TALLER 2- SOLUCION DE MODELOS DE PL Andrew Astaiza 1134402-3751 Cristian Andrés Parra 1124688-3751 Fabián Quintero 1124930-3751 1) a) completamos los espacios faltantes en la tabla (en amarillo) con los valores de las variables básicas. Var. Básicas x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 solución x8 0 3 0 -2 -3 -1 5 1 12 x3 0 1 1 3 1 0 3 0 6 x1 1 -1 0 0 6 -4 0 0 0 zj-cj 0 -5 0 4 -1 -10 0 0 620 b) Analizando el cuadro anterior concluimos que: Las variables básicas son X8, X3 y X1, Ya que estas forman la matriz idéntica. Las variables No básicas son X2, X4, X5, X6 y X7. Los valores de las variables son X1=0, X2=0, X3=6, X4=0, X5=0, X6=0, X7=0, X8=12 y de la función objetivo es 620. C) si el problema es de maximización las variables no básicas que tendrán el potencial de mejorar el valor de z son las variables menores que cero o negativas, en el caso de maximización la variable más negativa al entrar en la función objetivo mejorara el valor de z. Las variables no básicas que tiene el potencial de mejor el valor de z son x2, x5 y x6. Ahora analizaremos que variable sale si entra cada una de estas y que valor de la solución tomara la variable entrante.
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TALLER 2- SOLUCION DE MODELOS DE PL
Andrew Astaiza 1134402-3751
Cristian Andrés Parra 1124688-3751
Fabián Quintero 1124930-3751
1)
a) completamos los espacios faltantes en la tabla (en amarillo) con los valores de las variables
básicas.
Var. Básicas x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 solución
x8 0 3 0 -2 -3 -1 5 1 12
x3 0 1 1 3 1 0 3 0 6
x1 1 -1 0 0 6 -4 0 0 0
zj-cj 0 -5 0 4 -1 -10 0 0 620
b) Analizando el cuadro anterior concluimos que: Las variables básicas son X8, X3 y X1, Ya que
estas forman la matriz idéntica. Las variables No básicas son X2, X4, X5, X6 y X7. Los valores de las
variables son X1=0, X2=0, X3=6, X4=0, X5=0, X6=0, X7=0, X8=12 y de la función objetivo es 620.
C) si el problema es de maximización las variables no básicas que tendrán el potencial de mejorar
el valor de z son las variables menores que cero o negativas, en el caso de maximización la variable
más negativa al entrar en la función objetivo mejorara el valor de z. Las variables no básicas que
tiene el potencial de mejor el valor de z son x2, x5 y x6.
Ahora analizaremos que variable sale si entra cada una de estas y que valor de la solución tomara
la variable entrante.
Para x2: (entra x2 color amarillo y sale variable razón mínima positiva azul)
Ingresamos la variable no básica s3 que represento un incremento en la función objetivo de 2,6
ósea que nuestro z paso de ser 9 a 11,6 como observamos todas las variables no básicas son
negativas, lo cual implica que todas tienen el potencial de mejorar la función objetivo optima en a.
4)
En el 4to tenemos el problema primal dado por:
Minimizar z = 5x1+6x2+3x3
S.a
5x1+5x2+3x3 >=50
X1+x2-x3>=20
7x1+6x2-9x3>=30
5x1+5x2+5x3>=35
2x1+4x2-15x3>=10
12x1+10x2>=90
X2-10x3>=20
Y el punto nos pide resolver el problema en WinQsb por el método dual, entonces ya que tenemos
el dual, sacamos su problema dual asociado que será:
Maximizar z = 50w1+20w2+30w3+35w4+10w5+90w6+20w7
s.a
5w1+w2+7w3+5w4+2w5+12w6<=5
5w1+w2+6w3+5w4+4w5+10w6+w7<=6
3w1-w2-9w3+5w4-15w5-10w7<=3
Primero resolvemos el problema en su forma primal en WinQsb aquí está la tabla inicial.
Y aquí está la solución del problema (no pondré los pantallazos de las iteraciones ya que no lo pide
el punto).
Como vemos la solución óptima es esta y el valor de la función objetivo es 120.000
Ahora resolvemos el problema por su método dual y comparamos.
Esta es la tabla óptima del problema dual.
Y esta es la tabla final del problema dual como vemos el valor optimo de la función es el mismo
(z= 120.000) ya que el dual debe tener su solución optima igual al primal.
El tiempo computacional que el programa empleo en resolver el modelo primal y el dual fue el
mismo.
5)
a) Estado de cada recurso.
La tabla simplex optima asociada nos muestra que:
x1 = 450, x2 = 100, s3 = 400, s2 = 0, s1 = 0.
Entonces, el estado de cada recurso es:
Resistores
Como la variable de holgura s1 = 0, Correspondiente al recurso resistores, Se puede
concluir que se han gastado todos los resistores en existencia, por lo cual este es un
recurso escaso.
Capacitores
Como la variable de holgura s2 = 0, Correspondiente al recurso capacitores, Se puede
concluir que se han gastado todos los capacitores en existencia, por lo cual este es un
recurso escaso.
Chips
Como la variable de holgura s3=400, Correspondiente al recurso de chips. Se puede
concluir que no se gastaron todos los chips en existencia, ya que solo se usan 400 de los
800 iniciales, Lo que significa que este es un recurso sobrante.
b) Valor de cada recurso, en función de la utilidad óptima.
Resistores
Como el precio sombra de s1 es 1.25, y esta corresponde al recurso resistores. Significa
que si aumentamos una unidad en el recurso de resistores disponibles (al lado derecho de
la restricción), la función objetivo mejorara en $1.25. Por lo tanto el máximo que se
pagaría por cada unidad de resistores seria $1.25, ya que en este valor aumentara la
utilidad. Por lo tanto se puede decir que el valor de un resistor en función de la utilidad
óptima seria $1.25 ((Aunque en verdad se compraría cualquier resistor con valor entre 0$
y $1.25)).
Capacitores
Como el precio sombra de s2 es 0.25, y esta corresponde al recurso capacitores. Significa
que si aumentamos una unidad en el recurso de capacitores disponibles (al lado derecho
de la restricción 2), la función objetivo mejorara en $0.25. Por lo tanto el máximo que se
pagaría por cada unidad de capacitores seria $0.25, ya que en este valor aumentara la
utilidad. Por lo tanto se puede decir que el valor de un capacitor en función de la utilidad
óptima seria $0.25 ((Aunque en verdad se compraría cualquier capacitor con valor entre
0$ y $0.25)).
Chips
Como el precio sombra de s3 es 0, y esta corresponde al recurso chips. Significa que si
aumentamos una unidad en el recurso de chips disponibles (al lado derecho de la
restricción 3), la función objetivo mejorara en $0. Ya que no se necesitan más chips
porque este es un recurso sobrante. Por lo tanto se puede decir que el valor de cada chip
en función de la utilidad óptima es $0.
c) Si la cantidad de resistores aumentara a 1300 unidades, la nueva solución óptima es:
(Esto es en base a lo explicado por el monitor) Si nos encontramos con que ya no son 1200 resistores en inventario si no 1300 nuestra primera restricción aumentaría en 100 unidades al lado derecho por lo cual será esta:
2 x1+3 x2 <=1300 deberemos encontrar el rango de nuestra tabla respecto a la nueva cantidad de resistores para de esa manera saber si este tipo de producción dado por la tabla seguirá siendo el más Optimo.
Δxb=B-1Δb
B-1=
Δb=
ΔXB =
* =
X’B= XB+ΔXB
X’B=
+
=
450-1/4k≥0 450≥1/4k 1800≥K
400-2k≥0 400≥2K 200≥K
100+1/2k≥0 100≥-1/2k -200≥K
RK{-200,200} Rango(Resistores){1000,1400}
Por ende entonces la solución al tener 100 resistores más será nuestra misma tabla óptima.
(Esto es en base a lo explicado en clase)
Si la cantidad de resistores aumentara a 1300 unidades, la nueva solución óptima es:
Sabemos que la utilidad (Z) máxima de la tabla óptima es de 1750, y que si aumentamos 1 unidad
de la cantidad de resistores esta utilidad aumentara en 1.25, También sabemos que la cantidad de
resistores en existencia es 1200, Entonces:
1300-1200 =100 Cantidad de unidades de más que se agregaran al lado derecho de la restricción
Z= 1750
Z= 1750 + 100(1.25) = 1875
Así vemos que, la nueva solución óptima es 1875
d) Si se reduce la cantidad de chips a 350 unidades no se puede decir nada a partir de la
información dada o determinar la nueva solución de forma directa, ya que la cantidad de unidades
de chips disponibles al comienzo son 800 de estos se usan 400, lo cual hace que recurso se a
sobrante, pero si cambiamos a 350 unidades este sería un recurso escaso. Dado esto sabemos que
las iteraciones simplex cambian, y por tanto su solución óptima.
E)Al Contratista ofrecernos estos nuevos resistores parecería tentador el comprarlos a 40 centavos
pero el problema es que los vende con la condición de que la compra sea mayor o igual 500 lo cual
haría un total como mínimo de 1700 resistores pero debido al rango permitido anteriormente
demostrado en el punto C vemos que nuestra que tenemos como será la óptima solo en el
intervalo de que hubieran de 1000 a 1400 resistores pero debido a que esta compra mínima se
excede del rango de nuestra solución , lo cual recurriría a otra tabla diferente entonces HiDec no