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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Pregunta rpida 1.1
Dos varillas aislantes se encuentran cargadas con cargas de
signo contrario en sus dos extremos. Las dos varillas estn apoyados
sobre sus centros, de modo que pueden girar libremente, y colocadas
en la posicin que se muestra en la figura 1.1, vista desde arriba.
El plano de rotacin de las varillas es el plano del papel. Vuelven
las varillas a dicha posicin si se las separa ligeramente y luego
se las libera? Si no es as, a qu posicin se movern? Representa la
posicin final (o posiciones finales, si hay ms de una) un
equilibrio estable?
Figura 1.1 Si se perturba el sistema volver a esta posicin?
Respuesta y explicacin
La configuracin es inherentemente inestable. Las cargas
negativas se repelen. Cualquier ligera rotacin de una de las
varillas podra producir una rotacin adicional que alejara el
sistema de su posicin inicial. En el siguiente diagrama se muestran
tres posibles configuraciones finales. La configuracin (a) es
estable: si se acercan los extremos superiores cargados
positivamente, se repelern y devolvern el sistema a su posicin
inicial. La configuracin (b) representa un equilibrio inestable: si
se acercan los extremos superiores, la atraccin entre ellos ser
mayor que la de los extremos inferiores, acabndose en la
configuracin (c). La configuracin (c) es estable.
(a) (b)
(c) Figura 1.2 Explicacin de la pregunta rpida 1.1
Situacin problmica 1.1
Una esfera cargada positivamente, pendiente de un hilo, se sita
cerca de un objeto no conductor. La esfera es atrada por el objeto
A partir de este experimento, no es posible determinar si el objeto
est cargado negativamente o es neutro. Por
qu no? Qu experimento adicional sera de ayuda para decidir entre
ambas posibilidades?
Razonamiento La atraccin entre la esfera y el objeto puede ser
una atraccin de cargas de signo contrario o tambin puede ser la
atraccin entre un objeto cargado y uno neutro debido a la
polarizacin de las molculas del objeto neutro. Hay dos posibles
experimentos adicionales que ayudaran a determinar si el objeto
estar cargado negativamente cerca del objeto; si la esfera es
repelida por el objeto, ste estar cargado negativamente. Otra
posibilidad consiste en situarse una esfera carga negativamente
cerca del objeto; si la esfera es repelida por el objeto, ste estar
cargado negativamente. Si la esfera es atrada por l, el objeto
tendr una carga neutra.
Pregunta rpida 1.2 El objeto A tiene una carga de +2 C y el
objeto B tiene una carga de + 6 C. Cul de las siguientes es
correcta? (a) FAB = - 3FBA (b) FAB = - FBA (c) 3FAB = - FBA
Respuesta y explicacin (b) A partir de la tercera ley de Newton,
la fuerza elctrica que B ejerce sobre A es de igual magnitud y
sentido contrario a la que A ejerce sobre B, es decir, FAB = -
FBA
Pregunta rpida 1.3
Una carga de prueba puntual de + 3 C se encuentra situada en un
punto P, donde el campo elctrico debido a una serie de cargas
fuente se dirige hacia la derecha y tiene una magnitud de 4x106
N/C. Si la carga de prueba se sustituye por una carga de 3 C, qu le
sucede al campo elctrico en P?
Respuesta y explicacin
Nada, suponiendo que las cargas fuente que crean el campo no
sean perturbadas por nuestras acciones. Recuerde que el campo
elctrico no es creado por la carga de + 3 C ni por la carga de -3
C, sino por las serie de cargas fuente.
Pregunta rpida 1.4
Una pelota de plstico muy pequea, recubierta de metal y de carga
neutra, est suspendida en el
1
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espacio entre dos placas metlicas verticales, donde existe un
campo elctrico uniforme. Si las dos placas estn cargadas, una
positiva y la otra negativamente, describa el movimiento de la
pelota despus de ponerla en contacto con una de las placas.
Respuesta y explicacin
Las dos placas cargadas crean una regin de campo elctrico
uniforme entre ellas, dirigido desde la positiva hacia la negativa.
Si la pelota se perturba de modo que toque una de las placas, por
ejemplo la negativa, una cierta carga negativa se transferir a la
pelota, que experimentar una fuerza de repulsin que acelerar hacia
la placa positiva. Cuando toque la placa positiva, ceder su carga
negativa y adquirir carga positiva, y se acelerar de nuevo hacia la
placa negativa. La pelota continuar realizando este movimiento de
un lado a otro hasta que haya transferido la carga entre ellas,
dejando ambas placas en estado elctricamente neutro.
Pregunta rpida 1.5
Cuando hace buen tiempo, aparece un campo elctrico sobre la
superficie de la Tierra, que apunta hacia el interior de sta. Cul
es el signo de la carga del suelo en dicho caso?
Respuesta y explicacin
Negativa, puesto que la lneas de campo elctrico apuntan hacia
abajo, el suelo debe tener cargas negativas.
Pregunta rpida 1.6 Ordene los valores de la magnitud del campo
elctrico en los puntos A, B y C de la figura 1.3, de mayor a
menor.
Figura 1.3 Lneas de campo elctrico por dos cargas puntuales
positivasRespuesta y explicacin
A, B y C. El campo elctrico mximo en A, puesto que las lneas se
encuentran ms juntas. El hecho de que no haya lneas en C indica que
el campo all es cero.
Ejemplo conceptual 1.1
Si un objeto suspendido A es atrado hacia el objeto B, que est
cargado, podemos concluir que el objeto A est cargado?
Razonamiento
Figura 1.4: Atraccin electrosttica entre una esfera cargada B y
un conductor neutro A
No. El objeto A podra tener una carga de signo opuesto a la de
B, pero tambin podra ser neutro. En este ltimo caso , el objeto B
hace que A se polarice, con lo cual atrae carga de un signo a la
cara cercana de A, y al mismo tiempo desplaza una cantidad igual de
carga del signo opuesto hacia la cara lejana, como se muestra en la
figura 1.4. As, la fuerza de atraccin ejercida sobre B por cara
inducida en el lado cercano de A es ligeramente mayor que la fuerza
de repulsin ejercida sobre B por la carga inducida en lado lejano
de A. En consecuencia, la fuerza neta sobre A est dirigida hacia
B.
Ejemplo 1.2 Determinacin de la fuerza resultante
Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de
un tringulo, como se muestra en la figura 1.5, donde q1 = q2 = 5.0
C, q3 = - 2.0 C y a = 0.10 m. Encuentre la fuerza resultante sobre
q3.
Solucin
2
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Primero observe la direccin de las fuerzas individuales
ejercidas sobre q3 por q1 y q2. La fuerza ejercida sobre q3 por q2
es atractiva debido a que q3 y q2 tienen signos opuestos. La fuerza
ejercida sobre q3 por q1 es repulsiva debido a que ambas son
positivas.
Figura 1.5 La fuerza ejercida sobre q3 por q1 es F31. La fuerza
ejercida sobre q3 por q2 es F32. La fuerza resultante ejercida por
F3 sobre q3 es el vector suma F31 + F32
Calcule ahora la magnitud de las fuerzas sobre q3. La magnitud
de F32 es:
223
e32 aqq
kF =
( )( )( ) 2
66
2
29
m 10.0C10x0.2C10x0.5
Cm.N10x99.8
=
N0.9=
Advierta que en vista de que q3 y q2 tienen signos opuestos, F32
est dirigido hacia la izquierda, como se muestra 1.5
La magnitud de la fuerza ejercida sobre q3 y q1 es
( ) 213
e31a2
qqkF =
( )( )( ) 2
66
2
29
m 10.02C10x0.5C10x0.5
Cm.N10x99.8
=
N0.11=
La fuerza F31 es repulsiva y forma un ngulo de 45 con el eje x.
En consecuencia, las componentes x y y de F31 son iguales, con
magnitud dada por F31cos45 = 7.9 N. La fuerza F32 est en la
direccin x negativa. Por tanto, las componentes x y y de la fuerza
resultante sobre q3 son
Fx = F31x + F32x = 7.9 N - 9.0 N = -1.1 N
Fy = F31y = 7.9 N La fuerza resultante sobre q3, en forma de
vector unitario como F1 = (-1.1i +7.9j) N.
Ejemplo 1.3 Dnde es igual a cero la fuerza resultante?
Tres cargas se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra
en la figura 1.6. La carga positiva q1 = 15.0 C est en x = 2.00 m y
la carga positiva q2 = - 6.00 C est en el origen. Dnde debe estar
situada la carga q3 sobre el eje x de manera que la fuerza
resultante sobre ella sea cero?
Solucin
Puesto que q3 es negativa y tanto q1 como q2 son positivas las
fuerzas F31 y F32 son atractivas, segn se indica en la figura 1.6.
Si dejamos que x sea la coordenada de q3 entonces las fuerzas F31 y
F32 tienen magnitudes
( ) 213
e31 x00.2qq
kF
= y 2
23e32 x
qqkF =
Figura 1.6 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje
x. La carga q3 es negativa, en tanto que q1 y q2 son positivas: Si
la fuerza neta sobre q3 es cero, entonces la fuerza sobre q3 debida
a q1 deber ser igual y opuesta a la fuerza sobre q3 debida a
q2.
Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero, F32 debe ser
igual y opuesta a F31, o
( ) 213
e223
e x00.2qq
kx
qqk
=
Puesto que ke y q3 son comunes en ambos lados, despejamos x y
encontramos que
( ) 1222 qxqx00.2 =
3
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( )( ) ( )C100.15xC1000.6xx00.400.4 6262 =+Al resolver est
ecuacin cuadrtica para x, encontramos que x = 0.775 m
Ejemplo 1.4 El tomo de hidrgeno
El electrn y el protn de un tomo de hidrgeno estn separados por
una distancia en promedio de 5.3x10-11 m. Encuentre la magnitud de
la fuerza elctrica y la fuerza gravitacional entre las dos
partculas.
Solucin
De acuerdo con ley de Coulomb, encontramos que la fuerza
elctrica atractiva tiene la magnitud
2
2
ee re
kF =
( )( ) 211
219
2
29
em10x3.5C10x60.1
Cm.N10x99.8F
=
N10x2.8F 8e
=
Utilizando la ley de gravedad de Newton para las masas de
partculas determinamos que la fuerza gravitacional tiene la
magnitud
2pe
g rmm
GF =
( )( )( ) 211
2731
2
211
gm10x3.5
kg10x67.1kg10x11.9kg
m.N10x7.6F
=
N10x6.3F 47g
=
La razn 39
g
e 10x2FF
. As pues, la fuerza
gravitacional entre partculas atmicas cargadas es despreciable
comparada con la fuerza elctrica.
Ejemplo 1.5 Determinacin de la carga en esferas
Dos pequeas esferas idnticas cargadas, cada una con 3.0x10-2 kg
de masa, cuelgan en equilibrio como se indica en la figura 1.7. Si
la longitud de cada cuerda es 0.15 m y el ngulo = 5.0, encuentre la
magnitud de la carga sobre cada esfera.
Figura 1.7 Dos esferas idnticas, cada una con la misma carga q,
suspendida en equilibrio por medio de cuerdas.
De acuerdo con el tringulo rectngulo de la figura 1.7, vemos que
L
asen = . Por consiguiente ( ) m013.00.5senm15.0Lsena ===La
separacin de las esferas es 2a = 0.026 m
Figura 1.8 El diagrama de cuerpo libre para la esfera cargadas
en el lado izquierdo.
La fuerza que actan sobre una de las esferas se muestran en la
figura 1.8: Debido a que la esfera est en equilibrio, las
resultantes de las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical
deben sumar cero por separado:
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
0FTsenF )1 ex ==0mgcosTF )2 y ==
En la ecuacin (2), venos que
=
cosmgT , por lo
que T puede eliminarse de 1) si hacemos esta sustitucin. Lo
anterior brinda un valor para la fuerza elctrica, eF
tan )3 mgFe =( )( ) 0.5tans/m80.9kg10x0.3F 22e =N10x6.2F 2e
=
De la ley de Coulomb, la fuerza elctrica entre las cargas tiene
magnitud
2
2
ee rq
kF =
donde r = 2a = 0.026 m y la q es la magnitud de la carga en cada
esfera. (Advierta que el trmino
2q surge aqu debido a que la carga es la misma en ambas
esferas). En esta educacin puede despejarse 2q y obtenerse
229
22
e
e2
C/m.N10x99.8)m026.0)(N10x6.2(
krF
q
==
C10x4.4q 8=
Ejemplo 1.6 Fuerza elctrica sobre un protn Encuentre la fuerza
elctrica sobre un protn ubicado en un campo elctrico de 2.0x104 N/C
dirigido a lo largo del eje x positivo.
Solucin
Puesto que la carga sobre el protn es + e = 1.6x10-19 C, la
fuerza elctrica sobre l es
F = eE = (1.6x10-19 C)(2.0x104i N/C) = 3.2x10-15N
donde i es un vector unitario en la direccin x positiva.
El peso del protn es mg = (1.67x10-27kg)(9.8m/s2) = 1.6x10-26 N.
Por consiguiente, vemos que la magnitud de la fuerza gravitacional
en este caso es despreciable comparada con la fuerza elctrica.
Ejemplo 1.7 Campo elctrico debido a dos cargas
Una carga q1 = 7.0 C se localiza en el origen y una segunda
carga q2 = - 5.0 C se ubica en el eje x a 0.30 m del origen,
(figura 1.9). Encuentre el campo elctrico en el punto P, el cual
tiene coordenadas (0, 0.40) m.
Solucin
Primero encuentre la magnitud del campo elctrico producido por
cada carga. Los campos E1 producidos por la carga de 7.0 C y E2
debido a la carga - 5.0 C se muestran en la figura 1.9. Sus
magnitudes son
( )( ) 2
6
2
29
21
11 40.0
100.7.1099.8m
CxCmNx
rq
KE e
==
CNxE /109.3 51 = ( )
( ) 26
2
29
22
22 50.0
100.5.1099.8m
cxCmNx
rq
KE e
==
CNxE /108.1 52 =
Figura 1.9 El campo elctrico total E en P es igual a la suma
vectorial E1+E2, donde E1 es campo debido a la carga positiva q1 y
E2 es el campo debido a la carga negativa q2
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El vector E1 tiene slo una componente y. El vector E2 tiene una
componente x dada por E1cos = 3/5E1 y, una componente negativa dada
por -E2Sen = -4/5 E2. Por tanto, podemos expresar el vector
como
E1 = 3.9x105j N/C
E2 = (1.1 x105i -1.4 x105 j) N/C
El campo resultante E en P es la superposicin de E1 y E2:
E = E1 + E2 = (1.1X105i + 2.5x105j) N/C
De acuerdo con este resultado, encontramos que E tiene una
magnitud de 2.7x05 N/C y forma un ngulo de 66 con el eje x
positivo.
Ejemplo 1.8 Campo elctrico de un dipolo
Un dipolo elctrico est compuesto por una carga positiva +q y una
carga negativa -q separadas por una distancia 2a, como se muestra
en la figura 1.10. Determine el campo elctrico E debido a estas
cargas a lo largo del eje y en el punto P, el cual est a una
distancia y del origen. Suponga que y >>a.
Solucin
En P, los campos E1 y E2 debido a las dos cargas son iguales en
magnitud, ya que P es equidistante de las dos cargas iguales y
opuestas. El campo total E = E1 + E2, donde
( ) 222221 ayqk
rqkEE ee
+===
Las componentes y de E1 y E2 se cancelan entre s. Las
componentes x son iguales pues ambas estn a lo largo del eje x. En
consecuencia, E es paralela al eje x y tiene una magnitud igual a
2E1cos. En la figura 1.10 vemos que cos = a/r = a/(y2+a2)1/2.
( ) ( ) 2/1222221 2cos2 aya
ayqkkEE e
++==
( ) 2/3222ayqakE e
+=
Utilizando la aproximacin y>>a, podemos ignorar a2 en el
denominador y escribir
3
2yqakE e=
Figura 1.10 El campo elctrico total E en P debido a dos cargas
iguales y opuestas (un dipolo elctrico) es igual a la suma
vectorial E1+E2. El campo E1 se debe a la carga positiva +q y E2 es
el campo debido a la carga negativa q.
De este modo vemos que a lo largo del eje y el campo de un
dipolo en un punto distante vara como 1/r3, en tanto que el campo
de variacin ms lenta de una carga puntual vara como 1/r2 en E para
el dipolo se obtiene tambin para un punto distante a lo largo del
eje x (solucionar este problema) y para un punto distante general.
El dipolo es un buen modelo de muchas molculas como el HCl Ejemplo
1.9 Campo elctrico debido a una barra cargada
Una barra de longitud tiene una carga positiva uniforme por
longitud unitaria y una carga total Q. Calcule el campo elctrico en
un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de un
extremo (Figura 1.11)
Razonamiento y solucin
En este clculo se considera que la barra est sobre el eje x.
Utilicemos x para representar la
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
longitud de un pequeo segmento de la barra y expresamos con q la
carga sobre el segmento. La proporcin entre q y x es igual a la
proporcin entre la carga total y la longitud total de la barra. Es
decir q/ x = Q/ = . Por tanto, la carga q sobre el pequeo segmento
es q = x.
Figura 1.11 El campo elctrico en P debido a una barra est
cargada uniformemente que yace a lo largo del eje x. El campo en P
debido al segmento de carga q es ke q/x2. El campo total en P es la
suma vectorial sobre todos los segmentos de la barra.
El campo E producido por este segmento en el punto P est en la
direccin x negativa y su magnitud es
22 xxk
xqkE ee
=
=
Observe que cada elemento produce un campo en la direccin x
negativa por lo que el problema de sumar sus contribuciones es
particularmente simple en este caso. El campo total en P producido
por todos los segmentos de la barra, que se encuentran a diferencia
distancias desde P, est dado por la siguiente ecuacin
rrdqkE e 2= , que en este caso se convierte en:
+= dd e xdxkE 2donde los lmites en la integral se extienden
desde un extremo se la barra (x =d) hasta el otro (x = + d). Puesto
que ke y son constantes, pueden salir del integrando. De esta forma
encontramos que
d
de
d
de xk
xdxkE
++
==
1
2
( )ddQk
ddkE ee
+=
+=
11
donde hemos usado el hecho que la carga total Q = .
A partir de este resultado vemos que si el punto P est bastante
lejos de la barra (d >> ), entonces puede ignorarse en el
denominador, y E = keQ/d2. Esta es exactamente la forma que usted
esperara para una carga puntual. Por tanto, en el caso de grandes
valores de d/ , la contribucin de la carga aparece como una carga
puntual de magnitud Q. Utilizar la tcnica de lmite (d/ ) es un buen
mtodo para verificar una frmula terica.
Ejemplo 1.10 Campo elctrico de un anillo de carga uniforme
Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por
unidad de longitud, con una carga total Q. Calcule el campo
elctrico d lo largo del eje x del anillo en un punto P que se
encuentra a una distancia x del centro del anillo ( Ver figura
1.12)
Razonamiento y solucin
Figura 1.12 Un anillo cargado uniformemente de radio a (a) El
campo en P sobre el eje x debido a un elemento de carga dq (b) El
campo elctrico total en P est a lo largo del eje x. Advierta que la
componente perpendicular del campo elctrico en P
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
debido al segmento 1 es cancelado por la componente
perpendicular debida al segmento 2, el cual se localiza en el
segmento q opuesto al anillo.
La magnitud del campo elctrico en P debido al segmento de carga
dq es
2rdqkdE e=
Este campo tiene una componente dEx = dEcos a lo largo del eje
del anillo y una componente dE perpendicular al eje. Sin embargo,
como vemos en la figura 1.12, el campo resultante en P debe estar
sobre el eje x debido a que la suma de las componentes
perpendiculares es igual a cero. Es decir, la componente de
cualquier elemento es cancelada por la componente perpendicular de
un elemento en el lado opuesto del anillo. Puesto que r = (x2 +
a2)1/2 y cos = x/r encontramos que
( ) dqaxxk
rx
rdqkdEdE eex 2/3222cos +
=
==
En este caso, todo los segmentos del anillo producen la misma
contribuciones al campo en P puesto todos son equidistantes de este
punto. As, podemos integrar la expresin anterior para obtener el
campo total en P.
( ) ( ) +=+= dqaxxk
dqax
xkE eex 2/3222/322
( ) Qaxxk
E ex 2/322 +=
Este resultado nuestra que el campo es cero en x = 0 Esto le
sorprende?
Ejemplo 1.11 Campo elctrico de un disco cargado
uniformemente
Un disco de radio R tiene una carga uniforme por unidad de rea .
Calcule el campo elctrico en un punto P que se encuentra a lo largo
del eje central del disco y a una distancia x de su centro (ver
figura 1.13).
Razonamiento
La solucin a este problema es directa si consideramos al disco
como un conjunto de anillos concntricos. Podemos usar entonces el
ejemplo 1.10, el cual produce el campo de un
anillo de radio r, y sumar las contribuciones de todos los
anillos que conforman el disco. Por simetra, el campo sobre un
punto axial debe ser paralelo a este eje.
Figura 1.13 Un disco cargado uniformemente de radio R. El campo
elctrico en un punto axial P est dirigido a lo largo de este eje,
perpendicular al plano del disco.
Solucin
El anillo de radio r y ancho dr tiene un rea igual a 2rdr (ver
figura 1.13). La carga dq sobre este anillo es igual al rea del
anillo multiplicada por la carga por unidad de rea, o dq = 2rdr:
Usando este resultado en la ecuacin dada para Ex en el ejemplo 1.10
(con a sustituida por r) se produce para el campo debido al anillo
la expresin
( ) ( )rdraxxk
dE e pi 22/322 +=
Para obtener el campo total en P, integramos esta expresin sobre
los lmites r = 0 hasta r = R, observando que x es una constante.
Esto se transforma en:
( ) +=R
erxrdrxkE
0 2/322
2pi
( ) Re
rxxkE0
2/122
2/1
+=
pi
( )
+= 2/122 Rx
xxxkE epi
El resultado es vlido para todos los valores de x. El campo
cercano al disco sobre un punto axial puede obtener tambin a partir
de 1) suponiendo que R > x.
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
02
pi == xkE e
donde 0 es la permitividad del campo espacio libre o vaco.
Ejemplo 1.12 Una carga positiva acelerada
Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo
en un campo elctrico uniforme E dirigido a lo largo del eje x, como
se muestra en la figura 1.14 Describa su movimiento
Figura 1.14 Una carga puntual positiva q en un campo elctrico
uniforme E experimenta una aceleracin constante en la direccin del
campo.
Razonamiento y solucin
La aceleracin de la carga es constante y est dada por qE/m. El
movimiento es en lnea recta a lo largo del eje x. Por consiguiente,
podemos aplicar las ecuaciones de la cinemtica para movimiento
rectilneo con aceleracin constante.
200 2
1 attvxx += atvv += 0
( )0202 2 xxavv +=Si x0 = 0 y v0 = 0 se obtiene
22
221 t
mqEatx ==
tmqEv =
xmqEv 22 =
La energa cintica de al carga despus de que se ha movido una
distancia x es
qExxmqEmmvK =
==
221
21 2
Este resultado tambin puede obtener del teorema del trabajo y la
energa, gracias a que el trabajo realizado por la fuerza elctrica
es qExxFe = y
KW =
Ejemplo 1.13 Un electrn acelerado
En la figura 1.15 se muestra un electrn que entra a la regin de
un campo elctrico uniforme con v0 = 3.00x106 m/s y E = 200 N/C. El
ancho de las placas es = 0.100 m (a) Encuentre la aceleracin del
electrn mientras est en el campo elctrico.
Figura 1.15 Un electrn se lanza horizontalmente en un campo
elctrico uniforme producido por dos placas cargadas: El electrn se
somete a una aceleracin hacia abajo (opuesta E) y su movimiento es
parablico.
Solucin
Puesto que la carga en el electrn tiene una magnitud de
1.60x10-19C y m = 9.11x10-31 kg, utilizando un anlisis similar al
ejemplo 1.12 se tiene que
( )( ) jkgx
CNCxjmeEa
31
19
1011.9/200106.1
==
smjxa / 1051.3 13
=
b) Encuentre el tiempo que tarda el electrn en viajar a travs de
la regin
9
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Solucin
La distancia horizontal recorrida por el electrn mientras est en
el campo elctrico es = 0.100 m. Empleando la ecuacin x = v0t con x
= , encontramos que el tiempo que transcurre en el campo elctrico
es
sxv
t 860
1033.3m/s 3.00x10
m 100.0
===
c) cul es el desplazamiento vertical y del electrn mientras est
en el campo elctrico?
Solucin
Utilizando la ecuacin 2221
21 t
meEaty == y los
resultados de a) y b), encontramos que
( )( ) 282132 1033.3/1051.321
21 sxsmxaty ==
cmmy 95.10195.0 ==
Si la separacin entre las placas es ms pequea que esto, el
electrn golpear la placa positiva.
Pregunta rpida 1.7
Para una superficie gaussiana a travs de la cual el flujo neto
sea cero, las siguientes cuatros afirmaciones podran ser ciertas.
Cules de ellas deben ser necesariamente ciertas? (a) No hay cargas
en el interior de la superficie. (b) La carga neta en el interior
de la superficie es cero. (c) El campo elctrico es cero en todos
los puntos de la superficie. (d) El nmero de lneas de campo
elctrico que entran en superficie es igual al nmero de lneas de
campo que salen de ella.
Explicacin y respuesta
Figura 1.16 Carga puntual situado en el exterior de una
superficie cerrada. El nmero de lneas que entran en la superficie
es igual al de lneas que salen de la misma.(b) y (d). (a) no es
necesariamente cierta, puesto que podra haber el mismo nmero de
cargas positivas y negativas en el interior de la superficie. (c)
no es necesariamente cierta, como puede en la figura 1.16, donde
existe un campo elctrico no nulo sobre todos los puntos de la
superficie, pero la carga neta cerrada por sta es cero, de modo que
el flujo elctrico neto es cero.
Situacin problmica 1.2
Una superficie gaussiana esfrica encierra una carga puntual q.
Describa qu le ocurre al flujo neto a travs de la superficie si (a)
se triplica la carga, (b) se duplica el volumen de la esfera, (c)
la superficie se convierte en un cubo, y (d) la carga se mueve a
otro punto en el interior de la superficie.
Razonamiento
(a) Si se triplica la carga, el flujo neto a travs de la
superficie tambin se triplica, puesto que el flujo neto es
proporcional a la carga encerrada por la superficie. (b) El flujo
neto permanece constante si el volumen vara puesto que la
superficie sigue encerrando la misma carga, sin importar su
volumen. (c) El flujo neto no vara cuando vara la forma de la
superficie cerrada. (d) El flujo neto a travs de la superficie
cerrada permanece constante si la carga se mueve a otro punto,
mientras este segundo punto se encuentre en el interior de la
superficie.
Situacin problmica 1.3
Considere una carga puntual +Q situada en el espacio vaco. Se
rodea la carga con cascarn
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
esfrico conductor, de modo que la carga se encuentre en el
centro de ste. Qu efecto tiene esto sobre las lneas de campo
creadas por la carga?
Razonamiento
Al rodear la carga con el cascarn esfrico conductor, las cargas
de la superficie conductora se desplazaran para satisfacer las
condiciones de un conductor en equilibrio electrosttico, as como la
ley de Gauss. Aparecer una carga neta Q sobre la superficie
interior del conductor, de modo que el campo elctrico en el
interior del conductor se anula (una superficie esfrica en el
interior de la superficie conductora rodear una carga neta igual
cero). Por tanto, aparecer una carga +Q sobre la superficie
exterior del cascarn. De este modo, una superficie gaussiana
situada en el exterior del cascarn encerrar una carga neta +Q, la
misma que habra si el cascarn no hubiera estado all. Por tanto, el
cambio en las lneas de campo es la ausencia de lneas en el interior
del cascarn conductor.
Ejemplo 1.14 Flujo a travs de un cubo
Considere un campo elctrico uniforme E orientado en la direccin
x. Encuentre el flujo elctrico neto a travs de la superficie de un
cabo de lados orientado como se indica en la figura 1.17
Solucin
El flujo neto puede evaluarse al sumar los flujos a travs de
cada cara del cubo. En primer lugar, observe que el flujo a travs
de cuatro de las caras es cero, puesto que E, es perpendicular a dA
es perpendicular a E en las caras marcadas con y en la figura 1.16.
En consecuencia, = 90, por lo que E.dA = EdAcos90 = 0. Por la misma
razn de los planos paralelos al plano xy tambin es cero.
Figura 1.17 Una superficie hipottica en forma de cubo en un
campo elctrico uniforme paralelo al eje x. El flujo neto a travs de
la superficie es cero
Considere ahora las caras marcadas con y . El flujo neto a travs
de stas es
+=21
AdEAdEe
Para la cara E es constante y apunta hacia adentro, en tanto que
dA apunta hacia fuera ( = 180), de manera que encontramos que el
neto a travs de esta cara es
====1 1
2
1
180cos
EEAdAEEdAAdE
puesto que el rea de cada cara es 2=A .
Del mismo modo en E es constante y apunta hacia afuera y en la
misma direccin que dA ( = 0), por lo que el flujo a travs de esta
cara es
====2 1
2
2
0cos
EEAdAEEdAAdE
Por tanto, el flujo neto sobre todas las caras es cero, ya
que
022 =+= EEe
Ejemplo 1.15 El campo elctrico debido a una carga puntual
A partir de la ley de Gauss, calcule el campo elctrico debido a
una carga puntual aislada q y demuestre que la ley de Coulomb se
deduce de este resultado.
Solucin
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Para esta situacin elegimos una superficie gaussiana esfrica de
radio r y centrada en la carga puntual, como en la figura 1.18. El
campo elctrico de una carga puntual positiva apunta radialmente
hacia fuera por simetra y es, por tanto, normal a la superficie en
todo punto. Es decir, E es paralelo a dA en cada punto, por lo que
E.dA = EdA y aplicando la ley de Gauss se tiene
===0
qEdAAdEe
Figura 1.18 La carga puntual q est en el centro de la superficie
gaussiana esfrica y E es paralela dA en todos los puntos sobre la
superficie
Por simetra, E es constante en todo los puntos sobre la
superficie, por lo que puede sacarse de la integral. Por
consiguiente
( ) ===0
24
piqrEdAEEdA
donde hemos aprovechado el hecho de que el rea de la superficie
de una esfera es 4r2. Por tanto, la magnitud del campo a una
distancia r de q es
2204 r
qkr
qE e==pi
Si una segunda carga puntual q0, se sita en un punto donde el
campo es E, la fuerza elctrica sobre la carga tiene una
magnitud
20
0 rqqkEqF ee ==
Previamente obtuvimos la ley de Gauss a partir de ley de
Coulomb. Aqu mostramos que la ley de Coulomb se desprende de la ley
Gauss. Son equivalentes.
Ejemplo 1.16 Una distribucin de carga simtrica esfricamente
Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga
uniforme y una carga positiva Q (figura 1.19), a) Calcule la
magnitud del campo elctrico en un punto fuera de esfera b)
Encuentre la magnitud del campo elctrico en un punto dentro de la
esfera.
Solucin
Puesto que la distribucin de carga es simtrica esfricamente,
seleccionamos tambin es este caso una superficie gaussiana esfrica
de radio r, concntrica con esfera, como en la figura 1.18a.
Siguiendo la lnea de razonamiento dada en el ejemplo 1.15,
encontramos que
)r (para 2 arQkE e >=
Observe que este resultado es idntico al obtenido para una carga
puntual. Por tanto, concluimos que, para una esfera cargada
uniformemente, el campo en la regin externa a la esfera es
equivalente al de una carga puntual localizada en el centro de la
esfera.
Figura 1.19 una esfera aislante cargada uniformemente de radio a
y una carga total Q. a) El campo en un punto exterior a al esfera
es keQ/r2. b) el campo dentro de la esfera se debe slo a la carga
dentro de la superficie gaussiana y est dado por (keQ/a3)r b)
Encuentre la magnitud del campo elctrico en un punto dentro de la
esfera.
Razonamiento y solucin
En este caso elegimos una superficie gaussiana con radio r <
a, concntrica con la distribucin de carga (ver figura 1.19b).
Expresamos el volumen de esta esfera ms pequea mediante V . Para
aplicar la ley de Gauss en esta situacin es importante observar que
la carga qin dentro de la
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
superficie gaussiana de volumen V es una cantidad menor que la
carga total Q. Para calcular la carga qin, si usa el hecho de que
Vqin = , donde es la carga por unidad de volumen y V es el volumen
encerrado por la superficie
gaussiana, dado por 3 34 rV pi= para una esfera.
Por tanto.
==
3 34 rVqin pi
Como en el ejemplo 1.15, la magnitud del campo elctrico es
constante en cualquier punto de la superficie gaussiana esfrica y
es normal a la superficie en cada punto. Por consiguiente, la ley
de Gauss en la regin r < a se tiene
( ) ===0
24
pi inq
rEdAEEdA
Al despejar E se obtiene
rrr
rq
E in0
20
3
20 34
3/44
pi
pipi
===
Puesto que por definicin 303/4 a
Qpi
= , esto
puede expresarse de la siguiente manera
raQk
ra
QE e 3304
==
pi
Advierta que este resultado para E difiere del obtenido en el
inciso a). ste muestra que E0 mediante r 0, como tal vez usted pudo
haber pronosticado de acuerdo con la simetra esfrica de la
distribucin de carga. En consecuencia, el resultado elimina la
singularidad que existira en r = 0 si E vara como 1/r2 dentro de la
esfera. Es decir, si 2/1 rE , el campo sera infinito en r = 0, lo
cual es, sin duda, una situacin imposible fsicamente. Una grafica
de E contra r se muestra en la figura 1.20
Figura 1.20 Una grfica de E contra r para una esfera aislante
cargada uniformemente: El campo dentro de la esfera (r < a) vara
linealmente con r. El campo fuera de la esfera (r >a) es el
mismo que el de una carga puntual Q localizada en el origen.
Ejemplo 1.17 El campo elctrico debido a un cascarn esfrico
delgado
Un cascarn esfrico delgado de radio a tiene una carga total Q
distribuida uniformemente sobre su superficie (ver figura 1.21).
Encuentre el campo elctrico en puntos dentro y fuera del
cascarn.
Razonamiento y solucin
El clculo del campo fuera del cascarn es idntico al ya realizado
para la esfera slida en el ejemplo 1.16. Si construimos una
superficie gaussiana esfrica de radio r > a, concntrica con el
cascarn, entonces la carga dentro de esta superficie es Q. En
consecuencia, el campo en un punto fuera del cascarn es equivalente
al de una carga puntual Q en el centro.
)r (para 2 arQkE e >=
Figura 1.21 a) El campo elctrico interior de un cascarn esfrico
cargado uniformemente es cero. b) El campo exterior es el mismo que
el de una carga puntual con una carga total Q localizada en el
centro del cascarn. c) Superficie gaussiana para r < a
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
El campo elctrico dentro del cascarn esfrico es cero. Esto se
desprende tambin de la ley de Gauss aplicada a una superficie
esfrica de radio r < a. Puesto que la carga neta dentro de la
superficie es cero y por la simetra esfrica de la distribucin de
carga, la aplicacin de la ley de Gauss muestra que E = 0 en la
regin r < a,
Ejemplo 1.18 Una distribucin de una carga simtrica
cilndricamente
Encuentre el campo elctrico a una distancia r de una lnea de
carga positiva y uniforme de longitud infinita cuya carga por
unidad de longitud es uniforme (ver figura 1.22)
Razonamiento
La simetra de la distribucin de carga muestra que E debe ser
perpendicular a la lnea de carga y apuntar hacia afuera, como en la
figura 1.22a. La vista del extremo de la lnea de carga mostrada en
la figura 1.22b ayuda a visualizar las direcciones de las lneas de
campo elctrico. En este caso elegimos una superficie gaussiana
cilndrica de radio r y longitud que es coaxial con la lnea de
carga. Para la parte curva de esta superficie, E es constante en
magnitud y perpendicular a la superficie en cada punto. Adems, el
flujo a travs de los extremos del cilindro gaussiano es cero debido
a que E es paralelo a estas superficies.
Solucin
La carga total dentro de nuestra superficie gaussiana es . Al
aplicar la ley de Gauss y advertir que E es paralelo a dA en todos
los puntos sobre la superficie curva del cilindro, encontramos
que
00
==== ine qdAEAdEPero el rea de la superficie es r 2pi=A , por
tanto,
( )0
r 2
pi
=E
rk
rE e
pi
22 0
==
Figura 1.22 (a) Una lnea de carga infinita rodeada por una
superficie gaussiana cilndrica concntrica con la lnea de carga. (b)
Una vista de extremo muestra que el campo sobre la superficie
cilndrica es constante en magnitud y perpendicular a la
superficie.Si la lnea de carga tiene una longitud finita, el
resultado para E no es el dado por la ecuacin
rkE e
2= . Para puntos cercanos a la lnea de carga y alejados de los
extremos, la ecuacin anterior proporciona una buena aproximacin del
valor del campo. Esto se traduce en que la ley de Gauss no es til
para calcular E en el caso se una lnea de carga finita. Esto se
debe a que la magnitud del campo elctrico ya no es constante sobre
la superficie del cilindro gaussiano. Adems, E no es perpendicular
a la superficie cilndrica en todos los puntos. Cuando hay poca
simetra la distribucin de carga, como se este caso, es necesario
calcular E utilizando la ley de Coulomb.
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Ejemplo 1.19 Una lmina plana de carga no conductora
Encuentre el campo elctrico debido a un plano infinito no
conductor con carga uniforme por unidad de rea .
Razonamiento
La simetra de la situacin seala que E debe ser perpendicular al
plano y que la direccin de E en un lado del plano debe ser opuesta
a su direccin en el otro lado, como se muestra en la figura 1.23.
Es conveniente elegir para nuestra superficie gaussiana un cilindro
pequeo cuyo eje sea perpendicular al plano y cuyos extremos tengan
cada uno un rea A y sean equidistantes del plano.
Figura 1.23 Una superficie gaussiana cilndrica que penetra una
lmina de carga infinita. El flujo a travs de cada extremo de la
superficie gaussiana es EA. No hay flujo a travs de la superficie
curva del cilindro.
En este caso vemos que E es paralelo a la superficie cilndrica,
no hay flujo a travs de esta superficie. El flujo hacia afuera de
cada extremo del cilindro es EA (puesto que E es perpendicular a
los extremos); por tanto, el flujo total a travs de nuestra
superficie gaussiana es 2EA.
Solucin
Notando que la carga total dentro de la superficie es A,
aplicando la ley de Gauss para obtener
00
2
AqEA ine ===
02
=E
Puesto que la distancia de la superficie a partir del plano no
aparece en la ecuacin anterior, concluimos que 02/ =E a cualquier
distancia desde el plano. Es decir, el campo es uniforme en todos
lados.
Ejemplo conceptual 1.20
Explique por qu la ley de Gauss no puede utilizarse para
calcular el campo elctrico de a) un dipolo elctrico, b) un disco
cargado, y c) tres cargadas puntuales en las esquinas de un
tringulo.
Razonamiento
Los patrones de campo elctrico de cada una de estas tres
configuraciones no tienen suficiente simetra para hacer los clculos
prcticos. (La ley de Gauss en forma integral slo es til para
calcular el campo elctrico de distribuciones de carga altamente
simtricas, como esferas, cilindros y lminas cargadas
uniformemente). Con el fin de aplicar la ley Gauss en forma
integral, usted debe ser capaz de encontrar una superficie cerrada
que rodee la distribucin de carga, la cual puede subdividirse de
manera que la magnitud del campo sobre las regiones independientes
de la superficie sea constante. Una superficie de este tipo no
puede encontrarse en estos casos.
Ejemplo 1.21 Una esfera dentro de un cascarn esfrico.
Una esfera conductora slida de radio a tiene una carga positiva
neta 2Q (figura 1.24). Un cascarn esfrico conductor de radio
interior b y radio exterior c es concntrico con la esfera slida y
tiene una carga neta Q. Mediante el empleo de la ley de Gauss,
determine el campo elctrico en las regiones marcadas con , , y y la
distribucin de carga sobre el cascarn esfrico.
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Figura 1.24 Una esfera conductora slida de radio a y carga 2Q
rodeada por un cascarn esfrico conductor de carga Q.
Razonamiento y solucin
Advierta primero que la distribucin de carga en ambas esferas
tiene simetra esfrica, puesto que stas son concntricas. Para
determinar el campo a diversas distancias r del centro, construimos
superficies gaussianas esfricas de radio r.
Para encontrar E en el interior de la esfera slida de radio a
(regin ), considere una superficie gaussiana de radio r < a.
Puesto que no hay carga dentro de un conductor en equilibrio
electrosttico, vemos que qin = 0, por lo que de la ley de Gauss y
la simetra, E1 = 0 para r < a. De este modo, concluimos que la
carga neta 2Q sobre la esfera slida se distribuye sobre su
superficie exterior.
En la regin sobre las esferas, donde a < r < b,
construimos una superficie gaussiana esfrica de radio r y
advertimos que la carga dentro de esta superficie es + 2Q (la carga
sobre la esfera interior). Debido a al simetra esfrica, las lneas
de campo elctrico deben apuntar radialmente hacia afuera y ser de
magnitud constante sobre la superficie gaussiana. Siguiendo el
ejemplo 1.15 y utilizando la ley de Gauss, encontramos que
( )00
222
2r 4
piQqEAE in ===
b)ra (para 2r4
222
02 = = rQkE e
Por ltimo, considere la regin , donde b < r < c. El campo
elctrico debe ser cero en esta regin debido a que el cascarn
esfrico es tambin un conductor en equilibrio. Si construimos una
superficie gaussiana de este radio, vemos que qin debe ser cero
puesto que E2 = 0. De acuerdo con este argumento, concluimos que la
carga sobre la superficie interior del cascarn esfrico debe ser -2Q
para cancela la carga +2Q sobre la esfera slida. (La carga -2Q es
inducida por la carga +2Q). Adems, puesto que la carga neta sobre
el cascarn debe tener una carga igual +Q.
Pregunta rpida 1.8
Si el camino entre A y B no influye sobre la integral de la
siguiente ecuacin
== BAAB sdEqUUU 0Por qu no utilizamos simplemente la expresin U
= -q0Ed, donde d es la distancia en la lnea recta entre A y B?
Explicacin y respuesta
En general, el campo elctrico vara de un punto a otro, de modo
que la expresin propuesta no produce el resultado correcto.
Situacin problmica 1.4
Supongamos que los cientficos hubieran decido medir pequeas
energas utilizando los protn-voltios en vez de los electrn-voltios.
Qu diferencia habra?
Razonamiento
No habra ninguna diferencia. Un electrn-voltio es la energa
ganada por un electrn que es acelerado a travs de la misma
diferencia de potencial de un voltio. Un protn acelerado a travs de
la misma diferencia de potencial tendr la misma energa cintica,
puesto que su carga es de la misma magnitud que la del electrn. El
protn se mover ms lentamente despus de acelerarse a travs de un
voltio, puesto que su masa es mayor, pero an as habr ganado una
energa cintica de un electrn-voltio o un protn-voltio.
Pregunta rpida 1.9
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Si se libera un electrn desde el reposo en un campo elctrico
uniforme, la energa potencial elctrica del sistema carga-campo
aumenta, disminuye o permanece constante?
Explicacin y respuesta
La energa potencial elctrica disminuye si un electrn (de hecho,
cualquier partcula cargada) se libera en un campo elctrico. La
fuerza elctrica hace que electrn se acelere, y la energa potencial
del sistema carga-campo disminuye a medida que la energa cintica
del electrn aumenta. Es el caso anlogo a la disminucin de energa
potencial y aumento de energa cintica de cuerpo que cae debido a la
gravedad.
Pregunta rpida 1.10
Si el potencial elctrico de un punto es cero, significa que no
hay carga en las proximidades del punto?
Explicacin y respuesta
No. Suponga que hay varias cargas en la vecindad del punto en
cuestin. Si algunas cargas son positivas y otras negativas, las
contribuciones al potencial elctrico en el punto pueden cancelarse.
Por ejemplo, el potencial elctrico en el punto medio entre carga de
igual magnitud y signo contrario es cero.
Pregunta rpida 1.11
Un globo esfrico contiene una partcula cargada positivamente en
su centr0. Si se infla el globo para hacerle ocupar un volumen
mayor, mientras la partcula cargada permanece en el centro, Cules
de las siguientes cantidades varan: (a) el potencial elctrico sobre
la superficie del globo, (b) la magnitud del campo elctrico sobre
la superficie del globo, (c) el flujo elctrico a travs del
globo?
Explicacin y respuesta
(a), (b). El potencial elctrico es inversamente proporcional al
radio (V = keq/r). La magnitud del campo elctrico es inversamente
proporcional al cuadrado del radio (V = keq/r2). Puesto que pasa el
mismo nmero de lneas de campo a travs de la superficie,
independiente del tamao, el flujo elctrico a travs de la superficie
permanece constante.
Pregunta rpida 1.12
Suponga que se conoce el valor del potencial elctrico en un
punto Puede calcularse el valor del campo elctrico en dicho punto
nicamente con es informacin?
Explicacin y respuesta
El valor del potencial elctrico en un punto no es suficiente
para determinar el campo elctrico. El campo elctrico est
relacionado con la variacin del potencial en el espacio de modo que
debe conocerse cmo vara el potencial alrededor del punto.
Pregunta rpida 1.13
Si el potencial elctrico es constante en una regin, qu puede
deducirse acerca del campo elctrico en esa misma regin? Si el campo
elctrico es nulo en una regin, qu puede deducirse acerca del
potencial elctrico en esa misma regin?
Explicacin y respuesta
Si V es constante en determinada regin del espacio el campo
elctrico en dicha regin debe ser nulo, puesto que el campo elctrico
est relacionado con la variacin del potencial en el espacio. (En
una dimensin, Ex = -dV/dx, de modo que si V es constante E = 0) De
igual modo, si E = 0 en una determinada regin del espacio, V debe
ser constante en dicha regin (por ejemplo, el interior de un
conductor cargado en equilibrio).
Situacin problmica 1.4
Por qu el extremo de un pararrayos es puntiagudo?
Razonamiento
La funcin de un pararrayo es servir de atraccin a los rayos, de
modo que la carga liberada por el rayo pueda desviarse hasta suelo
de forma segura. Si el pararrayo es puntiagudo, el campo elctrico
es muy intenso cerca del extremo, puesto que el radio de curvatura
del conductor es muy pequeo. Este gran campo elctrico aumenta mucho
la probabilidad que la descarga del rayo se produzca cerca del
extremo del pararrayos, en vez de cualquier otro sitio.
Ejemplo 1.22 El campo elctrico entre dos placas paralelas de
carga opuesta
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Una batera de 12 V se conecta entre dos placas paralelas, como
se ve en la figura 1.25. La separacin entre las placas es igual a
0.30 cm, y el campo elctrico se supone como uniforme. (Esta
suposicin es razonable si la separacin de las placas es pequeas en
la relacin con el tamao de placa y si no consideramos puntos cerca
de los bordes de las placas) Determine la magnitud del campo
elctrico entre placas.
Figura 1.25 Una batera de 12 V conectada a dos placas paralelas.
El campo elctrico entre las placas tiene una magnitud dada por la
diferencia de potencial divida entre la separacin d de las
placas.
Solucin
El campo elctrico est dirigido de la placa positiva hacia la
placa negativa. Vemos que la placa positiva est a un potencial
mayor que la placa negativa. Advierta que la diferencia de
potencial entre las placas debe ser igual a la diferencia de
potencial entre los terminales de la batera. Esto puede entenderse
observando que todos los puntos en un conductor en equilibrio estn
al mismo potencial, por lo que no hay diferencia de potencial entre
una terminal de la batera y cualquier parte de la placa a la cual
est conectada. Por tanto, la magnitud del campo elctrico entre las
placas es
V/m 100.4m 1030.0
V 12 32 xxd
VVE AB ==
=
Esta configuracin, conocida como capacitor de placas
paralelas.
Ejemplo 1.23 Movimiento de un protn en campo elctrico
uniforme
Un protn se suelta desde el reposo en un campo elctrico uniforme
de magnitud igual a 8.0x104 V/m dirigido a lo largo del eje x
positivo
(figura 1.26). El protn se desplaza 0.50 m en la direccin de E.
a) Encuentre el cambio en el potencial elctrico entre los puntos A
y B.
Figura 1.26 Un protn se acelera de A a B en la direccin del
campo elctrico.
Solucin
El cambio de potencial elctrico no depende de la presencia del
protn. De la ecuacin
EddsEVB
A== , tenemos:
)m 50.0(V/m) 100.8( 4xEdV ==
m 100.4 4xV =
Este resultado negativo indica que el potencial disminuye entre
A y B
b) Determine el cambio de energa potencial del protn para este
desplazamiento
Solucin
A partir de la ecuacin == BA sdEqUV
0
sabemos queVeVqU ==
JxVxCxU 15419 104.6)100.4)(106.1( ==
El signo negativo indica que la energa potencial del sistema
disminuye cuando el protn se mueve en la direccin del campo
elctrico. Este hecho concuerda con el principio de conservacin de
la energa en un sistema aislado; cuando el protn acelera en la
direccin del campo, adquiere energa cintica y al mismo tiempo el
sistema pierde energa potencial elctrica. El aumento de energa
cintica de una partcula cargada en un
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
campo elctrico se utiliza en muchos dispositivos, como los
caones de electrones de los tubos de imagen de los televisores y
los aceleradores de partculas utilizados en las investigaciones de
la fsica de partculas.
Ejemplo 1.24 Potencial debido a dos cargas puntuales Una carga
puntual de 2.00 C se localiza en el origen y una segundo carga
puntual de -6.00 C se coloca en la posicin (0, 3.00) m sobre el eje
y, como se muestra en la figura 1.27a. (a) Calcule el potencial en
el punto P, de coordenadas (4.00, 0)
Figura 1.27 (a) El potencial elctrico en el punto P debido a las
dos cargas puntuales q1 y q2 es la suma algebraica de los
potenciales creados por ambas cargas b) Qu trabajo se realiza para
traer una carga puntual de 3.00 C desde el infinito hasta el punto
P.
Solucin
Para dos cargas puntuales, la ecuacin
=i i
ie r
qkV se convierte en
=
2
2
1
1
rq
rqkV e
En este ejemplo q1 = 2.00 C, r1 = 4.00 m, q2 = -6.00 C y r2 =
5.00 m. Por tanto, VP tiene el valor.
( )
+
=
mCx
mCx
xCmNxVP
00.51000.6
00.41000.2
/.1099.866
229
VxVP31029.6=
b) Qu trabajo se realiza para traer una carga puntual de 3.00 C
desde el infinito hasta el punto P (ver figura 1.27b)?
Solucin
El trabajo realizado es igual al cambio de energa potencial dado
por la ecuacin
== BA sdEqUV
0
( )033 === pVqqqUW( )( ) JxVxCxW 336 109.181026.61000.3 ==
El signo negativo se debe al hecho que la carga de 3.00 C atrada
por la combinacin de q1 y q2, que tiene carga neta negativa. La
carga 3.00 C mueve espontneamente hacia las otras cargas cuando es
liberada, de modo que el agente externo no necesita hacer nada para
acercarla a las otras cargas. Sin embargo, para evitar que la carga
se acelere, el agente externo se opone al desplazamiento de la
carga, lo cual implica que el trabajo realizado es negativo. Un
agente externo necesitara realizar un trabajo positivo para alejar
la carga desde P hasta el infinito.
Ejemplo 1.25 Potencial elctrico de un dipolo Un dipolo elctrico
consta de dos cargas de igual valor y signo contrarios, separadas
una distancia 2a, como se muestra en la figura 1.28. El dipolo se
encuentra orientado a lo largo del eje x y centrado
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
en el origen. Calcule (a) El potencial elctrico en cualquier
punto P del eje x y (b) el campo elctrico en un punto muy alejado
del dipolo.
Figura 1.28 Dipolo elctrico situado sobre el eje x
Solucin
(a) Utilizando la ecuacin =i i
ie r
qkV ,
tenemos que
+
== axq
axqk
rqkV e
i i
ie
22
2axqak
V e
=
(b) Si P se encuentra muy alejado del dipolo de modo que x
>>a, entonces podemos ignorar el trmino a2 en x2 a2, de modo
que V se convierte en
)( 2
2 axxqak
V e > >
Utilizando la ecuacin dxdVE x = y este
resultado, podemos calcular el campo elctrico en el punto P.
axxqak
dxdVE ex > >== para
43
Si comparamos este resultado con el que obtuvimos en el ejemplo
1.8, vemos que difieren un factor de 2 para puntos muy alejados del
dipolo. Es el ejemplo citado, calculamos el campo elctrico sobre
una lnea perpendicular a la lnea definida por el dipolo. Como vemos
en la figura
1.10, las componentes verticales del campo se cancelan. Por
tanto, slo las componentes horizontales de ambos campos (que tienen
una magnitud muy pequea) contribuyen al campo total. En este
ejemplo, por el contrario, estudiamos el campo sobre la prolongacin
de la lnea que conecta las dos cargas del dipolo. Para los puntos
situados sobre dicha lnea, los vectores de campo elctrico slo
tienen componente sobre la lnea, de modo que ambos vectores de
campo se combinan para producir el campo elctrico total. Como
resultado, el campo elctrico es mayor que el de la direccin
perpendicular al dipolo en un factor de 2.
Ejemplo 1.26 Potencial debido a un anillo uniformemente
cargado
Calcule el potencial y el campo elctrico en un punto P situado
sobre el eje de un anillo de radio a cargado uniformemente, con
carga total Q. El plano del anillo es perpendicular al eje x
(figura 1.29)
Figura 1.29 Anillo de radio a uniformemente cargado, cuyo plano
es perpendicular al eje x. Cada segmento del anillo de carga dq se
encuentra a la misma distancia de cualquier punto P situado sobre
el eje x
Solucin
Sea x la distancia entre P y el centro del anillo, como se
muestra en la figura 1.29. El elemento de carga dq se encuentra a
una distancia del punto P igual a 22 axr += . Por tanto, podemos
expresar V como
+
==22 ax
dqkrdqkV ee
En este caso, cada elemento de carga dq se encuentra a la misma
distancia de P. Por tanto,
20
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
podemos sacar el trmino 22 ax + de la integral y V se reduce
a
2222 ax
Qkdq
ax
kV ee
+=
+=
La nica variable en dicha expresin de V es x . Aplicando
consideraciones de simetra, vemos que a lo largo del eje x E slo
puede tener componente en x. Por tanto, podemos utilizar la
ecuacin dxdVE x = para calcular la magnitud
del campo elctrico en P:
( )[ ]2/122 +== axdxdQk
dxdVE ex
( )( ) ( )xaxQkE ex 22/32221 +=
( ) 2/322 axQxk
E ex+
=
Este resultado coincide con el que obtuvimos a travs de la
integracin directa (vase ejemplo 1.10)
Ejemplo 1.27 Potencial de un disco cargado uniformemente
Encuentre el potencial elctrico a lo largo del eje x de un disco
cargado uniformemente de radio a y carga por unidad de rea (Figura
1.30)
Razonamiento y solucin
De nuevo elegimos el punto P a una distancia x del centro del
disco y consideramos el plano del disco perpendicular al eje x. El
problema se simplifica dividiendo el disco en una serie de anillos
cargados. El Potencial de cada anillo est
dado por al ecuacin 22 ax
QkV e
+= del
ejemplo 1.26.
Figura 1.30 Un disco cargado uniformemente de radio a, cuyo
plano es perpendicular al eje x. El clculo del potencial en un
punto axial P se simplifica al dividir el disco en anillos de rea
2rdr.
Considere uno de dichos anillos de radio r y ancho dr, como se
indica en la figura 1.30. El rea del anillo es dA = 2rdr (la
longitud de la circunferencia multiplicada por el ancho) y la carga
en el anillo es dq = dA = 2rdr. Por tanto, el potencial en el punto
P debido al anillo es
2222
2
axrdrk
axdqkdV ee
+=
+=
pi
Para encontrar el potencial total en P, sumamos sobre todos los
anillos que integran el disco. Es decir, integramos dV de r =0 a r
= a.
+
=
a
eax
rdrkV0 22
2pi
( ) rdraxkV ae 22/10 22 += pi
Esta integral es de la forma duu n y tiene el
valor de 11
++
nu n , donde 21=n y
22 aru += . De esto resulta
( )[ ]xaxkV e += 2/1222 piComo en ejemplo 1.26, podemos
encontrar el campo elctrico en cualquier punto axial tomando el
negativo de la derecha de V en relacin con x.
21
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
+==
2212
axxk
dxdVE ex pi
Ejemplo 1.28 Potencial de una lnea de carga finita
Una barra de longitud por unidad de longitud y una carga total
Q. Encuentre el potencial elctrico en el punto P a lo largo del eje
y a una distancia d del origen (Figura 1.31)
Figura 1.31 Una lnea de carga uniforme de longitud localizada a
largo del eje x. Para calcular el
potencial en P, la lnea de carga se divide en segmentos, cada
uno de longitud dx, que tiene una carga dq = dx.
Solucin
El elemento de longitud dx tiene una carga dq = dx donde es la
carga por unidad de longitud, Q/ . Puesto que este elemento est a
una distancia 22 dxr += de P. Podemos expresar el potencial en P
debido a este elemento como
22 dx
dxkrdqkdV ee
+==
Para obtener el potencial total en P integramos esta expresin
sobre los lmites x = 0 a x = . Si advertimos que ke, y d son
constantes encontramos que
+
=
+=
0 220 22 dx
dxQkdx
dxkV ee
Esta integral que se encuentra en la mayora de las tablas
integrales, tiene el valor
++
=
+ ddxx
dx
dx 22
22ln
Al evaluar V, encontramos que
++
=
ddQkV e
22
ln
Ejemplo 1.29 Potencial creado por una esfera uniformemente
cargada
Una esfera maciza aislante de radio R tiene una carga total Q,
distribuida uniformemente por todo su volumen (figura 1.32) (a)
Calcule el potencial elctrico en un punto exterior a la esfera, es
decir, r > R. Tome el potencial como uno r .
Figura 1.32 Esfera slida aislante de radio R cargada
uniformemente con carga total Q. El potencial elctrico en los
puntos B y C coincide con el generado por una carga puntual Q
situada en el centro de la esfera.
Solucin
En el ejemplo 1.16 calculamos, a partir de la ley de Gauss, que
la magnitud del campo elctrico en el exterior de una distribucin de
carga con simetra esfrica es
) (para 2 RrrQkE er >=
22
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
donde el campo est dirigido radialmente hacia afuera cuando Q es
positiva. Para obtener el potencial en un punto exterior, como B en
la figura 1.32, sustituimos esta expresin para E en la ecuacin
sdEdV
= como drEsdE r=
en este caso, obtenemos.
==
r
e
r
rB rdrQkdrEV 2
) (para RrrQkV eB >=
Observe que el resultado es idntico al del potencial elctrico
debido a una carga puntual. En vista de que el potencial debe ser
continuo r = R, podemos usar esta expresin para obtener el
potencial en la superficie de la esfera. Esto es, el potencial en
un punto C en la figura 1.32
) (para RrRQkV eC ==
b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera
cargadas, es decir, para r < R.
Solucin
En el ejemplo 1.16 encontramos que el campo elctrico dentro de
una esfera carga uniformemente es
R)r (para 3
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Figura 1.34 Dos conductores esfricos cargados conectados por un
alambre conductor. Las esferas estn al mismo potencial V.
Por tanto, la razn de carga es
2
1
2
1
rr
qq
= (1)
En vista de que las esferas estn muy alejadas, sus superficies
estn cargadas de manera uniforme, y podemos expresar la magnitud de
los campos elctricos en sus superficies como
21
11 r
qkE e= y 2
2
22 r
qkE e=
Tomando la razn de estos dos campos y utilizando 1) encontramos
que
1
2
2
1
rr
EE
= (2)
Por consiguiente, el campo es ms intenso en la vecindad de la
esfera ms pequea.
Ejemplo1.31 Capacitor de placas paralelas
Un capacitor de placas paralelas tiene un rea A = 2.00x10-4 m2 y
una separacin de placa d = 1.00 m. Encontrar su capacitancia.
Solucin
Figura 1.35 Una capacitor de placas paralelas se compone de dos
placas paralelas cada una de rea A, separadas por una distancia d.
Cuando se carga el capacitor, las cargas tienen cargas iguales de
signo opuesto.
De la ecuacin dA
C 0
= , encontramos
=
mxmx
mNCxC 3
24
2
212
1000.11000.2
.1085.8
pFFxC 77.11077.1 12 ==
Ejemplo1.32 Capacitor cilndrico
Un capacitor cilndrico de radio a y carga Q coaxial con un
cascarn cilndrico ms grande de radio b y carga Q (ver figura
1.36a). Encuentre la capacitancia de este capacitor cilndrico si su
longitud es .
Figura 1.36 (a) El capacitor cilndrico se compone de un
conductor cilndrico de radio a y longitud rodeado por un cascarn
cilndrico coaxial de radio b (b) Vista lateral de un capacitor
cilndrico. La lnea de la superficie gaussiana cilndrica de radio r
y longitud .
24
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Razonamiento y solucin
Si suponemos que es grande comparada con a y b, podemos ignorar
los efectos de borde. En este caso, el campo es perpendicular a los
ejes de los cilndricos y est confinado a la regin entre ellos
(figura 1.36b). Debemos calcular primero la diferencia de potencial
entre los dos cilndricos, la cual est en general por
= baab sdEVV donde E es el campo elctrico en la regin
bra
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
ababQkVVV eab
)( ==
Sustituyendo esto en la ecuacin C Q/V, obtenemos
)( abkab
VQC
e =
=
Preguntas de campo elctrico
1) Un globo se carga negativamente por frotamiento y despus se
adhiere a una pared Esto significa que la pared est cargada
positivamente? Por qu despus de cierto tiempo cae el globo?
2) Una gran esfera metlica aislada de tierra se carga con un
generador electrosttico mientras una persona parada sobre un
taburete aislante sostiene la esfera. Por qu es seguro hacer esto?
Por qu no sera seguro para otra persona tocar la esfera despus de
que sta se ha cargado?
3) Dos esferas conductoras cargadas, cada una de radio a, estn
separadas por una distancia r > 2a La fuerza neta sobre cada
esfera est dada por la ley de Coulomb? Explique
4) Es posible que campo elctrico exista en el espacio vaco?
Explique
5) Una carga 4q est a una distancia r de una carga q. Compare el
nmero de lneas de campo elctrico que salen de la carga 4q con el
nmero que entra a la carga q.
Problemas de campo elctrico
1) En la figura P1.1 se localizan tres cargas puntuales ubicadas
en las esquinas de un tringulo equiltero. Calcular la fuerza
elctrica neta sobre la carga de 7.0 C.
Figura P1.1
2) Dos cargas puntuales idnticas +q estn fijas en el espacio y
separadas por una distancia d. Una tercera carga puntual Q puede
moverse libremente y se encuentra inicialmente en reposo en un
bisector perpendicular de la lnea que
26
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
conecta las dos cargas fijas a una distancia x de la lnea
(figura P1.2). (a) Muestre que si x es pequea en relacin a d, el
movimiento de Q es armnico simple a lo largo del bisector, y
determine el periodo de ese movimiento. (b) Qu tan rpido se mueve Q
cuando est en el punto intermedio entre las dos cargas fijas?
Figura P1.2
3) Dos pequeas esfera de plata, cada una con 100g de masa, estn
separadas 10 m. Calcule la fraccin de los electrones de una esfera
que deben transferirse a la otra para producir una fuerza atractiva
de 1.0x104N entre las esferas. (El nmero de electrones por tomo de
es 47, y el nmero de tomos por gramo es el numero de Avogadro
dividido por la masa molar de la plata, 107.87)
4) Un punto con una carga q se localiza en (x0, y0) en el plano
xy. Demuestre que las componentes x y y del campo elctrico en (x,
y) debidas a esta carga son
[ ] 2/320200
)()(
)(
yyxx
xxkE ex
+
=
[ ] 2/320200
)()(
)(
yyxx
yykE ey
+
=
5) Cuatro cargas puntuales estn en las esquinas de un cuadrado
de lado a, como en la figura P1.5 (a) Determine la magnitud y
direccin del campo elctrico en la posicin de la carga q. (b) Cules
es la fuerza resultante sobre q.
Figura P1.5
6) Una carga q1 se localiza en el origen y una q0 se ubica a lo
largo del eje y en y. En que punto a lo largo del eje y el campo
elctrico es cero?
7) Considere un cascarn cilndrico circular recto con una carga
total Q, radio R y altura h. Determine el campo elctrico en un
punto a una distancia d del lado derecho del cilindro, como en la
figura P1.7 (sugerencia. Emplee el resultado ejemplo 1.10 y
considere al cilindro como una coleccin de anillos de carga). (b)
Utilice el resultado del ejemplo 1.11 para revolver el mismo
problema, pero esta vez suponga que el cilindro es slido.
Figura P1.7
8) Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de
largo se dobla en forma de semicircunferencia, como en la figura
P1.8. Si la barra tiene una carga total de -7.5 C, encuentre la
magnitud y direccin del campo elctrico en O, el centro de la
semicircunferencia.
Figura P1.8
27
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
9) La figura P1.9 muestra las lneas de campo elctrico para dos
cargas puntuales separadas por una pequea distancia. (a) Determine
la proporcin q1/q2 (b) Cules son los signos de q1 y q2?
Figura P1.9
10) Un protn se lanza en la direccin x dentro de una regin de un
campo elctrico uniforme E = -6.00x105i N/C. El protn viaja 7.00 cm
antes de detenerse. Determine (a) la aceleracin del protn, (b) su
velocidad inicial, y (c) el tiempo que tarda en detenerse.
11) Cada uno de los electrones en un haz de partculas tiene una
energa cintica K. Cules son la magnitud y direccin del campo
elctrico que detendr estos electrones en una distancia d? 12) Se
lanza protones con una velocidad inicial v 0 = 9.55x103 m/s dentro
de una regin donde se presenta un campo elctrico uniforme E =
(-720j) N/C, como en la figura P1.12. Los protones van a incidir
sobre el blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27
mm del punto donde se lanzaron los protones. Determine (a) los dos
ngulos de lanzamiento que darn como resultado un impacto, y (b) el
tiempo total de vuelo para cada trayectoria.
Figura P1.12
13) Una bola de corcho cargada de masa m est suspendida en una
cuerda ligera en presencia de un campo elctrico uniforme, como en
la figura P1.13. Cuando E = (Exi +Eyj) N/C, bola est en equilibrio
a un ngulo . Encuentre (a) la carga en la bola y (b) la tensin en
la cuerda.
Figura P1.13
14) Tres cargas de igual magnitud q estn fijas en vrtices de un
tringulo equiltero (Figura P1.14). Una cuarta carga Q tiene
libertad de movimiento a lo largo del eje x bajo la influencia de
las fuerzas ejercidas por las tres cargas fijas. Encuentre un valor
para s para el cual q est en equilibrio.
Figura P1.14
15) Ocho cargas puntuales, cada una de magnitud q, se localizan
en las esquinas de un cubo de lado s, como en la figura P1.15 (a)
Determine las componentes x, y, z de la fuerza resultante ejercida
sobre la carga localizada en el punto A por otras cargas. (b) Cules
son la magnitud y direccin de esta fuerza resultante?
28
-
Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Figura P1.15
Preguntas de ley de Gauss
6) Si el campo elctrico en una regin del espacio es cero, puede
usted concluir que no hay cargas elctrico en esa regin?
Explique
7) Con la ley de Gauss explique por qu las lneas de campo
elctrico deben empezar y terminar en cargas elctricas. (Sugerencia:
cambie el tamao de la superficie gaussiana)
8) Explique por qu el exceso de carga en un conductor aislado
debe residir en su superficie, empleando la naturaleza repulsiva de
la fuerza entre cargas similares y la libertad de movimiento de la
carga dentro del conductor.
9) Dos esferas slidas, ambas se radio R, conducen cargas totales
idnticas Q. Una esfera es un buen conductor mientras que la otra es
un aislador. Si la carga sobre la esfera aislante est distribuida
uniformemente por todo su volumen interior, cmo se comparan los
campos elctricos externos de estas esferas? Los campos son idnticos
en el interior de las dos esferas? Problemas de ley de Gauss
16) Un campo elctrico uniforme ai + bj intersecta a una
superficie de rea A Cul es el flujo a travs de esta rea si la
superficie se ubica (a) en el plano yz, (b) en el plano xz, (c) en
el plano xy
17) Considere una caja triangular cerrada que descansa dentro de
un campo elctrico horizontal de magnitud E = 7.8x104 N/C, como en
la figura P1.17. Calcule el flujo elctrico a travs de
(a) la superficie vertical, (b) la superficie inclinada, y (c)
toda la superficie de la caja
Figura P1.17
18) Un cono de radio R en la base y altura h est sobre una mesa
horizontal, y un campo elctrico uniforme horizontal E penetra el
cono, como en la figura P1.18. Determine el flujo elctrico que
entra el cono.
Figura P1.18
19) Cuatro superficies cerradas, S1 a S4 , junto con las cargas
2Q, Q y Q se dibujan en la figura P1.19. Encuentre el flujo
elctrico a travs de cada superficie.
Figura P1.19
20) Una lnea de carga infinitamente larga que tiene una carga
uniforme por unidad de longitud se encuentra a una distancia d de
un ponto O, como en la figura P1.20. Determine el flujo elctrico
total a travs de la superficie de una esfera se radio R centrada en
O. (Sugerencia: Considere tanto R < d como R >d).
29
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Figura P1.20
21) Una carga puntual Q se localiza justo arriba del centro de
la cara plana de un hemisferio de radio R, como en la figura P1.21
Cul es el flujo elctrico (a) a travs de la superficie curva, y (b)
a travs de la cara plana?
Figura P1.21
22) Considere un delgado cascarn esfrico de 14.0 cm de radio con
una carga total de 32.0 C distribuida uniformemente sobre su
superficie. Encuentre el campo elctrico a (a) 10 cm y (b) 20 cm del
centro de la distribucin de carga.
23) Un filamento recto cargado uniformemente de 7.00 m de largo
tiene una carga positiva total de 2.00 C. Un cilindro de cartn
descargado de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm de radio rodea el
filamento en su centro, con el filamento como el eje del cilindro.
Utilizando todas las aproximaciones razonables, encuentre (a) el
campo elctrico en la superficie del cilindro, y (b) el flujo
elctrico total a travs del cilindro.
24) Una larga lmina plana de carga tiene una carga por unidad de
rea de 9.0 C/m2. Determine la intensidad de campo elctrico justo
arriba de la superficie de la lmina, medida desde su punto
medio.
25) Una delgada placa conductora de 50.0 cm de lado se encuentra
en plano xy. Si una carga total
de 4.00x10-8C se pone sobre la placa, encuentre (a) la densidad
de carga sobre la placa, (b) el campo elctrico justo arriba de la
placa y (c) el campo elctrico justo abajo de la placa.
26) Un alambre largo y recto est rodeado por un cilindro metlico
hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre tiene una
carga por unidad de longitud de y el cilindro tiene una carga neta
por unidad de longitud de 2 . De acuerdo con esta informacin,
utilice la ley de Gauss para encontrar (a) la carga por longitud
unitaria en las superficies interior y exterior del cilindro y (b)
el campo elctrico fuera del cilindro, a una distancia r del
eje.
27) Para la configuracin mostrada en la figura P1.27, suponga
que a = 5.0 cm, b = 20 cm, y c = 25 cm. Suponga tambin que mide un
valor del campo elctrico en un punto a 10 cm del centro igual a
3.6x105 N/C, radialmente hacia adentro en tanto que el campo
elctrico en punto a 50 cm del centro es 2.0x102 N/C radialmente
hacia afuera. A partir de esta informacin entre (a) la carga sobre
la esfera aislante, (b) la carga neta sobre la esfera conductora
hueca, y (c) la carga total sobre las superficies interior y
exterior de la esfera conductora hueca.
Figura P1.27
28) Un cilindro de aislante infinitamente largo de radio R tiene
una densidad de carga volumtrica que vara con el radio como
=
bra0
donde 0, a y b son constantes positivas y r es la distancia
desde el eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss determinar la
magnitud del campo elctrico a distancias radiales (a) r < R y
(b) r > R.
30
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
Preguntas de potencial elctrico
10) Establezca la distincin entre potencial elctrico y energa
potencial elctrica
11) Explique por qu las superficies equipotenciales son siempre
perpendiculares a las lneas de campo elctrico.
12) El potencial de una carga puntual se define igual a cero a
una distancia infinita. Por qu no podemos definir el potencial de
una lnea de carga infinita igual a cero a cero en r ?
13) En qu tipo de clima sera ms probable que una batera de
automvil se descargara y por qu?
14) Caminar sobre una alfombra y tocar despus a alguien puede
producir una descarga elctrica. Explique la razn por la que ocurre
lo anterior.
Problemas de potencial elctrico
29) Un positrn tiene la misma masa que un electrn. Cuando se
acelera un positrn desde el reposo entre dos puntos a una
diferencia de potencial fija, adquiere una velocidad que es el 30%
de la velocidad de luz. Qu velocidad alcanza un protn acelerado
desde el reposo entre los mismos dos puntos?
30) Un electrn que se mueve paralelo al eje x tiene una rapidez
inicial de 3.7x106 m/s en el origen. Su rapidez se reduce a 1.4x105
m/s en el punto x = 2.0 cm. Calcule la diferencia de potencial
entre el origen y este punto, Cul punto est a mayor potencial?
31) Un bloque de masa m y carga Q se conecta a un resorte de
constante k. El bloque est sobre una pista horizontal sin friccin y
el sistema est inmerso en un campo elctrico uniforme de magnitud E
y su direccin es como se indica en la figura P1.31. Si el bloque se
suelta desde reposo cuando el resorte est indeformado (en x = 0).
(a) En qu cantidad mxima se alarga el resorte? (b) Cul ser la
posicin de equilibrio del bloque? (c) Muestre que el movimiento del
bloque es armnico simple y determine su periodo. (d) Repita el
inciso (a) si el coeficiente de friccin cintico entre el bloque y
la superficie es
Figura P1.31
32) Una partcula que tiene carga q y masa m est conectada a una
cuerda con longitud L y amarrada al punto P en la figura P1.32. La
partcula, la cuerda y el punto pivote estn sobre una mesa
horizontal. La partcula se suelta desde el reposo cuando la cuerda
forma un ngulo con un campo elctrico uniforme de magnitud E.
Determine la velocidad de la partcula cuando la cuerda es paralela
al campo elctrico (punto a en la figura P1.32)
Figura P1.32
33) El potencial electrosttico debido a un conjunto de cargas
puntuales sobre una malla cartesiana es
( ) ( ) 2222 245
1
36
+
++=
yxyxV
donde V est en voltios. Determinar la posicin y magnitud de
todas las cargas en esta distribucin
34) Calcule la energa requerida para agrupar el arreglo de carga
que se muestra en la figura P1.34, donde a = 0.20 m y b = 0.40 m y
q = 6.0 C.
35) Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca
en el origen de un sistema de coordenadas xyz que est en un campo
elctrico inicialmente uniforme E = E0k, el potencial elctrico
resultante es V(x,y,z) = V0 para puntos dentro de la esfera y
31
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
( ) 2/32223
000),,(
zyx
zaEZEVzyxV
+++=
para puntos fuera de la esfera, donde V0 es el potencial
electrosttico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuacin
para determinar las componentes x, y y z del campo elctrico
resultante.
Figura P1.34
36) Las tres cargas de la figura P1.36 estn en los vrtices de un
triangulo issceles. Calcule el potencial elctrico en el punto medio
de la base, considerando q = -7.0 C.
Figura P1.36
37) Una barra de longitud L (figura P1.37) se encuentra a lo
largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene una
densidad de carga no uniforme = x (donde es una constante
positiva), (a) Cules son las unidades de ? (b) Calcule el potencial
elctrico en A.
Figura P1.37
38) Calcule el potencial elctrico en el punto P sobre el eje del
anillo mostrado en la figura P1.38, el cual tiene una densidad de
carga uniforme .
Figura P1.38
39) Cuntos electrones deben extraerse de un conductor esfrico
inicialmente descargado de 0.300 m de radio para producir un
potencial de 7.50 kV.
40) Dos conductores esfricos cargados se conectan mediante un
largo alambre conductor y una carga de 2.00 C se pone en la
combinacin: (a) Si una esfera tiene una radio de 4.00 cm y el radio
de la otra es de 6.00 cm, cul es el campo elctrico cerca de la
superficie de cada esfera? (b) Cul es el potencial elctrico de cada
esfera?
41) A cierta distancia de una carga puntual la magnitud del
campo elctrico es de 500 V/m y el potencial elctrico es igual a
-3.00kV. (a) Cul es la distancia a la carga? (b) Cul es la magnitud
de la carga?
42) La distribucin de carga que se muestra en la figura P1.42 se
conoce como un cuadrupolo lineal (a) Demuestre que el potencial en
un punto sobre el eje x donde x > d es
32
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Taller 01 de Electromagnetismo del Primer Semestre del 2010
23
22xdxqdk
V e
=
(b) Muestre que la expresin obtenida en (a) cuando x >>d
se reduce a
3
22xqdkV e=
Figura P1.42
43) La barra delgada cargada uniforme que se muestra en la
figura P1.43 tiene una densidad de carga lineal . Encuentre una
expresin para el potencial elctrico en P.
Figura P1.43
44) Un capacitor lleno de aire est compuesto de dos placas
paralelas, cada una con rea de 7.60 cm2, separadas por una
distancia de 1.8 mm. Si se aplica una diferencia de potencial de
20.0 V a estas placas, calcule (a) el campo elctrico entre las
mismas (b) la densidad de carga superficial, (c) la capacitancia, y
(d) la carga sobre cada placa. 45) Un cable coaxial de 50.0 cm de
largo tiene un conductor interior con un dimetro de 2.58 mm que
conduce una carga de 8.10 C. El conductor circundante tiene un
dimetro interior de 7.27 mm y una carga de 8.10 C. (a) Cul es la
capacitancia de este cable? (b) Cul es la
diferencia de potencial entre los conductores? Suponga que la
regin entre los conductores es aire.
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