Seria cronologic reprezint un set sistematizat de valori ale
unei varibile msurate la momente sau intervale de timp egale i
successive
I. Serii de timp (serii cronologice, serii dinamice) (note de
curs) Zgomotul alb
mersul la ntmplare procese medie mobil (MA(q)) procese
autoregresive (AR(p)) procese mixate (ARMA(p,q)) seria integrat
(ARIMA(p,n,q), ARFIMA(p,d,q)) serii cointegrate, procese ARCH,
GARCH.
Seria cronologic reprezint un set sistematizat de valori ale
unei varibile msurate la momente sau intervale de timp egale i
successive. Seria cronologic este numit i serie dinamic sau serie
de timp. Din punct de vedere matematic, seria de timp este o
realizare a unui proces stocastic unde Z sau unei mulimi din Z, iar
spaiul strilor procesului (adic ) este mulimea R sau o submulime a
sa. Exemple de serii cronologice : 1). Cifra de afaceri anual a
unei firme de-a lungul unui deceniu. 2). Numrul omerilor nregistrai
trimestrial n timpul unei guvernri de patru ani. 3). Numrul
polielor ncheiate de o societate de asigurri n fiecare trimestru
dintr-o perioad de 5 ani. 4). ncasrile zilnice ale unui supermarket
pe o perioad de o lun. 5). Numrul de transporturi efectuate n
fiecare trimestru din ultimii 3 ani de ctre o firm de transporturi
auto internaionale. Analiza seriei de timp, identificarea,
evaluarea i separarea componentelor ofer informaii privind :i)
trendul, adic existena unui sens evolutiv dominant, care se
manifest ndeosebi n condiii de normalitate ale desfurrii
procesului;ii) apariia unor oscilaii periodice sistematice, cu anse
mari de a se repeta i n viitor, att ca sens ct i ca amploare;iii)
aspectul previzibil al evoluiei unor procese, ca rspuns la unele
abateri din trecut;iv) identificarea factorilor neeseniali, permind
eventuala eliminare a lor;v) caracterul inerial al desfurrii unor
procese. O prim clasificare a seriilor de timp este dat de mprirea
lor n serii staionare i serii nestaionare.Partea superioar a
machetei
Seria staionar este seria ale crei valori oscileaz n jurul unui
nivel de referin (de echilibru). Vom nota cu valoarea de la
momentul t i cu variabila aleatoare de la momentul t a crei
realizare este . n limbaj matematic, seria este staionar dac
procesul stocastic este staionar, adic are media i dispersia
constante, iar covariana variabilelor din proces depinde numai de
distana dintre momentele de timp la care sunt nregistrate. Aadar,
avem : i .Analize mai amnunite disting o staionaritate slab i o
staionaritate strict. Procesul stocastic este complet caracterizat
dac pentru orice ntreg i orice mulime de indici distinci este
cunoscut funcia de repartiie
Definiia 1. Procesul stocastic este strict staionar dac i pentru
orice mulime finit de indici
Definiia 2. Procesul stocastic este slab staionar (sau, mai
simplu spus, staionar) dac momentele sale de ordin unu i doi sunt
finite, i pentru orice t,s i h (deci, covariana este funcie numai
de distana dintre variabile). Pentru staionaritatea slab se mai
folosesc i sintagmele : staionar de ordinul doi, staionar n
covarian sau staionar n sens larg.Observaie : Dac este o serie de
timp strict staionar cu (adic momentele de ordin doi sunt finite),
atunci dispersia lui este o constant pentru toi t. De asemenea, un
proces stocastic strict staionar cu primele dou momente finite este
i slab staionar. n economie majoritatea seriilor cronologice
privind preurile, masa monetar, consumul etc. nu sunt staionare,
sunt nestaionare, deoarece prezint tendine de cretere sau de scdere
n timp (media lui depinde de momentul t). n raport cu modalitatea n
care se elimin tendina din seria de date avem :1). Serii
nestaionare TSP (trend stationary processes) sunt serii care prin
ndeprtarea tendinei sunt transformate n serii staionare. Notnd cu
tendina i cu rezult c seria este staionar.2). Serii nestaionare DSP
(difference stationary processes) sunt serii care se transform n
serii staionare prin calculul diferenelor de ordinul nti sau de
ordinul doi Prin aceste diferene se elimin i trendul. Evident, se
pot defini diferene i de alt ordin, inclusiv fracionar. O
modalitate pentru a stabili dac o serie este de tip TSP sau DSP
este dat de testul Dickey-Fuller. Pentru aceasta se pleac de la un
model de forma , unde i b sunt parametri iar este o variabil
aleatoare de medie zero i dispersie , Dac i atunci seria este de
tip DSP. Dac i , atunci seria este de tip TSP. Evident i implic
care este un proces staionr oscilnd aleatoriu n jurul lui
Autocovariane i autocorelaii
Fiind dat o serie de timp staionar, , numrul este numit a k
autocovarian, iar irul vzut ca o funcie definit pe Z, este numit
funcia de autocovarian a lui . Pentru definim numit a k
autocorelaie a lui , se mai noteaz . Evident i irul vzut ca funcie
definit pe Z este numit funcia de autocorelaie a lui . Este mai
convenabil de lucrat cu autocorelaiile deoarece ele sunt invariante
la scal. S considerm un proces stocastic staionar. Pentru funcia
autocorelaie avem urmtoarele proprieti.P.1. Funcia de autocorelaie
este par n raport cu lag-ul, adic avem
Demonstaie. staionar implic , rezult
P.2.
Demonstraie. Avem . Rezult
Lund obinem , i
Lund i obinem , , . Aadar .
Metode de extragere a trendului
1). Metoda mediilor pariale const n urmtorii pai : Pasul1 : Se
separ datele seriei n dou grupe : una inferioar i alta superioar.
Pasul 2 : Se calculeaz media aritmetic a fiecrei grupe. Pasul 3 :
Se determin mediana momentelor de timp ale fiecrei grupe. Aceasta
reprezint momentul de timp corespunztor mediei aritmetice. Pentru
fiecare grup, se reprezint grafic punctul de ordonat media
aritmetic i de abscis momentul de timp corespunztor. Pasul 4 :
Dreapta determinat de cele dou puncte, reprezentate grafic,
constituie trendul cerut.Exemplul 1. Numrul contractelor de
asigurare ncheiate de o societate de asigurri n primele 10 luni ale
anului 200N este dat n tabelul : Ianuarie Februarie Martie Aprilie
Mai
2000 2400 2600 2500 2300
Iunie Iulie August Septembrie Octombrie
2800 3000 3500 3200 3400
Utiliznd metoda mediilor pariale, s se extrag trendul.Soluie.
Primele 5 luni formeaz grupa inferioar avnd media cu momentul de
timp corespunztor luna martie. Celelalte luni formeaz grupa
superioar avnd media cu momentul luna august. 2. Metoda mediilor
mobile const n calcularea mediei aritmetice a fiecrui subset de q
valori consecutive ale seriei date. Mrimea q este denumit perioada
mediilor mobile. Formarea unui nou subset presupune scoaterea
primei valori din subsetul anterior, pstrarea celorlalte q-1 valori
i introducerea n subset a urmtoarei valori din irul valorilor
seriei date. Mediile mobile calculate reprezint chiar componentele
(valorile) trendului seriei cronologice date. La stabilirea
perioadei mediilor mobile trebuie avut n vedere necesitatea ca
aceasta s coincid cu lungimea ciclului natural al seriei. De
exemplu, la determinarea trendului numrului de omeri nregistrai
trimestrial de-a lungul mai multor ani, perioada mediilor mobile va
fi 4; la determinarea trendului ncasrilor zilnice ale unui
supermarket, nregistrate de-a lungul mai multor luni, perioada
mediilor mobile va fi 7. n cazul exemplului de la punctul 1,
mediile mobile de perioad 5 sunt :
2000240026002500230028003000350032003400
Totaluri
mobile118001260013200141001480015900
Medii
mobile236025202640282029603180
n cazul n care mediile mobile sunt folosite pentru reprezentarea
grafic a trendului i se vrea reprezentarea valorilor acestuia n
anumite momente de timp, exist o metod de centrare a mediilor
mobile, metod care necesit calculul mediilor aritmetice pentru
perechile succesive de medii mobile. Modele de serii de timp1.
Modelul aditiv al seriilor de timp
unde : Y este valoarea cunoscut a seriei de timp, T este
componenta trend, S este componenta sezonier, R este componenta
rezidual.
2. Modelul multiplicativ al seriilor de timp
unde : Y, T, S, R au semnificaia de mai sus.
3. Zgomotul alb
O serie de timp format din variabile aleatoare necorelate, cu
media zero i dispersia , se numete zgomot alb. Evident, ea este
staionar, avnd funcia de autocovarian ,i funcia de autocorelaie
Se noteaz (White Noise), deci . Zgomotul alb mai este denumit i
proces pur aleator. Dac elementele lui sunt i.i.d. (independente i
identic repartizate), atunci seria de timp este strict staionar (se
mai scrie ). Cnd -urile au repartiia normal, spunem c zgomotul alb
este gaussian. n cazul unui zgomot alb gaussian cele dou definiii
privind staionaritatea coincid, deci seria este att staionar ct i
strict staionar. Un proces este un zgomot alb cu media m dac . Cu
zgomotul alb se pot construi multe modele de serii de timp.Exemplu
: Seria de timp unde , i este numit medie mobil de ordinul nti
(ordin unu). Se noteaz . Aceast serie de timp este staionar pentru
orice , are media 0, funcia de autocovarian i funcia
autocorelaie
Evident . Procesul MA(1) este cel mai simplu exemplu de filtru
liniar.
4. Mersul aleator (random walk)
Se consider un proces discret pur aleator (adic Z i variabilele
aleatoare sunt independente i identic repartizate) cu media m i
dispersia . Procesul unde se numete mers aleator. n mod obinuit
procesul este pornit de la zero cnd , astfel c i . Avem : i
Observaie : Cum media i dispersia depind de t, mersul aleator este
nestaionar. Totui, este interesant c diferenele de ordinul nti ale
mersului aleator dau un proces pur aleator care este staionar, deci
unde este staionar. Cele mai cunoscute exemple de serii de timp
care se comport foarte mult ca mersul aleator (la ntmplare) sunt
preurile aciunilor (share prices). n acest caz un model care
corespunde datelor este : Preul aciunii n ziua t = preul aciunii n
ziua (t-1) + o eroare aleatoare.
5. Procese medie mobil
Se consider un zgomot alb (sau, mai restrictiv, un proces pur
aleator, pentru c n locul necorelrii se consider independena) cu
media zero i dispersia . Procesul , unde ,
-urile sunt constante, se numete proces medie mobil de ordin q
(abreviat MA(q)).n mod uzual Z-urile sunt scalate, astfel c .
Plasndu-ne n ipoteza mai restrictiv (-urile independente), obinem :
i . Avem :
Cum nu depinde de t i media este constant, rezult c procesul
este slab staionar (altfel zis, staionar de ordinul doi) pentru
toate valorile lui . Mai mult, cnd -urile sunt repartizate normal,
atunci i -urile sunt repartizate normal. Deci, procesul este
complet determinat de medie i funcia autocovarian. Funcia de
autocorelaie a procesului MA(q) este
n particular, procesul MA(1) cu are funcia autocorelaie
S menionm c funcia autocorelaie taie (ntrerupe) la lag-ul q,
ceea ce constituie o trstur a proceselor MA. Privitor la condiiile
ca un MA proces s fie staionar vom face urmtoarele consideraii. Fie
urmtoarele procese MA de ordinul nti :1).
2).
Primul proces are funcia autocorelaie
Al doilea proces are funcia autocorelaie
Aadar, avem . Astfel se vede c un MA proces nu poate fi
identificat dup funcia autocorelaie. Punnd n cele dou modele n
termeni de , prin substituiri succesive obinem : A). B). Dac ,
atunci seria de la A este convergent iar seria de la B este
divergent. Astfel, o procedur de estimare care implic estimarea
reziduurilor, duce n mod natural la modelul A, care se zice c este
invertibil (n acest caz modelul B nu este invertibil). Condiia de
invertibilitate ne asigur unicitatea procesului MA pentru o funcie
autocorelaie dat. Aceast condiie pentru un proces MA de ordin
general este exprimat cel mai bine folosind operatorul de schimbare
(mutare, dare) napoi, notat cu B, care este definit prin . Astfel,
ecuaia (5.1) se va scrie , unde este un polinom de ordin q n B. Un
MA proces de ordin q este invertibil dac toate rdcinile ecuaiei
se afl n afara cercului unitate. De notat c n ecuaia (5.2) B
este vzut ca o variabil complex i nu ca un operator. De asemenea,
se poate aduga n (5.1) o constant arbitrar m n membrul drept, ceea
ce d un proces de medie m. Cum aceasta nu schimb funcia
autocorelaie pentru simplificare va fi omis.Privitor la
formalizarea matematic, se numete proces medie mobil finit procesul
stocastic Z}, unde N, R, i -urile sunt variabile aleatoare
necorelate , adic i (mai restrictiv, sunt considerate
independente). Procesul medie mobil infinit este dat de
reprezentarea , unde nu exist un numr natural M astfel nct Z cu
Procesul definit de unde i se numete proces medie mobil cu o latur
de ordin q (mai precis este un proces medie mobil stnga de ordin q,
pe scurt proces medie mobil de ordin q). Aceasta pentru c punnd i
avem , deci nu se pierde din generalitate dac se consider numai
reprezentarea cu o latur. Un proces medie mobil de ordin infinit cu
media nenul , dat de este numit proces liniar general (aceasta
pentru c procesele de acest tip se obin trecnd un proces pur
aleator printr-un sistem liniar. Cteva cuvinte despre sistemele
liniare. S considerm c sunt date observaii (nregistrri) asupra
intrrilor (inputurilor) i ieirilor (outputurilor) unui sistem,
notate n cazul n care timpul este discret cu i cu n cazul timpului
continuu.Definiie. Fie ieirile corespunztoare intrrilor Sistemul se
numete sistem liniar dac i numai dac orice combinaie liniar de
intrri (s zicem ) produce aceeai combinaie liniar de ieiri, adic ,
fiind constante.Definiie. Dac intrarea produce ieirea , atunci
sistemul se zice c este invariant n timp dac o ntrziere de timp la
intrare produce aceeai ntrziere la ieire, adic produce ieirea ,
altfel zis relaia intrare-ieire nu se schimb cu timpul. a) Sisteme
liniare n timpUn sistem liniar invariant n timp se poate scrie sub
forma pentru cazul timpului discret, sau sub forma pentru cazul
timpului continuu. Funcia de ponderare (pentru timpul continuu) sau
(pentru timpul discret) arat o caracterizare (descriere) a
sistemului n timp i este cunoscut sub numele de FIR (Funcia Impuls
Rspuns). Un exemplu foarte simplu de sistem liniar este dat de
ntrzierea simpl, adic unde ntregul d arat timpul de ntrziere.
Funcia sa FIR este :
Alt exemplu de sistem liniar este ctigul pur, adic unde
constanta c reprezint ctigul. FIR ul acestui sistem este :
b). Sisteme liniare n frecven
O alt cale de descriere a unui sistem liniar este prin
intermediul unei funcii denumit funcia de transfer (FRF Funcia
Rspuns Frecven). Aceasta este transformata Fourier a funciei FIR,
adic este n cazul timpului continuu i este , .ntrun sistem liniar o
intrare exponenial complex d o ieire . Pentru sistemul liniar
ntrzierea simpl, unde este o constant, funcia FIR este unde este
funcia delta Dirac, adic , astfel nct (altfel zis, pentru orice
funcie care este continu n , funcia delta Dirac este funcia care
verific . Funcia de transfer este dat de .
6. Procese autoregresive
Dac este un proces pur aleator cu media 0 i dispersia , atunci
un proces se zice c este proces autoregresiv de ordin p dac
Acest model seamn cu modelul regresiei multiple, dar diferena
const n faptul c nu este regresat peste variabile independente ci
peste valorile din trecut. Se utilizeaz abrevierea AR(p)
proces.Procese de ordinul nti : i
Prin substituii succesive obinem : pentru . Deci poate fi
exprimat ca un proces medie mobil de ordin infinit. Utiliznd
operatorul de mutare napoi (ntoarcere) B, ecuaia (6.2) se scrie ,
astfel c
Rezult : i
Astfel, dispersia este finit dac , caz n care avem : Funcia
autocovarian este :
EMBED Equation.3 pt. Aceasta converge n cazul la
Pentru gsim .Deoarece nu depinde de t, un proces AR(1) este slab
staionar dac . Funcia autocorelaie este :
Pentru toi ntregii k avem
Mai simplu, funcia autocorelaie poate fi gsit presupunnd apriori
c procesul este staionar, n care caz . nmulind ecuaia (6.2) cu i
lund media obinem : pentru presupunnd c Deoarece este o funcie par,
trebuie s avem pentru Cum7. Procese mixate ARMA(p,q) Sunt procese
autoregresive de ordin p cu reziduuri medie mobil de ordin q care
verific relaia , unde -urile sunt reziduuri medie mobil de ordin
q.8. Procese nestaionare autoregresive i de medie mobil
ARIMA(p,n,q) Sunt procese nestaionare care n forma original prezint
tendin i prin diferene de ordin n pot fi aduse la forma staionar, p
fiind ordinul prii autoregresive i q ordinul prii medie mobil a
modelului.Pentru ARIMA(1,1,2) ecuaia este :
9. Modelul ARFIMA (Autoregressive Fractionally Integrated Movie
Average) Este o variant a modelului ARIMA(p,d,q) n care d este
ordinul diferenei i este o fraciune din 1 (0