' I I" , , - , " ,0; , , i l l iu: :u,cturrqord
ts
:?9TI , l?.Sarfe lo. rL lurp 1u. r lenlqr3/1.g.9Jla lBred^Brrr^ap
s ueldfnopu; r t ; fb$ gi i iuBJdln;rJ raune cri . rr. rgrulBJqlapv r.r, .c
_.
' arr : lauoa8 t r i jLrr i la' " -a l lP urrd l tu lJoprnlnueJd rielo y1.g.g
Aplicaf ie14.3.7 Literseblia dintre un conoid oblic
gi un con oblic .14.4 $eduri conoizi
Cap. XV. SUPRAFETE clLINDRolz l
l5. l Def nif i . Reprezentare15.2 Apl icat ie15.3 Secl iuni plane in c i l indroiz i15.4 Desidsuraiea oroximativl a unui cil indroid15.5 Inters'ecfa dintre un cil indroid ;i un cil indru
Generalit i l
XVI . SUPRAFETELE RRIERE.VOUS-SURE $I BIAIS-PASSF
Suprafa{a rridre-voussure '
Suprafata ia s-pass6.
17.3$urubul t . Gi l les17.4 nterseciia intreo supralatt i analqi o st t-
nra lat2 i i l indr ic l17.5 ntersect iaint re ouisuprafe lcat ta l
Cap.XVI I I . PROIECTIA OTATA
l8. l Punctul .DreaPta. lanul18.1.1General i t i t r i .unctu l18.1.2Dreapta. istanfa intredoui puncte
18. I .3Planul : . .18.1.4 pl icaf i i
267
269
269
270
27rq7 9
q7t)
97 '
18.2Problemede incidcntd18.2.1 ntersect ia ir lt re doui plane :18.2.2 ntersec ia intre o dreaptd ,i un plan
18.2.3Sectiune land ntr-un poliedru .
18.2.4Sectiune land ln co n18.2.5Scci iunc-pland n sferd18.2.6 ntersec{ia intre o dreapti ,si o sfer: i
18.2.7 ntersecf ia dirrtre o dreapti i 9i rtrt
hioerboloid18.2.8Apl icat i i .Problenr ided starr lci unghiur i :18.3.1Dreaptaperpcndicularb c t tn plat t18.3.2Ungl i iu l
'd int rcdorrddrcplc : ..
18.3.3Pciperrr i icularaomunda douii drepte
I8.3.4 Apl icat i i .Umbrele'inprbiect ia otatd .
ig.a.t Umtria la soarea unui paralelogram
18.4.2Umbra la soarca unui pol iedru
18.4.3Umbra la luminarc a ultui pol icdru
r8.3
I r.4
280 w. 2
281281
284 19.3284286286286286
I t r .5 Strprafc lele opogral ice18.5.1Gctrcral i t i l i18.5.2Apl icat i i .
lB.0 Constlucii i de Platforme '
18.6.1APl ica i i 1. . .5I8.7 I)rO[lcmc propuse
-=q. : \cfu' .XrX.$COPERtSUtt tre.J\dl i tat i
19.1l Def ni t i i19.1.2Planul.acoperi;ului i elevaf i le '19. .3 Clasif carea acoperigurilor
Determinarea muchiilor de intersecfie ale
acoocr isur i lor u fele Planel9. i . l Metodaplanelordenivel . Versanl ide
pante egale
19.2.2besfdsurareaacoperigurilorDiferite rezolvdri dc acoperiquri . ' ,'19.3. Acoperisuricu versantidepanteegale
19.3.2Acoileri$uridcnivelaie u versanlide
pante egaleI9.3.3 hcoperiqirri cu versanf de pante dife-
r tc19.3.4Rezolvdride acoperiluridilerite pen-
tru acelagi lan .19.3.5AcoperiSir i- are
',bat"intr-unul sa u
mai 'muitc corpur ide c lddire19.3.6 Acoperiguri terase sau cu scurgerr
20.6.13Umbrele unor t l i ;e semic i l i r tdr iccmiirginite de diferi ic suprale{c dcrotaf e
20.6.14Umbrele t iSclor ier icc ombinatc udifer i te detal i i de arhi tectur i
20.6.15Umbrelcpropr i i . prr r tatc i aut rrpt t r -tatc ale combinaf i lor de supr ir f t ' lcde rotal ic s tudiatc ir t accstcapitc l
Cap. XXI. PERSPECTIVA LIBERA PE TA-BLOU VERTICAL
21.1 Pcrspcct ivele ibere ale prrnctul i r i , dreptei
5i ale planului
2l . l . l E lementele is temLr lui crspcct iv eproiec e
2l. l .2 Perspect ivaibcrb a punctului21.1.3 Al fabetul perspect iv l punct t t l t r i21.1.4 Perspectivaiberi a dreptei21.1.5 Pozi\ ia relat irrd dintre
'douidrepte
in. perspectivd.Perspcctivadrcptc-Ior paralele
21.1.6 Per ipect iva dreptelorconcurcnte ia dreotelor necorlcurente
lnon e PluBoorBts Btu eor ap elul 'I zl 'r ' lzZBg leluozlro 1nue1d o 1epg gqFun
un aJBI arec raldo.rp ult lredsra6 II '?'16
87,',9'le
a6 '9 ' t6
t7, '9 ' tz
0z's '17,
6t '9 ' A
8l '9 ' ta
Lt '9 ' ta
9t '9 ' ta
91',9't?,
?t '9 ' tz
8t '9 ' ta
zt '9 '16
I I '9 ' la
0t '9 ' ta
6'g' , tA
9'ra
9'tz
668
t68
96e
088
08e
a88I8 €
I88
t8 8
loarp It lFunrnun rolrrnlei alarlpads.radod Fl-Ep
iu'u,0,.,0;,;";surrd;'li'lffih r'r'16' rnlnolqEl EzEgnc r$ olalered alderp ep locrrsel unnr trBpg rqFun un ) EJ aJ luluozfro1nue1dutp -rolaldarpo1o,t11cadsra6'yrc
' lnlnolqel e xx ezvgnr lBp trl8un un rBJ aJ lBluozuo1nue1dutp :o1a1de:polerglcads:o61nue1d rp .rolalderpa1orr11oads.re6'V'la
rdaro tt tBun' . . ' . . . ' jOaip rgBun
1rq-re^rijdeaipa[ :o1
n'n' Iz
t 'b ' Ia
orurFunl p luoru8asnun eerucrldy L'V'l?,Ieluozrro nue1d1alenlrsq8un 1u t
22.1. General i t i fasupra leger i i .punctul r r i
t lcvederc i asttpra ondili lor n carese realizeazii buni PersPect ivd
22,1.2Alegerea unctului e vederen con-st ru i I ia. ferspectvei unui p lan, .arunui olumsaua unui ansambluc
Cao.XXI I . PERSPECTIVAEPENDENTA E.TABT.OU ERTICAL
22.5.3Construc[iarin metoda unctului e408 vedere i a unrtipt tnct e t lgi a per-,no spcctivci olumului c arhitecturd l'ruo clrei plan 9i elevafie int date in
figura22.3122.5.4Perspectivanui gardde ziddriccu
408 doui porti saua unei ntri iri .22.5.5Perspectivaolfuluiunui nterior'22.5.6Perspectivaneiconstrucli i e ormd
26.1.5 UmbrapunctLr lu i;i a ver t icalei eunplan vcrt ical 48 8
26.1.6 Umbra pc un plan vert ical a uneiorizontaleprralcle cu acestplarr . 41 826.17 Umbra pe un plan vert ical a unci
orizontale oarecare 4i82i i . l .8 Umbra unei dreote oarccarcDe un
plan vort ic:r l 48 926.1.9 Umbra pc un plan oarccare pl lnc-
tului , a ver t icalei ;i a or izontaleiparalele u acestplan 48 9
26. 10 Umbra or izontalei oarccarcpc unDlan oarecarc 48 9
26. l . l l iJmbra dreptei oarccarc e un planoarecare 490
20.112 UmbraunuicadrLr atmlatervert icalpe o placaplanaol ieea arccarc i pcplalul or izontal 491
26.1.13 Jmbraunui volurndc arhi tcctur i peplanrrl orizontal 49 1
2{ i . .14 Umbra unui zrnsamblt r c corpur igeometrice e planul orizontal 492
26.1.15Determinarea ipunctuluiperspcct ivSs in funct ie de alegerea aladelorunui volum de arhitectrrr i n lurniniisau in umbri proprie 49 2
:0.1.16 Umbra unui volum de arhi tectur i
oe planul orizonlal razcler c lrrr l iniavihd direct ia frontala 4.,2
26.1.17Determinareabipunciului pcrspec-t iv Ss astfel rrcit unshi ul dintre razade lurnina; i umbra vert icaleisi f iccuprins ntre 45oqi 35"16' 49 3
26.1.18Punctelede fugzi edusepentru ra-zele de luminii. Reducerea Dllnc-tului S. Reducerea unctului s. 490
26.1.19Umbra la soarea unui gard f rontal 497
26.1.20Umbra la soare unuigard vcrt ical
48 5
24.2
Cup.
25.
2r .2
26.1.6
25.1.7
47 1
467468473
476
* / t )
cu apa25.1.3 Refexia
h tectura
25.1 4 Apl ica{ i i25. .5 Rcf exia punctrr lu igi a vcr t icalei ,roglinda vert icald perpendic'ulari etablou
Reilexia unui interior 1n oglindavert icald oarccare
in 'apd'a'rnri n l i , . . i " or-475
Ref lexiapunctului q i a ver t icalc i noglinda virt icald paralelS u tablorrlRef lex ia unei lSmpi ver t icale inoglinda vcrt icala perpendiculari petablou
25.1 8 Re lexia unei ldmni ver t icale inogl indavcrt icr lb pdral t lact r tablot r l
25.1 9 Rel lex iapunct i r lu igi a vort icalei noglinda vert icali oarecarc
25.1 10 Ref lex ia unei vert icale in douioglinzi vcrt icale oarecare t 'rpcndi-cutare
25.1.1 Ref le. r ia r- rnctului;i a vert icalei noglinda dr' clpit ( inclinat i i gi per-pendicrr lara c tal- i lou)
2lr . l 12 Rof lex ia rrr rui volr tm rrr isnrr t ic l togl inda de capit ( inc l inata si per-pendiculari pe tablou)
25.1.13Rei lex ia unei l impi vcr t icale inoglinda de capdt (inclinat i i ;i pcr-pendiculari pe tablou)
25.114 Ref lex ia urrbi l impi ' ver t icalc inogl i r rda rrc l i r rath :Llddc rrr t prr t ' t t 'f rontal al incaper i i
2 l ; .1,15Ogl indirea ln-ogl inda
vert icala aelementelor irr f gura25.31
25.1.16Ogl indirea in ogl inc la ver t ical i abiroului din f gura 25.:\2
25.1 17 Oglindirca verf icalei ,4c in oglindaplani oarecarcQaQ.r,
Metodasimetriculr-r i unctului de vedere
25.2.1 Ref lex iavert icalei n ogl inda vcr t i -calSoarecare rin rnetoda imetricu-lu i punctului 'de
vedere n raportcu ogl inda25.2.2 Reflexia punctului Ei a vert icalei
pr in metoda s imetr icului punctuluide vedere n oglinda vert icaldoare-care
I letodaogl nd a
25.3.1
: r .3 simetr icului planului in raport cu
ia a
479
479
479
48 f
4u0
481
481
481
482
482483
483
Be
B
Bn
i l
E
D2
62
497497
497
4t8
61
165
F6
483
48 4
48448, 1
oarecare26.l.2l Construclia mbrelor a soarcpentnrun ansamblu e c l id ir i
26.1 22 Umbra unui volum prismatic dearhitecturi asezatortogonal pe unplan oarecare e linie de iLrgddatdS situat in spa{iul real .
26.1 23 Umbra unui volum prismatic dearhitecturi asezat ortogonal pe unplan oarecare e linie de fugi datS;S si tuat in spa{ iul v ir tual.1 Problemc propuse
proiecttie, i un punc{-f) nesifg4t n planul H,iruriiit'centrqde proiectie. ie $lansamblul aumult imeapunciCloispafului, cu excepliaacel6ra ilu-aten pfanul parilel cu planul Hdus pr in punct ul Q. A-f i ind un punct oarecarcal so'atiuliri .dreaptaQA intersecteazl lanulHlnti-uh punct a] numit proiecfia
-central[
pe p lanul H d in centrul O a punctu lu iA d inipat iu t S ( f ig . l . l ) . -Dreapta oAse numeqtedieapt[ prbiectantfl. In general, considerindo
iis'uiabarec-are-atpafiului S, ii va corespundein"planul H o figurd f care va fi formatd dinproiecliile centrale ale tuturor punctelor
figurii F.
Se numeqte roiecfe ceUtral[ operatiaprin care=eobf ne figura f din figura F, centrul de_,pro-
i -r rt-
. (, , . i , . , i.
t ,-
i, l ieclie fi ind f), iar planul de reprezentareH. iAnsamblul acestor oud elemente centrul deproieclie O Ei planul de reprezentareH -formea2? n sistemcentraldeproiecfie.Sepoate
'
spunede asenenea I operaliasau dgeaa princare'se face sI-i corespundd ricdrui punct Adin spafiul S un punct a in planul H este oaplicafiea rnullimii S pe planul H qi se scriesimbolic a: S-+H. Sub aceasti form5, acestsistem central de proieclie rcalizeazdo cores-pondenli univocfl ntre spa]iul tridimensionalS; i spaful dubludimensionalareesteplanul H.Inti-adevir, L
-r reprezintl proieciiile cen-
trale pentru orice punct situat pe dreaptaproiectantd OR. Variind pozilia centrului ,Q
Ei a planului H, se poate obline, proiectindcentral figura F pe planul H, o infinitate defiguri f, dar diferite de figura F in multe pri-vinle. De exemplu, proiectind un triunghiechilateral F, se poate obline un triunghioarecare, proiectind un cerc, se poateobfineun cerc,o el ipsi, o parabold, i chiar o hiper-bold etc.
Agadar,multe din propr iet i l i le f igur i i F nu
, trec la proiec{iaei. De asemenea, u lte dintreI mdrimile legatede figurd se vor schimbaprinproiecJie.De exemplu, proiectind un segmentde dreaptd de lungime l, se poate obfine un
, , segment cdrui lungimepoate i oricit de mare' sau de mic5, proiectind un triunghi de arie
dati, se poate ob{ine un alt triunghi de ariemai mare sau mai micd decit a triunghiuluidat. Pe de altd parte, lgurile au anqmitepro-prietdli care se conservdqi ele la proiecfii.
'ue1dno1qe1rnun olelJund rS S Isuorsuaurprrl lnlnrfedsalalcund eJlul FJolrunrq giuapuodsaroc 1o ;-1sealialrqels arer 'arf:raro:d p nrpads'1edn1-nualsrs Ie Jr+oroallnluarilepunlarnlrlsuorarI-celordap IBJluer nuelsrs '.rtrleelordnlnrfedsu glue.r3alura1;ed o luIS r$ allnu$rqo acrrl-euoaFelrrnFr; $ ec 1o-r$u1ececeoflrur;ur e1ap ole+ueualopArlJarord lrleuioaFu1 '1rur;ure1 ueld un nr lelelduroc lnrieds J arycatotd
nlinds :trrurjul BI gldearp o nr iulaldruoc1nue1d arycatotd n1d lllulJul e1 lcund unnr plulalduoc uldearp pa4carctdpgdaarya1{aw-nu es 'rgrdo.rdutaluauala olsaJepulJnpoJiul
lnrfedsul py rnlnlcund e g 1nue1d d pluubFol.ro lelurqdugfca;o.rdlsa e
'11a:elueza;dar p
1nue1dd
g:elncrpuad:ad lsa y elica-rrpRcBO (6't 'Fll)S lnr feds ulp V rnlnpund E I{ 1nuu1d dprllqo uleluredegiralordre iSaunuag .e
lcundun-rtrul H 1nuuld pzeolrosralur V lnleundur:d psnp y erira;rp nc glaleted uidea:p ,S
rnlnrledsIBareJarBolcund un pullJV.g
lnrledsulp V aJpraJeo,rfcarrp o nJ alaleJed a1eo1luls aluelJeroJdalazuJ zvr +sece I '+rulJurBI lBnlIS pund un i; erfcarordap lniluar er g
i lI)llodd 30 ltlyuvd 'lnwslstse'[
JoleJ IB f,tuoruJeuulngodur nus 1ry;oduJlqoisaalBJtruoJarfJaro.tdIB JrlsrJalceJeJluelJuAurqB un 'uauaruaseO.J'FArlJaJordluiar:dord oalsa aJeourlocU E ap irnFr; launrolalirihd ea1e1-eudo.rd aJBurJn n6 'eldearp o ad BouaurasBap gspF oAes r lrnFlg 1eq,u ,ur,u a1e:1uaralttfoaro:d 'elduetp o ad csaseF s g rr.rn31;
ole g 'N ' I I 'V alalcundgrep 'nlduraxa .rdg'1fuu;.lCAriiSOuntas rurrJpru$ rrirolo:dalsoJv
PJPp FlEururJalep lso purJB0JBruJoJSuBJl'PlsuotolJoalsa Bal?ilurjBnBs purJpBrFoloruo'y exe ed prelnrrpuadrodalsa ryy alelrurJBap erfcorp prBC '(/'l 'Fg) tV l$ V anolgzund-saJoralalcund e1iaun ao eldea.lpap plrur1apetrsaelullu ;e ap u;frerrq '(1rullur u1 1en1rs)nJrdo.ldrulcund un else rarFoloruoIB O lnJluec:et 'erJdoldplduarp o elsa rarFoJouro V
"xBJBcuJ prtFolouroaJpruJoJSuBJl alsa Butlu
ulFolotug 'U InJluar nf, lroder u1 arJtrarr-IS o elsa Bllalouo 'I - : Y nJluad 'IlsJoAUl
) 1 ru1uad JBr elcoJrpolsotrsoBrloloruo
srJalouo0 < nJlued 'Y : --Vi-rv(J
'0
Y
eluelsuocalsa 15_nrlua) EI rV IS y .rolalound:olafuelsrp1n1:odeg(g' t .Fg) (pttug pluelsrpe1) nJrdo.ld rund un alsa ralFolourole 15 Injl-uer rBI 'LllulJul e1 e1enils)a;rdo"ldurl lduatpo alsa rarFoloruoB V p,xuaJBJuI grrSoloruoeJerrrJoJsueJlo alsa elloloruo .pulJe ulF-oloruo Suglaloulo rqasoapa:e1ncr1:edprFol-oruoaJlurg 'pJnFUBlspere d r t pfuaprna J
ESnd J oleods_anFJesagrfernFrJuof3OgVrnl-n:a1e1nt1edrFolouro ud aruu.rb;sue:1-r$eaacd
alcla.rpp sanFresa6rie:nBrguooolsa/.1 ,,r;?li:r'rj;-BupruasERlnurlqoe:ndg .y alelrurje p exeaclalpnlls
oJuaurlo)-/{ {, , [ = [ , , : r alelrund JpzpelJosle]uras our;e-FoJoruolunlB.I .alelrurJeap erfca:rp J r lSq ur.ld snp 1a1a1e:eddelenlrs J oA,r rS,q elalcung
'olplrurJa p elfrarrp alsa ,Eu eldeat6 .tqu;nJngq8-un Jl_l? lle lnleurJoJsueJlulruJelaps pS .," ." nu;g"
alcundap uaqcarad;$ y o1ullugunp"*"
pr.p;ruoJeS .og.(gt't .8lJ)a8eoleue1u1s lrlcnrlsuor ralnrrlrpd lnzecnrluad V ad olenlrs,I = , l , , t = I , ,1_ I elalcunOgBl3asrolurol esa8eogoruolrrnlp-I (at.t Ell) 6 1nr1un,
31.r-tjf :ld_tJ "oalBnlrs
; :o,r aBeolourototrund'V ,t5 lnzEl lS odua:aplsuot suS .1up1n;n;q un;.r1e
9l t 'Flc
8t ' t 8rc
: j. : l l t t 9dltd alsa,uu oleltulJe p urfra"rrp leuoFolroF-ulJnBarsuroJsuarlul .qu: ,u'u i 1u1ii ^liulrsounr'elBl ulIEop uxs ezuafrasrilug.ruraiqri zadil lnunlu luuoiol.rou;;u inluiu.rogsueil rselnriruoJ-nipg .q
l .4,GENERALITATISUPFA ISTEMELORSPECIALEEPROIECTIE
Descoperireanui lnsemnainumdr de sisteme e proiec{iea condus a simplif icdri esen{ialen rezolvarea numitorcategorii de probleme.Dealtfel -un rol de seamd ininviorareamuncii st i int if ice in multe domenii ca meca-nic5, cli imie, f izici, tehnici minieri, construcfi, arhitec-turi etc., continui s5-l ioacenecesitatea e rezoivareproblemelor prin metode geometricegralice. in aceastddirec{ieeste cunoscut aptul ci in ult imul t imp au nceputsd prezinte un interes deosebit n rezolvareaproblemelorpri ir metode geometricegraf ice reprezentdri le igurilorspafiale in sistemeleaxiale sau centrale de proiec{ieprecum gi in sistemele Monge derivate, simplificate sau
generalizate. Evident, valoarea metodei geometrice de-pinde de aptul cit de comod e ezolvi diferitele roblemecu aiutorul ei. Se noate remarca de asemenea d fiecaredin listemele existente de proiec{ie este comod pentrurezolvarea nui anumit grup de problemeqi cd acestesisteme e proiec{ie u numai cd au dat rezultatedirecteln domenii le mai sus amint ite, dar au constituit inacelagi imp qi metodenoi de rezolvarea multor problemegeometrice. Binein{eles existd o legdturd strinsi intref iecare sistem de proiec{ie nou imaginat gi epura sacorespunzdtoare e care principiul teoret ic se apliceefectiv in rezolvarea problemelor oractice. Au fost ima-
ginate nsd 9i sisteme-de roiec{iei a de exemplu,unelesisteme de proiec{ie multi-axiale in care materializareaprincipiilor teoretice n epuracorespunzdtoaregi aqteaptiinci rezolvarea.Numeroase iscipline, n special ehnice,folosesc n mod curent diferite sisteme geometrice deproiec{ie. n ult imi instan{dse poateapreiia ci majori-tatea crea{ii lor umane rezultd succesivdin insu;irea,transformarea, utilizarea sociali, tehnico-economicS,mediului inconjurdtor.Acest mediu nou creat de om gisocietate ste o cucerire.o ordonare.o combinarenoudde spaliu, materie gi t imp prirr intermediul unei proiec-t ir i deci prin ut i l izareaunui anumit sistemde proiec{ie.Proiectareaeste deci concret izarea ehnicd, gt i in{if ic
determinatda unei crea{ii, ea nsdqiqt i int if ic fundamen-tatd. In baza acestoracumuldri carit i tat ive, analit ice,de specializare, roiectareancepe otugicalitat iv printr-ointui{ ie, viziune de ansamblu spa{iald, materiald,r inet ici, a obiectului cerut, in cadrul condif i i lor locale,inomentane. ate. Estevorba deci de o sintezi creatoare, ie orme spaliale,de necesitdt i unc{ionalegi condiJii de:ealizarepe care numai geometriao poate conforma nsra{iu qi totodatb concret iza n studii le pe reprezentdri le:ehnice laneca magini ale aplicir i i sistemelor eproiec-1e decvate.Mai departe,prin determinir i g i aproxima{ii
: j icesive, in baza egilor specii icedar gi de armonizare,
.e ajunge a proiectul tehnic respectiv,necesarn vede-:;a realizdri i, deci a construc{i iplane,care urmeresc u:t, : :r ic formal, ci lnteles, insigi rela{i i1e din spa{iu.-:"; :darnu se poateconcepe proiectaren nici utr dome-":: f ir i cunoa;terea el pu{in a principii lor generale le, . :einelor de proiect iecare se t t i l izeazd ln ramura res-
-. : : ir-a precum gi in cele nrudite cu aceasta.Aga cu m,-. amint it mai sus progresulcontinuu a1 gtiin{ei gi: :--- ici i a dus a aparit ia muit iplelor sisteme e proiecf ie: i: . se ut i l izeazhastdzi n celemai diferiteqi nea;teptater:r: :-t : i i . Spre deosebire e trecut, cind dubla proiecf ie
-r: .-: :rald constituia sistemul de proiec{ie ut i l izat in
majoritateacazurilor, proiectarea in zilele noaStre rede rezolvat o primd problemdce i se pune inainte detoate: care este sistemul de proiect iecel mai adecvatpentru uti l izare in cazul considerat aspect,mdsurltori,
detali i etc.). Pract ica a ardtatcd nu poate i l imitatd laun mod de reprezcntare nic. O privire retrospectivdaratdci tehnicagi arta au fost n toate impurile profundtributaresistemelor e proiecliecareau evoluatodatdcuinmul{irea gi adincirea cunogtin{eloromenegtiasuprarratur i i ; i societbt i i .Agadar,cunoagtereaemeinica acaracterist ici lorsistemelor de proiec{ie, a suportuluigeometricpe careaceste istemede proiecliese sprij inidonst i tu ie 'o cer infd sine qua non'pentr t t act iv i t i teagt i in{ i f ic i a proiect i r i i bunur i lor mafer iale.Dupd anu'mite criteri i e pot incercadiferite grupir i sistematicesistemelorde proiec{ie. n cele ce urmeazdeste-prezcn-tatd o asemenealasif icare sistemelor e proiecf ieavitrdmai mult un rol informativ asupra creali i lor in acestdomeniu.
1'. Sisternulde .proiec{ieMonge gi sistemelede proiec{ieMonge derivate: Sistemul de proieclie Monge aplicatstudiului descript iv al geometri i lorneeuclidiene;Siste-mul de proiect ie Monge modif cat (Mart in, Pernot);Epurele dfine 9i epureleafine cir spa{iu de transport;Sistemele e proiec{ ieMorrge impl i f icate.
2o Sistemele de proiecfie care generalizeazi sistemulMonge: Sistemul-de proiec{ie imaginat de Gh. A.Nicli i lor; Sistemulde pioiec{iecu diedrul nul; Sistemul
bicentral de proiec{i6 cu
'doud
plane fundamentaleparalele; Sistemulbiceniral de proiec{iecu doud planefundamentale arecare.
3o Sistemele e proiecfle ale geometrieicotate: Geometriacotat i propriu-zisd; Sistemul de proiect ie vectorialimaginatde Feodorov;Sistemulciclograf icde proiec{ie;Sistemulde proiec{ie maginat de A. Capelloni;Sistemulaf in de proiecjie.
4' Sistemeleaxonometricede proiecfie: Sistemeleaxono'metrice de proiect ie cu axe rect i l ini i; Sistemele axo-nometrice cu axe curbe; Sistemul de proiec{ie prinproiecf i suplimentare.
5o Sistemele xialede proiect ie:Sistemulaxial-helicoid lde proiec{ie; Sistemul axial - paraboloid l-r iperbolicde proiec{ ie; Sistemul plan-axial de proiecf ie; Siste-mul'biaxial de proiec{ie;Sistemul riaxial de proiec{ie.
6o Sistemele centrale de proiecfie: Sistemul perspectivde proiec{ ie e ablouplan vert icalsau ncl inat ; Sistemulperspectiv anoramic au oloramicde proiec{ie;Sistemulde proiecf ie al perspectiveiNewtoniene; Sistemul deproiec{ieal paraurmelor;Sistemulstereograf ic e proiec-
{ie ; Sistemul bicentral de proiec{iecu centre ixe sattmobi le.
1.5. ROBLEMEROPUSE"-
1o Sd se aratece devine aportul anarmonic : (ABCD),daci se permutd in toate modurile posibile (in numdrde 24) oidinea celor patru puncte. Numdrul r f i ind dat,sd se exprime cele gase alori dist incte pe care e poatelua ast le l
2.r.1.PLANE DE PROIECTIE. INIA DEPAMINT. DIEDRE.SISTEMULDE PROIEC-
TIE MONGE. econsiderdn modarbitrarceledoud lane erpendiculare;i V carese umescplanede pioi6cfiegi pentru a le
-deosebie
presupune-cdeste lariulorizontal eproiecfe,iarV^este lanulveiticaldeproiecliefig. 2.1).Dreaptad-e nterseclieOX dintre aceste oudplan6de proiecfie stenumitX n -geometriadescriptivdinie'depflmint.Aceste oudplane:erpendiculare int nelimitateqi pot ocupao pbzilieoarecaren spa{iu, n careplanul H
5a nu'f ie neapdrat rlzontal au V vert ical 'rile doua lan6 eproiectie piV dividspaful::l patru regiuninumitediedre.De asemenea,
Copi tolul l l
PUNCTUT I
2.] slsrEMut DE PROIECTIEUBTUORTOGONAT ONGE
celedoui planede proieclie ; i. V s.edividi." ipto. it i pbtru semipllne,prin l inia de
oaniint *, cire pot f i notatc i numiteastfel:'n"- ntunulori jontal anteri6riHp planul
or' izonialosteriori . - planulvert ical upe-
;i;;; t; - planul veiticai inferior' Diedrul
".t"'iottort fe semiplaneleu i V.-'-DiedrulI
. t i" l"t"*t de semiplanele. si Hp' Diedrul
I i i este ormatde s'emiplanelen;i Vi ' Die'
a;f IV lite formatde'semiplanele, i H. 'Acestsistemdublu ortogonal e-p]gfte"49*pfgiectie
o1:;l-uppdap 'uslrsqu :lriJs aJBc a1esa1een;1d;rmapel"uopJooJ arl alar ap PlEulruJalap lse erndaad (,e 'e) rnlnlcundtq u\12o4 'V rnlnlcundalp a1euo8o1:o rfcaro.rdpnop aloJ (,u 'u)Vu1rd nes (,e 'e) ur:d eauaruesep el ou JoA aS'(,u 'u) lnlcundlq g-rnda 1 apundsa:or gntfedsulp V rnlnlcund pc lroasapB unds ag 'lernda
Ie nlqnp rnlnueld lalcund $ nl ntfeds lalcundarlul pro^lun;q piuepuodseroo IeJlsB 1$a1rqu1sag 'arfcarordap aueld gnop alar ad .Lrleadser'a1es 1e u 1i u aleuoFolro ricaro:dFnop elaJulrd glulzerderes nrieds ulp V a:era:eo cundun 'aFuoyl arfcaro:dap leuoFolro nlqnp Inu-alsrsuJ 'repe$y 'VIOC 'VAUVIUydAO 'VSIC'ssv':r^rldrucseo'IarvNoouoof,9'r'6
'aculeruoaF truauela olelrJaJlp
eareluaza:dar .leqFurls u B ap lndocsuI 'FulJalrpoJ Spldn.ra-r1ullull utrd p:ndaed ezeaserles oulpJo ap llull olsaJe 'leolqo ag '1aderep elull nESaulpJo ep etull alSaunu as oJpJ
'xo ad prelncrpuad.ledlSeaoce d uuneaplolulg.rndeu1 :epeie eien lrs truJs e r$ u lrfcaro:d
_ pnop ale3 ',e uud leurnu elou JoA as ri ,u 13," InleJep'alrrfcarord .r1ui rfcurlsrp ceJ s nu
InJlue)nc nrfedsuI JJaJap cJu un alJJsep,g nlcund'atlcato.ld p H IEluozuo1nue1d lsadpunde:dnsas ps +IeuI lajlse 'lBlFJe Insuasug arlcaro:dap A luJrlJa.,r nue1d l?qEr as PrBC '1ultugdop BIUIIad a:elncrpuad:ad1a11seu1s
u,uISxuB
aldarp enop ala3 'xo lupupd ap erurl ad nrfedsulp V tnlnlcund e gluuoFol.ro rlcaro:d purrlpJ xB
InlJund e:aprsuoraleod aS ',BVu 1nue1drS xo luyuRd ep Brurl arlurp ariJas:a1ur p
lnlcund *s alC xo lugrupd p Brurlalsaa;ec n r$
BE
g arfr_aro:d p aueld enop Joial e arfoas.ta1ur
ap eldea:p ad ;elncrpuad.lad lsa ;Vu 1nue1d'aJerurnulJd 'A 1nue1d d ,uy e:elncrpuad:adeut{uoe aJaJeoep1 1nue1d d :elncrpuad:adalsa, a 'Bauauase q 'ue1d lsate ad gJelnJrp-u_ed:adu eldeerpaurfuocecoJeoapg
ISH al l-calord ep aueld Bnop elac ad ,l,rlcadsa.t
1cundInlsore a1ea1euo8o1:oprfcarord,u l$ e ar3 16
'1 nrparpuI lenlrs '(g'a '39) nrfedsurp aref,areolcund un V atd ' tn ' InICNnd Vdndg.' t ' t 'Z
'A IBJTIJaAnuelo alsaog 1nue1d nlFqBJB-sgr 'sJalur nes H 1nue1dalsad n .frllrBld inlpqer. B-s Br 1a;1se undseS 'oJal"quJ'IaJrqo p ai$aunu as erfcalordapaueydpnop alar undz:dnsas eJBcur:d u;fu1oX'suasoJIJouJ pielriurleu e.lndapraprsuoe s l *
$'Z '8ti xo trultupd p Bturl JEopEzeasvrl s rc'(g'a Fg) rnluor ap lull u1.rd rndapzBoJperulsnu 'Jacrqo q 'prndeop BaJrrunuaplruod aree'uesapnFurs n adaleuasapIaJisBedearfcalordap al eueld urp oJeJarJ d eleuasapap:nFrg'nlqnp uuld un aurfqo es rS arfca,ro:d p ueld
luIS ,J rs J alalJund prep PclpPBloJ nJ PIBSeBeJslipdop rB EcBp oiraslquBld Bal 3rl IB-opIar uI lBnlrsolsa (,c 'o)3 1n1cun6Gl'e :erzit t 'a 'Fl l) a,r t l tzoduls oloqule cep i lu i tupdap plur l op plpl oluelstplq)a uls ,E r$ u altt f-ca1o-rdJBp Jap e1ol nc pleFeua:eltpdepar e
FrBp olrasrqueld lnurrrduI lenlISalsa ,u 'u)ylnlJund 'oJpelpnllud ;o1acelu al"olf,eslqalauuldu1 n;lredser el?nlls 'O l$ C ,g 'y rola;rundernda prsugn4suo? s pS 'gUVOIO1ISIS g'IAN
'v'rdrwgsNI :rlvnus s'lar3Nnd'L'l'6
0t'6 Eri
o'a Ftc
'EelropIB InJpelpuI al?nlIS uls ela 'an111zod
olalor r$ a.'rtleFau ll:glrpdep ne n lS g elal
-)und 'Ballarl Ie Inrpalp uJ lBnlls alsa Ia 'a^ll
-eFaueloc r$ 11cea.relrgdap g1e re C Inlrund'nJparplnurtrdul olenlts IaJlsE UII I a,tt l tzod
alalor 15al l :glrpdopnB O IS Valalrund 'a^r l
-aadsaro1a1cund laloJ rS a1ug1:pdap JBosgutas JolaslcsgelB aJBXtJp alalcunduJ olBJIplJaulproap oltrur l d '(01'z '3H): l lSo alalcundnrluad aarln&au$C l$ g alalcundhrlued aaqnodalaslJsqe zvax\ os xo ,x lugugd ap Elull ad' ( ' ' t - 'g- )a $ Q, 'z 'g-)o ' (g- 'a- ' ' ) f ,'(t '8- 'a) g '(9 '8 '0) V :af,lJeurnu elaluu-opJoof,u1.rdalup alrund elaJ?olpuJn prnda ugezarn8l;as ps 'nlduaxa llu un ?3 'elnu BloJ
r$ 1gcea-relrgdap
g1uuI^B 'lulupd ep etutl
ed 1en1rs lsa O Inlrund 'g,l,t1rzod lsa g : qus ua:e1;pdop BI '(0 == ,q) FInu BtroraJE euaJaJeoapatlcatordap JoIJatruBeluozlJo1nue1duI lenlrs alsa rS (O -q) FInu ESlcsqB reg lnirund '(O'a 3g) pir t l tzodelso t: ,8 ESBlor rBI '(o - e) PInu BorelJpdapare alareoap'arfcarordap royrednsB_rlFaA nue1d I. e.nlIsalsa V lnlrund ;alrund olsor? plulza.ld ;ig1;r-u1nr1lrude (6 '0 'fb lS (0 ,'g '0)g '(' '0 'z)V;o1a1rund elarnda tuncu
punctuluistudiul pe epur l al tuturor pozif i i lorcaracter ist icein numlr de l7) pe care e poateocupa n punct n raportcu planele eproiecl ie
Eicu planelebisectoare. [ seciteasc[din epuraal[turatfl ( fig. 2,15)pozifiile punctelor n spafiufafi de planele de proiecfie 9i fatfl de planelebisectoare.
lo Punctul A(a, a') este situat pe l inia depamint (ambeleproiecfi i coincid pe l inia depdmint, cota gi deplr tarea i ind nule) .
20 Punctul B(b, b') estesituat in planul orizon-tal anterior (proiec{ia erticald b' segdseqte e
l inia de pamint, deci cota estenul5, iar depir-tarea este pozit iv i) .
30 Punctul C(c,c') este situat in cliedrul ntti,sub primul plan bisector depirtareac estemaimare decit cota c' , ambele f i ind pozit ive).
40 PunctulD(d, d') este i tuat n diedrul nt i i ,in pr imul plan bisector departarea estepozi-tivi gi esteegalacu cota d', care de asemeneaeste pozit ivd).
50 Punctul E(e,e') esiesituat n diedrul nt i i ,
deasupra r imului plan bisector depdrtareaeste mai micd decit cota e' , ambele i i indpozit ive).
60 PunctulF(f, t ' ) este i tuat n planulvert icalsuper ior proiec{ ia r izontal l estepe l inia deplmint, decidepi ir tarea stenul i , iar cotaestepozit iv i) .
70 Punctul G(g,g') estesituat in diedrul doi,deasupraplanului bisector doi (cota g' este
pozitivi gi este mai mare n valoare absolutldecit departareag, care este negativi).
80 Punctul I( i , i ' ) este situat in diedrul doi,in planul bisector oi (ambele roiecfi icoinciddeasuprainiei r le plmint) .
l lxft(81 , ,4(4" Yt(il. . o
i l ir :
t toc'(,) 5 bo 2)
iot b.s)"b'(.5)
Fig. 2, l4
proiec{ i i q i b ' coincid n epur i deasuprainieide pimint. Punctul D(d, d') estesituai in celde-alpatruleaplan bisectordacdare, n valoareabsolutS,depdrtarea galScu cota, depdrtareafi ind pozit iv i , iar cota negativ5.Cele doudproiecfi id ; i d ' coincid n epurdsub l in ia depdmint. Se poate consideraproblema gi subaceasti formd: se dau punctele: A(3, 2, Z),B(5, y, -3) qi C(8,-y, -2), situate toate inplanele bisectoare.S[ se determine valoriledep[rtlrilor y Ei ale coteiz qi sI se construiasc[epuraacestorpuncte.Punctul A este cotr{inutde pr imul p lan bisectordaci are cota z:2.El poate f i conl inut ; i de bisectorulpatru,pentrucotaz :-2, PunctulB poate i confnutde bisectorul patru pentru depirtarea y : 3
si de bisectorul rei pentru depiirtarea _---3.
PunctulC esteconfinut de planul bisector re i:entru deplrtarea y : -2(y - 2) Ei debise^c-rorul patru pentru depdrtarea -y : 2, In
ligura 2.14 s-a construit epura corespunzltoare: r i melor pos ib i l i tS{i .
r "1 .8. ALFABETUL DESCRIPTIVAL PUNC-TLlLUl.Se nfelege r in alfabetuldescr ipt iv l
o '9' qkli
^tI
?' ' i ?l ' . . ,?Ji 9tI i i t . i ' i i i'leo
i I I i . , i i , , ,?6' i i i +si ?Ji i I en ._-1, Lr, Ld, (, ,& Li, i,, it, il, i/, i*,in, p, g, n^ s, t
'g Inlcund nrluad iq t$ ^q-uI l$ 'y^1n1cundn;trued '7e $
ne uJ ltlcadsar 'zo ',{o-alaxe
prnde ui JSaull+ul tfcato-tda+soce t.td asnplulurpd ap BIuII el elelelered'Ul 'a 'Ft l) g t iy .rolalcund1E,q ' ,e elBJI1JaASq '" eluluozlJoalrtfcatord llul IEUI salnrlsuoJ g 'a;fre1o;d p
-rolaueydu nrpelp lnrulrd u elunlls '(l '9 'g)g'(b 'Z' t)V rolalcund lu , ,q 1$_,,u le le l " l ,e l l l i-ragordRJsuln4suolas gg 'co:dtra: tt g:nda u1(,,8 ' E 'e) nicundr:1 pundsa:ori nr ieds tp yrnlnlJund ,,? 16 B 'B olesa1e leuoFol:o- tt frat-o;d ra:1alar ut.td leluaza:da:elsa ntfeds utp
V Inlrund 'n1dr.r i eld tnlsare lalcund S nlnt i-uds alalcund er1u1gf,o^lunlq pfuepuodsaroc
1o11su16a11qelsS n1d;4uuld un alsaaticatordap IEreleI tnlnuuld earelueza.rdarS autiuora:er ernda o ';epeiy 'atfeato.td p Ie+uozlJo1nue1d c pplculorgsec uyugdap aIUII1n:n[u1rodu:a1$a1ors aJBJ nlqnp uuld un aur iqoas tS'allcaro:d ap IBJIIJaA nue1d o aptcutocguld'cr:laruouoFrJl+oaJIp uos ul 'zo 1n1nxentnIuI lBralel 1nue1d 15a1or s 'Iactqo ap '.laJlsv
'FplcuroJ ps erfe:ado pll_uInue -r1uud asnpeolJ FS nlnJpalJl alB auBlo IaJl aial Bc JBSaJaualse u;nda e1 pBunfe es BS eJ nJ]uad 'aseS
rnlnrparr l Irap 'g:V*Z Inlnrpalr l auti .redeunrleFauFSrJsqe o rop InJpaIputp pund un'nldruaxaaq n.r1ed nld '1n1n:palpE IaJ a+saoulpJoep Jol InJFunu ret 'antluFau lastJsqu EaJparJl :1edalaurrlln 'alrlIzod alastcsqu ug.te
'e.rpatp :1ed ala o nJ BpunJUoJs arpat:1n:1edalarulrd '(gt'a '3g) erpeJrl dou; Iploi uI pI^Ip
a' )oiec-| 4) ,nelor: l i i lelor Armint:purderLtrurl B.
Fig. 2.17
Fig.2.18
:-- .c i i i le punctelor de abscisi nuld (a' al)h.. bl) pe planul lateral de proiectie sint
:- -ai proiec{ i i le " qi b" cdutate.Pentru a,: : :nute, se rabate planul lateral anter ior
r : =:ror Was peste planul vert ical super ior ,
,L--- :d axul oy in pozi l ia oyl ca prelungirer ,.- ie plmint in t imp ce axul oz rdmine ixi - .18). Astfel a, se roteEte n 3r1, Ei
; ,r . =.a idicatd n ar, la oz nti lneEte aralela
iir i i .: 1a ox in a". Analog pentru b". Si sesnmsfiruiascdroiecfiile laterale a" $i b" alenrrurirTelor(2, -3, 5) Ei B(5, -4, 2), situatern ledrul al d oilea al planelor de proiecfie.
r , , , ,r - i iu iesc proiec{ i i le r izontale i vert icale
r ,r :- : : telor A qi B Ei se determindunctele
,1n,,r - ; i (b ' bi) ( f ig. 2.19).Ambele puncte, iu , , .
' -c ierminate au depir tdr i le ay ;i by' ,r r i i r [ , . ." if i ind deasuprainiei de plmint) , iarli l. ' = a, ii bj sint pozitive. Acestepuncteseiiriril'rL--:aZ pe planul lateral superiorposterior,Nrlrrinir'----';ior diedrului dOi. Astfel se aduceanr ' r, : : o1rgi ser idic i in au, paralela a oz,
riiririi'r,....:"estein a" paralela a'aL dusi la ox.I i ' t r , - . . la tera ld b" se determin: ianalog.
Si se construiascfl roiecfiile aterale&" gi ['rale punctelorA(2, -3, -5) gi B(4, -4, -3),situate n diedrul al treilea al planelorde proiec-
fie. PuncteleA qi B au proiecliile laterale a"
Ei b" situatepe planul lateral poster ior nfe-rior, corespunzdlor iedrului trei (fig. 2.20).
Seconstruiesc roiec{iileorizontalegi verticaleale acestor unctegi se determinS_prin aralele
la ox punctele (ay; al) $i(b'
bl),situate gi
ele in diedrul al treilea. Pentru a se obtineproiecl i i le ateraleale acestor uncte, e aducea in ar, ;i se coboarddin ar, paralela la oz,
care intilneste in a" paralela a'a', la ox.Analogpentruproiecl ia ateraldb".
Si seconstruiascl n sfirqit proiecfiile ateralea"gi b" ale punctelorA(2, 5, -3) Ei B(4, 2, -4),situate in diedrul al patrulea al planelor deproiecfie.Se determindproiec{iile orizontalegi
vert icaleale punctelorA qi B gi pr in paraleleduse pr in aceste roiecl i i la l in ia de pimintse obf n punctele (ur, a|) Ei (b' b: )
'1do-1nrpa1r1I :lunlrsa1$espFs 16zo luxu nJ?roduruI W rnlnlrund lnlr r leurs aJSJ'(g_ g
-b-)J, lnlrund 11Sr;;s l .g Inrpaul uI lEnltsslsa is Ao nJ JJodBJ i w rnlnlrund InJrJlaujrs: i :9 € 'c- ' t- )g lntrund' ' r t i r rJ l i"rpe,.r1 rgJtrsJsp.ds s xo n,t ; lode; ir l W rnln+Jundlntl :1-auls aJSa g ,g , f )V
:t _"_,$,,iui'"Ji'rrjnlrunauls ar?r s gldua.rp^,jr.pr:n'rinq{rp",erpeJpor elureaspsrs( o jl]_n_ln," ,"jy'lilicundepluuuJelap;aloa"ri'e1arul,iprir; nJ;".u#i".u,",.,
' ra1da.rpe p pletruozr:oerfraro-rd $ lugrupd af erurlartrulsuudnr py lJ ,arurreulpleJpnape 1 erndaad lr ir r 11 ieodarfcarotd p lBr l irp^ 1nue1d rplpluoztro eJeJ1-a:er d r lnrqFup
.Blpralp1
EuJn ts p[eJr]JaABuJn reurnu BoAB aleodEleluozrJo ldea-rp .rfox nc g1a1e.redauaruaseap ols_a leluozrJo elda.rpB FIBJaIBJrlcaro.l4'trcund un eI ecnpeJ as plBJrlJaAes eilcai-oJd rf,unle. S '1gder ap pldue:p o-:1u1eru.lo;-susJleseldearppugc xo1p lnlnzpJeridecxa c're.t1rqre seelp 1 ieod ralda:pp p BleluozrroBrlcaroJd plor rSuaece e raldarp alelcundo1Botr oeJBoaplururud ap elurl nc p1a1e:edeJsa eloaJp relseJe, ,p FIBf,rlranerfcaror4"( t6 'S 'FII)alfcarord p Isluozrro nuu1dr BIal
igpluozrto eldea:p (e :aurnue S 5cr1iuayly+uozlJo ts+osaJpB :aurnuB Is .OCTISIJaIJSJBJ
lll lzod ?llnu IBru ednm eleod pldeerp olllzod gllnu reu_ednm eleod pldeerp o'arfcarotdap aueld loJl alal nr 1.lode; JI
t3rdSdq3tY 3ftrstd3rfvuv3 3li l I lzod
9a'8 8td
.,".,--"*,"..*"**
1a1fce1udrlres:a1usiliirDer*ord;-trlf,S(,ru 'ru)q1nlcund r$ cap
,g/gnc lefa arejrfd5prs- Flor oJlurp-IniJodpl nB ( ,p ,g) eldearp
" ap ayalcund aleol ,,aleuorijodb.rd
alueu-Fasa1e1u;ed ldarp 6 ad gururalap eluarnouoc3loalp ep lncrJsE]Un eJeJBoOC,r{ Bl 3 purun'g uldeerpeulfqo eS .p uI ru lnl'cund ernpg es.8
s ; Inlnl:ooBr lnrolrurnu l]c l lPilun larl nr
IBFa uiu ey ag-'(96'gFU),B
xuInlualuFase1oc
1;c) ele8e rirgd rcurc ug ai.ledurg s r$ ,p ad,". Freplsuor- S .g/9 ell ps us eangpdap 1$ulore4qlp 1ry;oder lrul leJlsp
,(,ur ,ur)W rirlnlcund
e1;;fra;o.rd,p 'p)Ouldue.lp-eduruudlapr pS og('olredep rerrrBepol eA esunJ 'rop JolJasrq1nue1d c a1a1e:edolaldarplnzvt ut eltqtsod alsa'nu zuralqo:6) Iu
si1l-prJ-o-tareul-rnurrd 'iep lnue1d ad y r$ qalalured :o1a1de:p lrricaro.rc-euieol 1u s a-rec'9. ISp alelErBd llrasJaiut p olda:penopudnpelJraror0gp lnuEtd ap elel3asrelurluJS alal-BrBo uuJd xop el-sarv a1a1e;ed
1u;sar{oaro:dap InuBId ad slaideJp ezealcarord :er eueldpnopaler :rolprurnInlatr j i rpalop:o$n11 leodl0eJ. seJv, 'a1a1eredauJuase p JulsaJBJaJBouBJdul ad (e;eca;eoalelered nes) aleuoFol:o
"i io ,ur FlElnFJ -Jelotr t p eleuPJd d rnlnluaur8as1eatate_recialr r lreroldu1 rSpzea.r lseds nr iedsu; luaiuFe,un ailBdujJ lcund un aJBcur nldurrs 1n1.lodey,n
,t^s,, - I,,,a1epaldarp Ie 11jo:d i, '1nur1fuJ '.r g1l9ro ap
JerelBI rnlnueld earileqerulp^,loderrolul es leralel 1nue1d'd alnul lqoIaJ lsp /A lS, ,q elrr r rn .( tg .g.F l f )
l i m' situatepe a{eeagiinie de ordineperpen-dicular i pe ox. intr -adevir , dacl proiecfi i leorizontale gi 3 se ntersecteazdn m (fig. 3.35),dacdproiec{ i i le ert icaled' qi } ' se intersec-ieazdinm' ; i dacdpunctelem ;i m' s int s i tuatene aceea;i inie de ordine, ele determi naunounctM din spafu careapar l ine 'u, identmbe-ior drepte D ;i A, deoarece re proiec{ i i lesituate respectivpe proiec{ i i1e monime aledreptelor .[Fac xcepfie e 1a aceasticondi] iede concurenlddreptele de profil pentru careirebuie ntr-adevdr a treia proiectie au alteni j loace de determinare cohdi{ ieide concu-.enfa.iDreptele eparalele i neconcurente int:reptdle ale ciror proiecti i nu satisfacnici:ondi{ ia cle paralel ism qi nic i condi{ ia de:oncuren I. Acestea sint drepte oarecareiig. 3.36). Se consideriacum-dreptele (d, d' )
5i A (8, D') concurententr-un punct situat inafard din cadrul'epurei. [ severifice dacd celedouI drepte sint intr-adevflr concurente. Fie:cud drepte arbitrare (ab,a'b') gi (ce, c 'e ') ,
rare se spr i j ind pe dreptele D Ei A date: ig . 3.37).Pentru ca drepteieD qi A sd fie
:oncurente stenecesar i suficient ca clrept ele
':bitrare (ab, a'b') Ei (ce,c'e') sdse ntersecteze.e _sdie paralele.Pentruca dreptele ab,a'b')s: {ce,c'e') sd se ntersectezerebuie ca proiec-: : i le m qi m's I f ie s i tuatepe aceeaEiin ie de,:dine. ln acestcaz, aceste oud drepteconcu-:.nte determini un olan in care sint continute
-.
dreptele qi A, careau f iecare u acesiplan
4: 'r {
Fig.3.37
:ite.2.puncte omune.Fiind coplanare, repteleD gi A sint concurente au pafalele.
3.3.3. APLICATI|. l ' Se considerdpunctul M (m, m,) 9idreaptaD(d, d') ; s i se ducd pr in punctul m o dreapte:A (8, 8') paraleli cu dreaptaD;Al (81, S;) concurenU. u dreapta D;
A, (8g, 8s) neparaleli qi neconcurenti cu dreapta D.--
Pr in proiec{ i i le m gi m' ale punctului M se ducparalelele gi 8 ' , respect ivcu pioiec{ i i le d 9i d ' a ledreptei D. Dreptele D ;i A astfel determinatb,avindproiecf i i le cLr
-acelagiirume paralele, sint paralele
( f ie.3.38).
Se-alege
un punct arbi i rar A (a, a ') pe dreaptaD (d, d') . Unind a cu m ; i a ' cu m' se ob{ ineo dreaf t iAr (81, 8i), concurerrt i n punctul A cu dreapta D,deoarece ond drepte sint concurentedaci proiec{i i lepunctelor rezultate din intersec{ii le proiec{i i ior lor deacelagi umese glsescsituate pe aceeagiinie de ordine.- Se aleg la int implare proiec{i i le 8o li Se. Nici una
dintre cele doudcondi{i i de mai sus (de paralelismgi deconcuren 5) ef i ind verif icate,dreaptaAs estencparaleliq i ncconcurentau dreaptaD.
2o Prin punctulA (a, a') sd seduc[ o orizontali D (d, d' )caresd ntersecteze reaptaoarecare,A (8, 8'). Paralelad'la l inia ox dusd prin a' reprezint i proieciia vert icald aorizontalei D (f ig. 3.39). Ea int i lnegte n b' proiec ia
o Ftnr: l : t_ulgt l 'O, ' , ,q, ,Y nr ula lered, ,P t lnp as, ,ur ur :4_ qL-8_J) or lcorord, )pIprr lBl nueid d lep raldarpiTIn ln l rundolu , , j , ,E rS, , ruol r r faro:<Jscrnr isdoJS *
l- I:ln_tp :l,i l_lll_.1".d ?qBRs nqa:1 d.,r-iyi1eredpur1V s g ol r ldorp rody .JulJnal lugsur. ldnc-16pr. rpcrppqleFS rnqarl uldee:p er ,aurrna.r1ugrri.,<inJ:1ditlljlt_l --E ]-1Es
lnqorlg eldea.lp:ru.n,:o.sqoS' llt l,i i ,t
.?ryJpatpltqpJls.gs uldeorput . t1t;$1f,i-bla.rparppl"q9rl lps.g eldea;pl rut . lo l lsp, ' , ( ,V-. t r , l' lS ' f ,p ,p lq
l ' Si se recunoascii acii doul dreplede prof i l (ab, a'tr ')g i (ce,c'e'), situate n acelagi lan de prof i l, sint paralele.Pr in punctul arbi t rar M (m, m') din spa{ iu se ducei.aralela (mn, m'n') la dreapta de prof i l (ab,a'b ')1iig. 3.46). Dacd dreapta (ce,c'e') este paraleli cut lreaptade prof i l (ab, a'b') ea va ii paraleli Ei cu dreapta
de prol i l (mn, m'n') , Deci se vcr i f ica daci drepteledenrof i l (ce,c 'e i) gi (mn, m'n') , s i tuate n planede proi i tci iferite, sint paralele. Pentru aceastase constmiescdreptele cn,c 'n ') gi 1em,e'm') gi se ver i f c i i dacapro-iec i i le or se nt i lnesc rr doud punctes gi s ' , s i tuate pedceea$iinie de ordine. ln cazul epurei din f igura 3.46,rele doui drepte de prof i l considerate int paralele.
:i Sd se cercetezedaci dreapta de profil (hv, h'n'),d_atiprin urme, intersecteazi dreapta oarecareD (d, d'),i l : cele doud drepte sd se intersecteze ste necesar i. '; i icient ca ele sii apar{inh aceluiagiplan. Aceasta deint implS atr-rnci ind dreptc. lehh, ;i v 'vi (care unesc
. espectivurmele lor de acelaqi nume) se int i lnesc lr r
"cela; i punct pe l in ia de pdmint . In epura aldturat l. i ig. 3.47)cele 'douddreptehu s int concuiente.
l0' S{ se recunoasci daci dreapta de profil (ab, a'b')intilnegte dreapta oarecafe D (d, d') dati. Proiec{iile de-..ela; i nume ale acestordoud' drepte se intersecteazl' . purrctele gi s ' , s i tuatepe aceeagiin ie de ordine,da r- . :nctul S (s, s ') , care npar{ ine dreptei D (d, d') , nu
l f r r { ine, in general , gi dreptei de prof i l (ab, a'b ') ,:(ntru a verif ica daci cele doui dreote sint sau nu. ,ncurerrte,se aleg doui puncte oarecareM (m, m' ),: N (n, n'), situate peldreapta (d, d'), gi seduc dreptele
tl uiB).iu-d"[ce
Fig. 3,48
(ma, nr 'a ') ;i (nb, n'b ') ( i ig. 3.43).Daci i dreptele ma ,m'a') Ei (nb,n'b') sirrt concurente ntr-un punc | (i, i ')sau dacd ele sint paralele, atu-nci i drepteleD (d, d' )gi (ab, a'b') sint Concurente. n caz cbntrar, acestedoud drepte nu se int i lnesc.
3.3.4.APLTCAT|TLE TEOREMETNCHTU-
LUI DREPT: ERPENDICULAREEDREPTEORIZONTALE AU FRONTALE. in punctulA(a, a') dat si se duci o perpendiculari:
lo pe o orizontaliG(g,g') dat[;
2o pe o frontali F(f, f') datI.
Acestedoui constructii int douii consecinleale eoremeinghiului repi, are fost demon-stratd in invi{dmintul mediu. Pentru ca ununghidreptsdseproiectezertogonaln adeudratd
20 Se considerX ronto-orizoritala )(d, d') sidreapta carecare Jr) , 3 '1. S[ s. i dctermineproiecfi i leperpentl icularei 'comuneelor douldrepteda.te. eoarecei'orrto-orizontala (d, d' )esteperpendicularae planul ater l l de proiec-{ ie , perpencl icularaonlune l in tre dr t t l te leDsi A e-ste dreerptaaralel i i u planul r teral c le
pro iecf ie , dic iro dreapti de pro l i l i f ig . 3.53).Ea se ob{ ine 'ucindcl in proiectia ate}alad"a dreptei D perpendiculaia "a"pe proiecfalaterald 8" a drepteiA. Proiec{ i i l -ei izontal l
-.iverticali ale perpenficularei comune sint
:espectiv b ; i a 'b ' . ; ' I \ , . , ,
30 Si se construiasei;proiecfifle erpendiculareic.o{run-g. (g, g') di,ntre dreptele D(d, d') gif(b-, 8') paralelec,u, celagiplan de proiecfie.F ie drepiel€,:.D(dr 'a)i A(8, 3') ( f ig. 3.54).
Planul or izontal 'de proiecl ie este un plan:,aralelcu cele doud diepte, ar perpendiculara:cmunI esteperpendicul'ari " ui,"r i plan, deci
-steo vert icala.Proiecfiasa or izontal l g este
situatl in punctul de int i ln ire al proiecti i lor: izontale gi 8. Proiec{ ia a vert i ia ld g ' este
&'b' , care mdsoar i totodatd cea mai scurt ir, ,stanlddintreceledouddrepte r izontale ate.=' Si se construiasciproiecfiile peipen{iculareiiomune dintre doud drepte frontale. Perpen--.:ulara comunddintre cele doul drepte fion-:.-e F(f, f ' ) 'g i F1 fr , f i l estedreaptade capdtab,a'b') Care eproiecteazl e planul vert ical: . proiecfie n punctul a'b. ' de intersecfie l: :- ,rec{ i i lor er t icale ' gi f{ ( f ig. 3.55).
" Sd. e determinedistanla I dintre doui drepteD d. d') gi A(8, 8') paralele u linia de pimint.* .. :an{a I dintre celefdoud'frprr to-or izontalee-,: ar I peperpendicularaor comuni,care ste
clreapta e prol i l (ab,a'b ') ( f ig.3.56).Aceastldistan{i se obtine in adevdratl rndrime uindsegmentulcare une;te proiec{iile laterale d"$i 8" ale celor doud dreptedate.
3.3.7. ADEVARATA LUNGIMEA UNUI SEG-MENT. Se consideri segmentulde dreapti alecdrui extremititi sint punctele A(a, a') giB(b,b'). Sd se determinedevdrata uirgime 'a
acestui segment qi unghiurile cr pi p pe careacest segment e face cu cele doui plane deproiecfie.Segtiecd un segment e dreaptdesteipotenuzaunui triunghi dreptunghiccare areca atur i a1e r-rglr iuluirept catetele) roiec{ iasegmentului gi diferenta dintre proiectanteleextremitat i lor a l t , .Ast fe l ,proiecfia r izonta laa segmentului se va consideracu diferen{acotelorextrernit i r f i lor ale, ar proiec{ ia ert i-cala a segmentuluise coisideri cu diferen{a
deplr tar i lor extremit l t i lor sa1e. ceste r iun-ghiur i c lreptunghicebbl sau a'b'a1 se ob ini.mediat, le putind f i ata;ateuneiasau alteiadjntre cele doud proiecfii ale segmentuluida t(fig. 3.57). Evideirt: ab, : a1b' : l. Totodatdrezultd valorile unghiuriior d gi B pe care seg-mentul AB le face cu planul orizontal ;i cuplanul vert ical de proiec ie.Ca apl icafie, seconsideri triunghiui ale cirui virfuri sintpuncteleA(a, a')', B(b,b') gi C(c, c'); s[ se
llgld adalgJcaro.rd;1 i uarcrinsr.jtt,i;jiJBleluorJnc-- lalered- uig ' jielueicaror6ol
;Pl".p-,S 'g)y arura.ruogfrargp pdnp lalup
tl- t){ el?luorJ;aunqfra.rlpgi'np , a 1iiod'ai;a;aue;d,ad,{,u,ut-,uu)' luaiirFl.inun' l l" er lqoe1a;e.lud;r;fra;orduluralep spS IIIdAUO
VyrvUrNgsS rnryUva rl5aidfii's ee
ii]:.*1-l"rlrnl'r rBu ;un1,.r".,u^ip3"i,lil?,t ,f::l.q:]p,1rn1qFunu1o1sac.e1'eC, ld El
:: l :11'1Y1lod'(8s'8'Fr3) .r lcadseiroir:np3,r
l?l i lor slaluoreJrp1t ;n1n;q8unr.r1ro1rrn1e11ealBluozllo1rrl: . 'aro:dlugs 1bler' :o.rpc'e1e'uruSdrl 'utq;D r-rqFunlda:p1r:niqFunlrl1'nluorlro:jl33jgj9 d csarrulsuoc"es'.lqairriili-inrsec?rollJnlsl ele ;ur;Fun1alalerpnipujugiu.ratrep
og'e Elg
P1i":9.,H11-:ylurJelepsRs as'oreluenereur
I:."- t _fqy:r_sa,qoia: ' s earu'ah;:A ;"r/9'8 'Flc
laleredalrilra'.iro iqo .gtos'e'sg)'biucrlia,ra l;i;b;i;i";':'l;r:ilUl t I IJelOD 3s I i rnrnrrlari lSrc r ' , r-. , , , , - i . . .1 ---_,l1p .: f _n1uburFbs' 'pl
fi i le centrale ale unui segment (mn, m'n'),pe planele de proiecfie, centrul de proiecfiefi ind (o, <o').Toate proiectantele rec in acest
cazprin centrul de proieclie (r, ,o'). Se con-
siderl numai proieitantele segmentului MN
$i sedeterminl urmele or orizontale i verticale( f ig. 3.61). Se ob{ in proiecfi i lecentralemsns
li mrindpe cele doui plane de proiecfie alesegmentului at.
3.3.9.APLICATII." Si segiseasci roiecfii lerizonitalei G (g,g') caredeterminintre trontalele (d,d'r9i A (8, 8') un segmente unglme unoscutd.Secon-sideri proiecf iaa pe I gi se descrie rcul de cercde razi Icare nt i lne$te proiec{iad in b
9ic (f ig. 3.62). Rezultd
or izontala(ab, a'b ') , paralel i cu or izontalacdutat i G.
Pr in a'se duce paralelaa'm' la d ' , iar pr in m'se duce
paralelam'U, la ' l in ia de plnr int . Rezult r : r gi b, ast fel
incit mb, este paralel cu ab. O_rizontalamb, gi m'bi)
estedreapta cdutatd C (9, g'). In mod analogse gisegtesoluf ia corespunzbtoare roiect iei c. Dacd lungimea Iestemai micd decit distanla dintre proiec{i i leorizontaled gi 8 ale celor doui lrontale datc, problenra u are tr icio soluf ie.
' Se consideri orlzontalele D (d, d') Ei ,\ (8, 8') li
dreaptaoarecareE (e, e'). Si se determinesegmentulABcrre se sprljlnl pe dreptele D qi A gi al cirui mijloc Mestesltuat pe dreapta E. Se construiesc n epuri orizott-
Fig. 3.62
Fig. 3.63
talele D 9i A 9i dreapta oarecareE datd (f ig. 3.63).Proiecf ia vert icald e' int i lnegte in o. ' gi B' proiect i i levert icale d' gi 8' ale celor doui orizontaleD pi A. Di nmijlocul m' al segmentului a'B' se coboardo l inie deordine gi se ob{ine proiect iam pe proiect iaorizontalde.Purrctr i l M (rn, nr ') astfel determirrat aparline drepteiE (e, e'). Se construiegte egmentul cu mijiocul ln'm,carese sprij ini in a ;i b pe cele doui proiec{i iorizontaleale orizontalelorD ti A. Ridicind linii le de ordine din a
gi b se obtin a' ;i b'. Cu aceasta egmentulAB (ab, a'b')cste determinat.
3.4.PROELEMEFOPUSE
1". SI se derncinstrezed proiecf i i leunui punct din spa{iupe planul orizontal 9i pe planul r19rt icl l de proiecf ieseagazzi e o aceeaqi erpendiculari a l inia de pdmint,cind se rabate planul vert ical pe planul orizontal. Sd
se demonstreze e ciproca acestei teoreme.2' Si se construiasc:i o orizontali care sd irnpartd seg-mentul cuprins ntre urmele unei drepte ntr-un raportdat .
3" Pe o dreapt i D (d, d') dai i pr in proiec{ i i leei sd seconstruiascdpunctul M (m, m') pentru care diferen{adintre cot l gi depirtare sd f ie o lungime dati l .
4o Se consideri pr-rnctele (a, a') gi B (b, b'). Sd seducri prin acestepunc[e doui drepte paralele D (d, d' )
;i A (8, 8'), qt i ind ci dreapta care unegte urmele lororizontale are o direct ie cunoscuti S,
In epura din figura 4.5 au fost deter'minateurmele..P i P. ale planului definit de punctulAra,-a')Ei de dreaita D(d,d') , ale cirei urmeI sint cuprinpe n cadrul epurei.S-a dus prin
q') o.or izontal i (gu,g'v ') Ei ofrontald(hf, r_'i'),ambgle oncur-enticu reap-ta.D(d, d') . Urmele P ;i P' ale planului trbcprin.urmele
h gi v' ale acestorcirepteqi siniparalelc espectivcu proiecfiaor izontaldgva or izontaleiqi cu proiecl iavert ical irh,f ' -afrontalei
4.1.2.DREPTELENULUI.Dreptele
IMPORTAIqTELE PLA.sint
I
- o orizontal[ G(g,g') a planului gi unpunct A(a, a') ,
- o frontali F (f, f') a planului gi unpunct B(b, b') qi s[ se traseze iniile de cia maimare pant[ ale acestorplane.
.se,considerd orizontala Gr(gr,gi), clusdprirrpunciul A, paraleldcu dreaptaG (fig. 4.6) .Urmelev'
; iv i unite
dau urma vert icald''
a planului, iar urma P trece prin P* ;i esteparalelacu proiecfi i leor izontaleig ; i gr .\ Ol lnie de cea mai marepantd (1, ' ) a pianuluifa fdde planulor izontal e proi i i l ie 'este reaptaconl inutd n plan ; i perpendicular i e toateor izontalele$lanului,^d6ci $i 'pe u.ma p.
Proieclia_sa rizontal:i esteperpendiculara eu1m.a . Proiecliasa verticald I' rezultd mpu-nind condilia ca aceastd reaptdsd fie conti-
nutl in planul P. Analog, in figura 4.T s- atrasal llpia de cea mai mare panld 1lr, li) aplanului- fald de planul vert i ia l ae proieci ie,adicd dreapta conlinutd in plan qi bare esteperpendicular ipe toate frontalele planulr i i .
l ^ A Ar rg. t, a
Fig. 4.5
1?
izontaielemare ?nti raooi'
SA-zp$aj-sarr,crse determine urmele P qi P' ale unui plan,
punctelelanului u aceeaEibscisi. n epuri,el se reprezintiprin urmele aleP qi P', care
sint in prelungire i perpendicularen P* pel inia depdmint f ig.4. l0qi 4. l l ) . Planulver-tical. Planulverticalesteplanulperpendicularpe planul orizontal de proieclie.Urma saverticaldP' este n epuri perpendiculardeox(f ig.4.12 i 4.13).Unghiul mlsoard eepurdunghiulplan al diedrului, ormatde pianulvert icalPP' cu planul vert icalde proiec{ie.Planulde capdt.Planul de capit esteplanulperpendiculare planulvert icalde proieclie.
In epur5, rma aorizontaliQeste erpendicu-lari pe ox (f ig. a.129i 4.13).UnghiulB m5-soard eepurd nghiul lanal diedrului,ormatdeplanuldecapdtQQ' cu planulorizontal eproieclie.Planulparalel u linia depimint ox
paralel u l inia de pdmintox are urmele alePqi P' para le le u ox ( f ig . . la q i 4.15) .Dacd
acestplan trecepr in l inia de pdmint, urmelesaleorizontaldR qi verticald R' seconfunddpelinia de pimint ox. Pe planul ateralde proiec-
f ie se citescdirect valor i le unghiur i lordiedrecuprinse ntre aceste lanegi planelede proiec-
{ ie, urmdrindpozi{ i i le urmelor ateraleP" giR". Planul perpendicularpe primul planbisector. Acest plan are urmele sale P qi P's imetr ice n raport cu l inia de pdmint ox(f ig. a. l6) . Se vor justi f ica mai t i rz iu aceste
proprietdfi. Planul perpendicular e al doileaplanbisector. cestplan areurmelesale Q qi Q'confundate, eci Q
-Q' ( f ig, 4.16).Planele
paralelecu planelebisectoare. n plan paralelcu primul plan bisector are urmele sale con-fundatedupi o paraleld a l inia de pdmint ox,deci P - P' ( f ig. 4.17).Un plan paralelcu aldoi lea plan bisectorare urmelesale Q ii Q'paralelecu linia de pdmint ox ;i simetrice nraport cu ea (f ig. 4.18).
4.3..I" .PLANE'DATE RIN URME. PCNITUb-te.qhrinareareptei de intersec{iedintre doudplaneestenecesar dse ina seama e faptul citrei plane neparaleledoud cite doud'. e inter-sectelzf i intotdeauna:int i-un' punct. ' ' rPr inurmare, n problemele e ntersecfie intre doudplane seivof iutroduceplane auxiliare, care ngeneral se'aleg plane de nivel sau frontalepentru Simplificareaopera{iilor grafice. Dacdplanelesint date pr in urme,'planeleauxi l iaresint cl,riarplanul orizontal ;i .cel vertical deprolecl le.
Astfel, ' i[ se determine.;oroi€cfii lereptei deintersecfie dintre dou[ plane oarecareP gi Qdate prin urme. La intersecfia urmelor orizon-tale P gi Q se gdsegte rma orizontald h adreptei.D(d,d')' de intersecfe dintre cele doudplane. In punctul comun urmelor VerticaleP'$i Q' se obtine urma verticalSv' a dreptei deintersecfe D(d, d') ' , f ig 4.23) Pr in l in l le deordine rezulti h,' Ei v pe linia,,,de pimint:
Unind proiecfiile de acelaginume h gi v, seob{ine proiec}ia orizontala d a dreptei deinterseclieD. Analog,h' ;i v' deterrirind roiec- ia vert ical l d 'a drepteide ntersec{ ie dinireplaneleP gi Q, Oricarear f i pozi{ i i leurmelorplanelor care. se intersecteazd, roblema serezolvi intotdeauna asa cum am ardtat inacestcaz general. n epurele'din figurile 4.24li 4.25 s.a intersectatplanul -oarecare P' cuun plan de nivel H' gi cu un plan frontal R.
S-au oblinut ca drepte de intersec{ ie r izon-tala d, d' Ei respectiv rontala f, f ' . in epuradin figura 4.26 s.a intersectatun plan verticalPP' cu un plan de nivel Q' . In epura din
Fig. ,4.2T
Fig. a.29i
figura 4.27-s-gglsit qrizonlala S, g{,de'inter-secfiedintre doua plane care au urmeleor i-zontaleP,si Q paralele., ln puradin figura4.28s-a nterseetat n ptran ertical PP' cu un plande capat Q Q'. Dr^eaptade intersectie este(d = P, 4' : Q?.,,1nepuraldin f igur i le 4.29
;i 4.30 s-a rezolvAt n dgui feluri intersecliadintre doud plane ale cdror 0ime de nume
4.3.2.PLANEDATE PRIN ALTE ELEI}IENTECEOMETRICE.[ sedetermineroiecfiife rep-tel de intersecfie intre doudplanedate iecareprin cite doui drepte aralele.Celedoui planeauxiliare H' Ei Hi intersecteazdiecaredinplanele atedupd iteo orizontaldf ig.4,35).PuncteleM(m,m') qi Mr(mr, mi) rezultatedin intersecfiaacestororizontaledeterminlproiecfiile repteiG(9,g') de ntersecfieintreplanele ate. n epura in f igura .36 -agdsit
dreapta e ntersectieintredoui plane efinitefiecare rin linia deceamaimare antdL 9i L'fald de planul orizontal e proiectie.
(fig. 4.36). Acesteorizontale, iind paralelecuurmeleplanelordate, pr in cele doud ini i de
cea mai mare pantd, vor face unghiuri dreptecu proiec{ i i leor izontale espective le l ini i lorde cea mai mare pantd qi vor trece prin punc-tele (a, a') qi (b, b') , unde ini i le de cea maimare pantl intersecteazi,planul auxiliar denivel.
-Dinintersectiaacestordoui orizontale
rezulti punctul M(m, m'), care aparfine drep'tei G(g,g') de nterseclie intre celedoudplanedate.Analog, r in var iat iaplanuluidenivelH' ,in Hi, seobfine un al doileapunct M1(m1,mi)
al dreptei G(g, g')-de intersectiedintre celedoul blane date. ln sfirEit,si se determineintersettia dintre doud pllci plane date prinproiecfiile lor gi si se studiezevizibil itateaacestei ntersecfii n raport cu planelede proiec'
fie. Se consideri placa triunghiulari ABC__9i
irlaca patrulaterdplanI
MNPQ (fig. 4.37)'Planul-auxi l iarde hivel H' determinl n celedoud plane ale pldcilor orizontalele care seinti lnesc n punctul (p, p') . Analog,planul de
nivel tl i conduce la determinareapunctu-lui (n, q'). Proiecfiile dreptei de intersectiedintr'e planele celor doud- pldci sint astfel
"fe(1ta-r l in ire o- drcnqti .ST ln,plCi l necesit iintotdcaunarci opera i idesti ipt ive,l i a- iTume
i ducereaplanului proiectantpr in dreapt5;+ ffectuarea ntersecfieidintre pl3nul dat qip lanul pro iectant ;
+ efectuarea ntersectiei dintre dreapta ini-
{ ia la ; i dreaptade intersec{ ieezul ta ia .
S[ se determine astlel proiecfile punctu-lui M (m, m') de intersecfiedintre o dreaptioarecareD (d, d') gi un plan P dat prin urme.Se ducepr in dreapiaD (d, d') planul auxi l iar
ele ap[t QQ', care ntersecteazi lanul P dupldreapta (hv, h'v ') ( f ig .4,41) , La intersecl iaacestei drepte cu dreapta D (d, d') rezultlpunctul M (m, m') in caredreaptaD inti lnegteplanul P, Analog, se poate considera a planauxi l iar un plan vert ical, dus pr in dreaptaD (d, d'). Este util si fie considerate itevaap icaf i
F Si se determine proiecfiile punctuluiM (m, n') de intersecfiedintre o dreapti verti-
call (saude caplt] qi'un plan P dat prin urme.Planulvertical qg{, dlis.prinverticalaD (d, d' )paralel u urma'or izoptald: 'alanuluiP, inter-iecteazd planul P dupl oi izontala (8, 8')riig. 4.42). Aceasti orizontal_dntilnegte verti-cala dati in puncttr l m (fi : d, m') ciutat.
r.ie+f,fi
Analog,planulde capatQQ' , duspr in dreaptade caplt D (d, d') paralel u urma vert icald- :F'
{ planului P, intersecteazd lanul P dupifrontala ( 8, 8') (fig. 4.43). Aceastd frontaldint i lneste dreapta de capat datl in punctulM (m, m' = d') c iu ta i .
20 Si se determine roiecliilepunctului I ( i, i l)de ntersecfie intre o dreaptdD (d, d'), paralel[cu linia de plmint,, ;i un plan P, definit prinlinia de cea mai mare panti A (8, 8') fafl deplanulorizontaldeproiecfie.Planul de nivirl H'
dus pr in dreaptaD (d, d') este ntersectat edreaptaA (8, 8') in punctulA (a, a') , peundetrece orizontala G (g, g') de intersecfiedintreceledoudplane: planul H' gi planul P, definitpr in l inia sa de cea mai mare pantd fafd deplanul or izontalde proiec{ ie f ik. 4.44). 'Pro-ieclia g esteperpendiculardn a pe I Ei inti l-negteproieclia orizontaldd in i, care seridiciin i 'pe d ' . ' ."
: :_:* : 1.., ,
30 Si se determine prqiecjiile punctului
M (r, I') de intersecfie dintre o dreaptEoafqcare D (d, d') gi -un plan ce trece prinlinia de plmint pi punctul A.(a, a'). Planulde capdt QQ', dus prin dreapta D. (d, d'),intersecteazd lanul dat dupd dreapta (r,
in f igura4.49, .8o Prin punctul A (a, a') dat, s[ se ducfl o{reqnt{ G (CrCl) care sI intilneasc[ drepteleP (q,d') Si A ( D, 8') nesituaten ace'lagilan.SedeterminlpunctulM (m, m') de ntbrsectiedintredreaptaA (8,8') ; i planul format ded-reaptadmasd (d,d') gi depunctulA (a,a' )(fig. 4.50).DreaptaO (9, g') careunegte cestpunctM cu punctulA este olu{ia roblemei.Pentru ceasta,educeprin punctulA (a,a')paralelaDr(dr, di) la dreaptaD (d,d') gi seuti l izeazi . lanul roiectant ' dusprindreap.
-ta A (8. E'), care intersecteazdlanul celordoul drepteparalele upadreapta bc,b'c' == 8'
- Q'). Rezultdm la intersecfiaintrebc: $i. .0,are e idicd n m' pe 8'. Uninda cum qi
a' cu m' se obfinproiecfi i le repteiG (g,g')cdutate.Ca verif icare, roiecfi i le gi s' alepunctuluiS trebuiesa se glseascd e aceeagil inie de ordine.9o S[ sedetermine goiecfiilerepteiG (g,g'),care ntilneqte
reptele ecoplanare(d,
d')gi
A (8, 8') gi esteparaleli cu o a treia dreapt6E (e,e'). Prindreapta (d,d') seduce n planP paralelcu a treia .dreapti E (e,e') pi sedeterminipunctulN (n, n'), ln careacest laneste ntersectat e dreaptaA(8,8' ) . Pr inpunctulN (n,n') se duceo paraleliG (9,g')la a treia dreapti E (e,e'), care constituiesolu{iaproblemeif ig.4.51).Pentruaceasta,prin punctulM (m,m') de pe dreaptaD seduceparalelaE1(e1, j) la dreaptaE (e,e')
.s iplanul acestordoul drepte concurente steintersectat e planul de capit Q' dus prindreaptaA (8, 8'), dupd dreaptade proiecfieorizontallq, care ntilneqte in n. Rezultin'gi proiecfiile dreptei cdutate G (9,g'). Caverif icare,roiecfi i le qi l ' alepunctului de
-ll[ln es nu BlsBorE r]uad .y ri q'a1ua;f,cuocalda:p pnop roler 1e 4=1.nLie1a
9-rulfrnrr.1u,
ilV :,t::d::r : -'q.ai.,1c5:ponu";i,u,uiniI( lP
'tu)_Wtaloundurur-1a1apS (ad .Fli iV rs q alrrJrnruoJ 1a1da-rpp liulur:aiapd 1nue1drrelale:edlda'nu-'ryg ri l dplOJrpulp Bun lrlu gr aundnsa:d g. .a1ip'r iCe.ri
lil:d i '1 "rsueutllu Bs e,nJ tla 'a) aioajrlSun "a1;;ira1o.rduruua;ap s BS .irera.lso
lj .,'S 'v. ls (lp 'rp) o e1e;da.rp5a;uarnruor
11Sg/ V_ s (,p 'P)O alelderpRraplsuof,So0 I.
'(,F ,E)g eldua.rpl$ eueldgnop orrSrEllcrsJelulE eldea:p o 1a1e:edeld'unaJnoasv Blderrp lrd .g eldea.rpr laterbd erbun arnpas g eldealp lrd :1ag11r.S epacoid
:1":9-:9.""1pLop alurrlsteacri '5d1en1,,11qs alnqarlC s D alaldatpar1u1p i'ua.rncuo5
plseaJBIJJ ocaJpoaq arf-oelord
"btetuuzrto
lly.tl^._ed Jalda:.p,glecJpurrf5ard.rdOhpF:ttqoplelerpd lfcelo:d 1ulza,rdal4 eldia.rg:11?,1.^FQ 1n1nue1d.alaluluorJn'c' jaJe.ret:JtlTrl,"lrlqo,elelerud aluelcaroid r FaleasIs (,P p)q eldearp d ap'(,ur ur)
W rerlrqrell1lg un praplsubcag' .jle1e.rudrarioaro.rdppolau puJzlll1n .aur1nu;.rd ;up j 'lnriulo
-lceasti metodd se aseaminl cu metodaproiec-iiei paralele, arederivl de fapt dintr-o proiec-tie centraldal clrei centru de proiec{ie ., .' )c:te la oo (infinit). Dacdse considerdun centrude proiectie(., . ') situat pentru ugurinfd peurmaverticald P' a planului (fig. 4.55),atuncipunctul A de intersecfie dreptei D cu planulste proiectat central in at pe urma orizontal5a planului ;i pe proiecfia entrali dr a drepteiDpe planul orizontal de proiecfie. Proiecfia cen-tnaldd1a drepteiDtrece prin urma orizontaldha drepteigi prin proiectiacentralda unui punctflarecareal dreptei D, care poate fi sau urmaryerticali v' sau punctul de la infinit aldreptei D. Reveninddin proiecfiacentrald,seronelte81 cu {d gi rezultd a pe d, proiec}iaori-rcrntalSa punctului de intersecliecdutat. Si se*termine proiecfiile punctului A (a, a') in care*rapta D (d, d') intilnegte planul P dat prinrnre, utilizind metoda proiecfiei centrale. Seoilegeca centru de proiectie punctul (., .'),
situat in planul vertical pe urma verticald P'a planului (fig. 4.56). Punctele planului decigi punctul A (a, a') vor fi astfel proiectatecentralpe urma orizontali P a planului.Pentruaceasta.se uce. aralela <ok, o'k') la dreaptaD (d, d') Eiseobfinea la intersec{ia rmei Pcudreaptakh. Unind o( u o se obf n proiec{iileagi a' ale punctuluiA.
4.5.DREPTEt PLANEpERpENDtCtJtARE
4.5.1.DREAPTAPERPENDTCULARAE UNPLAN.TEOREMADE PERPENDICULARITA-TE: o dreaptl un plan are
perpendicularaAC pe planul$P. PrinSAC seconstruieqte lanul Q perpendicular e dreap-ta AB, conlinutd in planul f.
In cazul problemeidate, se duceplanul P prinurma h p-erpendiculare dt ( f ig. 4.61).Rezul-ti P,, iare unit cu v' di urma verticali P' .
Din i ' se duceproiecfiadi perpendicularaeurma verticali P' gi astfel dreaptaDr (du di)estedeierminatS.Prin dreapta Dr (dr, dil seduce planul QQ'perpendicular pe dreaptaD (d, d'). DreaptaG (g, g{ de ntersecfe dintreplaneleP g i Q estea treia muchiea tr iedruluic iutat.
4.5.5.PLAN PERPENDICULARPE DOUAPLANE. Si se determine urmele R gi R' aleplanului care trece prin punctul A (a, a') $ieste perpendicularpe planele P +iQ date prinurme. Planul R este atunci perpendicularpedreapta D (d, d') de interseclie a planelor P
;i Q (fig. 4.62). Fie punctul A (a, a') pe fron-tala ( f, f ' ) a vi i torului plan R, a cdrui urmaorizontald.R trece prin urma orizontal5 K a
frontalei qi este perpendiculardpe proiecliaorizontalaa drepteiD. Rezultd R* , de undeseduce urma verticald R' perpendiculardpeproieclia verticald d' a dreptei D. Se poateprocedaEialtfel ,gi anune: din punctulA (a, a' ):e duc perpendicularele (d, d') Ei A (8, 8')respectiv 9 planeleP ;i Q (f ig. a.ff i ) . Pl anuldeterminatde drepteleD ;i A este planul R
Fis. , .of- l
clutat, perpendicular e celedoudplane dateP
ii Q. Urmeleplanului R se obfin unind respec-
tiv urmelede acelagi ume ale dreptelorD gi A.4.5.6. PERPENDICULARA OMUNAA DOUADREPTE. S[ se construiasclproiecfiile perpen-dicularei comune
-G (g, g') dintre drepteleD (d, d') qi A (8, 3') . Se poate determina:
- direclia perpendicularei comune;
- perpendiculara comund ea tnsd;i (pozitia 'perpendicularei omune).
Pentru a determina direc{ia perpendicularei
comunese duce planul PP' perpendicularpedreapta D qi planul QQ' perpendicular edreapta A (fig. 4.64). Dreapta de intersecfie(u,
"')dintre acestedoud plane dd direcfia
perpendiculareiomune intre celedouddrepte.Pentru a determina pozil,ia perpendiculareicomunese duceprin dreaptaD (d, d') un plan
RR' paralelcu dreapta u, r ' ) . Pentru aceasta,
{'Fq 4.63
Tlril '
o,
plr as elur s u p Rleluoztro erfrarord alSaulglur ue
aq .g nc erlcaslul BIs eurfqo sp er erole-red, ugroiuJr'n[.1r1"g,luaurFas ,p ,p)( drfja:rppdnp leluozriofn"u,li,iot,pplcrjriia.iift;";i,ftfiillH"Jr1ruEi
_oeldlarp et (lp 'rp) rq e1e1e.radlcund saceurrd ernp
i l . . lS, S '8) y eldearped-1en11r.,ul ', f-q'r"r1,qle1:11-dun FrraplsuorS rgs..l .drl) ol?p oluornruorauSIBJAJPo elalde.In ( o .o l
"r.",;";,riffi":, ,%Flilfrp"&o,".,i"0,;"l,t,o",EH['1 plupaur;Eunl p gfdeorpgf juaru';esln lr.enrpa n. pg(,s 'g) v ts (,p ,p)
6 a.rirejuo"1.1onrp' i"fi.u,ii
n5"5
;'#li,'"",ii',"-i'lli;l'tlv:'{i?i firlri;E''illi'J,?l'l#i'jiJ#i y;-ri#Fiiil',li' jr#f 'i.?tiHillse rauelqord u alin r<
:Let_( :l' , ' l 1 ;[H'.$ti_oE,,rqii,,;; ;fllup gnln;qFunl.rrlfinrrI,rbp l"rrp'u"p1'rF" jrn";sg 1nlrundu;.rd rariardj ,r'uuld uri ;ui,u.iait;r-ii.t,prg5..,lrund 11u n ;6 (,r , rJ
?_fs(,q ,OS ,(,e ,u)
V ilelrundp ultap nJqauri;.r1ip suo'r'es' .iiivjlia{ls:i
^-- _^ _(,p 'p).q eldea_rpd 1en1rspnnpn\-ug'"
3il,i"u?i.1;:Lt"').t1 cundrpetuI'prop
*,'ir,'1yl, "'d'5-r:H.,"JlB,?)",o.it ,i3Inlnlrund el l l fcalo.rd ate51;l . lan
n3 lp1"1np,
lynyor u:ulncrpuad.redlsJ'1.o .i ,ili"5rip l .._{ inlcuno u- rd_
, Fsnp,,d',a)ri nlblnrn6' t. '.) qr lnlcundry (,S i yy eloeirpnr'a1$ei-[J]uI s :ereldee.l9(,r,t i . cq)'arfrJsra]ulep11de3;rdnp nrgnllp'irr:A;il 1njiffi1nuu1o:l j"lp.l,"fa ueldlsereBr g,r-reiqo'ag..i,"'" ;Il..J:p,'?),e1a1da.rpp lBruroJnse'id
dati care sd se giseasci la egald distanfd de punctele A
gi B. Toate punctele egal depdrtate de punctele A qi Bsint situate in planul mediator al punctelor A qi B(f ig. 4.69). Se va construi planul P mediator al puncte-lor A Ei B. Pentru aceasta e duce orizontala (g, g') prinM (m, m') mij locul segmentuluiAB luind gJab. Prinurma verticald k' a acestei orizontale trece urma ver-t icald P' a planului, f i ind perpendiculard e a'b'. RezultdP* gi urma orizofltal5 P perpendiculard pe ab. Cu aju-
torul planului proiectant QQ' dus prin dreapta D (d ,d') se determini proiecf i i le punctului C (c, c') undedreapta D intersecteazd lanul mediator P. PunctulC(c,-c') astfeldeterminat dspundeproblemei date.
6" Prin punctul M (m, m') ale cirul proiecfil sint con-fundate, si se duci o dreapti G (g, g') care si intilneascddreapta D (d, d') situati in planul vertical de proiecfiegl dreaptaA (8, 8') situat[ in planul orizontal deproiecfie.
Paralela Al (81, Sjl dusd prin punctul M (m, m') la
dreapta A (8, 8') determindplanul PP', care este nter-sectaide dreaptaD (d, di) ln punctul S (s, s') (f ig. 4.70).n s' pe d', Punctul S (s, s'
secf iedintre celedoudplaneln s' pe d'. Punctul S (s, s') apart ine d
. Analog, planul de capdt Q'ine dreptei de inier-
dusprin dreaptaq (81, 8i) taie al doilea plan dat dupd
insdqidreapta A, li taie primul plan dat dupb dreapta
(bbl, b'bi). Proiec{iaorizontali bb, lnt i lneqte proiec ia
orizontalit8, in r carese idicd in r' pe Ai. astiet dreapta
de intersecliedintre cele doud plane date este sr' s'r ') .
4o Se consideri planul P dat prin urme 9i o dreaptiD (d, d'). S[ se determineplanul Q care treceprindreap-
ta D qi care se intersecteaid cu planul P dupi o dreaptiA (S, S') al cirei segment uprins ntre urme este mpirfitde dreaptaD in doui pdrf i egale. Fie A (a, a') punctulin caredreaptaD (d, d') intersecteazdlanulP ( i ig ' 4.68).Paralelaor in a' la l in ia de pdmlnt dd s'pe urma vert i -cald P'. 5e atege v' situat
I :ll:.':^.l:i (,q,yqe)eldea.rq(,s.,s)y rrr:d,il:t;ilI l .n-rt l r1n.n1nue1dn.rolnteJlnuilqb't lq ,ct
a InlrundI : r
( ,s 'g) .y eldeorp p l ru l l luJ 'a iso" ,44" i i t r i sar1.i
' , \A_1. ,iJ) rp p)q eldea. rpd. epr. r rucd. raJ,44 1nue1d' 1, _ 'p l c ldea:p.adp (,u ,e)y ' ln i iLrnd , r i ' , r , ,p ,s'c_-uldtrrpr uu;d1$e1ar'.urg,alsoru'.ajer,S .i)
f ql.jnrriiplle o od grrrfr.rdssoreJl$
(,p .p)
Opl;i,
ildiarp o srt
lle o od gug[;rds sorerl$ .(,p
,pl
Oplbi,p-1'Oriaip
si teruynrrpuad;adldarpaunairrijjro-io -rrilnlsrJorispS og
q :0.rs8) .:0I'6r ,ss'1111-:pifiadilu"a11ifi1dy'(, o, ,'il)_ s,(,.9, ,qn) I Jo.rd p-e| gdi.rp rseeu11u ' se.rer(,p .p)
o pfduorpo"rnp
os ps (,is .ur)1i ynpriiia utrd ol ,
'ou- plo.ap orurJ Seao_cud alenlrs
: j{-Y:.?l.iqpll_V_.Jdu"rp.1{au111ir1"eldaa:p re)urN-rninlrundal?,.uls u apriraro.rdo.ieoip;a,ru3 ig alelnprrr ldup alu,E rt F olr r l raroj . . lsarrr lo 'g i 'W
(ce,c'e'). Acesteorizontale se ntilnesc ln punctul (p, tr-)careaparf inedreptei pi, t-r ' i ')de ntersec{ie inire planele
deterrir inhte e bunctul I cu cele doud drepte de prof i l(ab,a'b') gi (ce,-c'e') n punctul chutat M (m' m').
11oSi se determineproiect i l le punctului M (m' m') deintersec.fie intre o areaptf de proiil (ab, a'b') qi un plan P
detinit drin drepteleD (d, d') si A (8, 8'), concurenten
ounctul' l ( i . i ') , fdrd a ut i l iza'planril ateralde proiec{ie'
Flanul P inters'ecteazdlanul de prof i l al dreptei ab' a'b')
dupd dreapta de proii l (ce,c'6') (t ig. a.75). Pentru a
defermina roiect i i lepunctului M (m' m') comunacestordoud drepte de'prof i l , se considerdca plan auxi l iarplanul deiinit de functul I qi de dreapta ab, a'b- ')dat i,
i lan care estede'asemenea'definit 6 dreptele ia, i 'a')
si ( ib, i 'b ' ) si se cautd proiect i i ledrepteide intersect ie
i int re u..st 'p lansi plairul P 'dat . Un plan auxi l iar de
nivel H' dus'la iota punctului C intersecteazd.acestedoui plane respectiv hupd orizontalele (aB, a'9') li(ce.c'e') care of izontalesb int i lnesc n punctul (p' t t ') 'ic apariine dreptei (pi, p'i ') de intersecf iedintre cele
doui piane. Dieapta' (pi ' p'l ') int i lneqte dreapta de
prof i l '(ab,a'b') ln punctul M (m' m') cdutat.
12" Si se detetmine proiecfiile dreptei D (4 d') care
treceorin punctul M (m, m') si intilne$tedrepteleoarecare
de proli l ( iU, a'n') Ei 1cg,c' '; date, fdrd a uti l iza planul
lat iral dd pioieciie. Pinctul M (m, m') 9i dreapta deprof i l (ab, L'b') determina planul P ale cirui urme se
iui.r. ine cu usurint i considerinddreptele (ma, m'a')
si (mb. m'b') (f i 's. 4.76). Prin proiect iecil indricd oblicd
ie bot sdsi prdi. it i i te punctului I ( i ' l ') de intersect ie
dreptei"de'proii l ' (cg,c'g') cu planul P. Proiec{i i le
dreotei D (d, d') ciutate sint determinatede prolecllt le
M (m, m') 'q i I (1, ' ) .
4.5.8. EPURAAFINA A PLANULUI. IO CATAC-
terul afin al epurei planului. Fie planul PP'
si dreaptaA de interiectiea acestuiplan cu al
doileaplan
bisector fig. 4.77)' DreaptaA este
determinatd de P* 5i-de
punctul K = I(' in
careo dreaptdarbitrard (hv, h'v') ? planului
intersecteazi l doileaplan bisector.Se observd
cI planul dat poate i 'perfect determinat. r in
dreipta A, carese alegeca axd de afinitate, qi
de perecheade punct6 cores-pondente.qi a' ,in care linia dd ordine aa' este direclia de
afinitate. Astfel, un punct oarecarem' m' al
olanului Doate fi diterminat de proiecfiile'ra, r'a', uirde = r' estearbitrar pe A. Faptul
ci punctul M aparline fntr-adevdr.p.lanului
noate i verificat m6diat prin orizontalamv1,
m'vi. In felul acesta, oate construcliile pe
Fig. 4.76
Fig. 4.75
71
lpdBr pnDs)Buua^rreldn,.rDrliqrunlhueJdl,to^tI {ate d.siep alurlgrldurrd'ri-i.iJ,prno,uJ rol InpUUUI ez_BelJosraluras elda;pe1s",qry_
problemi a inteisecfieidintre o dreapti qiroDlema a lnlersecllel olnlre o dreapta sl unplan poate fi rezolvatd intr-un mod gi ma ii
caresd conlind dreaptaD dati (fig. 4.82).Axa
de afinitate a acestuiplan vertical este Q, iardreaptade intersectie 8, 8') dintre cele doudplanepoate i determinatd u ajutorul punctu-lui b, b'. DrepteleD gi A se intersecteaz|npunctul fi, h', care este astfel intersectiadreptei D cu planul. De asemenea, ceastd
Fig. 4.84
Revenind din proiecfa paraleld fdcutd se
gbtine f,, fi ' . In epura din figura 4.84 s- afolosit aceeagi onstrucfiepentru-determinareaadevlrateimir imi l6 a distanfeidintre punctulS (s,s ') gi planul (A;a, a') .
4.6.PROBLEMEROPUSE:. ' . i . . .{.
lo Se considerd rmele P gi P' ale unui plan. Se ia pe
urma orizontald un punct A qi pe urma vert icali unpunct B. Si se giseascd roiect i i lecentrului de greutateal t r iunghiului APx B.
2" Si se determineproiecl i i le punciului de intersec{ iedint re o dreapt i D (d, d') gi un plan def ini t pr in douddrepte concurente,gt i ind ci urmele acestordrepte nusint cuprinse in cadiul epurei.3" Un.plan estedefinit prin puncteleA (a, a'), B (b, b' )
.gi.C (c, c'). Sd se detelmine proiec{i i le puhctului deintersectie dintre acest plan qi
-odreapti D 1d,d'; care
Fig. 4.83
elegant folosind o proiec{ie pe planul bisec-:or II- IV paralel i cu planul dat ( f ig. 4.83).
Fie,de exemplu, , f ' d irecl ia frontalelorpla-:ului, careseobfine?ntotdeaunaeepuraafind,iucind asa.J-aa'in . Punctulunit u = u' = ll0atrdreptei D impreundcu proieclia paralelSkna unui punct arbitrar al dreptei definescproiec-::a paralsld d6 a dreptei pe planul bisectoril- iV. In acest cuz,' punitul' de intersectie:intre dreapta i plan esteproiectatn mq.
?3
rololdarptP aJtt icarord c purrr$ ( ,otoldarp r:d ainiiian' l ;,8Jv-i:^('p"
:Pl.g ololdarpur:d airui;ap auej,i prioj,:ri,irHr ep ralda.rp Jrrfra'roid'urruialap ;jl;
oarecare (d, d') continutd n acest Sd determineproiec{iaacesteidrepte pe planul lateral de proiec{iegisi se giseasci distanta de la origine la aceastd reapti.
44' Printr-un punct M (m, m') sd se ccnstruiasci un
plan P paralel cu al doi lea plan bisectorgi apoi sd se
construiascd roiec{i i ledrepteide intersecJie intre acest
plan $i un plan Q care treceprin linia de pdmint gi face
cu planul vert ical de proiec{ieun unghi diedru de 30'.
Ei39" Sd se ducd prin punctul M (m, rn') o dreaptd dcmh z
prof i l astfel incit -'mv3
40oSi se ducd prin putrctul M (m, m') o dreapti deprof i l, astfel ncit raportul dinire depdrtarea rmei saleorizontale i cota urmei sale vert icalesi f ie dat.
41" Sd se determineunghiul a cuprins intre o dreaptioarecare (d, d') gi un plan de prof i l Q dat prin urme.
un e:a e
=44 O
. : rei
- an:1C: I A
, ie ld
.: : t ia:ar e
Ds i.ele
. 'rnlnlrund e ple)rlrol urfraro.rd-I rnlnlcund earelrpdep_
9L
aleueldurp Inunad relnclpuedradugurgrepplf_tl plspere r 1:odei ij greJncllrebrlrzob,4
Astfel, fie A (a, a') reprezentarea ublu orto-gonali a unui punct (fig. 5.3). Pe linia deordine coboritd din proibc{ia verticald a' = a,i.,perpendicularipe noua inie de pdmlnt o1X1e€
mdsoarddepdrtarea punctului dat Ei rezultdnoua proieclieorizontalda1 a punctului A.
5. I .3 . SCHIMBAREA DE PLAN VERTICALsAu oRrzoNTAL E PROTECTTEENTRUDREAPTA. ie dreapta (d,d') determinatdde punctele A (a, a') gi B (b, b'). Se considerdnoua inie depaminto1x1 i seefectueazdchim-barea de plan vertical de proiecfie pentrufiecare din punctele A ;i n. Rezirtta-ai binoua proiecfe verticald a segmentului da t
(fig. 5.a). Analog, afd de noua inie de pdmintorx2 poate fi efectuatd o schimbare de planorizontal de proieclie pentru fiecare din punc-
p lanralel
_dupaor
derif ie
rte.cd,
unaim-i le
r.id s z)*t
\ /
Fie n epurdnoua iniet{5mint o1x1 fig. 5.2).Se duce din proiectia ofizontald a = ar o liniede ordine perpendiculardpe noua linie deplmint o1x1gi se ia cota punctului pe aceastdlinie de ordine. Rezultl ai, noua proiecfieverticald a punctului dat. Intotdeauira oculpe epuri al proiecliei vertical ai depinde deielul in care a fost rotit planul V, ca si secon-funde cu planul orizontal, Astfel, noua proiec-tie verticald ai trebuie sI ocupe n raport culiterele o1x1aceeaEi ispozifie relativ-i pe careo ocupd'Vdcllea roi€tlie a' in raport. cu lite-rele o, x. Un observatorsituat in a' cite5teoxde a stinga a dreapta.Acestobservator lasatapoi n ai va trebui sd citeascd 1x, tot de lastinga la dreapta.Problema aceasta mbracddoud aspecte: sau se |ixeazd ai
9irczultd
sensulorxl sau se fixeazd sensul orxl gi rczultd,pozifia ai. Dacd se efectueazd ceeagi onstruc-iie ca a punctului A pentru toate puncteleuneifiguri, se va obfine noua proiecfieverticall at:gurii in noul sistemde plane de proiecfie.Dacd intr-o epuri nu este trasati linia depntomint,e poate ua arbitrar o linie de pdmintperpendiculard e linii le de rapel ale epurei.
'(g'g '3g) lep rnlntuaur8as vrcrn^roarirarord unou ,6q8eelSasgF s r$ g
^r'Syaiel
:l:tt ]l"T^-lJ lreluozlro gtrdearp 1 pldiu.rogsue.r1q raldi:i' i eli{uoiiji ;ii;;jb-";;",i'p aul+qo as et fcato:d plsBeJBuud rprrn ,o.-h_:91q"
edeyfaalordpni"e uila .ru,ipnu,
8 9.lFrg
g q . ' Fr J
plarlDcul in iedd'
Dn (dr, di). Artalog o schimbarede plan ori-zontal urmatd de o schimbarede planverticaltransformd o dreaptd oarecare D (d, d') indreaptdde capdt Da(ds,di) (fie. 5.9).
FRONTO-ORIZONTALA.mbele proiecti i a ledreptei trebuie sd devind paralelecu linia depimint ( f ig. 5.10).Schimbareaeplanvert ical-de proiec{ie a}d de linia de pdmint o1x1 rans-formd dreapta D (d, d') in frontala Dr(dr, di),care la rindul ei este transformatd n fronto-orizontala Ds'(du,di) prin schimbareaplanu-lui orizontal de proiectie fa{d de linia depdmint o2x,.
5.1.7. DrS-TANTADE LA UN PUNCT LA ODREAPTA. Si se determineprintr-o schimbarede plan vertical de proiecfie distanfa dintrepunctul M (m, m') gi dreapta AB (ab, a'b')(fig. 5.11).Se aceo schimbare e plan verticaldeproieclie uind o1x1 araleli cu ab qi se rans-formi dreapta AB intr-o frontalS- Conform eo-remei unghiului drept, se duce apoi perpen:dicularami pi pe nouaproieclie verticalF' aibi
gi se obfin proiecliile (mp, m'p') ale segmen-tului MP, caremdsoaridistanJade a punctul Mla dreapta AB. Printr-o schimbare de planorizontal de proiecfie rezultd mrps, adevlratamirime a segmentuluiMP, deci distanfa realade la punct la dreaptl
5.1.8.DTSTANTADTNTRE DOUA DREPTEPARALELE. S[ se determine fi adevlratd m6-rime distanfa p cuprinsfl ntre drepteleparaleleD (d, d') gi A (8, 8'), uti l izind metodaschim-birii planelor de proiecfie (fig. 5:12). Se aduc
tem
9seplan
cu
INAr.
[ddedatdOaume ati,'di),
cala
celedoud drepteparalele d devini perpendicu-larepe acela;iplan de proiecJie. entru aceastase aleg segmenteleAB gi CE respectiv pe celedouddrepte D gi A'qi se efectueazd schimbarede plan vertical de proiectie, urmatd de o
schimbare e plan orizontal de proiecfie, rans-formind dreptele in frontale, iar apoi inverticale. Adevdrata mlrime a distanfeip semdsoard ntre proiectiile orizontale ale celor
doud vert icale: p : unn: br{ .
5.I.9. SCHIMBAREA DE PLAN VERTICALSAU ORIZONTAL DE PROIECTIE PENTRUUN PLAN. Fie planul PP*P' reprezentatprin
vertical de proiecfie pentru un plan, ale c[ruiurme P qi P' nu intilnesc in cadrul epureinouaIinie de pdmint o1x1,gtiind ci nici cele douilinii de plmint nu se ntilnesc in cadrul epurei.
Fie bl i l noui i l in ie de pdmint ( l ie. 5.18).Pentru a determinanoua urml verticald Pi aplanuluise au arbitrarpenoua inie de pdmintproiecl i i le r izontale ; i b a doudpuncte ituate
De viitoarea urmd verticald Pi. Util izindorizontaleleD (d, d') $i A (8, 8') se oblin pro-iectii leverticale a' Ei b' ale celor doud punctein vechiul sistem de plane de proieclie. Avind:stfel cotele celor doud puncte, pot fi aEezatere liniile deordine idicatedin a qi b faf?ideo1x1
li se obtin ai qi bi,care determindnoua urmd", 'er t icald i c lutatd.
;. I . IO. TRANSFORMAREA UNUI PLAN
OARECARE IN PLAN VERTICAL SAU DECAPAT. Prin metoda schimbdrii planelor deproiecliese poate aduceplanul oarecareP da trrin urme sd deyind veriical (de capat) qiistfel sedetermind'in devbidtdm4rimeunghiu-rile oc;i p pe caf6'le faceplanul P fespectiycuiele doudplane de proieclie. Pentruaceasta e
"iectueazdschimbare de plan orizontal de
:roiec{ie, luind linia de pdmint o1x1perpen-, l iculard pe urma vert icald P' ( f ig. 5.19).
RezultdpuncteleP*, a intersectia intre o1x1i
-rma P' qi i ' la intersecl iaini i lor de plmint.
Linia de ordine fafd de ox coboriti din i'determini i pe P. Segmentul i ' se aqazdpe
linia de ordine fafd de orxl coboritd din i' girezultd t, al doileapunct care mpreundcu Px1
determindurma orizontali Pt a planului ver-tical P1Pi. Totodatl se ob{ine in adevlratdmdrime unghiul diedru ocpe care planul P ilface cu planul vertical de proiecfie. Analogluind noua inie de pdmint olx1perpendiculardpe urma orizontall. a planului P se obJineplanul de capdtPtPi cu ajutorul unei schimbdride plan vertical de proieclie fig. 5.20.1Rezultd
de asemenea nghiul diedru p pe careplanul Pil face cu planul orizontal de proiecfie.
5.1. i l . DTSTANTA E LA UN PUNCTLA UNPLAN. Si se determine, printr-o schimbaredeplan vertical de proiecfie, distanfadintre punc-tul A (a, a') qi planulP datprin urme(fig. 5.21).
Se transformdplanul P in plan de capdt, uindlinia de pimint orxr perpendiculardpe nouaurmd orizontali P a planului. Noua proiecfie
verticald a punctului A este ai, iar perpen-,diculara ai si pe noua urml verticald Pi aplanului de capdt mdsoarldistanla de la punc,tu l A la planul dat .
Fi o
lanalalSC
Fig. .5.26 .:
Fig
81
l l l l l tu ,n9,a1y1i re1ordulJsounr1rJo. rdep gldea:poad ap (,q ,q)g rnlnlcund rlrrlcaro.rd'-eulu.r.ra1afs ps
"B_lli"_19p
uayd ur,rap s au:n_urrd1ap6ereca:eo1nue1dBrnpu s es erltaro.rd
p aueldap a_riqu.rrqrs-rlulrd o/ry ;n l rund S1u;rugdp prut Iap
z8
IJ Iq Brelnrrpuedrad (Iq ,Iq) rg Jnlrund uIBturoJSuBJlsv BldEa.rpdop (,q )-g arecareo
lrund un
.(I"
ap 16
*d
ep pltutJappultJ Id FI-BJrlraA SBurrn).trFdutp u_BIdn_rlui -lnutiri
a"rB"qylqrsalredapBrI] rBJ s nlnrqS-unrJl B oJoq.BarrrueurElBJFAapespFB nJlua.I' lpdec ap rnlnueld
_B lur l l ral uru:n ad eler i- r?JoplBlol ' tnlnrqFunr:1 lq lr l" FIBrr lra^alloeloJd nouaullqoas S ur ad e;alnorpuad:ad
rx'o pt as BlsBaJB Jluad .lpdBc ep purlopps Fleluozrr Flseace JnpBerec ,arfcelordaIeJIlraAueld ap Borqqurrr{rsrBJes 16 n1n1qF-un1rl Inlnuelde (,,rnp 'ur) ulelriozrro isarn.rls
:1??nr IaJtsV
.arfraro;dep ueld ep a.requirqjs
pnou o pulz llln ,1ep rnJnrqFunrrlp arrJIJErrIB+ErpAapBode^eururalep leod s r$ +pde'c
ep
:^n19,u--,u1, lFu r:1 rniseoelnue1 'eui ogruerl
.l:o_q as orlcaro:d ep _Jerllra^ rie;d ep a-req
;y-it::,?rlYlra
(zz's Bg) ,e r)c'r6 ,q 0
d. tn,__u) luIS FnJrI^ rnrpr alp lniqFurir:'i'nlduaxa p pueJd.p.rnFl;o arg gNV.IdiUnOfg
I:INn V SW|UVW VrVdyAirov--dil.9
i:""03"X;:",'.?i,:,;:ot:;'K1,:0.;'yjl-il,rtl3i["',l:":g.^r **^ _ -l i lca1o:d
ap a1aue.1drp lnun ad e:alnrrpuad-ro0 nes u1a1er.adur^op ps (, .q,e qe) plo:d ap-elifea:pBJnpBas ps orfcelo.rdap oueld ep aiuquiiqcs oi:1ur.r4 o6
?.p_.Ely_r_y,n'(,p,p)ot',; ol$ '
*"ji , o').,or,i,'rtJ'$
upluozrro) pJrlrr^uald ap areqturrlJs azanlcbla sps"I
Isndoudwl]goud 'z'9n'.
.alepy l$ q aldarppnop olar
"u"lgo,rlerelnrlpuad.r,ad1e (,u,u ,uui) aliri
;r .elold rlqo;iSfo eldea.rp lsauillugpu3rqujd
4.4 iI Ia nr latered)l?tq lnluaurFas.yeloeaipecl araunlB ps putrPc I l}rlq
,rrrq) plBluorJalsa BO arfraro.rd p eueid
e'prualsis lnuu u1
V jS O rolalda.lp B Flrnuror erelncrpuad:aJeuldunl BlBrBAapBg alsa 16 ad Iq urp psnp
ta.g 8rc
4. a, a') de pe aceastddreaptd si unghiul c( pe care.r.-. :otal facecu planul orizontal de proiec{ie.
I Si se deternrinen adcvii 'atam:ir ime unghiul diedru a: , : : ins int re doui planeF gi Q a ciror dreaptdde inter-
: i : estc dreapta dc pioi i l (hv, l r 'v ' ) .
. Fiind date doui drepte concuretrte, I se efectueze
25" Se corrsiderd rmele F qi P' ale unui pian. Rotimacestplan, in julul urmei sile orizontale,de un unghidiedru a, in sens direct. Plintr-o schimbare de pianvert icalfc proiec{ie, i sc determine ouaurnt i vert ltalda nlarr f lu i .
. : i imbarede plane de proiec{ieastfel incit noile lo r- . .+e1i ivert i.ale sI { ic pir r le le ( - : ruccnlurrdate) .
Si se determir-ren adevlrat ir mdrirne unghiul a::ns inire o dreaptJ D (d, d') 9i un plan paralel ci-t
. : de pdmint , t lat prin urncle sale P gi F'.
- Un plan paralelcu l inia de pdniint arr:urmelesalePF' corrfurrdate. n punct ,A (a, a') areceledoudproiec-. . le saleconfundatei s i tuaie pe urmeleplanului . Sd
'ietermine in ader,dratbmilirne distanta 8 de la
, - - : i la plan.
l . Se consideri planul F dat prin urme. 5i se efectuezer :-:r imbarede plan vert ical de proiec{ie,astfel ncit in:, .-1 sistemurrneleplanului sd f ie confundate.
-:" Jrin nretodaschimbiri i planelor de proiec{iesi se:: , :a planul oarecareP, dat pr in urme, sd devinlr { :endicular pe l in ia de plmint .
I Sd se efectueze scli imbare de plan de proiec{ie,,, , ; i inctt un plan P, dat prin urme, si devind perpen-. - .ar pc unul din r roi leplanebiscctoare.
; 'S i dd proiect ia or izontal i a unui unghi drept 9i- , :=: { ia vert ical i a uneia din latur i . S i se determine
r- . . : , t ia vert icall a celeilalte laturi, cu ajutorul unei' , . ,nbir i de plan de ploieci ie.-
Sa se determineprc iec{ i i le punctului de intersecl ic.. : : .e dreaptade prof i l (ab, a'b ') gi un plan t ie l in i t der : : ie le D (d, d') gi A (8, 8') concurentepe l in ia de..n.1; lt .
Si se determineproiec{i i le punctului de intersecf ie, i r ' . :e dreapta de prof i l (ab,a'b ') g i un plan del in i t. -. dreptele D (d, d')
"siA (8, 8') ale cdror ploiecli i
L,r: -rtalecoincid.I Sd se determineproiec{i i le punctului de intersecf ie
:Lrr : - ,ereaptade prof i l (ab,a'b ') qi un plan def ini t de
, :x : :e leD (d, d') ; i A (8, 8') a le c lror proiec{ i ide lumer : : :a i coincid.
11' J: in metodaschimbdrii planelor de proiec{ie,si se."-: . p lanul oarecare , dat pr in urme, sd devini para-- . - I i rL iade plmint .
- S. se determine, u ajutorul unei sqhimb5ride pianl' ' : - .-. iect ie, roiec{i i le perpendicularei omune dintrelr L- diepte de prof i l (ab, a'b') gi (ce,c'e').
" : : n metoda schimbdrii plarrelorde proiec{iesd se,ur := rlanul oarecare , dat prin urme, sd devirrd lanulm,:".-:a1 e proiecl ie al noului s is tem de plane de
l l i l i r : , - : le .
- consideri segmentul ale cdrui extremiii{ i sint. .-.eA (a; a') Ei E (b, b'). SAseefectueze schimbarer . : vert ical de proiec{ie,astfel ncit noua proiec{ie
:. . i a acestuisegmentsi f ie egald cu dublul coiei
:- ' . metodaschimbi i r i i p lanelorde proiec{ ie, d se-,. '- l i vechiul si stera de plane perpendiculare e
5.3.METODAROTATIEI
S-a ardtat ci in metodaschimbirii planelordeproiectrie na dintre proiectiile figurii rimineinvariant:i cind se schimbdunul din olaneledeproieclie. Dar se pot modificaambeli proiecliiale unei figuri, astfel incit sI se aducd unele
elemente le figurii sd devind paralelecu unuldin planele de proiectie. Spre deosebiredeprima, evident,aceasta steo metodd oui carese numeqtemetoda ota{ iei. n cele mai multecazutisevor folosiaxede rota{ieperpendicularesalr paralele cu planele de proieclie gi se valine seamade urmdtoareleprincipii :- Cind un punct se rote$te n jurul unei axeel descrieun cerc al cdrui centru estepe axagi a clrui razeesteegalecu distanfapunctului
la axd.- Cind o figurl nedeformabild e"rotegte njurul uneiaxe,deplasdrile nghiulare le uturorpuncteloracestei iguri sint egale$i lungimeadrumului parcursde fiecaredin acestepuncteeste proporfionaldcu distanfa sa la axa.- Proiecliaunei figuri pe un plan perpendicu-lar peaxade otafiese ote$ten iurul picioruluiaxei fara sa-gi chimbe orma.Acesto r incipi ipermit de a deduce mediat cum trebuiesd-seefectueze otatia punctului, a dreptei sau aplanului in jurul unei axe verticale sau degap5_t. -e1q gum,i"lotafie-de nivel rota{ia injurul unei axevertlCale, ebareceotelepuncte-16r fotite rdmin invariante. Rotafia in jurulunei axe de capit se va numi iotuii" de fiont,deoarecedepdrtdrile punctelor rotite rdmininvariante. Dacdaxa di: rotalie ocupl o pozitieoarecare n spaf u, ea poS.e fi adusa prinschimbdr i de'plane de proiecl ie sd devinivert icaldsaude capit.
5 .3. I . ROT'ATIADE NIVEL A PUNCTULUI.Si se roteasc[ punctul A (a, a'), in jurul uneiaxe v,erticale o, co'), de un unghi cunoscutcr(fig. 5.24).Axa de rotalie (., . ') f i ind verti-cald, otaJia unctuluiA in spafiuseefectueazeintr-un plan perpendicular e axd, deci ntr-unplan de nivel [ I ' , s i tuat la cota punctului A.
-uti,;1 . . ,
l t i l :
fllr l -'
t)
I
,,i i
I ur
tLilli
= pr i t r t r -un al l . s is tem,Je pl; r re perpendic 'r lare
L INCITA (a,a' )g. 5.27).rul axeiitueze n{ H' dus'rrul P onctul ArD.Cusecteazdr orizon-t proiec-oiecli i lercfia cuprin a'axei deJi i , una,aza 6arpteiD,iec iad
r:rc ao1 corespunzltorunghiului a cunoscut.langenta n a1 a acestarc de cercesteproiectia::izontall,rotitd d1 a dreptei D. Proiec{iaa',i : terminatd pr in iniersec{ ia intre d' gi l in ia:: ordine din a, descrieo paraleld la ox Ei:ti lnegte in ai l inia de ordine ridicatd in ar .
lentru a f ixa proiec{ iavert ical i ' rot i ta di a::eptei D, se mai roteEtepunctul B (b, b').:e
remarcd aptulcd un observatorcarepriveEte
:-n <o spre a vede in stinga sa proiecfia b.lna lna nr i rr in r l c f l ra q
-qnocl nhcorrre inr r l in , . ,. ( l JPIt 41t dLEoL vuotl vqlvr ulll a
vadd tot in stinga sa proiectia:rtite bl. Dacdaxa de rotalie inti lnegtedreapta:atd, este suficient sd se roteascdun singur::nci al dreptei,deoarecexistaun alt punct
Fig. 5.28
de cap5t. S[ se roteascl dreaptaD (d, d') astfelincit s[ devinfl paraleli cu unul din planeledeproiecfie. O rotalie de nivel a dreptei D otransformd ntr-o dreap td rontald, dacd se varoti proiecfia orizonlalS d a dreptei D astfelincit sd devind paraleldcu linia de pdmint ox(fig. 5.30). O rotafie de front a dreptei D otransformd ntr-o dreapti orizontald, dacd se
va roti proiecfiaverticalSd' a drepteiD astfelincit sd devind paraleldcu linia de pimint ox( f ig . 5.31).
: , l . l j t9d ai lse zerzr iard16 Iq ;tq) ig uJ qEirnl : : l : l t
nr r is ' r i ( j ' r s ( ,q 'q) g 1nlr t t i tdiB|V ula+sJlo; s rV
I ,nJ lur r t [r - l tg.Iup
In lntu. lu ] la .
9a],BolB porud (,r,r )
ar1e1o: p BlBrr lra- \exe e JS l?s JESaJau-J lqJ
. ( ,8 ,E)V l i r J t iE lol
f t ia11fz.s ts. ' t * ; ty l rr i :urrd )"] rJr. r tldJl .ep.Jrr . '? IS ,p ed . lu e? xo ul ,1 ,urrd e;a1u.re.1
' . ( ,e'e)y 1n;rundur .r , lpru 'a i ]ps ]lrur la j i :e , :q l G eldea:p l ia;o-r s q,g ' ,g"r 'B ldear [ ' ;dt, ,v ' ,ut.V.rer lrqrE,lrundn al . { . (g t :g ,Fr .y tplep
l __(/,I Pxll BldPsrp f, ezelrssrelui sps l ru,"jlu:^,' :p .e_)-0
I ( i , i ' ) este comun dreptei D Ei planului Fsi rdmine propriul siu rotit dacd se alegeaxavert ical l de rotaJie ., . ' ) sd reacl pr in el.
Estenecesar d se determine n al doilea punct,comun intre dreapta D Ei planul P. P-entru
aceasta e rotegteurma orizontald h a d_r.epteipind cind se aqazi n-ii1 pe urma orizontd"l5aplanului P. Segmentul lor determindproiec{iaorizontald rotita dr a .dreptei D. Proiecfiar,'erticaldotitd di a drepteiD estedetermin-atade hi i ' . Ca ver i f icare,urma vert icald,"vi adreptei otite D1 (dr, di) trebuie sd seglieascdi€ urma vert icald P' a planului dat . Dupdndrirnea azei de rotalie oh, problemaadmiteJouXsolufi i , una sau nici una.
;.3.11. ROTATTADE NrVEL A PLANULUI.Si se roteascflplanul P dat prin urm.e, .r_1"iu_t d"uneiaxe verticale c.i, r'), de un unghi cunoscuta,f g. 5.37). Se considerd perpendicularaoa:e urma orizontalda olanulu i P si cu raza <na:e descrie arcul rle 'cerc ?ar iorespunzdt or:nghiului o(cunoscut.Tangenta n a1 la acestaic de cerc eprezintdpozitia rotiti P1a urmei:r izontale . Punctul I ( i , i ' ) undeaxa (., . ' )::tersecteaziplanul dat rdmine n rota{ie pro-:i iul sdu rotit. Se rote;fe de asemenea ri-:,:ntala D 1d,d') corespunzdtoare unctuluiI r i, i ') , p cind ocupd pozitia D/ (d1,di).
-:ma verticald vi a orizontalei rotite Dli--,preuni cu P1* determind urma verticald::i it i Pi a planului dat. Rezolvarea roblemei.. simplifica dacd axa de rotatie (or,co') se
I r ig. 5.38
alege chiar in planul vertical de proiectie( f ig. 5.38).
5.3.12.ROTATIA PLANULUI ASTFEL INCITSA AJUNGA PERPENDICULARPE UNULDIN PLAI{ELE DE PROIECTIE. Sd se roteascd
rnai intii planul P dat prin urme, astfel incitsi devinl plan de cap[t sau plan vertical. Seefectueazipentru aceasta rotafie de nivel aplanului P in jurul axei vert icale (o, co') ,astfel incit pozilia rotitl P1 a urmei orizontalea planului P sd f ie perpendicularde l inia depdmint f ig . 5.39).RezultaP1,.Punctul r ( i , ' )
undeaxa (., .') intersecteazdlanul dat r imi-ne in rotalie propriul sdu rotit. OrizontalaD (d, d') corespunzdtoare unctului I devinedupd rota{ie dreapta de capdt Dl (dr, di).Punctele Pr" Ei di : vi determind urma
verticald rotitd Pi a planului dat, cale astfeleste transformat in plan de capdt. In modanalog, ota{ia d'e ront a planului P in jurulaxei de capdt (<o, o')aduceplanul P in pozifiaPlPrxPi, de plan Praiectant fatd de planul
mai in t i i p lanul de capat (PrPi) , iar apoiplanulde nivel Pi ( f ig. t .+21.In mod analbg,pr in doud otati i succesive,r ima de front, ara douadenivel, sepoateaduce lanuloarecaresi devind
5.3.14.ROTATTAPLANULUTDEF|NITALTE ELEIVTENTEGEOMETRICE. S[ se ro-teasci, de exemplu, planut P dat prin drepteleconcurente (d, d') Ei A (8, 8'), in jurul uneiaxe verticale cunoscute <o,<o'),astfel incit s[devinl plan de caplt. Se va rezolva problematard utilizarea urmelor planului P (fig. 5. a).Este suficient sd se roteascddoud drepte aleplanuluidat sauo dreaptd i un punct. Planulde nivel H' determind n olanul dat orizon-tala G (g, g'), carese rotegt^eind cind devinedreaptade capatGr (€r, gi). Cu ajutorul planu-lui vert ical auxi l iar Q dus pr in axa (p,.roi)sedetermini proiecl i i le punctului I ( i , i ' ) deintersecfiea axei de rota{ie cu planul celordoud drepte concurente " ' taie (o' in i ' ) .Intruci i punctul | ( i , i ' ) rdmine propr iul sduroti t , el determind, mpreunacu dreapta de
capit G1 (€r, gi) , pozi l ia roti td in planul decapdt a planului dat P. Urmele Pr, Pi alenoului plan pot f i deterrninate u u;ur inf i .Urma vert icald Pi este datd de dreapta ceunegte'cu gi. RezultdP1* i apoi P, perpen-
dicular i pe l inia de pimint.
5.3.15.ADEVARATA MARIME A IJNEI FI-GURI PLANE. Se consideri puncteleA (A,a.'),B (b, b') qi C (c, 9'). Sd se determineadevdiata
mirime a triufighiului ABC, utilizind metoda
rotafiei (fig. 5.a5). Se duce axa verticald derotaf e (., <u') pr in punctul A (a, a') g i seroteEte rizontala g, g') a planului triunghiuluiastlel ncit s i devinddreaptd e capdt gr,gi) .Punctele.B Ei C se rotesc in B, (b1,bi) Ei9t (St, 9i) , proiec{ i i le or vert icale bi Ei ci
f i ind col iniare cu a' . Planul tr iunghiului adevenitastfelplan de capdt.O a doua otatie,dc dataaceasta e front, n jurul axeide capdt(r,:1, r j) ,dusd ot prin punctul A, aduceplairulde capat al tr iunghiului in plan... .r le ivel,proiecfiavcrt icalaa tr iunghiulLr iz[ i ind'c ib l .Adevirata nar i re tr iungh- iulAat este brcn.
5.3. 6. ROTATIAA DOUA PI(rVE SA DEVINAPARALELE. ln acestcaz se fonsideri planeleneparalele l i Q date pr in 'urme ( i ig . b.46).5e va rot i mai int i i p lanul Q in jurul axei
B9
mm1lil Miulilll'@'r'ri
is,r lcund Bl elnpr lnx' tsl p I eluulslpalieounc.a"13f_
:rspalotas RS(,9 .g) y leluozr:oxe uLie:apisuor g _5 1
. 1Bp,9 ,n)
V ln lrundru: r l greal l
u, ^:. ,^1,. t1^-t] ] t t 'V II t lnxE 1n.rnf r ';u.ur ur:d 1ep ,j lnuei'd?f,sualotsRS(,9 ,g) y yuluozr-roe un e;aprsLiorg -g 1.aru:nur. rdiep.4 ireyci n_r lr l t zanJts
l : . . - . , l l ruJ l3l ls ts v rnlnxe 1n:nl r i l ( ,? .p) y '1n1rui id,"Jsealoi sRS
(,9 ,d,)V lEluozrroxe urr 'u. lopisuo,g ^1 1
,- . _,R1lpaldeo:pad Jzrnlrsrs BSV rnlnxe Jn:n[ ur
i_rtpullor, lrrr l ,1qrnJnlrund ulor 1;;1suirrur.r;1rp s eg1g- 1uno rnun s u plEluozuo Drircro:d 'ts i,S
.VlV
i?Juozr- to e ul l ,(,p,p)C uldeajp b.raprsurr ' E o1
.ar l raro-rdop leluuzrJo nuul i i rr.ri._l^t_:, ]1ln.p
uiieoildeptreraJaJdarJ-FSII ln 31se ipJaueFuJ .JoJBoJBA-191:1,1]lu"d yielor nopEeuauas?p rar orl-JaroJo p auBldap r. lpqui l lJS nop BlrsaJau JpJelaualqord 'ar lcarord ap ueld ap aiequr lqrs onJ pluale^Jr lJJalsJ erfe lo: o er eul l le aleodJS ' tJr lEloJ Bpolau uud r$ olBAIOZJJ iuau;aserp rJ lod el lJ3roJdap upJd ep rJBqurrqJs eunInJolnf? nr alB^Iozar +soJnB arBJ'a1erira1qor6'3rl.3FrOUdaCINV-rd.ro vauvswtHf,s
rSar.l,vrouturNro fruarvnlllca.Lt-t.s
. ,SgJnlnuEld plr lorvt l tzod
:]llt.ld9l Is ,dd .tnu.etd: 1a1e.ructlsa 6a6
]i 9 d'60 Bli ' rod dnco i rSesulanr laie;e?zeaseldapes_t6 eiu:n .?:Oe4nod gdnco $
1d j glale1edur^ap r gugd ,nlnl ln:nf u1
flnl^lq_elsalor s rD Eurn tallsv:,6jlnrield
nJ IalBJeo eur lep puJJ puld ,V ralBluozrJo
iljnluI IOrD 1nue.1dl$elorab j(,n ,,r) uI
gletrlra^BrurnarB s ][r[ 1nue1di; plenlrs
als€ {BleluoztJoBauauiasep .(, i ,g)V'1exr;;ti{:-"jo ',tb rS4 :olaueide ir{r5s'raiul p ,tnl:Yot_ryo
r RIalErBd,S ,S)V pldparp arfejoi
ap BX?-Enop
E ec a8ale aS .pJpluozrJoo olsa
?l l t9narpo pdnpEzBolrasralurs ,a1a1e:'edaleluozlJo laruJn UJABrOrD
-rarord p lprrlral 1nue1dlp) (,o ,'or)iierr1.re,,r
- "0- .S, i e roteasci i rcptc lc . (d, d ') qi A (8, A') i r r r r r r r lun.urax, or izontal C (C,S') , ast fel inc i t proiect i j l i loronzontalesi dcvini naralc lc .27oSii se roteascd lanele qijurul unuiax or izor i ta l (0, 5, ) ,
orizontale d deviniiparaiele.
Q, date prif l urme, inastfel incit urmele lor
2So.Sc.consider il icptc leD kl, d ') qi A (8, D,)concrrrcrr tcpe lrnr ; rdc pinr i r r t ; i s i t r ratc ri p lanrr lor izontal .SI sc
roteasci.dreaptaz\ in jurul dre-pteiD, astfel incit s. i
oevrrla.dreaptd de prof i l. Si se construiasci urmele
pranulul,care rcce pr in drcapta D gi pr in dreapla A
conslderatdn aceast inoud pozi{ ie.29' Se consideri fronlala F (t , f ,) gi punctul A (a, a, )
: l1 l l i?. .acestc i l r pte.^Si i ,c otc is i i ptanrr lA in ' jur i r i
2ccsterrol l ta le,ast fol nc i t sd sc s i tue.zen pr imul 'p lanb secor ..?0"Sc _con.s ir ler . ; iru lc l r r lA (a, a, ) din planul or izorr la loe proicc l ie. Sd se elcctueze semirotal iea acestrr i1r lpc^t -n
jr r rul r rnrr iax de rolal ic oarecareA (9, g, ) .Jr Ja se rotcasci i purrc lr r lM (m, m,), dc un urrolr i I
;l r.n it -ilii,r?,11i,,,;,o',',.,., s el nc pioieci c I6r
5.5.METODA PABATERi lRtDtCAREARABATERil)
cA["E A pt_ANU[,UI.REGUT_A
rr i l r jNGFftu-
LUI DREPTUNGT{tCDE pOZtTtE)( f is .5.47).
fl "",rabati pc planul orizorrirl rlc p.,roieclie
planul oarecarep, dat pr in urmelc sale'p$i P'. Se poateproceda ri c loui i elur l :lo Se alege a axi i de rabater.crr i)aor izolttal i la planuluiP. Trebuie i se urai abati iu l l punctoarecare in p.lan.Pentruu$ur i l t t : i :seoni ic ler i ipunctul (v: v ') s i tuat pe lr fn la vt i r t ic ; r l i i , i rp lanulut .Acest punct dcscr ic, i tr rab;r tcr t:rp lanulu lP, un arc de cercsitr rat r tr - ir r r larrpe,rpendicu- lare axa de rabatere leasa. )cci,
11?31.t: . , ; a punctului (v, v,) se afla peperpendlcl l lara to dus:rdin pro i r . t . { i : rr i t tnr_
lu l i u,a punctuluipe axa de rabaterc . purrc-t t t l vn rezul t l din intersectia crpt,r r t i icularcivcd tt arculde cercde raz\ pxu, t lr i . cu centrulin P*, deoarece n rabaterc <l i : . ; l : l{ r r p*V,rdnr ineconstanta f ig . S.a8).Rabatcreapj aurmei vert icalea planului p se o'bJine nint jP* cu v6.
20 Planul perpendicularus pe axa de rabaterepr . in punctul (v, v ') determin i in spaf iu untr iunghi dreptunghic, le cirui cat,: te i i r t vv,
$i v<o, unghiul drept f i ind in v (f ig. 5.48).lpotenuzan spaf iua acestui r iungir ieste rv,giconst i tu ieaza e abatere punct ' -uluiv, v,) .Acest r iunghi dreptunglr ico i i t i r r jurr i l catc-tql <,t.v 9 a$terne n adevaratu rrr i l r ir rc poplanul or izonta l ,ducincl n v o oaralcl i i
ia
axa P de rabatere i luincipe aceait i iparalel icota punctului.Rezult i vvi =- v 'v, ia i uninclvl cu c0se obtine ipotenuza r iunghiului sau
lletoda rabaterii este un caz particular alretodei rota{ iei-gi redreptscop ransformarcarnul. ptan asi lel incit sd clevini continut sauparalel u unul din planele e proiecfid. .todu:abater i iconsti astfel ntr_o btatie 'a planuluiin j.urul unei axe orizontalesau irontdle, care.oatef i chiar unadintre.urmele lanuiu i . rpt
.1jab,1te^re,,e un.plan de nivel, oiiceligura n.:tuata intr-un plan oarccare se proieiteazi' :rzontatr lupi o f igur l F, egal i cu fisura F.:e spune d F1este abatereaigur i i F. Dacir e:cate construi xact in rabatere igura F1, se:o,ate obfine reprezentarea ublu "ortogonall- guros.exacti f igur i i F pr in operafia nversd-.carcnl, nunr i td r idicarea abater i i . pentru:eterminareaabateriiunei figuri estesuficienl,' se qtie sd se construiasc5 abatereaunui
__ t_o,argcarel figurii. De fapt se subinfelege:- n rabaterea nui punct sau a unei drepte. :a tereaplanulu i deTin i tde punct gi de axa
:: . rabatere (saLrde drcaptl qi d6 axa de- r jatere) .
_j I ITABATEREANUIPLANOARECAREPl..l_L4ryuLRtzoNTALE nnoincllE.f t -TILIZAREA ABATERIIURMEi ViNTI-
.onti.uit penituorice- unctA al orizontalei," p"lr";irl tu, .. construieqteriunghiul de
r,"iiti" pentruun punct oar6careonfinut n'planul
PP'.
Observare.Din cele de mai sus rezulti
IT.liff't; efectua rabatereste eaprratnecesardsecunoascdlementulare e abate'
;;a; irbut"t. qi planulpe careseefectueazdrabaterea.- Rabaterea nui punct se face ntotdeauna
." ;j;t;*i construciieiriunghiuluide pozifie
(rabatere).
92
esteaxa cle abatere,ar punctelc orcspottt l t ' t r tc
caredetermind ransformarea[inirs i t t t prolec-i iu or i iontu lSEi rabaterea ur tc t t t lu i .cot ts i t l t ' ra t '
Aceastdpropr ietate stc loartc ut t l l t l l i s l l l -
pl i f icarea pera l i i lorgraficep( ' cnrrra'
- Toate puncteleplanLr lui i t t ta te t t pr i t t rL t l
diedru uoi uu. , rabater i le or pe p l i i t tu l or i-
zonta l s i tuate in unglr iul io t ' t t t r r t ,l t ' t l r l l la
or izonta l l P a planul t r iqi r lc r r i l l l r t t ' r 'ea1 a
urmei vert icalea Planului :
- Unghiu l dinco al tr iunglr iul tr idc
este intotdeaunaunghiul plat l tare.
unghiul diedru cupr ins inlre p lant t t
rab-ate i planulor izontaldc proiecfe '
5 .5.2. RABATEREA UNEI FIGURI
SITUATE INTR-UNPLAN DAT PRIN
Fie o lanul PP'Ei t r iunghiu l (abc,
confi i rut n acestplan (f ig..5 '49) 'Cu
unui punctoarecarev, v ') de Peurma
l5 P' ; p lanulu ise abate ccast i it rn t ; t
poz i { ic
rrreisoaracare se
PLANI:URME.a 'b 'c ' )
ajutorulvert ica-in Pirpe
Fig. 5 49
ltt/
$tI,
planu.l,o,rizontaleproiecfie,uirrd rma ri-zontaldP ca axdde rabatere. e abat otortatigi orizontalelelanului are recprin punctele(?,a')
li^(9,
.g')pe care
se obfin-rabaterile 6Ei. 6.ducindin a gi c l ini i ledeordine erpen-diculare e..ax-a..deabatere . Rabater'eaoapunctului
lb,. .b')se poatedetermina ot aqa
i1
para le l l a l i r iade pirn int . l ) r r r inr l otapurrc-tului M in r t pe 5, se ob{ in m'. Ca i i t f icdeterminatl i"r r ighiulle ozitr i , l prrr rctulLr i,
treDule a segiseasci i ,r , cnr lr l r le ralratcr t.Pentru aceasb e qtie ci i ton l trcbrr iesi i f icegal cu <omorcaaira ,Ja ralrrti'ru'. )ct'i, <,r cglsegtepe mdiatoarea pt'
sa.u rin afinitate.Triunghiul 6bsc6eprezintdadevirirtamirime a triinghiulul
-corisiderat.
q._5.9,_4tplcARFAABATERTTENTRUFIGURA PLANA. Se consider{acelaqi xemptu$r sepresupuned in planul pp, dat 'pr in urmetrebuiesituat un tr iunghi echi lateral 'deatur5
datd; se cer proiecfi i ledublu ortogonale lbacestuiitriunghi.Pentruaceasta e alate urmavert icald a planului pe planul or izontal deproleclte qi se construiegten rabatere triun.ghiul echi lateral sbncn. rmdrindoperafiaderabaterp n sens invers,.se dedui imediatproiecfi le abcqi a'b 'c ' ale tr iunghiuluicdutat.pnn ab gi c6 se duc rabaterile orizontaleloracestor puncte care se intorc din rabatere.Pentru punctul (b, b') se uti l izeazl to t trans-
formareiaf inr i .
'
1.-5.T.- -ETERMINAREA UNUI PLAN PRINRIDICAREA RABATERII. $ se determineurme.le .giP' ale unui-plan unoscind roiecfiilepunctuluiM.(., m') din plan gi rabatireamnaacestui punct pe planul orlzorital de proiecfie.Astfel,
, f ie m $i q' .proiecfi i le punctului M,gr m0 aDatereacestui unctpe planulorizontalde proiecfie ( f ig.. .b.S0). nind . f .u . qiducind o perpendiculari
ln m pe msm, seobf ne.,proiecfa or izontald 8 a or iz"ontalei
lJLt i- lcare trece prin punctul M. proiecfia
vert lcalab' 'qi urmavert ical i (v, v,) ale acesteidrepte rezultd imediat ducind pr in m, o
idit .r tr i r r r i j l tx.r r lal.segmentulumeml ;i pe cl.eapta uni.para-lela dusA a $ pr in coeste rnraor izorr tal ira planului (ord a serv i t .c rax i i r le rabarcret:RezultdF* ce{ 'enit cu v' (h urrn:r rer t ical ir 'a planului c. jutat.
5.5.5.;RABAiEREA E Ult PLAN DE NtvEL.DISTANTA ,F] A UN PUISTLA O DREAPTA.In ge4eral,i problemelencart 'sealege rr l tr ;ror izontalda unui plan ra axa , lc r l l r l icr ,: ,operal i i le rdice arese ecasupr.rrlernentelord in problemr epagesclecele'r r rai nu l tcor icadrulep*lrelpe eb parte, ar pede alta partese ntrpdue lerafi le graficemaipu{ in tecesare,oaca se ia a plan de rabatere urr .nlan r lcnivel (sau dr f iont) . Efectrr ir r r labati ,rc l I )cy1 l. la-n.devel, .se err lucci r r { ior- 'oi l rprrrr r ' -tu. lui a f l_deplanul pe carese'fabe abarerea,tr iunghiuldr-pozit ie ' ' ra ezultamai mic s i inans.amblu_torte perafi i legraficevor f i 'nrairestrinse.Ca axd de iabate*re n acest caz sealege or izontala e intersecl ie. ntre planulcare se_abateqi planul r je ' l r ivel pe care seIace rabaterea. r iunghiul de rrozit iese con-struieqte. raci a fel
(cuexcep{ ihcotei) ,
iartoate celelatepropr ieta{ iale rabater i i r imirrlnvariante.S[ se determinedistantade la unPfncl la o dreaptlprin rabatere. e un plan denivel. Fi.e [ ( rn,m') punctul tJair; i A'(g, ) ,)o.dreapteorrecare at l ( f ig. S.5l) . Se rabateplanul determinat e punitul M ; i t l rcaptaApeun p landenivelH' ,
-dusla cotapunctu iu iM.
Dtuqplu-A ( t, 8 ') intersecteazdlanul cle ni-vel H' in punctulA (a, a') , care mpreunl cupunctul M (rn,m') determind ol izontala deintersecti.eD (d, d') dintre cele tloul plane,orizontaldcarese a ca axd
de rlbatere.punc-
te le A qi r l t r l rnin propr i i le or r ibi tute, f i indpe axa de rabatere.Se rabate de asemeneapunctul oarecareB (b, b') cle pe tlreapta A.Construind n b tr iunghiul r le pozi{ iebb1<o lpunctului B, seohfine abatercrbu, pe planulde nivel H',, I punctului B, 1 i cu aceastarezultd.Se,abatefea repteiA pe acelaEi landenivel. Seduce?n abaiere, l i i r pLrnctulm =-: tng, perpendiculara e 8s si se obf ne ne,
93
D (d, d') $i A (8, 5 ' ; . Sepoatcproceclai rfe lur i :
1oFie M (m, m') punctLr lk 'coircrrrcn{ i ii c t : lordoul drepte (f ig. 5.53).Se corrstruieqterrnaor izonta l i P a planultr i iornir t r l t ' cclo <lorr j it l repte ottcuretttci scalt 'gc rr rx;r lc :r lr ;r { r ' r ' t ' .
Sc fornteaz i in l t t t r i t tug l r i t rl l t ' r t rz . i l i t i ; r lr r r r i , ' 'tu lu i M, r luciud n rr tglar ' . i r l t ' l r r1 ipt ' r -pt ' r r t l i t ' l r l r l r rla axa de rabatcre. c l r i t t ' ; r l; r r ' i ; r , , l ; r t t ' r r i . ,a punctului M faf i i c lep l r r t tLrl) ( ' c ir r ( ' , , ' , r t ' r 'rabatereafa lddeplanulol izorr t;r l ) ; i ezrr l t i in, .Perpendicularain m inti l r tcste xade r;rbutclt :in
co, centrul derabaterc.
Ctr razatoffrr
sodescr iearcul r le cerc carc ir r i i lnestc per l)cu-diculara mo in m6, rabatcr :r l rurrctLrui &1.Urmele11= hn Si k : k1ytl t : l r lptr : lorD ;i A,f i ind pe axa P de rabaterc ' , i i r r r ir rpropl i i lclor r ibdtute. Unind fl ls cLl rcestc y.rurrcteeobf in rabater i ledx qi 3, 1r . 'p lattul 'or izor i talde proiecl ie, ale drepteior concurt 'nte late.Intre rabater i le egi 3u c nrrsoar irt i ar lcvi ir r t l imdr imeunghiul a format r le ccle t lorr ir l rc l ; t t ,Dqi A.
20 Planul de nive l H' t i t ' tcrrr r ir tan plant t lcelordoul drepte ot tc t t r r , ' t r tcr izonta la . , . ' ) ,obf nutl cu ajutorul puuctc ' lofA 1a,a') ; iB (b, b') , in carecelc t lot i i i r l t ' t , l r tc:olrcurt ' l r t t :intersecteazi lanul dc nir , 'c l i ig. l- r .54). e ir raceasti orizontald e, r') ca irxri rlc rlbat crt' ; ise rabate punctu l M (m, rn ' ) l) ( ' p lnrrrr l r lcnivel H'. Pentruaceasta t:constrLr i t : , , tcn rn,ca mai s us, tr iunghiLr t lc 1,rrz i{ i t l l , i t t ic t t t -
lu i M, avindgr i j i ca .si i e r t ct. , i r ttutt , nr 'c 'faJ i de planul de n ive l FI ' . ( l t t r i r l i r ( l ( ' i - i t l ) i r -
tere om1 se obl ine rabir ir . ' r r .r lt , , , ( ' i l r , . r i r i t i ic l l os = a qi bu = b da I'air l t t l r l t : d , ,s i ), 1:e
i
fr
Fig. 5.51 F ig. 5.52
care se intoarce din rabatere n n qi apoi inn'. Segmentulmene ste ln adevdratdmirimedistanfa de la punct la dreapti . Proiec{ i i le(mri, m'n') reprezintd perpendiculara dusldin punctulM pe dreaptaA.
5.5.6.,DTSTANTADTNTRE DOUA DREPTEPARALELE. Sdsegiseasci n adevtrratflnflrimedistartfa d cuprinsd intre dou[ dropte paraleleA (8,,8') 9l At (8r, 8i) dateprin proiecfille or.
Se rabateplanul celor doui drepteparalele eun plan de nivel H' ( f ig. 5.52).Se alegecaaxi cle abatere r izontala ., . ' ) , care ezult idin intersecfa planului de nivel H' cu planr-r l
celor doua drepte paralele.Punctele A .qi Brespectiv e pe dreptele gi At rdminpropr i i lelor rdbitute, fiind pe axa de rabatere pe caredealtfelo qi determind).Se rabatede asemeneapunctul oarecareM (m, m') de pe dreapta A.
Construind n m triunghiul de pozijie mmrolal punctului M, se obf ne rabatereamn, aacestgipunct, pe planul de nivel H' qi cuaceasta8s, rabaterea reptei A. Paraleladnsiprin b : bo la 8n determirid' tn, rabaterea
drepteiA1 pe acelagi lan de nivel [ I ' . Distan-
fa d crrpr insi ntre celedouddrepteparaleleAqi A1 se misoar l in adevirat i mlr ime, intrerabaterile 80 qi 8ro ale dreptelor paralele
considerate.
S.S.z.a6EvARATA MARIIVIEA UNOHIUI-I-JICUPRINS TNTRE DOUA DREPTE CONCU.RENTE. Si se detennine n adevlirati mirinreunghiul cr cuprins intre douf, drepte concurente
: lanul cle nivel H' ale dreptelorconcurentedate, gi cu aceastaunghiul ci .
5.5.8.UNCHTULDTNTREO DREAPTAgI UNPLAN. S[ se giseasci in adevtrratflmhrimeunghiul d-pe care l face dreaptaA (8, D,) cuplanulP dat prin urme (fig. b.55;.pentru aceas-
r,a,dintr.un. pu^ngt arecareM (m, m,) de pedreapta A(8, 8') se duce o perpendiculai irm.a,. 'a') pe planul dat. prin r'abaterea unc-t.uluiM (rn,m') pe un plan de nivel H,, sedeterminl, n adcvi irat i mir ime, unshiul cu-pr ins ntre perpendicularausl qi dr iapta A.
Unghiul omplementar": +
- B este, nadevi jrat i mir ime, unghiul c lutat.
5.5.9.UNCHIULDINTREDOUAPLANE.Si SCdeterminen adevtrratimdrime unghiul diedruacuprins ntre doudplaneP qi e dateprin urme.)q poateEi n acest az sAse procedezen douiieluri
io Din punctl l M (m, m') oarecaret in spatiu
: . dy..normalele eceledoul plane f ig. 5.56).Se determinl in
-adeviratdmirime uishiul ?
cuprins ntre celedoul normale,prin ralatereapunctului M (m, m') pe un plan oarecare enivel H'. Unghiul
ceutat a dintre cele doulplane ateP Si Q seobtine n adeviratdmdrimeluindsuplementulnghiuluip gisi t mai nainte.2o Prin punctul.oarecare (m, m') situat ped.reapta (8, 8') de intersecfie
'planelor 'p
sj .Q *. du-ce n_plan RR' perpendicular eI (8, 8') ( f ig . 5.57). Pentru
ac6astase ia 'o
tronta laa planulu i R gi se duce m'hf 1 8, .Rezul tdhi ; i apoi h1 la in tersecf iain ie i deord inedin hi cu para le la usddin m la l in ia
de- imint . Pr in urma or izontal?i1 trcceurnr iror izontalS planului R, urmii peipendicLr lar i ipe proiecfia or izontalS 8. (Trasareaurnrr , ivert icaleR'nu estenecesara.) e r lcternr inaproiecfi i le r izontalema s i mb ale r lrcptelor leintersecfe-dintre lanulR cu fiecare l i i rplanele
? l j ,q . Unghiul-acupr ins ntre aceste'c lreptede intersecfie steunghiul cautat ; i se obl inein adevirat i mir i me pr in rabatereapunc-tu lu i .M (m,
m') peplanuior izorr lal lerroibcl ie,luind ca axI de rabatereurma or izor i talr ip lanulu iR.
Observare:n cazulult imei var iantese poatedetermina u ugur infdplanul bisec.tor l t l ie-dru lu i p lanelorP qi Q date. Ast l l . l , Lrrr Lrnctoarecaree pebisectoareanglr iulLr i ( i r tJci lreipro iec l i i. se giscsc irner l i i r t) . r r r r1,1- t.1111;1.udreaptaA de ntersectie in trecc l t t i r iLr l lane.determin i r lanul b isector ir r r tr r t
Fig. 5.56
Fig.5.57
95
5.5. I0. ADEVARATAMARIME A UNEIFIGURT LANE.Si se determine,e exemplu,adeviratamirime a unui riunghiABCdatprin
oroiecti i le ale abc si a'b'c' (f ig.5.58).Seiabate planul tr iunghiuluipe un-plan dc
nivelH' , c lus r inpunctul (b' b:) .Latura Cintersecteazllanulde nivel H' ln punctul
M (m,m'). Se-alegea axi de rabatererizon-tala (e = bm, e' = b'm'),obfinutd in inter-sect ia lanuluide nivel H' "cuplanul r iun-shil lui ' ABC. Proiec{i i le = bn 9i m = ntniamin oropri i le or r5bItute, i ind situatepe
a*n
"
de iabatere. erabatepunctulA (a,a')
oenlanul le ivelH'. Construindn a triunglt iulhe'pozi{ie l punctuluiA, .seobfine.raza Je
rabitere<,rar,are conducea.ae,-rabatereacolanulde nivela punctului . Rezultd st feli lrcntelcir l l irt t t teriaoi a1ym6.€oarecettncttt lC s6pascstee aturaAC, rebuie a rabatereasa c,,"sl
se glseascd e rabaterea repteiAC(care ste ,,mo1i pe iniadeordine usldin cDeaxaderabatere' ceastiobservaJiecutegteie a rabateqi punctulC cu ajutorulunui
tr iunghide po2it ie. eobfineastfel e planulde nivel H'-adevdrata irimeanbqcetriun-ghiului dat ABC.
5.5.11.RABATEREA LANELqRPROIEC-rArurE OERTICALE l DE CAPAT). e poatesdsiadevlratamlrimea unui triunghiABC'I ituat intr-unplan proiectantafi de planulorizontal, rin rabaterealanulL-riroiectant eceledoudblanede proiectie' stfel, ie punc-
tele A(a, 'a'), B (b;b')
$iC (c,c'). virfuri le
triunghiului chrui roiecfierizontaldbc ste
l r ig. 5 51l
to ta l deformat i ii asez-ati t)c l l l laor izot t ta l i t)
a p lanulu iver t ica l PP' ( f ig . 5.1-r9) .labatereapl inu lu i proiectant vert ical) PP'pe planul
vert ical de proiectiese rct l t tcerle lapt la o
rotaf e de nive l n jurul axci vert icale e.carel
const i tu ieurnta vcr t ica l i i P ' . Pro i t 'c { i i le - ir i -zontalea, b, c se rotest i t t tr - t tn settssatl i t t
ce lSla l t , indc ind sc a l ternpe in ia de pi i n in t .
Pro iecf i i le or vert ic:r le lescr i t tn rotaf ia .de
nivel paralele a l in ia t lc p i i r r t i r t t .RczLt l t i rl tsbecs, 'adeviratanr ir imca tr i t t r tgh i t - r lu iat .
Rabaterea celu ias i lanvert icalPP' pt l planul
or izontalde proiec{ ie c iacc rr jurul axt i de
rabatere e careo cot ls t i t t t ic rr t la r iz-clnt lr l ip lanului P. Ducind o perpetldicrr lar i in P* PeP. se obt ineP[, rabaterea rmei vert icaleP' .
;-'
Fig. 5.58
96
Razele le rabaterc le punctelor , B 5i C s intt 'galc cu t 'otclc prrrrctc ' lorespcci ive.Luirr r lrceste ote pc l i r r i i le leordi4e id icatc n a, tr; i .c fa{ i dc axa de rabatere urma ;, seob{ i ir
rabaterjlc an,b0 ;i cn, pe pianul o{i'zontal rle:prorecIie, lc pLrrrctclorespective,5i cu acea.steradcvi lrata rnar ime flxbncp tr iunghiului dat.
i l l lgdairalogpoate.fir 'Uirrun pianAi capar
r i t l ic* , r r l ] (b , b ' ) . l ) t ' I tsl i l r l l t t ; r, ' , ,1c l t r l ; r
fo losl rea t r : r r rs[orrn l i r i ia I i l rc i r racesl e l .
q q,l? ,RABATEREAN JURUL rNrEr rPAMINT;Sdse determine roiecliilei.iugonu"lui ABCDEF situat inti-un irlan p ):aretrece.prininia depimint, cunosiind roiecJiilepunctului
{
(.,
f') (centrulhexagonuluit
Eig"l"]"._fg.,orizontali.virfului A @,' ar)( I rg. .bl) . Se considerdinia de pimint ciaxade rabaterei.se abate unctulM (m,m,)r,] ,mu,. e.ptanul orizontalde prorecfe, cur lutorul tr iunghiuluide pozif ie i l<Dll l1.n a seuuceparatela i perpendicularaati c ieaxa deraDatere. aralela us: ipr in o1 fafd clecom, lda1 pe paralcladusi i pr ir i a la i ini ; d;-pamint.Rezult l f ls rabatereavir fului A pe olanulor izontaldc proiecfie. e construiegte,n'raba-tere, hexagonul jbnq1d11exf6nscris n celcul derazAmnaS i .se idicl apoi din rabatere, inlnd:egml de diagonale i de paralel ismul 'l intrelatur i le opuse.Spre exempiu, abaterea e se
ur iZorr t ; r lre re.f ic a unui plarr P determir i r t 'dt , t r r , . lu l M 1m,m .1 ide_odreaptdde prof l def r r i t , i p i in l , r re c lc A 1a, r ' . ;$i B (b, b/).2oSd se determineproiec{ i i le nl l f i rn i lor urrui t r iunghi
' f f i€eare definit prin proiecfi le prrrrctclorA (a, a-'),tO, b') ri C (c, c ') .ff Se consideri puncteleA (a, a') gi B (b, lr ') exterioare
ghnului P dat pr in urme. Si se deternr i r rc roicct i i let r iunghiului chi iateral BC, ; t i ind oi v i r fu l C oste i iLr ; r tln planul P.4oSd se t letermine ng| iu l d iedrrra c irpr iqs r;trs r lL;rr: : iphrreP ti .Q ale ciror i r rmc se nt i l r r rsc '1n ir . t - l i rs il r r r r r tde pe I inia de pbmint .5" Se considerd l reapta D (d, d') : , i pt r r rc t t ' l t : (a, a ')giB (b, b') , Si sedetcrminerr at l t ivr i r ; r i : rr r ; i r i rncrrr l l r i r r id lc(k l l or ct rpr i r rs r t t lc pl i r tx : lc l t , l r . r ' r r r i r r ; r t i ' r lcl r . t . ; r1r{r rgi f iecare i i r rprrr rct t ' lcr ; r rc .6o l l :anLr l es icdcf in i t de l i r r ia r lc pr i rnir i t i ( l r ' l )unful
{ (a ' a ') s i tLrat r r d iedrrr l lo i . Srrsr i l r t , r r r r ' i r r t ,r io i t r ' l i ; rdrepteide i l r tersec{ ic i r r t rc : rcc. , l ' l ; r r r i r r r r r l ; r r r (l
def in i t pr in urmasa or izontal i ig i p l i r r r r r rgl t i r r li i t . , l i r rzp.c are- . ace cu plat r r r lor izonlr r l l t ' yr roi , r ' l i l7" Sr i se dctcrmirrc urnrc lc P 1i I ' i i r l t : r r r r r r i r l l r r ,cunoscind roiec{ ia l izontal i ia a urrr r i iu ic IA r l i r rp lan,rabatereana acestui unctpe planrr lo i izol t i r i t lc 1rr :oicc-{ ie. ,s i nghiuldiedru z cupr ins ntre ir larr r i p lr i r r r r i _r j -zontal de proiect ie.8" Sdsegbseasci 'urmaert ical : ' i ' i r r r r r r r i l i rn rr i r r :sr . int lurma sa or izontal i P gi rabater i lca, i i b,, 1 ' : l r l r r rulor izontalde proiec{ ie doui puncteA qi 13 l t l i lerr r r l r i i ,s i luate in acela; i p lan de prof i l .9" 'Sd sc const iu i isch proiec{ i i le rrnrr i l , r i l r r t Al}CD
ctnosci t tdproiecf i i leext rerni t : i { i lor (a, a ) i O1c,c ')a,e ut teiadin diagorr i r lc i St i i r r r l ' ; r r l r r r l r l i : r " . '11.1.111. 'v i r l t r r i cstc corr l inrr tdc o drc ir l ' l : i D1t l , r l 1 , l , r r ; r , l i r rp lar t t r lvcr t ic ; i l r le proicc l i t ' .l0o Se consir ierd r imrr r izont i r l i i ) r r l r r r r i in l : r r r .Si i sr 'detc lmine urma vcrt icala P' :r I r l ; r r r r r lLr ir . l l , i r rcr laCeasta i i se ConfUt t t lou ral , ; i l { r ' ; r ; r l ' , , | r . l ,L i i l i l lor izontalde proiec{ ie.l l " Sr ' isc t l t tc i i pr i r t r l rcapt t r ) 1r l , l ) l l r l r r r r , r , , l l , ' ii r ic i t dreapta D's i i f i rc i i
- t r r rglr i r r r it r. , ;r1.,r r . l r ' ( l , , i i : r
t t : r t lc ) qi P' alc I ' l ; rnrr l r r i .l2 'Si se cotrst rui isc lr r roiec l i i lc r r r r i i r r i r r ;1 lr ir ' l r i
lateral ABC de Iat rr rui at i i , s i l r r : i l i r i l r - r r r r r r l l i r r t . t . l tpoudplane r isectoarc,; t i ind c; i v i r f r r lA (1, a' ] sr gir : ;ost \ lpe l in ia de pimint , iar lat r r ra AIJ i : : ; I r ' ) r ' r) ( r ( l i lu l r i { i rpe i i r ia de ndmint .i3 ' SAse cor is t r r r iascl iro iec l i i lc r r r i r r i r r r r lg lr ic l r i l ; r t r ' -ra l c te at rr rdcunoscrr t i i s i t r r i r l i r r t l r r r g; l r r r rl r r t 1rrrrurmelesale P si P' .l4 'Si se gdseascd devi i ralamirr i l r i , - ,r r i r r r r i r i r rnlr l r iABCsi l r rat nt r ' - t tn lan proicctanl ; r r i lc I ' l iunr lv{ ' r i \ ' i r lde proiec{ ie,pr in rabatcrea larr t r l r r i ) r ' ( , i r l ' { : rntr r ; r -1, .doud pianede proiec{ ie.i ig. 5.61
Pentru constructia eprezenteriidublu orto-gorrale unui cerc oarecafe stenecesar d sereaminteascl rmitoarea eoremi,asupra ro-
iecfiei ortogonale unui cerc,de carese vafirleseaman toateconstructiileeepuri.
tEORnmA: Proiecliaortogonald unri ,rrcpeun plan Q nclinat alddeplanulP al cerculuiesteo elipsdcareare ca axd mareproiecliadia-melrului cerculuiparalelcu dreaptaD de inler-seClieplanelorPgi Q,:ar caaxdnilcd,proiecliadiitmetruluicerculuidirijat dupd linia tle ceamai mareppntd a planului P in raport cuplanul Q. In general,pentru cercul situat
intr-unplanoarecare,econstruiescroibcfiiledublu ortogonalele-sale, e obicei,printr-oriflicare e rabatere.n celece urmeazi evo rtrata cltevaexemple e constructii le proiec-
f l lor unui cerc,fndiferite ondit i idate.
6.rl 1. ApLICATII. l ' Si se construlasciaxele ellpselordrrptrcare se prolecteaztr n cerc sltuat intr-un plan P datprln urme, ut l l lzind rabaterea planulul cercului, peplanul orlzontal de prolect le.Fie (<,r, r ') ccntrul ccrculuigi oro rabaterea sB pe planul orizontal de proieclie
(f ig. 6. ). Axele proiecf iei slnt ab 9i ce. Ele se r-rbf inr id ic ind din rabatere iametrulor lzontalRubo l celculr r i
gi; diametrul coeo perpendicularpe el, deci diametrul
dir i jat dupd I inia de ceamai mare pantda planului fa lSde flanul'orizontal de proiec ie. r i extreniitdli le c gi'eale axei mici a elipsei tangenta este orizontali. Axelcproiec{ ie iver t icale int 1 'e ' $ i a '0 ' . Ele seob{ in r id ic lnddin rabatere diametrul frontal yoeo al cercului qi dia-
metrul cr69n erpendicularpe el, deci diametrul dir i jat
dupd l in ia de cea mai mare pantd a planului |a ld dc
9B
Fig. 6. I
planul vert ical dc ploiet : t ie. I rr r r l rr: rrr i t t i { i lc z. ' ; , i i : i ' rr i t :
a, rei t t t ic i a el ipsci i t t pt 'oi rt i i : r vt ' t i r : ,1: t 1; t r i t l ( ' r l l ; r 's l ( '
f ronta I .
2" Fl ind date planul , r:crr l t 'ul 1l razi t t , rrr i cerc, s. i seconstruiasci t poiecl i i lc : tccsl t t i ct ' rc 1; i s; r sc t lcl t t t t t i t le
langentele la cerc in putrctcl t ' t "et rr i t t 'c: tbi l t . r ' , , , t t r ' i , l t t ; iplanul cercului ca f i rtd dt ' f rr i t dc r 'et t t t t t l 1r, , , ' , ' ) 1i r ' lu
orizontala C (g, g') (f ig. t i .2). So rrr l r: t t t ' i t ' t t t iLrl i t i < 'r,
pe planrrl de nivel H' : r l ot ' i : rot t t l r l t ' iC (t ' : i t ( ' \ r ' i r l ( 'gt 'ci l
axi de Iabatere) ;i se cr-rt tsl t t t ic; te t ' tct t l t l t ' l : tz; t t i i t t r i ct t
centrul c ' ro.Pet t t rt t ; t t 'ot tst t rt i l r t rr iucl i i le ( t i( l t l i l i : ,c l rtol -( '
din rabaterc ptrnctclerentarcal , i le, at l ic; r pi rt t . t lc ( ' (rct l l t l i
in care tangenta este orizol i tal i i , l lc, rr lal r sl rt t t le proi i l '
Tangenta este orizontal i i i t t pt r l tct r l i : t l , : ' r ' r l i i l l i1. \ i l l i i :at l
minimi. Jn rabatere,acestepuncte sint co gi eo 9i el ese idic l din rabateren c pi e ast fel :purrctul cu
-or izon-
tala ribltut i c0r0, iar e este sinret i ic cu c fafd de or.Tangenta,esterontal i in puncteJe e depir taremaxitnlsau minimi. Rabater i leai 'cstorprrncte int o, , $i go $ic le se r id ic i din rabatcrc n (a, ct ' ) ti (p, p ') . ' Iarrgerr ta( vt , .v ' t ' ) : i r r t r - r rnyrrutctoarecare t , ' t ' ) ai ccrcLr lr l iseol ; t ine idic ir rddir r abatereangenta u.s i n rabaterca, ,a punctului .
3' Sd se construiasci axele ellpselor duptr care se proiec-
teazdun cerc situat intr-un plan dat piln urme,'f trr i auli l lza .rabaterea lanulul ceicului. Se consideri planulcercului ,def init de centrul (.o, <u') si de orizbntatac (C,g') (f ie. 6.3). Axa mare a pioibct iei orizontaleeste.pfoiecliaorizontaid ab a diametrulr l i orizontal gise ob{ ine ulnd ab: 2R pe paraleladusi pr in <u a j.Axa micd a proiec{ieiorizontale este proiect ia orizon-tal i cd a diametrului cerculuidir i jat dupd l ih ia de ce amai mare pant i a planului cerculr i i atd 'de planul or i -zontal de proiecf ie.Se efectueazd schimbaiede planvert ical rJe proiecf ie, uind orxrJ_g prin o gi uui :
''-v'L'' . Se agazi .idl
': 2R pe <,,uigi revenind clinschiml-r r reae plan i : jcut i rezt r l t i c f i d, cxt rcmit l l i lcaxcr mlc l ln c l t rc tangenta a cerc esteor izontald.Ax anrarea proiecf id iver t icalcesie proiecf iavert ical i m,n,a diamctrului rontalal cercului iseobi ine uind nr ,n, -
?.R pu fronta. la (of , o ' f ' ) . Axa ir ic i a proiecl ie iver t icrr le steproiecl iavcr t ical i s ' t 'a diametruiuicercu-ir r i d ir i jat dup; i I in ia de cca mai mare pantda Dlanuluicercului ald de planul vert ical de proieciie.Seefbctueazdo schimbare e plan c.rr izorrtale proiec{ie, uind orx, I f
.Fig. 6.4
prit t ar ' , g i r ' rn =' kr ' . Sc rsr l , i rs,t . : l t t J , l . . , " r . ;ireverr i r rd in scl inrbarcade plarrur l i i t ; i t r ; t li icr r ta e; , rui l r rs' $ i t ' , text remitS{ i leaxei mic i in prr i ior . . i iner . l ical : .1ncare tangenta a cerc cste I l . r , r r l ; r l ; i .4",Si se constnr_?srd roiecf i i le unui ccrc al t : , i irrr i la neste. aralel
cu linia de pimint ;i t receprinlr u drelpt l iD (q, q'l dati. Se cunoagte prtiiecf a u.izont:tli ,,, l
:qntrrr lu. l i. egt lecI cercuiest i tangerrt lrcpteiD (r1, ,) .Fie P qi P'urmelc p. larrLr lLr ia lal t i crr l i r i ia t lc pi i r r r i r r tdt ls pr in dreaptaD (d, d') , ; i d, , . r r l r : r1cr{ ,i1( . ( ,5, toil l ( - l ) t r lpeplanulor izont .al e proiec{ ie 1i11.;.4). ( .ent rr r l or,c,,)se. rabaten aro, ar ccrcul de razi l , , , , turr r r l tnt r l rc i r t r id,este rabaterea ercului cILrtat. ( l r t i r c t , i r l i r iLr irerct r l r r i. ] t"- o]. , g i se determini dLtc ir rd r i r i ou pur, r le l l r o,v,pina la intersec{ ia u par.alelal ux t l r l : , pr r , , , , h: ; r . l t
- --1--
rnar i a. leproiec{ i i lor int aB $i e'0 ' , iar axele nic i s in(ye gi y 'e ' gi seobf in proiect inc i ia inet rul ronto-or izorr talal cerculr r ig i diarnetruldir i jat dupi l in ia dc cea nraimare p.antd planului P. PLrnctul 1, 1 ') poatc i r id icatoln rauatcrc,spre exemplu, cu aiutorrr l f rorr to_or izorr-ta lei . (g1,g'y ') , iar prrni tu l (e, e ') -se constrr r icgtc r i r rs met e.5" SA se construlasctr-rolectllle cerculul tangent a douidreple oncurenlc l de asemenqaanpentDlanutulorizon-tal de prolec^fe. Fie.D (d, .d') gi .A (S, A') ele doLridrepteconcurerr te punctulM.(m, m') (f g. 6.S).Se alegeurnra
l3or izontald P a planului celor dou-ddrcpte ca"axi dcrabatere9i se rabate M ln mo pe planui.or izontal deproiecfie.Se nscrie n triunghiul hkmocerculcu centrul o0gi se ridici din rabatere acest cerc. Centrul cerculuigste. <1, '). . .A{eJe proiecf ei.orizontale sint ab gi ru .Pro'eclia. ert icali se.determinicu ugurinld, { inind contcd axa ei mare este
e'g ':
2R.6o Si se construiasci protecfllle cerculul demzl. R dati,tangent,. la doui, drepte.concurente. : ie D (d, d,) gia (o, o ,. cete ooua crepte concurente in punctrr lM (m, m') ( f ig. 6.6). Se abatepunctulM in rnnpt i p lanuiorizontal de proiecliegi se obtine <ooa intersec{ia ara-lelelor duse la distanfa R fatd de dn gi 80. Se descriecercul cu centrul ln oro li se r idici din ribatere acestcerc. Centrul cercului se ridicd din rabatere n (c,.r,o, )cu.ajutorul frontalei (<,rfor 'f ') . Axele proiecliei orizon'-ta le.s int ab gi.ce, punctelede tangenl i cu dieptelesint(f . t ' )
9 i(q, u ') , i i r punctele q' i
z 's int pro'pr i i le orrAbetut -e. roiec l ia vert icald a cercrr lu is l . rbl inc.uu$urInla.
7" Si_se_construlasctrrolecf ia orizontald a cercului derazA
_l( dati,.tangent la doud drepte concurenteD gi Aale ctrror proiecfli de nume contrar coincid. Drepteie D9i A sint concurenten punctul M (m, m,) si defermindplanul cu urmele rr prelungirepp' (f ig. 6.2). Se efec_
100
r rg. b.b
tueazi rabaterea unctului M in mo pe planul orizonlal
de proiecf ie i se determind entruloo ribdtut al cercului,
consider ind aralelelea distanfaR fat i de rabateri le n
gi 80. Proiecliaorizontalda cerculuise obfine reveninddjn rabatere.Axele proiecf iei orizontale sint ab: 2R$r ce.
8o Si se construlascd prolecfllle cerculul care ,treceprintr-un punct A (a, a') este tangent in punctul
f ia or izontaldestec 'e ' pi reprczint i ipr ,ec i ia rr - izorr talr ia diametrtr lui orizontal cne,,al ccrcur. Ar:r r lt i , ' ir rrel ipsei n 'proiecf iaor izont : r l i i s tc rnn ircprczint ; ipro-
iec{ ia or izontalda diametrului nrnr , arceicr . r l r r ii i i iatdupi. l in ia de.cea.mai mare par i t l a lanului lafd deplanul or izontal de proiecf ie. S-a lut mrn, paralelcu kb, $i de asemeneagal cu diametrulcnenl^cerculrr i.Analog se determini axele proiecl ic i vet icalc.
ElB (b, b') la o dreaptl confinutd de al dolleaplan bisector.Fie A (a, a') punctul 9i D{d, d ') dreaptacon{ inut i lnal doilea plan bisector f ig. 6.8). Se efectueazio raba-t6rea drepteiD pe planul de nivel H' dus Ia cota punc-tului A. Cu tr iunghiul de pozif iebkb, al punctului B
cercul cu centrul ln oo care trece prin punctul a = a0 lieste angent dreptei do. Punctul <oo e ridici din rabaterein tocu ajutorul drepteiapu.Axa marea elipsei n proiec-
Fig. 6. 8
6.2.PROBLEMEROPUSE
l " .S5.seconstruiascd rolecf i i leunui cer al c i i ru i plan
estede capit d indu-segi :aza cercului .2 ' . Un cer i esteconl inut de un plan panlel crr in ia depdmint. Si se determine punciele cercrlui ': : rre sints i tuate la o distanfd I datd fa{ i dc l in ir r le plmint .
3' Sedd un punct al unui cercgi o dreaptiperpendiculardpeplanulsdugi t rec indpr in entrul sdu. Sj sec; rnst ruias-cd proiec{ i i leaccstuicerc.
4o Si se construiascd roiec{i i le ercultr i lc razi 'r at i Rtangent la doud drepte concurentedcfinite astfel: odreapt i D (d, d') este onf inut i de al doi lcapl ; i r b iscctor ,iar cealal t l dreapt i A (8,8') estc s i t r rai i i r r pr i rnrr lp lan bisector .Proiecl i i levert i ra lcalc cclor Lrrr i i l rcptc
s lnt confurrdated' = 8') .5" Sd se construiasc5proiecI i i l t , r .crcul l i c ; r rc t rcccpr int r -un punct A (a, a') g i est r : arrgcrr l ; r , , r l reapt i iD (d, d') int r -un punct B (b, b') de pei l lnapl : r .Apl ical ienumeric i : A (65, 17,2g), iar dreapiaD es[. dcf in i t i depuncteleB (25, 12,9) qi C (39,20, 2S).G" Un cerc esteconlinirt de un plan de pr,of i lQ. Sd sedetermine unctele ercului aresints i tLratea o distan{ icunoscuti I fa{i de un plan P dat prirr urme.7' Se dd planul P gi punctul A (a, 'a ') s i t r rat in ace: , tplan. Sd se construiasci proiec{i i lecerrLrlrr i are trcr:cprin punctul A gi este augentambelor rnrealc acestui
nlan.iJ" Un cerc esteconfinut de planul vert ical de proiecf ic.Sd se determinepuncteleaceitui cerc aresint i i tuate lao distanfdcunoscuti I fald de un ;rlanP dat prin urme.
In acestcapi to l de apl icaf i i vor f ic i tdvaproblernela.sicee distanfd i
ut i l iz ind metodelede transformareI i lor .
PRbBLEMA l. SeconsideriorizontalaD (d, d' )Ei punctul M (ln, m') de pe linia de pimint.Sd.se determineproiecfiile punctelorA (a, a')gi B (b, b') situate pe dreapta D, asttel incittr iunghiul AMB s[ f e echi lateral.Se poaterezolvaaceastl problemd n doui felur i i1oPr in punctulM (m,,rn') se duceplanul PP'perpendicular e dreaptaor izontaldD (d, d')qi segisescproiecfi i le unctului ( i , i ) in careorizontala D intilneqte planul P (fig. 7.1).Prlntr-o rotafie in jurul aiei verticale (-co, r'),se obfine adevdrata ungime m'i i a segmen-
tu l t r i (n t i , t t ' i ' ) , { .r t( , i , t l i 1 ,r ( , tr r .r i trr t r ; rtr iutrghiulr r i c l t i la tcHl ; i i r l ; r i . , ' j t r. r ) t r : l li r ' : ) lcpe planul vert ical r lr : l ) i -oi{ .r ( - ' t iclr r r r rglir r lec l r i Ia teraI 'A, , l lnrr r le' ;r ratrrnir r ' i r r r r . ,r rc: ir r i lt l rcaptaAul lnperpcnr icrr lalr i1r ' ru ' i i ; i r i rcptc
la 30" d in m' , de opar l i . . i r lc ir ta , fa I l i r lcnr ' ' i i .Av inr l la turaAl lo rr r i tr i r ( l r i r r l r r ic lr i l r r -tera l in adcvirat i i l t i l i r l r ' , r . : rolr l i r rc po clproiec{ ia r izontalSb a latui i i AB, t l rc irptaDf i ind or izonta la.Rir ic ir r r i i r r i i t ic r r l r l inc , c-zultd pe d'proiecfi i l r vcr I i t :a l rn 's i b ' .20 Se rabateplanul r ir r r rc li r r l r i Ie plarr ir l lcn ive l H' care con{ irc or izoniala I} (c l , r - l) ,or izonlald are e a ci axa lc alralcrei ig. 7.2) .Punctu lM (m, nr ') scrabatcn rn11.c corrstru-iegte r iungir iulechi ldcrzi ll r11ab,err tr t i aresecunoagte ungi rea ir i i f i rni i r r rsr ,r .?cvcrr iucld in rabatere,sc ob t r pro i r .c l i i lc punctc lorA (a, a') gi B (b, b') . :
PROBLEMA 2. SI se dctr -nr ir reprniecfi lepunctuluiM (nr,nr ' ) , crrr roscindistanfele ale
rezolvateunghi l r i ,
a proiec-
diH'
Fig.7.1
'" --"
tn t
Fie A (a, a') punctu ldat ; i D (d, d ' ) , . ) , (d , ,di )ce ledoui drepte orrcurenterr rurrclr r l (s, s ')( f ig . 7.q. Direcfi le urrnelor ,planrr lui P sc:
obl in determinind r izontala eb,e'b') qi fron-tala (ec,e'c ') , care rezult i i d in . intcr"ec{ iaplanului P respectiv u planul dc nivcl l l ' p icu planul de front F. Din punctul A (a, a' )se duceperpendiculara (8,.8 ') pe planul P,
l . p 9i 8 respectivafil de planelede proiccfiegifafl de planul [t dat prin urme. Cu ajutoruluneischinrbar i e platrvcr t ical de proiecfie econstruiegtelanul Q paralel cu planul P qisituat a distanJa fafl de planulP ( f ig .7.3) .Planulde nivel H'dus la cota I g i p lanul deiront F dus la depiirtareap se intersecteazd
dupd fronto-or izontalaG (g,,g') care inter-secteazdlanul Q in punctul.M (m, m') .
PROBLEMA 3. S[ se determine, in adevirat[mlrime, {istanfa I de la punctut A (a, a') laplanul P dat prin dneptele oncurenteD (d, d')gi D1 (d1,di), firi a utiliza urmeleplanului P.
luind 8l-eb qi 8'J-e'c ' . Cu ajutorul planuluiproiectant Q dus prin dreapta A se giisescproiecl i i lepunctului I ( i , i ' ) , pic iorul perpen-dicularei A. Pr intr-o rotaf ie de nivel a punc-tu lu i I ( i , i ) ' in jurul axei vert icale l e rotaf ie
(co, r ' )duse r in punctulA, seob{ ine clevi iratanr l r ime t : a ' i i a distan{eic2 iutatc .
F 'ROBI,EMA . Sir sc dctcrrnir rc rroiccl i i l r 'dreptei G (g, g') care interlrclt:rrzirdrcplt:lt:D (d, d') gi A (8, 3') datc ai sr : gi isc;tc a odistanfi cunoscuti faf l dc un plan I) dat pr ir rurme.Fie D (d, d') Ei A (8, 3') cclc lo,ul l rcpteoarecare ate gi PP'plalr r r l r lat pr ir r unnL)( f ig . 7.5) .Se construieEtclanul R paralclcuplanulP la distanfa unosctr tr ifa{ i i leplarrLr l .
Pentru aceasta, econsiderii troruralri arccilrcS (s,s ') la p lanul P qi f ie | ( i , i ' ) putrc tu l t rcarenormala nti lnegte lanul F. Se pot obtineastfel eveninddintr-o rotatie de nivel a nor-male iproiecfi le a ; i a ' ale purrctulr r i s i tr ratla d is tanfa pe normala ia{a dt : L ( l)ctt l rLtsi npl i f icarea purei s-a consir lcrat l -s iarr ladoar intr -un sens.) Or izontala nunctrr i tr i
t
Fig. 7.3
Fig. 7.4 Fie. 7. 5
103
f;^(:,,u,|), araleld u planul p are urma ver.tcala K, K') ne unde'trccer,* u"ri i .rra n,lf l l , lylr i R dds aratel,"urnnufe. roiecli i le0reptet autateG &
i"g,i,$:,,J:f;ii ,,,f#" "fl:.,Ti;3:t._.,r.Dr. dr,, i).,Eecu na upoi"o
.chi rn aeepranorizontale.proiecfie'irr i i j" i ini,,r"
pamintosx perpendtculardpe gi), se trans-lonni f rontala Ar (gr, gi i i *n, ' i r"ert icat ,Ae 8 , Di), iar,.:1rlir' our..r.u nriO,, Oi )
,1?lt"l.: dreaptioarecare a dr,di). Ducind
:|]jd; :i.i;:ffi0#lin,ilf,"[,x,::l::.li:ilr,Ar_ l dreapta arecaren (perpen_drcutarausi i indo orizontali l .nerie,] in,if n:flli:,biiil:
d.e. rane e proiecfiedcute, eDltn proiecfi le nm : g qi n' ,m, g, a leperpendiculareicomune iir t ." . . l . 'oora ?."pt.
i D l i A date. l ii :l:,:,:,,;oj;i.,,':,'.';:i. ;rl;;i;lll:,1',i";r:11,t'": i*it';;X1.,:lJ.f;u,,fl'T; ;ifTi1sr,Tt:nrx,i:i fi ['r'ry1-tllj:
ftil4i'\t;il ;i,;l;,,
i,l,ii;rjlir;,fijtd]dtir),ii'u,ft"li,?iri:l,rli;il,lfl:,',r*,'rt'3l ;#l*;ii,t:l*iii:ii,?;ilili, ,.,il,,,l i,1,:,i,F,;iliiil ,gj,xl;ilii$,,i];i,r,it,t"lil<o..co' ) .cuprinsclr i i r r i r i ; i , ; ; , , , i ' , , , r i )c. r , r , ,
i l_S, iu lu1at p. intre' reapta zrut ; r tai l , larrul
vertrcat e proiecfie f ig . 7.9) . pr ir i a, se r luceo dreaptd 'bi, caresi faci icu dreaptaaa, l tn-glr iul (+ -oc), corrrplcrrrcrr tr r lr r rglr ir r l r r ila tz
dintre.dreaptacziutatzi; i p larrrr lor iz<y.tIalc
(nnr,n' in ') reprezi l l tA roiecfi le perpendicula-rer cornltne usl intre cele doui a-refteD qi Adate.
PROBLEMA O. Sn se . determine proiecfiiledreptei
,iD Jd.rd') care-trece
prinlr-irn punct
t (u, 1'l gi face unghiul a cu planul orizontal$r unghiut
f .u.planul vertical de proiecfie.5e conslderd.problem.aezolvatd (fig: 7.g).'Oro.tatie.de nivel in .ju.rul punctul'uiA (a',a, )
aducedreapta-ab, a'b,y in'pozi{ia de frontali(ab1,.a'bj) ,qii in adevdra_ti 'ml i ime nghiulacuprins ntre drcaptdqi planul orizontaiiAna.log,_o otaf e dc front n jurul dreptei rlecapat
l5a ,qr,'.".unctul A. a, a') aduce dreapta
(ab,,-a'b') ,n poz,i.l ia_tJerizontald (abn,aib,;
qi da in adevdratl mir ime.ungh.iut 'p upr iniintre dreaptd qi planul orizonial. Se obierveci proiecfiile abs : a'bl, deoareceeprezintd
fl1.:,r,:1q. or.izontall,espectiv-pefiontatri)rungtmea aceluia$i segment AB. pentru arezotva problema datd se procedeazd stfel:yrtn a se duce o dreaptd abo, caie sd faci cu
pro iccf ie . econsir lerde rccstt,rJrr .ptccc l t ,as ilungimi.arbitrare ab, .- -o,6,. pn,l f . f r - - ' , f
^r ir in a . la l in ia de pimint in t i lnes le iu in , j , ,ordine cobor itz i in 'bi in b, . Se fonstruieste
: : tT, lde azi.abl.cu entrul i i ra l i sc lucpr in 'bn
;r b. i .para le lc la l i r r ia r le pi ir r r int. hst fc l ,paralela rm dusapr in bs a ox' int i l r r r ,stccrculln .puncte le gi c , d in care, id ic i r rd ' l in ia legr91n., e.obfn f ' l i . ' pe paralcla lr rs i i r i r rb ito t la ox. Punctele (b, b') .sauC 1c,c ') aparf ir rdrepte i .D (d, d ' ) , iare
,' trccc
pr ' i r rpurrctul
A (a, a') Ei satis iace roblemadat. i .
Discuf ie : I . Daci ni gt+,
paralela brm
nu int i lneqte erculEiproblenia ste mposibi ld.
I I . Dacd a * ga+,problerrra adrnitepatru
solufi i-g. i
eobfin clrepteleab,a,b,) , (ac,a,c,)(af, a'f') qi (ae, a'e,'), dcoar"." r,rrJi"la b.,lrrta te cercul n doul puncteb s i c , ' iar par ir lc ladu.s i
.pr in f2, sinretr icrr lr r i h, f ;r ' { ;r1 , , 'a , ir i r .cercul n alte doui i puncte .r i t , . t .c l t , pir lr r rdreptes lnt doLr . i i te doul i in 'pl ;111r,cr t icalcsaude capit.
I I I ' Dac i a*F
* '
f ,p.ubl.r r ra t l rn i tc
kruasolufi i g i aceste ouddrepte int situate ntr-unptande profi l ( f ig. T.I0) : In acest az,paralelabsm(sau ea dusl prin fs) este angente a cercqt punctele gi c (respectiv Si e) e confundi.
Problemapropusi poate fi rezol"ti qi astfel5e cons.iderdunctul v, v,) arbitr din planulvert ical.de.proiecfe gi se duce oiecfa v 'h1sub.unghiula fa f l ; de ox ,( f ig . i i l ) . Se con-.11xieltede asemeReaegmentul,, f i r : v 'hr ,care face cu segmentul ,h, unr iuI g. pei-pend_icularaobor itddin h, pe rr , di a, iararcuf de cerc de raz| v 'a-dd h pe linia r lepimint. Linia de ordinecobor it ;r i in ' int i l -
neqte.inh arcul de cerc de razivhl. UrmeleQ, tt ' ) l i (v,
- v ') definescdrer ' ta D (d, d' )c iutat i , care face. stfel unghiua cu ptanuior iz.ontalEi unghiul p cu [lan. vcrt ical r leproiecfe.
P.ROBLEMA . Si se determine ;mete gi p'ale- nui plan care receprintr-unm/nct (a, a')gi faceunghiula cu planut orizonal i unghiul Bcu planul vert ical de proiectiePr in punctulA (a, a') se duce dreaptan'(d d') , care face
unglr iul {+-n). . , planul r izontal i un-t2 l
SIr iuli i
- pJ cu planut er{cal leproiec{ ie
(fig. 7.,12).Pianul cdutat pP' trece prinpunctulA qi esteperpendicrlare dreapti D.Problema e redudestfcl ra cea precedenti.Discufe: Vor fi afiteapiane cit'edrepteDpot fi construiten condjt i i le loblemei-date.Ca dreaptaD sI existe r'ebuiea:
+-"* l -P<-Lsau d+g)-n2 2 '- ' -g
-- - - - ' r ' '2
I . Dacia* p(| , probiemaste mposibi l l'2
IL Dacda * g,+.,
problemadmitepatru
solufii,.deoarecexisti patru drepteD, clecipatru planeP.
106
I I. Dacii a --l 0
7. l : )
i r o b c t r a ; i l t t t i t ' r ot tz i2
soluf i ; i cele dr-rua rcpte D sinI r lrepte 1eprofi l . Cele doud plane P c{r c( iresplrnd intparalele u l in ia de pi i nir r t . t t epur ;r l i i t r t ra t i ise consider i i t ta t l i t t t r i r :c l t 'p i t t t - t t o l r r l i i dcla cazul IL Sc r l t tctr l i r t u .scgnt l t t l t t l br ,
f ic ind unghiul Pfcorrrnlcr ,, t ' t t tar
crr;
-p) . ,
dreapta aa' , iar r l in a ' sc < lucr 'scgt t t t : t t tu la 'br : abs, fz ic indunglr iLra"cu t lreaptr t a ' .Rezultdb1, apoi b qi b' . DreaptaD cstt: lcter-minaiSde proiccfi i lc atr .a 'b ' ) . Pr in punctLr lA(a, a ') seduceo or izot t tala v j i tc , rL t lu i lan Pperpendicular c t ireaptaD ;i . \c irs( ' l tcurntavert icald (k, k ') :r acrstci ;r ' iz ,onltr 1rcuttt lctrece urma ver t ica l i iP ' . Rezul t i i P, , f i urnra
or izontal ia planultr i i lut;r tP. Sc porr tc t 'zolv;, tqi alt fel aceast: i prol) lcrrra. )r ' i r r l .r toccdculut i l izat n a douapartca problt ' r r r r . ' ir r t 'ccr lc t t t t : ,se constr tt ieqt olr t ' i rplr r (d, r l ' ; , t ' r r r r ' : tct 'ct tplancledc proiccfc Ltr tgl i i trl t ' t 'o t t ty r l t ' t t tc t t t r t t t :
in punct arbitrar M (m, m') pe dreaptaD qi: ir ajutorul rontalei1mk, n' ,k ' ;perpendicular ic aceastl i reaptir e duceplanul pp' perpen-icular pe dreair taD (d,
d') . Acesta steunul, in planelc c iutate.
PROBLEMA . Si se nscrie ntre urmelep gi p,ale.unui lan, un segmentab,a'b') de ungiineJatI,.caresd-facd u planul orizontaldeproiecfieunghiul a dat. Se-alege un punct arbit iar
\ l (m, nr ') in planul P gi cu ajutorul frontaleimk,.m'k ') se determini o dreaptd hv, h,v ')-:nfinut5 in planul P Ei care ac6unghiul a cu- ianul or izontal de proiecl ie ( f ig.1 .t+1. Se
=iectueazl rabaterea acest6i r'eo-temoreuni,- r planulP pe planul or izontaldb proidcfieEi.: construieqten rabatere aralela b6 a hv6-e lungime dati . Reveninddin rabatere. e: : i ine s€gmentu lab a'b') c iu tat .
PROBLEMA9. Se consideri planul dat prinurmegidreaptaD (d, d') confinuti in acest lan.5"a e determine rmele R i i R' ale planului:;re trece prin dreaptaD gi face cu planul p;:lghiul
diedru cunoscuta. Urma orizontali a: enulu i Q dus in punctul A (a, a,) de pe-'apta D perpenr l icular e dreapta D, pr in
,- :a or izontal ik a frontaleiF (f, f ) (confinutd: r lanul Q) int i lneste n m urma orizontal l a
- a::ului.P f ig .7.15).Dreapta m este roiecfia- :._:cntala drepteide intersecfie intre pla--=.:
.P.Ei-Q. Se-rabate lanul Q .ute coni ine: --.ctul A pe pla.nulorizontal de proiecf6 gir ' i :5ltne Eem, abaterea reptei de intersecfie
Fig. 7. l5
dintre planeleP q i e. Se r lucedre,aptz l6n1care lace CU t6fftunglr iul r l cr lrLr rnr i is,:r r l ., .Urnraor izonta ldR a plalrulr r i i i r r tat s tcobI i_nut l pr in unireapunitelorh Ei n. I lczu l ta R*,care uni t cu v'c letcrnr inr i r rnna vcr t ica i l icdutat i R' . Problemamai r .ornlror t irr r t . ;rosolu{ ie ,
care se ob{ inc ducirr t ls ir r ir r rglr ir r lcea dc-a dotta drcaptac(}rt.r r r t ,r r l ;rr r ir , , l r r r rpunctul ao.
PROBLEMA 0.Seconsidcr i i l rcaptahv, h,v ,)s i tuatd ntr-un plan de proti l . Si i ' r ;c luci ipr ir iaceasti dreaptl un plan ale clrui unne sAformeze
.in spafiu, intre ele, un unghi a dat.19 go1;id9rd problema rezolvata 1i ig. Z.t6;.
f ie nnj p lanul cc trccepr in t i r .ca l ' t , ,i " prnti l
Fu, l t 'y ' )
gi cupr inde htre rrrne rrrrglr i i r l .se rabate planul P pe planul dc prof i l e,lar apolse rabatcplanul e pe pianrr l r izontal
12"Se consider i rnrra,si n urrctr;, ,, ,,ill";;ll-,i,,,:i,l',,'
,llli,.l,.l..,l,'j*:fj"';i:fi1'::;liii,,i.
;:ll;t,:;,jjlili:
tt
i,.,.,'.;',fi.J:TJi,'Ji,j'i;l;llt,I";,;1,1,l ;,';;' ' ','i',,,",,,n,.inl4o Sd se detcrmino rr ar icr , ; i r ; r t ; ir r ; i r i r r rcl is larr lc lcg,
:*' ;iH:T:,:1ff:jl"'trc
'rrrtcttr A o'u)r i "r '
ID- Sa se construiasciproicc l i i lc r r r r r r i r i r rnglr i snscel
lll,fflni:ru,:.fr:ijdfii**t:iliilii,f*'fri*=allili,ir:'r1r,;'1,,,' i;,;;;,r,.:;r*#trl*:'?,i,i,**-.#f,.,L:;i*fi[i*,*n*:ffilili'ii,,i{,iil*'i:lll:,t,i'ffii#;-1.-,##:-i,"f,l;ftulffiti:*Iiilii$"i''li,,;,;:" } ' j : i l t , . i l , ,u,|," ':oaibd
ccea$irneii- ' l .. ia'.::-: ,,tt lon3'l i , . l , i iL,ir;:,,rr,, ' ir ir; ' i , , 'r i . i ,,r; .,, i , , ,.r,r,,
28" Si isc dele 'rminema vcrt ical i p, a unuiplan naralelctt i r r ia lc pi i rn ir r t ur)sc in( lr r r r rar izontal i r a r , iarr r r lu i;i r l is tar l l ; r r rpr i r rsa
'r t rc l i r r ia t le n, {nr ints i n iarr .29" si sc dctcrrninc rrma ver l icai t p' a ' urrui plarrcunoscirr.drnla sa ornontali iprgi distanta b cLrpiitrsl
int re plan gi un purrcdat A (a, 'a, )30" Si se determine rr , rele gi P, aie planul i i idus pr indreapta f rontald F (f ' :) la distan{ i iunoscutdg ia{ ir le un prrr rctA (a, a') tqt .3 i" . Sa sc dclc, rminc rorc l i i lc urreidrepteG (g, g, ) caresa. t rcarapr l l t f -u l l prrncA (a, a') , cunoscind istanlelesale ele,mai curte a dorddrepte'D i A date,dreapt i Dfi ind ar
10"Si sc demuns{rcz,c: ' i ,d; r r . i i .r l r l r r r r : ir lrrr, r si l ) 'i t lc t t t t t t i p lan [ i r<: icc l i rc . r r i r r i ; r l , '1r : r r r r i r r lr r r i r r r , l r ide^, i5"0l iut tc i turghir r l r r r r r t , lo lrr .J , , r '1 i r rs l t ' i l r ' ( io .I l " SI sc deternt i r re roicc l i i lo r l rc l r lc i l ) (d, t l ' ) , i . ; r r t ,l - rect , l r in urrctulA (a, a ') , i r r l i l r r< '1t t 'ol r t ' ; r1r1: r- \ (8, 8 ')
datd; i face unghiLrr i le gale1^rr ele t loLi i i l r lanc tl cprolec e.
12"Sr iseducdpr in r l reaptaD (d, t l ' t ' , , r 1,1, , r , , ; i . t i t . lr r , ti r rmaP a planului sa faci i c t r drc; r1r t ; r t r r rglr iu l l l r t z .13"SI se determit re proicc i i lc or iz .orr t : r l t , i (g, g ') ,c .upr insdn planul or izontal c leproiec{ ic , arc int i l r r t 'y icdreaptadat i D (d, d') , sub rr r rurrglr i .
32" S5..se. eterrnineproecti i le unei drepte O (g, g'),parateta la o dircclie ctnoscu.t iE (e, e.), cunosclnddistanlelesale cele mai stur tc a doud Cr 'e. ; te gi Adate,
-dreaptaD. f i ind vert i ta l i i , ar A dreapt 'b e capdt .
33" Si .sr: e ermineproiecfie v: r t icale , qi 'E 'aledrepte-
lor D gi A, cunoscind roiecir i le r izontble si g 'aleacestordrepte qi proiec{i i le19,g') ale perpendiculareicomune,dusd intre cele dold-dripte.34oSe cunosc:dreapta D (d d'), proiect iaorizontalda dreptei.A, lungimea a .reipendir:ulareior comunegipttnctulA (a, a'), undeperlrendicularaomuni int i lnestedreapta D. Sd se dctermir teproiect iavert iceld g, 'adrcptei A qi proiecl i i lcperpindicularc iomune,
7.3.PROBLEMEROPU{iEwshiuri}
lo.Si se drrc i in planrr lor izoni .al e, l ro iec{ ie r in urmaorizonlali a urreidrepte dgarecare l (d, d,) b dreaptb4 (8, 8') carc si facdcu dreaptaD rn'unshi cr , at . '2" Fiint l. t lata reaptaoarecare (d, d,), sds"ecnstruiascitrrmclcP gi P 'alc plarrr r lu icareiecenr lnaccastd reantd; i . face trnghiuldiedrrrcrdat cu planu vert ical e, duspr in dreaotaD.3o Sd se'construiascdproiecl i i le unl i t r iunshi echi-lateral .ABCsituat in pr imul pkin b'sector , t i ina cavir fLr lA (a: a') estepe l in ia d'epdmint, ar l i tura Abl,?ce^-unnghi de.3o" .cu plarul orizontalde proiec{ie.
{" Sa se determinc in adevdrat i merime uhghiul acuprins intre orizontala .G-(g,g') gi planul dis prini l t . .A. pdmint gi punctLr l { "(o, -a, ) . 'r" 5a sc construiasci ocul geometrical puncteloregaldepdrta.te e planeleconcurdnte gi e i i de punctEleA (a, a') ti B-(b,b').' , ' .Sd. e ducd pr in dreaptaD (d, d') a le r i rei proiec{ i i. 'orncid n plan P avind urme,e onfundate. d e deter-' - r i r rer l reaptaD (d, d ') , ast fc l jnc i t unshiul a. De carc. l. ' rntaazirr_oiecl i i lercptc i cu urmeleplanului ,s i a ibd- valoaredat i .- Sd se determineproiec{iavert icalda, a unui punct A:r tuat i r r t r -Un plan, cunoscind roiect ia . : r rmaor izon-' ,1d,P a.plarrul i r i;i r r r rghir r l icdru cr , ' , r : rpr insnt :c plan' . p lanrr lver t ical t le r l roiec l ic .:' Se considerir.lreapta A iS, S') care intsisecteazi n: : .ctrr l.A a, a') p lar iu lP dat pr i r i rrrrnc. dsedetermine:- : iec l i i le unei diepte D (d, d') , conl inut i in planul p,
"- . : int , i lncgte reapta A in prrnctulA sutr rn unghi- , lscut cr _. 5i :S delermine proiecl i i le or izontalei G (g, g' )-. . :- rnlr tnel tesub unghiur i egaledrepteleD {d, d') 9i- l , d ') date.
14oSeconsiderd lanul P care recepr in l i r r iaclcpi in intgi punctul B (b, b') . Sd se determincproiec{ i i lc<lrcptc i
P (q, d') carc recepr in punctul dirt A (a, a' j , rs tc para-lel i cu planul P ; i - face-unghiLr l crr i l i r " . i iu i in ic i r lepimint .
l5 'Sd se determineurmele P pi P' : i le unrr i p larrc lr rc :t rece pr in punctul A (a, a') , estc perpendicLr lar eplanul Q dat pr in urme gi face unghir i l r f ie i l rua ctr rrrral t p lan R, dat de asemcnelpr i r r r r l l r rc .
I6o Se considerd unctul A (a, a') qi v lr t ic i i la D (d, d') .Si se duci pr in f r rnctul A <, dr t ' r r l i l , r 14. A'; t ' ; r r t , i ifacd cu planul vert ical dc proigc{ ieun Lingi l ic l r t a ; iast fc l nc i t ceam:r iscrrr t : i is t : r r r { i il i r r t l t ' t l rc l i l t ' l t ' l ) ; i .\sd aibi o l r "rngime.17" Sd segiseascdn adevirat i n. i r intc r inghiuldiedlr rct tpr ins ' int redoud planeP gi Q, t latc pr i r r I in i lc lor t leceamai marepant i fa{a de planul or- izorr tale proicc{ ie
18" S: i se dctermine prr , ie i l i i le t i r t 'pt t ' i D 1d, 'd ') , r ret recepr in punctulA (a, a') gi faccerr 'P. l ; r r r r r lr izurr t . r l cproiecf iegi cu l in ia de pimint r r r rglr i r r r i lcatc a. ; ; i p.19"Se considerd reaptaD (d, d') conct l ront : i' r r i r r i r r lepdmit t t : Sd se determineurrnclcP; i l r ' l r l t , t r r r r r i p l ; r r r ,ast fc l nc i t dreaptaD (d, d') s j i f i t ' l i iscr . to; r l r ' :rl rg lr i r r -lu i crcupr ins n .spal i r r
i r r t re 'r rnrc lcl) .s i " l r le 1r l ; r r i r r l r r i
caula .20oSe consider iplanul ( ,are( ' : r rc I )xP' ; l i r t l r f i r l l rnno.
Si sedLrcdn planulP pr in prrnct r r l * o drcapt i D (d, d' )caresi facdcu l in ia dc pdmirrtun Lrrrglr i at a. .2l 'Sd se determine rmeleP gi P' ale planLr luibisector
al diedrului def in i t de drerrpta D (d; d') ;i pLrrr , . : te leA (a, a') 9i B (b, b') .22."Se consideri punctul M (m, m') gi dreaptade proli l(ab, a' ') . Si st i determinb proiecii i te unci orcpre
I (d, d ') .care trecepr in punctr i l M (m, nr ') g i int i l rLel tedreaptade prol i l sub un unghi o. dar.23oSe considerddreapta d1a, a' ; ;i p lanele P ;i Qdatepr in urme.Sd se d-etermit ice r l rcapi" D rrrr r rnctAechidistant aJd dc cclc r lorr : r l ; rnt . t l ; r i t'24' SI se determit reproicc l i i ie rr r r r i r l r r '1r l r D (d, d')ca:e t rece pr in punctul A (a, a') , face rnglr i r r l lat a cuplanul or izontalde proiec{ ie i estesi tuata a o distan{ i icunoscut i fa ld de l in ia de pir r int .25" Se dau ur i rele vert icalc i t ' fi Q' ; r r lot r : i1r l : r r rciunghiul diedrt r a cupr ins int le plarrc.S:r st , t l r t t , r ' r r r r r r rt t tmele or or izorr talc 'Pi Q, st i i r r t jcr i ; rc t ' r , lcrrrrrt .sitrtoaral e.26" Sd se determine prr- r iec l i i le l rcptei D (d, d') c i r ret rece pr in punctul A (a, a') c( ,nl i inr t i r r plairul b isectorI I ' . - V, int i lnegte i l reapIa .\ (3, , \ ' ) y i i ; r tc unglr iufegalecu cele doui i p larrc r le l) r ( ) i ( 'c1iL ' .27" Pr in puncteleA (a, a') si B (b, b') : i r sr drrcaclor i lp lane perpendiculare 9i Q ast f r l i r r i c l reapta ( ) r de
i09
lntersecf ie l niba direc{ia ".rtd (d, d') gi si tnt l lneascil inla de pdnnint,28oSi se'artteci planul birectorP al primului diedrugi un plan vert, icaiQ lnct inat cu 46"'fafd de planulvert ical ac i lt re eleun ungh'de 60o.
29oSc conslderddreapta fioltald F (f, f'). Si se ducdprin urma el orizontald dioaptd D (d, d') care sd facduttghit t ldat acil frordalapi a$fel lncit .segmentul nter-ceptat de celedoud plane de proiecf iepe dreaptaD sdaibdolungineldl t 'n.30" Se considerd'planul oaralelcu linia de pimint giodreaptd de prdf i l hv, h'i ') din acestplan. Si sc duchprit t at 'east i lroayt ide prcf i l un plan Q carcs; i f irci cu
35" Si si detcrnri rrc rrrrrclc P -si l ) ' alc plart t t iLt i c:
t rcce pri rr <l reapta D (d, d'); i i rrrt 'ct t un pl i rt t < l t : prcr
unghiul dicdru a.
36'Sd se detcrminc t t rrncic P; i P' alc rtnrri plan ci '
face cu planul orizorrtal r lc proicc{ ic t rrt t r l tgl r i cle 4{
cutroscind Droicct i ; r vrrr l icrr l i i l' ;t t t t t t : i f rort tale Fproier{ ia vcrt ical i i a ' i r t t t t t t i l r t rt tct A it r ' ; i r t t i t l t l l l i i r t i
este dubl i " r Ial i i t lc t lcpi i l t i rrt ' ; r i tol rt i r lc i t l r t l r : .
37" Si se cletcrrni t te t t rnrcl t 'P:r i l ' ' ; r lc t t t t t t i Jrl ; t t tc;
face unghirr l a ct t l i r t i r i ( l r [ )r i r l l int ;i Lrrr l lhi rr l l iedrt t
cu plantrl orizot t { ; r l t l t ' 1rr , i r ' ,1 t ' .
38" SI se detci rt t i r ic t t rt t ' t l r ' l ) .i l ) ' ; r l . t t t t t t i 1; l rtn ':
planul P urrglr iu i iedru dat u.31" Se considcrd dreptele concurente D (d, d') gi
Dl (dt , dt). S/r b: detcrrnine roiecl i i le put rctc lor 'echi-
distante fald de drepteleD si Dr, .situatepe o dreapti
A(8, 8') care nu trece prin punctrr l de intersccliealprirnelor rloud grepte.
32o Si se deterrdne urmele F gi P' ale unui plan caretrece prin dreapta D (d, d') 9i face unghiul diednl a cuplanul orizuntal (vert ical) de proieelie.33" Sd se dete"ririne n adevdrati mdrlme unghiul cr pecare-l face r',ueel de-al doiten plan bisbctor o dreapti Dale cdrei praiectii d gi d' cinl egal nclinate faNdde liniade phmint.
34"'Sd se d,rterrnine rrnle P gi P' ale planului caretrece prin 1tunctul A 6, &'1, este perpendicular peplanul Q dat ilrin urnre gi face unghiul diedru cr cuplanul veitichl de proiecfle.
fat :e ct t pl ; t t t t t l orizot t l ; r l r l , 1r, , i ic i i , ' l l t t t . l l t i t l l r l iorl l t '
gisegi isc,rtc l:t ri r l ist l rt t f ; r I f ; r i ; r ,1, ' t t t t l t t t t r, A t i r, a') tl
39" tJrmclc orizot t l ; t l t ' ; r r l () i l ; r l l i t i l ( ' l ' r i (l i ; r , i rrt t '< l
t t t t t tuglr i dc 40 . l )rr ' ; rp1;r1) ((1, l ' ) i lc i rt tetst ' t ic : r rt 'c:
dorri plarrc f i t r 'c i t t s; r; t { i rt t t t t l l l r i t t t i r l t ' ( i , t rr ' ( ' l l l r l l lole (
zontale alc f iu ' i i l rr i : r r l i t t r ' t ' l t ' t lot l . r i l r l : t t t t : .Si i : ;c i t ratcungl t iul diedrt r cc trpt ls i t t t ro t 'c l t ' t lot t i plarlc cstc dr c
40" Si se determine in. acle l i rat i r nrhl i tne Lrn.ghirr l iedr'
cuprins intre doui i planc P ;i Q, cere trec pri r l l inia
painint qi respect iv 'prin ptri rcteie A (a, a') ;i B (b' I
41" Sd se determine t t r lna vert icalS l ' ' zt Ll l rui pl
cunoscind urma orizot t t l t lS P a planului 9i rrnghir '
diedru a cuprins in. t re ar:est pian gi plauul orizontal
proiecte.
42oSi se determineuflghiLrla cuprins in spa{iu lr
urmeleP gi P'ale Lrnt r i lan, ct tnoscind lrglr iur i lcp'
pe careaceste rme le fac rcspect iv tt l in ia rJep: i rn
pottedru steun.corp_geometricdrginitde efeplane.Acesteefe. lJnepot ii poiigianecuun aflumit umir de aturi.Laturi ie destor:ol igoane lcituiescmuchii lepoliearutui-qi:ez.ulti in intersecfa a doui fefi aldturate ie:oi iedrului . a imultemuchi i leunuipol iedru:,nt i concurententr-unpunctnumidvirf al: l l iedrului, careeste otodati punctcomunf TJry gcl puf n trei fef ale' potiedrului.r-oiledrete ot li convexesau Concave. olie_irele couvexe int acelepoliedrecarenu pot fi:ct ionate^.de lanele ropr i i lor or fete. pol ie_::erepot ll de asemeneaegulate auneregulate.j:liedre-le
regulate sau poliedrele platoniene au:=:ete ormate din pol igoane egulatecu un:::..a;i numlr de laiuril iar toa-teunshir.il":.:ire.gi poliedre int egale ntre ele. poiiearele'rgutate se inscriu intr-o sfer6 gi sint circum-
scriseuneisfere c ace.la;i entru. n spafiLrltr idimensionalxist i cini i i-n;; iai"cinci po-l iedre.regulate,i anume,-t" iru.J*i-frrr iru *r.trtunghiuri chilateralegale), exaedrulaLr
ill"l_l r': .tete a .ra1eEale),.tu"o.uro1,tIet.er iunghiur i echi laterale gale), odecaedrul
{l?f:tSpentagoane.gsale)
9i
i.osauJ.ui-qzo,r"
f l : ].Tr:e_hilr i ,chilaJeratccatc)-ce*i ,,1,tesIe. Jn rezul tat izvor i t r l i r r t . t , l t . lou: r cort , t r rcale lui Euler :
l. Dacd se diaide un poligorr (. ()t tu?.yirr r, turunumil yjt ltqr dc poligoatrc, ' t l tut t , i srurtt i l irr/t,,ltttn:lrlt,l felelt [r(tl gttttrc ,r'si I u , t i, r. t raepa;e$tccu o tttt i lalc nturtttrrrl l t t l t t r . i l , , t , , l , , tf *v: l+1.
Il .,ry
orice. oliedr-u9t)naex, trnt t t irt lrt, ntu)t(t -
rul lelelor gi cel al uirfuri lt tr c.sle,gtt lcu tt t t rnurtr lmuchiilo-rmdrit cu doi, deci n ll y-_ ni -1 ,.In felul
-acesta,nu pot exista rrai rnutt a.
cinci_pol iedre convexecare si aiba acelasinumdr Kr de latur i pentrLr efe s i ; ; ; i ; ; ;
8.1
0enumireooo/t?dru/uiegu/ot
Po/iqonu/redu/otfdtd
ilumriru/ deNololieere
r. F Vmuch/t
| Telraednu2 Cub(hexoodru)3 Octoednu :i.,4 Dodecaednu r
d'u oc a edru,/ runclt blcosdadecae&u/ runCubu/ tesit
A.
/odecoeo?u rcslt
mt@To/&@,mFig. 8.2
i iurndr Ko d. mtchi i pentru tonte unghiur i lepol iedre. Caracter ist ic i le ol iedt 'elor egulate
sint prezentaten tabloui din f igura 8.1.
8.1.2.POLIEDRELE EM[-RHGULATE. ol ie '
tlreleseni-rcgulule sau potietlrele ui Arhimede
sint poliedreconvexe,avind ca fe{e poligoane
regulate ifer i te (acelaEiip de polig 'ranei ind
bgite) qi unghiur i le pol iedr ice gale ira a f i
tegulate.Pol iedrele emi-regulateu toate mu-
chiile egale.Ele pot fi inscrisentr-o sferl dar
nu poL fi c ircumscr ise nei sfere de acelaqi
centiu Dupd Arhimede exist l 13 pol iedre
scnr i- regulate. nragini le pc' l iedrelor semi-
tegulati pot f i obfinutecu uqur inf l pornindde
la- i nragini ledeja construiteale pol iedrelor
regulate respectiveasupra clrora sc executi
operafuni legeontetr iceecesar{ lanu';nite iv i-
z iun i a le rnLrChi i lor ,e f in i rea ir lului pol iedru-
lu i , e tc .) l)upi i nurnir rul o ta l t lc fe ie ccle l3pol icdr i ' ; t ' t t t i - rcgtt lr t teot f i orr lonatc st[c l
d, 14, 26, :12, :18,2 gi 92 dc fe le.Pr , t t t ru rcci-
zarea i sit t tet izareadei or sint p.rezetttatcrt
abIou din f gur lrB.2caracter ist ic ic 'pol et lrcr lor
semi-regulate.
1.12
8.2.REPREZENTAREAOLIEDREI.OR
In general , pcnt rr t r t 'prczt ' t l1 ; t r t ' ; tr t t t t i corp
geometr ic pe <-r pt t ra t t ' t :b t t i t l ) r fst l i l . t ls l l t l l los-
duta def in i f ia geornet r ic i tn acest t t i corp. In
aceste ont l f t ;ccol st . r tt 's l l ) ' ( i ' ( 't c I t r Lt t ' t - r t '
v i r fur i lor dupi carc sc L l l lc : rcacc' : ; teput rcte
cloud ci te doui , drrpr l t lc I i r l i f ia geort tet r icaa
pol iecl ru lu i, ob{ in indt r- t ' ; rst f t ' ll r ro ict ' {i lc t t r tu-
ior muchi i lor . 'Pr i r t pro icctarci r Lt t rL l l lo l ic t l rupe un plat t , unele di l r t rc t t t t rc l t i i for l l tc i tz l t t l l'pol igol i
care i t tc l t i t l ( ' l ) r ( ) i ( ' ( - ' l i i l ct i t r t r i r r't ' lor-
ia l tJ nr t rc l r i i . Acest pol igort cst t ' I l t r r r r i l conlur
aparental pol iedrrr lLr lSc, l t rosebcst :ot t t t r rLt r i le
abarente oizontal , vert ical s i t t t la tcra l pct t t rut
uh ool iecl ru lat . Accste cot t t r t r t t r i rpart ' t t t t :pot
avea di fc l ' i te for t t l , - ' , l t r t ' s int [ t r l lc{ i l t lL 'pozi l i i r
re lat iv l d int r t r pol ict l r r r s i l r l l r t r t r l lc t r ro ict ' l ie '
Pent ru obf nerei l t t t t i l t '1 l t t ;zet t t l t t : l r t ' r l ; r faci r
imagine este t t t i l s i r se sf t t t l iezt 1rc '1. r t t r i i r l ' i t l
l ini i ' cont inue lnt tc l t i i l t ' r ' ; rzLr l t ' t l t ' pol ict l r t r l t t i ,sr l t rc lct tscl r i t ' t 'l t ' t ' i ' l t ' i t t 'opt ' t i l t' t ; r t t ' s t ' 1 t ' l l -
scaz- l i r t l i l r i i i r r t l ' t ' t ' t t l r t r 'St ' I i t r ' t " r is l l t l l t i' t l l l
s tudiu de viz ib i l i t l t t : l r ( ' ( ' l ) t l l . ' r r l t t t tc l i l t r t '
v iz ib i le saLt t t r r iz i l r i l t ' l l i r 1r ' ' r l i ri l ' t l (( ) l l \ ' \ ' i l r
r l rept cort tur apl r t ' i - ' t t1, ' l r l l r t t ' ' l t ' t l ' pr t ' i ' : ' ' l
Cea mai simpldqi mai rapidd reprezentarearesi facd maginea unui poliedrusau ansambluride pol iedrJpoate f i obfinutd pr in uti l izareametbdelorde transformare proiecliilor, decipr in schimbarea planelor de proiecl ie, pr in
i a bazei rezulla imediat considerind-eleplanuluiduse r in a, b;i c ( f ig.8.10).; i i ind dreaptd,muchiileei vor fi perpen-
I--t pe planul P. Cele doui proiecfii al e:,r nuchii vor fi perpendiculareleusedin:=-eA, B gi C respectiv eurmeleplanului.
a-x l+: *^^ I-^
,,..^ J:-+-^ ^^^^+.,
:::-eA, b 9l U fespectlV eurmeleplanululi-- a a;eza ndlfimea I pe una dintre acesteT se. onsiderd lanul vertical Q'care se
u egale, cunoscind ungimea I a acestorri, centrul (<o, or') al bazei
9idreapta
""*:--"-eazd,cu planul P dupd dreapta a cireis: pe planul orizontal estehas. Se ridicd
-::iculara n an pe has gi se obline a1n,.c rltoarcedin rabatere n punctul (a1,ai )ii:rLr,r;ineazei superioarea prismei. Cu;r- iele doui cont ururiaparente leprismei
':r*olet determinate.
+ REPREZENTAREANEI PIRAMIDEC6'ONALE.S[ se construiascl proiecfiilepiiramidehexagonalecu toate muchiile
as gi bs dau a Ei b pe I iar cs se ridicd din raba-tere n c pedreaptay.. (estul punctelor ezultdpr in simetr ie.Vir ful S (s,s ') al piramidei seob{ine aqezind ndl{imea sico ssbepe per-pendicularaof, <o' f ) r idicatd n (or,o')
-pe
planul bazeipiramidei.
8.2.5. REPREZENTAREACELOR CINCI PO -LIEDRE REGULATE.TETRAEDRUL. o S[ seconstruiasci proiecfiile unui tetraedru regulatcunoscindmuchia sa gi urmele planului in careestecuprinsi una din fefe. Fie F ;i P' urmeleplanului ;i A, B EiC virfurile bazei etraedruluiregulatde mucl i ie dati ( f ig. 8.12).Proiec{ i i leabc ;i a'b'c' ale bazei tetraedrului se deducimediat ridicind rabaterea sb6ca. iciorul ie al
inil imii tetraedrului se intoarce de asemeneaugor din rabatere n i gi i'. Pentru a aEezavir ful S pe perpendicularausadin ( i , i ' ) peplanul P, se consideraplanul vertical Q dusprin aceasti perpendiculard. cest plan Q seintersecteazdu planul P dupd dreaptaa clreirabaterepe planul orizontalestehil. Se agaziin51 imea ssq e perpendicularan i l pehi1 ;1
i , care poartl una din muchiile acestei
in rabatereagbgcadicd doui laturi
-. :jutorul punctelorM Si K sedetermindhr'=: d-0 dreptei A pe planul de nivel H'rn'- - -entrul ( . , . ' ) ( f ig. B.1l) . Se con-
n,m:. iramidei, care permit revenind di nr'-: :: se obf nd intreagaproiec{ieorizon-L ; : l :ea lda hexagonului BCDEF stfe l :
115
. . in l l l1 l -uots ' (g[ 'B:Fr t )D ralB]uozrro
_Ft . , l , r :y_ap-,1nue1dd ( ,q qtg' rhl ruhoalpqeJ as r$ a:o1i;qer
r' i l i i l Iiere fafa abncsds cubului care, se ridicd
ILL:LTabatere cu ajutorul punctului s in (abcd,
,rrur'h'd'). Pentru"a g5si un punct Ar (at' .1i)irLrrr.;ei AlBlCtDl, sec6nsiderdrontala (af, a' i ')rrl :e duce pefpendiculara p, p') pe
-planul
u,te'ABCD. Se roteqte aceastdperpendiculararu ::nctul N (n, n') in (an1,a'ni)
-9ise a;azd
ilmr-:roiectia erticald a acestei drepte seg-
lnrm:ula'a,2egalcu muchiacubului. Revenind
lu,noia ie reiultd ai apoi a1. P-rinparalelism*t -=:ermindestulmuchii lorcubului '
P 5e se construiascfl proiecfiile unui cublilMrriirscindungimea I a muchiei qi gtiind cd
me din diagonaleeste verticall Ei pleac[ dinpurmrtul (a, a') situat in planul orizontal de
111mrr'rliliecfie.iea's' : I lungimeamuchieicubuluiLLiriiilln'rre considerd a;ezat ctl patru dln
nnuriui'i paralelecu planul vertical de proie,c{ie
'flf lrq. z;. Se determind diagonala ?'n'a
rilr:mr-,rionstruind mai inti i tr iunghiul drept-Lrumm-.isoscel 's 'm' si apoi tr iunghiul drept-ll l luru:,";'m'n'unde m'n' : a's' : l. Se aqazdrirrumrn:AiagonalSvertical 9i rezultd punctul11ffiE. g'). Conturul aparent al. proiec{iei
' ,tm:.":5lee ob{ine construind dreptunghiul
F ig.8.18
a'c 'g 'e 'egalcu dublul ar iei r iunghiuluidrept;
ungfiic a'in'n'. Conturul aparent.al proiectieioriZontale este hexagonul regulat bcdhefcucentrul in a.
30 Pe epuradin figura 8.lB este dcutd recerea
de la r6prezentarea ublu ortogonaldbanald a
cubului-la
reprezentareaa axonometricl' zo -
metricd prin doui schimbdrisuccesive e plan
vertical^
Ei orizontal de proieclie, qlegin{unghiurilede 45o;i 35opentru respectiveleinii
de pdmint otxl gi orxr.
4o in epura din iigura 8.19 sint recapitulatein dublh proiectiebrtogonald principalele di-
mensiuni-necesare
construcfiilor proiecliilor
cubului in funclie de lungimea a a muchiei
sale.Figura8.20prezintd i fer i tele osibi l i td l i
m intorc din rabaterecu ajutorul dreptei oc<o,e sedetermind u dreaptaBb.Punctul cs se
rc din rabateredirect sauprin
simetriede punctul a. Proiecfiile verticale al e
. puncte se obJin util izind orizontaleielve.
3o in epurele din figurile 8.23 gi 8.24 sint
recapitulate n dubld proiectieortogonald rin-cipaleledimensiuninecesareonstrucfiilorpro-iecfiilor octaedrului regulat in functie celungimeaa a.muchiei ale. Figura8.25prezintddiferitele posibil itd{i de desfdgurare le unuioctaedru egulat.
8.2.8. DODECAEDRUL.1" Dodecaedrulegulatestepoliedrul,csnvexmlrginit de 12 fefe penla-goane egulateegale fig, 8.26). Pentru ob{ine-iea unei astfel de reprezentdridublu ortogonale
a dodecaedrului stenecesardecapitulareaunorproprietd{i ale pentagoanelorgi decagoaneloriegulate. Astfel- pe figura 8.27 rezultd dinasemdnareariunfhiurilor [ABD - IBFA --AAGO
cd s6:(d-sr) :d:sr sau
Fig. 8.24 Fig. 8.2S
119
OGI
:*9 q-t ?rnl"lpuI^Blu]uozlronueld d1an1rs?- -9: ]_yn8a: lnuo8elueribele' s raJlsvol 'lrd eJ elelnlrderer oloc ep erfcunylelir8n':
Jiuniittuatlrcfie,ls i P 't or i-Ernutiecf aHrata, pr inontal
[ iuni itr-unl l i ai t \ pef.3e).
Pie.'8.4O) \
de planul lateral de proi- ic"1ie,ecfiunea parepe flanul lateral de proiec{ie otal deformati
i i i r ternutS pe urma P" a planului dupdsegm'entul"A"T". Revenind n proiecfiaori-zoitald qi verticald se obline secliunea (apy,
o.'9'T) cdutatd. Determinareaacesteisecfiuni
poat6'fi efectuatd i fdrd utilizarea planuluiiateral de proieclie,observind I toatepunctele
sectiunii au acelaqi raport intre cotd Eidepdrtare.
5o S[ se construiasc[ secfiunea pland intr-oprismi patrulateri oblic[, clubazaABCD situatlin planul orizontalde proieclie,printr-un plan P
pig.;'b.eo :
\*_
Froiec{ia orizontalva secfiunii este apy8, iaredevdratamirime aogoToSosecfiunii se poate,'c1ineprintr-o rabaterea planului proiectant:r unul din planele e proiecl ie.
4o Si se construiascdsecfiunea plan[ intr-o
piramidi triunghiulari oblicd SABC, cu bazain planul orizontalde proiecfie, printr-un plan Fcare trece prin linia de p[mint gi punctult i {m, m') . Fie s"a"b"c" proiecfia ateralda:iramidei Ei P" urma laterald a planuiuitcant, care se determini unind o cu m"i:g. 8. a0). Planul secant iind proiectant afd o,r
123
J r' :' zt'81dr J, . '
Y:a/
bzl
'|u?lregoJduldu aungfrasp1n1nuuldJrpurjo;-suuJl poleu pulzrlrln ,eurrnugrd up eruJeruo4 uuld un-4u;rd ,alicagordap luluoziro1nuu1duuplruu.lldo-rlu Ruuld uaungires cie ru1suocESPS INVICAIOUd NV'Id NI :INNITCAS OrnlnNv'rdruywuoJsNVur(IOraw'.r.8
,:Tn- ?6 cu o rezultd a, a' j la intersec{ ia urrrnr , i t- 'SA. Analog pentru celelalte doudltt l ru,- - - ,r iunghiur i leabc gi agy alcdtuiescrnri,ilr,rr'-iajie Desarguesde drepte gi puncte in,riiiirlr 'ri:i:.u urma p. pentru prismi se poatealegeIir ,:.aDti auxiliard
oparalela
oarecare_ i o ' ' ) a muchi i lepr ismei.
'r l l : PROBLEMEDE SECTIUNIPLANE SPE-ffi '41[-EN POLIEDRE. o Seconsideripiramidapmm,,r:ulateriarecareSABCD situati cu baza infimrumrulrizontal de proiecfie. Sd se determineummrcle gi P' ale planului care secfioneazl;iln*i-i:e iramidd dupl un paralelogram.Planul
intersecliilor fefeior cu pianui de secliuneseobline 8 unind n cu o(qi B unind cu in cu ,r .In sfirgit,unind u cu p se obf ne y. Proiec{iilesecl iuni i lnt paralelogramelepy8 gi n'g 'y '8 ' .
2" Se considerflpiramida patrulater[ SABCDcu
baza un trapez situat[ in planul orizontal deproiecfie. Si se determineurmele P Ei P' aleplanului caresecfioneaziaceastipiramidfl dupiun paralelogram.Ca ;i in problemaprecedenti,planul P trebuie sd fie paralel cu planul 0format din dreptele de intersec{ieale feteloropuse ale piramidei luate doui cite doub(fig. 8.50). FefeleSAB ;i SCDse intersecteazd
lF ---- ie sd f ie paralelcu planul Q format delll: '* ' : -: de intersectie a fetelor opuse aleu -r , - jei patrulatere uate doui c i te douiI r : J9). Dreapta de interseclie a fefelor$#*S' i SCD este (sh,s'h'), iar dreapta de;:Tt.:n.I ie felelorSAD gi SBCeste sk,s 'k ') .,ttlt i i .r*:r=oui drepteconcurenten virful S (s, s' )iuru ::nidei determini planul QQ' , unde Qitti lf lfrur::cu k, iar Q'trece prin urma (v, v') anfl"r;r:.,r .aleiirfului S. Se alege un plan PP'iif inir,]:ir :: cuplanul QQ' gi sesec ioneazairamidar ir i : i t p lan. Pr in planul de capit RR' dusiirrllllr:i :i,ichia SA se obfine punctul (a, a'), inrruur*uchia SA intersecteazi planul P (h1v1:r" -:rte SA n a). Aplicind maidepartemetoda
dupd dreapta sk,s 'k ') , ale cirei proiec{ i ipotsi nu fie figurate,deoarece stenecesari
numaiurma orizontali (k, k') a acestei repte,pe undeseduceurma Q paralelS u or izontalaG (g, g') .Aceastd rizontalaG reprezinta nterseclia efe-lor SAD ;i SBC.Se consideriun plan P paralelcu planul Q gi se obline punctul (n, o'), n caremuchia SA intersecteazi planul P. Pentruaceasta e util izeazi planul vertical RR' du sprin muchiaSA. Proiec{iav'h' inti lnegte n cr'pe s'a' . Unind m cu o(, ezult i p, iar paralelelela P prin a;i
Bdau respectiv
$iy, astfel ncit
81 trebuiesd treaci prin n. Celedoudproiec{iiale . secliunii sint paralelogrameleagyS gio '9 'Y '8 ' .
o Is (,p 'p) q pldeerp il iu,,i ' i . j.r"r,,, an ,^,^r:19^*jp_:r1,"_ry,nlicn"elufp;;.i;;"'; Virr'"i-"o s ,poto.^u.rg:::f_A'rj;'p.il#;;Jdrfr?i:;yJ^t-,11?,u u)N l: (,q''.u)r{ n1n1r,fJ'ii -lYld
;;1""#t"i,".,*.Jil#:o,f,1tt:,,J pulun autiqo as d slBluoz.tto', i l t rn
rh,D1 h r purunurfqos Fl'luozrown *"i
,lt,;t.,"0"J,.yi,:j''i l J:?,,fl?,,*rtl,Jrl,"*jreursrrcr
atrrqrnu c1a1e:edeldunpui,,:a1apild';;; i-;; l plni, ; j i ; l ; , .1np,rn'oas3,c ;ir:'*,,"r?i:,i:,ir'"i1il3"JTy,i;gT;*i*i
r*:i*5jgt:$-fl1'i1# {:'"j,ii.l:iH":;:Llyytd rp nun-rlul iel-o cefonl,iejirusuo3lylg^,ni1-1d_.l prerliqreariizodo'pdnrolirp.ll^".q
rypseleleru xo ni'ia1e:edlgdec
ap 'leorFan) ratda:p a1e.e1ue1c'arbrdliueldl"^r..y:?l Flreaqa:e111xneiiulli6 :1nlf.,1oo
l:,irJo,.,:8,
:li i il'^'_rrgluep a lcuio
.p
1 po o,t,31u"9+r,'{_i:*q"'"_p_iq}[a;i,:';;l':]fJ""#l;l;hi&13+*##m:+#t"t* . yr1ieq*.*s+*:*yij"se-s.:,,__Et:++tj|l9_sAp*r
e 1xn e ue'id
*l*3i#1ft.qf.i:iH*F#H,ftfiF"?",;**nuolnodNn s
YrdYluo lulNrovllcrsusiNil.e
ag'g 8lc
:_ . l l l ' _._-
8.5.1.DESFA$URITA pRrsMEr. s[ se desfd-Foareo prism[ triunghiulard ABCATBTC,ituat[
cubaza n planulorizontalde proieCfie. rintr-osctrimbare e plan vertical de proiecliese aducepr isma n pozif ie rontalS,afa cum init ial seconsider ldatzi n f igura8.55.Muchii lepr ismeif i ind frontale, e proiecteaz| e planul vert icalde proiec{ie n adevlrata mliinie. Se constru-ie ; tesecfuneanormald o y , a'g 'y ') in pr ismapr in_planul de capat PP', perpendicular emuchii le r ismei.Adevlratamir ime a sec{ iuni i
sa se trpdsausdsesuprapunS.or fiin special desfiquratele risrnelorpiramidelor.
terea secfiuni ipe planulor izontal e proiecfie.Segmentele opo,Foyo$i yoaodau totodatd inadevdratdmarime15{ imile efelor ateralealepr ismei.Sd se desfaqoare r isma pe planulirontal duspr in muchiaCC1. ransfofmata rindesflqurare sectiunii normale n prismd con-form unei teoreme unoscute steseqmentul edreaptd TrPrdryr ,unde yrgr: yoFo, grcrr
:..90"p 9i o(ryr o(oTo.Pe perpendiculareleildlcate in yr, dr gi 9r pe acest segment se
a;azade o parte gi de cealaltdpor{ iuni ledinmuchii cuprinse ntre sec{iune;i- baz.e. stfel,
Fis.i8 t---1.
-lit t - /
l r ismei,urind htd drep-eceaueaptaDne sintdreapta$.52 -a
r afind.
DAPTAriecfile(d, d')
lo
F
ri, ,piramidd riunghiular[ oblicl SABC,situatl
:.",ubaza n planul orizontal de proiecfie. Sell :.= un punct oarecare E (", ef), pe dreaptam ,i l d ') ; i seducedreaptaA (8, 8') pr in acestrrr .- ,- tgi pr in vir ful S (s,s ') al piramideit ; 3.53).Planul P determinat e aceste ouirLr:r€ cor-lcurente gi A sec{ioneazi iramidarr :r tr iunghiul s I 2, s ' l ' 2 ' ' ) ,ale i iui latur i$ n .i S 2 intersecteaz| ,reaptaD in punctele14 . .n,m') ; i N 1n,n') .
i 1 J. METODA PLANELOR PROIECTANTE.$" sedetermineproiecfiilepunctelorde intersec-'r* dintre o dreapti gi o plramidi patrulaterlr,mlicd, u baza situat[ intr-un plan oarecare.
f - D (d, d') dreapta 9i SABCts f ig . 8.5a).- - - -ul de capdt P' dus pr in dreaptaD sec{ io-r tr : : : i r pirarnida dupd patrulaterul ("9y8,. i : '1 '3 ')ale cirui latur i intersecteazdreaotal i d, d') in puncteleM (*, m') $i N (n, n') .
s -q DESFA$T.iRATEf; POLTEDFE
4. esfdgura n poliedru nseamnd aduce oate,r ::c le ol iedrului I f ie continutentr-unacelagi:
' :r , f i r i ca aceste efe sau por l iuni io fefe
la lFlulza:dar rer aJl:nrq8unrr l l rspF1a;;sur ldunl nr rsernr lsuor g .(19.9 Frg)el[e1o.rI luexeap 'epolauluJp pun pufz1111nrnlnrpqel alu rrq3nr[ eseSo1atapurrFunlarrlrJgrrrryAapB J IJIUJ BrueururJalap oAes BlsBeJEIad 'f,gvs eJef,eJeonJpauJlel lnun u1u;nsap tllnJe pJsurnJlsrxrxl,s RS
:etraedrului.Se ob{ine S'CnBsAsCe,esflgurata;,-:prafeleiaterale a tetraedrului pe planul de::onf F, la care se atlaugd fala niAoCo.Tn*:urele din f igur i le 8.58 gi 8.59 am electuat::nstrucfii le plntru desfdgurata nui trunchi:-' piramiddpatrulaterl rezultatdin seclionarea:-ramidei SABCEcu un plan oarecare at prin
- :meleP gi P'.
a.5.3.APLICATII. 10 Se considerfio prisml
natrulater[ oblici ABCDAIB'C1D1,situatd cuhua in planul orizontal de proiecfie. S[ se
'determinee supralafa acesteiprisme, traseul
iel mai scurt care, tlind de doui ori fiecaremruchientermediar[a suprafefeiaterale,une$terirful A albazei inferioarecu virful Alalbazeimperioare.Se efectueazd schimbarede plan
vertical de proiecfie, prinprisma oarecaren prismlprin proiecfia orizontali(fig. 8.60). Se determindaogoyoloa unei sectiuni
care se transformdfrontald,, uind o1x1
a muchiei AA radevirata mdrime
normale n pr isma
nm desli-l. Pentruadevdratirle etrae-
exemplu,lungimilentd felele
e8r
'ag,gUd nap o:rlulperfrasralur 1 .aprure_ud-q.nop oIJJ lrJnJlna1$aunrer etdea;p l:dIS r lJJnu urJdJnp.eseJBrJrxneJaueldaprur-Brr0Bnop-er lurp
i$"il"J,,,"Jjj"1ll, j":;::l't'_nyl:*:::1" ds u+seareJlu,adcordrcat16eusr.rdiltllc ]1sau111uiru^s;:dlaunB.e qonir :erer;?JuI ele lJund al rsg8alnqaJt . ( r ,q ip .Frr)arrun-J-u.r
ld+Junoalrspd arnqeJJ .(gg.g .Frg)aluprlqoareInrqFunr.rlursr:d nop"6ilWi"S gV1 'a;ira.;o.rd p tetuozqo
inu'e1o"'irj;lji"r"
t^.1::: ezeq rorPr ele ,ir11qo e,urirro
,j'Jiil^"jt::{tt"r prsu;n.rlsuors psYNOO IUINICVIiCASUAINI I '96
nnzararfcasralur,p. o1a1cundffitTlefey i rrqrnrurlurp'ariras
ur ap Jolalrund e i,tr lra;a n"rnu,'ri'e1ap
ri a1r1nr'rrrxn*o1eue1d51lH,',1rj:J#"L:arunue $ adela nr led elroduoJ erpa
;1*t^: Il:::j:ly ?' 1 :auab iJ*'iiun r,r
Batrred a.:1So1p uo8ryodllelpler r-er
ia-ter1ur
op uoFllod Inun €llurnu .arirali i lul ap aqru;r1snBS eueld aueoFrlodpnop e efuelirxe' urjOpJVZIJapEre^Jlsa erepun4pduaFep eliras;a1u1'aradn.ruaF ap alsa pr aunds ei eiirosralurop qurlrtrsnes ueld uoFrlod ;n8urs iin_;1uir<ieleztJelleJvcalsa erfcas;a1uruceq .eJfres.leluJap uoFr;odlrunu
,qtiJrls nesueld-uoFijod nirrisJJlsBUBp_rrutllJdol lun arfces:a1urp apundalsarv'rordrca: i nrpar lod1[BIrnlar
'e1i1a;csau
- lJ luJnrper lod nun alrrqcnu e.rec 1'aiaicundBUrrxJatrepEurrrBasur:parlodEnopBlJesJalurV
sUCHt]odc trlf,Jsu3rNt 9'8
'lillEl rrrtTlur)ulur,b,u,ru,?rurruburuu)rn1-n€sBJll l iraloJdriqoes raprrue-rrdalrrqcnurad glerniggsapd ap alcund
alsabeiiufiroO
:1un.+'tNS W'b ,N_ylinzar,taiel pulpj jord
_a1]BdaqBW.g,S ad e-relncrpriadiiOju urppyJ_.npp1e:nsplsapd ry aririqo S.(a9.'BFIr)Ie,S ueurrFu4lnp raptrue.rr'd1e'-i1e.ra1u1
:lt t lr_lyBr .put^rrsqoleplurBrtde p1e.ra1ei
plBJeJdns^r lnJJSUoJ
Jo pnop ap gteo$ggsapg
^Tj^plpaurreluJprolul lqrnur-arrirail.ronopap
elseulrlu s V Inlrundulp prealde;ur eruluJu.rolutq lelugaluiragord ururjjlap'osg .a1iri1o;cep l?luozlJonue1d , ezeqn) plunlls ,'JBVSRlel,nFe.rrelngq8unlrlpruiurd|rapiiuor
r , .-pr isnre.Planeleauxi l iarePr, P, ; i P, ce-- i i ut i l izate vor f i paralele
cupianui e
* =i determinat.Planele imi t i s int-P1;ipr .
: ,. 1l P1 dus prin muchia A seclioneai|'prii-r, l lNQ. dupa drepteleparalelecu muchii le
' , :- . :ei pr isme,careau urmeleor izontale n 1
2. Aceste drepte intilnesc nuchia A inr --:tele de intersecJie ar, ai) gi (az, ai).: ' ::; iunea aLazt ia; din muchiaA estecuprin-; . : inter iorulpr ismeiMNQ. In modanalog e1.,=:;ninduncielenr,n{)li i;r, illl i" &i"- - : : ia N intersecteazar ismaABC. n sf irgit ,r - - : , ia M intersecteazd e asemenea r isma4 sC n punctele (rn5,nri) gi (m6,mi). Mu-
- : : i i le C ; i Q nu iau parte la intersec{ ie,
- i i r i afaraplanelor inr i t i P, gi pr.iillservare. lanul P, dus prin muchia N mai'- . ' . ' .oneazArisna Ml\Q dupd o dreapti careir=: rrlra orizontall a intersec ie intre urmap,
,;tura mq. S-anotat acest unctcu o l in iu{d." .;r€fi€o puncte trebuie luate intotdeauna n:: - . ,derarcmai alescind se urmiresteunirea- --- telor rezultatedin intersecfie.
-r';..u punctelor. Pentru unirea puncterorse1,' . , : t i l iza
ifer i temetode, areprei int l f iecare,,r : z caz a caz,avantajele; i dezavantajeleor.l letodamobilului.SepresupuneI un nrobi l
r r:',irge poligonul stririrb de intersec{iedi n,r .,u Ei _cdel este proiectat intotrtreauna e": .e .celor doul pol iedre, pr in proiectante. ' , c le cu nruclr i i lepr ismelorsair care trc t '
' -- . r ' i r fur i le piramidelor. n acestcaz, cele
' - : proiecti i a le mobilului trebuie sa f e- :te_pe urma aceluiagiplan auxi l iar . De
r lr r ,plu, se presupune d mobi lu l estesituat;-r.nctulas. El se proiecteazd espectivpe
: -= in a gi in 2, ambele ro iect i i i ind peurma:i r -:-ilui. r. Dacd mobilul parcurge atura arn,:,i .pa{iu, proiecfile sale parcurg pe baze
"rt,,,; ectiv segmentelea-3 gi 2-n. Deci se:: , i . . pune problema nvers ; i se spuneaga:: i l : : proiecti i le mobilului pe baze sint a-Br i : :spectiv 2-n atunci mobilul in spatiu,irtrr:lrge atura azns a poligonului de inter-
tttr{:-e. ai departe ralionamentul se desfd-riir,,r--.nalog,avind gri i ca sdschimbesensurilelrq licurgerea bazelor ind se ntilnescplanele
l- : i . Pornirea raJionamentului e f ice clelrnri---de, din doud puncte care se corespuncl,l i i i ::8.:du-secelasisensde parcurgere e celel i ,r - ,baze.Pe epirr i ( f ig. 8. fu) , ir ] ionrhentut
pentru unirea punctelorpoate i urmdrit pr inobservareanicilor siige{icare ndica sensuldeparcllrgere.Astfel pe baza abc se urmirescpunctele:a, 4, b , 4, a, 3, 5, 3, a iar pe bazamnq se urrndrescpunctele c^aree corespund:l , - , f f i , n,2n n, f f i , - , 1. In general e obiq-nuiegte sd se includi in tabloul urmitor( f ig. 8.64),at i t studiulpentruunireapunctelorpr in metodamobiluluic i t .s i tudiuldevizibi l i -tate a latur i lor pol igonului de intersec{ ie.IntersecJia steo rupere.Pol igonulstr imb deintersecfie ste ontinuu. n proiec{ ia ert icaldsint viz ibi le latur i le ar-m[; ni-ai-ni gim'r-ai, iar in proieclia orizontali mu-nr-az.
II. Metodadiagramelordesliqunatelor onven-
fionale ale celor dou[ poliedrepermite de ase-urenea rapidi unire a punctelor i un studiuinteresant l v iz ibi i i t i r { i i pol igorrului e inter-secfie ( f ig. 8.65 qi 8.66).Pe acestediagramese constnrie;ie e fapt - schematic intersec-
f ia cclordoui poi iedre, unindu-sen evidenfdpunctelen caremuchii le nui pol iedru nti lnescceldlalt pol iedru gi reciprocsau punctele ncare se intilnesc muchiile celor doua ooliedre(deexemplu,M Ei B). Pentruunireapunctelor
'?]de€rpBlsBaf,B_i;d ca;1 elBzr lr ln arBIIrxneEaueld a1eo1 (Op.g Frg) (,rt ;rt)' ulvluozrrotrruJ.n JE rauslrd ellrqJnur e1 rapriue.trd
1e
Ll '.) S 1n1rglur:d psnp elaJe:ri4'.i1ira1orOp
Fluozlro.lnuuld u elun1lselezeqpugnue.rpar;ollrlaqtuu 'JgVS prllqo R-luyn;qFun;11prruu.ld
: , s NW Rrllqo preln;qFun;r1 rus;.ld arlurpf,llrssJaluJ rsprnrlsuor es ps .votwvuld
onS wsrda aurNto lbasuJi'ivl6.e.8
'g lplacJeJ l lcalordurarfcasralur p rnynuo8r lod'e'FIIqlz l^ pjn1e1nep uellnurs.elrqrzr l o1a{a; r}cas:e1uleunuBf,erueas ulf as ri (lrqrzrlirr-r r$ pqrilrr-ir ncpue;Ferp.adprlpul asaiec)ajp'erloci'pnopolarrolalrJ l l lFl l l tqtz ^ lntpl ls l l lu l r31uarpJ asar lrasrelur p rnlnuoFllodolr ;n1elI l lp l l l lq lz l^Il lpnls nrluad 'f,V S Vg elel unop pure.derpeo elEqpJls naseJl lsaJB aceJBoap qur nJ su
'Fpl ld ap run 1odas nN 'arpar lod'pnopJolacEFl,eg ellJ reunu plBqpJlses,,elpod rue:Ferp
:9, Elnt"lap IaJlsB^ rrac .NW
Is 3y :o1afa;BrlJasJelul tp e;a1Seu r ,euetrrec ,etfcasralugap rnlnuoFr lod pJnleI o pc Brueas'eulfai
,,, inrtm'-:rele orizontale ale acestor plane sintffi,,rtim"''=:genten proiecfa k. Pentru unireariluum::=iore poate utiliza metodadiagramelorttLiltt l lT,r,l::rateloronvenfionale ale celor doud
llrrrrrririir*.:if ig. 8.70 ;i 8.71). Intersecii a este oLIE:.
' I i I : INTERSECTIADINTRE DOUA PIRA-ffi$mE. i se construiascdntersecfiadintre douiffum,nrmideriunghiulare oblice, ale clror bazeltilm(situate ambele in planul orizontal depmnrnrec{ie.ie SABCgi VMNL celedoudpiramidel inru::- iulare bl ice daie (f ig. 8.72). Dreapta
piramide are urma orizontald (k, k'). Planeleauxi l iarecarepot f i ut i l izate rec pr in aceastddreaptS, ar ufmele lor orizontalesint conver-gente n punctul k. Diagramelepentru unireapunctelor i studiul v iz ibi l i tdt i i latur i lor pol i-g.olulq.i e ntersec{ie int urmitoar^elefig. 8.73Ei 8.74): Intersec{ie steo rupere. n efu}a di nfjeura8.75se eprezintd int6rsecfie _ pdtrun-dere intre cele doud piramide.
8.6.4. APLICATII. lo In epuradin figura 8.76s-a construit intersecfiadintre o prism[patrula-terfl verticald MNPR; situatd cu baza n planuloriz_ontal e proiecfie, gi o prismi triunghiulariABC, ale cirei muchii sint fronto-orizontaleEia cdrei bazi esteconfinuti de un plan de profii.
r,',-*\.- J\
( r ig.a.zsIu**".rSV (sv, s'v') care uneEtevirfurile celor doul
i" Si se construiascd. ntersecfia dintre unkttraedru arecareSABCgi un octaedruEMNPRF:n- 'e re unul din planele diagonaleorizontal.:. determini.punctele n care iecaremuchiea- ,.r i pol iedru, nti lnegte cel i la l t pol iediu'9i ,- ' . . ' - -^^ / l : - o oor-,- i l r -r r. 'r
- :proc (f ig.-8.82).Planul vert ical cu urrnazontald fm secfiffidzh telr'affirul diipd"iril'"'l':zbna fm,i "it ffieazeeli:tffi"i a pe-"fffl
: : ih iu l ( l 2 3, l ' 2 ' 3 ') . Dreapta ' B'- nt i l -r . :Ehiu l l2 3, l ' 2 ' 3 ') . Dreapta ' B ' ' in - : rrrur \r-
u, | 4 o
- - r te f p ' in * ' , iar ' 2 ', iar '2 ' int i lne; teot p' in p' .
ntersec-tBC 9i.Iiecareqelzi.laltse potr t icale)p1anu1
rcneazat23,muchie
rr , Pi) .i sint:ia este
- anul vertical cu urma orizontald,sc seg:
', -neazd, ctaedrul dupd patrulaterul (4 S 6 T,{ 5' .6 ' 7 ' ) . Dreapta ' S ' ' in t i lneEte ,c , n 7, ,, :5 ' 7 ' in t i lnestbot s 'c ' in D '.p ianulver t ica ' l
:"i urma orizontald sb secfioneazd ctaedruir-pa patrulaterul (8 I I0 11, 8 ' g ' l0 ' l l ' ) .
DreaptaB' 10 ' in t i lnegte 'b ' in e ' , iar g' l l ,int i lnegte ot s 'b ' in e' . Planul vert ical cuurmaor izontala n secfioneazietraedrul upi
'Y- ,Yl ," , . IT ,F ,,8 rr ,q: ldt9-,b I lJ ,e,J : ,d .OI- a nl f l _ .ll tV ,tr ,drJ : ,71 ,91- ,rg nf ,g :
' rd
,g*,+l l , " , { : } . , l l_ , ' , . , ( t
" i
: ln,8-,L nJ ,a,d : p ..6 - D nr D, -
, ;
-rago.rdJ 'r ,,d,l.ol.^Ttl' ?p4uozltofl
::l:::lli;rp,;Ji.
1i'i';#ili'il f ,11,;.1:.1lorg_uJrqz^ .l lln ur .er"o ib-ai.5 ,1cas-ralul (es'gFrr) ?lpyjri 1no1qn1-iJr"r1r1nas.-1aJfc_as:a1urlnrpnls nrluod .1 u; uu ei$au-l{11_sl;gl pt 0 u1_.rdlsduyliui-g;slBl- : : . lg_ 8 , Lt,s ,sJ_18_l{ e 'e 1 1nrj+n1ru1
::i_.F9"p lnrpaerlal,p.ze-auollcii,'11'1"n,u
"pY:lq_,"uI u,I S i 1{ -r,i 'alSariigti-', 'st,zt')i'1ig"^* j;l,l^lsl'yl ,t:'"1sJuj;ii1y1
t/ sla'txtx Ip
7/, a ,
ll A
7
2N/4l ) ,1, , 7l t Al )
^l ^ l ^ ^ l^ / t 11 , l t r Al AuaJ yJs dA/J AlUf ua udJ dNJ lIHJ VA 2g SV
,7 e 'ba-iq(,ii' ini",, T,,ii' ",tii:H#fu,Tl
f ia 12'lreaptaPlanulpa pa-Dreap-I i+ti l-
fieise
Inter-oiecfiarsectieproiec-
fiersec-IBC 9iplanelesec{iei
:^".t1.^dyl-,IIdyp,l,,rn^poligon,..riin care sei : l iTq r'. ' ,sri ' . '2', ' .QieqpTa,2, nti lnegteLtrr_rs rz il I z ureapTa Imuchia 'c ' in a. ' , iar l ' ,2, i int i lnucnla c tn a. ' , ar 1"2,, int i lnestemuchiae 'c ' in p ' . PIanulvert ical u urmaor izonta l ibdrizontaldbdseclioneazioctaedrul II duul I I dupd un poligon din
Ei 1"3 ' . Dreapta '3 ' in t i l -arese ref ne I 'S' s i I ' ,8 ,arese re l lne l 'B 'q i l ' ,8 , . Dreapta ,B, in t i l_ne;te muchia 'b' in y ' , iar 1,,8, ' int i lnesie otar 1"3' int i lneEte otf,b" n S;.--prunrru.lti"rr' ;r;;';i;h;iimp sec{ ioneazdctaedrul dupa un poligondln care se ref ne f 4, t i e,4,. Dreani { ,4,in ._ are se ref ine f 4, qi e,i e '4 ' . Dreapta '4'rrr Ldrc 5c rel t l te l zl 5l e 4. ureaDta l '4 'in t i lne; te muchiam's ' in e, . iar e,4, in t i l_negtem'r ' in g' Planulde nivel H, sec ioneazioctaedrul
{upd un pdtrat din care se refinel-5 Ei -6. Dieapta -S inti lnestemuchia cin pr,,ar l-6 inti lnegtemuchiacd in v. planulde nivel Hi. 'sectioneazd ctaedrul dupd un
gltr{, dhf carese refine 8-9 ;i Z-tD. Dreap-fi-8-9-intilnegte-inuchia mn in O,*iaF z-iointi lnegte muchia mq in o,. pentru studiulintersec{iei se util izeaz| tabloul urmltor
,/(tjq,
.QAZ). intersecfa este o rupere. Laturile
- ^
yi '^ ibi le in proicc{ ievert icald aie pol igonulu il \ s t r imb .de intersecf ie in t g,_yr ,_} , :_ 0,_
. r -y'-s' , iar in proieclie orizonlaldv-p-g-pl.
f'*'utui
i o"siseconstruiasci.inrerr..fr"l;;;:t*[
* 5dseconstruiascidecfi{intreour [1],-,t151ffi",*":1[fld*""r1t"o?l"?,i[ns:iiffdreABC.DE$i 9MN.PaR,-.pI" u ambele iriungttiui;4 qAnc, u'.a.ui'nureeste onfinutlirtm rn plan diagonll^"1t.::,ll:t..se d9 *e;.,1,r{1"a." uripiun P dat prin urme.paralelaa (0, B,)llitrr;;ls n care iecaremuchie uaul^po1 e[1f u ru[tiii" prismeidusi prin viriul S (s,s, )#_-.i.irx'ft'j.pfil?q.T:i$,rffitf'.:;lifiil,:;iisxfii#ff::,r.J,TJlirftffi,;l'[v- el cu urlna orizontard,?c\secfioneaziiig.s.se).-ui*"1"n; ii:"i; ,l t, ,) arepra-
Frqf iar*lv
cNn tnq sqf 5PN sNn .BC acof0A fA8 tBc vo UA
/A/rl t vl v v v t l( tl r t l , ,1,vlv vl v t,vl t v l i t ' lv I tv t ' l t .l (
a u 4-c
tt plJ-y
. rT r *o
d 6 o 6- pe € € e-tr
v (f? f-rt
u rt tt t- {t , , ,- 6
0 a0 -d
d6 6*x
Fig. 8.87
139
07I
06'BFr i 68'8 EtC
eursr:dJSaulIluIg IS V alrrqcnu eJBruI alel- rund '( t0 'A 'Fg) ap aueld rptlrxne
rn Inrenorut bazei piramidei. Fie SABCDpiramida;i^MNpft risma fig.S.9:j.pinctelet1,o )1.(p, ) , (y, f ' ) ; i (8, 8' ) n caremuclr i i lepiramidei ntiln6sc'b1'elerisin.i r.ruiia i,n._diat. Pentru determinarei unctetor'in
prin acestemuchiisi prin virf i i-p' i ia'midei.L.r",tJu,1.tf9lunct6te.'e_-interiecti.irr, r,l,v, v ), (zt , c ' )Si (p, .p' ) .Unireapuncteloi; i, tudiul
-vizibi l i fat i i ihfersec{iei- 'p; i facedirect. ntersecfia'steo pbtrundere. '
i:\
141
uJn ale 6{ $ I{ piuaF;a,tuoc p alalcund
D IS d'a15ue1il
RzuolJesrelutapturu;td
,p' :o1ac-a1B'I i$ S al lrnlr l^ a1tauna-rec
Iea.rq (gg1'g Ftl) O IS d rolauBldB al lJas
lul ep uldea:p (,n,q 'nq) atC atuJnulJoalup
i6'6 'a1auu1dap-rrilradsar
elnuliuoc luls ez"1
elq '{s nc alelered ulsid - r4 a1e1uoz1:o
eiiiu,rn rBI i,{ u1 eluaFra.tuoe1u1saueldI- t - a
5ln'uwet is ciivs aruln;q8un1r1plure.rlde4ulp ulirosralu; EJsuln4suores RS ol I
'Ip-g -e-l.-
rl-r eleiuozuo etfcato:d u1 :e1 l9-I" . ,S
luarufjt'alIqIzrAu;.' p1nr11ra.tfca1o-rd-u1rdnr o alsa alfeas.ra+uI(66'B lS 86'B dli)
; ; ,-=-or uxi l iarepe P gi Q. Totodai i urmele: i- :_or auxi l iare Ri pe planelep Ei e s int::t ,--:ente n punctele 8r, 8s, 8, Ei Dasituater ' ,1,: :eapta v. Planele imitd sint R1 fi Rs.lr l .r - - l Rr nu este uti l . Diagramele^entrum:L:1 intersecfiei int urmltoarele f ig. '8.101r, ' ;. 8.102). Intersec{ia este o pdt}undererr:I[::i iaie.
l2o Sd se construiasci intersectia dintre douiprisme_riunghiulare oblice Emf,t gi ABC alecdror
baze sint situate respectivpe planele pgi Q date prin urme. Proiectia oriiontali adreptei de intersecfie intre celedoud olane p
$i ,Q este_hv f ig . 8.103).Se considerd unctularbitrar. (s, sl) prin carese ducecite o pars-
le. lna direcfi i le muchii lorcelor doud pr isme.
Planul RR' astfel determinateste parllel cumuchiileambelorprismegi se intersecteazi uplanele
f ; i 0 dupadreptele lecdrorproiec{ i iorizontale int h1v1,sihrv2.planeleauxiliare l,carevor f i ut i l izate sint paralele u planul R,iar urmele1or pe planelep
;i e sinl paralelecu direcli i le hrvr, h2, vs ;i concurente npr-rnctele 1, 82, ,)ugi 8nsituate pe dreaptahv .ulagramete pentru studiul intersectiei s intur ,matoarelef ig. 8.10a 9i B.l0b). lntersecl iaesteo pitrunderedublu tangen{ iala.
+:id gzealras:alur u r611ryerqrnu.r reJ ut (SOt.g FlluuBId.o ls grusltdo orlutp erftes:a1ur rc .Isuolsualu'lrrJl nrlBds tSBIaJe n-Jlu3 asur.IdnrluIS nu aJeolyz
s0 8 'Bu
Rro,e-
I t lrury,' l 'g'), se pot determina mediat punctele u, u');ililltrtrr 5i (w, w'), irt r:are muchia Mitl, inters6ctcaiimeriL"lr: ivlanele elelol Sl\8, SBCEi SCA, Prirr aceastdlrullmsr:ie,pura Monge considerath devine completd gii imr: ine o intersec{ie e t ip pdtrundere ntre celedoudtttrr lr[p::e.stfel, unind u cu r rezult{ a1g' iar unind uutm :: ob{ine arpn. P^uncteler gi y9 se ob{in unind vven-"iv cu p, gi Qr. In cazul unei intersec{ii de tip ru-ttturml:,
afionamentul este acelagi, ;i punctele v:
ps,w = .1 devin puncte ale intersect iei f ig. 8.107). Inurlrrr.-ziee vede cum poate i redusb ntersecliadintrenur' : loud poliedre la determinareapunctelor (u, u'),lltlttq I si (w, w'), in care o muchie a unui poliedru -rrllrmi';::.abilleasi - intersecteazd planele fetelor ce-ll lLLul:poliedru. In acestecazuri, unirea punctelor re -,lrtirtirf:i:ein intersec{iese face fdri dificultate gi firb pro-ilMn*:speclale.
' :onsiderdurmele P 9i P' ale unui plarr de capitt t t tr.r:eesteagezat n cub de muchie I dat i. Sd se deter-nt tu. r*roiec{ i i le cubului .,:lll '; .e construiascdoctaedrul regulat ciruia i se cunoscutr r. : : :i dreaptape careestesituat i una din diagonale.l i l i l ' : se construiasciiproiecf i i le unui cub, cunoscindil(, ,q',1alaB gi gt i ind cd planul vert ical dus prin aceastzi, t l t ts-.ald este un platr de simetrie al cubului.*l it considerdproiec{i i le orizontale ale celor patru
Lru:::[ ale unui tetraedruABCD gi trei plane conlinitdlru,, :*: i ivcele trei virfuri A, B Si C. Sd se determineil i lrrr;1-- ', vert icald a tetraedrului, si i ind cd rnuchia CDr$ifrrrr ipendiculard pe muchia AB.
iliill se construiasci proiec{iile unui tetraedru SABC,.:rur: : iunghic in virful S, cunoscindproiec i i l e punc-r* L A, B gi C. Sd se sec{ioneze cest tetraedru prirti lrr -. 'ned'ator al punctelor A qi C. Sir se detcrminc] l i l f i :: : r a mdrirne a sec] i i lni i.
l1i r .onsiderddreapta (ab, a'b') gi punctul C (c, c'),riLriliirrl:.--icit riunghiul ABC si fie echilateral. Si se con-ttr-.LL.. lractaedrul egulat care are fe{ele ateraleegaleurL i:3i tr iunghi gi sd se sec{ioneze ctaedrul printr-unli l lr lr ir.rpendicular pe al doilea bisector,dus prin cen-.rn:-[[ ieedrului.I' i; .r construiasci proiec{iile unei prisme hexagonaler&nrfr:i de inil{ime l, cunoscind plarrul (perpendicularrttrLi .:,:ilea plan bisector), centrul gi unul din virfurilerlrilurirr A se giseasci punctele de intersec{ie dintre
lli:r,;. Prismd gi fronto-orizontala dusd prin centrul
{lll'-l: --rnosc un virf gi dreapta care poarti una dinlrll,,.tuq:r--:ielenui cub. Sd se construiascd proiectiileLriluLLir;ri-;;i sd se sec{ionezeacest cub prilti-un flanllurun,s-: iculare primul plan bisector,dus prin centrulrunlLiLr..-i. Sd se giseasci adevdrata mirime a sec{iunii.llllll '* ::nsideri un plan P perpendicular pe planul ver-:;llfi.iirL: proiec{ie si care face unghiul de 45' cu planulilmill &r:::1.n cerc situat ln acestplan este angent ceiorl if lr i lrr ir-: :re ale planului qi centrul sdu are cota l,
?rpilpdap tsBaorpSglor lseaarB e (,^ '^) A lS (,s ,s)S
llpnlr lAorBralB sariJaroldap Ieluozlro nuBIdul alBnlrsmls oN-W Is CSV azeq rotg) alp orrlqo arBlntqSunulryluPlld Bnop arlurp erlJasralutuJsErnllsuoJ s RS og l
-o. ld arer B Bleluozlro-o1uo.r1d aleza$elugs apruurrdmnop olal a1u ; rS S olunJrIA 'orlJotold ap leluozlrollxuslouI lPn]rs Jo]elnJlpdun Runruo)ezeg eJ nE arEJ;lDrruBrrdFnop aJlurp erlJasJatruJf,sBlnJlsuoJs ps .l l
'a:parlod Enop rolar .u1e:nSg;sep6a.rparlod nop lolorunr[or lnlnpryos alrrfcaro.rd9JSE nJlsuo) s.BS 'rnlnq-nJ B Blarl l la,r eleuo8erplrrap olpu Jpru Jo pnop apalsa auJrl[euJ aler B 'atre1n8a: prure:1d aun uzvq olso
rnlnqnJ e eleluozrroetlJarord alfraro:ddp lpluozrlo Inu-EId ul lenlrs Ir j^ un rSgyucrl:a aleuoFslpulp ?un arearEc .l elnf,sounJ orqJnru ap qnJ un pJoplsuoJaS o0l
.yg nr qleFaalsa lnF ^ y lp.ql l toqo; ut rur i lgul nps ncolf ru, r i y5ao rEInrrpuooJa0 BJd un-t lu l ld 3gy5 eleJnnarpptru-Brd uI auuld lrrrnt lJasali l irarord aurulelap as pS (t
d Euln rS c:or c:1urp lJpluoJ apInlrund Olsav InFIA er purr13 Jraf,
lsoru u sllrsuJcB VIEraleltqra nlnlqFunr:1alrrfrerord etsBrnJlsuoJ s FS (A'Jrol rnlsaJpeye rrioaro:d Enop aJaJecseaseB s FS (l
ud piramicrrt in plar. :rl celor do:la. czireipr: .ntersec{ie l
un octaednle orizontadli virf es;e-
pinze a, *
ra piramii :MNQ sir- l
Eror virfu:-i depiltare rolul lX
E CONTCE r CTLTNDR|CE
MEPREZENTARE.LANETANGENTE.pr in punctulA, sint tangentele t ;i ht1, duse
i MEPREZENTARE.ONTURPARENT.- - . td conicdde ordinul doi are ca vir f
' lliltttirl :r::arecare din spatiu, iar ca directoarer i . Deoarece r ice con de ordinul doi
I -ou5 direc{ i i de sec{ iunicirculare, e:,ege pentru aceasti suprafatd intot-
i i -n cerc adirectoare. roiec{ i i le ir fului,ltt l l*.lrbei directoaresint suficiente oentnrrufll l l l l ::areaescriptivl a un ui con de ordinulriilit,rira. Se numesc contururi aparente ale
Ln egiuni le in planele e proiec ie imi-dt rireptegi curbe, n interiorul cdrorase
:.za toate punctele suprafefei.Se deo-;nntururile aparente orizonlal, vertical
l l ihm*::i.a fel ca ;i in cazul poliedrelor.
":ementeimin valabi leqi pentru epre-
:: suprafelelorci l indr ice, consider ind::nului aruncat a inf ini t . Dacd se con-:roiecfia orizontall, m a unui pul-lct
:e suprafa{a nui con sau ci l indru, vor- :de doud proiecti ivert icalem' gi mi ,:e doudgeneratoareistinctegi reciproc.
J PLANE TANGENTEDUSE INTR-UNPE SUPRAFATA AU PRINTR.UN
EXTERIOR. rinpunctulA (a,a') dat,ffi dilci un plan tangent la un con definit
r,iu-ful iu S (s, s') Ei prin directoareasa,,uurc uprins n planul orizontal de proiec{ie.
ftim.') urma orizontald a dreptei SAI l t . Urmeleor izontalcP gi P1 ale celor:.ane tangenteconului, care pot fi duse
la directoare in ounctulh. Pentruurmei vert icale
-P'se uti l izeazh
(aV,a"k').
construcliaor izontala
9. ' I ,3. PLANE TANGENTEPARALELE CU ODIR€CTIE DATA. Sl se construiasclplaneletangente a un con, a clrui directoareesteuncerc situat in planul orizontal de proiecfie,paralelecu o direcfie A (8, 8') dat[. Se con-
siderd paralelaAr (8r, 8'1) dusi pr in vir fulS (s,s ') al conului la direcl ia A (8, 8' )( f ig. 9.2) . Urmeleor izontaleP1qi Pe ale celordoul plane tangente se ob{in construind ht,
Fre(el
747
.d
i , q 'g)^a,lJ S rnlnJpul lr_)olaJBolBlauaF. l .BI IF 'rE) D BIalBrBd,e ,e')y lnlcuncljtsarnJtrsuo3aS :xo nc r lnrqFun FteJ ps,l
IaJlsEuo) rnlsor' r" ;i;l;;rj ;l;l;1; j J l lu tp eun (,4,u , )LB)alJ .ar icaroid a1l- ro 1nue1d.nr" inrq i iun b1 a.,eoleraucbiJB s lJund IsJJB r InJJIA Jp _rut 1dalp
:ir lnuoc^e1$arnJlsuoJs S ,u u; y:er irqre: un eFale aS '(g 6 FII) ar lr j ro:d
'ap
,ro Inupld uJ^trpl:lils J3J un alsa aleol: rn.rr re 15
(,F ,F)3 er ioa"lpnc a1a1n:er l
;-zolereuaFnJpJ lB InJplrr lrJ .raplsuorg
B}I
.}aual$ lara aluaFuul ueJclnop
:iiiii ,ii5i.iJiffi1[,'J1;',i',"J,';i'j
:t j t i i?rl l nr ;e1e.redd inuElj LrriuLaiaps s( ,? 'E)V rer lrqre l t r rnd un aFele 5 (t 6.FI j )
lTI" j ly] l l : _:o1a;no1e:auoFrf a. i lp { ,.a ,Ft '9
: lJ 'nrpur lrJ nr lLrJd.,r tt t ,n purun eu1iq6
B,\as Id t?ierrga Eiur f l .ry 'raidarpB (,r l ' , r l )
r?lBl lrozrJoLUJn rrpaJBolJarrp J asnp q,l iS
t ; . r ; .FI ,Jr nrpelp gqfiun un a;iee;o.rdap luluozl.ri
nlRteJ
us eJsJ ,n.lpurJgr
un ug luaFuulun utnou sJSElnJlsuoJ s ?S .arinlos o
lLraduBi nuBldalsJ l l? lnBJ ua8ur l InrrBId-r r lnrqFun aJBJ,p,s apun , ( ,e,s ius; a1s:ar lsal ls alE alBluoJJ lareolEJauaF.r lulprr lJoroJd p IBluozrJo nueld r r lnrr l8un
-:o1e:aua8nJFJ le r$ (,s ,s)
S JjJx sela;e, :Jp JB.[nJJrJTnrro] JaprsuoJaq .rnJnuoJ
.{ /s s)S BJilJrrasn_ol) l . .J ( t6
.ErJ)Jr i-1 ap leluozr. ionue1d r1ler i i r r . ' . l , ior' r i 1r :, ;rJBJJEo:lJaJlpr aundnsa.rdg l?p r nrperpun alfralo.ld p luluozlro1nue1drr qrr;rus'uoJ un u1 ;uaFuu; uu;d un ptsulnllsuol. IVO
ITTONN N ]VINOZIUO'INNV'Id]VJ AUVS AIN3CNVI ANV"Id }
FAC)AT. Si : . i q acestei. repte. Cele doua plane
con,ie un
cuprinse_^respectiv-n celedoui'plane de proiec-f ie . Fie S (s,s ') v ir lul conului f ie . 9.6i.
planul
tangent a ci l indru {qs pl in punctu l A (a, a,)are urmeleP si p' . planul tairgent a con.clui
. f . ynctll'A,(a,u'j gi" ,ii'"i.
'bEi a'.
r angentacautata cste. reaptade inter .sec j ie(og,
.'9'.) d $g.9. eJecloua plane p ;i aj Sa*"'corisfder*'-uyftTliiidt'ij'obt'fq"-a:cefii '.curb.adirrec_toare este un cerc situat in planul orizontal
de proiec{ ie.Un alt c i l inclruare generatoareleparalele u o direcl ieA t D, D,) . a"rdirectoareasa esteLlncerc I cu centrul in (co,<,1,), ituattot in planulor izontal e proiecfe. 'Sd s;
deter-mine aza R a acestuiceri f , astfel incit sa sepoati-duce n plan tangent omun a celedouisuprate{ei l indr icedate.planul tangentcomunt19.bu1ea_ie paralel cl generatoarElembilorcr l lndr i ( l ig 9.7) . Se alegeun punct arbitrar/y l m, m ) $l seconstruiestelanul pp, paralelcu generatoarelernbi lorci l indr i . Fie T urmao1.izontald planului tangent ci l indrului cudlrectoarea . Ca problema si f e posibi latrebuie adirectoarea si f e angenta rmeiT.Rezulti R : cob.
9. 6= PLANE TANGENTE PARALELE LAPp11AUnRAFETEoNrcE ruflr,,rnnlce.l" 5a se ducd a doul suprafefe ilindrice doul
plane angente aralele. e presupunea direc_toarele elordoi c i l indr i s ir i t s i tuate n p lanulor izontalde proiec{ ie i ig . g.g) . Trebuiesa seconstrurascaite un plan tangent iecirui c i l in-dru, paralelcu genefatoarelelelui lal t i l indru.Fie RR' plqlgf paralel cu direc{ i i1"g.n..u-toarelor atrrbi lor ci i indr i . Se obtin planeletangente aralele p, l i ee,.
:- -=P si Q duse a conpr in aceastd r iaoier r :" ield cu G, fac unghiul a cu planulr.l de proiecfe. plfnele tung",it"
-i ,
-- cdutate_sint. lanele angen-terpi,QtQi.11 qQ;,
'paralelerFrp*.1tu' -*
= P qi Q. Se obsen'd zrplanuluipp': .a con i corespundoui planeparalele:= la c i l indru. Problemaadmitb patruDaci h estepe ccrculd.e azaak, existd
- : - r t i i . Dacah este nter ior acestui erc,
I de p''r
r dre;:ratoar;
ce-ituir l rc;
;entccoqtae*e co:
'Probr
a sau
lhu ratOarrhrui i
n:lc i ri a lelor iz
lel car ieste
:a nu admitenic i o solut ie.
5 TANGENTE$I PLANE TANGENTECO.tr LA DOUASUPRAFETEONTCEr
DRICE.Printr-unpunct A (u, ui\ $ ;;
I qlgeltd comuni la o suprafaficoniciangentacomund la o suprafati conicicilindricd, avind curbele lordirectoare
or\
Fig. 9.6
r49'
]|-o8uBluPJd lsec^e J_(,p = ,l,s
,p = ls)p:^1lr_n?rugleraua8p E nr plaieied nlnubclJ€rlpeJd ylryAuel 'aleluozrrolugsarec]-ulllr ,le (,F ,F) elereo+BrauaFc 1'a1e.led-"-l_TFuul. 1nue1dJlul rpru alsartiifiuo,,l:11_pt ldea"Ip
i l i le:.:nrindrontala (sa,s'a') ;i se duce tan-qmria ' paraleld u s 'a ' 1adirectoareai l indru-ill,utRezultd (b, b') Ei generatoarea e contact.L ;. 8 ') a planului angent aci l indru,paralelru. :lanul tangent la con. Sd se construiascd
inlrJ:"t perpendiculara comund dintre genera-lm-r--elee contact D Qi A. Direc{ia sa estep,e-endiculard e unul din planele tangente,i i lnri ld5, pe planul (sat, 'a ' t ' ) . Seducdin (s,s ' )pm;endicularele n ;i s'n' respectiv pe ori-;mnlalap $i pe frontala s'a' ale acestui plannmr-.,{ent.ntersectind planul (snt,s'n't') culurterta A (8, 8') (cu ajutorul planului dem -- iH'care di 1, 2) , seobfinepunctul k, k ') .Wn--alelaa SN dusd prin acest punct este
iihr" 'r ') Ei reprezinti proiecliile normalei co-,nmu::edutate.Ca verifibare, ;i r' trebuie sit i j* i tuate pe aceea;i inie de ordine.
$ , 8. CON SUPLIMENTARUNUI CON DAT.F Se consideri conul cu virful S (s, s') gi amirui directoareesteun cerc cu centrul (., ,' )dhuat in planul orizontal de proiecfie. Si seumr"rstruiasclrin puncte urma orizontal[ airmnului siu suplimentar. Se presupune cd,,rrriulS (s, s') al conului dat este situat pe
pl :" lui vert ical de proiecl ie ( f ig. 9.12). Fieur* s'a') una dintre generatoarele onului in
'ur.:ulcdreiaseconstruieEte lanul PP' tangentri,fion. Generatoareaorespunzdtoare conuluirzuriimentar ste perpendiculard e acestplanlmnr.genta con ;i se proiecteazdorizontal pelur-ade cea mai marepantd sl a acestuiplan.
un punct al urmei orizontalea conului supli-nentar. Locul geometrical punctelor (m, m' )este o conicd. Proiec{ia orizontall a tangenteiin m la aceasti conicdeste mt perpendiculardpe sa .
2o Cunoscind na din proiecfiile unui punct ceapar{ine conului suplimentar unui con dat, sdse determinecealalti proiecfiea punctului qi sIse construiascl urmele P qi P' ale planuluitangent, n acest unct.Fie S (s, s') virful unuicon a cdrui directoareeste un cerc cu centrul( . , . ' ) , s i tuat n planul or izonialde proiectie(fig. 9.13). Fie de asemenea proiec{iaorizon-tal i a unui punctce apar{ ine onuluisupl imen-tar conului dat . Generatoareaonului supl i-
Fie sa : sar b'ai : s 'b ' tg e, unde a esteungft iulgeuerator 1conului.Se clucparalelelea'c ' qi ad la l in ia de plmint. Fie de alemenea:ad =:.a'c ' .- c 'E' cotgp, unde p este unghiuldiedru dintre planeleP qi H'. Pr in impdlt ire
rezul i i i :
A1
L)ar:s'b' : c'8', deci If : -lg-g-ad cotgB
Prin urmare, locul geornetric al
sa _ s'b' tg a
ad c'8 ' cotg g
este o elipsd care are unul ciin
: constant.
punctuluifocare n s,
iar ca directoaredreaota 8.
NSTRUCTTAECTTUNILORLIPTI-se construiascfl sectiuneelipticlbn circular drept, a cirui directoarecirui directoare' M punctr:l curent de rre aceastiicurbii.
t[ in planul orizontal de proiecfie,giestesituatd n planul".;rat totodata pe generatoarea CM. Din
sal i t l { i le AA1 .: BBr : PQ :- MN ..=MC..==.MF : constant,se re{ine MN : MF. Curba:t: sec{iune steo oaraboli.-_\$ J.tltEoREMAFocARULUI.i se demon-'ffiorema focarului : P oiecla seclun p ane:,i t.: -unon pe un plan peipendicular pe axa
;.ttului are ca focar proieclia airfului conului'w acest lan. Se considerd onul circular drent:'- i ' ir ful S (s, s'), careestesec{ionat.de lanulne apdtPP'( f ig. 9.18).Fie A (a, a') un punctr-rent al secliunii, care se obfine intersectind:: planul P generatoarea arecare sq,s'q') a::,.,nului. reaptade intersecfie intre planul p;r olanul de nivel H' dus pr in vir ful-conului*r :e A.(8, 8') , Se rote;tepunctul A in pozif ia{r ralai)s i tuatd n planulde ront al v ir fului 'S.
sd se determinetangenta intr-un punct curent(k, k') al curbeide secfiune.Fie S (s, s') virfulconului f ig . 9.19).Sealege a plan de sec{ iuneplanul de capdt PP', care ntilnegte o singurdpinzda conului. Sec{iunea steo elipsd,a cdreiproiecjieverticali estesegmentul r'p' aEternutpe
urma verticall P'. Axele proiec{iei orizon-talesint ap;i yD.Centrul ec{ iuni i ste unctul(m, m') mij loculsegmentuluio-p, 'p ') .Axa 3rezult i din intersectia repteide capdt ce seproiecteazivertical in m' cu paralelul conuluide raz| sc obtinut pr in planul de nivel H' dus
: i de sec{ iune f ig . 9.23). Planul Q paralel r - - - - - '
- ; planul P dus pr in vir ful S (s,s ') al conului /, r. i innacz\
^.nrri. l rrni oot lo. r i . rr. " le sa si sb. , / 1, .;cfioneazdconul dupd generatoarelea ;i sb ,
:are reprezintddirecfi i le asimptoticeale sec-.. :ni i . Asimptotacorespunzdtoareirectiei sa='te ntersecfia intre pianul secantP Ei planul:.:rgentaa la con n lungul acestei eneratoare.?aralelele usedin o($ i I la directi i leasimp-:,, : ice int asimptotele ectiuni i i e le se nter-..cteazd n centrui coal sec{iunii.Douir puncte. e curbeide secfiune int I gi 2. Alte puncteal e,tct iuni i seobfin ut i l iz ind planeauxi l iare, are
--ec. eexempiu, r in dreapta sk,s 'k ') . Astfel,
: ,aneleauxi l iaredusepr in aceastidreaptd i::in generatoarele , n gi r dau punctelep.,-.. .. Segmentulp,ep, ste paralel cu ks. La fel.;riru v6v gi pnp.Virfurile secliunii se obfin.:tersectind isectoareanghiuluiaorp u conul.
:'' Si se construiasc[ o secfiune hiperbolic[,ntr-un con oblic, a cirui curb[ directoareesteun cerc situat in planul orizontal de proiecfie. F-io 9.24
155
99I
uI uoc el lueFuBluEId rnun B ?lBluozuoBrrrjnI alC .uor
lsaf,Eul RllloqeJud ounliras o ur-suln4suof, spg .e;fra;ordap luluozlJo1nue1d1lunlls f,Jecun else eJuopaJlplnJpt B ,(,s ,s)
S ji*
p1ru1{ ul Inlr ^.P*?l"lgo lnuor p.raprsuoi g"6
i_.
-%*{ (uruor ' un'u,rltl'ntffiS;fmf;--:alsa_aunrfrasp loqrnr F (,t) , t ' j ln icund'uj . iP,JuedueJ' 'gISg1u1s11un1|casaIPa}JundnlIv.rH
lalru cp 1nue1d J tnlnuoJea;euolfras ui llnuflqg us gzEr ap 1n1a1eredr (,8 ifl)
I,F,iec :ap ralda.rp ricas.r_a1urlp FlJnza'lrunrlras a1 e',r s r . elaif ,und'rd Sd luJS nlnuore1el lgo.rdapaIaJBo1e:aua3ada1en1rsa1a1cundrci,1., i ,n1
nr lalered ,{d lgdec ap yirueld eirnrfcasep uBlo EJ_ dalBe5 .auntfras ep taqJnf, Eluornf, lcund un-4u; e1uafluz1 rsu5spFas ps S'ariragord p luluozrro1nuu1dg 1un1rielsaer"ol-leJlp lrrpr u ,1da;p-J"lnJJrf,uor uq;:llu EJlloq-u.rudaunlicaso prsi:lnrlsuoJes
rrunrfrasnloundlsa rfeds g aloqe:edTJll4 rnrnlro,r1e ua:ede"r"":Tij*rT;1r"$rjlrrt#;'(,e,s'us) a"reolerauaFlrrlraroril r a1a1e-rad"l"u"apl11ln.rr1u1rfqo s nlnuor1e1ue;edetaxEnr aloqe;eduIS Jlunr{castrrlcllolg
I;;;;;;J;,i:}Bn}tsetatrund,y}s aur,r,c,, Xu1uaFue1eld sare
. i intre planele T qi planul perpendicular egcticratoart:a A, tlus prin virful S (s, s'). Scpoate deternr inaacest plan. Ir ie a planullertical dusprin generatoareaA, carese abatepe planul orizontal de proiecfie. S se rabatein fu. Perpendiculara idicati in ss pe asgintilnegte in m urma Q. Urma orizontald aplanului perpendicular e generatoarea A esteperpendiculara h ridicatd n m pesm. Dreaptade intersecfie sh,s 'h ') dintre
acestplan' s i
planulT d5'direc{ iaangentei autate.Ri Ooite'aolan tangent T1 dus prin aceasti dreapti dageneratoarea e contact (sb,s'b'), pe care seaf ldsituatvir ful (",
" ' )al parabolei.-Elezultd
ducindparalelako la hs. Alte puncteale sec-i iun i i pot f i obf inute ducind plane auxi l iareprin generatoarea A. Astfei rezulti e. Punctulsec{ iuni i i tuat pe conturulaparent ert icala lconuluieste (y, y ') .30 SA se construiascd o secfiune parabolicd
Iu i . Seconstruiegterontalaacestui lan a caruiproiec{ ic cr t ical i iestek's ' . RczLr lt ik pe e siproicc{ iaor izorr talrs pt 'paralt. la la ox dusr ipr in k. Fie PP' planul de sec{ iune aralelcuplanul QQ' . El secl ioncazA onuI dupi oparabolS, eoarecesteparalelcu gcncratoareade contact (sa,s 'a ') a planului tangent ee'.
Virful proiec{ieiorizontaleestepunctul in caretangenta a curbdesteperpendiculara e proiec-{.iaorizontalda generatoarei A cu careplanulde- ec{ iune steparalel.Axa proiec{ iei r izon-tale este paralelScu proiecfia or izontald ageneratoareiSA. Se duce prin s dreapta so ,con inuti in planul Q ; i perpendicular l e sa.Din o se duc tangenteleoa gi ob ;i se ntersec-teazi-generatoarea b cu planul P. (Seobfinevir lul 0 al proiecfiei or izontale, unde
s-a
considerat 0 paraleldcu os).Virful proieclieiverticaieestepunctul in care angenta a cuibiieste perpendiculal i pe proiecl ia vert icald a
intr-un con oblic, a c6rui directoare este uncerc situat in planul orizontal de proiecfie.Fie s' proiecfia vert icala a vir fuluf conuluir f ig. 9.27).Sealege n plan Qe' tangent onu-
generatoarei A cu careplanui de secfiune st eparalel. . e ducepr in s' perpendiculara'r ' peurma P',"con{ inuid n plandl e, Qidin Lrrmase rluc tangentele ta ;i rc. Planul tangent
Canullnt.relea') .
rni ilra-Et ie
xn"
, /.\
IIil .
757
"t' 1
f: ' D g6'6
89I
utJd lBp d eJBJeJeouBld un-JluJJd uol lsef," ut
::.-yllir1.eulrureleps g .e;iea1'o:dap fi1uorf6tnyl3 u enlls rerun alse ruolrarlf;ir.rpc 16
u. '-=ire'clusarin i irtui S(s, s') al conjlul l ^-lJ i int i lne;te n,.(o,o') planul P. Ser,i: irrrTrz rizbntalir ft, t;t' El- nturcucteaza91:i99t',
planele auxiliare care .trec Prir r. .uldesec{iune in'punciul ' (o, ' ). Planelc.1;e3st1
.relPl.ui prin-generatoarele, C, B
ur .: iaredus prin aceist iareapi;ru uirnete t,?;,P"|?itcf l i leurbei esecliune int (aiB8,rir:orizontale:convergenten urma h. D; i_1, ^-?,) ' .^_Ramurile
izibi le in cele rlouiilmr-lrr1€2,reptelee ttersecfedintre tanut proiec{i i int indicate e epurS'r, i :estelane.uxil iarerec oateprin'punctulf f iecTluNEA pLANAINcILtNDRU RIN
'r : '1. Astfel, urma orizontald- a .planului^gff iR ntRmEfRILOR ONJUGATT.'Se;;:r,r"t-iar..du.s_rll.generatoareaA gi dreapta sideriun cilindruoblic,a cirui-direitoare stelr,tL'l,iardsf, s'hl) este.haag, iar &od"ll"
un cercsituat n planuiorizontal eproieciie,lr: ,dt i? orizontald .drepteid_entersecliecu centrul <o, o,) '(f ig..Bt).Fi* pp,; i ;"; f i ;ir[r: : ie cestplan.; i .planul P..Proiec{iu uf secfiune. i se'aite?mine'el ipia"' i l f i ; ;' : tr-e;te n a proiec{iaa_.
-Rezult i'pe s'a' . prin_ oi diametri onjugafi
" j}gi p,,v i 's[ i .
+rrri :-oge determinl.ceielalteuncte le sec- fvident, centrul . , ct) t 'secilunii 'segise;te"t-" i .ducind^planeleuxi l iare,prin. enera- 1a ntersec{iaint ieplanul le'sec iunel, i",
uru,rt ieF, D, q,.F qi c. In punctele.(. ,' l^ i d, d' a, suprafelei-i i indrice.laneleR'; i aur" -'), angentelea. curba de sectiune int duse rin d4aguprafgleiiiinaiicevor recdioni'r,ut-, : ,rtalegi paralele u urma P. Pentru supraiafail indricd ipa.i ie a"udgeneratoare,rl lurt=:minarea
-punctului.de.ntersecfieo, o') pe caresevor situaextremitd{i leiametri lor'r : t i l izat planulde nivel H'.
. . qqn:fgati, acdurmeleR gi o'vo.-i i p"rpen_:llt5t consideri n cilindruoblic,a cirui direc- diculare,adicl dacd ele'voi constitui do i
159
1
09I
"ariJaroJdp [BluozrJo nuBIdad es ea:eolJaJrpm lezaSe 1derpJelnJJrc oc un r$ ( ,q,u'qu)
Jr;o:dap pldearp o arlurp arfaes.lalur p rolal-:und elrrfcalo;d unce euruJolapas ps 'lollsv-relncrlrud eJun rSeraprsuoc leodeg 'alelnpJericasralulap (,d 'd) lS (,o 'r) elelcund ug [email protected] reolerauaFlsaJv (,6,s '6s)r$il1.1,s1s) alaJeoleJaua8dnp Inuoc pzpauorlcaserpr d 1nua1dsourJapV lS O a1a1da.rq(,I '>l)e1saRIB+LrozrJorurn rarpJB 'V : SW uldua:p
'ilJnpas lS g eldee.rpad (,ru 'ru) W Jurlrqreprundun eFaleag '(ge'O Fg) q ralda-rp plu]{rozrJo ur;n ( ,q 'q) r$ rnlnuoJ nJJJA,s 's)SntC 'aJiragord ap luluozlro 1nuu1du lunllsila'L un elsa eJBolf,allp lnJP3 u f,llqo uo3 un
'1feFn[uoc JloruBrpop rolal o{ Balu)tlJal altricero-rdi uncatd 'rr r$ rl alaloundFqluralap as Foluuy 'q IS 3 urp alareole;auaFad d ti ro up 3rn" 'rqc eleluozl.loatfcalordep eldea.rppdnp
d 1aue1d r lzualrasralu os{}\s:o ;'""t.I
mat detulLr i ule capat' terminani anti-stfel deticald a
Planul
Iioneazacon ine
est cercrnctuluinmetr icrc.
Irig.e.3li l**\\ L*--"-lL9.3.2JNTERSECT|ADTNTREO DREAPTAtil*:rr-unprocerleuunoscut e afll urma ori- Tfl3fi clLlNDRU.Sd se determine.proiecfiilenr;rr:alah; h') a drepteide profil (ab,a'b') punctelor.dentersecfie.dintredreaptlD (d,d' )
rl. g.g+).Se considerd e asemenear*i gi,un cilindru,a clru i directoare steun cerc*rur'::ntald'(k,') a drepteiD (d,d'), dushprin sitult, i l planul orizontal de proiecfie..,e
"r:;iconului i prin'punctd
A(a, a'). Pla- considerd,.e asemenea n punct arbitrar
::rLP, deternihai de^drepteleconcurente nA T'.t'l
PS dreaptaD, prin care se ducen ab,u;U;j, ...iioneazh onul dupi genera- paralell"f (I,. 8').la generatoareleilindruluii ir,r. : . iest, l i t '1 gi 1sZ, '2').Seobfinpinctele lf iSt
VS ) Planul P formatdin dreptele
u .::teisecfieo,'") i p,'p'). :;r.o,.,:J;T:rr,ir;1,#r3',X"?i,,,u.",liJrlT'il:tersecl ie o, o') qi (8, p') cdutate.DacI urmaorizontall P nu intilnegtedirectoarea ilindru-Iui, dreaptaD nu intersecteazacest i l indru.
9.4.DESFA9URATELEUPRAFETELORcoNtcE gt ctLtNDRlcE
; \\
9.4.1. TEOREMALUI OLMER. Sd se demon-streze teerema lui Olivier: Transformataprindesfdgurarea secliunii oblinute cu un planinlr-un con (cilindru) prezintd inflexiuni tnpunctele n care planul tangent la can (cilindru)esteperpendicularpe planul secant. Fie o su-prafafd conicd oarecare, u virful in punctulS, in care se nscrieo pirarniddSQ1M1A1B1N1,ale clrei laturi Q1M1,M1Ar, ArBr, BrN, sint
in f in i t mic i ( f ig . 9.36) .Sepoateas imi laplanultangent conului cu planul felei SA'B, ;i f ieP- planul de secl iuneperpendicular e falaSArBr. Secfunea obf r iuti in piramidir iuacest plan este inia fr inta QMABN. Deoarece
161
^:F l lnzaJ,u,{ ,9 InrqFunrJ}
/g/{ = A ord 'Rprosl lurs a}se aunr lcass / -r "_ " .f vur l r+Jo i
p reqJnJ 3 aJBJnsBJSap rJd BIBTUJoISuBJlE.\epe-rlu; razerlsuouaps
FS
p1 qf epuriJ alsa Flernsp;sap 1 eluaFuelaunrxallui apnq.un-J lu l Al loru, lSelareJluad . t l l :
IWun '0rll a1s9 rrl ,r))
lnlrund u1 auniires ap,I"_nt ,g,p:
0 ulsr { :A
:rue^B I: f , nr luad nes
0 uls U.t t l : f
: IJOP'0ulsU:su: ,u,{
: JB C
=,{,g nes14 luBlsuoc #
z9l
l-r-u:]+ FInr11ra.rrfcerordgerur.rpurFlsrp^opBT
ullqo as alBrrlro^ ullJ rnJnrpurlrrlarBollY_liu"p
'le uJ pslrrsul pleuoFoicoFIEcrire^
:ur:Ird
nr Inrpurlrr IrrursBleod 5 (og.o.Fu)
IBJTIJaAnlntpurJrJ le leluoztJo uarede 1nrn1:Y3:
nt, Ppunjuor os rrunl iras e vpluozrro
:j l : ." i : : l j " l' /d PIBJltr rn urn ad 1nu:b16e,1,r
lnlualdJS alsa rrunrfrasE Blprr l .re,,ri lcaioj6'Fplosnulso alseeunrff,es p raipni n ,ruihspls"y^ j9_EY-yr:I:yuitr a1u.resps r$ aunriciJ iraqJnJp
\,n,r/) aJBJeJBolrund un_4uj ;a1uaF
-uu1 ulern$"Isap Rrsuln4suor as pS .aiiialoro
:l Jyluozlro nue;d g$aunricasap fnuzio ailu1sulronf,nrputllJ ep InrqJunrl aruo$p5saps pg'ar lrarordap leluozrro 1nue1d g' i i ;n j ls crarLrnolsa aJeolJeJrpqJnJ nJpJe ,1da:prelnc"rrJ nJpur lrJ n pzeouorfras,dd lgdecJp ueldUO ''IVINOUJ ,IV)iI
.liP t consideri un cilindru, a cirui curbd,Minreiitoareesteun cercsituat in planul orizontalW proiecfie
gi ale cirui generatoare int fron-illhufr"n se desfiqoaleacest cilindru. Se con-+'Ltr : i
.planl l de-capit pp' perpendicular e@m*:atoare le i l ind iu lu i ( f ia . '9 .41). Acestuulfrtu-i in cilindru o sec{iune noimali, a:ii-^-: miri me adevlratii cogo7o0 se ob inepun'r::-o_rabateree planul orizontal de pro-Itlr 'i--. TransformataIr in desfigurare acesteittltNlr l- :niormale este seglneniul de dreaptlryrrl*h-*d-oaofig. 9.42). ntrucit adevdrateleun-
'tWl, ale generatoarelor
ilindrului sint cu -ittltt lntltr lr is:'-re,i ind frontale, se ob{ine transformatapmmresfagurare directoareicilindrului care
cular drept cu virful in punctul S (s, s') duplo elipsl. S[ se desfigoareconul gi s[ se construiasci transformata prin desfigurarea sec-tjunii eliptice.Se consiclerl eneratoarele ,B,C,D,E,F,M gi N, care se intersecteazd uplanul P (f ig. 9.43).SecJiunealipt icdob{ inutd?re pro iecf i i le (apyDegpr,v,'g 'T'3 'e 'g 'p 'v ') .Adev-drateleungimi' ale segmentblor ilprinJepe generatoarentre virful conului gi planulde secliune rezultA prin rotirea gener'atoarelorin pozilia frontald (sa,s'a'). Pentrudesflsurarese asimileaza onul cu piramida octogonaliinscrisd n el gi se procedeazda in cazul poli-edrelor. Se considerddesflgurarea onului peplanul tangent la con in lungul generatoareiSA (f ig. 9.44).Transformata r in desfd;urareseci iuni iel ipt iceestepsveDscr,oeoyopogo.n punc-tele as ;i ps, tangentele int perpendiculare egeneratoareleespective. unctelede inflexiuneale transformatei rin desfigurare s$i prosintsituate pe generatoareleSR gi SRr. Acestegeneratoare e oblin ducind planele tangenteQ $i Qr la con pr in dreapta sk,s 'k ') , perpen-
iliililttltlgre inflexiuni in punctele B si D. Astfell fr i i , ' t* ,
, .e 'T' , Aas: a'a'$i DDo Bbo d,8,.:: I ' . De asemenea:D:JB: i8o: j8 , , . Des-:frlflfuu,nrLr"raangentei in punctul {u, u/)'
'curent
rrr r i '_:reide secfune esteTM.lflilF::tru desfdqurarea nui cilindru oarecare:w :rr:l:tueazd schimbare e plan vertical (sautumn';:r :al)
e proiecfiegi se- educe roblemarll l l l tt i::= tratata in acestexemolu.
:_ DESFA$URATA ONULUT TRCULARPT $t A coNULUr CTRCULAR BLTC.
tangenilotodati,;urare ersiderindrrent alsflquratafiqurarear ca ma-rpr intr-cor izontal
l i: oroicc{ie.Se poaie lua t pe desfdqurataari:;rsecJia celor de cerc de raze p.ntEi mt cu
:srirele respectiv n prEi M.
s5.TNTERSECIIAUPRAFETELORONTCE9r CTHNDRtCE
- :ersecfia uprafe{elor onicegi ci l indr ice ser"r:eazdeaceleaEi lemente u cares-austudiat;:ersecfiapoliedrelor,cu singura deosebirer .xuir i i pol igoanelor e baza ale pol iedrelort.rir curbele directoare ale suprafefelor es-:ertirre. n plus apar in aceststudiu problemet<ate
de determinarea umdrului ;i a naturii- r :ur i lor inf ini te carese pot ir r i in intersecl ia',;:rafefelorconice i cilindrice. Se vor expune-:rar ci l .eva ipur i de intersecfi mai deose-
I ' :e. dind pentru fiecare exemplu in parte1:-rra,modul de unire a punctelor ,precum;i' i . ;d iu l v iz ib i l i ta t i i in tersec j ie i .
J.i I. ] INTERSECTIAINTREDOICILINDRI." Si se construiascd. ntersecfia intre doi
:i it indri obliciale cXror curbe directoaresint.funrdcercuri situate in planul orizontal de
moiecfie. Cu ajutorul punciului S (s, s') serctermind planul P paralel cu generatoareler :bi lor ci l indr i ( f ig. 9.a7). Planeleauxi l iareF carevor f i ut i l izate s int paralele u planulD Planele imit i s int P1 $i Pz. Diagramele ' l/ertfto/
Fig. 9.49
pentru sludiul intersectiei sint urntitoarele
( f ig. 9.48 ;i 9.49). Intersec{ ia ste o rupere.Ramuri le viz ibi le in proiecl ia or izontal l a1ecurbei strimbe de intersecliesint Tr-er-pr---vr-Fr-p1, iar in proiec{ i a vert icala
'-0i--pi-Pi qi c '-0 '-p '-a| I i r punctele ituatepe generatoarele e contur aparent,proiec{iilecurbei de ilterseclie sint tangenteacestorge -rteratoare. n proiectia vertical5, in a' curbade interseitie prezintl un punct de intoarcere,deoareceeledouageneratoaree conturaparent
vertical A 9i N sint concurente.Tangenta nacestpunct la c#ba de intersec{ie stedreaptlde capit. Pentqu studiul interseciieise poate
gr l ica ;i metoda nobi lului ( f ig. 9.50).
,"'2o'Sd se construiiscl intersec{iadintre un ci -1 lindru circular'riertical qi un cilindru circular
rJrJ nJpulllr. un ls lmlile^ JBInf,JJs Jp_ru.I,".un eJlulp stiJJsJelut"Js?rnJlsuoJ
s F$."i
6 ur lqoes nlnlrqou Epoleupultr ldVrJSounJelepoleu ulp Eun nJ nes lcaJrprJoJd lBod3sarlJJSJelUlp JolsJcund atrun:uad tJ r$ rg lugspltul l alauEld (ag.OFU)I IUOJJ OUBId IUIS IEZJUIN NB.S EIBJ EJEII
BprJuroJsl lruJ laJlseleluor j tnlnJpur lrJ3Jpol
-JaJrpJB lBdpr ap InuEldeiSoloragjaier l lxne
alausloep eleurulralepluls arpJ lBluorJrnlnrp-ur lrJ rolorBolBJouaFlB JIpJr lJaAalrr fcaior i taJBserauluJ: ' lBluorJ_ nrpur l lr nr ( iua;nc"IEIIIxnp rEId n elsr 6J apun) U l5 6"rg
r*alPJr lJeAleJeoJpJaueFlras;a1ur nJluad lBrp-orurRllnzal nrplr r lr r +lptp. larseulJlulIBluorJrnlnJpur l lJ elB IBJr l le^ rs IB]uozrJouoJBd;lJrluor.ep alarEolu:ouaF.rerug ]e r$ ,e
,r), ,) ,' Id 'rd ' In ' ,n aiapun6 'truoJlop a.ler lrxneauuld Ezr1ln ro^ oS .(tg
O FU) aluernruof,
rB aIauEd'eluluozlJo-oluoJle e$ole.lauaF r
?leluozrJo rfraro-r4,H Iolru ap 1nue1d c
rrruFrpJ urlqo s rarlrasralurl:lji3.|',l5: :un 'alaundalBlalar ,nr iuad oleuy .,g
lS ZraJeolJat.rpnlnueld er lelor ulp aJJeoluJ
rJrBap, S It uJ p) lplJ as ,nlduaxo ap ,r /:lund 'hol pzBl ap inJJaJ alsa ra:eo1'tarrp
Z,l,/o J(7
(r'/./r
a''/.tr
CtSta'l ,td
t t ' ) )3
u- /1ce/pJ./ /,/t?./ ./^
p/J2ecJeJu/
u"D./pL/.t//r
,ffi
rtneratoarele e contur aparent vertical,r r ia vert ical| a curbei de irr tersectie.:lgentl acestor generatoare
i; l . INTERSECTTATNTRE OUA Ctir r lURl." 'SI se construiasci intersectia dintre doud*sfiuri ale cfiror virfuri sint situate in planul
urizontal de proiecfie gi ale clror directoares,intdoui cercuri confinute respectivde planele'r"erticaleEi Q. Fie S (s, s') Ei T (t, t') virfuriie:: ,or doudconur i ( f ig. 9.54).Planeleauxi l iare:;re vor fi utilizate trec prin dreapta ST.'- - inele
acestor planeauxi l iare
pe planeleF:i Q sint convergenlen puncteleK;i Kr Ei::ncurente pe dreapta de intersecl iedintre:.anele P si Q. Pentru trasareaacestorurme
Fig. 9.55
se rabat planeleP ;i Q pe planul or izontaldeproiec ie.Tabloul studiului ntersec{ iei at demetodamobilului este urmdtorul ( f ig. 9.55).Intersecfia stco pitrunderea conului S pr in
ul T.
2opd se construiascd ntersecfia dintre douiissfiuri circulare drepte egale, cu axele con-
kr
\4
curente, agezate espectiv pe planele orizontal
gi lateral de proiecfie.Fie S (s, s') Ei T (t, t ')v ir fur i lecelordoua onur i i (hw, h'w') dreaptacare uneEte ceste ir fur i ( l ig. 9.56). UrmeleorizontalS gi laterali ale acestei drepte sinth ; i w". Toate urmele or izontale i lateraleale planelor uxi l iaredusepr in aceastd reaptasint convergenten acestepuncte. Proiecliile&' , 9 ' 8 ' ; i g ' rezuitd imediat. Intersecj iase conpune conform teoremeiMonge din cele
douaelipseale cdrorplanesint de capdt i seproiecteazd er t ica l dupl segmentele '9 'gi8'<p'.Cele doud puncte comune acestordouieiipse care se proiecteazdvertical in t' seobl in cu planul imi t i PP". Puncte le ,2 ,3 i 4situate pe coirturul aparent orizontal se oblincu planul QQ".
orizontaleale fronto-orizontalelor arese oblinpr in sectionareai l indrului cu planele e niv 'el.tJnireapunctelorse face fira 'c l i f icultate. In-unctelor se face fard difi
ie esteo patrundere.
ERSECTTATNTRE SUPRAFATAmreft+NDRTCAr o SUPRAFATA
POLIEDRdintreun
seconstruiasclntersecfar de capfrt i o prismi
triunghiularl"-o5iiciABC situaii iu biza in
3i?il ;T:i,:?i" ?,;#:1',1,rt:n,lffif,-,--;{,- l
- ' ,1')K\w')c)x-- 'ci l indrurui int
pranerede'caprt are crror* ,{ ff iH1'H-- urme erticalcu'direcfa proiecii i lorertl"r ie
."L-r-V. / //,/l-V, ale muchiilor rismei fi . 9.61).Diagrama
W \, irilltr;;1i1,'1i,.'#f:':,1'"""ni".,J'fi-**"-*- or izontalSa_intersec{ ieie corr ipunc l in t ie i
;_pT,j5:gi:ffiju3i{r..tl :i;\SlfiHr?fdi'l,f,j"*?J''#;ilT,*"l,lJ^J},*;lffi''J:$t'"W;Xt*1,':.ll*ll*::"]iil'*f;::iTil"#,:Jj:_ilr "i:iiliil"f irmnilmctie.,i foidsesc lane auxiliare rte ;;"j'
(kr k').urna verticald.a.p-aralelei a muchiiie
ffi?,"??#";,ffiJ,it?e,11g,1'ffi,X""ilff1;,,1.,,6i;;ff,il'il;ii.#r"ifdl'gu) ranerer : - .ndrul dupa fronto-or iz.olr tale1fig. S.OO1.' r ' i tc : : le de inferspct ie s i t r rc l l . na . rorroi . t^ ,.^1, ,ni:mc:tlede ntersectieituatepe geieiatoareieffi,L { ;i N rezultd'imediat.renlru cletermi-ilmrie*run.1.lor p' $i gi de pe generatoareaB'roruentru punctele urentede pe generatoareleLF.R ;i S se roteqte lanul ad proti t al uneialluL,"r_rectoareleil indrului astfel ncit sd deviniiurmury:ai.-n elul acesta ot fi trasateproiecli i le
'nJputl ls ulJd rapruPrrd]rapunrlgd o alsa erllasJalul '(p r.{ c,q,nE 'FU) oloreolpurrn1u1s erirasralutInrpnls-rad lau-erFelq fU 16 5
1u1s llrull aleuBldzu:n ad elueJncuoJ i t t$ r1 alalcund u1
OLT
-un| : (gg 'Vt 'L) C :(gt W"OZI g :e,Ag,gt) V:ZZ : roparrp rnlnzlaj nzur : (bg ,w ,gl)
Slnlnuor 1nttry :pilraunu afinnldy .CgV pluluoz-gro p.lu1n;qFunlrlptuslrd o g$ ldirp .1qnrr;a-*uof, un eJlulp ulfcesralulprsplnJlsuof,es p-Sdg- \
'uoc urrd rausrfo=p*-"arapun:.19d alse erfcasralul .15a-r1palrun rJlod.rar lcasreiu- tlolJund - iueJnr I l ln Jpr lrxnpuBId un alsa td-
InuBId ?a t$ rdluls Fl lul l
slauuld 'y5 eldea;p urrd a1eo1 ,aJl ererlrxne
'8:anuocuJs '( ,9 'g)y eldearpurrd asnp
i lrxne Joleueld le 6 1nue1d d rS aleluozj irnf?rlrxIrtsolauelo alB d InUPIO AO 1S e|plUOZNril -,[orurfl '(gS'O Fll) 4 1nue1d ,1 ,l) ut $utt:aro.rdp leluozrJo 1nue1d ,{ ,I) ug al$au
:u1 'rapluerrd 1e (,s ,s)S lngrg.L r:d esnp
;nrpur lrJ laJeoleraua8l ( ,9 ,g) y e1a1ere6u;rd1up 4 lnuu1d p plnulfuorelsauzBq
Er u.CBVS Erllqo prulngqFunlrl p;uru.rgdu$ alfrago.ldp leluozlro1nue1d Elunls
aJBolf,eJrpInJuf, u ,u;qo ru;nu f, nJpullun eJlulp elfrasralul ar$ln4suoJ es pS
ot'aredn: o elsa elfres:a1u1 lraJrp plntpJrleod :olapund Eerrun .:IS eateole;aua8ap_eJar S rnlnuor ale aleluoJJ lerpoleJeu
i f r i , :. RAMURI NFINITE N INTERSECTIArs-pRAFETELOR ONTCE r CtLTNDRTCE.lffi se deternrine um[rul $i natura ramurilorrdlnite in intersecfiadintie doui conuri alelrohn,rurbedirectoareC Ei I sint situate nlpmrulorizontalde proiecfie. ie S (s,s') ;illll t') virfurile celordoui conuri fig- g.67).
d'\
Fig. 9.67
Ca intersecfia elordoudconur i sd aibd ranlur iinfinite trebuie gi este suficient sa existe inaceste doul conuri generatoareparalele. Sepoate veriiica acest lucru transportind unul
aleod a5 'a1uaFue1.ro1aue1dolaruJn 1earfcas-Jalurap tl rS r alaloundurrd asnpacrloldurrselt iseJlpenopalar.pla1a1e:edlurs e 16 alelnpcaleloldlursv 'W lS N
,rW ,rN alelcunduJ areol-JaJrpaleqrnJ BI alo]uaFuel lurs ereolerouaF
'nJpurlrJ n 13uoc un eJtrurprfcosralurrul allullut IJnueJ aredeiod arecul rJnzet
luls 'ellullut rJnuIeJ3Js nu lnlnJpulllx
in t dou.l te ntr- :ru.
a le l i cl lE lc l lL ..
: l oneal
l indru:I ndru :perbolc='ebuie "unul d lperbol i :r trebui.rc{ ione::
I t ra lea l=
Pdr drr :
D3f€ €Si:
orizont:
,5 ' pr in.secfiorrareai l indru lu i cu planul T sinttangente urbei le ntcrsecl i t .n punctul r le air t f i r r i t pc SA. Accsic gcrrcratoarc ir r t doui iasinptote. Punctele la cl istanf f nit i i a leintersec{ ieiseobfin pe calel obi;nuita, ca qirnor iuld t nnirc I lor .
9.6.PROBIEMEROPUSE
l . O cl ipsr is i t r r r t : r rr planLr l r izontr ld lrect ( )arei tr )ml l r t i I r lot l i j corr t t r ia lcproiecf i i leor izontalepe el ips i . Si i sct r rsecl ia acestordorra conur i .
de proiec{ie .stet'iir'or virfuri ar rcorLst ruiascin-
Ir i i1.9.20
- dintre planeleuti le este R. Se observl, .:r aceasti intersec{ie doar arcul ap^i al,r: :i T furnizeazi puncte utile. Cum pe:: l zrc nu exista o generatoare conului
2" Se considerdconul cu virful S (s, s') a cirui direc-toareestecerculC si t r rat n plairLr l r izoir tu ldc proiec{ i t :gi se duce fronto-orizontalaD prin S. Fie T Lin purictpe dreapta D pe care i l alegem ca virf pentru rin altcon rvind aceealidirecioareC. Sii se deteiminepunctulT ast fc l nc i t i r r tersec{ ia int re cele doud conur i s i i fi co parabol i .
3o Se consideri douii cercuri C ;i 1. tangente nterior inpunctul t ; i .s i tuate in planLr lor izontal t le proiec ie.Raza cercului este umatate din raza cercuiui C. 'Sa
' i r ful cr-ia curb.onta l i .teratoa:lr le c i l i : '
v ir ful 5ci l indr:- .r r urne.:
Urme.rP,r i a
, : : ,e la cu generatoarele i l indru lu i , in ter -, ' ' r nu posedi amuri inf ini te. Fiecareplarr
iar da un punct a inf ini t pe generatoarear . [ Dimpotr iv i , in s i tua{ ia din f igura 9.70,- - . le P ; i Q ale planelor l in i ta def inesc
--- . rap pecurba , care on{ ine generatoarerr" :aralelScu generatoarelei l indrului. Pla-, T tangent la con in lungul acesteigenera-,- . SA esteun plan uti l . Intersec{ ia osedd
" --r i in i in i te. Generatoareles ; i d, ol i{ inute
se cotrstruiascii ntcrsec{ia dintre i ' i l indrul ver.t ical ;rcdrui directoare ste 9i conul echilatcrala chrui cl irec-loare qste C.
4" Se consideril etraedrul. egulat SABC siiuat cu fa{a,{BC pe planul orizontal de proiec{ie.Sd se corustruiasciintersec{ia elor doui conLrri are aLr a virfuri ouncteleA 9i B, iar ra directo; r r t 'cc lcur i lenscr isen teleleopuse.5" Se consider i doui dreptc D ;i J s i tuate in planrr lor izontalde proiec{ ie are s int gerreratoarelee coniacrdint re ac^est lan ; i doi c i l indr i de rota{ ie de razer ;rR date. Sii se constluiascirntersec{ia elor t loi ci l jndiiq i t r r rgentr lc rr prr r rct r r l r rblr r .
L73
'a l l lo l t r lJJerdnsre
{;r 'ar) : (rx tr11luorJ ap ruerpuau rop raoarfuurrxorde
:undsarocIJ (,q'q) g rnynlcund Foleuy '1es'Ep)6y 15qlu'ru) Iy alalound uJ J luorJ ap 1nuu1d zeolJasraluro:er '(,H la^lu ap 1nue1d g 1un1rs) <opzer ap 1o1e:ed-n allelor uI ollrsJp (,r 'a) taq. lnc1e (,u 'e) V orecareo:rund un '1ay1sy (1edrcul:d uelplrau.run) rafaie:dnsr arfelor ap exe urrd snp ,J
luorJ ap 1nue1d t1 1enl, ls: iorJ ap uBlplrau un oulturolap s Rs ualrlJnsalsa aJB;a:: iJs arlBlor ap afale:dns loun alp auBJplraur laqrnr+IBol lJrnr lu l ' ( t Ot 'Fg) ( , r ' r ) a ler l l ra^ raxu lnrnf-:r (,r 'r) raqrnc erlelo.r urJd aral$Buu aJBr efe;e.tdnslseaoe n;1uad FJaplsuoJoS 'pteJllJol olse pxe teJpf,uellelor ap efaluldns raun lnu?lplJeru auluralep es qS ol
'RI?luoJI nBSBIBrllJaAalsa allelo: apil laJerdnsBxE aJEJuj allJaJtp rriBnlrs Bnop BJaptsuoJ:.] . \ AS 'NYIqIdSW INNN VSUVNIWUSI: IA 'Z' I 'OI
'aJrJluoJuocJnJJaJ p ualsts un-Jlurp tnlFJIellsa leluozrJo luaJBde nJnluoJ tJunlB 'e1el
lnJoln lB nJ slBJprdns urJapaleod as, la laJ-erons llelBJBd lol azalJ€sJelurs llcul laJlse'arlBloJ op efele:dns ad BlESeJlO eJBJaJpoFqJnc o eJaprsuoJ s FJBC
.3[BUOFO]JOaqJnJap aualsrs pn-op salnlgrle ariBlor ap elajprdnsloun l l la leJedr$ nuetplraw .l3truorJuuiplrauueld un-JluJ lBnlrs uBrprJaruIaJB
atlBloJap
ralaJprdnse l"dltulJd uulplJaru unu eA aS'alBFa oqJnJ luJs lruerprJarutlol
,eauaruasB
eC 'ralaJBJdns XEnf, lJodBJuJ FcrJlorurs lso
arlBlor ap afa;erdns laun Ip uBrptreurgqJnJeJrJoR) luopt^a alsg .laialeJdnsl3 u8lplJeul
-lue^ oluaFupl ap oJBJoJEopunu un rsunull l IUpB alleloJ ap ElEJBJdns J?O'lu?'rozlJo:ueJBdB nluof, FlulzeJd nu arlBloJ ap BiEJ-tsrdns )ru rJunlB 'alecrlran aluaFuel alrupB:1u InuBrplJaiuglt?c 'aJEotrsJauaFlaqJnc nBS
aJpJaJPoeld un 'olrJaJrp zeJap rJnJJaJuJserislor ep alaJ?Jdnseun rrlaleJsd lerauaFul'leieJpJdns e lel?Jud lrunu olsa cJaJ lseJt'1; BXp ad JBInJlpuadJadlsa us{d rnJFclBrS U BxB ad V lnlniJund Brl)erordalsa nJluoJrnJPJ B JJac un AlJJSapJ reqJnJ lB V aJBJ-aJeo Jund un 'atlBloJ ap aJ BJ$ruBlsBa)eul'ralatrBJdnsxBnldurs Ipru nes agiulo.r p pxu oarnlrlsuoJ o pldBaJpnlspasv '() eldeJp au n
InJnf uI alselor es aJBJJ pqJnf,o ap FlBJauaFpfege:dnso alfulor ep ul?lurdns a1$aunu ag' i ruvrNazaudau' t iv I t ' IVuaNsD't ' t '0r
l lvutNlc
I | IYIOU CI 'HI i lVUdRS'r '0r
ilIvrou rc SltlrJvudns
x lnlol do3
e uneiparalel
;t lucru;e uneiparalelpunci.
, llll 'r se determine meridlanul unei suprafe{ede rotafie'
rllr i.iti axi de rotafie este.frontali. Fie A (8, 8') axal'urrrr:- i,ai (c, c') curba generatoare suprafe{eide ro -; lmrr i ig. 10.2). Un punct oarecareA (a, a') al curbeilM : descrie n rota{ie un paralel al suprafeleisituatt t tr : :ul de capdt P', dus perpendicular e axa de ro -Lirr irr*-\ (b-,8'). Proiecf i i le razei acestui paralel i i ind
il i l f l*r,01), adevirata mirime a paralelului
Fig. 10.3
10.1.3.PUNCT PE SUPRAFATA. Fi ind dat i una dinproiecfiile unui punct siluat pe o suprafa{i de rotafiecu axd verticali, si se determine cealaltd proiecfie a
se ob inel ln l f : - , rabatere sa pe planul de front F al axei de ro-. " - . rs ider ind ca axi i derabateredreaptao1B, ia '1,
lL i t t ' . , : ,:ontalaplanului acestuiparalel .Se obf ine ast fel ,tn -- raterea punctului A (a, a') , adeviraia mir ime
nrr , : :azei paralelr t l t t i i totodatd se ob{ ine punctulu" ,,r". i) ;i Ag (a2,ud in .ur. acestparalcl int i lne;te
it Lii l l :e front F dus prin axa de rota{ie. Acestedouirr t i ln;1 .{, gi 46 apar{in respectiv celor doui curbelntruu"ri-e (egale gi sirpetrice fa{d de.-, ' in proiec{iawi lur" .r . 1. s i tuate in planul de lront dus rrr in axa deurn". :1, s i tuate in g .anulde . l ront dus pr in axa der i- : J suprafelei . \ r \y - 1
b
punctului. Putem consit lera;i aici mai multe situaf i id ferite.
l" Fie {<o, , i) axa vert icald de rota{ie gi (c, c') curbageneratoare suprafefei e rota{ie (i ig. 10.3). econsiderdcunoscutd roiec{iavert icald a' a unui punct de pe su -prafa{: '1. Ianul de nivel H' dus la cota acestui
punct
este nt i lnit de curba (c, c') in punctul (m, m'). Se ob -f ine astfel lza am a paraleluluipe careeste ituat punc-tul c iutat .Linia de ordinecoborf t i d in a'di proiei t i i leorizontalea, i i au care definesc ele doui .ot i1ii. i ir . ise cunoagte roiec{iaorizontalSb a unui punct de pesupralafa, econsideriparalelulde razh cob upi care seproiecteazi ol i paral-el i is i tuaf i in planele 'de nivelHi, H;, H, Si Hi, determinate u ajutorul punctelora
9i p. Se ob{in proiec{i i le vert icale ' t l , l , 9i bi, caredefinesc atru solut i i in acest az .2" F. ie,A (8, 8 ') axa f rontal i de rota{ ie gi a ' proiec{ iavert icalda unui punct A ( l iS. I0.4) . Paralelul hre receprrn.acest punct este s i tuat int r -un plan de capdt , acirui urmd vert icalSP' se obtine ducind din a' o per-pendiculard pe 8'. Punctul (or. oi), centrul cle ota ieal paralelului, ezultddin intersec{ia xeiA cu planul P,iar raza oibi a paralelului rezult i cl in rabaterea peplanul de front F a punctului B (b, b') in care curbagenelatoare c, c') int i lnegte planul P. Axa de raba-tere folosit i este frontala (or8, oib'). Perpendiculara
ln a' pe P' int i lnegte rabatereaparalelului n m' 5i n' ,proiec{i i care se intorc din rabatere n a,
,siau pe linia
de ordine coborit i din a'. Proiec{i i leorizontaleciutatesint a, gi a, care impreuni cu a' dau doud solu{i i.
3" Se considerd o suprafat i de rotat ie definit i de ocurbi generatoare c,
c')gi o axi de rotaf ie oarecare
A (8, 8'). Si sedetermineproiecfiile unui punct oarecareig. 10.2
W-Jn JBJ 'x1 pllnzer :As nJ laleled 1 atnp as q ulJd1,a,s'As) plBluozlJo p S tl plBluozlroPlurn PlseaJB pflpurruralop lsa luoFuul lnueld 'q u1 e1en1ca1a 1|u1or
aulparruoluJ as alua8ual loisace u rq pluluozlro purn
-rxoJJ p 1n1nue1pr:au , ,W elBJrlrrn elfoalo:dei |s u1
nrua8uel.'(jfls 'rqrs; BleluorJalsa zBr lsors ul ugue8uel
t.ill 'w) luorl ap InuErprJaur r ?plJuroc ss lJcu laJlsBqre p Jatrrnlsace uriuloJ gJaprsuoJ s'1ery1;o,r uuld
un-rlu glBnllsalsag lnlrund u1.ld ca:1 r Inuulplrau ulnua8uel aJareoa6 'sc, ezBr 6d glzluozlro uriraro.ld u1n"zlnetpued:ad,,r,s irs) ElPluozljoelsa 5 lnlcund utrd&lall aJ 1n101e:ed1 eluaSue; '1rund lsace ulrd carl a:er'n1a1e:edr$ lnuerpr:aur 1 alaluaFuel p leuluralap olsarli.ss) S lnlcund u1gieprdns e1 ua8uel 1nuu16(9'91 3t1)
rup gfelerdnsad ap lnpund (,s 's) S rS 1uorl ap Inlrplp-r. laur ,q1 ry) 'arlulo: op pl Errlro^ BxB (,to .) alg
" l
.n1e1ue'uu1poraruaporau""o''; iil;"i"lo:3T,,i,?:-';1td untpltau un ap p1rultap a7s7 llt4ot ap olotrudns ptw1176plntntdns pFDarDad ap Tcund un-4ul 'ailopr ap
vlntotdns o q TuaEuq lnuqd aurwtalap as pS 'VIVJ-Yudns d I9Nnd Nn-UrNI N:tcNvr Nv'Id r'l'0r
. ' ,L,-, ad ,q u1 eJrPr lasalBJ
*q ad q Fp I pl 0q rnp u1aluru4 (,I ,ro 'J,r.r) lrr icarordgttnzaU J,0tooq1n1pqgjalda.rpnrolntu na aralpqBr i)
r lrpu as aruc '1a1e:ednlsare ua:oluqerad 0qlrund un
;3.r1e g'((ro'roor) pnlrJ arolpqErcp Jrrrr lFrrnr.r; .1ro ug
ilsqsj as rn1n1a1u;ede ,<o or) nllual JEr'xlJ ouJrup.t':1rund 'arolBqBrBlseaJB l '( , t '8) g ulelrozrro araleq
.er ap,Fxe Bc pulnl ',H lelru ap lnuuld od rnlnlalered
lnuuydaleqer eg 'y urrd snp lpder op 1nue1dS n1n1o1-e:ed 1nue1d rlurp arices.relur p eldea:p also (,$,t 'Sr)ur
1n1de1JreluoroS ' nlnlal"rad
1n:1uar'(,or 'o))uJ v.
exe ep lelcasralur alsa ueld lsarv '(,S 'g) g exe ad:elnrrpuad.rad lnpund ur;d gsnp '(, 'I ) J Bleliro.tJnr 1$ ,i 'F) g elaluozrronJ Bullrtralap leod. s laleredlnlserc InuBId'(g '0t 'Fl t ) V rnlnl lund ynlalerudad
luzo$e (,qrq)q lrund un Flner as 1( '(,r 'r) oreolur
-ouaFeqrnr ad 1en1rs (,u 'u) V oreJaJeorund un p:ap
-rsuoJas BaaJE C 'a1esalrrfraro.rda:1urp Eun pulJsourlJ
lound un aultuJalap s es'1e:auaE i 'a1uod s nu alfenlrs
klseaJuu1 'ogie1o.rpgiupdns llsBare ad 1un1gs'(,q 'q) g
f '0 t 'Etd
e, puncl';i se rabal.l . Sc alcgr
: se r id i . ,
: . Rezult i
tbPee)*
E SUPRA.s,rprala:.-
atd, ttiiildian prir."rngentelor
M') merr"raiat i da :ulS{s,si paraleluul ce trer-:endicula: i) tangenlrrti intr-1.:-
meridia:.t ( ir l, M' r
, tangenii
i de froni
loarce di :
letermina:
rrrrf tr, ,L-. rara ridicat: l ln sj pc sih, intersectcazi xa cletnrri, i iuin punctul (a = <o,a'), astfel incit (so, s 'a ')rf l)r i l i lr , . -"- '"roiec{i i le normalei la suprafali in putrctull l l i i lrr- Planul dus prin punctul S (i, s')
'perpendicular't t t / '. lr5: segment (s<o, 'a ') este planul tangent la su-rrurir i l l- :e rotat ie.illli liI s€ determine acum planul tangent la o suprafafiLrilluldalie inir-un punct de pe aceasti suprafafl, utili-rumcmetoda tangentelor n cazul in care suprafa{a estedltumliirnr,-,ie rotafia unei curbe generatoare (c, c'). Fie
ara vert icalSde rota{ ie qi S (s, s ') urr punct al, i r ' , : - - r i s i tuat pe paralelul planului de uivel H'( f ig.
?enlr r r a ie iLbl ine pla-nul angcnt la suprr ia l" : i: ' - - lu l S (s, s ') , se determindmai int i i p lanul tan-
r111trru|r: suprafaJi in punctul M (m, m'), cu ajutorulM n :rud tangente (am, a'm') $i (mB,m'B'), duses.ryr: , i. : i i 'a paralelulde razd. m gi Ia curba generatoareui : .\cest plan tangent este ntilnit de axa verticaldturur; i.r ie in punctul (.
-a, a'). prin acestpunct trec
rir ir,: lanele tangente uprafe{eide roia,t ie n punctele
rlr i:r, i : :pe paralelul de razdo;m. Acesteplane tangente.-- - . : : l urmare tangente onrr iu ide roiai ie crr v i r f r r li lu r. circumscris uprafe{eide rota}ie in lLrngulpa -'r ir t :,-- i de razdom. Urma orizontali T a planului tan-t lgru:t. punctul S (s, s') la suprafa{a e oia{ie treceprinl-: : 'r izontala h a drepiei (generatoare)o:s,a's'),':.r r :erpendiculard pe proiec{ia orizontale cos.Urmariv-. :=.a ' a planului
tangent receprin urma vert icaldr' , -:eptei (ros,a's'), iai direct ia bi se determindcutir,rm;".ask, s'k'), deoarece LrnctulT* cade in afaral l i i*L--:-Jf eDUfei.
,-r'".* .iir;if, si se determine planul tangent la o su-
ililrflnmi&e rotafie, intr-un punct de pe aceasti supra-irtllrtr- tilizind metoda normalelor. in cazul in carerulrur-r:aqaste definiti de rotafia unei curbe generatoarerilr i Fie (o, <o') axa vert icali de rota{ie qi S (s, s' )
9-l razd(f ig.-_10.8)..ormalaa suprafa{ade rota{iedusi in punc-tul M- m, m') este perpeirdiculari pe pianul tangent lasupralata, determinat in acest punct de tangentele(moc,m'a') ;i (mP, rn'B'), duse es-pectiva paral6lulderazd.am
_gi
a curba generatoarec, c ') . O-dreaptE deiront a planului tangenteste ag,a)B'1, 'cleci erpendicu-lara dusd din m' pe o('B' reprezinld proiecf ia vert icalda normalei Ia_ upraf t i i duid in pr inctul 'M (rn, m,).Aceasti normalh intersecteaziaxa vert icall de rotat iein punctul A (-a,a ). Dreapta (sa, s'a') reprezint i n6r-mata ta srrprala a n punctul S (s, s,) deoarece oatenornralele a o suprafaldde rota{ie n lirngul unui para-lel sint corrcurenten acelagipurrct de pe axi. pianultangent Ia.suprafa{deste determinat de frontala (f, f, ),siorizonta. la^(9,'), lerpendiculara e trormala sa, 's'a,)i rL puirctul S (s, s ') .
I0.1.5. PLAN TANGENT PRINTR.UN PUNCT EXTE.RIOq. 55 se construiascd a o suprafa [ de rotafie, prin-tr-un punct exteriordat, un plan tangedt al cirui'puntt decontactsf, fie situat pe un paralel sau pe un meridian dat.
lo.Fie (co,or') axa ert icald de rotalie, (M, M,) Lrn me -ridian de ront al suprale{ei e rotaJiegi A (a, at) punctule; iterior dat. De asemenea,ie H, proie -i ia verf icali aparalelului dat ( f ig. 10.9) .Mer idiahul de front al su-prafetei ntersecteaid aralelul H, in punctul B (b, b,),iar, tangenta dusi ln b' la proiec{ia veiticali a nieridii-pluj {1'- int i lnegte axa derotaf ie ln punctul S (s, s,).De fapt S (s, s') este virful coirului Circumscrissupra-
fe{ei de rota{ie n lungul paralelului H'. Planul tanlentla.acest on dus prirr punctul exteriorsuprafefeiA (a, a, )este totodata plauul tangeut la suprafaJade rotaJie,Considerind ca nou plan orizontal planul de nivel H1dus prirr a; se determini urma conului de razd coh peacest ,plan gi cu aceasta generatoarele (sm, s'm')
-g i
(sn, s'n'), care dau Ia intersec{iacu H' punctele deig . 10.7
177
8Ll
ill
iiifl, l i l ,
,1 1
rl
(OtOt 3l t ) lep. l ln l rBrprroul . r?lpluozl . rorf raro;d r(.u, ) , raiajuld] ls
InJJJn Ia sr lJsunJJtJlnuoc ur. rd1ep rnJnJalered-lrrn1u1arlelo: ep elulurdn_sulnroluJ rarlrxnE
nlnuo)r: ') lauj tszBazrlt ln s alrund atrs3JBullqo E nlluad .o
r -- lrp nr 1a1e:edla sllJsr.unrlrJnrpurpJ ri pie;e;dns;-:urp lcellroJap raqJnc rlrede eueyd rolsare 1eefuoF., i l ap alalJund FlBp elfra.trpo nc ayale:udarfelo.r pr-i:e:dnso e1alua8uelaueldap alBlrurluro Btrstxaa;ouoF
' "( l l 0 l '3r1)ar lu lo, rap EIBr lpa^ exe (, ro r.:) alg .l
'(,W 'W) 1ud;euJrd elplreur un-r1ug.rdnrurlop alsa egiu;o.rep efelerdns aJBt u InzeJ u ,lup
.${,rprJatun ed nss Jalund un ed alunlrs putlJ lreluoJ ap#ilrund 'plup (,p 'p) O pldeorpo nc aJalered e;ie1or p{:: ;eldns o uJ aluaFuu;alaueldauluJalep as pS .yIVC
I[] , IUIO O n3 'IAlYdYd JNACNVI NV'Id '9 I 0l
"w
luoJJ 3p InuBlprJalu lr r iurl o u1|nd Iar oJnp uluod es es re urp eJ arnqaJlr ,rsodat1FS srualqo.rd 3'1cund rnlsice rolezunclsa:oc' , 'c :cd e1 (, r ' r ) r r1 glua8uel Eleluozlro S (,r,u , rce)
ralp. rLi l iuoJ BJ pult lS elul :nSn n; ur iqo cs luo8uelr -.re1d eleur-rn lalnpJ (,r .a) uf uaFuel ap lnpund
- ?lnrpJ erlelor ulp Rullor as ps t$ ,W luorJ op Jnlrn
. iaiuu1 rrru eluoFuelpJllp os ps Ie urp uJ luorrlJns' r rVInlrund urrd asnp nlpurlrr lsocE EJ aiuaBuei
{ -pLrr l lJ sJJts J IaAluap ar}e1o: - :1ur :dernpea5 .pr : r jaLu Jsa)palpolJaJlpEc pUIAE i ar iu lor ap taial: , : : :s sr.rJslunJtyr1do.rprluozrro lnipullJc sJoprsuoJ S
rorr,)1xrIniJuu0 (ru y lu luolJ rp Int rsrp-r . r i lu (,w 'w) '0r lBlor ap BlerrJ ls ] \exu (, ro, (D)olc.a
n ,-. . in lungul mer idianuluiEi seconstruiesclairelehir t ,r-: .a acestcil indru paralelecu direc{ia D (d, d' )fl . l) . Se alegeun punct arbitrar S (s, s'), sitr-rat e{ ' . :a l ie ( . , .o ') g i se ducepr in acestpunct planul
i lr ' . =. cu direc{ia D (gi cu generatoareleil indrului).r ir 1{. :e asemenea n punct arbitrar (a, a') pe paralela
ll l l l r :rr si se dLrceperpendiculara crp, 'p') pe N., ,Lr ', ' .a dint re planeleP qi N este sF,s 'P ') . Pentrua
jl i :angenta a meridi anul N paraleld cu aceasti iu r , ' : ' . : se eleciLreazi rotat ie a acestui rner idianur i - - se uprapuue esie neridianul e ront (M, M').
u Lu,r-: ia M' paraleld cLrs'pi dd punctul 1m' mi )
l l l f f i l ,;carcedin rota{ie n punctul de contact m' m' )
- PLAN TANGENT PARALEL CU UN PLAN DA T||]IMIIIfrI.IIII|- P IE SAU PRIN DOUA DREPTE CONCURENTE.l[T rlr ::,nstruiasci planele tangente la o suprafafi denmrfiftLr,rc.aralele cu un plan P dat prin urme in cazul in,rmuruu'raia{a e rotafie estedefiniti printr-un meridian{u lnrffr: . t{,M'). Fie (<o, o') axa vert icalS de rotaf ieil i ir . :r. Planul tangent ntr-un punct de pe o supra-inu 1 :. :at ie esteperpendicular e planul meridianuluirmnp--' prin acel punct. Se duce prin axa de rotafie
rtr i, " : i ical Q perpendiculalpe P, caredA n suprafa-, ' i ,* ' - : iul N. Planul P este ntersectatde axa (o:,or ')r, ,--. S (s, s'), care se ob{ine cu ajutortr l f rt-rrr. taleiillllt i, r . Intersecfa dirrtre planele P 9i Q este(sa,s'a')..$p - '. meridianul N astfel ncit s: i coincidl: i t r rneri-. , , t i l t t rr; l : : tal M. Dreapta (sa,s'a') clevine sar,s'ai).
l l l l l i , rL ' : ,unctnl de contaci al plarrulLr i arrgent a
supralzrt ir aralel cLrplanul P este situat pe tangenta
paralel.{cu aceasti intersec{ie,se duce paratela a s'ai
;i se obfine 1ar,ai) carese ntoarcedin roialie in (a, a').
Prin punctul de contact (a, cr ') astfel determinatse duceplanul R paralel cu planul P. Se observi ci urma h, se
intoarcedin. otaiie in h qi aparf ne urmei R. Dar planul
ii, i: ,:I.Y:l^ j:l1yilp,i.,r ea:eriruriel'aprlurd, ,? l ] tp rErI ryne nlnueld 1n.ro1nfei r r r iq<i ,s tut l r j- lnuBtprJorud olenlrs nunr iJJse1alt r rn.1rrr ,n i i . l j *_': : -Tcryl rs4
du d+uir+rsl lunrlJos 0[alJI rnd .rrunricas
: - ,1. .1, : j " :innund au1|qo s aiielo.riri i 'puila.r
f ' ' rc ut, ,W alel rq,s eldea.rq ,,WIBJr lr r^ ' ,n inde
. ' . loJ Jd, tunde:drrs s r t ry ledrrur . rdnuBlprrrut t. )
l : .y, l l t i . ' ( r1 ' ] l ,arBolBrJUabqrrr Bt 1,q,e qe)uiucFuej
?] l _ l l ,o ,,8 'B)V ; rr l . rurrd 1 1rr ;Frru; rrJe16; rrn, i1:iLY_"i l?]1J-n".19,1t.Ira8uel 1nue1dt ilrrjx 1nue1dol l r r la l ] lasra: lLrrlsa ,u- , ru) q ln l rundu1aLrnr i josp:1. r . " : . . : l j r . I .uI arre ld rrr r r r i r , :srr i . rntJa,u u,1p rs1. . .y._ ' l )_W
l l l rund .Do)nzprp 1n;aleLeddnp r iu lo-r . ipulpJuJdnsJ?t , (.d , i ), eJuluozuo ndnp 6 lnrrepd'ezdauor| ;as
t l { ,_ l .n, tu,p I Iur? ld 1a11syrruni f r is :a1eolJrrnd' iuJs
l . l i l : ]g lrs l ts luozrro,o. }s. ) rBuni rror la l r i r r r6oric;o. rrp
uluJUJrl i lS lr l lJ l r iJc(l rs 4 1rrt ruld. il J lsl l tu;4Jo r?utrulJl-Jp JluJ l , rA rr, ) l ) Jl lJ. l \nu orrul t l uzcozrl r ' ln JS (t l 0i'F1J) . t rrrrr i . r, 's p l rrrrn;d 6 ri oriulo.r;p uiu 1, , . i , ,o1
-troJ SVs S '(,r ' . r) .ruoleLautF.q_rnr-.r1ur.rdllutJrpj.: l: l l l l"^ 31ur c;iuyo.rpqiulc;dnsb_.r1u,lunlraij uigb
nunt t r rs u luJrnJ tund un rutu la lJpJs fS :Jl iVI'olr sc I'reisJvddnsNt aNVTdr.rntl..liss.r.or
nl 1o1u.ruc[nlreld lurrd 1:^r-rr,r- r rel rnlnueld olalr i l l . ( ,n
'r )
.41nue1d
rrrJdpulJnp urlclr.r s lua;ur Jl ln l{)J l i lp i .) . l8ol l rr JS
( la,r;o)Jrrlrurr6Tronp rn,s ri l i u1a1e;ed1ry 1 eltraoirrr;1re r
'(Iu,s 'rus) aur.,rep ,q,u ,qe) uir. leo:q W Inrrpl rraruu. )JplJt l ro. )l r r r rouult l N I i i l i l l tp l . tJr i l J iJ l r ' . r S.olr r iqo 1_ urt l l t rod 1t?ir l iJrBl l roJop ( , ,0 r)
l r r i tLrnd p or i ;as lalr r r
l . lr.. lJdu.rplseaJB_r 9la1aied6' lnuelcl i] sii:clnr)'fil ' ] ] l : t l l l t l . l
u1uFra8uelpt ,(,q,9 qu)olia6 r$ elariuiriun,?f) r . i . )ut:1 lrodrrul tur .( ,q,e,qr i t
t td" 6' lS j alarruar lulp J l i . )J \ lJ lur J i i u ldL: ;_r11(.8,F) ntet r r r )zrJor l Ir lLt rpor i . ros. r r lu i i u ldL: ;_rg( ,8,F) n;eI r , iz , jb j , l u.,u:ulnrlpuad.redJnpas 16
-,g la, l,ru p lnueli l BZBazllr lnsElspaf ,E r luad .d ptuuld od reln. r rpucd. l rdlse' ig qyBulrd arrrl , r . rD-r ,
pLreld,al6ar i i :1suor g . ( l f .Oi .AU)
d I l l r i i ld ( .s 's) S 1rr '1. r r r r rdt r EZualJJs_l , r l r r r. | r ; cr fel-oJ Jp r: lpJIl tJ.\ uxB l,,D'( ,r) zpJ JSa.re l j l Jt{ ( s
,v}f
lS ,p 'p) q J luJurrroJ ' i l \ l , r , rpuol) . )p s ir r r j jp ,1 ')1r l , t.1
I
i l+....t
a acesiuicil indru estecer.cLrln centr.ul t t (qr, qlr1, azalui f i ind tot qa.Curba taie acestFig. 10.17
iffiriE(r, ('') vertica.ldqi un_cona cdrui directoareesteorur're arecare I' din planul orizontal de proiecfie.Fie,. s ') v i r fu l cunLr lui; i (c , c,) . r rU, f .n. i r torr . o-- : iSJSide. rotat ie ( f i 'g. 10.17).pi i rur i -aix- i t iar.l e
.. H' scc{ ioneazduprafalade-rotal ic iupJ ' j iaraleluli,Lu:azd. a, iar conul dirpi ,o.curbd.y ale cirei puncteruu:oritact cu .paralelui trebuie ddterrnir iaie.pentrurir ', , : : ta e considerd un coll cu .acelagivirf
-S (s, s,),
' r = admite cra directoare paralelul. Acest con itrter_,Mtl. : .azerimul corr dat dupd generatoarei ui. i, . , t i i-i : : . : planul H' in punctelec5ut"ate . ini.r. . . t i . aint. .
r,r-, y ;. i paralel.-,Astfel, rma ..tui Ae_ui?Jii", .o,,', , , lanul orizontal de proiec{ic este cercui ci"centrLrt. -rnra orizontali i (qr, qit a dreptei (sq,s,q,). Raza
u riui cercesteqra' Curba intersecteazi ceit cerc nli-: tul (b1,bi). Generatoareaomulii celor. oud couurir-: (sb1, 'n iy . Ea int i lnegteH, in purrctulB (b, b, ) , co-- . :curbei.y.; i.paralelului.Acestaeste un pulct curcutr . :rtersec{iei irrtre suprafa{ade rota ie-; i . ,uiuf cfat.
- Se-se etermineacum proiecfiile unui punct curent alffi.j
9S intersecfie_dintr-e suprafafa a"'ioiaiie-.u u*att tuoralteverlicaldgi un cil indru cu generatoareiearalele
ii-dlo4ll .+ (8, s,) ei a cd.rui i;;cd;;ste I curbdy.e.,T:,I^^9i" lanut,orizontateproiecfie.ie1;, ,; j. : \ 'er i lcata dc rotal ic ; i (c , c ') curba gcneratoare
.: : .afc{ci_de rotai ie f i ie l t0 'rBl . plrnrr"a" ' ' , , , i " . r H,-_. : loneazaupralafade rota{ ie dupa paralelulde r.azam.. iar cil indrir. l. uba o curba y. pJ"r. ; ; ; ; : l pinctele. : I r r rerse(.1reint re y; i Inralc l se consir lerni l i r idrul: : . : l ' i l
cLtgeneratoarele.paralelecLt dire,c{iaA (8, D,),. :noca dtrectoare aralelulde razdqa. Urma oriiontafd
erc n pur.rciele'8,{b., ,bi), care este Lrrma orizontali a geircratoarei omurlecelor _ oi cil irrdri. Aceastd generatoare rrtersecte; izd
i l l l ' l :1, : . l l i l 'c t ' i r rpLrncruli . tu_,,t , omrn ,, ir r " i-y
Stp.aralc lul ,ut .deazaqa. Puneiul B cstcut r I ,urrct urcniat l t rc fscclrctcc ioi doua srrprr ie{cdate.
10.2" FERA
i0_? . DEF|N|TTE. EPREZENTARE.E_TERMINAREA NUI PARALEL. teraestelocu1geometr ica1 punctelordin spa{ iu egald5pir tate de un punct
f ix care c\ ' tc ccntiuls ieret..Lungi ea constantd are rn.isoar idis-tantade a centru a or icare uncta l .supfafe le ise l lurncQ.teaza--sferei. feraesteo suprafal i lde gradul al doi lea ; i poate i clef ini t i ; i casupralalace ia na;tere din rotat ia unui cercIn Juf l unuiadintrediametr i isa i .De aseirenease poate considera
^sferaca fiind suprafata
invers[a.unuip lan.Se;t ie cl suprafatanversda unul pl.aneste o sfefa care trece prin polul
f9 invqpiqne ;i .a clrui
centrur e ghse;tepcperpendrcutarausa di i r po lu l dc inversiuhep€ plan
, Orice plan ci..e trccc pr in ceniruls lerel lntersocleazdfera dupa Ltn cerc careestenumit cercmareal sfereii i cureareacela;icentru ; i aceea;i azd ca sfcrb. n dubla pro_
:'-: : ".:riLLILla l - : l t i l
i : : *- . *r',lnl
: .. r l 1 r
t : " 1-r1 l
1 i- ' " ,
F : . l;ltir
:: - rllrrr
f , : - 1l
l_r : 'r iL l i
; i li '
- : - l l " i l f
i --- i f :5: ,,r$li,
t : -- : lL lLr
- - t . l . l ' l
: -- I r"rilllr
i9 - r -l lg --" i i l tL l
14 il &CIL iitu
I cruruutd*-u
181
6r'0t t rc
e8r0a'0I SliI
lifltl-ll {,", 'y) W orJ taJtsv rarfetro:Bpo}orrri5 y]1]tt+n gra3sFlsBorB l luaFuel'ue1dy-.:.r.iJj.aun, fe;erdns d leir j.rund rn_r1u;m-JlsuoJleod g .,I oleJrlJal ari lJn ricaro:d*l?1rn n ru1uad (,L,w ,nru)eieiuoztso'rieaza1so
' / I { IoAruap 1nueldnr pJaJS u3uolfrases e:1:3.jlu1tlrg.rerfcaro:d urfqoas (Ot.0t .SIJ)rnlnlolered I BloJ
-_rjelsaun 1e (1uorJ p nus) ;uluril;jo pa;uredun_euruJrlap sps .laJa;s
1eJ.rerurac un n:ralBdauBJp1JJIUJnJIJJl_uls aJeJS n;1uoo l.rclcrr l crer .elBJr lra^ uuld ur jd p-rag'si ;
"11ui,1i:l:_:_rnl '(lllori ap 11o1e:ed,SFurlsrp a,ra.ra;s
Jnzecug) lalru op rleleretl r.lnc.lJr":saurnu slo.tlu ap o.ueJd r:d p.lJ1s g olrunrfoos-arlploJap_ |eierdnserrro e1 e3 .rir.rejieiet nr gleFallnu lcJ nes pJrur rsru alsa
-pfuelsrpEisBaJBprep rpunrr lpar ols?-c.rarlsacy
.ue1iie1 IoraJSrjt,i::_^:l
ep efue;srp p.}elpr'e11e1eacloarp,.: i"; in-:J:.--r-ryrznuatrodr eje'"rnr'crqb- r rnloeJp i[]unU] rnun plalBt a]sJ EzeJ nJeJB
,s auxJlJes p 1nue1d d raJaJSnlni luar
111_oatorctlsr nrluar rnrgr lB orar-un
"isntero3,
JnJlLraJ.ulrd rar l nu aJBJueld un ,. , , uranug aunricasBllB arrro (fpdfruilci-InuBlppdtIaJaJSJp ]uorr aD eJprrr nJnJJaJ plerrlre.r
P iafe cle planul or izontal de proieif ie. Ease obtine cobor ind in i i de ordine din a' ; ib ' . Axa nare a el ipseiesteproiec ia r izontalScea diametrului r izontal decapi i t) l cercului,carese oroiecteazl er t ical n c'=e' . Deoarece
1ab, 'b)) esteun diametru le ront al cercului,rezulta ct i ce.-a'b ' . Tangenia ntr-un punct
sferei (fig. 10.21).Se roteEteil i lr i. i]: iul astfel incit si ocupe una din po -iriilir-e Mt (m1,mi) pe meridianul principal
'dM ron al sferei.Planul tangent a sferd nlil l: - 'r)uflctMr esteplanul de capdt TtTi, unde:l,i l*
''Ti
este perpendiculari fe co-'mi.Re-,rrnEl-:idin rota{ie, se obtrin urmele T Ei T'
'ur,r lanului tangent cdutat. Peniru pozi\iarrtnr'*ritlerticale T' se util izeazdo dreapti oa -"niru;:thmv, h'm'v').
] ] i i : . SECTIUNE PRINTR-UNPLAN PRO.mifTANT. Si se detennine proiecliile curbeiuiM tersecfie intre o sferdgi un plan de capdt,mnnrg'entantr-un punct curent M (m, m') ql*ruurleie secfiuneEi axelesecfiunii.Fie (<o, o' )"* : ' - : l sferei i PP' planul de caplt dat 1i ig.l i l - i. Cercul de secfiunese proiecteazi peilrr,';- \-ert'cal total deformatdupd segmentuliu 'h asternutpe urma vert icaldP'. Proiectiartrtt;-iiald a acestui cerc este o elipsd, care
lrrsrfi:angentd n r Ei s conturului aparentori-;;tlmmn:i,l sferei.Proiecfiaverticali a centruluilnn":- :ui ste c' :e ' qi se ob{ ine ducind per-t lnrrr t l : . . 'u larain <o'pe a'b' . Axa micda el ipsei*nir :roiecJia b a diarnetrului erculuidir i jat
curent M (m, m') al curbei t le secl iuneestedreapta de intersec{iedir-rtreplanul secant9ip1anul angent a sferd n acestpunct, plan
tangent care se determini cu o orizontalziG (9, g') ; i cu o frontal l F ( f, t ' ) , perpendi.-
culareperaza <om, o'm') n punctulM (m' m') .
Planul de nivel H' al centrului ferei eterminziin planulsecant dreapta e capdt rs,s '=r ' ) ,iar- in planul angent asferd,or izontala u, t ' ) ,obtinuti ducindepr in q, paralel icug. Proiectiaor izontal i a tangentei 1a curba de sec{ iunein punctul curent M este m, iar proiecJia a
vert icalacoincide u P'. ln nrocl bsolutana-
log se construiescproiec{ i i le curbei de in-tersec{ie lintreo sferl qi un plan vertical sattparalelcu l in iafde pirnint.
10.2.4.SECTTUNE RINTR-UNPLAN OARE-CARE. Si se determine. roiecli i le curbei deintersecfiedintre o sler[ gi un plan oarecaregi s[ se gdseasc[ angenta ntr-un punct curentM (m, m') al curbei de secfiune.Se considerdsfera de centru ( ,0, ' ) gi planul P dat pr in
urme (f ig. 10.23). lanul de nivel H' dus pr incentrul sferei determind n planui P orizon'tala D (d, d'), iar in sferd un cerc mare,care se proiecteazi orizontal dupd conturulaparent
^orizontalal sferei. Se dblin proiec-
t ( l ( )
ffi
:imildr
ed ]Bn+ls 'lqlu lnluaurFes Fdnp pieurroJappeloi a.lzde gdec ap ueyd lsace nr BtrEnlraJa
$,,,,,,,,JaJSJ eeunricag .l^ noxr6 purun aurfqo
'* ld plrlor Burn .Iaraipdec ap 1nue1d
Wrl^apPsllrul IeJlsB dd 1nue1d
lielor esqS nlnuuldp d BurJn d qore:elnerpuad.ladrnpaS '(96'01 'F11) nlnuuld alerurn ,d IS d el C
'BJaJs -Jlur eJBcoJEoeld un nrtriBnlcoJarunrfcas oprfcarord alaxe piur.rninltr,J nJlsuoc1od as rarlelor Epolau pr.iJzrlrln'irSrgtrsI '(,n 'n) lS (,1 ,l)
luls apuncl alsarv'elEluoJJ
iuls ounrlcss ep pqJnJ plsBaJBplelalueFuel llunricas ale Fiururu nBS ?rulxuurerel.rpdap p alelrund ul '( ,b 'b) r$ (,d. d)
trlgsalcund alsecv 'a1e1lozr:o
lugsaunrfras
mp pqJnr plseeJ?u1 elaluaFuel rrunricasei e.Ettrlupups Brurxeru loJ ap elelcundu1 (,o 'o )trnlcundalsa rrunrfcesInJ+uo3 ,e rS ,,t
1nue1dJrul IeJlsE -a1ica1o-rdp leluozr:o uuldap aJeqrrrrrlcs rode li erfrarord ap JBcrlJeAUBIOAp sJBqUrqJSO ArsAJJns ru; as rrunrf-)es Jolexp erfcnrlsuor nJluad .lJungfrasal uBrulullu nss prulx?ru arupudep ep
1$pulu
-nu nus ptulxpru ploJ ep elelrund ;$ lgunyiaasJol llJaloJd elexu eururJalep s pS .(,u ,u)
Vlnleund ur elueJnJuof, (,3 ,F)
O RlpluozlJootS (,t 'I) C ululuorJ o ep ltutlep uejd un-.riurrdpJals o-Jlu ueunlfras lallsu pJeplsuoJ eS'BZpauJnuno pdnp lJexa_ o;nF1r eru Frualq-oJd.FlspaJ€pA[oz3raleod ag .a1e1npc(,4,ur'{u) gapraFuel lufcarord pururJalap ,ui ,irr)
lnloltnd nr euna:dur l ,p ,p) rS (,o ,o) a1a1e1-uoJU arlurp alicasralur ep (,{ ,{)
ap erur l?;o al; 'Foleuy 'fr rS rc lugs leluozrro +uar-ede lnJnluoJ ad aiunlrs eunricas ap laqJnr;[a]Jund ']bjd = ;s r* bd +uls alB]uozrrop1fe51ord laxv' Ibld lnluaruFas ]:^o l lur l- l i ras e Rletr lra^ e1foa1or4' Iqtu elsa Ia lBl-{IoJJB plBJr}JaA ricarord Bnou Jer 'rto o}saloJaJs nlnJluacB BIBrllJaAoricaro:d enop .F
ad prelncrpued.tadlugrugdap arurl Enou txroal l . ' ( f6 '01 'Fr;) 1eu1:aA Br Bal iopIB.uI rBr' leder ap ?.eJ
W+uarnJ^ lound un-Jlur aunrlcas Jp ?qJnJe1 elua8uel 'ounrfcas ep raqJnr alB e1cfunda1leaur iqo 1od as C IS ,H :o1aue1dlrr frzodplrrrre1 'leJeJSInJtrueJ l.rd 1o1snp ,J
luoJJep 1nue1d p FlBurrurelep
(,g ,g) V BlBl
-uoJJ nJ IBlllJaA 1ua:ede rnlnJnluoJ el i-JJSJJlrr r. l :( ,3 e) S (,,1 ,1)alalrundurfqo asdolBuv ,d IS ,rc ul pJlprJasoJEJ fl r$ alrr f
86'01 31:I
Fig.10.25
tll lmmmnrn'erticaldPi. Axele proiecfiei orizontalennnrlrtrh 5i ce : aibi. Proiecfia orizontalS alf,ilrnir-,-riecfiunii este m. Punctele secliunii,inml,:*nl:-e conturul aparent orizontal sint r
tul m'n' , iar or izontal dupd un cerc de raza
o'nl':
o'n'. concentric cu conturul aparentorizontal al sferei.Proiec{ia orizontald d adreotei D intersecteazdacest cerc in o( $i B,cari se ridicl respectiv n a' Ei p'. Punctele(o, *') $i (p, p') sint punctele de intersecfiecdutate. Planul de profil al dreptei de profil(ab,a'b') seclioneazi sfera dupd cercul de
i l i l l l "r mod asemdnator e determini axelepmmnnre:.,eierticale ale curbei de secliune.
i - I INTERSECTIADINTRE O DREAPTA$ffi i-l SFERA. Se vor considera mai multe,rrrriiir*.a-..iferite, atit ca metodd it qi ca pozitierit :Jr{::L.in raport cu sferasau cu planele delnr+:- :e.tttttt'$il s€ determine proiecliile punctelor derrlrltmhrrucfieintre o sfer[ gi o dreaptl D (d, d'),
mnr,rueliu linia de pflmint sau de profil (ab,rmrh Flanul de nivel H' dus pr in dreaptaDillliliiui;. .26) seclioneazl sfera dupi paralelul
20 S[ se determineproiec{iilepunctelorde inter-secliedintre o dreaptilD (d, d') gi o sfer[ uti l i 'zind o rotafie a dreptei in pozilia de irontald.Se considerd axa vertical5 (2, z') dusd prin
centrul sferei (fig. 10.28).Printr-o rotatie denivel a punctelor A Ei B de pe dreapta D in
Fig. I0.26 Fig. 10.28
165
r . \ru ap lnuBld-o]$aulJlul s ldEarparBf,,o- 'o) lnlnlJrrnd nJoln[enr eleurrr ]Je]ap
6a 0l 'Fl: l
98I
;.iod,,11ia.irrlp1n, nlo'"0it;lr"ta;rni :ner ar i tasra],ulp ( ,d ,d) r i ( ,r ,rc)alalcund.;D as O BldEaJp nJ a:eolerauaFJolsaf,B
InlnuoJ ?polau pulzll l ln>LruJ s -rc ltxl|s lolnuoJ Bpo]alu pulzll l lns o S (,p 'p) q plduarp o erlulp agfrosr ap rolaltund a111ica;o.rduluJalepespS og
.q ulduarp uJjdsnp 'd l"J Ue^ ;nuu1d slllxns uuld er pulzll llnprels o ;$ (,p ,p) q plduarp o arluJ-p aiiias-Jalu ap rolaleunda1;;fra;o.rduluJalapes pS o?
O raloorp paralBqBr.trJcuJajlss ,nq ur aleqeras FldBarpad ep ( ,q.,q) .8 aJpceJsolnleundJBI ' ln lpqpJ nes lnrrdord aulruer u lni lund'laroJslB leluozrro ruarBdBn-Jnluor r aJelBqeJFdnp ap.putor d InuBIdur:d eraJsuI aunr{Jaser lnurfqo InJraJ
.(,e ,u)y lnfcund ur:d r$reJaJsInJluoc r:d araJl.aJp)( ,Q g) y elupoz-lJo OJalBqeJp ?xB BJ puJnl ,raJeJSrnlnJluaJlB ,H lalru ap 1nue1d d lncrac r i eldeo:poleqBros Elseace r+uad (Oa'Ot Fl l) ( ,d ,d)
t i(,b 'n) eletrnpr lapund u; 6l eldeatp- p'f ulgiuialsa eJpl 'eJBuJ JoJ un pdnp erals gzeauorf-casueld lsecv
.leJelsInJluar l$ q-ulduarp ep
lprr uralap. '4. nuu1d" l lxnu uu;d ur pulzl l l ln'BJals o S (,p .p)
O plduarp o a:1ugpagfras-Jelu ap ro;a;rundey;1ire;ordururelepespS og
'PJaJSPzBJlJasJJlul
q.eldearp erer ur ' ( ,d ,d) rS (,r ;r ) j la leundur lqo as FlnJpJl l le lor- urp putualay .Id r$l?oluIS alBJrlra.rr11|ca1o.rdoJBr olp alolaund i"rgrseul l lu l os 'J. ueld r6elare l pul lJ ,eunrfcaiap JJaf,isace r$ rq eleluorg .raJaJS
le 1eor1ra,rluaJBoB InJnluoJ nJ JtJluacuoc ,url? : ur gp,zeJ p JJoc un pdnp 1err l .raA BJ ,uru
1f ig . leru l l i : : d in tre acestc i l ind iu ; i sfer i esteunlulur i-t ie a l sferei; i
-este
situat in planul p,
r i l l l t l i i:: i i t centrul .sferei, perpendicular petluimrd:: D datd. Orizontala'(r,li, co,a,), unie,,,rntu*d.i frontala (orb,c,l,b,), i-,a. rir,Ia;,ml-_:.lte in centrul sferei,definesc lanuTR,ui l l l i ii -e intersectat e dreaptaD i r i punctui
; .- : l l_4..ft punctC ,* u'U1in"u'r i;urin{i, , , : : lnd planuldecal l i t duspr in dreaptaD.
" _: :e le duse din punctul C la cercul del:rur l: : dintre sferdgi-ci l indrul circumscr is i' tt lt lrrtuii_:cteleM ;i N de pe sferaciutafe. haba_
11u't'_mr, gi ne ale acestor puncte se ob{inur lr , ' r i .- :rdrabatere punctufuiC si a curbeit l t t t l t ,:aact. e_planul e nivel H, ai centrutuiiuttiirrr.fn jurul orizontalei (coa, o,a,) uati catii i i ir ,,,,r rabatere.Astfel punctul C'se rabatertl l :,a. ar rabaterea ceriului cle contact semlrul- -da cu conturul aparent
-orironlur al
.l11*'-Tangentele 1 9i t^nduse clin-co clauilr..r_:r i le m0 gl ne Car€se rirlici clin rabatere
l1, t ' m') giN (n,n').
;T.:.^d:lermine planeleangenteuse rin
este eterminatepolara"b
t pr;; i ; iui s fafde conturulapareniorizontat;i ;i;;;i gi esteplanulvert icajp,. Anaiog,
.; '^si"; 'aa
urmaI: i l i : l ld Q', a.planuluiclecapdt n-caresegase$teerculde contactdintresferdsi conulcircumscrisi, din viriut T ii,-t-, ; . 'AJeje ouacercuri e ntersecteazd,n cloud uncteM ;i N,in c,are lanele angente" ;i;;i';;;;"p.tn
""r"louivirfuri alecon-urilor,leci rin [rptu O.PlaneleP_ i e au ca dre.aptd e intersec{ieclreaptaab,c'e'), care ntilieqt" .ieiu o.maiin.purrcteleiutate-M; i N. nentru obl ine1lt: i : : : l i , dintre,sferi 'qi clreapta
-1ab,c,e,),seelectueazi rabatere planului eri icalppe-planul enivelal centnilui i*. i , luina .,axi de rabatereorizontala tr"riri'i nivet
:afese,proiecteazArizontal updab. punctulrJ 9,g') ramine ropriul iu ribitut, iar (h,h.)se rabate n he.Curbaa" .oniu.i'siiuata inplanulP se abate upi cercui aiurltru uucu centrule. Se obiin rabateritemo-; i ne,carese ridici din rabateren puncteiefi ;i iicautate.40Si s^e.onstruiascl,n sfirqit,printr-odreapti4.(P,^8') dati, un ptan tdng*;i l;
"o'sferi,
utilizindoschimbaree.plane"rii.uf -.roiecfii:: :..-.|lli:.-fi: q,co')'centruli*i.i .j'ir,, i, l$t (v, v ' ) urmele reptei (9, 3,)1i ig. o.rs l .
Pllla^,"ltoegord aq euuli {nop eier nr etup9.j: i_.^ttj"Jqiungrugps'erui ,lireairuluelo ufi t:p Efft o ut ?rsuln4suorsps .eticaroudgg_. E .r\ndc srvo ruriisonTirovraUVC UsJs 'I lNircNvr
NtlJ':or.a.or
f:r* _y]rdsn., ra;s.1alua;uel"; fJtffjr
aler rseurJepN fS ry pfuiFuulap'etatclndnbF:.ll.r9_rJ.yldealq (,ry r)
ry_ $ ,u ,u)p
l?:y^_r-"^'()urru;'iv rs ()u iuf [ ,Xp1",in,i
".liT3.'t:jl illI3?', srncqj.e11eioi'11ipu u'_1,r.rglH rnlnuuld eurn ad alenlls cdase'FsFl-y?lunl p
]V-,P[ue- Fa,t lnrluacl l l l .np_/f{ ta^Ju p. nueJj .gn;,ifr l izod
:::::.n.]yr,$
'q
aleldaipr'iurp d punurorBrElnJrpuad;adc tuarJrJns lsa eise6ce Jluad:t?l :gllv qeilrrS,rur^aptrsEarBusc usd[ i8 ' 'S)'y eldea:p r punardur3ri jror as::.?j1:r -:ld,p eueld p u_alstsuiou'ug'arajslirt_Y:_"u1.rdsnp(lp .rp)_tg
t^rdnr p arle1,ir
:l :::..f1?prsuorSs : rxtopurnt arljardrd
ap urrlr;^ueldap areqrrlrrlrsfzeenliagag
ol'ot 'Fl.t
__=_ ,1
: i sferei ciutate. \aza r a sfereieste- ; := lungirne dis tanfe ide la (co. , ) l ir . r ' i r fur i de exemplu<o,ai.
$ilrur determineproiecfiilesfereicircumscrisetu rrtraedru oarecare SABC. Se consideri
- .-u r-irfu-l n punctul A (a, a,; ;i se- ::*r_planele ediatoare , e Si R ale
-: .AS,^AB_9i C carepleaci din acest. 10.42) . entru l ( . , o j ' ) al s lerei
A (o ' ,B') scobf ne punctu l lc nterseci iel in t reaceastadreapta; i p lanul mediator RR,.ureapta hv int i lne;te 8 in to, care se r idicdln <o'pe 8', Razasfereieste<,r ,ai.
L0r2-. ?. FERA INSCRTSANTR_UN E.TRAEDRU. i se determinefera nsmisl n
tetraedrul SABC, fafa ABC fiind cuprins[ inqlTTl orizontalde proiecfie.Centrul o, o,) alsterei inscrise n acest tetraedru este pun;tulde
,intersecfe al planelor bisectoaredl" ai"-orelor, care au ca muchii segmentele B, BCEi CA (fig. lO.aA). r in trei
"schimbdr is imul-
tanede plan vert icalde proiec{ ie e pot rrans_lorma_ lanele_fefelorSAB, SBC ;i SCA sdoevlna,plane de cap5t. pentru aceasta e iag:*Llu|, oux-elbc;i-osxs.Lca. ecoboariidin s
nnl l le de ordinepe acesterei I in i i de pbmintgrse a pe iecare otavir fului S (s, s,) . Rezultdsi, s i $i s6, care definesccele trei ' p lanedecapdtale fe le lor aterale le tr iedrului.p lanelcbisectoare le celor trei diedre sint planeleclecapit PP', QQ' gi RR'. Pentrua easipunctulde intersec{ ie l acestor rei plane s'eut i t i_ze.azd.planul _uxiliarde nivel rui = n; = f.td.-.omun.
cir_: i= tetraedruluiSABC este Dunctul de.r* r ?l planelorP, e
$iR. p'eepurds_a
:: ca P* = Q*. Pldnul de iront Fn:.:a
.planeleP .gi e dupd frontaleleru{Li l rrLrErldral lete r sl q dupa lrontalelep' r ,r ' r s i (km, k'm') , carese' intersecteaz:jiitl'rrru..rrr:::l^MTt, ry'). Deci intersecfiaplane_
_ - . . . ,,r \rrr , t t . l. uc l . I lutt l l 5gcl la Dlane-r : Q este (P"m = D, p*m, = g,) . Cur"- - :arrului lecapi i tTT' duspr in c l ieapta
f,lne]en ;i R au punctulA (i, a,)
l?e asemenea, le mai au comun punctul
S(.,
m') , care ezulta.din nt_ersegfia 'drepte-Ior de .gapht (d, d') gi (0, 8,) . Dreapta delntersecl ie e = am, e' - a'nl ' ) a planelorp
I
Irfr-ie elfifr
lg0uillr
[ .-fl
-mnmu ill;]lltllr,
uP
Fig. 10.49 Fig. 10,43
191
iLiirl,JiH'"o,,?gP"3,1'Jlg,'V,,Ii.€llalouo rp rol 1n.rtruar,rl irt)
unruor luaFuel 1nub1d lse'(,ir ,p; q*rlp ur.rd snp aJar. . . / -, r -_r r r. , ,s ulp Bleun luaFuelid .(,{ ,{) I$ ,u u)"yalijcu"oisrl" I JJw'ot 'Flg
9f '0r ' t lc
*r: '
f
l f l idi-rrius prin dreapta D (d, d') este unul: ;nrtuu:t ,eangente comune ciutate. Problema
* total patru soluf i i .
, .UITERSECTIAINTRE OUASFERE.m rduterminentersecfia dintre doufl sfere
5i sd se giseasc[ axele proiecfiilorl ie i . Fie (O, CI'); i (o, co') entrele elori=:e date (f ig. 10.af. Se efectueazioi:e de plan vertical de proieclie o1x1
Lllllt- e-.tfelca clreaptacentrelor sferelor sii, ' . .ontala orO, u{ O') . S-au edus otelcLii,,r .r;ltr l l lui primei siere.Conturul aparentLn --rou l primei sfere oincide u conturulr in.:entor izontal, ar noul contur aparent; i ; l celei lal tesferceste cerculcu cen- - Curba de intcrsec{ ie intre celedoui*r t; ,r i tuati l n planul de capzit ' : a ibi.
=-releprolec{ ic ior izontalca interscc-' ' i i ' - ; b gi cd : aibi. Punctelesituate pe
-:r le aparente r izontaleale celor douir, . : . i e, f q i h, S. Ramuravizibi l i r a inter-r - :rproiecl ia r izontald stegbh. Analog,- : - .chimbareeplanor izontal eproiec{ ie
ltttl..: l ini axEleproiec{ieiverticale a inter-l * a cdrei ramurl v iz ibi la este<p0e.
10.2.1 - t .NTDRSECTIADINTRE TREt SFF. t tE.Sd.selef9r{nj.ne. ntersectia dintre_trei sfere. Fie A (a, a,),B (b,b') gi C c, c') centrele elor rci slereS' Ss $i S; dai;(f ig. 10.a8).SiereleS, 9i Sn se ntersecteazi -upd rrrccrcC, Sferele Sz gi Sr-se in-tersecteazidupd un cerc Cr,Cercrrr i leC, gi Cnse intcrsecteazzirr puncteleM (nr, mt )sau N (n, n') cdutatc, n care se intersecteazde aseme-nea.9r ercurileCo rrC, sauC, cu Cr. Seobservici planulP al ccntrelorsfcreloreste.unplan de sinretr ie.DreaptaI (E, 8') caLeunegtepunctele-M
;iN qomune elor frei
s lere stcperpendicLr lar ie acestplan p\Direcf ia acesteir l reptepoate i deternr i l rota u o br izontal6si o i ronialaa planului ABC..- P, Dtc i pentru precizaieapozi t ie inccsteidreptc cste srr i i . . icr r t rr s ir rgt i rpunct 1kj k, ; 'a lci (de cxcnplr r , prr r rctul r r carc aceast i t l reapta nt i l -nest r . lanul P). Pentrrr ceasta e abateplanulABC - ppe plarrulde uivel H', l r r indc; r izontalaap, a,p, ) ca axidc rabaiere.PunctelcB si C sc rabat in bn i co,*CercurilecLr ccntrelc a, bn li co sirrt cercuri rrari aie sferelor.( .e let rei a. re adicale12,34; i 56 ale acesior ercur iseint i lnesc innti lnesc in rabaiereakn a putrctului ciutat, care seintoarcedirr ral-raieren (k,
uI -JaraJSp,r iuurixij.rdeorein6sr l a lezrpln g e 'aJrqrsod
rolapola i lprurpnl l l rnrut.-i_cp
^rlrnluroluluazerdluls 0g.ble:nFr; J .qi5jso
.".Isapn;luada,rrleurxorde polaur li jalip irsixrr-sdlr ts n:}uad a t leul txoJde apolaut al r. lat rb brsi r:rvrnsplsepeupfulurdns o ,ar1Sos'u.r 'nlcai ip : j jsa'eja1
\ [ , , etc. Aceste construcf i i pot fi urmirite pe
r. i iguri le 10.51 a gi 0, unde este precizatd;i\ pe desfdgurata proximativd a fusului V
u r,-:ctului A (a, a') de pe supraiata sferei. 1nliiiLnlgura 10.52este prezentatddesidgurarea pro:lgura ru.oz esreprezentala oeslagurarea pro-
l ::nei sfereconsiderlnd zonele sferice.numero-ilLlnrr_l a g, ob{inute prin sec{ionarea l erei cu planeNultL.. acest az se desfigoariporliunile din supra-lt f i f i tv 'suprinse rrtre cercurile paraleli orizontali.
LlMs;i,rurarecestezone slerice pot Ii aproximater . - tanJd u nigte rrrncl t iur i econ.Aite nretode
i ri
corts iderareauprafe{elor ol iedrale egulalesau semi 'gicvasi- regulateu numar mare de fele rrscr isetru
ircum-scrise sferei. Pe aceastdcale s€ 'ajunge la structuri lespaJiale ret iculate sau la structuri le geodezice t it deuti l izate astizi in construct i i g i arhitecturi (f ig. 10.53).
1 lrajs eur,ir.rjl-pr- -i1"po :ojj:t_u _q.u"Eg"ls pnopatr;J noira1eei1u1iraduul:_t ezerop ,o;u8aa.la;s;ai1eze$ebn'asR:;j, i;i;;rwr"luozlJoueld un ed qtuiE )rrrsorR tn 13 r,r,,a,-r^1.n-t-*-z - U ?zPJ ap 'PIIWI
.Gr ap
::?qEl
r-5un1t1
L :: _l ,1${
I :: -gn::, iaturi dreapti de capit (ornor).Se obline
' i ' ' f f i - 52.. n felul acesta roiecti i le erticale le. :e:elormici sint determinate.Se poate ajunge
:ezultat gi printr-o construc{iegralicd. Ma i
:a.-.:ruob{inerea centrelor o:i 9i <oi ciutate se
"lre: ltele a'b' : c 'e ' : r: 30 pe vert icala
- - . i idianului principal al sfereimari. Se unegte
lDslr ; "1- : , ' , -u b 'gi cu e' , se duc paralele1a acestertltnirf::;n a' qi respectiv c' apoi se considerh fie
r ; - . , t segmentelor, ib ' ,o:1e' ie dreptele i t '
qW
rrur rei conuri de rotafie de inilfime 100, cu bazele,gale. de razd 30, situate in planul orizontal
:tre ele doui cite doud. S{ se ateze n spafiulrm ::re cele'trei conuri gi tangenti lor, o sfer6 deum ji[t. deterininindu-se niltimea centrului sferei
,uu rrul orizontal. Si se deseneze poi sferelede
'mr:rnd qi minimd care indeplinesc condifiile din : : ;ege triunghiul echilateralSrSnS, u una din
r- : - r id de capit ( f ig.10.56). Paralela pr in b'- . - : id de capit ( f ig.10.56). Paralela pr in b'rrr i l 'n: , : iea1a' conduce a centrul coto'al primci
:1, - :e. Pentrr r celelal te doui sfere sc considerd
bisectoarca urghiuluixa'St, Se ob{in proiec{i i le vert i-
cale c'r* gi ar* ale centrelorsierelormaxit ld ;i minirnli.
In epula dir r i igura 10.57csle prczcntat i iqi o proiecf ielaterali l a ausambluluide siere astfel deter-nt inate.
I0.3.PROBLEMEROPUSE
lo Sd se deternt itre tt paralel orizontal (saude front) alunei sfele cunoscind:
a) cota (dephrtarea) a I;
b) raza sa R.
2" Sd se deternrineplanul tangent la o sieri i datd dttsprintr-o dreaptd de prof i l, determinath de pLrncteleA (a, a') ;i B (b, b').
3o Se considerd punctele A (a, a') ;i B (b, b') gi odreaptd D (d, d'). Sd se detcrmine pe aceasti dreaptdproiecli i le punctului M (m, nr') astfel incit :
a) MAs+ MBz=: BAB9
b) zMA: 3MB.
4o Sd se ducd la o sfereun plan tangent de pantii datr i,paralel a o dreaptd datd (Numirul solu{i i lor).
5" Si se determinepunctele ur.rei ec{iuni plane intr-osierd pentru care cele douti proiec{i i ale tangenteisintparalele.Fig. 10.56
r97
$ j v rnlJundr.rd ra:lir 'gi;n'u'rl,"r, jiT#;l
-Ji,1:',1"{jj;tjnl.Tor.,"uryya1epdps t,6 ;"t ilrrrrfo,rlrqre und un r$ erf a _oidp" lJiu"ral j;lr1oi lLrnlrsV rS q alaleied loa:p enop e.reprsuocg o7g
,,-i ,:ilil1,",?';:,lTlT,i;1,ifli.1,r5iteJ luaFuelflBpdEzerp,rril?,,ili"8 rl":jgur) ypundn p f s,rq(jf",1l,X,Tt^"#jl,;,TJjr q Fldea.rpujnp'ai p's ,e' ,e) 'y, t; i r ; ; ; -; t i ;
.9a
ii, *iTri -l#lr":i#fi{t ?u.oJ,1JJ."#i313,i?'fTl?:lg,i i":,:3i5f1a1u;1luaFuellso1$,rll:...1:::^nlro r.rr'lllTi3rip,a1eeluarede lrrnrnliro:
l'?'$;3l;;;lliiri;:i T$iltfidi"'i'i:3jj#jp ir, arbfi;UF5J";il?i,]3il?,l',/,,1',lff?ji
Lr ' , - : i i p lanul P dat pr in urme. Sd se determine
'l e..le . -:,,riu0llI i f , i' *hi i , ,tz aab. a 't tillr
i ai '1: -: tnul
-, . ;era punctul A (a, a') s i tuat in inter iorul
t;-
" runct A (a, a') si se ducd o dreaptb-a t reaci la distan{edate fa a de prrnctele\ (n, n ') s i tuate pc aceeal i or izontala
- . - - . t ru iascdconturur i le aparerr teale sierei. : : ra dreptedate in doud-prrncte ate.
:erh trei segmente rect i l ini i (ab, a'b'),ef, e ' f ' ) , S i i se deternr ine roiec{ i i lepunctc-
, :e: te t rei scgmorte e vid s imultan sub-urr
r , r - :e: -bo sfere gi o dreaptd D (d, d') . Sa se
n , . :_sint atrgente elordoudplanecleproiecf ienr 1,ceprof i lPdat .
lliuur til]
. : t :u iascd fc lacarc rccc pr ir r prrnctc lc , B'=-gentdla o dreaptaD (d, d') 'data.
l iu . 10.53
tor. Torulpoate i definitqi casuprafal i nversda uriei suprafete ilindrice sall a unei supraieteconice.Astfel dacd se transformi prin inver-siune generatoarele nui cilindru circular ver-t ical (polulde nr,ersiunei ind peaxasuprafeteic i l indr ice), e obtine Lln or care are un punctdublu in polul de inversiune. iecaregenera-
ir."i singuri pinzd. Ca imagine plasticdf : - - iuprafetree aminte;te,de exemplu,
uutmr', .-tmisferd se agazd rei sfereegale angente:angenteemisferei t r puncte dc cota data.'nt"r: : l ie aceste fereqi sd se construiascio sfer; j
r ,: : tangenti acestor ferc.
- :EUL
DEFTNIT|E.ORULCONSTDERATA
i in:; cercului, astfel incit suprafata va
toare a ci l indrului se transforml nt r-un cerc
meridianal torului. La fel, transformind,pr ininl'ersiune conul circular drerrt se obtine untor cu dou2i inze, care core\lruud elor c loudpinze ale conl l lu i .
lu . - r .2 .REPREZENTARE. ECT|UNTN ' ,rOR
PRIN PLANEDE NIVEL SI DE FRONT.S[ seconstruiasci ecfiunileprin planede nivel 9i defront in torul cu axd vertical[. S-a arzitat cz'rtorul este suprafalade rota{ ie generati pr in
rota{ ia unui cerc n jurul unei axe situate nplanul sdu. Fie (<o, o')axul vert ical de rota"
{ ie, si tuat n planulde iront F, ; i f ie cerculdctazta coia' un ner idian pr ir ic ipal al supra-fefei, continut in acelal i plan de front F(fig. 10.58 ). Conturul aparelrt orizontal altorului estealcatuit din cercur i leconcentr icede raze coa colierul) qi ob (ecuatorul).Cerculde razd <ozcostecerculni j lociu al suprafe{ei.El esteegal ca razd.paralelului nferior (c'e')
; i paraleluluisuper iorciei) .Conturr-r i parentvert icalal suprafefei ste ormaidin proiecl i i levert icaleale acestor araiel i ( infer ior; i supe-r ior) ; i din celedoul cercur i ,mer idian r incipalde centru coi ;i co{ (rnirginite de tangenteleexter ioare onrune). ecfiuni le n torul cu axi i
Jd
t---
:,r iltin
: ,illillll
$, "b ifllliL
t E€.::n,nrilMl
t l . : 'ryq11,i ,,,
.€ i ::- l : : l l l l .l : : : - : lmi i f:-
":,:: l^ilillll
ll r.
m,4FATA NVERSA. orul este uprafata
lflnr"rr.rulatru generatdde ul1 cerc iare se
O. i: fliii,: D i" lil'iill
mi llll
ie salvare. Dacd axa intersecteazimrtu-:rul generat n^aceste ondili i prezinta
,u r * la inter ioard. n acestcaz, cele douar :,e suprafefei interioare gi exterioare:- : celedoudpunctedublealesuprafefei,
, : punctelede interseciiedintre axii si : punctelede intersec{iedintre axi pii- :rafa{a lor prezinta un singur punct