Taller 4

Sean  , y  . Hallar

a.A x B

b.B x A 

c. un escalar cualquiera  d.(A x B) x C  e.A x (B x C)  f.A x (B + C)  g.A x B + A x C  Solución.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

EJEMPLO 42:

Demostrar que los puntos  ,  ,  y  son los vértices de un paralelogramo.

a.Hallar el área.

  Veamos que  = y  = y con esto queda demostrado que PQRT es un

paralelogramo y que  = significa que los segmentos  son iguales y paralelos.

Escogemos dos vectores adyacentes que definan el paralelogramo (que tengan el mismo

punto inicial) como y .

EJERCICIOS

1.  Si  y  , encuentre

 a. Un vector ortogonal a A y B.

 b. El área del paralelogramo formado por A y B.    

2.  

3. Verifique que  .

4. Use los problemas 2 y 3 para verificar la identidad de Jacobi:

.  

5. Hallar el área del triángulo de vértices  ,  y  .  

6. Demostrar que los puntos ,  ,  y  son los vértices de un paralelogramo y hallar su área.  

7. Si A, B son vectores de R3, entonces demuestre que

 Identidad de Lagrange    

8.Dados los vectores  y  donde , encontrar p de modo que

a. sea perpendicular a  .

b. sea paralelo a  .    

9.Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos  ,  y  .    

10. Dados los vectores  y  , hallar los componentes vectoriales de  que son paralelos y perpendiculares a  .

11. Si  y  se puede concluir que  ?. ¿Por qué?.  

12. Demostrar que si  ,  y  , entonces:

13. Dados los vectores  y  de R3 probar que  .    

14. Si  , se puede concluir que  ?Por qué?    

15.Demostrar de dos maneras distintas que los vectores  y  son paralelos.  

16. Hallar un vector normal (perpendicular) al plano que pasa por los puntos

,  y 

Ejercicios resueltos del producto escalar

1

Dados los vectores , ha l lar e l vector

combinac ión l inea l

4

Hal lar un vector un i tar io de la misma d i recc ión del vector

.

5

Suponiendo que respecto de la base or tonormal { , } de l p lano

los vectores t ienen como expres iones :

Ca lcu lar e l va lor de k sab iendo que .

6

Dados los vectores =(2 , k ) y = (3 , - 2 ) , ca lcu la k para que los

vectores y sean:

1 Perpendicu lares .

2 Para le los .

3 Formen un ángulo de 60° .

8

Suponiendo que respecto de la base or tonormal { , } de l p lano

los vectores t ienen como expres iones :

Ca lcu lar e l va lor de k para que los dos vectores sean or togonales .

9

Calcu lar los ángulos de l t r iángulo de vért ices : A(6 ,0) , B(3 ,5) , C( -1 , -

1) .

10

Calcu la la proyecc ión de l vector sobre e l vector

.

11

Calcu la la proyecc ión del vector sobre e l , s iendo A(6,0) ,

B(3 ,5 ) , C( -1 , -1) .

12

Comprobar que e l segmento de une los puntos med ios de los lados

AB y AC de l t r iángulo : A(3 ,5) , B( -2 ,0 ) , C(0 , -3) , es para le lo a l lado BC e

igua l a su mi tad.

Ejercicios resueltos del producto escalar y vectorial

1

Dados los vectores , y ha l lar :

1. , , ,

2. , , ,

3.

4. , ,

5. ,

2

Dados los vectores y , ha l lar :

1 Los módulos de y ·

2 El producto vector ial de y ·

3 Un vector unitar io ortogonal a y ·

4 El área del paralelogramo que t iene por lados los vectores y

·

3

Hal lar e l ángulo que forman los vectores y

.

4

Hal lar los cosenos directores de l vector .

4.Dados los vectores y , ha l lar e l

producto y comprobar que este vector es or togonal a y a .

Ha l lar e l vector y comparar lo con .

Ejercicios y problemas resueltos del producto vectorial y

mixto

1

Calcu lar e l producto mixto : .

2

Dados los vectores , y ,

ha l lar e l producto mixto . ¿Cuánto va le e l volumen del

paralelepípedo que t iene por ar is tas los vectores dados?

3

Sean A(−3, 4 , 0) , B(3 , 6 , 3) y C(−1, 2 , 1) los t res vér t ices de un

t r iángulo . Se p ide:

1 Calcu lar e l coseno de cada uno de los t res ángulos de l t r iángulo .

2 Calcu lar e l área de l t r iángulo .

4

Cons iderar la s igu iente f igura:

Se p ide :

1 Coordenadas de D para qué ABCD sea un paralelogramo .

Por ser la f igura un para le logramo, los vectores y son

equipolentes .

2 Área de este paralelogramo .

5

Dados los puntos A(1 , 0 , 1) , B(1 , 1 , 1 ) y C(1, 6 , a) , se p ide :

1 Hal lar para qué va lores de l parámetro a es tán a l ineados.

S i A, B y C están a l ineados los vecto res y t ienen la misma

dirección , por lo que son l inealmente dependientes y t ienen sus

componentes proporc ionales .

2 Hal lar s i ex is ten va lores de a para los cua les A, B y C son t res

vér t ices de un para le logramo de área 3 y , en caso af i rmat ivo ,

ca lcu lar los .

E l módulo de l producto vector ial de los vectores y es

igua l a l área del paralelogramo constru ido sobre y .