Tallsystemer FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallsystemer T - 2 2 Grunnleggende om tallsystemer T - 2 2.1 Tegn og symboler T - 3 2.2 Nullen er viktig T - 5 3 Tallsystemer som bruker posisjonsystemet T - 6 3.1 Titallsystemet T - 7 3.2 Totallsystemet T - 8 3.3 Femtallsystemet T - 11 4 Tallsystemer som ikke bruker posisjonsystemet T - 14 4.1 Romertall T - 15 5 Andre tallsystemer som er i daglig bruk T - 19 5.1 Tallsystemer i forbindelse med tid T - 19 5.2 Tallsystemer i forbindelse med måling T - 23 6 Tallsystemer fra historie T - 25 6.1 Det egyptiske tallsystemet T - 25 6.2 Det babylonske tallsystemet T - 27 6.3 Mayaindianernes tallsystem T - 30
33
Embed
Tallsystemer FRA A TIL Å - matteroar.files.wordpress.com · Tallsystemer FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallsystemer T
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Tallsystemer FRA A TIL Å
VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE
EMNER Side 1 Innledning til tallsystemer T - 2
2 Grunnleggende om tallsystemer T - 2
2.1 Tegn og symboler T - 3
2.2 Nullen er viktig T - 5
3 Tallsystemer som bruker posisjonsystemet T - 6
3.1 Titallsystemet T - 7
3.2 Totallsystemet T - 8
3.3 Femtallsystemet T - 11
4 Tallsystemer som ikke bruker posisjonsystemet T - 14
4.1 Romertall T - 15
5 Andre tallsystemer som er i daglig bruk T - 19
5.1 Tallsystemer i forbindelse med tid T - 19
5.2 Tallsystemer i forbindelse med måling T - 23
6 Tallsystemer fra historie T - 25
6.1 Det egyptiske tallsystemet T - 25
6.2 Det babylonske tallsystemet T - 27
6.3 Mayaindianernes tallsystem T - 30
Matematikk FRA A TIL Å
T- 2
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
1 INNLEDNING TIL TALLSYSTEMER
Vi har vent oss til å regne med et tallsystem som vi kaller for titallsystemet.
Det betyr at alle de tallene vi kan tenke oss er skrevet med med ti ulike
tallsymboler, nemlig tallene fra 0 til 9. De fleste tror at dette er det tallsystemet
vi kan, og at alle andre tallsystemer er vanskelig å lære seg. Der tar de aller
fleste feil.
Til daglig bruker vi mange ulike tallsystemer. De fleste av oss klarer å bruke
opp til 4-5 ulike tallsystemer samtidig – uten å blunke. Faktisk er det slik at det
til tider kan være et spørsmål om titallsystemet er det tallsystemet vi behersker
best. Kanskje er det slik at vi er bedre på andre tallsystemer!
Når vi snakker om tid, snakker vi nemlig både om 7-tallsystemet (1 uke = 7
dager), 12-tallsystemet (1 år = 12 måneder) og 60-tallsystemet (1 time = 60
minutter). Og hvor ofte bruker vi ikke klokka og kalenderen?
Tallsystemer handler om ulike måter å organisere tall og mengder på. Vi
trenger det til målinger og sammenligninger, utregninger og beregninger. Ulike
kulturer har utviklet ulike systemer. De eldste tallsystemene vi kjenner var
svært enkle, og veldig praktiske. Etter hvert som samfunnet utviklet seg og ble
mer og mer sammensatt og komplisert, ble det også behov for mer avanserte
tallsystemer og måter å regne på.
Dette kapitlet handler om tallsystemer fra flere verdenshjørner og fra mange
tidsepoker. Å kjenne til noen flere tallsystemer enn de vi bruker til daglig, vil
være med på å utvikle en større tallforståelse, samtidig som det jo også bidrar
til økt kunnskap, både om tallenes historie og nødvendigheten av å bruke tall
og symboler som uttrykk for enheter og mengder.
2 GRUNNLEGGENDE OM TALLSYSTEMER
I dette kapitlet vil du støte på de vanlige tallsymbolene som vi er vant til å
bruke, og tegn som vi trenger en forklaring på for å forstå. Jeg bruker med vilje
to ord om noe som for mange kanskje betyr det samme: Tegn og symboler. Det
Grunn-
leggende
om
tallsyste
mer
Inn-
ledning
til
tallsyste
mer
Matematikk FRA A TIL Å
T- 3
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
er derfor grunn til å forklare hvorfor det er viktig å skille mellom disse to
ordene.
2.1 Tegn og symboler
Talltegn er i utgangspunktet bilder som skal fortelle deg hva de betyr. Til å
begynne med er det lett å forestille seg at folk telte ved hjelp av fingre. 1 finger
= 1 enhet.
Tenk deg at du skal vise en annen at du trenger 7 enheter av et eller annet, la
oss si 7 piler, fordi du skal ut på jakt. Da peker du på en pil og viser 7 fingre i
været, og den andre vil antagelig kunne forstå dette.
Men det blir jo etter hvert behov for å kommunisere tall og mengder skriftlig.
Vel, kanskje ikke skriftlig slik vi forstår det, papir og blyant var ikke funnet
opp ennå. Men kanskje å kunne fortelle til en som kommer senere at du har tatt
med deg 7 piler. Da trenger du å legge igjen en beskjed. Det kan jo for
eksempel være 7 pinner i en rekke, der pinnene i grunnen både kan bety 7
fingre og 7 piler.
Etter hvert utvikler dette seg videre. Tenk deg at du har tatt med deg 18 piler.
Det blir mange pinner, og man kan lett gå i surr. Det er her tegnene kommer
inn. Hvis en pinne skal bety 1 finger, så har vi jo 5 fingre på hver hånd. Så hvis
du lar en stein bety en hand (altså fem fingre), så trenger du bare å legge 3 stein
og 3 pinner. Dette vil da bety 18 pinner – altså 18 piler.
Hvis vi utvikler dette videre, kan vi tenke oss at det vil bli behov for å vise
adskillig høyere mengder. Når du kommer opp i 5-6 steiner, kan dette også bli
litt rotete. Så la oss innføre enda et tegn – et pilkogger der det er plass til 20
piler. Og vi kan la en tykk bit av en rot bety et kogger.
For å vise at du har tatt med deg 34 piler legger du derfor en rot (20 piler), 2
steiner (5 + 5 piler) og 4 pinner.
Og slik kan dette systemet med tegn for mengder utvikle seg videre.
Tegn og
symboler
Matematikk FRA A TIL Å
T- 4
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
Etter hvert som behovene for større tall og mengder øker, dukker det opp et
behov for å skrive. Det kan jo for eksempel være begrenset hva du kan finne
rundt deg av steiner og pinner. Så la oss utvikle tegnene våre videre, til bilder.
En pinne kan være en strek, en stein kan bli en runding og et pilkogger kan bli
en avlang figur. For eksempel slik:
Pinne Stein Pilkogger
Alle disse tre tegnene er illustrasjoner. De forsøker å være bilder eller tegn som
kan forklare betydningen.
For å skrive 34 med disse symbolene kan vi tenke oss noe slikt:
Fire pinner, 2 steiner og 1 pilkogger = 34 piler.
Og her har vi begynnelsen til et helt nytt – og hittil ukjent – tallsystem, basert
på talltegn.
Tallsymboler er noe annet. Her er det tallene som er viktig, ikke tingene. 4
er et slikt tallsymbol. Det forsøker ikke en gang å ligne på noe. Tvert imot – det
er viktig at symbolet blir så tydelig som mulig – så ulikt alt annet – et symbol
man ikke kan misforstå.
Hvis du ser på de 10 tallsymbolene vi bruker, vil du se at de hver for seg er helt
spesielle (Kanskje med unntak av 6 og 9). Men samtidig blir det litt
vanskeligere også. Alle må jo lære seg hva disse symbolene betyr. Hvis ikke
mister de meningen sin.
Matematikk FRA A TIL Å
T- 5
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
Ingen vil forstå dette tallet:
Fordi det er skrevet med symboler som vi ikke er enige om, og derfor helt
meningsløse for andre enn de som har lært hva akkurat disse symbolene betyr.
Derfor er for eksempel romertall vanskelig å forstå for noen. De vet rett og slett
ikke hva tegnene betyr, og kjenner ikke reglene for hvordan de skal brukes.
2.2 Nullen er viktig
De eldste tallsystemene trengte ikke noe tegn for null. Ser du på det
tallsystemet vi lagde med streker, rundinger og rektangler, vil du se at null er
unødvendig. Du kan godt skrive tegn for, tja – la oss si 25, uten å bruke null. I
vårt tallsystem ville det kunne blitt
Når det ikke står noen enere (streker) der, trenger vi ikke noe tegn for å vise
det.
Både babylonerne og mayaene brukte et tegn for null, men hos disse var ikke
dette et tall. Det var et tegn for ingenting.
Først da en europeisk matematiker på 1600-tallet fant opp det binære
tallsystemet (totallsystemet) dukket nullen opp som et tall. Og da
posisjonsystemet ble oppfunnet og tatt i bruk, fikk nullen en viktig betydning.
Faktisk gjør nullen og posisjonsystemet at vi kan skrive alle tall ved hjelp av
ganske få symboler.
Men nullen er altså viktig. Forsøk å skrive 100 uten å bruke null! Og hva blir
105 uten nullen?
Matematikk FRA A TIL Å
T- 6
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
3 TALLSYSTEMER SOM BRUKER
POSISJONSYSTEMET
Posisjonsystemet innebærer at tallenes plassering spiller en betydelig rolle når
vi skal forstå tallene. Et eksempel vil vise dette:
Bruker vi sifrene 4, 5 og 6 kan vi skrive mange tall. Tar vi for eksempel 3-
sifrede tall kan vi skrive hele 6 ulike tall med disse tre sifrene, nemlig 456, 465,
546, 564, 645 og 654. Velger vi ut sifret 4, vil du se at det har ulik verdi etter
hvilken plass (posisjon) det har. I 456 betyr 4-tallet 400, mens det betyr 40 i
tallet 645.
Posisjonssystemet er altså bygget opp etter hvilken plass sifrene har, og sifrene
skifter verdi etter hvilken plass det står på. Derfor kalles posisjonsystemet også
plassverdisystemet.
Vi snakker om enerplass, tierplass, hundrerplass o.s.v.
Dette er forklart i eget kapittel om posisjonsystemet.
At vi kaller posisjonene for enerplassen, tierplassen og hundrerplassen er
knyttet til titallsystemet. Når det gjelder andre tallsymbolsystemer vil
posisjonene få andre navn. Dette blir forklart under totallsystemet og
åttetallsystemet.
Kapitlet om posisjonsystemet tar utgangspunkt i det tallsystemet vi bruker –
titallsystemet. Men for bedre å forstå hvordan posisjonsystemet tilpasses
tallsystemene, skal vi her gå litt dypere inn i akkurat dette.
Den første posisjonen er alltid enerplassen.
Titallsystemet bruker 10 tallsymboler. Siden det ene av disse symbolene er 0
(null), har vi behov for en ny posisjon når vi skal skrive tallet 10. Da dukker
tierplassen opp. Samtidig er det nettopp derfor plassen heter tierplass. Vi
skriver et tall som betyr 10.
Tallsyste
mer som
bruker
posisjons
ystemet
Matematikk FRA A TIL Å
T- 7
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.com/
I totallsystemet mangler vi et symbol for 2. Derfor må vi bruke en ny posisjon
for å skrive tallet 2 ved hjelp av sifrene 1 og 0. Da er det naturlig at den nye
posisjonen kalles toerplassen.
Tenk deg at vi skal skrive tallet 5 i et femtallsystem. Femtallsystemet har bare
5 symboler, nemlig 0, 1, 2, 3 og 4. Så når vi skal skrive 5, trenger vi en ny
posisjon. Fordi vi skal skrive tallet 5, kaller vi posisjonen femmerplassen.
Men hva kalles så den neste plassen? Og den neste?
I titallsystemet kalles den hundrerplassen. Vi finner navnet på plassen med å
gange den sist kjente plassen (tierplassen) med antall symboler i tallsystemet. I
titallsystemet er det 10 symboler. 10 10 = 100 - altså: hundrerplassen. Neste
plass blir 10 100 = 1000 - altså: tusenplassen
I totallsystemet er den sist kjente plassen toerplassen, og vi har bare 2