ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FREDERICO GUILHERME SCHMIDT Rua Bento Gonçalves, 1171 – Telefone: 3592.1795 - CEP: 93010-220 – São Leopoldo – RS COMPONENTE: Matemática PROFESSOR: César Lima Turma: 1º ano/2017 1 | 8 Conjuntos Introdução Lembramos que conjunto, elemento e relação de pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não aceitam definição. Intuitivamente, sabemos que conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, pessoas, números, etc. Representação Representamos conjunto por uma letra maiúscula. Seus integrantes, que chamaremos elementos, são colocados entre chaves separados por vírgula. Assim, por exemplo, podemos dizer que a sucessão de números 0, 1, 2, 3, 4, ... formam um conjunto denominado conjunto naturais, que representamos por ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Relação de pertinência • Se um elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que: x pertence ao conjunto A e escrevemos x ∈ A • Se um elemento y não faz parte de um conjunto A, dizemos que: y não pertence ao conjunto A e escrevemos y ∉ A Exemplos: a) 5 ∈ ℕ b) 2 3 ∉ ℕ c) 0 ∈ ℕ d) −2 ∉ ℕ Conjunto universo Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado tema em Matemática, devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo e é representado pela letra U. Exemplos: a) No conjunto A = {x ∈ ℕ | x 2 – 3x +2 = 0}, x só pode assumir valores que pertencem ao conjunto ℕ, conjunto dos números naturais; portanto, U = ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. b) Em B = {x ∈ ℤ | x 2 + 5x + 6 = 0}, x só pode assumir valores que pertencem ao conjunto ℤ, conjunto dos números inteiros; portanto, U = ℤ = {... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Diagrama de Venn O diagrama de Venn representa conjunto da seguinte maneira: a) b) Subconjunto Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Representamos isso assim: A ⊂ B. Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e C = {−1, 0, 1, 2}, notamos que: • todos os elementos de A também são elementos de B, logo A está contido em B e escrevemos A ⊂ B. • nem todos os elementos de C são elementos de B (−1 ∈ C e −1 ∉ B), logo C não está contido em B e escrevemos C ⊄ B. Vejamos a ilustração desse exemplo no diagrama de Venn: A ⊂ B e C ⊄ B Exercício resolvido Sendo A = {x ∈ ℤ | (x–3)(x+4)(x–5)(2x–4) = 0} e B = {x ∈ ℕ | x 2 −5x + 6 = 0}, preencha as lacunas com os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄: a) 2 ..... A b) 4 .... B c) B ..... A d) A ..... ℕ
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COMPONENTE: Matemática PROFESSOR: César Lima Turma: 1º ano/2017
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Símbolo Nome Explicação
{ , } chaves o conjunto de... Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.
{ | } tal que Ex: R+ = {x ∈ R | x³ ≥ 0} significa que R+ é o conjuntos dos números pertencentes aos reais TAL QUE esses números sejam maiores ou iguais a zero.
∅ { } conjunto vazio
Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio. Ex: A={1,2,3} e B={4,5,6} A ∩ B= ∅
∀ para todo
Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Ex: ∀ x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo.
∈ pertence Indica relação de pertinência. Ex: 5 ∈ N. Significa que o 5 pertence aos números naturais.
∉ não pertence
Ex: −1 ∉ N. Significa que o número −1 não pertence aos números naturais.
⊂ está contido Ex: N ⊂ Z, ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
⊄ não está contido
Ex: R ⊄ N, ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.
⊃ contém Ex: Z ⊃ N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
∪ união de conjuntos
Lê-se como "A união B" Ex: A={5,7,10} e B={3,6,7,8} A ∪ B = {3,5,6,7,8,10}
∩ intersecção de conjuntos
Lê-se como "A intersecção B" Ex: A={1,3,5,7,8,10} e B={2,3,6,7,8} A ∩ B={3,7,8}
A−B diferença de conjuntos
Lê-se como "diferença de A com B". É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Ex: A−B = {X | x A e x ∉ B}
< 𝑒 > comparação É menor que, é maior que x < y significa que x é menor que y x > y significa que x é maior que y
≤ 𝒆 ≤ comparação é menor ou igual a, é maior ou igual a x≤y significa: x é menor ou igual a y; x≥y significa: x é maior ou igual a y