Taller 8

UNIVERSIDAD DE SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICAS Y NATURALES

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICASEGUNDO SEMESTRE DE 2015

CALCULO DIFERENCIALTaller 8

TEMAS A REFORZARCalculo de Limites IndeterminadosAsíntotas de funciones.

FORMA INDETERMINADA 00 :

Actividad 1I.Determinar cuáles de los siguientes limites presentan indeterminaciones.

III. Racionaliza cada expresión para calcular el límite.

II.Factorizar cada expresión para poder calcular el límite.

IV.Determinar si la afirmción es falsa o verdadera

Actividad 21. Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten

a) Limx→1

x3−1x2−1 b)

Limm→1

3m2−3m−1 c.

Limt→−4

t3+64t+4

d) Limx→2

x4−16x3−8 e)

Limt→3

t2−9t 2−5t+6 f)

Limx→64

x−64√ x−8

g) Limu→0

5u3+8u2

3u4−16u2h) Limx→1

3√x−1x−1 i)

Limx→−1

x2+2 x+1x+1

j) Limv→3

√v+1−2v−3 k)

Limn→0

√5+n−√5√2n l)

Limx→2

x−2x2+x−6

m) Limh→3

√2h+3−hh−3 n)

Limx→2

(x−2)2

x2−4 o) Limx→2

−x+24−x2

p) Limr→ 8

3√r−2r−8 q)

Limx→−1

(x+1 )3

x3+1 r) Limx→27

3√ x−3x−27

2. Dada la función f ( x )=x2−3 x , hallar

Limh→0

f ( x+h)−f ( x )h

3. Dada f ( x )=√5 x+1 hallar Limh→0

f ( x+h)−f ( x )h cuando

x>−15 .

4. Resuelve los siguientes límites:

a) Limx→1

(3x−1 )2

( x+1 )3b) Limv→2

v−2v2−4 c)

Limx→1

1−√x1−x

d) Limx→0

3x−3− x

3x+3−xe) Limx→2

x−2√ x2−4 f)

Limx→1

(2x+3 )(√x−1 )2x2+ x−3

g) Limh→0

(x+h )3−x3

h h) Limx→−1

(x2+3x+2 )x2+4 x+3 i)

Limh→0

(2+h)−2−2−2

h

LA DIVISIÓN SINTÉTICA EN EL CÁLCULO DE LÍMITES

Utilice la división sintética para factorizar, y así poder eliminar las indeterminaciones en los siguientes límites:

1. Limx→1

6 x5−4 x4+3x2−9 x+4x4−8 x3+9x−2 2.

Limx→−2

5x4+x3−2x−76x3−2x2+ x+18

3. Limx→3

x2−x−6x−3 4.

Limx→−2

x3+4 x2−x−10x+2

5. Limx→1/2

4 x3−8 x2+11 x−42x−1 6.

Lima→−2

2a3−2a2−4 a+16a+2

7. Lima→−1

a4−a2+2a+2a+1 8.

Limx→1

x4+5 x−6x−1

LÍMITES INFINITOS

Evaluar los siguientes límites por simple intuición

1. limx→1+

2 x+1x−1 2.

limx→2+

x−3x−2 3.

limx→3+

3x−103−x 4.

limx→4−

x+54−x

5. limx→2−

x−1x2−3 x+2 6.

limx→−2−

−x4−x2

7. limx→2−

3−x( x−2)2

8. limx→−4−

−x( 4+x )2

LÍMITES AL INFINITO:

a) Limx→∞

2 x+33 x+1 b)

Limx→∞

5 x2+3 x+12 x2−4 x−5

c) Limx→∞

x2

x3+x d) Limx→∞

x2−2x+3x3+1

e) Limx→∞

4 x5−6x 4+3 x2

3 x3+5 x2+6 x f) Limx→∞ √ 1+x

x2

g) limx→∞

√3 x+2−xh) Limx→∞ [ x4+3 x

3 x3−4 x2 ]i) Limx→∞ √ x2−4

x−2 j) Limx→∞

√ x2−12 x+1

k)

Limu→∞

u3

u2+ 34+u3

l) Limt→∞

3 t 4+3 t3+3 t4 t4+2 t3

m) Limz→∞

√1−z2

2 z−3 n) Limz→∞

1−z√1−z2

o) Limx→∞

2x+34 x+5 p)

Limx→∞

2 x+16+ x−3x2

q) Limx→∞

xx2+5 r)

Limx→∞

x+3x2+5 x+6

s) limx→∞

√2 x−1−xt) limx→∞

(3x−√4 x+2 )

LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Evaluar los siguientes límites, aplicando las fórmulas anteriores, cuando sea necesario, y considerando algunas identidades trigonométricas cuando se requiera:

1. limθ→ 0

Sen2θθ 2.

limθ→ 0

Senθ2θ

3. limθ→0

Sen3θ5θ 4.

limθ→ 0

Sen2θθ

5. limθ→0

Sen4θθ 6.

limθ→ 0

θSenθ

7. limθ→0

Sen3θ2θ 8.

limx→0

Sen4 x3x

9. limθ→ 0

Senθ2

θ 10. limθ→0

4Sen 9θ3θ

11. limθ→0

θSen2θ 12.

limθ→0

Sen7θ4θ

13. limθ→ 0Cosθ Senθ

θ 14. limθ→0

43Sen25θθ

15. limθ→0

π4Sen πθ

2θ 16. limθ→0

Cosθ1−Senθ

17. limθ→0

Tanθθ 18.

limθ→0

θ+ tanθSenθ

19. limθ→0

√1−Cos2θθ 20.

limθ→ 0

√1−Cos22θ4θ

21. limθ→0

1−Cos2θ2θ 22.

limθ→ 0

1−Cos6θθ

23. limθ→ 0

3−3Cos2θ6θ 24.

limθ→0

5−5Cos3θ15θ

25. limθ→ 0

5−5Cos4θ10θ 26.

limα→ 0

7−7Cos3α21α

27. limθ→0

1−Cosθ2θ2

28. limα→ 0

4−4 √1−Sen24 α4α

29. limα→ 0

8−4 √4−4 Sen23α9α 30.

limα→0

−4Cosα+48α

31.

limx→0

Senx

x1

232.

limx→0

1xSen x

3

33. limx→0

Sen2xxCos3 x 34.

limx→0xSecxCscx

35. limx→0xCot 3 x

36. limx→0x2Csc2xCot 2 x

37. limh→0

Cos( x+h)−Cosxh 38.

limx→0Sen( x+ π

2)

39.

limx→ π

2

1−Senxπ2−x

(sugerencia u =

π2−x

) 40. limx→a

Cosx−Cosax−a (sugerencia u = x – a)

41. limx→π

Senxx−π (sugerencia u = x – π ) 42.

limx→0

1−Cos3xSenx

43. limh→0

Sen( x+h )−Senxh 44.

limx→ π

2

π2−x

Cosx (sugerencia u =

x−π2 )

RespuestasPráctica previaA.

1 x(3 + 4x – 5y + 12z) 22 (x + 3)(x + 1)

2 2(3x2 + 5xy + 9z + 11y) 23 (x + 6)(x – 2)

3 3xz(9z – 11x + 6x2y) 24 (x2 – 5)(x2 – 4)

4 (1 – y)(x2 + y2) 25 (x + 8y)(x – 3y)

5 (1 + 2y)(2x + 3y) 26 –(x – 12y)(x +4y )

6 (2x – 1)(z – 1) 27 (x + 1)(2x + 1)

7 (3x – 2)( –1 – 5x + 2y) 28 (x + 3)(2x + 1)

8 (1 + 2y)(2x + 3z) 29 (2x + 3)(3x – 1)

9 (2z – y)(5x + 4y) 30 (x + 5)(5x + 4)

10 (x – 3)(8y + 10x + 7z)) 31 (x – 3)3

11 (2x – 5)2 32 (2x + 3)3

12 (Z + 7)2 33 (2x – 2)3

13 (4x + 6z)2 34 (x + 3)(x2 – 3x + 9)

14 ( x5−3 y )2

35 (x + 2)(x2 – 2x + 4)

15 (4 – y)(4 + y) 36 (3x – 1)(9x2 + 3x + 1)

16 (5x – 9y)(5x + 9y) 37 (x−1

2 )(x2+ x2+ 1

4 )17 (10x2z – 4y)(10x2z + 4y) 3

8 x(x + y)(x – y)

18 ( x6−57 )( x6 +5

7 ) 39 x(x – 3)(x – 2)

19 (x – 3)(x – 1) 40 (x + 1)2(x – 1)

20 x(x + 10) 41 (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

21 (x + y + z)(x + y – z) 42 x(x + 3)(x – 3)(x + 2)

B.

13x+2

3 x6

y−2y+1

22x+11

6 x7

5 x−123( x−4 )( x+4 )

3 2−9 x2−8 x3

12 x3 8y

x3− y3

4 2(x + 1) 9x

y ( x+ y )

5x+7

( x−2 )(x+1 )10

x2+24 x−912 x( x−3 )( x+3)2

________________Teorema de la unicidad1) a) N.E. b) N.E. c) 0 2) a = 1/9 3) a = 1 4) a = 8/5________________Principio de sustitución

1) 4/9 2) –1 3) 2 4) √5 5) N.E.6) 0 7) 0 8) Cosa 9) –1 10) 72________________Indeterminaciones 0/01) a) 3/2 b) 6 c) 48 d) 8/3 e) 6 f) 16 g) –1/2 h) 1/3 i) 0 j) 1/4 k) 0 l) 1/5 m) –2/3 n) 0 o) 1/4 p) 1/12 q) 0 r) 1/27

2) 2x – 3 3)

52√5 x+1

4) a) 1/2 b) 1/4 c) 1/2 d) 0 e) 0 f) 1/2 g) 3x2 h) 1/2 i) –1/4________________La vivisión sintética em El cálculo de límites1) –1 2) –50/7 3) 5 4) –5 5) 3 6) 28 7) 0 8) 9________________Limites infinitos1)∞ 2) –∞ 3) ∞ 4) ∞ 5) –∞ 6) –∞ 7) ∞ 8) ∞________________Limites aL infinitoa) 2/3 b) 5/2 c) 0 d) 0 e) ∞ f) 0 g) –∞h) ∞ i) ∞ j) 1/2 k) 1 l) 3/4 m) i/2 n) io) ½ p) 0 q) 0 r) 0 s) –∞ t) ∞________________Limites trigonométricos1) 2 2) 1/2 3) 3/5 4) 0 5) 4 6) 1 7) 3/28) 4/3 9) 1/2 10) 12 11) 1/2 12) 7/4 13) 1 14) 100/3

15)

π 2

8 16) 1 17) 1 18) 2 19) 1 20) 1/2 21) 022) 0 23) 0 24) 0 25) 0 26) 0 27) 1/4 28) 029) 0 30) 0 31) 0 32) 1/3 33) 2 34) 1 35) 1/336) 1/4 37) –Senx 38) 1 39) 0 40) –Sena 41) –1 42) 043) Cosx 44) 1