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INSTITUTO ESTATA
DIRECCIN DE
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de matemtTaller de matemt
TATAL DE EDUCACIN PBLICA DE OAXACA
N DE EDUCACIN PRIMARIA GENERAL
SUBDIRECCIN TCNICA
TALLER DE
mticasmticasmticasmticas 2012201220122012
XACA
DE MATEMTICAS
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DIRECTORIO
PROFR. VALERIO FABIN GARCA
DIRECTOR DE EDUCACIN PRIMA
PROFR. ANGEL JOAQUN MARTN
SUBDIRECTOR TCNICO
INTEGRANTES DE LA MESA TCN
PROFRA. SOLEDAD PACHECO ROJ
PROFRA. RITA RUIZ MALDONADO
PROFR. RAMN BARROSO LPEZ
PROFR. PEDRO ATANASIO GME
PROFRA. LAURA RASGADO JUAN
PROFRA. JUANA JIMNEZ CONTR
PROFR. JOS MARTN CONTRERA
PROFR. JAIME ENRIQUE HERNN
PROFRA. IRMA FILIO LOZANO
PROFR. HOMERO ENRQUEZ RAM
PROFRA. GLADYS ARANGO MORA
PROFR. FERNANDO ESTANISLAO A
PROFR. ENRIQUE DAVID RODRGU
PROFRA. DEISY GARCA GARCA
PROFR. ANGEL ORTZ LPEZ
PROFRA. ANA LUISA DAZA SOSA
mticasmticasmticasmticas 2012201220122012
CA
IMARIA GENERAL
RTNEZ CRUZ
CNICA DEL NIVEL
ROJAS
ADO
PEZ
MEZ SANTIAGO
AN
NTRERAS
ERAS MELCHOR
NDEZ GARCA
RAMREZ
ORALES
AO AQUINO CALVO
GUEZ REYES
SA
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NDICE
Presentacin...... 4 Introduccin...... 5 Propsito general...... 6
Propsitos especficos.... 6 SESIN I Qu son las matemticas?.... 7
Didctica de las matemticas.... 7 Qu es una situacin didctica?.... 8
Competencia matemtica.... 10 Competencias generales...... 11 Qu es
un problema?.... 12 Caracterizacin de los problemas...... 13 La
creacin matemtica.... 17 La metodologa de Polya..... 17 Tipos de
problemas a trabajar en la Educacin Primaria... 19 Tipos de
problemas de evaluacin en la resolucin de problemas.... 20 SESIN II
Comprensin de los sistemas de numeracin... 26 Contar es el
comienzo.... 28 El problema de la conservacin de la cantidad.. 29
Los modelos matemticos de construccin del nmero natural.. 32 Las
cuatro operaciones bsicas con nmeros naturales.... 35 Las
operaciones aditivas...... 35 La resta..... 39 Problemas de tipo
multiplicativo.... 40 Prediccin y azar..... 42 Comparacin de
probabilidades.... 44 Tratamiento de la informacin.... 44 SESIN III
MEDICIN Gnesis de la idea de magnitud y medida en el nio.... 48
Medicin...... 54 GEOMETRA Qu es la geometra?.... 64 Figuras
Geomtricas..... 66 Cuerpos geomtricos...... 70 Trigonometra......
71 Plano cartesiano..... 72 Didctica de la geometra.... 73 Ensear
geometra para qu?.... 77 Los niveles de razonamiento geomtrico.. 85
FRACCIONES Matemticas escolares: fracciones, decimales y razn....
90 Medida.... 90 Reparto: cociente y nmeros decimales.... 92
Operador. Significado de la preposicin de.. 93 ndice
comparativo.... 94 Pensamiento matemtico de los estudiantes: hacia
la competencia matemtica con los nmeros racionales.. 95 La
construccin de los significados: un modelo recursivo.. 97 Modos de
representacin y su uso como instrumentos de aprendizaje.. 100
Significados adscritos a las representaciones.. 101 Relacin
semntica-sintctica.... 102 Razonamiento proporcional.... 104
Comparaciones absolutas y relativas.... 106 BIBLIOGRAFA.... 109
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PRESENTACIN
El presente curso taller tiene la finalidad de coadyuvar al
desempeo docente frente a la
asignatura de matemticas, a travs de lecturas y actividades,
proporcionando elementos
bsicos para que el docente genere las estrategias adecuadas a su
grupo escolar, de
ninguna manera se pretende proporcionar tcnicas detalladas para
cada uno de los
contenidos o aspectos de las matemticas que se abordan a lo
largo de la instruccin
primaria, sino por el contrario se brinda una orientacin hacia
una metodologa de resolucin
de problemas que permita un quehacer docente acorde con los
principios del aprendizaje
matemtico, dinamizando las clases y combatiendo la aversin de
los alumnos por las
matemticas, involucrndolos de una manera significativa en sus
aprendizajes.
Reconocer la didctica y la gnesis del proceso de aprendizaje
para abstraer conceptos de la
realidad, en donde el nio requiere del acompaamiento del docente
creando juntos las
situaciones didcticas para desarrollar ese pensamiento lgico
matemtico que es necesario
para resolver los problemas que en la vida diaria se presentan,
aunque no sean
procedimientos cannicos en un inicio poco a poco se obtendr la
convencionalidad al llegar
al desarrollo de algoritmos.
Es por ello que la Direccin de Educacin Primaria General a travs
de la Subdireccin
Tcnica y Mesa Tcnica del Nivel, elabor este material que servir
como anlisis y aliento
para involucrarse en el mundo de las matemticas desmitificndolas
del quehacer metdico
de antao.
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INTRODUCCIN
Muchos desarrollos importantes en las reas del conocimiento han
partido de la necesidad de resolver problemas concretos, propios de
los grupos sociales donde surgen. Las matemticas no son la excepcin
pues son un producto del quehacer humano y su proceso de
construccin est sustentado en abstracciones sucesivas. As los
nmeros, tan familiares para todos, surgieron de la necesidad de
contar y son tambin una abstraccin de la realidad que se fue
desarrollando durante largo tiempo. Este desarrollo est adems
estrechamente ligado a las particularidades culturales de los
pueblos: todas las culturas tienen un sistema para contar, aunque
no todas cuenten de la misma manera. El nio construye las
estructuras lgicas reconstruyendo y reestructurando lgicamente su
entorno, en interaccin constante. A travs de dos modalidades de
estructuras, las llamadas estructuras lgico-matemticas, que
organizan los objetos discontinuos (seriacin, clasificacin y
nmero), las llamadas infralgicas organizan los objetos continuos
(sustancia, peso, volumen, espacio, etc.). En la perspectiva
constructivista los nios comparan, clasifican y ordenan en el
espacio y el tiempo; gracias a estas acciones construyen sus
conocimientos aritmticos, de manera que la experiencia del nio con
los objetos, solo juegan el papel de soporte, es necesaria para el
descubrimiento del nmero, pues es algo que no puede extraerse
directamente de los objetos, en contra de lo que postula el
empirismo. En la construccin de los conocimientos matemticos, los
nios tambin parten de experiencias concretas. Paulatinamente, y a
medida que van haciendo abstracciones, pueden prescindir de los
objetos fsicos. El dilogo, la interaccin y la confrontacin de
puntos de vista ayudan al aprendizaje y a la construccin de
conocimientos; as, tal proceso es reforzado por la interaccin con
los compaeros y con el maestro. El xito en el aprendizaje de esta
disciplina depende, en buena medida, del diseo de actividades que
promuevan la construccin de conceptos a partir de experiencias
concretas, en la interaccin con los otros. En esas actividades las
matemticas sern para el nio herramientas funcionales y flexibles
que le permitirn resolver las situaciones problemticas que se le
planteen. Las matemticas permiten resolver problemas en diversos
mbitos, como el cientfico, el tcnico, el artstico y la vida
cotidiana. Si bien todas las personas construyen conocimientos
fuera de la escuela, stos no bastan para actuar eficazmente en la
prctica diaria. El contar con las habilidades, los conocimientos y
las formas de expresin que la escuela proporciona permite la
comunicacin y comprensin de la informacin matemtica presentada a
travs de medios de distinta ndole. Una de las funciones de la
escuela es brindar situaciones en las cuales los nios utilicen
sus
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conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas, a
partir de sus soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus
formas de solucin para hacerlos evolucionar hacia los
procedimientos y las conceptualizaciones convencionales propias de
las matemticas. En el presente cuadernillo se abordan las temticas
elementales para el quehacer docente en la escuela primaria,
iniciando en la primera sesin con el desarrollo del enfoque y la
didctica de las matemticas. En la segunda y tercera sesin se
abordan los principales algoritmos y sus distintos significados
utilizados en este nivel para la resolucin de problemas matemticos
en donde de manera implcita se desarrollan las habilidades del
pensamiento lgico; remarcando en todo momento la accin
participativa de los alumnos.
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PROPSITO GENERAL
Ofrecer a los docentes un espacio donde se puedan compartir
experiencias y vivencias en los que se busque la vinculacin entre
el hacer, el sentir y el pensar, examinando cada una de las
dimensiones en relacin a la solucin de problemas, vistos desde la
lgica matemtica, la didctica y las habilidades del pensamiento
matemtico.
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PRIMERA SESIN
1. QU SON LAS MATEMTICAS?
El trmino matemticas viene del griego "mthema", que quiere decir
aprendizaje, estudio y ciencia. Y justamente las matemticas son una
disciplina acadmica que estudia conceptos como la cantidad, el
espacio, la estructura y el cambio. El alcance del concepto ha ido
evolucionando con el tiempo, desde el contar y calcular hasta
abarcar lo mencionado anteriormente. Aunque algunos las consideran
como una ciencia abstracta, la verdad es que no se puede negar que
est inspirada en las ciencias naturales, y uno de sus aplicaciones
ms comunes se lleva a cabo en la Fsica.
Las matemticas son algo ms que una vasta coleccin de conceptos y
destrezas. Que han sido creadas en todas las culturas. Adems, los
matemticos las practican como miembros de un grupo que responde a
nuestra cultura evolutiva y contribuye a ella; y por ltimo, la
cultura matemtica y las matemticas escolares no son idnticas.
(Romberg, 1991)
Las matemticas como el resto de las disciplinas cientficas,
aglutinan un conjunto de conocimientos con caractersticas propias y
una determinada estructura y organizacin internas. Lo que confiere
un carcter distintivo al conocimiento matemtico es su enorme poder
como instrumento de comunicacin conciso y sin ambigedades gracias a
la amplia utilizacin de diferentes sistemas de notacin de
naturaleza muy diversa, que ponen de relieve algunos aspectos y
relaciones no directamente observables y permiten anticipar y
predecir hechos, situaciones o resultados que todava no se han
producido.
Las matemticas son una invencin de la razn humana, una vasta
coleccin derivada de la bsqueda de soluciones a los problemas
sociales. Las abstracciones e invenciones nos ayudan a dar sentido
a nuestro mundo y a nosotros mismos. Esto es cierto,
independientemente de que haga hincapi en la resolucin de
problemas, la bsqueda o la aplicacin. La adquisicin de conceptos y
las destrezas es intil a menos que se utilicen en la prctica de las
matemticas.
Las matemticas se conciben en el currculum oficial como un
conjunto de conocimientos en evolucin continua y en cuyo desarrollo
ha desempeado un papel importante su vinculacin a problemas
prcticos del hombre
2. DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS
El objeto de estudio de la Didctica de Matemticas es la situacin
didctica, definida por Brousseau (1982b) como: Un conjunto de
relaciones establecidas explcita y/o implcitamente entre un
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alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende
eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo
(representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos
alumnos se apropien de un saber constituido o en vas de
constitucin.
El objetivo fundamental de la Didctica de las Matemticas es
averiguar cmo funcionan las situaciones didcticas, es decir, cules
de las caractersticas de cada situacin resultan determinantes para
la evolucin del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente,
de sus conocimientos. Esto no significa que slo interese analizar
las situaciones didcticas exitosas. Incluso si una situacin
didctica fracasa en su propsito de ensear algo, su anlisis puede
constituir un aporte a la didctica, si permite identificar los
aspectos de la situacin que resultaron determinantes de su
fracaso.
La finalidad de la didctica de las matemticas es el conocimiento
de los fenmenos y procesos relativos a la enseanza de las
matemticas para controlarlos y, a travs de ese control, optimizar
el aprendizaje de los alumnos.
Para Romberg, la enseanza de las matemticas deber responder a
varias perspectivas: formar la base de las matemticas del maana y
preparar a los que van a usarlas para que lo hagan de forma
consciente, tanto en el plano del desarrollo cientfico y tecnolgico
como en el de la vida cotidiana y la participacin ciudadana.
Las cuatro metas sociales generales para la enseanza de las
matemticas son:
Ser capaz de resolver problemas Aprender a comunicarse
matemticamente Aprender a razonar matemticamente saber valorar las
matemticas Tener confianza en su capacidad de hacer matemticas
Las metas anteriores implican que los estudiantes deben tener
numerosas y variadas experiencias relacionadas con las matemticas,
que les permiten:
Resolver problemas complejos. Leer y escribir y discutir
matemticas. Formular conjeturas, probar y formular argumentos
acerca de la validez de una conjetura. Valorar la empresa
intelectual llamada matemtica, los hbitos del pensamiento matemtico
y
el papel de la matemtica en el quehacer humano. Explorar,
adivinar y cometer errores para ganar confianza en sus recursos
intuitivos
personales.
3. QU ES UNA SITUACIN DIDCTICA?
Para Brousseau, la investigacin en Didctica debe ser capaz de
prever los efectos de la situacin que ha elaborado, antes de
ponerla a prueba en el aula; slo posteriormente podr contrastar sus
previsiones con los comportamientos observados.
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Las situaciones didcticas en su clasificacin Brousseau
distinguen cuatro tipos:
ACCIN: Las situaciones de accin, en las que se genera una
interaccin entre los alumnos y el medio fsico. Los alumnos deben
tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de
resolucin del problema planteado.
COMUNICACIN: Las situaciones de formulacin, cuyo objetivo es la
comunicacin de informaciones, entre alumnos. Para esto deben
modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisndolo y
adecundolo a las informaciones que deben comunicar.
VALIDACIN: Las situaciones de validacin, en las que se trata de
convencer a uno o varios interlocutores de la validez de las
afirmaciones que hacen. En este caso, los alumnos deben elaborar
pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobacin
emprica de lo que dicen es cierto; hay que explicar que,
necesariamente, deben ser as.
INSTITUCIONALIZACIN: Las situaciones de institucionalizacin,
destinadas a establecer convenciones sociales, en estas situaciones
se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la
significacin socialmente establecida de un saber que ha elaborado
por ellos en situaciones, de formulacin.
Una situacin didctica es la parte en que la intencin de enseanza
no aparece explcita para el alumno (en el enunciado del problema no
aparece explcita mi intencin). Debe aparecer ante los alumnos como
una interaccin con un medio (no didctico), de modo que sus
decisiones se guen por la lgica de la situacin y no por la lectura
de las intenciones del profesor. El alumno puede modificar sus
decisiones tomando en cuenta la retroaccin que le proporciona el
medio, y debe realizar un cambio de estrategias para llegar al
saber matemtico, ya que la estrategia ptima es dicho saber. Para
que se realice el cambio, el profesor debe introducir en la
situacin las variables didcticas.
Variable didctica Variable didctica es un elemento de la
situacin que puede ser modificado por el maestro, y que afecta a la
jerarqua de las estrategias de solucin que pone en funcionamiento
el alumno. Es decir las variables didcticas son aquellas que el
profesor modifica para provocar un cambio de estrategia en el
alumno y que llegue al saber matemtico deseado.
No podemos considerar que todo sea variable didctica en una
situacin, sino slo aquel elemento de la situacin tal que si
actuamos sobre l, podemos provocar adaptaciones y aprendizajes. La
edad de los alumnos, sus conocimientos anteriores, juegan un papel
importante en la correcta resolucin de una situacin. El maestro no
puede, en el momento en el que construye la situacin, modificarlos.
No se consideran variables didcticas de la situacin.
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Una situacin es didctica cuando un individuo (generalmente el
profesor) tiene la intencin de ensear a otro individuo
(generalmente el alumno) un saber matemtico dado explcitamente y
debe darse en un medio. Es muy importante que la intencin de
enseanza no sea develada, debe permanecer oculta a los ojos del
alumno. Puesto que el estudio de las situaciones didcticas tiene
por finalidad conocer y controlar los fenmenos relativos a la
enseanza de las matemticas es la comunicacin de sus resultados lo
que permitir al maestro una mayor comprensin de su prctica laboral
y un incremento de su control.
EJEMPLO DE UNA SITUACIN DIDCTICA:
Se le plantea a unos nios de 4 aos, que reproduzcan con
pegatinas la cara de un robot (a la izquierda) que se les ha dejado
en medio de la mesa. Para ello se les reparte el mismo robot pero
sin ojos, nariz ni boca. Estos nios ya conocen la grafa de los
nmeros hasta el 9, pero no han hecho clculo ni operaciones.
La gran mayora de los nios es capaz de reproducir el modelo,
pues lo tienen delante de la mesa durante la ejecucin del
ejercicio.
En un segundo momento se les pide hacer la misma actividad pero
modificando una condicin: el nio est en una mesa, el modelo en otra
mesa distinta, y las pegatinas en otra. Esto es lo que llamamos
variable didctica, pues va a provocar que los nios no puedan
simplemente copiar, sino que tendrn que memorizar de algn modo el
nmero de pegatinas de cada color que tienen que coger y en qu fila
y columna deben ponerla.
Aqu los resultados no son tan exitosos. La mayora de los nios
acierta con el nmero de pegatinas de cada color (nmero cardinal,
como cantidad) pero no hay tanto acierto en la posicin de las
pegatinas (nmero ordinal, como orden de posicin).
4. CONTRATO DIDCTICO
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Un contrato didctico es el conjunto de comportamientos del
docente que son esperados por el alumno y el conjunto de
comportamientos del alumno que son esperados por el docente (G) el
conjunto de reglas que determinan explcitamente una pequea parte,
pero sobre todo implcitamente lo que el profesor y el alumno deben
hacer y de lo cual ser responsable frente al otro Guy Brosseau
(1986) Es decir es lo que espera el alumno del profesor y viceversa
(las expectativas que se tienen). Es la relacin entre el alumno y
el profesor a la hora de ensear un saber concreto. COMPETENCIA
MATEMTICA Por qu es necesario hablar de competencias en la enseanza
y el aprendizaje de las matemticas en el nivel de educacin
primaria?
- Porque se concibe que las competencias son manifestaciones o
demostraciones de un saber. - Porque se considera que estn ligadas
a los propsitos de los planes y programas educativos. - Porque las
competencias tienen relacin con el grado de excelencia que un
alumno alcanza en el aprendizaje de las matemticas. - Porque en
este trabajo se describen las construcciones conceptuales de los
docentes en el mbito de la escuela pblica de educacin primaria, la
cual participa de manera activa y formal en la fabricacin de
jerarquas de excelencia y por ende en la construccin de buenos o
malos alumnos de matemticas, es decir, en sujetos competentes o no
competentes.
COMPETENCIAS GENERALES: 1.- RAZONAR. De manera general se
entiende como facultad de pensar, discurrir y juzgar de lo malo y,
lo falso. (Larousse, 1990). De manera particular destacan los
siguientes procedimientos: organizar informacin; jerarquizar
informacin; comprender el uso de los nmeros al operar, estimar,
aproximar y representarlos grficamente; distinguir la naturaleza de
los datos superfluos de los relevantes; discriminar informacin de
cuestionamientos. Se puede decir que un alumno puede razonar sobre
una situacin determinada cuando es capaz de reflexionar, exponer,
disentir y/o argumentar, entre otros aspectos. 2.- MEMORIZAR. Se
alude a aprender de memoria o fijar algo en la memoria por medio de
repeticiones sistemticas. (Idem). Se consideran procedimientos
tales como memorizar frmulas, tablas de multiplicar, definiciones,
tcnicas, propiedades y repetir procedimientos paso a paso. 3.-
RESOLVER PROBLEMAS. Los procesos considerados para esta categora
son: elaborar sus propias estrategias; ser capaz de argumentar como
resolvi un problema o lleg a una respuesta; plantear y resolver
problemas de formas diferentes; plantear y resolver problemas en
diversos contextos escolares; analizar las relaciones entre los
datos que aparecen en los enunciados de los problemas.
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4.- COMPRENDER. Se puede decir que un estudiante ha comprendido
un tema matemtico cuando es capaz de poner ejemplos; cuando sigue
estrategias de otros y usa pertinentemente los algoritmos
convencionales de las operaciones. Cabe resaltar que muchos
estudiantes durante el proceso de construccin de los conocimientos
y saberes, no logran razonar el uso y/o utilidad de algunos de
estos pero s los pueden comprender y en ocasiones utilizar con
precisin. Es posible decir que existen alumnos que pueden
comprender ms contenidos matemticos que razonar sobre su uso o
argumentar la pertinencia de un proceso o resultado. 5. RELACIONAR.
Implica reconocer regularidades o bien patrones, as como comprender
y seguir las estrategias de otros. 6. PENSAR CREATIVAMENTE. Incluye
cuestionar, observar, explorar, investigar, tener imaginacin
espacial, aportar ideas nuevas. 7. COMUNICAR; EXPRESAR SUS IDEAS.
Expresar con facilidad ideas de sus compaeros, expresar de maneras
distintas, hacer notas. Es pertinente resaltar que estas categoras
no se presentan de manera aislada en el actuar de los estudiantes,
sino que se entrelazan durante el proceso de aprendizaje de las
matemticas. La relacin que puede existir entre estas competencias
generales y las seis actividades universales, que son importantes
para el desarrollo de los aspectos matemticos de cualquier cultura,
a saber: contar, localizar, medir, disear, jugar y explicar.
(BISHOP, 1999).
El currculum de matemticas de la etapa primaria expresa en
trminos de capacidades las finalidades de la formacin. Muchas veces
la nocin de competencia se vincula una competente prctica ser capaz
de hacer y se vincula a saber cundo, cmo, y porqu utilizar
determinados instrumentos.
El maestro debe organizar el contenido matemtico para ensearlo
(planificar) con unos objetivos en mente y, tambin, debe
interpretar las producciones de los alumnos desde las cuales pueda
realizar inferencias sobre el aprendizaje conseguido. As, tanto en
la planificacin de la enseanza, durante la gestin de las
interacciones con sus alumnos, como en la interpretacin y anlisis
de sus producciones, el maestro debe ser explcito en lo que va a
considerar competencia matemtica de sus alumnos.
Se puede definir a las competencias matemticas como procesos
intelectuales construidos a partir de la potenciacin de las
capacidades innatas mediante la ejercitacin de habilidades y
destrezas propiciadas por actividades didcticas formales e
informales dentro del contexto escolar. Tales competencias se
manifiestan en la prctica y tienen relacin tanto con los propsitos
de la asignatura competencias de la disciplina como con
competencias generales.
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La principal razn de existir del matemtico es resolver
problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las
matemticas es en problemas y soluciones.
Paul R. Halmos.
Qu es un problema? Un problema plantea una situacin que debe ser
modelada para encontrar la respuesta a una pregunta que se deriva
de la misma situacin (Parra, 1989). Pero tambin, un problema debera
permitir derivar preguntas nuevas, pistas nuevas, ideas nuevas como
lo seala Bouvier.
Sin embargo, un problema lo es en la medida en que el sujeto al
que se le plantea (o que se lo plantea l mismo) dispone de los
elementos para comprender la situacin que el problema describe y no
dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le
permita responder de manera casi inmediata. Ciertamente, lo que es
un problema para un individuo puede no serlo para otro porque est
totalmente fuera de su alcance o porque para el nivel de
conocimientos del individuo, el problema ha dejado de serlo.
Un problema es una situacin que un individuo o grupo quiere o
necesita resolver y para la cual no dispone, en principio, de un
camino rpido y directo que le lleve a la solucin; consecuentemente
eso produce un bloqueo. Conlleva siempre un grado de dificultad
apreciable, es un reto que debe ser adecuado al nivel de formacin
de la persona o personas que se enfrentan a l. Si la dificultad es
muy elevada en comparacin con su formacin matemtica, desistirn
rpidamente al tomar consciencia de la frustracin que la actividad
les produce. Por el contrario, si es demasiado fcil y su resolucin
no presenta especial dificultad ya que desde el principio ven
claramente cul debe ser el proceso a seguir para llegar al
resultado final, esta actividad no ser un problema para ellos sino
un simple ejercicio. De este modo podemos decir que la actividad
que para alumnos de ciertas edades puede concebirse como un
problema, para otros no pasa de ser un mero ejercicio. Los
ejercicios no implican una actividad intensa de pensamiento para su
resolucin. Al realizarlos, el alumno se da cuenta muy pronto de que
no le exigen grandes esfuerzos. Hacer ejercicios en serie puede
provocar aburrimiento, ya que generalmente son repetitivos y pueden
resultar poco interesantes. Sin embargo, en algunas ocasiones
sirven para motivar a los alumnos, pues de esa manera toman
conciencia de los conocimientos que van adquiriendo. Son un tipo de
actividades muy abundantes en los libros de texto. Como
profesores/as no debemos abusar de su realizacin, sino seleccionar
cuidadosamente aquellos que nos resultan ms tiles para evaluar el
grado de comprensin de los conceptos y la adquisicin de algoritmos
matemticos por parte de los alumnos. Por contraposicin, los
problemas no se resuelven con la aplicacin de una regla o receta
conocida a priori. Exigen al resolutor sumergirse en su interior
para navegar entre los conocimientos matemticos que posee y
rescatar de entre ellos los que pueden serle tiles para aplicar en
el proceso de resolucin. Puede servirse de experiencias anteriores
que hagan referencia a situaciones parecidas, para rememorar cul
fue el camino o va seguida, en caso de poder volver a utilizarlos
en esta nueva situacin. Los problemas pueden tener una o varias
soluciones y en muchos casos existen diferentes maneras de llegar a
ella(s). Cuando un alumno o un grupo se implican en esta actividad,
se vuelca en ella, muestra entusiasmo y desarrolla su creatividad
personal. Es frecuente
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manifestar cierto nivel de satisfaccin al descubrir el camino
que le conduce al resultado final como fruto de la investigacin
llevada a cabo. El tiempo que se dedica a la resolucin de un
problema es bastante mayor que el que lleva la realizacin de un
ejercicio. El cuadro que viene a continuacin recoge de una manera
ms grfica y comparada las principales diferencias que existen entre
estos dos tipos de actividades:
No podemos proponer los mismos problemas a un matemtico, a un
adulto, a un adolescente o a un nio, porque sus necesidades son
diferentes. Hay que tener claro que la realidad de los alumnos
incluye a su propia percepcin del entorno fsico y social y
componentes imaginadas y ldicas que despiertan su inters en mayor
medida que pueden hacerlo situaciones reales que interesan al
adulto.
En consecuencia, la activacin del conocimiento matemtico
mediante la resolucin de problemas reales no se consigue
trasladando de forma mecnica situaciones reales, aunque sean muy
pertinentes y significativas para el adulto, ya que stas pueden no
interesar a los alumnos.
CARACTERISTICAS DE LOS EJERCICIOS
CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS
Se ve claramente qu hay que hacer.
Suponen un reto.
La finalidad es la aplicacin mecnica de algoritmos.
La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias que
se poseen, para rescatar aquellos que son tiles para llegar a la
solucin esperada.
Se resuelven en un tiempo relativamente corto.
Requieren ms tiempo para su resolucin
No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la
persona que lo resuelve.
La persona que se implica en la resolucin lo hace
emocionalmente. El bloqueo inicial, debido a que la situacin le
desconcierta, dar paso a la voluntariedad y perseverancia por
encontrar la solucin y, por ltimo, al grado de satisfaccin una vez
que esta se ha conseguido
Generalmente tienen una sola solucin.
Pueden tener una o ms soluciones y las vas para llegar a ellas
pueden ser variadas.
Son muy numerosos en los libros de texto.
Suelen ser escasos en los libros de texto.
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Resolucin de Problemas y Creatividad
Evidentemente la resolucin de problemas est estrechamente
relacionada con la creatividad, que algunos definen precisamente
como la habilidad para generar nuevas ideas y solucionar todo tipo
de problemas y desafos.
La especie humana es creativa por naturaleza. Todo ser humano
nace con un gran potencial para la creacin, pero mientras algunos
lo aprovechan al mximo, otros casi al mximo, otros casi no lo
utilizan. Sin embargo la creatividad, al igual que cualquier otra
habilidad humana, puede desarrollarse a travs de la prctica y el
entrenamiento adecuado. Lamentablemente tambin puede atrofiarse, si
no se ejercita.
El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y
convergente.
El primero consiste en la habilidad para pensar de manera
original y elaborar nuevas ideas, mientras que el segundo se
relaciona con la capacidad crtica y lgica para evaluar alternativas
y seleccionar la ms apropiada.
Evidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol
fundamental en la resolucin de problemas.
Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atencin: el
proceso creativo, las caractersticas de la personalidad creativa, y
las circunstancias que posibilitan o favorecen el acto creativo.
Como consecuencia de estos estudios se han desarrollado tcnicas y
mtodos generales dirigidos a desarrollar el potencial creativo. En
esta obra nos concentraremos en las tcnicas y estrategias
especficas que han demostrado ser ms tiles para la resolucin de
problemas matemticos. Sin embargo haremos a continuacin una breve
resea de algunos de los mtodos ms generales, remitiendo al lector
interesado a la bibliografa correspondiente.
Invertir el problema
Cada concepto tiene uno contrario y la oposicin entre ellos
genera una tensin favorable al hecho creativo. Esta idea, que tiene
profundas races tanto en la filosofa oriental como en la
occidental, se refleja en la sabidura popular en aforismos tales
como: Para saber mandar hay que aprender a obedecer o para ser un
buen orador hay que saber escuchar. Como ejemplo de esta tcnica
supongamos que deseamos disear un zapato que sea muy cmodo. El
problema inverso seria disear un zapato incomodo.
Pero el anlisis de este problema nos llevar seguramente a
descubrir los factores que causan incomodidad, y al evitarlos
habremos dado un buen paso hacia la solucin del problema
original.
Pensamiento lateral
Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso
aparentemente absurdas para resolver un problema. En otras
palabras: evitar los caminos trillados, intentar lo que nadie ha
intentado, ensayar percepciones y puntos de vista diferentes.
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Principio de discontinuidad
La rutina suprime los estmulos necesarios para el acto creativo,
por lo tanto experimenta un bloqueo temporal de su capacidad
creadora. Interrumpa su programa cotidiano de actividades y haga
algo diferente a lo acostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios
que no conoce, ensaye una nueva receta de cocina, escuche msica
diferente a la que escucha habitualmente, lea un libro que no tena
pensado leer, asista a algn tipo de espectculo diferente a sus
favoritos.
Tormenta de cerebros (Brainstorming)
Es una tcnica desarrollada en el mundo de la publicidad, en el
cual del xito depende la generacin de nuevas y brillantes ideas.
Para ello se rene un grupo de personas y se les invita a expresar
todas las ideas que se les ocurran en relacin a un problema o tema
planteado, sin importar lo estrafalarias o ridculas que parezcan.
La evaluacin y la crtica se posponen, esperando crear un clima
estimulante que favorezca el surgimiento de algunas ideas realmente
tiles. La utilidad de esta tcnica es dudosa fuera de ciertos campos
o situaciones muy especficas.
Mapas mentales
Es una tcnica desarrollada por Tony Buzan que trata de
representar en forma grfica el carcter asociativo de la mente
humana. Se comienza con la idea principal ubicada en el centro de
la hoja y alrededor de ella se van colocando las ideas asociadas y
sus respectivos vnculos. Utilizando diversos colores y smbolos esta
tcnica puede llegar a ser muy til para organizar las ideas que van
surgiendo en torno a un problema.
Factores afectivos
La resolucin de problemas no es un asunto puramente intelectual.
Las emociones, y en particular el deseo de resolver un problema,
tienen tambin una gran importancia.
La incapacidad que manifiestan algunos alumnos para resolver
incluso el ms sencillo no es producto por lo general de una
deficiencia intelectual, sino de una absoluta falta de inters y
motivacin. A veces no existe ni siquiera el deseo de comprender el
problema, y por lo tanto el mismo no es comprendido. El profesor
que desee realmente ayudar a un alumno con estas caractersticas
debera ante todo despertarle su curiosidad dormida, motivarlo y
transmitirle deseos de logro y superacin.
Algunas creencias negativas para el proceso creativo estn
asociadas a una baja autoestima y pueden tener races emocionales
profundas. Por ejemplo, hay quienes enfrentados a un problema creen
a priori que no podran resolverlo y que si lo intentan solo
conseguiran terminar con un dolor de cabeza.
El maestro o profesor debe en estos casos apelar a todas sus
dotes y conocimientos como educador, aunque en casos extremos sera
necesaria tambin la ayuda de un orientador o la de un psiclogo.
En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia
capacidad y crea que un problema es un desafo que vale la pena
enfrentar y que resolverlo le proporcionara una satisfaccin
intelectual al
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mismo tiempo que sera una experiencia valiosa para su formacin,
estar en excelentes condiciones psicolgicas para abordar el proceso
resolutivo.
Bloqueos mentales
James Adams, profesor de diseo en la Universidad de Stanford,
centra su enfoque de la creatividad en la superacin de los bloqueos
mentales, barreras que nos impiden percibir un problema en la forma
correcta y encontrarle solucin. Analiza diferentes tipos de
bloqueos y propone ejercicios para identificarlos y superarlos.
Su clasificacin es la siguiente:
Bloqueos perceptivos: estereotipos, dificultad para aislar el
problema, delimitar demasiado el espacio de soluciones,
imposibilidad de ver el problema desde varios puntos de vista,
saturacin, no poder utilizar toda la informacin sensorial.
Bloqueos emocionales: miedo a cometer errores, a arriesgar, a
fracasar; deseo de seguridad y orden; preferir juzgar ideas a
concebirlas; inhabilidad para relajarse; falta de estimulo;
entusiasmo excesivo; falta de control imaginativo.
Bloqueos culturales: tabes; el peso de la tradicin; roles
predeterminados asignados a la mujer y el hombre.
Bloqueos ambientales: distracciones; falta de apoyo para llevar
adelante una idea; falta de cooperacin entre colegas.
Bloqueos intelectuales: inhabilidad para seleccionar un lenguaje
apropiado para el problema (verbal, matemtico, visual); uso
inadecuado de las estrategias; falta de informacin o informacin
incorrecta.
Bloqueos expresivos: tcnicas inadecuadas para registrar y
expresar ideas (a los dems y a uno mismo).
La Creacin Matemtica
Una de las reflexiones ms profundas que se han hecho sobre la
creatividad en matemtica es la realizada a principios de siglo por
Henri Poincare, uno de los ms grandes matemticos de su tiempo. En
una conferencia pronunciada ante la Sociedad Psicolgica de Paris
hizo interesantsimas revelaciones sobre sus propias experiencias
como creador:
Qu es, de hecho, la creacin matemtica? No consiste en hacer
combinaciones nuevas con entes matemticos ya conocidos. Cualquiera
podra hacerlo, pero las combinaciones que se podran hacer sern un
nmero limitado y en su mayora totalmente desprovistas de inters.
Crear consiste precisamente en construir las combinaciones intiles,
sino en construir las que son tiles y que estn en una minora. Crear
es discernir, es escoger.
-A menudo, cuando se trabaja en un problema difcil, no se
consigue nada la primera vez que se comienza la tarea. Luego se
toma un descanso ms o menos largo y uno se sienta de nuevo ante
la
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mesa. Durante la primera media hora se contina sin encontrar
nada. Despus, de repente. La idea decisiva se presenta ante la
mente.
-Hay que hacer otra observacin a propsito de las condiciones de
este trabajo inconsciente. Se trata de que tal trabajo no sea
posible, y en todo caso no es fecundo, sino est por una parte
precedido y por otro seguido de un perodo de trabajo consciente.
Estas inspiraciones sbitas no se presentan ms que tras algunos
esfuerzos voluntarios, aparentemente estriles, en los que uno ha
credo no hacer nada interesante, y piensa haber tomado un camino
falso totalmente. Estos esfuerzos no fueron, por tanto, tan
estriles como se pensaba. Pusieron en movimiento la mquina
inconsciente y sin ellos esta no habr funcionado ni hubiera
producido nada. Poincare esboza luego una teora del trabajo del yo
subliminal, en la cual atribuye un rol fundamental a la
sensibilidad y el sentido esttico del matemtico en el proceso de
seleccin, durante el trabajo inconsciente, de las combinaciones ms
significativas.
Una conclusin prctica: cuando un problema se resiste a nuestros
mejores esfuerzos, nos queda todava la posibilidad de dejarlo
durante un tiempo, descansar, dar un paseo, y volver a l ms tarde.
Sin embargo, solamente aquellos problemas que nos han apasionado,
mantenindonos en una considerable tensin mental, son los que
vuelven ms tarde, transformados, a la mente consciente. La
inspiracin o iluminacin sbita, que los antiguos consideraban un don
divino, hay que merecerla.
La metodologa de Polya
En 1945 el insigne matemtico y educador George Polya
(1887-1985). Public un libro que rpidamente se convertira en un
clsico: How to solve it. En el mismo propone una metodologa en
cuatro etapas para resolver problemas. A cada etapa le asocia una
serie de preguntas y sugerencias que aplicadas adecuadamente
ayudarn a resolver el problema. Las cuatro etapas y las preguntas a
ellas asociadas se detallan a continuacin:
Etapa I: Comprensin del problema.
Cul es la incgnita? Cules son los datos? Cul es la condicin? Es
la condicin suficiente para determinar la incgnita? Es
insuficiente? Redundante? Contradictoria?
Etapa II: Concepcin de un plan.
Se ha encontrado con un problema semejante? Ha visto el mismo
problema planteado en forma ligeramente diferente? Conoce un
problema relacionado con ste? Conoce algn teorema que le pueda ser
til? Mire atentamente la incgnita y trate de recordar un problema
que le sea familiar y que tenga la misma incgnita o una incgnita
similar. He aqu un problema relacionado con el suyo y que se ha
resuelto ya. Podr utilizarlo? Podr emplear su resultado? Podr
utilizar su mtodo? Podr utilizarlo introduciendo algn elemento
auxiliar?
Podr enunciar el problema en otra forma? Podra plantearlo en
forma diferente nuevamente? Refirase a la definicin. Si no puede
resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algn
problema similar. Podra imaginarse un problema anlogo un tanto ms
accesible? Un problema ms general? Un problema ms particular? Un
problema anlogo? Puede resolver una parte del problema? Considere
solo una parte de la condicin; descarte la otra parte; en qu medida
la
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incgnita queda ahora determinada? En qu forma puede variar?
Puede usted deducir algn elemento til de los datos? Puede pensar en
algunos otros datos apropiados para determinar la incgnita? Puede
cambiar la incgnita? Puede cambiar la incgnita o los datos, o ambos
si es necesario, de tal forma que la nueva incgnita y los nuevos
datos estn ms cercanos entre s?
Ha empleado todos los datos? Ha empleado toda la condicin? Ha
considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al
problema?
Etapa III: Ejecucin del plan.
Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.
Puede ver claramente que el paso es correcto? Puede
demostrarlo?
Etapa IV. Visin retrospectiva.
Puede usted verificar el resultado? Puede verificar el
razonamiento? Puede obtener el resultado en forma diferente? Puede
verlo de golpe? Puede emplear el resultado o el mtodo en algn otro
problema?
La primera etapa es obviamente insoslayable: es imposible
resolver un problema del cual no se comprende el enunciado. Sin
embargo, en nuestra prctica como docentes hemos visto a muchos
estudiantes lanzarse a efectuar operaciones y aplicar formulas sin
reflexionar siquiera un instante sobre lo que se les pide. Por
ejemplo si en el problema aparece una funcin comienzan de inmediato
a calcularle la derivada, independientemente de lo que diga el
enunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego,
comentando los resultados, el profesor dice que el clculo de la
derivada no se peda y ms aun que el mismo era irrelevante para la
solucin del problema, algunos le respondern: O sea que no nos va a
dar ningn punto por haber calculado la derivada? Este tipo de
respuesta revela una incomprensin absoluta de lo que es un problema
y plantea una situacin muy difcil al profesor, quien tendr que
luchar contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal vez
a lo largo de muchos aos.
La segunda etapa es la ms sutil y delicada, ya que no solamente
est relacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional,
sino tambin con la imaginacin y la creatividad. Observemos que las
preguntas que Polya asocia a esta etapa estn dirigidas a llevar el
problema hacia un terreno conocido. Con todo lo til que estas
indicaciones son, sobre todo para el tipo de problemas que suele
presentarse en los cursos ordinarios, dejan planteada una
interrogante: Qu hacer cuando no es posible relacionar el problema
con algo conocido? En este caso no hay recetas infalibles, hay que
trabajar duro y confiar en nuestra propia creatividad e
inspiracin.
La tercera etapa es de carcter ms tcnico. Si el plan est bien
concebido, su realizacin es factible y poseemos los conocimientos y
el entrenamiento necesarios, deber ser posible llevarlo a cabo sin
contratiempos. Sin embargo por lo general en esta etapa se
encontrarn dificultades que nos obligarn a regresar a la etapa
anterior para realizar ajustes al plan o incluso para modificarlo
por completo. Este proceso puede repetirse varias veces.
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La cuarta etapa es muchas veces omitida, incluso por
solucionistas expertos. Polya insiste mucho en su importancia, no
solamente porque comprobar los pasos realizados y verificar su
correccin nos puede ahorrar muchas sorpresas desagradables, sino
porque la visin retrospectiva nos puede conducir a nuevos
resultados que generalicen, amplen o fortalezcan el que acabamos de
hallar.
TIPOS DE PROBLEMAS A TRABAJAR EN LA EDUCACION PRIMARIA
Problemas aritmticos. De primer nivel:
- de cambio Aditivo sustractivos - de combinacin -de comparacin
-de igualacin -de repartos equitativo -de factor N
de multiplicacin divisin -de razn
-de producto cartesiano de segundo nivel
de tercer nivel
Problemas geomtricos
Problemas de razonamiento lgico
Problemas de recuento sistemtico
Problemas de razonamiento inductivo
Problemas de azar y probabilidad
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HACIA UNA PROPUESTA DE EVALUACIN EN LA RESOLUCIN DE
PROBLEMAS:
EVALUACIN CONSTRUCTIVA EN MATEMTICAS.PASOS PRCTICOS PARA
PROFESORES* David Clark-Pag.86-Autoevaluacin del alumno.
La evaluacin ocupa un lugar central en el currculum de las
matemticas. Cuando la evaluacin se lleva a cabo bien, puede
enriquecer a todos; informar los profesores cmo ensear de manera ms
efectiva; informar a los estudiantes sobre lo que han aprendido, lo
que an les falta por aprender y la mejor manera de aprenderlo; e
informar a los padres sobre la mejor manera de apoyar el
aprendizaje de sus hijos. Sin embargo, si se realiza pobremente, la
evaluacin puede dar una imagen engaosa de las matemticas, de
nuestros estudiantes y de nuestros objetivos. En el mejor de los
casos, una mala evaluacin puede simplemente desinformarnos,
decirnos poco sobre cmo mejorar nuestra enseanza y dar a los
estudiantes poca informacin que pueda fomentar su aprendizaje. En
el peor de los casos, puede ser definitivamente destructiva,
recompensar el esfuerzo con un fracaso y producir un dao permanente
en la confianza del estudiante respecto a su capacidad de entender
y utilizar las matemticas.
La idea de que la evaluacin puede y debe contribuir de manera
constructiva al desarrollo del currculum es relativamente nueva.
Para darnos cuenta del potencial positivo que tiene la evaluacin en
nuestras aulas, necesitamos, en primer lugar, tener una idea clara
de por qu se hace la evaluacin, qu es lo que estamos evaluando y
cul es la mejor forma de hacerlo. Una vez que tenemos claridad del
por qu, de qu y del cmo de la evaluacin, podemos pasar a la etapa
esencial de integrar la evaluacin en nuestro currculum y en nuestra
manera de ensear como elemento natural de los mismos, como parte
central de nuestro diario quehacer.
Para un profesor, la evaluacin es un proceso en el cual reunimos
evidencias, hacemos inferencias, llegamos a conclusiones y actuamos
segn dichas conclusiones. La evaluacin es constructiva cuando el
foco de atencin en cada etapa del proceso es el aprendizaje
matemtico del estudiante, es decir, cuando nos ayuda a fomentar el
aprendizaje del estudiante.
Para un estudiante, la evaluacin es una oportunidad de mostrar
su entendimiento y sus habilidades matemticas. Adems, es una
conversacin con el profesor sobre qu se ha aprendido y qu cosas
permanecen oscuras, y sobre qu elementos fueron de utilidad y cules
no en el aprendizaje del estudiante. Es una oportunidad de
retroalimentacin recproca y es una fuente de sugerencia de accin.
Se vuelve constructiva cuando valora lo que el estudiante ya puede
hacer y le ayuda a aprender lo que todava no domina.
*La evaluacin debe representar nuestros objetivos y valores
sobre la instruccin. (Reflejar nuestros conocimientos y creencias
sociales y fomentar su uso durante toda su vida).
*La evaluacin es intercambio de informacin. (Facilitar el
intercambio entre profesores y estudiantes y entre otros miembros
de la comunidad escolar y ayudarnos a mantener un dilogo
constructivo con nuestros estudiantes sobre su aprendizaje y
nuestra enseanza).
*La evaluacin debe optimizar la expresin del estudiante sobre su
aprendizaje.
*La evaluacin debe tener un valor instructivo.
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*La evaluacin debe fomentar la accin.
Una parte esencial del concepto de evaluacin constructiva es
compartir la responsabilidad de la evaluacin entre profesor y
estudiante. La implicacin de los estudiantes en el proceso de
evaluacin proporciona una excelente oportunidad de desmitificarla e
integrarla ms en el proceso de instruccin y de pasar del profesor
al estudiante algo de responsabilidad y de la carga de trabajo
asociada con la evaluacin.
La autoevaluacin de los estudiantes es otro paso en esta
direccin, un paso que tiene el tradicional beneficio de la
explotacin de los sentimientos y las actitudes de los estudiantes,
as como sus procesos cognitivos.
En un tipo de evaluacin del estudiante, se le pide que responda
cada dos semanas a preguntas como: En este momento Cul es la mayor
preocupacin que afecta tu trabajo en Matemticas? Escribe un
problema particular que encuentres difcil, y Cul fue la mejor cosa
que te sucedi respecto a las matemticas en las ltimas dos semanas?
Escribe un problema particular que hayas encontrado difcil. Escribe
un problema nuevo que ahora ya puedas resolver, Cmo podramos
mejorar las clases de matemticas?; cuestiones que requieren de
reflexin sobre su aprendizaje y de que articulen las consecuencias
de tal reflexin.
Tales respuestas ofrecen un panorama de las percepciones, las
concepciones y el entendimiento del estudiante a los que no se han
tenido acceso mediante modos ms convencionales de evaluacin.
Se debe reconocer la importancia de las actitudes y los
sentimientos del estudiante como un factor positivo de un
aprendizaje efectivo.
Dicha evaluacin debe considerar el anlisis de las diversas fases
que se involucran en el proceso de evolucin.
La resolucin de problemas es una forma de pensar en la que el
estudiante muestra diversidad de estrategias en diferentes momentos
del proceso. En la fase de revisin es importante analizar el
significado de la solucin, verificar las operaciones y pensar en
conexiones o extensiones del problema y que adems se proporcione
informacin relacionada con las actividades desarrolladas por el
estudiante.
Un Modelo de Evaluacin para el anlisis de este proceso incluye
tres componentes:
Primer momento: La parte relacionada con el entendimiento del
problema.
Segundo momento: Se relaciona con la habilidad del estudiante
para seleccionar y usar estrategias de solucin (presentar un plan y
realizarlo).
Tercer momento: Aspectos relacionados con la razonable de la
solucin y la extensin del problema.
En los tres componentes debe incorporarse la presencia de
aspectos metacognitivos (Segn SHOENFELD-1967 se relacionan con tres
aspectos):
1. El conocimiento de tu propio proceso,
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2. Control o autorregulacin,
3. Creencias e intuiciones.
La evaluacin de estos aspectos se debe realizar con el diseo de
actividades adecuadas que capturen informacin de cada momento. Una
herramienta importante lo son las entrevistas (DAVIS-1984).
PERKINS (1981) sugiere algunas ideas tiles en el uso de las
entrevistas. Se dice al estudiante antes de empezar la entrevista
que:
Diga lo que est en su mente. Hable tan continuo como pueda.
Hable tan telegrfico como pueda. No sobre explique o justifique.
No trate de describir eventos pasados (que describa lo que hace en
el momento).
Es importante, para realizar una entrevista, sealar que tipo de
problema trabajar el estudiante. Algunas caractersticas de
problemas incluyen:
Que implican un reto (son difciles pero accesibles). Que
demanden un plan y una reflexin (no se pueden resolver
instantneamente).
Que permiten diferentes mtodos (estrategias) de solucin. Que
incluyan, algunos, varias soluciones.
Que incluyan una variedad de procesos matemticos y operaciones
(pero no en formas obvias o rutinarias).
Que cuando un estudiante los resuelva, debe ser posible
identificar los procesos y operaciones empleadas, el plan para
resolverlos y las estrategias usadas.
Al seleccionar los problemas y realizar las entrevistas, el
reporte de las cualidades mostradas por los estudiantes debe
discutirse alrededor de los siguientes puntos:
I. El nivel de desarrollo de las fases de entendimiento, diseo
de un plan y su implantacin, y de la visin retrospectiva.
II. El tipo de estrategias usadas en la resolucin del problema.
III. La presencia de conceptos y procedimientos matemticos. Cuando
un problema puede ser
resuelto por medio de la aplicacin de diferente contenido
matemtico es importante mencionar qu contenido fue usado y qu tipo
de conexiones fueron explotadas.
IV. El tipo de control y automonitoreo usado por el estudiante
al resolver el problema. V. Las influencias del entrevistador. Es
decir, el tipo de intervenciones y los efectos productivos
en el trabajo del estudiante.
Finalmente se debe reportar si el estudiante obtuvo la respuesta
correcta, al problema, si lo hizo con o sin ayuda del
entrevistador. Indicar la cantidad de tiempo en cada fase para
obtener la solucin y los comentarios pertinentes adicionales.
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Estas ideas resaltan los aspectos cualitativos de la evaluacin.
Para aspectos de carcter cuantitativo es posible disear un
instrumento que se asocie a algn nmero determinado. (Charles,
Lester y ODaffer, 1987; Santos, 1993). El instrumento puede incluir
los siguientes componentes:
PUNTOS TRABAJO MOSTRADO POR LOS ESTUDIANTES 0-1 Nada de trabajo
o ideas sin relacin 2-3 Identificar los datos pero sin
procedimiento alguno 4-5 los Usa los datos pero la estrategia no es
clara 6-7 Introduce un plan apropiado, pero ste es incompleto o
pobremente aplicado 8-9 Existe un plan claro y apropiado, pero hay
un error en los clculos o la resta es
incompleta 10 Solucin completa y correcta.
Adems, en el proceso de evaluacin se puede identificar algunos
indicadores asociados con la solucin del problema, el desarrollo de
la solucin, y respecto de la identificacin de las estrategias
principales empleadas en cada solucin.
En este instrumento se han identificado algunos componentes que
pueden ayudar al instructor a tener una idea global del proceso de
solucin del problema. Adems, la identificacin de los diversos
momentos genera informacin relacionada con las dificultades que
puedan mostrar los estudiantes en cada una de las fases. Es decir,
entendimiento, uso de estrategias y evaluacin de la solucin. Estos
instrumentos pueden ser ajustados por el instructor, de acuerdo con
los tipos de problemas que considere en la evaluacin.
SOLUCIN DESARROLLO ESTRATEGIAS USADAS
Correcta Completo operaciones numricas
Incorrecta Incompleto uso de lgebra
Indeterminada no requerido lista sistemtica
En blanco
sin unidades lista sistemtica, una tabla o un diagrama
sin contexto ensayo y error
sin desarrollo
bsqueda de patrones casos simples indeterminadas
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EJEMPLO DE UN PROBLEMA:
El trabajo alrededor del problema ayuda al maestro a valorar el
potencial del problema y a preparar instrumentos para recabar
informacin del proceso utilizado por los estudiantes al
resolverlo.
El fin de semana, Pedro y Mara visitaron una granja que produce
gallinas y cerdos. Pedro cont un total de 19 cabezas, mientras que
Mara dijo que haba 60 patas. Cuntas gallinas y cuntos cerdos haba
en esa granja que visitaron?
Es importante que antes de realizar la entrevista se trabaje el
problema con detalle. Encontrar soluciones anticipadas. Esto nos
ayudar a entender el trabajo de los estudiantes, orientndolos
durante el proceso y aclararles que no se espera que sigan algunas
formas de solucin en especial.
POSIBLES SOLUCIONES:
I) EL MTODO PICTRICO incluye el uso de figuras, dibujos o
diagramas para representar el problema y usar como referencia para
aumentar o disminuir la cantidad de acuerdo al nmero de patas.
II) EL MTODO DE ENSAYO Y ERROR puede ser usado originalmente por
el estudiante, empleando:
a) Un Mtodo de intercambio, b) Un Mtodo de conteo, o c) La
construccin de una tabla.
III) EL MTODO DE CORRESPONDENCIA. La idea es pensar en una
correspondencia entre el nmero de patas y cabeza (dos formas
similares ilustran este proceso):
a) Suponiendo que las gallinas se sostienen con una sola pata y
que los cerdos solo con dos, ahora existen la mitad de patas
pisando el suelo (30). En este nmero la cabeza de una gallina se
cuenta solo una vez y la de los cerdos se cuenta dos veces.
Restndole a 30 el nmero de cabezas (19) nos resulta el nmero de
cabezas de cerdos. Esto es, 30-19= 11 cerdos y 8 gallinas.
b) Otra variante es imaginarse que todos los animales se
sostienen con dos patas (38),
entonces 60-38= 22 patas en el aire, entonces hay 11 cerdos.
IV) UN MTODO SEMIALGEBRAICO. Cuando el estudiante utilice g=# de
gallinas y c=# de cerdos; puede escribir g+c=19 o g=19-c y poder
explicar posibles combinaciones considerando el nmero de patas.
V) EL MTODO ALGEBRAICO. Tambin puede ayudar a resolver el
problema, representando la informacin dada en un sistema de
ecuaciones. Ejemplo:
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Nmero de gallinas = x; nmero de cerdos = y
Nmero de cabezas x + y = 19 ________(1)
Nmero de patas 2x + 4y = 60 ________ (2)
Multiplicando (1) por 2 y restndolo a (2) se obtiene: 2y = 22;
entonces y=11; x= 8
Tambin puede usar una representacin algebraica donde se incluya
una sola variable. Por ejemplo x puede representar el nmero de
gallinas y (19-x) el nmero de cerdos. Esto lleva a que 2x+4(19- x)
= 60, lo cual representa una ecuacin lineal; es decir, 2x+76 4x=60
de donde x=8.
Otros aspectos importantes que deben estar presentes en la
evaluacin del aprendizaje de los estudiantes incluyen:
i) La participacin del estudiante en el diseo de
problemas-proyecto, donde tenga que recolectar informacin de
diversas fuentes.
ii) La escritura de un Diario personal, en donde el estudiante
reportar semanalmente sus experiencias en la resolucin de problemas
y el aprendizaje de las Matemticas (identificar dificultades y
reportar aspectos de mayor o menor inters).
iii) Que el estudiante participe en el proceso de formular
problemas durante y fuera de la instruccin, tomando en cuenta las
siguientes variables:
a) Se le d un problema y con base en el enunciado se le pide que
formule un problema similar y que lo resuelva. b) Se le d una
informacin incompleta y se le pide que complete la informacin, que
plantee un problema y que lo resuelva.
c) Se les pide que diseen sus propios problemas en donde
seleccionen informacin adecuada, indicndoles el contexto (un
problema de precios, de tiempo, de patrones, de demostracin,
etc.)
d) Se les da problemas con un exceso de informacin, pidiendo que
identifiquen y reestructuren el problema y que lo resuelvan.
e) Colocar semanalmente en un lugar del saln de clases una lista
de 2 o 3 problemas para que se resuelvan (los problemas de la
semana); la responsabilidad de disear dichos problemas puede ser
por equipos, dando un espacio en la clase para discutir sus
soluciones.
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SESIN IISESIN IISESIN IISESIN II
PROPSITO:
Reconocer el proceso de abstraccin del concepto de nmeros en los
nios y analizar situaciones en distintos aspectos de los nmeros que
se ponen en juego para resolverlas, la importancia del conteo oral,
el aspecto cardinal, el ordinal y la representacin.
Diferenciar los distintos significados de los algoritmos de
adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin para apoyar en el
desarrollo del pensamiento lgico-matemtico, as como adentrarse en
la nocin de Prediccin y azar.
COMPRENSIN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIN
Por qu ha tenido tanto xito el sistema de numeracin de base? La
respuesta es que las ventajas de una estructura de base y, por lo
tanto de nuestro propio sistema de decenas, son muy grandes. Esta
estructura hace posible que quien lo aprende forme el nombre de los
nmeros y no sea necesario aprendrselos de memoria. Slo tenemos que
recordar unas cuantas palabras y podemos formar el resto nosotros
mismos. Cuando entendemos la lgica de un sistema de numeracin,
podemos formar nmeros que nunca antes hemos odo.
Un sistema de numeracin de base implica contar unidades de
tamaos diferentes. En nuestro sistema de numeracin, por ejemplo
contamos unidades, decenas, centenas (tambin denominadas ordenes)
que pueden agruparse en diferentes clases, la clase de las
unidades, la clase de los millares, la clase de los milln es, etc.
Debido a que utilizamos un sistema de base 10, cuando tenemos diez
unidades de cualquier tamao las reagrupamos en unidades del orden
superior. El tamao de las unidades es importante tanto para contar
como para ordenar cantidades.
Conteo y dominio de las propiedades del sistema de numeracin:
Hace tiempo que los maestros de matemticas se dieron cuenta de que
es importante que los nios dominen la estructura del sistema
decimal para poderlo utilizar al hacer cuentas.
Saber contar y comprender el valor relativo de las unidades para
contar y su composicin aditiva no son la misma cosa. Los nios y
nias que no saben contar podran no ser capaces de comprender el
valor relativo de las unidades ni obtener totales con unidades de
diferente valor en el contexto del manejo de dinero.
Ni la instruccin escolar ni la habilidad de escribir nmeros son
cruciales para entender esos aspectos del nmero. Pueden dominarse a
partir de la utilizacin del sistema de numeracin oral al menos en
conjugacin con la familiaridad con el sistema monetario.
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A lo largo de la historia ha habido distintos sistemas de
numeracin, como el maya, el chino o el sistema romano, con smbolos
y reglas diferentes a los nuestros. Nuestro sistema de numeracin
decimal procede de la India, aunque fueron los rabes los que lo
introdujeron en Europa.
Terezinha Nunes y Peter Bryant. Las matemticas y su aplicacin:
la perspectiva del nio. Pag. 61-96
REGLAS DEL SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL: Se llama sistema
decimal porque 10 unidades de un orden cualquiera forman 1 unidad
del orden inmediato superior. Te puedes imaginar cada orden de
unidades como si fuera el peldao de una escalera. Para subir un
peldao hay que reunir 10 unidades en el peldao en el que ests
situado. En cambio, si bajas la escalera, 1 unidad del peldao en el
que ests equivale a 10 unidades del peldao siguiente, al que
bajas
Utilizamos diez caracteres, llamados cifras, que son: Es un
sistema posicional porque el valor de una cifra depende de la
posicin que ocupe dentro del nmero que estemos considerando. Por
ejemplo, cuando escribimos el nmero 235,733:
el primer 3 que escribimos pertenece a las decenas de millar
(DM), y vale 30.000 unidades; el segundo 3 pertenece a las decenas
(D), y vale 30 unidades; el tercer y ltimo 3 pertenece a las
unidades (U).
As pues, podemos descomponer un nmero como suma de los valores
de sus cifras. Por ejemplo, el nmero 456,789 es la suma de:
456,789 = 4 centenas de millar + 5 decenas de millar + 6
unidades de millar + 7 centenas + 8 decenas + 9 unidades = 4 CM + 5
DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 9 U
Para nmeros ms grandes, con ms de seis cifras, hemos de usar
rdenes de unidades superiores a la centena de millar:
Por ejemplo, el nmero 42, 345,678 es la suma de:
42, 345,678 = 4 decenas de milln + 2 unidades de milln + 3
centenas de millar + 4 decenas de millar + 5 unidades de millar + 6
centenas + 7 decenas + 8 unidades = 4 Dm + 2 Um + 3 CM + 4 DM + 5
UM + 6 C + 7 D + 8 U
CMO SE LEEN LOS NMEROS? Para leer cualquier nmero hemos de
formar grupos de tres cifras, contndolas desde la derecha y
recorriendo el nmero hacia la izquierda. Despus se lee cada uno de
los grupos, empezando por el primero de la izquierda y avanzando
hacia la derecha. Por ejemplo, para leer el nmero 215,367,498:
Leemos los grupos empezando por el primero de la izquierda:
doscientos quince millones trescientos sesenta y siete mil
cuatrocientos noventa y ocho.
Fjate que entre el primer y el segundo grupo va la palabra
millones y entre el segundo y el tercer grupo la palabra mil.
La posicin de los distintos matemticos y su relacin con las
actividades reales del
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sujeto los resume Droz as: Actividad del sujeto
El numero es Perspectiva terica
Clasificar Cardinal Cantor, Frege, Russell Comparar, seriar
Ordinal Peano, Neumann, Weyl Denotar y componer Algebraico Hilbert
Denotar y contar Constructivo Lorenzen Transformar Operador/ razn
Euclides, Euler,Herbart contar Producto del conteo E. Cassier
El examen detenido que este autor hace de las teoras anteriores
le lleva a varias conclusiones que compartimos completamente:
Ni filsofos ni matemticos pueden decir de manera unvoca qu son,
de dnde vienen y para qu
sirven los nmeros. Los nios no construyen una nocin del nmero ni
una prctica del nmero. Hay nociones y usos
mltiples del nmero que se solapan, se completan, se excluyen,
etc. Los investigadores psicogenticos se reducen a una nica
perspectiva que no permite dar cuenta de toda la
riqueza del pensamiento y las actividades infantiles. CONTAR ES
EL COMIENZO
Los nmeros naturales son aquellos que utilizamos para contar (1,
2,3,) y el cero, permiten resolver una gran variedad de
situaciones, por ejemplo: contar colecciones, compararlas e
igualarlas, comunicar cantidades,
expresar medidas, ordenar elementos.
Resulta bastante difcil decir exactamente decir exactamente
cuando los nios y nias comienzan a aprender matemticas.
Formalmente, por supuesto, su carrera en las matemticas suele
iniciarse en la escuela, pero sera absurdo decir que las primeras
experiencias matemticas se dan slo cuando las ensea un maestro. Es
perfectamente obvio para la mayora de los padres que sus hijos
aprenden algo sobre los principios matemticos antes de ir a la
escuela y, para la mayora de los maestros que los nios ya saben
bastante antes de ir a la escuela.
COMO SE APRENDE A CONTAR ADECUADAMENTE: Al contar debemos
respetar una serie de principios sencillos pero necesitan ser
explcitamente reconocidos. Comencemos con la manera en que la nia o
el nio cuentan un solo conjunto de objetos visibles y tangibles y
preguntarles cuntos objetos tiene. El primer Principio de
correspondencia biunvoca: al contar, deben contarse todos los
objetos, y cada uno debe contarse una sola vez. El segundo
principio el de orden constante: cada vez que contamos debemos
pronunciar palabras numricas en el mismo orden. El tercer principio
de cardinalidad: se relaciona con la manera de decidir la cantidad
real de objetos en el conjunto que se est contando, es decir cmo
saber si el total de objetos corresponde a la ltima palabra numrica
pronunciada al contar. Estos tres requerimientos son indisputables,
un nio que no lo respeta no cuenta adecuadamente, y aquel que si lo
respeta incesantemente si lo hace.
COMO UTILIZAN LOS NIOS Y LAS NIAS EL CONTEO: PIAGET seal que si
un nio cuente bien a pesar de no entender la naturaleza de esos
nmeros cuyos nombres se ha aprendido hbilmente. Pero si ve que
contar es una manera de encontrar una solucin a un problema
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determinado, podemos estar razonablemente seguros de que ha
mostrado una capacidad de entendimiento del sistema que le ha
ayudado.
Conjuntar objetos con nmeros iguales: Piaget y sus colaboradores
fueron los primeros en sealar que cuando nios y nias aprenden a
contar, todava les falta mucho camino por recorrer en la comprensin
de la naturaleza del nmero. La base de este punto de vista provino
de las muchas demostraciones que obtuvo de los nios y nias de
alrededor de cinco aos que, si bien pudieron contar razonablemente
bien, no lograron utilizar el conteo como herramienta cuando su uso
les habra beneficiado.
Comparacin de dos conjuntos: La manera como utilizan los nios y
nias el conteo para obtener una medida del tamao de un conjunto
puede analizarse de otra forma. Podemos mostrar dos conjuntos y
preguntar si tienen el mismo nmero de elementos. Si los conjuntos
estn dispuestos en hileras de elementos e una correspondencia
biunvoca, los nios no tendrn que basarse en el conteo para
compararlos. Pero si se les presenta de maneras diferentes (en
hileras, extendidos), contar se vuelve necesario. Las
investigaciones que realiz piaget acerca de cmo entienden los nios
y las nias la conservacin implican dos tipos diferentes de
conocimiento: la utilizacin del conteo frente a otras indicaciones
para compara dos conjuntos, e inferencias lgicas sobre la cantidad
en un conjunto sabiendo qu cantidad haba antes de que se realizara
una modificacin.
Como inferir un nmero a partir de un conjunto equivalente: Se
analizo el siguiente caso. Deducen el nmero de elementos en un
conjunto si cuentan su nmero con el otro? Olivie y peter analizaron
esta pregunta l pedir a nios de 5 aos que repartieran
equitativamente varios caramelos entre 2 muecos. Todos lo hicieron
bien, al terminar el experimentador contaba en voz alta los
caramelos que tena uno de los muecos y despus les preguntaba cuntos
caramelos tendra el otro mueco. Aunque haba repartido los caramelos
con cuidado, ninguno infiri inmediata y correctamente que el otro
mueco tena la misma cantidad. Esta es una nueva demostracin de que
si bien pueden aprender a contar, los ms pequeos no necesariamente
se percatan de la importancia del conteo para medir el tamao de un
conjunto y no siempre emplean inferencias transitivas para
determinar el tamao de un conjunto si conocen el tamao de otro
conjunto que tiene la misma cantidad.
Terezinha Nunes y Peter Bryant. Las matemticas y su aplicacin:
la perspectiva del nio. Pg. 35-60
EL PROBLEMA DE LA CONSERVACION DE LA CANTIDAD La conservacin es
para Piaget la permanencia del objeto (nmero de elementos,
sustancia solida o liquida, etc.)Frente a un grupo de
transformaciones (deformaciones, fraccionamiento, desplazamientos,
etc.). Es decir, el reconocimiento de la igualdad, que requiere la
construccin de invariantes, en donde reposa la construccin de la
reversibilidad. La prueba clsica ms conocida de conservacin de las
cantidades discretas es la siguiente. El experimentador dispone dos
hileras, de siete fichas cada una, en correspondencia ptica, tal
como sigue:
A
B
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Y pregunta al nio si hay la misma cantidad de fichas rojas que
azules. Despus procede a la vista del nio, a separar las fichas de
una de las hileras hasta obtener una disposicin similar a la
siguiente:
A
B De manera que la correspondencia visual se rompa. Pregunta
despus: hay mas rojas o mas azules?, Cmo lo sabes? En otros casos
los nios son invitados a construir una hilera de fichas equivalente
a una dada. Piaget encuentra cuatro niveles de conducta:
1. Ausencia de correspondencia trmino a trmino. Se da en nios de
edades comprendidas entre los 4 y 5 aos, y se caracteriza porque
usando una intuicin simple tiene ms en cuenta la configuracin
global y esttica de las hileras (longitud de la misma) que la
cantidad de fichas. Los individuos de esta etapa no saben servirse
de la correspondencia trmino a trmino para responder a la cuestin y
se hayan atrapados por las configuraciones figurativas de las
fichas.
2. Correspondencia trmino a trmino sin conservacin (5-6 aos). Si
bien los nios son
capaces de establecer una correspondencia trmino a trmino entre
las fichas rojas y las azules, una vez que esta se rompe
visualmente, porque las fichas se separan o se juntan, los
individuos renuncian a la equivalencia numrica. Argumentan que hay
ms fichas en la hilera B porque es ms larga, o bien en A porque las
fichas estn ms juntas, segn se realice la centracin sobre uno u
otro aspecto, longitud o densidad.
3. Conservacin no duradera (en torno a los 7 aos). La
conservacin depende de la transformacin realizada y del contexto,
de manera que el individuo se muestra conservador en unos casos y
en otros no. Segn Piaget, se trata de una etapa intermedia, por la
que no pasan necesariamente todos los individuos; stos se
encuentran sometidos a un conflicto, pues los datos emanados de la
correspondencia trmino a trmino se contradicen con los ndices
perceptivos, y la conservacin depende de si el individuo se centra
en el resultado de la correspondencia trmino a trmino o en los
ndices perceptivos.
4. Conservacin necesaria (a partir de los 7 aos). El nio, a
pesar de las transformaciones que pueden dar lugar a ndices
perceptivos engaosos, afirma la conservacin de la cantidad,
utilizando argumentos del tipo: Es parecido, no se ha aadido ni
quitado nada, siempre es lo mismo, porque las fichas pueden volver
a juntarse (o separarse, segn el caso), esta fila es ms larga pero
en la otra las fichas estn ms
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juntas, etc. Respuestas que ponen en evidencia comportamientos
de compensacin (longitud/densidad), o reversibilidad en la
correspondencia (juntar/separar).
Hay una especie de regulacin interna que hace que la contraccin
evolucione. As, el individuo es capaz de argumentar que si bien B
es ms larga, en A las fichas estn ms juntas. La cuotidad
Estudios posteriores de Pierre Grco han puesto de manifiesto que
existe un estado intermedio entre la correspondencia trmino a
trmino y la conservacin de la cantidad, en el que hay conservacin
de lo que Grco ha denominado cuotidad o nmero contado (quotit en
francs)1.
Grco procede de la siguiente manera: en la prueba anterior de
las fichas rojas y azules, se pide al nio que cuente las fichas que
hay en A, se tapa B y se le pide que adivine, sin contar, cuntas
hay en B. Despus, se le pide que cuente las fichas de B. Se le hace
repetir el nmero de fichas encontrado para A y para B, que es el
mismo. Se vuelve entonces a la situacin inicial, desplazando a
continuacin las fichas de B, y se le pregunta: dnde hay ms, en A o
en B?, cuntos hay en A y cuntos en B?
Las respuestas obtenidas permiten, en primer lugar, diferenciar
entre dos tipos de conservaciones: la relativa al nmero (la
cuotidad), y la relativa a la cantidad. As, hay nios que prevn de
forma acertada el nmero de fichas que habr en B, 7, si bien siguen
diciendo que las 7 azules son ms grandes que las 7 rojas. Esta
situacin, que puede parecer paradjica, es ms usual de lo que
pudiera parecer, pues se da en el 20% de los nios de edades
comprendidas entre 5 y 8 aos, que en el 75% de los casos dan
juicios de no conservacin disociando cantidad y cuotidad. Segn Grco
la conservacin de la cuotidad proviene de la accin de contar, que
es utilizada muy tempranamente por los nios, y que es incluso
aprendida como lita de carcter social. La cuotidad, a pesar de no
tener el carcter enteramente cardinal, supone ya el carcter
encajado de la serie numrica en el que se fundamentar despus la
coordinacin operatoria. Como resultado de las diferentes
experiencias llevadas a cabo, Grco afirma que hay una disociacin
efectiva entre las conservaciones (de la cantidad o de la cuotidad)
y el conteo instrumental-". Ms adelante, define operacionalmente la
cuotidad como la anticipacin numrica demandada, considerando tres
niveles distintos de conservacin:
I. No conservacin del nmero ni de la cantidad. Il. No
conservacin de la cantidad y conservacin del nmero.
III. Conservacin del nmero y de la cantidad.
Piaget y sus colaboradores estudian tambin el desarrollo y
evolucin de la correspondencia
trmino a trmino, y la seriacin, encontrando las mismas etapas
que para la conservacin numrica. 1 La quotit se correspondera con
lo que algunos autores han denominado posteriormente conteo
numerado. La nocin de cuotidad tiene un cieno estatuto cardinal, si
bien no se da la inclusin jerrquica de las clases propia de la
cardinacin operatoria propiamente dicha.
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Investigaciones posteriores han confirmado la veracidad de esta
afirmacin, por lo que puede afirmarse lo siguiente.
Existe un estrecho paralelismo, en las tres etapas del
desarrollo, de las clasificaciones, las seriaciones y el nmero
(Beth & Piaget).
Adems, los errores cometidos por los individuos en los estadios
I y II de construccin del nmero se corresponden con dificultades
del mismo tipo en clasificaciones y seriaciones (Piaget &,
Inhelder, Grco & Morf). Sin embargo, la mayora de las
investigaciones posteriores a las de Piaget, parecen mostrar que no
hay sincrona entre la adquisicin de la conservacin numrica y la
seriacin y la inclusin; la adquisicin de esta ltima, as como de la
transitividad (6-7 aos), sera posterior a la conservacin del nmero
(5-6 aos).
La afirmacin que acabamos de subrayar sirve a Piaget para
establecer un hecho de gran trascendencia para la actuacin didctica
en el aula:
La serie de los nmeros se constituye en tanto que sntesis de la
clasificacin y la ordenacin (Beth & Piaget).
Un resultado interesante, debido tambin a Greco es el hecho de
que la conservacin de la desigualdad es ms resistente a las
transformaciones que dan lugar a ndices perceptivos engaosos que la
conservacin de la igualdad; es decir, los nios conservan ms
fcilmente la desigualdad numrica que la igualdad numrica. Una
posible explicacin es que, para romper la desigualdad se necesita
realizar una transformacin de aumento o de disminucin hasta obtener
la igualdad. Si A < B, hay que aadir objetos a A, o quitar
objetos de B, para llegar a la situacin A = B, transformaciones
pertinentes desde un punto de vista cuantitativo, en tanto que las
transformaciones espaciales (separar, juntar, desplazar, etc.) no
son pertinentes en este sentido.
Como consecuencia, desde un punto de vista didctico, sera
interesante disear aprendizajes basados en transformaciones
aditivas o sustractivas, sobre las que los nios tienen
conocimientos muy precoces, anteriores a la conservacin de manera
que los juicios de igualdad estuvieran basados en el tipo de
transformacin llevada a cabo, aadir y quitar, y en la
reversibilidad de tales acciones.
LOS MODELOS MATEMATICOS DE CONSTRUCCION DEL NMERO NATURAL
Si bien nuestro objetivo no es hacer una discusin matemtica de
los posibles modelos de construccin del nmero natural, razn por la
cual no nos extenderemos demasiado, s nos parece oportuno estudiar
el posible paralelismo entre Matemticas- Psicologa y con vistas a
fundamentar una posible ingeniera didctica que recree la gnesis
artificial del saber, pues slo mostrando la complejidad matemtica
del concepto de nmero podrn apreciarse los mltiples aspectos que
deben abordarse didcticamente, y la gran diferencia que existe
entre el conocimiento social del nmero y el conocimiento
lgico-matemtico.
Si se comparan las tesis piagetianas con las distintas
axiomticas del nmero natural: Peano, Quine, Poincar, RusellG, se
encuentra una cierta correspondencia con los procesos genticos, si
bien son de naturaleza distinta.
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As, por ejemplo, la iteracin n + 1 es construida lentamente por
los individuos, de manera que en torno a los 8 aos es utilizada tan
solo por un 70 % de los nios", lo que viene a demostrar que los
principios innestas de Poincare, en los que la iteracin es un
postulado primitivo, estn lejos del funcionamiento cognitivo
real.
el numero no es ni un simple sistema de inclusin de clases ni
una simple seriacin, sino una sntesis indisociable de la inclusin y
la seriacin (piaget, 1964).
Los espacios entre los nmeros deben ser de cuatro centmetros. La
tira tendr aproximadamente un metro de largo por cinco centmetros
de ancho.
El dibujo puede hacerse tambin el piso en vez de usar
cartoncillo.
1.- el maestro organiza al grupo en equipos de dos a cuatro nios
y entrega a cada equipo una bolsa con fichas, una tira de
cartoncillo y una piedrita.
2.-en cada equipo deciden quien ser el primer nio que pone la
trampa.
El nio a quien le toca poner la trampa coloca una piedrita en
cualquier nmero de la tira despus del cero. Esa piedrita es la
trampa.
4.- los dems nios cogen una ficha de la bolsa. Ven donde est la
trampa y cada uno decide si su ficha recorrer la tira saltando de
dos en dos o tres en tres,
5.- en su turno, cada jugador pone su ficha en el nmero cero y
la hace avanzar saltando de dos en dos o de tres en tres, segn haya
escogido. Si escogi saltos de dos espacios, cuando le toque su
turno salta al dos, al cuatro, al seis y as hasta salir de la tira.
Si cae en la trampa no puede seguir.
6.- cuando un jugador logra saltar toda la tira sin caer en la
trampa.
7.- cuando todos han hecho avanzar su ficha, toca a otro nio
poner la trampa.
8.- el juego termina cuando cada nio ha puesto la trampa dos
veces.
9.-gana el nio que se quede con ms fichas.
10.- todos los nios regresan sus fichas a la bolsa y siguen
jugando.
En la segunda versin del juego la tira se elabora con los nmeros
hasta el 30 y se colocan dos trampas en lugar de una. En la tercera
versin la tira se puede realizar hasta el numero 50 y se colocan
tres trampas.
En todas las versiones del juego, el nio que pone las trampas
siempre tiene la posibilidad de bloquear completamente el camino y
ganar todas las fichas, pero esto no se logra pronto. Para lograrlo
los alumnos necesitan desarrollar poco a poco una estrategia que
consiste en buscar nmeros que estn contenidos en varias series a la
vez.
EL PAPEL DEL CONTEO EN LA CONSTRUCCION DEL NMERO
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Aunque la unanimidad entre los distintos autores est lejos de
alcanzarse, hay una tendencia generalizada a considerar el conteo
como una actividad importante para la adquisicin del nmero. Sin
embargo, las investigaciones piagetianas no han tomado en la
consideracin que se debiera el aspecto cultural del nmero,
olvidando que ste es el resultado de una evolucin sociohistrica. De
hecho, una de las crticas ms extendidas de los resultados de la
escuela de Piaget tiene que ver con la poca importancia dada al
conteo, lo que consider una mera habilidad social sin contenido
lgico-matemtico.
Pero ms all de la parte mecnica e imitativa de los primeros
recitados de la serie numrica verbal -la cantinela-, muchos autores
coinciden al considerar que el conteo elaborado est estrechamente
ligado al desarrollo cognitivo, y que saber contar puede conducir
al descubrimiento del esquema que permite generar la serie de
palabras-nmero.
El importante papel concedido, primero por Grco y despus por
Gelman, al conteo ya la correspondencia uno a uno, est basado en la
precocidad de la conservacin de la cuotidad (nmero contado), y en
el papel que esta juega un la formacin numrica. Pues las acciones
del sujeto que utiliza una numeracin preaprendida, los gestos, las
miradas que verifican si la correspondencia trmino a trmino est
completa, introducen un orden implcito, que juega, sin embargo, un
papel esencial en la formacin numrica: es, en efecto, el fundamento
de lo diferente, sin el cual los conjuntos no serian ms que clases
o categoras.
El conteo en los nios ms pequeos, considerado por Piaget como
meramente verbal, y por tanto subestimado, guarda una gran relacin
con la cardinacin; aunque, como veremos ms adelante, los nios
comienzan utilizando las palabras-nmero en contextos muy
distintos,