TALLER ELECTRODIN ´ AMICA Multipolos, Diel´ ectricos Jhorman Gustavo Maldonado Villamizar Profesor: Luis Alberto Gualdron Sanchez Departamento De F´ ısica y Geolog´ ıa, Universidad De Pamplona Expansi´ on multipolar en arm´ onicos esf´ ericos Anteriormente se demostr´ o que el potencial el´ ectrico est´ a dado por φ(~ r)= Z G(~ r,~ r 0 )ρ(~ r 0 )dv 0 + 1 4π I G(~ r,~ r 0 ) ∂φ(~ r 0 ) ∂n 0 - φ(~ r 0 ) ∂G(~ r,~ r 0 ) ∂n 0 ds 0 (1) si se cumple la condici´ on de Dirichlet G(~ r,~ r 0 )| s = 0 la ecuaci´ on (1) se convierte en φ(~ r)= Z G(~ r,~ r 0 )ρ(~ r 0 )dv 0 - 1 4π I φ(~ r 0 ) ∂G(~ r,~ r 0 ) ∂n 0 ds 0 (2) para una distribuci´ on localizada de cargas y realizando la integraci´ on sobre todo el espacio, con G(~ r,~ r 0 )= 1 |~ r-~ r 0 | , la integral de superficie desaparece, entonces: φ(~ r)= Z G(~ r,~ r 0 )ρ(~ r 0 )dv 0 = Z ρ(~ r 0 ) G(~ r,~ r 0 ) dv 0 (3) En las funciones de Legendre e imφ forman una base ortogonal respecto al indice m en el intevalo (0, 2π), mientras que los polinomios P m l (x) son ortogonales en el intervalo (-1, 1) respecto al indice l. Es posible definir una nueva base ortogonal en θ y φ respecto a los indices m y l, m´ as exactamente una base biortogonal. Las nuevas funciones ortonormales sobre una superficie esf´ erica y conocida como arm´ onicos esf´ ericos, se definen como Y lm (θ,φ)= s 2l +1 4π (l - m)! (l + m)! P m l (cos θ)e imφ (4) el radial ha sido escogido en forma tal que {Y lm (θ,φ)} sea una base ortonormal, es decir que cumple Z 2π φ=0 Z π θ=0 Y * lm (θ,φ)Y l 0 m 0 (θ, φ) sin θdθdφ = δ ll 0 δ mm 0 (5) utilizando los arm´ onicos esf´ ericos se puede reescribir 1 | ~ r - ~ r 0 | =4π ∞ X l=0 l X m=-l Y lm (θ,φ)Y * l 0 m 0 (θ 0 ,φ 0 ) 2l +1 r l < r l+1 > (6)