Taller 5

7/21/2019 Taller 5

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Ejemplo 1

1.Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.....

SOLUCIÓN

En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6.

Al sustituir estos alores en la ecuación (!) de la sección ".!., se o#tiene:

Al desarrollar los #ino$ios en la %lti$a i&ualdad y si$'lificar, se o#tiene final$ente:

Ejemplo 2

2.allar la ecuación de la circunferencia ue 'asa 'or el ori&en y tiene su centro en el

'unto co$%n a las rectas: y ...

..

SOLUCIÓN

Al resoler si$ult*nea$ente el siste$a: se o#tiene .

Asi ue el centro de la circunferencia es el 'unto C(3, !).

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Ahora, co$o la circunferencia 'asa 'or el 'unto +(+, +), se tiene

ue

es el alor del radio.

sando nuea$ente la ecuación (!) de la sección ".!. con y , seo#tiene:

.. Ejemplo 3

3.eter$ine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos di*$etros es el se&$ento de

etre$os y .......

SOLUCIÓN

/i D denota el di*$etro de la circunferencia, entonces, el radio r

es .

Es decir, (fór$ula de la distancia).

Esto es,

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Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del 'unto $edio del

se&$ento . (0er fi&.).

Asi ue: y

1ue&o, la ecuación de la circunferencia 'edida

es: .

Ejemplo 4

4.1a ecuación: re'resenta una circunferencia. eter$inesu centro C(h, k) y su radio r .

....

.. SOLUCIÓN

1a ecuación dada 'uede escri#irse en las for$as euialentes:

Co$'arando esta %lti$a ecuación con la ecuación (!) de la sección ".!., se deduce

ue: y .

1ue&o, el centro de la circunferencia es el 'unto C(-3, 7) y su radio es r = 8.

Ejemplo 5

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5.allar la ecuación de la circunferencia ue 'asa 'or los 'untos A(+, 6), (, -2) y C(4,3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.

....

....

SOLUCIÓN

Co$o A, yC no est*n alineados, hay una circunferencia 5 ue 'asa 'or A, y C.

/u ecuación es la for$a

2 y2 2d 2ey f = +

alle$os d, e y f.

Co$o A(+, 6) ∈ C ,

+2 62 2d.+ 2e.6 f = + Asi ue: 36 !2e f = + (!)

Co$o (, -2) ∈ C , !6 2d. 2e.(-2) f = +

Es decir, 2+ 7d 8 e f = + (2)

Co$o C(4, 3) ∈ C , 7! 4 2d.4 2e.3 f = +

Asi ue: 4+ !7d 6e f = + (3)

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El siste$a de ecuaciones (!), (2), (3) 'uede escri#irse as9:

!2e f = -36

7d 8 e f = -2+

!7d 6e f = -4+

o ta$#in:

cuya solución es: d = -, e = -3, f = +

1ue&o la ecuación de 5 es : 2 y2 8 7 8 6y = + ue 'ode$os escri#ir:

(2 8 7 !6) (y2 8 6y 4) = 2"

ó ( 8 )2 (y 8 3)2 = 2"

As9 ue la circunferencia C circunscrita al tri*n&ulo AC tiene centro en (, 3) y radio ".

.. Ejercicio 6

6.eter$ine los 'untos co$unes a la circunferencia y a la

recta ...

Ejercicio 7

7.eter$ine los 'untos co$unes a la circunferencia y a la

recta .

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..

.. SOLUCIÓN

Co$o en el caso anterior, los 'untos co$unes son las soluciones al siste$a de ecuaciones:

(!)

(2)

e (2) se tiene: (3).

/ustituyendo (3) en (!) se 'uede escri#ir:

1a %lti$a ecuación, tiene co$o %nica solución x = 2 ue corres'onde a la a#scisa del %nico'unto de intersección.

/ustituyendo el alor de x = 2 en (3) se o#tiene: . e esta for$a esel %nico 'unto co$%n a la recta y a la circunferencia.

En este caso, la recta es tan&ente a la circunferencia en el 'unto .

1a fi&ura ad;unta ilustra la situación.

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LA PARABÓLA

e!i"icio"e#

i. /ea una recta dada del 'lano y < un 'unto del 'lano ue no est* en la recta dada./e define la 'ar*#ola co$o el lu&ar &eo$trico de los 'untos del 'lano cuya distancia al'unto < es i&ual a la distancia a larecta .

ii. 1a recta dada se lla$a >?EC@?> y el 'unto < se lla$a <BCB (fi&. 6.!.!.)<recuente$ente se hace referencia a la 'ar*#ola de directri y de foco < y se denota'or -<.Esto es:

-<=D:<<==D:< = ! PD

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!i$. 6.1.1.

O%#er&'cio"e#(

i. Al traar 'or < la 'er'endicular a la directri. /e lla$ar* : la distancia delfoco a la directri.

ii. /ea 0 el 'unto $edio del se&$ento . Co$o , entonces el 'unto 0'ertenece a la 'ar*#ola. 0 es lla$ado 0E?@>CE de la 'ar*#ola.

El lu&ar corres'ondiente a la 'ar*#ola es si$trico res'ecto a la recta . En efecto, si F

es el si$trico de res'ecto a la recta , entonces FF = FFF. or lo tanto, el tri*n&uloFF< es con&ruente al tri*n&ulo FFF<. e donde F< = < y co$o FF = , entonces,

, lo cual nos $uestra ue F e -<.

6.1.1. Ec)'cio"e# A"'l*+ic'# ,e l' P'r-%ol'

En esta sección sólo se considerar*n 'ar*#olas con el rtice 0 en el ori&en de coordenadasy cuyos focos estar*n localiados so#re los e;es ó y (fi&. 6.!.2.)

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!i$. 6.1.2.

/ea (, y) un 'unto de la 'ar*#ola -< (fi& 6.!.2 #)entonces, .

ero, y

1ue&o,

Eleando al cuadrado a$#os $ie$#ros de la %lti$a i&ualdad, y desarrollando los #ino$ios,

se o#tiene: , y si$'lificando ueda final$ente,

(!)

?ec9'roca$ente, sea (, y) un 'unto del 'lano, cuyas coordenadas (, y) satisfacen (!) y'rue#e ue e -<.

or hi'ótesis, (2)

/e de#e 'ro#ar ue

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e esta for$a se ha de$ostrado la 'arte i del si&uiente teore$a.

EORE/A 1 0Ec)'cio"e# ,e l' P'r-%ol'

i. 1a ecuación de la 'ar*#ola ue tiene su foco en <('G2, +) y 'or directri la recta = -'G2(fi&. 6.!.) iene dada 'or : y2=2'(3). ?ec9'roca$ene si un 'unto del 'lano, satisface

(3) entonces ξ -<

ii. 1a ecuación de la 'ar*#ola ue tiene su foco en <(+, 'G2) y 'or directri la recta y =-'G2 (fi&. 6.!.3.) es: 2 = 2'y ()

iii. ?ec9'roca$ente, si un 'unto del 'lano, satisface () entonces ξ -<

!i$. 6.1.3.

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!i$. 6.1.4.

O%#er&'cio"e#(

i. En la fi&. 6.!.3. a'arecen las &r*ficas de dos 'ar*#olas a#iertas hacia arri#a (en elcaso de 'H+) y hacia a#a;o ('I+), res'ectia$ente y cuyos focos est*n localiados en el'unto<(+, 'G2) y cuya directri es la recta de ecuación y = -'G2.

Ade$*s, todos sus 'untos son si$tricos con res'ecto al e;e y: de au9 ue las ecuaciones

ue re'resentan sus lu&ares &eo$tricos, 'resentan %nica$ente a la aria#le eleada enuna 'otencia 'ar.

ii. >&ual$ente, las &r*ficas de la fi&. 6.!.. corres'onden a las &r*ficas de 'ar*#olasa#iertas hacia la derecha (' H +) e iuierda (' I +) res'ectia$ente, con focos en el'unto <('G2, +) y cuya directri es la recta de ecuación = -'G2. Ade$*s todos sus 'untosson si$tricos con res'ecto al e;e , de au9 ue las ecuaciones ue re'resentan suslu&ares &eo$tricos, 'oseen %nica$ente a la aria#le y eleada a su 'otencia 'ar.

6.1.2. r'#l'ci" ,e Eje#

En el e;e$'lo " de la sección ".6., se deter$inó ue la ecuación de la circunferencia concentro en C(,3) y radio " era:

ó

/in e$#ar&o, si se encuentra la ecuación con centro en C(+, +) y radio ". /e o#tiene

.

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e lo anterior se concluye ue a eces 'uede ca$#iar la ecuación sin ca$#iar la for$a dela &r*fica (fi&. 6.!.".).

!i$. 6.1.5.

/i en el 'lano cartesiano - y se eli&en nueos e;es coordenados 'aralelos a los e;es e y,se dice entonces ue ha ha#ido una J@?A/1AC>KL E EME/J. Al fin de analiar los ca$#iosue se 'resenten en las coordenadas de los 'untos del 'lano al introducir un nueosiste$a de coordenadas F e yF 'aralelo a los e;es e y, se to$a un 'unto fi;o oF(h, k)ue se lla$a: B?>NEL del nueo siste$a.

/ea ahora, un 'unto (, y) del 'lano, cuyas coordenadas est*n referidas al siste$a conori&en B(B, B) Entonces las coordenadas de (F, yF) referidas al siste$a F-yF ienen dadas'or las relaciones:

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= F h (!)y = yF k (2)

lla$adas: ECAC>BLE/ E@?A/1AC>KL E EME/, y ue'ueden deducirse f*cil$ente de lafi&. 6.!.6.

!i$. 6.1.6.

O%#er&'ci"(

1a traslación de e;es $odifica la ecuación de una cura y al&unas eces la si$'lifica, 'erono altera la for$a de la cura.

na a'licación %til de la traslación de e;es se consi&ue cuando se o#tienen las ecuaciones&enerales de la 'ar*#ola, con rtice en el 'unto 0 (h, k) referido al siste$a -y y 'ara lascuales la directri es 'er'endicular a uno de los e;es.

/i se to$a co$o referencia los e;es F e yF, hallar las ecuaciones de la 'ar*#ola con rticeen 0(h, k), euiale a encontrar las ecuaciones de la 'ar*#ola con rtice en (+, +) referidoal nueo siste$a.

1as ecuaciones , 'er$iten escri#ir las ecuaciones en for$a&eneral de la 'ar*#ola, co$o lo afir$a el si&uiente teore$a:

6.1.3. eorem'2 0Ec)'cio"e# ,e l' p'r-%ol'. orm' $e"er'l

i. 1a ecuación de la 'ar*#ola con rtice en el 'unto 0 (h, k), ue tiene su foco

en y 'or directri la recta:

(fi&. 6.!.O.) iene dada 'or:

(!)

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!i$. 6.1.7.

ii. 1a ecuación de la 'ar*#ola con rtice en el 'unto 0 (h, k), ue tiene su foco

en y 'or directri la recta:

(fi&. 6.!.7.) iene dada 'or:

(2)

!i$. 6.1..

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emo#+r'ci"(

Es si$ilar a la del teore$a !, a'licado al siste$a F-yF y lue&o hacer

e

O%#er&'ci"(

1as ecuaciones (!) y (2) del teore$a 2, des'us de si$'lificarlas, 'ueden e'resarse en lafor$a:

(3)

()

En las ecuaciones (3) y () 'uede notarse ue una de las aria#les a'arece al cuadrado y

la otra lineal. 1a 'ar*#ola sie$'re se a#re en la dirección del e;e cuya aria- #le a'arecelineal.As9 'or e;e$'lo, la ecuación (3) re'resenta una 'ar*#ola ue se a#re hacia el se$ie;e y'ositio (si ' H +) o hacia el se$ie;e y ne&atio (si ' I +). >&ual$ente, la ecuación ()re'resenta una 'ar*#ola a#ierta hacia la derecha (si ' H +) o hacia la iuierda (si ' I+).

6.1.4. 'lore# m-imo# m*"imo# ,e )"' p'r-%ol'

/e ha isto en la sección 'recedente ue la ecuación (!) 'uede

escri#irse (co$'letando cuadrados) en la for$a (2) y re'resenta

una 'ar*#ola cuyo e;e focal es ertical, a#ierta hacia arri#a (' H +) ó hacia a#a;o (' I +).

Cuando la ecuación a'arece en la for$a (!), el si&no de a (coeficiente de 2), deter$ina sila 'ar*#ola se a#re hacia arri#a o hacia a#a;o y ta$#in deter$ina si el rtice es un 'unto$*i$o o $9ni$o de la cura.

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!i$. 6.1.8. 0' !i$. 6.1.8. 0%

/i co$o en la fi&. 6.!.4.(a), la 'ar*#ola se a#re hacia a#a;o, el rtice 0 ('unto $as alto dela cura) es lla$ado el 'unto $*i$o de la 'ar*#ola. El alor de la ordenadacorres'ondiente es el alor $*i$o de la función ue ella re'resenta.

/i$ilar$ente, si la 'ar*#ola se a#re hacia arri#a (fi&. 6.!.4.(#)), el rtice 0 es lla$a- do el'unto $9ni$o de la 'ar*#olaP y el corres'ondiente alor de y, es el alor $9ni$o de lafunción.

@oda función cuadr*tica, tiene un alor $*i$o o un alor $9ni$o, 'ero no a$#os.

6.5 E9ERCICIOS RESUELOS E LA UNIA Nro 6

..

6.5.1. Ejercicio# Re#)el+o# So%re L' P'r-%ol'

1. sando la definición, hallar la ecuación de la 'ar*#ola ue tiene su foco en<(2,+) y su dirección es la recta de ecuación x = -2.

/olución:

@r*cese la &r*fica con los ele$entos dados.

e 'c)er,o ' l' ,e!i"ici": )"p)"+o

Pero:

L)e$o:

Ele&'",o 'm%o# miem%ro# 'lc)',r',o: #e +ie"e(

!i$. 6.5.1.

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e donde y2 = 7 es la ecuación de la'ar*#ola 'edida.

2. ada la 'ar*#ola ue tiene 'or ecuación

2

= -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directri, analiarla si$etr9a de la cura y traar la &r*fica.

Sol)ci"(

la ecuación 2 = -6y tiene la for$a de la ecuación () del teore$a !. Entonces,2' = -6, de donde p= -3 I +.

Co$o p I +, la 'ar*#ola se a#rehacia a#a;o. El foco se encuentra so#re el e;e yen el 'unto < (+, -'G2). 1a ecuación de la directri es la

recta ,

es decir,

i$ 6.5.2

3. ado el 'unto del 'lano (a, b) con a, b > 0. e$ostrar ue 'or el 'unto

'asa la 'ar*#ola (!).

eter$ine el foco y la ecuación de la directri

Sol)ci"(

Co$o se si&ue ue el 'unto (a, b) satisface la ecuación (!) y'or lo tanto 'ertenece a la 'ar*#ola.

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i$. 6.5.4.ado ue BF (2, 3) se deduce de las relaciones (!) y (2) de la sección 6.!.2. ue:

de donde

/ustituyendo los alores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se o#tiene:

Esta %lti$a ecuación, re'resenta una 'ar*#ola cuyo rtice es el 'unto 0 (2,3), a#ierta hacia la derecha y cuya distancia del rtice al foco y del rtice a ladirectri es !.

5. eter$ine el rtice 0 y la ecuación de la 'ar*#ola ue tiene co$o directri larecta de ecuación x = 2 y cuyo foco est* localiado en el 'unto <(, 2).

Sol)ci"(

Co$o la directri es la recta de ecuación x = 2, 'aralela al e;e y , se si&ue ue ele;e focal es 'aralelo al e;e x y co$o el foco es el 'unto <(, 2), entonces el e;efocal tiene co$o ecua- ción y = 2.

El rtice 0 de la 'ar*#ola est* so#re la recta y = 2 y localiado en el 'unto$edio entre la directri y el foco.

Co$o Q< = ' = 2, se si&ue ue Q0 = 0< = !, y 'or lo tanto las coordenadas delrtice son 0(3, 2).

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!i$. 6.5.5.Ahora, la ecuación de la 'ar*#ola iene dada 'or:

ó

6. eter$ine el rtice 0, el foco <, la ecuación de la directri, el e;e focal ydi#u;ar la &r*fica de la 'ar*#ola cuya ecuación es:

Sol)ci"(

/e de#e e'resar la ecuación en la for$a:

(!)

As9,

(Co$'letación de cuadrados)

(2) (<actoriando)

Co$'arando (!) y (2) se deduce ue:

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As9 ue las coordenadasdel rtice

son .Co$o ' = H + y laaria#le lineal es y , sededuce entonces ue la 'ar*#olase a#re hacia arri#a. El e;e focal es la recta'aralela al e;e y de

ecuacióny el foco se encuentralocaliado en el 'unto

,

esto es,!i$. 6.5.6.

1a directri es la recta 'aralela al e;e x , de ecuación P esto

es,

En la fi&ura 6.".6. a'arece la &r*fica de la 'ar*#ola con todos sus ele$entos.

7. ara la 'ar*#ola de$ostrar ue el rtice

est* en el 'unto y ue corres'onde a un $*i$o o un $9ni$o

de acuerdo al si&no de a.

Sol)ci".

1a ecuación: , 'uede escri#irse en la

for$a: .

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Co$'letando un cuadrado 'erfecto en el 'ri$er $ie$#ro de la %lti$a i&ualdad,se tiene:

Con lo cual,

Al co$'arar esta %lti$a ecuación, con la i&ualdad (!) del teore$a 2 (sección

6.!.3.), se deduce ue el 'unto son las coordenadas del

rtice de la 'ar*#ola y ade$*s,

Ahora, si a > 0, entonces p > 0 y la 'ar*#ola se a#re hacia arri#a. En este caso,el 'unto 0 corres'onde a un 'unto $9ni$o de la 'ar*#ola.

/i a < 0, entonces p < 0 y la 'ar*#ola se a#re hacia a#a;o. En este caso, el 'unto0 corres- 'onde a un 'unto $*i$o de la 'ar*#ola.

. 0Propie,', p+ic' 0o !oc'l ,e l' p'r-%ol'

e$ostrar ue la nor$al a la 'ar*#ola en un 'unto Q, hace *n&ulos i&uales conla recta ue 'asa 'or Q y F y con la 'aralela al e;e focal traada 'or el 'unto.

Sol)ci".

Considere la 'ar*#ola y 2 = 2px ue a'arece en la fi&ura 6.".O., la nor$al nn y latan&ente tt a la cura en el 'unto Q(x 1 , y 1 ). Al traar las rectas ue 'asan 'or Q y F y la'aralela al e;e focal, se for$an los *n&ulos θ y β .

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!i$. 6.5.7./e de#e 'ro#ar ue θ =β .

1a ecuación de la tan&ente tt a la cura en el 'unto Q(x 1 , y 1 ) iene dada

'or: .

e au9 se deduce ue y 'or lo tanto .

Ahora, .

Asi ue (!).

En el tri*n&ulo Q<L, se tiene, , de donde .

1ue&o, .

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ero, .

e esta for$a:

('uesto ue y 12=2x 1)

Es decir, .

1ue&o, y 'or tanto θ = β .

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1a 'ro'iedad de$ostrada anterior$ente, si&nifica ue si se su'one un es'e;o'ara#ólico 'er- fecta$ente liso, co$o el *n&ulo de incidencia es i&ual al *n&ulo de refleión, todorayo 'aralelo al e;e de si$etr9a de la 'ar*#ola, se refle;a 'asando 'or el foco.

Esta 'ro'iedad conocida co$o la 'ro'iedad ó'tica (o focal) de la 'ar*#ola esutiliada en la construcción de reflectores y de antenas 'ara#ólicas.

6. SECCIONES CÓNICAS

6.2 LA ELIPSE

e!i"icio"e#(

i. /ean < y <F dos 'untos de un 'lano (< . /e define la E1>/E de focos < y <F co$o el lu&ar&eo$trico de los 'untos del 'lano tales ue la su$a de sus distancias a los focos es constantee i&ual a 2a (a H +).

ii. 1as rectas: 1a ue 'asa 'or los focos < y <F y la recta $ediatri del se&$ento sella$an EME/ E />RE@?SA E 1A E1>/E.

iii. El 'unto de intersección B de los dos e;es de si$etr9a, se lla$a CEL@?B E 1A E1>/E. 1os'untos AF, A, y F se lla$an 0E?@>CE/ E 1A E1>/E.

/i el se&$ento es $ayor ue el se&$ento , a$#os se&$entos se lla$an

res'ectia$ente EME RATB? y EME RELB? de la eli'se.

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!i$. 6.2.1.

O%#er&'cio"e#(

i. e hecho, cualuier 'ar de 'untos del 'lano 'ueden serir co$o focos de una eli'se. orsi$'licidad, solo se considerar*n inicial$ente auellos casos en los cuales los focos est*n en el

$is$o e;e (e;e , e;e y) y son si$tricos uno del otro con res'ecto al ori&en (fi&. 6.2.2.).

ii. Lótese ta$#in ue co$o , se si&ue ue(teore$a de it*&oras).

!i$. 6.2.2.

;<6.2.1. Ec)'cio"e# A"'l*+ic'# ,e l' Elip#e

C'#o 1. Elip#e# co" !oco#. =0>c: ? 0c: ? @ c ?

E;e $ayor: 1on&itud 2a (2a H +)

E;e $enor: 1on&itud 2# (2# H +)

EORE/A(

1a ecuación de la eli'se con focos en los 'untos <F(-c, +) y <(c, +), e;e $ayor 2a, y e;e $enor2#, (fi&. 6.2.3.) iene dada 'or:

(!)

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!i$. 6.2.3. !i$. 6.2.4.

emo#+r'ci"

/i '(, y) es un 'unto ue 'ertenece a la eli'se considerada, se tiene de acuerdo a la definición

i ue , o euialente$ente,(fór$ula de distancia entre dos 'untos)

@rans'oniendo el 'ri$er radical al se&undo lado y eleando a$#os $ie$#ros al cuadrado, se

o#tiene:

/i$'lificando la %lti$a i&ualdad se lle&a a:

Al elear nuea$ente a$#os $ie$#ros al cuadrado en la %lti$a ecuación, se o#tiene:

1a cual se reduce a:

?ecordando ade$*s ue y al diidir a$#os $ie$#ros de la %lti$a i&ualdad

'or , se o#tiene final$ente : ue corres'onde a la ecuación 'edida.

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C'#o 2. Elip#e# co" !oco# =0?: >c 0?: c @ c ?

E;e $ayor: 1on&itud 2a (a H +) E;e $enor: 1on&itud 2# (# H +)

EORE/A(

1a ecuación de la eli'se con focos en los 'untos <F(+, -c) y <(+, c), e;e $ayor 2a, y, e;e $enor2# (fi&. 6.2..), iene dada 'or:

(2)

emo#+r'ci"(

Es si$ilar a la anterior, se de;a 'or lo tanto co$o e;ercicio.

NOA(

Lótese ue si en las ecuaciones (!) y (2) de la eli'se, se hace a = #, las ecuaciones setransfor$an en la ecuación de una circunferencia de centro en el ori&en y radio a.

C'#o 3. 0C'#o e"er'l.

/i en e de considerar el centro de la eli'se en el 'unto (+, +), co$o se hio en los dos casosanteriores, se considera el 'unto C (h, k), la ecuación de la eli'se corres'ondiente, se

transfor$a utiliando las ecuaciones de traslación (sección 6.!.2.) en:

(3)

/i a H #, el e;e focal es 'aralelo al e;e . (so#re la recta y = k)

/i # H a, el e;e focal es 'aralelo al e;e y. (so#re la recta = h)

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!i$. 6.2.5.

(a) (x-h)2

(y-k)2€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ (#) (x-h)2 (y-k)2

a2€€€€€€€€€€€#2€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€ b2€€€€€€€€€€€a2

€O%#er&'cio"e#(

i. 1a ecuación (3) se deduce considerando ue los e;es de la eli'se son 'aralelos a los e;escoordenados.

ii. /i a H #, la ecuación (3) corres'onde a una eli'se con centro en C(h, k) y cuyo e;e focal es'aralelo al e;e (fi&. 6.2.". a).

/i # H a, la ecuación (3) corres'onde a una eli'se con centro en C(h, k) y cuyo e;e focal es'aralelo al e;e y (fi&. 6.2.". #).

6.2.2. Co"#+r)cci" ,e l' Elip#e

Eisten $uchas construcciones &eo$tricas de la eli'se, 'ero en la $ayor9a de ellas se reuiereconocer al&unos ele$entos adicionales (la directri, la ecentricidad, ...etc.) de la eli'se ue no

han sido $encionados hasta ahora. or esta raón, solo se 'resentan dos $todos &eo$tricossencillos 'ara construir la eli'se.

Construcción !

/u'ón&ase ue en el 'lano se tienen dos 'untos fi;os < y <F. /e to$a una cuerda de lon&itud 2a($ayor ue la distancia entre los focos). Con la 'unta de un l*'i se tensiona la cuerda. Al$oer el l*'i $anteniendo en todo $o$ento tensionada la cuerda, el 'unto descri#e la eli'se

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'edida. (fi&. 6.2.6.)

!i$. 6.2.6.

Construcción 2

/u'ón&ase ue nos 'lantean el 'ro#le$a de construir la eli'se de ecuación dada

'or , con a H #.

/e 'rocede entonces co$o si&ue: /e traan los lla$ados c9rculos directores, ue son c9rculos

concntricos , con centro en +, uno de radio y el otro de radio . (0er fi&.6.2.O.)

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!i$. 6.2.7.

/e traa lue&o un rayo cualuiera con ori&en en +, el cual interce'ta a los c9rculos en los 'untos/ y L. or estos 'untos, se traan 'aralelas a los e;es e y res'ectia$ente, las cuales secortan en el 'unto R($, y$).

/e 'uede afir$ar ue el 'unto R est* en la eli'se de ecuación .

En efecto, #asta de$ostrar ue .

ara ello, nótese ue:

/u$ando $ie$#ro a $ie$#ro las %lti$as i&ualdades, se concluye ue

6. SECCIONES CÓNICAS

6.2 LA ELIPSE

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e!i"icio"e#(

i. /ean < y <F dos 'untos de un 'lano (< . /e define la E1>/E de focos < y <F co$o el lu&ar

&eo$trico de los 'untos del 'lano tales ue la su$a de sus distancias a los focos es constantee i&ual a 2a (a H +).

ii. 1as rectas: 1a ue 'asa 'or los focos < y <F y la recta $ediatri del se&$ento sella$an EME/ E />RE@?SA E 1A E1>/E.

iii. El 'unto de intersección B de los dos e;es de si$etr9a, se lla$a CEL@?B E 1A E1>/E. 1os'untos AF, A, y F se lla$an 0E?@>CE/ E 1A E1>/E.

/i el se&$ento es $ayor ue el se&$ento , a$#os se&$entos se lla$anres'ectia$ente EME RATB? y EME RELB? de la eli'se.

!i$. 6.2.1.

O%#er&'cio"e#(

i. e hecho, cualuier 'ar de 'untos del 'lano 'ueden serir co$o focos de una eli'se. orsi$'licidad, solo se considerar*n inicial$ente auellos casos en los cuales los focos est*n en el$is$o e;e (e;e , e;e y) y son si$tricos uno del otro con res'ecto al ori&en (fi&. 6.2.2.).

ii. Lótese ta$#in ue co$o , se si&ue ue(teore$a de it*&oras).

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!i$. 6.2.2.

;<6.2.1. Ec)'cio"e# A"'l*+ic'# ,e l' Elip#e

C'#o 1. Elip#e# co" !oco#. =0>c: ? 0c: ? @ c ?

E;e $ayor: 1on&itud 2a (2a H +) E;e $enor: 1on&itud 2# (2# H +)

EORE/A(

1a ecuación de la eli'se con focos en los 'untos <F(-c, +) y <(c, +), e;e $ayor 2a, y e;e $enor2#, (fi&. 6.2.3.) iene dada 'or:

(!)

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!i$. 6.2.3. !i$. 6.2.4.

emo#+r'ci"

/i '(, y) es un 'unto ue 'ertenece a la eli'se considerada, se tiene de acuerdo a la definición

i ue , o euialente$ente,(fór$ula de distancia entre dos 'untos)

@rans'oniendo el 'ri$er radical al se&undo lado y eleando a$#os $ie$#ros al cuadrado, se

o#tiene:

/i$'lificando la %lti$a i&ualdad se lle&a a:

Al elear nuea$ente a$#os $ie$#ros al cuadrado en la %lti$a ecuación, se o#tiene:

1a cual se reduce a:

?ecordando ade$*s ue y al diidir a$#os $ie$#ros de la %lti$a i&ualdad

'or , se o#tiene final$ente : ue corres'onde a la ecuación 'edida.

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C'#o 2. Elip#e# co" !oco# =0?: >c 0?: c @ c ? E;e $ayor: 1on&itud 2a (a H +) E;e $enor: 1on&itud 2# (# H +)

EORE/A(

1a ecuación de la eli'se con focos en los 'untos <F(+, -c) y <(+, c), e;e $ayor 2a, y, e;e $enor2# (fi&. 6.2..), iene dada 'or:

(2)

emo#+r'ci"(

Es si$ilar a la anterior, se de;a 'or lo tanto co$o e;ercicio.

NOA(

Lótese ue si en las ecuaciones (!) y (2) de la eli'se, se hace a = #, las ecuaciones setransfor$an en la ecuación de una circunferencia de centro en el ori&en y radio a.

C'#o 3. 0C'#o e"er'l.

/i en e de considerar el centro de la eli'se en el 'unto (+, +), co$o se hio en los dos casosanteriores, se considera el 'unto C (h, k), la ecuación de la eli'se corres'ondiente, setransfor$a utiliando las ecuaciones de traslación (sección 6.!.2.) en:

(3)

/i a H #, el e;e focal es 'aralelo al e;e . (so#re la recta y = k)

/i # H a, el e;e focal es 'aralelo al e;e y. (so#re la recta = h)

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!i$. 6.2.5.

(a) (x-h)2

(y-k)2€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ (#) (x-h)2 (y-k)2

a2€€€€€€€€€€€#2€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€ b2€€€€€€€€€€€a2

€O%#er&'cio"e#(

i. 1a ecuación (3) se deduce considerando ue los e;es de la eli'se son 'aralelos a los e;escoordenados.

ii. /i a H #, la ecuación (3) corres'onde a una eli'se con centro en C(h, k) y cuyo e;e focal es'aralelo al e;e (fi&. 6.2.". a).

/i # H a, la ecuación (3) corres'onde a una eli'se con centro en C(h, k) y cuyo e;e focal es'aralelo al e;e y (fi&. 6.2.". #).

6.2.2. Co"#+r)cci" ,e l' Elip#e

Eisten $uchas construcciones &eo$tricas de la eli'se, 'ero en la $ayor9a de ellas se reuiereconocer al&unos ele$entos adicionales (la directri, la ecentricidad, ...etc.) de la eli'se ue no

han sido $encionados hasta ahora. or esta raón, solo se 'resentan dos $todos &eo$tricossencillos 'ara construir la eli'se.

Construcción !

/u'ón&ase ue en el 'lano se tienen dos 'untos fi;os < y <F. /e to$a una cuerda de lon&itud 2a($ayor ue la distancia entre los focos). Con la 'unta de un l*'i se tensiona la cuerda. Al$oer el l*'i $anteniendo en todo $o$ento tensionada la cuerda, el 'unto descri#e la eli'se

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'edida. (fi&. 6.2.6.)

!i$. 6.2.6.

Construcción 2

/u'ón&ase ue nos 'lantean el 'ro#le$a de construir la eli'se de ecuación dada

'or , con a H #.

/e 'rocede entonces co$o si&ue: /e traan los lla$ados c9rculos directores, ue son c9rculos

concntricos , con centro en +, uno de radio y el otro de radio . (0er fi&.6.2.O.)

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!i$. 6.2.7.

/e traa lue&o un rayo cualuiera con ori&en en +, el cual interce'ta a los c9rculos en los 'untos/ y L. or estos 'untos, se traan 'aralelas a los e;es e y res'ectia$ente, las cuales secortan en el 'unto R($, y$).

/e 'uede afir$ar ue el 'unto R est* en la eli'se de ecuación .

En efecto, #asta de$ostrar ue .

ara ello, nótese ue:

/u$ando $ie$#ro a $ie$#ro las %lti$as i&ualdades, se concluye ue

6.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse

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1. alle la ecuación de la eli'se ue tiene su centro en (+, +) y cuyos focos son los 'untos<(3, +) y <F(-3, +), ade$*s el interce'to de la &r*fica con el e;e es el 'unto (", +).

Sol)ci"(

Co$o la eli'se corta al e;e en el 'unto (", +) se si&ue ue a = ! y co$o " = 3 (fi&. 6.".7) se

tiene ue, y 'or tanto .

!i$. 6.5..e esta for$a, los rtices de la eli'se son los 'untos # 1(!, 0), # 2(-!, 0), # 3(0, $) y

# $(0, -$). Ade$*s, su ecuación iene dada 'or :

2. @raar la eli'se cuya ecuación iene dada 'or:

2!x 2 % $y 2 = 100

Sol)ci"(

1a ecuación: 2!x 2 % $y 2 = 100, 'uede escri#irse en las for$as euialentes:

2 y 2= ! ('oruU) 4 25

1a %lti$a ecuación corres'onde a una eli'se centrada en el ori&en cuyo e;e $ayor es b = ! y e;e$enor es a = 2. Ade$*s, los focos de la eli'se est*n localiados so#re el e;e y .

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e otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se

encuentran localiados en los 'untos y .

Ade$*s, los rtices de la eli'se son los 'untos: # 1(2, 0), # 2(!, 0), # 3(-2, 0) y # $(-!, 0).

1a fi&ura 6.".4. reco&e toda la infor$ación o#tenida.

!i$. 6.5.8.3. eter$ine el centro, los rtices, los focos y di#u;ar la eli'se ue tiene 'or ecuación:

$x 2

% y 2

&1'x % 2y % 13 = 0

Sol)ci"(

1a ecuación dada se 'uede escri#ir en las for$as euialentes:

(co$'letación de cuadrado)

(factoriación y si$'lificación)

7/21/2019 Taller 5


7/21/2019 Taller 5


es isectri del *n&ulo .

Esta 'ro'iedad 'er$ite construir la nor$al y 'or ende latan&ente en un 'unto cualuiera de la eli'se.

Al unir el 'unto 1 de la eli'se con F’ y con F , 'uedede$ostrarse ue la #isectri del *n&ulo F’ 1F es la nor$al nn a la cura 'or 1 (fi&. 6.".!2.).

!i$. 6.5.11.

Esta 'ro'iedad se conoce co$o la 'ro'iedad ó'tica o focal de la eli'se y tiene interesant9si$asa'licaciones:

!i$. 6.5.12.

1 Considrese un rayo de lu ue se enfoca desde un foco hacia un 'unto 1 de la cura. Co$onn es #isectri del *n&ulo F’ 1F , entonces, *n&ulo de incidencia = *n&ulo de refleión y 'or tantoel rayo se refle;ar* 'asando 'or el otro foco. Este hecho es utiliado en la construcción deconchas ac%sticas.

/u'on&a$os ue la eli'se se hace rotar alrededor del e;e x for$ando una su'erficie dereolución e i$a&ine$os un salón cuyos techos y 'aredes son la su'erficie anterior. Cuandouna 'ersona ha#la desde un foco <, 'uede ser escuchada en el otro foco a 'esar de estar$uy le;os del anterior y 'uede no ser audi#le en otros 'untos inter$edios a causa de ue las

ondas de sonido chocan contra las 'aredes y son refle;adas en el se&undo foco y lle&an a l enel $is$o tie$'o ya ue ellas ia;an el $is$o tie$'o.

2 Estudiando una &ran cantidad de datos e'eri$entales, Ve'ler (!"O! 8 !63+) deter$inóe$'irica- $ente los tres si&uientes hechos so#re el $oi$iento de los 'lanetas conocidos co$olas leyes de Ve'ler:

!. 1a ór#ita de cada 'laneta es una eli'se con el sol en uno de los focos.

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2. El radio ector traado desde el sol #arre *reas i&uales en tie$'os i&uales.

3. 1os cuadrados de los 'er9odos de los 'lanetas son 'ro'orcionales a los cu#os de losse$ie;es $ayores de la ór#ita el9'tica.

LeWton (!62 8 !O2O) 'artiendo de estas tres leyes e$'9ricas y utiliando ele$entos del c*lculodiferencial e inte&ral 'udo deducir la ley de &raitación uniersal: Jla fuera ue e;erce el sol so-#re un 'laneta es una fuera de atracción radial e inersa$ente 'ro'orcional al cuadrado de la

distancia entre los dos centros del sol y del 'laneta y iene dada 'or donde *:$asa del 'laneta, + : $asa del sol y constante de &raitación uniersalJ.

<i;adas la directri, el foco F y la ecentricidad , sa#e$os ue si lla$a$os ': distancia foco -

directri, la ecuación de la eli'se es (!) donde y

donde co$o se 'uede de$ostrar f*cil$ente ue a > b.

Ahora, cuando , de;ando fi;os los de$*s ele$entosP directri, foco y p, la eli'se sea'roi$a a una circunferencia y 'or tanto la ór#ita es cada e $as cercana a una circuferenciaEn efecto:

.

/i y y 'or tanto, a y # se acercan al $is$o alor yla ecuación (!) tiende a ser la ecuación de una circunferencia.

Esto 'uede erse ta$#in en el si&uiente cuadro.

' = !

+."

+.

+.2

+.!

+.+!

+.6666

+.O62

+.2+73

+.!+!+

+.+!++

+."OO3"

+.36

+.2+!

+.!++"

+.+!++

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Taller 5

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