Tales i Piatgores - 2n d'ESO

U6 i U7: Proporcionalitat geomètrica i semblança

Raó i proporcionalitat de segments

Teorema de Tales

Si dues rectes secants són tallades per rectes paral·leles, els segments d’una recta són proporcionals als segments de l’altra recta

Teorema de Tales

ExercicisCalcula les longituds desconegudes

Divisió d’un segment en parts iguals

Des d'un extrem del segment tracem una línia amb un angle aproximat de 45º i d'una mesura divisible pel nombre de parts que volem fer al segment

Dividim la línia acabada de traçar en tantes parts iguals com vulguem dividir el segment. 

Unim l'últim punt de la línia traçada amb el punt B del segment. A partir d'aquí anem traçant paral·leles des de cada un dels punts marcats a la recta auxiliar. El segment ens quedarà dividit en parts iguals. Vídeo

Divisió d’un segment en parts proporcionals

Criteris de semblança dels triangles

Dos triangles són semblants si passa algun d’aquests criteris:- Cal que els dos triangles tinguin dos angles iguals- Cal que els dos triangles tinguin els seus tres costats proporcionals-Cal que els dos triangles tinguin un angle igual i els costats que el formen

siguin proporcionals

Triangles semblantsEls angles dels dos triangles són iguals:

A=A’ B=B’ C=C’

Els costats dels dos triangles són proporcionals

• Construcció

Triangles amb posició de Tales

Exercicis:Triangles semblants

Quan mesura la cistella de bàsquet?

Exercicis: Triangles semblants

Busca la x i la y per tal que els dos triangles siguin semblants

cmy

y

y

cmx

xx

125

60

4·15·5

15

4

5

315

45

5·9·15

5

9

15

==

=

=

==

=

=

cmx

xx

cmy

y

315

45

5·9·15

9

5

15

125

4·1545

15

==

=

=

==

=

Problemes per practicar1. La Marta té una alçada de 160 cm, mentre que la seva amiga Laura

mesura 10 cm més. En un determinat moment, la Marta projecta una ombra de 1,8 m. Determina quants centímetres més mesurarà l’ombra de la Laura en el mateix instant

2. Els dos triangles rectangles de la figura són semblants. Per quin motiu? Troba’n la raó de semblança, calcula’n les àrees i comprova que la raó entre aquestes és el quadrat de la raó de semblança. Comprova-ho gràficament mesurant el costat x

3. Determina la x i la y

Polígons semblants

Construcció

Dos polígons són semblants si tenen els angles iguals i els seus costats corresponents són proporcionals.

Per la construcció de polígons semblants cal saber la raó de semblança.

Perímetres de polígons semblants

La raó entre els perímetres de dos polígons semblants és igual a la seva raó de semblança.

Exercici. Sabent que els dos polígons són semblants comprova que el seu perímetre té la mateixa raó de semblança que els costats del polígon

Àrees de polígons semblantsLa raó entre les àrees de dos polígons semblants és igual al quadrat de la raó de semblança

Exercici:

Sabent que els dos polígons són semblants comprova que la seva àrea és el quadrat de la raó de semblança dels costats del polígon

Problemes de polígons semblants1 . Calcula les longituds x, y i z sabent que les dues figures són semblants. Calcula l’àrea del segon poliedre sabent que el primer mesura 9,5cm2.

2. Les dues figures són semblants. ¿Quina és la raó entre les seves àrees?

Escales

EscalesEn un plànol d’escala 1:40, quines mides tindrà una taula rectangular si a la realitat fa 0,96 m x 0,72m?

Problema

Exercicis escalesCalcula l’amplada de la façana si en el plànol mesura 3cm i el plànol està fet a una escala de 1:250

mcmcmxx

cm

5,7750250·3

3

250

1

===

=

2000000

1

000.000.2

744000000·372000.000.744

3721

=

==

==

E

x

xxreal

dibuix

La distància entre dues ciutats en línia recta és de 744 km. En mesurar aquesta distància en un mapa el valor és de 372mm. Quina és l’escala del mapa?

Problemes• En un plànol, 2 cm del dibuix corresponen a 5 km

de la realitat. Quina escala té?

• En un mapa, a escala 1:10000, la distància entre dos pobles és 10,6 cm. Quina és la distància real, en Km, que els separa?

Teorema de PitàgoresEn tot triangle rectangle es compleix el teorema de Pitàgores.“El quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets”

Vídeo del teorema de Pitàgores

Exercicis

Exercici:

Exercicis:

En el triangle A busca el valor de la hipotenusa, i en el triangle B busca el valor del catet, aplicant el teorema de Pitàgores

http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/pythagoras_usage/index.htmlhttp://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/pythagoras_eg1/index.htmlhttp://www.wikisaber.es/Contenidos/ContentObject.aspx?level=5&subject=1

ExerciciCaracterístiques d’un hexàgon:

Quant mesura l'apotema d'aquest hexàgon si els seus costats mesuren 7 cm?C2 = a2 + b2

72 = 3,52 + b2

49 = 12,25 + b2

49-12,25 =b2 b=6,06cm