TẠ DUY PHƯỢNG - ninhgiang.haiduong.edu.vnninhgiang.haiduong.edu.vn/null/file_van_ban/38_ToanCasio_fx-570VN... · Chương 4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

TẠ DUY PHƯỢNG

MỘT SỐ TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA

MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO fx-570VN PLUS

Hà Nội–2013

2

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu........................................................................................... 4-5

Phần 1 Các tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS trong

giải toán số học…........………………...................….............................6

Chương 1 Tìm thương và số dư….....…................................................6

§1 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a có không quá 10

chữ số cho một số tự nhiên b ………………..............….........................6

§2 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên

b khi a vượt quá 10 chữ số ……...………..................……................11

Chương 2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số trên CASIO

fx-570VN PLUS ...................................................................................16

§1 Tìm ước số chung lớn nhất của hai số ..………….........…………....16

§2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số không vượt quá 10 chữ

số trên CASIO fx-570VN PLUS ...…………………................…….…17

Chương 3 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số trên CASIO

fx-570VN PLUS ...................................................................................19

§1 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số…..…..............……....19

§2 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số không vượt quá 10 chữ

số trên CASIO fx-570VN PLUS ………......….........................…….…19

Chương 4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên CASIO fx-

570VN PLUS ........................................................................................22

§1 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố…..….....….........…...............22

§2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên máy tính CASIO fx-570VN

PLUS ...............…...…………......………….......….....................….…23

3

Phần 2 Các tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS trong

giải toán đại số và giải tích…........……...............................................27

Chương 1 Dãy truy hồi.........................................................................27

§1 Các bài toán cơ bản …..…..............................................…...............27

§2 Các bài toán nâng cao ..….....................................…........................38

Chương 2 Tính toán với ma trận.........................................................39

§1 Các khái niệm cơ bản của đại số ma trận…..….....…........................42

§2 Tính toán với ma trận trên CASIO fx-570VN PLUS ............…….…47

Chương 3 Giải phương trình và hệ phương trình…….....................53

§1 Hệ phương trình bậc nhất ……...…..…................….........................53

§2 Giải phương trình và hệ phương trình trên CASIO fx-570VN

PLUS...................................................................................................…55

Chương 3 Tính giới hạn…........................................................…........57

Phần 4 Một số tính năng vượt trội khác của CASIO fx-570VN PLUS

…............................................…..………………...................................62

§1 Toán thống kê…..…...................................…....................................62

§2 Một số vấn đề khác........................................................................…65

Kết luận….....….....................................................................................67

Tài liệu tham khảo…................................................................…........70

4

LỜI NÓI ĐẦU

CASIO fx-570VN PLUS là máy tính điện tử khoa học mới, có những tính

năng giải toán tương đối hoàn hảo, kết hợp được những tính năng vượt

trội của CASIO fx-500MS, CASIO fx-570MS, CASIO fx-500ES, CASIO

fx-570ES, CASIO fx-570ES PLUS và CASIO fx-500 VN PLUS trong

cùng một máy.

CASIO fx-570VN PLUS rất thuận tiện trong giải các bài toán số học:

các bài toán chia có dư, tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ

nhất của hai hay ba số, phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Nếu các máy khác chỉ có phím Ans lưu kết quả của phép toán vừa

tính xong (cũng đã rất thuận lợi trong sử dụng, thí dụ, trong giải gần

đúng phương trình), thì CASIO fx-570VN PLUS còn được cài đặt phím

PreAns (tiền nghiệm-kết quả của phép tính được tính trước và được

khai báo nhờ bấm phím ALPHA Ans ) rất thuận tiện trong tính các

giá trị của dãy truy hồi cấp hai. Khác với một số máy khác, nghiệm phức

của phương trình bậc hai, bậc ba trên CASIO fx-570VN PLUS được viết

dưới dạng số phức a bi thông thường. Sau khi giải phương trình bậc

hai, CASIO fx-570VN PLUS còn tính tọa độ đỉnh của Parabol. Ngoài ra,

CASIO fx-570VN PLUS còn có những tính năng vượt trội khác mà các

máy khác không có: Giải bất phương trình, lập bảng tính giá trị của một

hay hai hàm số,...Vì vậy, CASIO fx-570VN PLUS có thể được sử dụng

rất hiệu quả trong dạy và học trong các trường phổ thông và đại học.

Mục đích của Tài liệu này là giới thiệu các tính năng vượt trội của

CASIO fx-570VN PLUS không chỉ trong thực hành giải toán phổ thông,

mà còn cả trong giải các bài toán nâng cao (thi học sinh giỏi). Vì vậy, hy

vọng nó cũng có ích cho cả các sinh viên đại học và cao đẳng, nhất là

các sinh viên sư phạm Toán.

5

Nhằm giúp bạn đọc chưa bao giờ sử dụng máy tính, khi trình bày các qui

trình bấm phím, chúng tôi hướng dẫn tỉ mỉ thực hành các thao tác.

Theo quan điểm của tác giả, phổ biến một số loại máy với chức năng

tương đương hoặc vượt trội là có lợi cho người sử dụng. Với những ưu

điểm và tính năng khác nhau, các loại máy khác nhau có thể hỗ trợ và

liên kết nhau, giúp người sử dụng song song giải quyết những vấn đề mà

một máy không có khả năng hoặc đòi hỏi thao tác phức tạp. Giới thiệu tỉ

mỉ những ưu điểm và hạn chế của từng loại máy có lẽ cũng phần nào gợi

ý các nhà thiết kế cải tiến các loại máy hiện có để cho ra đời những máy

tính phù hợp hơn với người sử dụng, đặc biệt là với học sinh, sinh viên

và giáo viên phổ thông.

Tác giả cũng quan niệm rằng, việc sử dụng loại máy cụ thể nào trong

giảng dạy không quá quan trọng, vấn đề là các nội dung toán học mà

máy tính chuyển tải như một công cụ dạy học trợ giúp truyền thụ kiến

thức. Vì vậy, phần chính của cuốn sách là hướng dẫn sử dụng hiệu quả

máy tính trong học tập. Các thí dụ và bài tập được lựa chọn nhằm minh

họa khả năng làm giàu các kiến thức toán học nhờ máy tính, chứ không

chỉ dừng lại ở mức độ thực hành tính toán. Hy vọng các bạn đã sử dụng

máy tính VINACAL, SHARP hoặc các loại máy CASIO khác cũng có

thể tìm thấy những điều thú vị trong tài liệu này.

Tài liệu được biên soạn phù hợp với chương trình Toán Trung học cơ sở

và Trung học phổ thông. Hy vọng rằng, Tài liệu có thể được các giáo

viên, học sinh và sinh viên tham khảo, sử dụng trong dạy và học toán.

Do hạn chế về khuôn khổ của Tài liệu, nhiều tính năng của CASIO fx-

570VN PLUS còn chưa được khai thác hết. Hy vọng bạn đọc sẽ khám

phá thêm nhiều điều thú vị khi sử dụng CASIO fx-570VN PLUS.

Rất mong nhận được và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của

bạn đọc. Thư từ trao đổi xin được gửi về địa chỉ sau: PGS TS Tạ Duy

Phượng, Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội. Điện thoại:

0983605756; e-mail: [email protected]

6

Hà Nội, 26 tháng 8 năm 2013

Tác giả

7

PHẦN 1

CÁC TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA CASIO fx-570VN

PLUS TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌC

Một trong những tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS so với

các máy khác là máy đã được cài đặt chương trình để có khả năng giải

một số bài toán số học (tìm thương và số dư, tìm ước số chung lớn nhất

và bội số chung nhỏ nhất, phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên

tố) chỉ bằng một lệnh (một thao tác).

CHƯƠNG 1 TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ

§1 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a có không quá 10

chữ số cho một số tự nhiên b

Trước tiên ta nhớ lại

Định lí Với hai số tự nhiên a và b bất kì (a b ), bao giờ cũng tìm

được duy nhất các số q và r sao cho ,a qb r trong đó 0 .r b

Khi 0r ta nói a chia hết cho b hay b chia hết .a Ta cũng nói a là

bội số của b hay b là ước số của .a

Thuật toán chia

Để chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên b (a b ), ta thực hiện

theo thí dụ sau.

Thí dụ Chia 2572012a cho 209.

Giải Phân tích số 2572012a theo cơ số 10 ta được

2572012 2570000 2000 000 10 2.a

Lấy số 257 (2570000) chia cho 209 được 1, dư 48 (480000). Hạ 2

(2000) được 482. Chia 482 (482000) cho 209 được 2 dư 64 (64000). Hạ

0 (000) được 640. Chia 640 cho 209 được 3 dư 13 (1300). Hạ 1 (10)

8

được 131 không chia được cho 209. Hạ nốt 2 được 1312 chia 209 được 6

dư 58. Vậy 2572012 209 12306 58.a

Thuật toán chia được thực hiện trong Bảng 1 dưới đây. Thuật toán này

đã được lập trình để máy tính tự động thực hiện tính toán.

2 5 7 2 0 1 2 2 0 9

4 8 2 1 2 3 0 6

6 4 0

1 3 1 2

0 5 8

Bảng 1

Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên

b trên CASIO fx-570VN PLUS

Do đã được lập trình sẵn, CASIO fx-570VN PLUS có thể giải bài toán

tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên b

chỉ bằng một lệnh (một thao tác) như sau.

Trước tiên bấm phím ON để mở máy.

Khai báo số bị chia .a

Bấm phím ALPHA R (lệnh tìm thương và số dư).

Khai báo tiếp số chia, bấm phím = để được kết quả trên màn

hình: Q (Số thương Q), R= (Số dư R=).

Thí dụ 1.1 (Đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính cấp khu vực, Bộ

Giáo dục và Đào tạo, lớp 6, 7, 2001)

a) Tìm thương và số số dư khi chia 18901969 cho 2382001;

b) Tìm thương và số dư khi chia 3523127 cho 2047.

Cách giải 1 (trên CASIO fx-570VN PLUS)

a) Bấm phím

9

18901969 ALPHA R 2382001 = (7, R=2227962)

Chú ý Từ nay về sau ta qui ước: Để tránh cồng kềnh, các số được viết

trực tiếp mà không viết trong các ô thể hiện phím bấm. Thí dụ, 2382001

không viết 2 3 8 2 0 0 1 . Đáp số là biểu thức được viết trong

ngoặc sau phím = . Thí dụ: = (7, R=2227962) nghĩa là thương bằng 7

và số dư bằng 2227962.

b) Bấm phím

3523127 ALPHA R 2047 = (1721, R=240)

Vậy 3523127 chia cho 2047 được thương là 1721 và số dư là 240.

Lời bình 1.1 Sau khi khai báo số bị chia, chỉ bằng một thao tác

ALPHA R và sau đó khai báo số chia, ta có ngay kết quả. Với các

máy tính khác (không có chức năng ALPHA R ) để tìm thương và

số dư, ta phải sáng tạo vòng vo (thủ công, không cần thiết) như sau.

Cách giải 2 Lần lượt trừ số bị chia cho số chia cho tới khi được số nhỏ

hơn số chia, chính là số dư (trước khi trừ đưa số chia vào ô A để sử

dụng nhiều lần):

2382001 SHIFT STO A 18901969 ALPHA A (165199

68) ALPHA A (14137967) ALPHA A (11755966

) ALPHA A (9373965) ALPHA A (6991964)

ALPHA A (4609963) ALPHA A (2227962)

Cách giải 3 Chia số bị chia cho số chia để tìm thương, rồi tìm số dư

bằng cách trừ số bị chia cho tích của phần nguyên của thương và số chia

(Phần nguyên của 7.93532101 bằng 7):

2382001 SHIFT STO A 18901969 ALPHA A (7.93532

101) ALPHA A 7 ALPHA A (2227962)

10

Lời bình 1.2 Cách giải 2 sử dụng kĩ thuật trừ liên tiếp: lấy số bị chia liên

tiếp trừ cho số chia, cho tới khi được số nhỏ hơn số chia, đó chính là số

dư. Số lần trừ liên tiếp chính là thương. Cách này chỉ áp dụng được khi

thương tương đối nhỏ (thí dụ, thương là 7 trong câu a) và phải nhớ đã

trừ bao nhiêu lần.

Cách giải 3 sử dụng công thức a b c =b c r , trong đó c là

phần nguyên của .c Trước tiên ta đưa b vào ô nhớ B để sử dụng

nhiều lần, sau đó chia a cho b để được c (và nhìn màn hình để được

phần nguyên c ), rồi nhân lại với b (bằng cách gọi số b từ ô nhớ B

nhờ ALPHA B ) để được lại a , sau đó trừ đi b c (bấm phím

c ALPHA B ) để được số dư .r

b) 2047 SHIFT STO B 3523127 ALPHA B

(1721.117245) ALPHA B 1721 ALPHA B (240.).

Lời bình 1.3 Trong thực tế, không thể áp dụng cách 2 (đã thực hiện tốt

để giải câu a)) vào câu b) vì số lần bấm phím quá lớn (1721 lần bấm dãy

phím ALPHA B ).

Lời bình 1.4 CASIO fx-570VN PLUS thật là đơn giản: Chỉ cần một

thao tác ALPHA R là có thể tìm được thương và phần dư trong

phép chia với các số lớn. Không cần sáng tạo vòng vo!

Lời bình 1.5 CASIO fx-570VN PLUS thật là hữu ích: Có thể sử dụng

CASIO fx-570VN PLUS trợ giúp giải các bài toán chia hết (bài tập khó

của Toán Trung học cơ sở) như ví dụ dưới đây.

Thí dụ 1.2 Tìm , ,a b c biết số 11 8 1987a b c chia hết cho 504.

Cách giải 1 (Toán kết hợp với máy tính) Vì 504 7 8 9 nên để

11 8 1987a b c chia hết cho 8 thì ba số tận cùng 87c phải chia hết cho 8.

Vì 87 800 7c c nên để 87c chia hết cho 8 thì c chỉ có thể bằng 2.

Số cần tìm có dạng 11 8 19872.a b

11

Để số đã cho chia hết cho 9 thì 37 36 1a b a b phải chia

hết cho 9, tức là 1 9a b hoặc 1 18.a b Suy ra 8a b

hoặc 17.a b

Thử tất cả các trường hợp trên máy tính, ta có kết quả sau:

a b Số đã cho 504 = Thương Dư Kết luận

0 8 1108819872 2200039 216

1 7 1118719872 2219682 144

2 6 1128619872 2239325 72

3 5 1138519872 2258968 0 Đáp số

4 4 1148419872 2278610 432

5 3 1158319872 2298253 360

6 2 1168219872 2317896 288

7 1 1178119872 2337539 216

8 0 1188019872 2357182 144

8 9 1188919872 2358968 0 Đáp số

9 8 1198819872 2378610 432

Cách giải 2 (Suy luận toán học) Ta có

11 8 19872 1108018972 0000000 00000

1108019872 10000000 100000

158288553 7 1 1428571 7 3 14285 7 5

158288553 1428571 14285 7 3 5 1

158288553 1428571 14286 7 3 2 1.

a b a b

a b

a b

a b a b

a b a b

Như vậy, để số đã cho chia hết cho 7 thì 3 2 1a b phải chia hết cho

7. Vì 3 2 1 3 1 28a b a nên 3 2 1a b chỉ có thể bằng một

trong các số: 0, 7, 14, 21, 28.

12

Vì số đã cho đồng thời phải chia hết cho 9 nên a và b đồng thời phải

thỏa mãn hai điều kiện: 8a b hoặc 17a b và 3 2 1a b

bằng một trong các số: 0, 7, 14, 21, 28.

Trường hợp 1 3 2 1 0.a b Từ điều kiện 8a b ta được

3, 5.a b

Trường hợp 2 Hệ 3 2 1 7a b và 8a b không có nghiệm

nguyên.


nguyên.


nguyên.


nguyên.


nguyên.

Trường hợp 7 Hệ 3 2 1 7a b và 17a b có nghiệm

8, 9.a b


nguyên.


nguyên.


nguyên.

Đáp số: Số cần tìm là 1138519872 và 1188919872 .

Lời bình 1.6 Sử dụng máy tính hay hơn. Ta đã không phải suy nghĩ gì về

điều kiện chia hết cho 7, mà dùng máy tính để kiểm tra nó! Trong Cách

giải 2 (giải toán), ta cũng vẫn phải sử dụng máy tính trợ giúp các phép

toán trung gian (tìm phần dư của 1108019872 khi chia cho 7).

Bài tập

13

Lưu ý Với CASIO fx-570VN PLUS , nhiều bài tập trước đây phải thao

tác dài hơn (theo cách giải 2 hoặc cách giải 3), nay có thể rút ngắn nhờ

chỉ một lệnh ALPHA R .

Bài 1.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, 2002-2003)

Tìm thương và số dư khi thực hiện phép chia:

(Lớp 12 Trung học phổ thông) số 123456789 cho 23456.

(Lớp 12 Trung học Bổ túc) số 3456789 cho 23456.

Bài 1.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, 2001-2002)

(Lớp 6) Chia 6032002 cho 1905 có số dư là 1r . Chia 1r cho 209 có số

dư là 2r . Tìm 2.r

(Lớp 8) Chia 19082002 cho 2707 có số dư là 1r . Chia 1r cho 209 có số

dư là 2r . Tìm 2.r

(Lớp 8) Viết qui trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 19052002

cho 20969.

(Lớp 9) Viết qui trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 26031931

cho 280202.

Bài 1.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, lớp 9, 2002-2003) Viết qui

trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 21021961 cho 1781989.

Bài 1.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở, 2007-

2008) Tìm các số a và b biết 686430 8a b chia hết cho 2008.

Bài 1.5 (Chọn đội tuyển. Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh)

Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 5 dư 3 và khi

chia cho 619 dư 237.

§2 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự

nhiên b khi a vượt quá 10 chữ số (vượt quá khả năng hiển thị của

máy tính khoa học)

Thí dụ 2.1 (Thi học sinh giỏi cấp khu vực, Bộ Giáo dục và Đào tạo,

Trung học Cơ sở, 2006) Tìm số dư trong mỗi phép chia sau:

a) 103103103: 2006;

14

b) 30419753041975: 151975;

c) 103200610320061032006: 2010.

Cách giải 1 (trên CASIO fx-570VN PLUS):

a) Bấm phím

103103103 ALPHA R 2006 = (51397, R=721)

Như vậy, 103103103 chia cho 2006 được thương là 51397 và số dư là

721.

b) Vì số bị chia vượt quá 10 chữ số (vượt quá khả năng hiển thị trên màn

hình và có thể, vượt quá số lưu trong ô nhớ) nên nếu làm như câu a):

30419753041975 ALPHA R 151975 = (200162875.7)

thì máy sẽ báo (200162875.7), tức là máy không sử dụng chương trình

tính thương và phần dư ALPHA R mà thực hiện phép chia thông

thường:

30419753041975 151975 = (200162875.7)

Để tìm thương, ta có thể tiếp tục yêu cầu máy lấy phần nguyên (integer-

viết tắt Int) nhờ phím Int như sau:

30419753041975 151975 = (200162875.7) ALPHA Int =

(200162875)

Để tìm phần dư ta làm như sau:

30419753041975 151975 200162875 = (113850).

Vậy Q=200162875; R=113850.

Tuy nhiên, đáp số chưa thật làm ta yên tâm!

Nhận xét 2.1 Với các bài toán mà số bị chia vượt quá 10 chữ số, trên

thực tế lệnh ALPHA R không làm việc. Tuy nhiên, ta vẫn có thể

sử dụng lệnh này như sau.

15

Cách 2 Biểu diễn số bị chia dưới dạng tổng một số có 10 chữ số (nhân

với lũy thừa của 10) và một số khác (có dưới 10 chữ số như trong câu b

và trên 10 chữ số như trong câu c):

30419753041975=30419753040000+1975= 304197530410000+1975.

Kết hợp tính trên máy và ghi kết quả ra giấy ta được:

3041975304 ALPHA R 151975 = (20016, R=43704)

Tức là:

30419753041975=30419753040000+1975

=(20016151975+43704)10000+1975

=200160000151975+437041975.

Chia tiếp 437041975 cho 151975:

437041975 ALPHA R 151975 = (2875, R=113850)

Vậy cuối cùng ta có:

30419753041975=30419753040000+1975

=(20016151975+43704)10000+1975

=200160000151975+437041975.

=200160000151975+(2875151975+113850)

=200162875151975+113850.

Đáp số: Thương và số dư khi chia 30419753041975 cho 151975 tương

ứng là 200162875 và 113850.

c) Số bị chia là số có 21 chữ số. Trước tiên ta viết số bị chia thành tổng

một số có 10 chữ số (nhân với 1110 ) và một số có 11 chữ số:

103200610320061032006=

(103200610300000000000+20061032006)

=1032006103 100000000000 + 20061032006.

Chia 1032006103 cho 1753:

16

1032006103 ALPHA R 2010 = (513435, R=1753)

Vậy

103200610320061032006=

(103200610300000000000+20061032006)

=1032006103 100000000000 + 20061032006.

=(5134352010 + 1753) 100000000000 + 20061032006

=51343500000000000 2010 + 175320061032006.

Vì 175320061032006 có 15 chữ số nên ta lại tách nó thành hai số:

175320061032006=175320061000000 + 32006

=1753200610100000 + 32006

Tìm thương và số dư khi chia 1753200610 cho 2010:

1753200610 ALPHA R 2010 = (872239, R=220)

Vậy

103200610320061032006=

(103200610300000000000+20061032006)

=1032006103 100000000000 + 20061032006.

=(5134352010 + 1753) 100000000000 + 20061032006

=51343500000000000 2010 + 175320061032006.

=513435000000000002010+ (87223900000 2010 + 22000000)

+ 32006=51343587223900000 2010 + 22032006

Tìm thương và số dư khi chia 22032006 cho 2010:

22032006 ALPHA R 2010 = ( 10961, R=396)

Vậy

103200610320061032006=

=51343587223900000 2010 + 22032006

=51343587223900000 2010 + 10961 2010 + 396

=51343587223910961 2010 + 396.

17

Đáp số: Thương và số dư khi chia 103200610320061032006 cho 2010

tương ứng là 51343587223910961 và 396.

Lời bình 2.1 Ta phải “sáng tạo vòng vo” như trên vì các máy tính khoa

học (máy tính bỏ túi, máy tính cầm tay) nói chung chỉ hiển thị được 10

chữ số trên màn hình. Sử dụng Caculator (cài đặt trên máy tính cá nhân

Personal Computer), ta không cần sáng tạo vòng vo này, do Caculator

có thể làm việc chính xác đến 32 chữ số:

Nháy chuột vào Caculator (trên máy tính cá nhân) và thực hiện phép

chia nhờ phím chia / theo Cách giải 3 trong Bài 1.1:

30419753041975 / 151975 = (200162875.7491363711136700115150

5) 151975 151975 200162875 = (113850)

Tương tự, 51343587223910961.197014925373134

103200610320061032006 / 2010 = (51343587223910961.197014925

373134) 2010 51343587223910961 2010 = (396)

Bài tập

Bài 2.1 (Đề thi Giải toán trên máy tính, Trung học Cơ sở, Bộ Giáo dục

và Đào tạo, 2009-2010)

Tìm số dư (trình bày cách giải) trong các phép chia sau:

1) 20092010

: 2011 ;

2) 22009201020112012: 2020 ;

3) 1234567890987654321: 2010.

Bài 2.2 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học phổ thông, 2003)

Tìm số dư khi chia số 20102001 cho số 2003.

18

CHƯƠNG 2 TÌM ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT CỦA HAI

HAY BA SỐ TRÊN CASIO fx-570VN PLUS

§1 Ước số chung lớn nhất của hai số


Định nghĩa 1 Ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a và b là số

tự nhiên lớn nhất chia hết a và .b

Giả sử d là ước số chung lớn nhất (UCLN) của a và .b Khi ấy ta có

1

1

,a da

b db trong đó 1

1

a

b phải là phân số tối giản. Thật vậy, nếu 1

1

a

b chưa

phải là phân số tối giản, tức là 1 2

1 2

1 .a ka

kb kb Khi ấy

1 2

1 2

a da dka

b db dkb và dk d cũng là ước của của a và .b Mâu thuẫn

với d là ước số chung lớn nhất của a và .b

Như vậy, để tìm UCLN của hai số a và ,b trước tiên ta tối giản phân số

,a

b được phân số 1

1

a

b (tự động thực hiện trên máy sau khi khai báo phân

số và bấm phím = ). Sau đó lấy a chia cho 1a (hoặc lấy b chia cho

1b ), được thương bằng ,d chính là UCLN của hai số a và .b

Thí dụ 1.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên. Đề chọn đội tuyển thi

học sinh giỏi cấp khu vực, 2004)

Khai báo phân số a

b nhờ phím và bấm phím = để được phân số tối

giản:

1754298000 75125232 = (2125

91).

Chia 1754298000a cho 2125 (hoặc chia 75125232b cho 91)

để được UCLN của a và b :

19

1754298000 2125 = (825552) hay 75125232 91 = (825552).

Đáp số: UCLN của a và b bằng 825552.

§ 2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số trên CASIO fx-

570VN PLUS

Qui tắc tìm ước số chung lớn nhất (Greate Common Division, viết tắt là

GCD) của hai số trình bày ở trên đã được lập trình và tính trên CASIO

fx-570VN PLUS như sau.

Mở máy: bấm phím ON

Khai báo lệnh GCD: ALPHA GCD (chức năng 3 của phím

dấu nhân )

Khai báo các số, đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm

phím SHIFT ,

Bấm phím = để được kết quả.

Thí dụ 2.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên. Đề thi chọn đội tuyển

thi học sinh giỏi cấp khu vực, 2004)

Cho a =75125232, b =1754298000. Tìm UCLN của a và .b

Giải Toàn bộ qui trình bấm phím được viết như sau:

ALPHA GCD 1754298000 SHIFT , 75125232 = (825552)

Đáp số: USCLN của 1754298000 và 75125232 là 825552.

Để tìm ước số chung lớn nhất của ba số , ,A B C trên CASIO fx-570VN

PLUS ta làm như sau.

Khai báo lệnh GCD: ALPHA GCD ALPHA GCD

Khai báo hai số , ,A B đánh dấu phẩy phân cách các số bằng

cách bấm phím SHIFT ,

20

Đóng ngoặc bằng phím ) và khai báo số C


CHƯƠNG 3 TÌM BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT CỦA HAI HAY

BA SỐ TRÊN CASIO fx-570VN PLUS

§1 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số


Định nghĩa 1.1 Bội số chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên a và b là số

tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho a và .b

Quan hệ giữa bội số chung nhỏ nhất (BCNN) và ước số chung lớn nhất

(UCLN) của hai số tự nhiên a và b được mô tả theo công thức sau:

BCNN ,UCLN ,

a ba b

a b

. (1.1)

Như vậy, trước tiên ta tìm UCLN của a và .b Sau đó tìm BCNN của a

và b theo công thức trên.

Qui tắc trên có thể áp dụng để tìm BCNN của ba hay nhiều số.

§2 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai số hay nhiều số trên CASIO

fx-570VN PLUS

Qui tắc tìm bội số chung nhỏ nhất (Lower Common Multiple, viết tắt là

LCM) của hai hay ba số trình bày ở trên đã được lập trình tính trên

CASIO fx-570VN PLUS như sau.

Tìm BCNN của hai số:

Bấm phím ALPHA LCM . Trên màn hình hiện: LCM(.

Khai báo các số, đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm

phím SHIFT ,


21

Tìm BCNN của ba số A ; B ; C :

Bấm phím ALPHA LCM ALPHA LCM . Trên màn

hình hiện: LCM(LCM(.

Khai báo số A , đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm

phím SHIFT , , khai báo số .B

Đóng ngoặc bằng phím ) và khai báo số C .


Thí dụ 2.1 Tìm BCNN của ba số A= 195; B = 1890; C = 1975.

Cách 1 Tối giản phân số A

B: 195 1890 = (

13

126).

Vậy UCLN của A và B (kí hiệu là D ) là:

195 13 = (15) hay 1890 126 = (15).

Vậy 15.D

Tối giản phân số D

C: 15 1975 = (

3

395).

Vậy UCLN( ,C D ) bằng: 15 3 = (5) hay 1975 395 = (5).

Vậy UCLN( , ,A B C ) = UCLN( ,C D ) = 5.

Gọi E là bội chung nhỏ nhất của A và B . Khi đó

BCNN( , ) :E A B A B UCLN( ,A B )= 24570.

Vì UCLN( , ,A B C ) = 5 nên UCLN( ,E C ) = 5.

Vậy bội chung nhỏ nhất của , ,A B C bằng:

BCNN( , , ) BCNN( , ) :A B C E C E C UCLN( ,E C )

= (24570 1975) :5 9705150.

Cách 2 Tìm BCNN của ba số A= 195; B = 1890; C = 1975 trên

CASIO fx-570VN PLUS:

22

ALPHA LCM ALPHA LCM 195 SHIFT , 1890 )

SHIFT , 1975 = (9705150)

Đáp số: BCNN của ba số A= 195; B = 1890; C = 1975 là 9705150.

Bài tập

Bài 2.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở, 2005-

2006) Tìm UCLN và BCNN của hai số

a =457410, b =831615.

Bài 2.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, Trung học Cơ sở, 2004-

2005) Tìm UCLN và BCNN của hai số

1) a =9148, b =16632; 2) a =75125232, b =175429800.

Bài 2.3 (Thi giải toán trên máy tính, Tạp chí Toán Tuổi thơ 2, số 25 và

27, tháng 3 và tháng 5, 2005)

Tìm UCLN và BCNN của hai số a =3022005, b =7503021930.

Bài 2.4 (Thi giải toán trên máy tính, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, tháng

11, 2004 và tháng 1, 2005) Tìm UCLN và BCNN của hai số

a =1234566, b =9876546.

Bài 2.5 (Sở GD và ĐT Thái Nguyên, chọn đội tuyển, lớp 12, 2004)

Tìm USCLN của hai số 1754298000a và 75125232.b

Bài 2.6 (Bộ Giáo dục Đào tạo, lớp 12, 2002) Tìm ước số chung lớn nhất

của hai số: a = 24614205, b = 10719433.

Bài 2.7 (Sở Giáo dục Đào tạo Đồng Nai, Phổ thông Trung học, 2002-

2003) Tìm ước chung lớn nhất của hai số

1358024701; 1851851865A B .

Bài 2.8 (Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên-Huế, lớp 8, 9, 11, 2005)

Cho ba số A =1193984; B =157993; C =38743.

Tìm UCLN của ba số , ,A B C ;

Tìm BCNN của ba số , ,A B C với kết quả đúng.

23

Bài 2.9 (Bộ Giáo dục Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2009-2010)

Cho a = 11994; b = 153923; c = 129935.

Tìm ƯCLN(a,b,c) và BCNN(a,b,c).

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

TRÊN CASIO fx-570VN PLUS

§1 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố


Định nghĩa 1 Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Định lí 1.1 Mọi số tự nhiên đều có duy nhất một phân tích thành tích của

các thừa số nguyên tố, tức là mọi số tự nhiên a đều có thể viết được duy

nhât dưới dạng 1 2

1 2... ,n

na p p p

.

trong đó 1,...,

np p là các số nguyên tố,

i là các lũy thừa của .

ip

Thuật toán đơn giản nhất phân tích một số a ra thừa số nguyên tố là

lần lượt kiểm tra số đó có là bội của các số nguyên tố i

p (i

p lần lượt

bằng 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...) không. Nếu có, ta được .i

ia bp

Tiếp tục kiểm tra số xem b có là bội của 1i

p

hay không, trong đó 1i

p

là số nguyên tố ngay sau i

p trong bảng số nguyên tố.

Định lí 1.2 Nếu N là hợp số thì nó có thừa số nguyên tố .p N

Dựa vào Định lí này ta chỉ cần tìm thừa số nguyên tố .p N

Thí dụ 1.1 Phân tích số 29601 ra thừa số nguyên tố

Giải Rõ ràng 29601 không chia hết cho 2, cho 5, nhưng chia hết cho 3:

29601 9867 3.

Ta lại có 9867 3289 3. Vậy 229601 9867 3 3289 3 .

24

Vì 3289 không chia hết cho 3 nên ta kiểm tra xem 3289 có chia hết cho

7 không. Bấm máy ta được: 3289:7=469.8571429. Vậy 3289 không chia

hết cho 7.

Tiếp tục xem 3289 có chia hết cho 11 không: 3289 299 11.

Vì 299 không chia hết cho 11 nên ta kiểm tra tiếp xem 299 có chia hết

cho 13, 17, 19, 23 không.

Cuối cùng ta được 229601 3 11 13 23.

Nhận xét 1.1 Số 29601 không quá lớn và phân tích ra thừa số tương

đối dễ (vì 29601 có các ước số nhỏ, chỉ là 3, 11, 13, và 23). Tuy nhiên

thuật toán phân tích ra thừa số nguyên tố được thực hiện bằng tay cho số

29601 cũng đã khá vất vả. Vì vậy hiện nay bài toán phân tích một số ra

thừa số nguyên tố thường được thực hiện trên máy tính với những phần

mềm dựa trên các thuật toán phân tích nhanh một số ra thừa số nguyên

tố. Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm về những điều thú vị này trong:

Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, Số học Thuật toán (Bộ sách Toán cao

cấp-Viện Toán học), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2003.

§2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên CASIO fx-570VN

PLUS

Một trong những ưu điểm nổi trội nhất của CASIO fx-570VN PLUS so

với các máy tính khoa học (máy tính bỏ túi, máy tính cầm tay) khác là

chương trình phân tích một số ra thừa số nguyên tố đã được cài đặt sẵn

trong máy.

Để phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ta lần lượt thực hiện các thao

tác sau.

Khai báo số tự nhiên cần phân tích ra thừa số nguyên tố và bấm

phím = . Trên màn hình hiện số đã cho.

Lệnh cho máy phân tích ra thừa số nhờ SHIFT FACT (Fact

-factor-phân tích ra thừa số).

25

Thí dụ 2.2 Phân tích số 8824575375 ra thừa số nguyên tố.

Giải Thực hiện qui trình bấm phím

8824575375 = SHIFT FACT (5 3 4 23 5 7 11 )

Thí dụ 2.3 Phân tích số 7396812423 ra thừa số nguyên tố.


7396812423 = SHIFT FACT (23 7 11 19 59 547 )

Lời bình 2.1 Với khả năng tính toán nhanh của các vi mạch điện tử, chỉ

trong chớp mắt, sau khi bấm phím = , CASIO fx-570VN PLUS có thể

phân tích một số khá lớn dưới 10 chữ số ra các thừa số nguyên tố có ba

chữ số. CASIO fx-570VN PLUS thật tuyệt vời!

Lời bình 2.2 Tuy nhiên, CASIO fx-570VN PLUS cũng còn có hạn chế:

CASIO fx-570VN PLUS chưa thể phân tích các số có chứa các số

nguyên tố lớn hơn bốn chữ số ra thừa số nguyên tố.

Thí dụ 2.4 (Sở Giáo dục và đào tạo Thừa Thiên-Huế, Trung học cơ sở,

2006-2007)

Phân tích số 9405342019 thành thừa số nguyên tố.


9405342019 = SHIFT FACT ( 319 1371241 )

Thoạt nhìn, ta sẽ tưởng 1371241 là số nguyên tố. Nhưng nếu sử dụng

Maple, ta thấy

> ifactor(1371241); 21171

Như vậy, 1371241 được phân tích ra thừa số nguyên tố là 21371241 1171 .

Cố gắng thử phân tích 1371241 ra số nguyên tố trên CASIO fx-570VN

PLUS:

26

1371241 = SHIFT FACT (1371241)

Như vậy, do hạn chế về lập trình hoặc bộ nhớ, CASIO fx-570VN PLUS

chưa có khả năng phân tích một số chứa các số nguyên tố với trên bốn

chữ số. Tuy nhiên, CASIO fx-570VN PLUS cũng đã cảnh báo chuyện

này bằng cách để các thừa số đó trong ngoặc. Thí dụ, kết quả phân tích

số 9405342019 trên Vinacal 570 ES Plus là 319 1371241 . Số 319

không để trong ngoặc, nghĩa là đó là lũy thừa của số nguyên tố, còn số

(1371241) được để trong ngoặc, nghĩa là nó có thể là hợp số chứa các số

nguyên tố có nhiều hơn ba chữ số.

Thử khai căn 1371241 ta được 21371241 1171 .

Vì 1171 34.2 nên ta chỉ cần kiểm tra xem 1171 có chia hết cho

các số nguyên tố 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31 không. Ta thấy 1171 không

chia hết cho các số trên nên nó là số nguyên tố. Vậy

239405342019 19 1171 .

Bài tập

Bài 2.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, Trung học Cơ sở,

2003-2004)

Phân tích các số 20387 và 139231 ra thừa số nguyên tố.

Bài 2.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, Trung học cơ

sở, 2005-2006)


Bài 2.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở,

2007-2008)


Bài 2.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, Trung học Cơ sở, lớp 9,

2008-2009) Phân tích số P = 2450250 ra thừa số nguyên tố.

27

Bài 2.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010)

Phân tích số 311875250 thành tích các thừa số nguyên tố.

28

PHẦN 2 CÁC TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA CASIO fx-

570VN PLUS TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI

TÍCH

CHƯƠNG 1 DÃY SỐ, TỔNG CỦA DÃY SỐ VÀ DÃY TRUY HỒI

Nhiều bài toán thực tế (sinh học, kinh tế,...) và toán học (tính gần đúng

nghiệm của phương trình,...) được mô tả bởi phương trình sai phân và

các dãy truy hồi. Mặt khác, các dãy truy hồi dễ dàng được thực hiện trên

máy tính qua các phép lặp. Vì vậy các bài tập về dãy truy hồi khá phổ

biến trong các đề thi Giải toán trên máy tính. Với lệnh PreAns (kết quả

trước đó, nhờ bấm phím ALPHA Ans ), CASIO fx-570VN PLUS

có thể trợ giúp đắc lực giải các bài tập về dãy truy hồi cấp hai (phương

trình sai phân cấp hai), hơn hẳn các máy tính khác.

§1 Tính theo dãy truy hồi bậc nhất

Bài 1.1 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2008-2009)

Cho dãy số xác định bởi công thức : 2

nn 1 2

n

3 13xx

1 x

với 1x 0,09 , n 1,2,...

1) Viết quy trình bấm phím liên tục tính n 1x theo nx .

2) Tính 2 3 4 5 6x , x , x , x , x (với đủ 10 chữ số trên màn hình).

3) Tính 100 200x , x (với đủ 10 chữ số trên màn hình).

Bài 1.2 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2007-2008; Phòng Giáo

dục và Đào tạo huyện Đông Triều, Lóp 9, 2011-2012)

Cho dãy số 0 1a ;

2

1

1 1n n

n

n

a aa

a

với 0; 1; 2; 3;n

1) Lập quy trình bấm phím tính 1na trên máy tính cầm tay;

2) Tính 1a , 2a , 3 4 5 10, , ,a a a a và 15.a

Bài 1.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, Trung học Phổ thông, 10.2.2009)

Cho tập hợp các số vô hạn sau: 1 2 3 4

, , , ...,4 9 16 25

P

.

29

1) Viết công thức số hạng tổng quát .

2) Tính số hạng thứ 35.

3) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính tổng 30 số hạng đầu tiên.

Bài 1.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, lớp 9, 2008-2009)

Cho dãy số có số hạng tổng quát 2

11 .n

nU i

n

( 1i nếu n lẻ, 1i nếu n chẵn, n là số nguyên 1n ).

Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy số.

Bài 1.5 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Phổ thông, 11.3.2011)

Tính gần đúng giới hạn của dãy 3 3 3 35 5 5 ... 5nU ( n dấu căn).

Tìm 0n để với mọi 0n n thì nu gần như không thay đổi (chỉ xét đến chín chữ

số thập phân), cho biết giá trị 2010.u Nêu qui trình bấm phím tính .nu Tìm 0n

để vơi mọi 0n n thì nu có phần nguyên và chín chữ số thập phân ngay sau

dấu phẩy là không đổi. Tính giá trị 2011.u Viết qui trình giải.

Bài 1.6 (Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Đông Triều, Lóp 9, 2011-2012)

Cho dãy số: 1 1 1

... ,

1 2 2 3 1

vnu u u u u unn

trong đó:

1 11; 2 ( 1).n nu u u n

1) Tìm công thức tính vn theo n ( 1n ).

2) Tính giá trị 2010.v

§2 Dãy Fibonacci và dãy Lucas

2.1 Bµi to¸n thá ®Î con

Gi¶ sö thá ®Î con theo qui luËt: Mét ®«i thá cø mçi th¸ng ®Î

®îc mét ®«i thá con, mçi ®«i thá con sau 2 th¸ng tuæi l¹i b¾t

®Çu sinh mét ®«i thá n÷a, råi sau mçi th¸ng l¹i tiÕp tôc sinh ra

mét ®«i thá n÷a, v.v... vµ gi¶ sö tÊt c¶ çc con thá ®Òu sèng. Hái

nÕu cã mét ®«i thá nu«i tõ th¸ng giªng vµ ®Î con vµo th¸ng hai

th× ®Õn cuèi n¨m cã bao nhiªu ®«i thá tÊt c¶.

30

Bµi to¸n nµy ®îc Fibonacci (1170-1250), mét th¬ng gia ngêi

ý, còng lµ mét nhµ to¸n häc næi tiÕng nhÊt thêi Trung cæ, viÕt

trong cuèn s¸ch Liber abaci (S¸ch vÒ tÝnh to¸n) n¨m 1202.

Sè thá cña tõng th¸ng sÏ lµ:

Trong th¸ng giªng cã mét ®«i thá sè 1.

Vµo ®Çu th¸ng 2, ®«i thá nµy ®Î mét ®«i thá sè 2. VËy trong

th¸ng 2 cã 2 ®«i thá.

Vµo ®Çu th¸ng 3, ®«i thá sè 1 ®Î ra ®«i thá sè 3, cßn ®«i thá sè 2

míi sau 1 th¸ng nªn cha ®Î ®îc. VËy trong th¸ng 3 cã 3 ®«i

thá.

Vµo ®Çu th¸ng 4, ®«i thá sè 1 ®Î ra ®«i thá sè 4, ®«i thá sè 2 ®Î

ra ®«i thá sè 5, cßn ®«i thá sè 3 míi ®îc 1 th¸ng nªn cha ®Î

®îc. VËy trong th¸ng 4 cã 5 ®«i thá.

Vµo ®Çu th¸ng 5, ®«i thá sè 1 ®Î ra ®«i thá sè 6, ®«i thá sè 2 ®Î

ra ®«i thá sè 7, ®«i thá sè 3 ®Î ra ®«i thá sè 8, ®«i thá sè 4 vµ sè

5 míi ®îc 1 th¸ng cha ®Î ®îc. VËy trong th¸ng 5 cã 8 ®«i

thá.

Ta thÊy r»ng:

Tõ th¸ng giªng ®Õn cuèi th¸ng n¨m sè ®«i thá lµ: 1, 2, 3,

5, 8.

TiÕp tôc lÝ luËn nh trªn ta cã d·y sè:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

D·y sè nµy cã quy luËt: mçi sè h¹ng, kÓ tõ sè h¹ng thø ba,

b»ng tæng cña hai sè h¹ng ®øng ngay tríc nã:

1 1 2; 2 1 3; 3 2 5; 5 3 8;

8 5 13; 13 8 21; 21 13 34;

34 21 55; 55 34 89;

89 55 144, ...

NÕu gäi sè thá cña th¸ng thø n lµ nu th× số thỏ 1nu của tháng thứ

1n chính bằng số thỏ nu của tháng thứ n (đã có) và số thỏ 1nu của

31

tháng thứ 1n (mới sinh ra từ 1nu thỏ đã được ít nhất hai tháng tuổi).

Như vậy, ta cã c«ng thøc sau:

1 1,u 2 1,u 1 1n n nu u u víi mäi 2.n

D·y sè trªn sau nµy ®îc Lucas gäi lµ d·y Fibonacci. Nh÷ng sè

h¹ng nu cña d·y trªn ®îc gäi lµ sè Fibonacci.

2.2 C«ng thøc tæng qu¸t cña sè Fibonacci

Sè h¹ng thø n cña d·y Fibonacci ®îc tÝnh theo c«ng thøc

1 1 5 1 5(( ) ( ) )

2 25

n nnu

. (2.1)

Tríc tiªn ta h·y thö tÝnh mét vµi gi¸ trÞ cña :nu

Víi 1:n 1 11

1 1 5 1 5(( ) ( ) ) 1.

2 25u

Víi 2 :n 2 22

1 1 5 1 5(( ) ( ) ) 1.

2 25u

Víi 3:n

3 32

1 1 5 1 5 1 1 3 5 3.5 5 5 1 3 5 3.5 5 5(( ) ( ) ) ( ) 2.

2 2 8 85 5u

Víi 4 :n

4 4 2 2 2 24

2 2

1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 5 1 5[( ) ( ) ] [( ) ( ) ][( ) ( ) ]

2 2 2 2 2 25 5

1 5 1 5 1 2 5 5 1 2 5 5( ) ( ) 3.

2 2 4 4

u

Mét ®iÒu thó vÞ lµ: Mét biÓu thøc chøa c¨n thøc kh¸ cång kÒnh,

nhng nã lu«n lµ mét sè nguyªn víi mäi gi¸ trÞ cña .n

B©y giê ta cã thÓ chøng minh tÝnh chÊt nµy b»ng quy n¹p.

Gi¶ sö c«ng thøc (2.1) ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña .n k

Khi Êy víi 1n k ta cã:

32

1 11 1

2 21 1

1 1 5 1 5 1 1 5 1 5(( ) ( ) ) (( ) ( ) )

2 2 2 25 5

1 1 5 2 1 5 2[( ) (1 ) ( ) (1 )]

2 25 1 5 1 5

1 1 5 3 5 1 5 3 5[( ) ( ) ( ) ( )]

2 25 1 5 1 5

1 1 5 (1 5) 1 5 (1 5) 1 1 5 1 5[( ) ( ) ] [( ) ( ) ]

2 2 2 25 2(1 5) 2(1 5) 5

k k k kk k k

k k

k k

k k k k

u u u

C«ng thøc (2.1) ®îc chøng minh.

2.3 TÝnh sè Fibonacci trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö khoa học

Ta cã çch t×m sè Fibonacci cùc k× ®¬n gi¶n trªn m¸y tÝnh khoa

học nh sau:

Quy tr×nh 1 tÝnh sè Fibonacci trªn Casio fx-570 MS

BÊm phÝm: 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO B

Vµ lÆp l¹i d·y phÝm:

ALPHA A SHIFT STO A ALPHA B SHIFT STO B

Thùc hiÖn quy tr×nh này trªn çc m¸y t¬ng øng (cã 10 ch÷ sè),

ta ®îc 49 sè Fibonacci ®Çu tiªn, sè thø 50 b»ng 101258626902 ,

vît qu¸ kh¶ n¨ng hiÓn thÞ cña mµn h×nh):

102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733,

1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976,

7778742049.

Quy tr×nh 2 tÝnh sè Fibonacci trªn CASIO fx-570VN PLUS

BÊm phÝm: 1 = 1 =

Ans ALPHA Ans

Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: =

33

Giải thích CASIO fx-570VN PLUS được cài đặt phím PreAns (nhờ

bấm phím ALPHA Ans ) để lưu kết quả tính toán trước. Vì vậy, khi

bấm phím : 1 = , kết quả 1 1,u được lưu trong ô nhớ Ans . Khi bấm

tiếp 1 = , kết quả 2 1,u được đẩy sang ô nhớ PreAns , nhường ô Ans

cho 2 1u mới khai báo. Khai báo dãy phím Ans ALPHA Ans và

bấm phím = , máy sẽ tính 3 2 1u u u và gửi vào ô nhớ Ans , 2 1u

từ ô nhớ Ans lại được đẩy sang ô nhớ PreAns . Quá trình tính các số

hạng 1 1n n nu u u cứ như vậy được tiếp tục nhờ bấm phím = theo

đoạn lập trình sẵn Ans ALPHA Ans (hiển thị trên màn hình)

Lêi b×nh 2.1 C«ng cô nh nhau (trªn cïng mét m¸y), nhng

quy tr×nh 2 ®ßi hái Ýt thao t¸c h¬n, do ®ã Ýt nhÇm lÉn h¬n vµ

thêi gian thùc hiÖn ngắn hơn nhiều so với thêi gian tÝnh theo quy

tr×nh 1.

Quy tr×nh 3 (trªn m¸y Calculator trong Windows trong m¸y

tÝnh ç nh©n):

BÊm phÝm: 1 M+

Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: MR M+

Ta sÏ ®îc 159 sè Fibonacci ®Çu tiªn trªn m¸y Calculator

(hiÓn thÞ ®îc 33 ch÷ sè trªn mµn h×nh) lµ 59 sè ë trªn vµ 100

sè tiÕp theo, díi ®©y lµ çc sè Fibonacci thø 60 ®Õn 100. Do sè

Fibonacci thø 100 míi chØ cã 21 ch÷ sè nªn ta cã thÓ tiÕp tôc

tÝnh sè thá cho tíi sè Fibonacci thø 159.

1548008755920, 2504730781961, 4052739537881,

6557470319842, 10610209857723, 17167680177565,

27777890035288, 44945570212853, 72723460248141,

11766930460994, 190392490709135, 308061521170129,

498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657,

2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757,

8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685,

37889062373143906, 61305790721611591,

34

99194853094755497, 160500643816367088,

259695496911122585, 420196140727489673,

679891637638612258, 1100087778366101931,

1779979416004714189, 2880067194370816120,

4660046610375530309, 7540113804746346429,

12200160415121876738, 19740274219868223167,

31940434634990099905, 51680708854858323072,

83621143489848422977, 135301852344706746049,

218922995834555169026, 354224848179261915075.

Quy tr×nh 3 TÝnh sè Fibonacci nu trªn Casio fx-570 MS theo

c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t:

( ( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X ( ( 1 5 ) 2 ) ^

ALPHA X ) 5

BÊm CALC m¸y hiÖn X?

Thay X b»ng çc sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 49 ta ®îc çc sè Fibonacci

dưới 10 chữ số.

Dãy Lucas n 1 n n-1U AU BU C , 1U a ; 2U b

Thí dụ 2.1 (Đề thi Quốc gia Giải toán trên máy tính, Trung học cơ sở.

Đề chính thức, 2007 -2008.) Cho dãy số:

1U 2 ; 2U 3 ; n 1 n n-1U 3U 2U 3 với n 2.

Câu 1 Lập quy trình bấm phím tính n 1U trên máy tính cầm tay.

Câu 2 Tính 3 4 5 10U ,U ,U ,U và 19U .

Giải Câu 1 Cách 1 Quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 trên Casio fx-

500MS (hoặc Casio fx- 570MS ):

Gửi 1U 2 và 2U 3 vào ô A và B :

2 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B

35

Vì 2U 3 vẫn đang trên màn hình nên tính 3 2 1U 3U 2U 3 và gửi

vào ô A như sau:

3 2 ALPHA A 3 SHIFT STO A (1)

Vì giá trị 3 2 1U 3U 2U 3 vẫn đang trên màn hình nên ta tính

4 3 2U 3U 2U 3 và gửi vào ô B như sau:

3 2 ALPHA B 3 SHIFT STO B (2)

Quy trình lặp: Sử dụng phím trên phím REPLAY để trở về dòng

(1), bấm phím để được các 2n 1 2n 2n-1U 3U 2U 3 :

(*)

Lại sử dụng phím trên phím REPLAY để trở về dòng (2), bấm

phím để được các 2n 2n 1 2n-2U 3U 2U 3 :

(**)

Lặp lại hai dòng quy trình (*) và (**) ta tính được các nU trong bảng sau.

U3 U4 U5 U6 U7 U8

16 57 206 735 2620 9333

U9 U10 U11 U12 U13 U14

33242 118395 421672 1501809 5348774 19049943

U15 U16 U17 U18 U19 U20

678473

80

2416420

29

86062085

0

306514661

1

1.09166815

4 1010

3.88803378

3 1010

Cách 2 Quy trình bấm phím liên tục tính Un+1 (chỉ thực hiện được trên

các máy Vinacal Vn-570MS, Casio fx-570MS, hoặc Casio fx-570ES):

Gửi 1U 2 vào ô A : 2 SHIFT STO A

Gửi 2U 3 vào ô B : 3 SHIFT STO B

Gửi số khởi tạo m 2 của lệnh đếm vào ô M : 2 SHIFT STO M

Khai báo biến đếm để tăng chỉ số của các số hạng Un+1 trong quá trình

tính các số hạng ấy:

ALPHA M ALPHA = ALPHA M 1

36

Khai báo công thức tính 2n 1 2n 2n-1U 3U 2U 3 :

ALPHA : ALPHA A ALPHA = 3 ALPHA B 2 ALPHA A

3

Tăng biến đếm:

ALPHA : ALPHA M ALPHA = ALPHA M 1

Khai báo công thức tính 2n 2n 1 2n 2U 3U 2U 3 :

ALPHA : ALPHA B ALPHA = 3 ALPHA A 2 ALPHA B

3

Giải thích Sau khi khai báo chương trình trên thì màn hình sẽ hiện ra

dãy các kí tự như sau:

M M 1, A 3B 2A 3, M M 1, B 3A 2B 3.

Tức là, cứ mỗi lần tính xong một giá trị 2n 1U thì chỉ số lại tăng lên 1

đơn vị để tính tiếp 2n 2U , sau đó chỉ số lại tăng lên 1 để tính tiếp 2n 3U .

Bấm phím , màn hình hiện: M = M +1

3. Disp.

Nghĩa là, thứ tự của số hạng cần tính là 3 (chuẩn bị tính 3U ).

Bấm phím , màn hình hiện: A = 3B+2A+3

16..

Nghĩa là 3 2 1U 3U 2U 3 16.

Bấm phím , trước tiên trên màn hình hiện: M = M +1

4. Disp.

Nghĩa là, thứ tự của số hạng cần tính là 4 (chuẩn bị tính 4U ).

Bấm phím , màn hình hiện: B = 3A+2B+3

57.

Nghĩa là 4 3 2U 3U 2U 3 57 .

Bấm phím liên tục ta tính được n 1U như trong cách 1 (bảng trên).

37

Cách 3 (sử dụng phím Pr eAns trên CASIO fx-570VN PLUS)

Khai báo 1U 2: 2 (2): 1U 2 được lưu trong ô Ans .

Khai báo 2U 3: 3 (2): 2U 3 được lưu trong ô Ans . 1U 2

được đẩy sang ô Pr eAns .

Khai báo công thức n 1 n n-1U 3U 2U 3:

3 Ans 2 ALPHA Ans 3

Lần lượt bấm phím để được 3 4U , U ,... như bảng trên (trang 34).

Lời bình Với CASIO fx-570VN PLUS, không còn khó khăn khi tính các

số hạng của dãy truy hồi cấp hai.

Câu 2

Cách 1 Khi tính U19 ta dùng máy tính kết hợp với giấy nháp:

Ta có: U19 3U18 + 2U17 + 3 với U17 860620850; U18

3065146611.

3

3065146611

9 1 9 5 4 3 9 8 3 3

2 860620850 1 7 2 1 2 4 1 7 0 0

+3 3

19U 1 0 9 1 6 6 8 1 5 3 6

Kết quả: 19U 10916681536.

Cách 2 Sau khi tính trên máy được 19U 1,0916681541010

ta bấm

phím 1 EXP 10 để tìm chính xác các chữ số cuối.

Đáp số: 19U 10916681536.

Bài tập

Bài 2.1 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, lớp 12 Bổ túc THPT, 11.3.2011)

Dãy số na được xác định như sau: 1 2 2 15, 3, 4 5n n na a a a a với

mọi n nguyên dương. Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số đó.


Cho dãy số : 1U 2 ; 2U 3 ; n 1 n n-1U 3U 2U 3 với n 2.

38

1) Lập quy trình bấm phím tính n 1U trên máy tính cầm tay.

2) Tính 3 4 5 10U ,U ,U ,U và 19U .

Bài 2.3 (Chọn đội tuyển. Sở Giáo dục và Đào tạo thp Hồ Chí Minh,

2003)

Cho u1 = 17, u2 = 29 và un+2 = 3un+1 + 2un (n ≥ 1). Tính u15.

Bài 2.4 (Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Bảo Lâm, Lâm Đồng, 2004)

1) Cho 1 11,1234; 1,0123 ( ; 1)n nu u u n N n . Tính 50.u

2) Cho 2

1 1 2

3 135; ( ; 1)

5

nn

n

uu u n N n

u

. Tính 15.u

3) Cho 0 1 1 23; 4; 3 5 ( 2).n n nu u u u u n Tính 12.u

Bài 2.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, lớp 9, 2009-2010)

Cho dãy số un được xác định như sau

1 2

2 1

3, 2

3 2 , 3n n n

u u

u u u n

.

1) Viết 7 số hạng đầu.

2) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính tích 7 số hạng đầu tiên.

Bài 2.6 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, lớp 9, 2008-2009)

Cho dãy số: 1 2 2 12, 3,...., 3 2 ; 1,2,3,...n n nu u u u u n

Tính giá trị của 20 21,u u và 22.u

Bài 2.7 (Thi thử vòng tỉnh, Trường THCS Đồng Nai-Cát Tiên, 2004)

1) Cho dãy 1 2 1 13; 11; 8 5 ( 2).n n nu u u u u n

1a) Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ 11u của dãy.

1b) Tìm số hạng 1u đến 12u của dãy.

2) Cho dãy 1 2 311; 15;u u u 2

11

1

5

3 2

n nn

n n

u uu

u u

với 3.n

2a) Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ nu của dãy.

2b) Tìm số hạng 8u của dãy.

Bài 2.8 (Phòng Giáo dục và Đào tạo Bảo Lâm, Lâm Đồng, 2005)

1) Cho 1 11,1234; 1,0123. ( ; 1).n nu u u n N n Tính 50.u

39

2) Cho 2

1 1 2

3 135; ( ; 1).

5

nn

n

uu u n N n

u

Tính 15.u

3) Cho 0 1 1 23; 4; 3 5 ( 2).n n nu u u u u n Tính 12.u

Bài 2.9 (Thi chọn đội tuyển Trường THCS Đồng Nai-Cát Tiên, 2004)

Cho dãy 1 2 1 15; 9; 5 4 ( 2).n n nu u u u u n

1) Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ nu của dãy.

2) Tìm số hạng 14u của dãy.

Bài 2.10 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi, lớp 9, 2009-2010)

Cho dãy số (1 2) (1 2)

,2 2

n

n n

U

1,2,..., .n k

1) Chứng minh 2 12 .n n nU U U

2) Viết qui trình bấm phím để tìm số hạng thứ n


Cho dãy số

n n

n

1 2 1 2U

2 2

với n 1,2,...

1) Chứng minh rằng: n 1 n n 1U 2U U với n 1.

2) Lập quy trình bấm phím liên tục tính n 1U theo nU và n 1U với

1 2U 1, U 2.

3) Tính các giá trị từ 11U đến 20U .

Bài 2.12 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học cơ sở, 2005)

Cho dãy số 3 2 3 2

.2 2

n n

nu

Lập công thức truy hồi tính 2nu theo 1,nu .nu

Bài 2.13 (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế, Trung học Cơ sở, 01.02. 2007)

1) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức :

n n

n

6 2 7 6 2 7u

4 7

với n 1, 2, 3, …

1a) Tính u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8.

40

1b) Lập công thức truy hồi tính un+1 theo un và un-1.

2) Hai dãy số với các số hạng tổng quát được cho bởi công thức :

1 1

n 1 n n

n 1 n n

u 1; v 2

u 22v 15u

v 17v 12u

với n 1, 2, 3,…

2a) Tính 5 10 15 18 19 5 10 15 18 19u , u ,u ,u ,u ;v ,v ,v ,v ,v .

2b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính n 1u và n 1v theo nu và nv .


1) Tính chính xác giá trị biểu thức:

14 14(5 2 6) (5 2 6) .A

2) Cho 1

1– 2 3 – 4 –1 .n

nS n

Tính tổng 2005 2006 2010.S S S S

Bài 2.15 (Phòng GD và ĐT huyện Bố Trạch, Quảng Bình, lớp 9,

4.7.2008)

Cho dãy số sắp xếp theo thứ tự 1 2 3 1, , ,..., , ,...n nU U U U U

Biết

5 6 1 1588; 1084; 3 2 .n n nU U U U U Tính 1 2; .U U

Bài 2.16 (Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai, lớp 9, 2004-2005)

Cho các số 1 2 1, ,..., , ,...n nu u u u thỏa mãn 1 2 , 1n n nu u u n và

2 503; 30.u u

Tính giá trị của 1 2 3 48... .S u u u u

Bài 2.17 (Chọn đội tuyển thi khu vực, Sở GD và ĐT Lâm Đồng, 2004)

Cho 2 2

1 2 1 17; .n n nu u u u u Tính 7 .u

§3 Tính tổng

Bài 3.1 (Sở GD và ĐT Thp Hồ Chí Minh, vòng chung kết, 24.11.1996)

Một hình vuông được chia thành 16 ô (mỗi cạnh 4 ô). Ô thứ nhất được đặt một

hạt thóc, ô thứ nhì được đặt 2 hạt, ô thứ ba được đặt 4 hạt,... và đặt liên tiếp như

vậy đến ô cuối cùng. Tính tổng hạt thóc được đặt vào 16 ô của hình vuông.

Bài 3.2 (Sở GD và ĐT Thp Hồ Chí Minh, vòng 1, cấp THPT, 15.3.1996)

41

Một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1,678u , công bội 9

8q . Tính tổng

17S

của 17 số hạng đầu tiên (kết quả lấy 4 số lẻ).


Một đường tròn nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 2,3358909 , sau

đó nội tiếp trong hình tròn đó một hình vuông và quá trình đó cứ tiếp diễn như

thế mãi. Nếu gọi nS là tổng các diện tích của n hình tròn đầu tiên nội tiếp như

thế. Tính 20S .

Bài 3.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi, lớp 9, 2009-2010)

Cho tam giác đều thứ nhất cạnh a có diện tích là S1, nối trung điểm các cạnh

của tam giác đều thứ nhất ta được tam giác đều thứ hai có diện tích là S2, nối

trung điểm các cạnh của tam giác đều thứ hai ta được tam giác đều thứ ba có

diện tích là S3. Làm tương tự ta được tam giác đều thứ n có diện tích là Sn.

1) Lập công thức tính S = S1+S2+ … +Sn theo a.

2) Áp dụng: Tính S với n = 20; a = 301cm.

Bài 3.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, lớp 9, 01.12. 2006)

Cho dãy số unn

1 1 1 11 1 1 1

2 4 8 2

.

Tính u5 (chính xác) và u10, u15, u20 (gần đúng).

Bài 3.6 (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế, Trung học Cơ sở, 01.02. 2007)

Tính tổng: 1 2 99 100

.S ...2.3 3.4 100.101 101.102

Lấy nguyên kết quả hiện trên màn hình.


Tính giá trị của biểu thức

24 20 16 4

26 24 22 2

(8,18012004) (8,18012004) (8,18012004) ... (8,18012004) 1.

(8,18012004) (8,18012004) (8,18012004) ... (8,18012004) 1A


Tính tổng

2 21!.3 2!.7 3!.13 ... !( 1) ... 12!(12 12 1).S k k k


42

Cho 1 1 1 1

... .1.3.5 3.5.7 5.7.9 2003.2005.2007

S

1) Tính gần đúng .S

2) Tính đúng S (biểu diễn dưới dạng phân số).


Cho dãy nu xác định bởi:

1 2 3

1 1 1 1 1 1; ;

1.3.5 1.3.5 3.5.7 1.3.5 3.5.7 5.7.9

1 1 1... ( 1,2,3..)

1.3.5 3.5.7 (2 1)(2 1)(2 3)n

u u u

u nn n n

1) Lập qui trình bấm phím để tính số hạng tổng quát .nu

2) Tính đúng giá trị 50 60, .u u

3) Tính đúng 1002.u

Bài 3.11 (Bộ Giáo dục và đào tạo, Trung học Cơ sở, 11.3.2011)

Tính giá trị của biểu thức sau

1 1 1 1... .

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2011.2012.2013.2014C

Bài 3.12 (Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, lớp 12 THPT 19.10.2011)

Gọi Sn = 1 1 1

1 ...2 3 n

với n N.

Chứng minh: 2 2 2 2

1 2 3

1 1 1 1... 2.

2 3 nS S S nS

Bài 3.13 (Phòng GD và ĐT huyện Bố Trạch, Quảng Bình, lớp 9, 4.7.2008)

Tính

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 ... 1 ...

2 2 3 2 3 4 2 3 4 10S

chính xác đến 4 chữ số thập phân.

Bài 3.14 (Chọn đội tuyển thi khu vực, Sở GD và ĐT Lâm Đồng, 2004)

Cho 1 2 3 100k a a a a và 2 2

2 1.

( )k

ka

k k

Tính .k

43

CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN VỚI MA TRẬN VÀ GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ngoài các chương trình tính toán với ma trận như các máy tính

khác (Vinacal 500 MS, Vinacal 570 MS,...), Vinacal 570 ES Plus

có cài đặt chương trình tính toán với ma trận cấp bốn. Đây là một

trong những tính năng vượt trội của Vinacal 570 ES Plus. Tính

toán ma trận là một kiến thức toán học không thể thiếu cho mỗi

sinh viên và kĩ sư. Với học sinh phổ thông, tính toán ma trận rất

cần thiết trong giải hệ phương trình bậc nhất (đến bốn ẩn) không

chỉ trong toán mà còn trong hóa học,... Ma trận cũng quan trọng

trong chương trình hình giải tích và vật lí.

Trước tiên chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản về ma trận.

§1 Các khái niệm cơ bản của đại số ma trận

Định nghĩa 1.1 Ma trận cấp m n là một bảng chữ nhật, gồm

m n số thực (hoặc phức) được sắp xếp theo m hàng và n cột:

1.

11 12 1 1 1

21 22 2 1 2

1 2 1

...

....

... ... ... ... ...

...

n n

n n

m n

m m mn mn

a a a a

a a a aA

a a a a

Các số , 1,2,..., ; 1,2,...,ij

a i m j n được gọi là các phần tử của

ma trận.

Nếu không cần thiết chỉ ra số hàng và số cột, thay vì viết mn

A hay

,m n

A

người ta chỉ viết ma trận .A Người ta cũng hay kí hiệu

,ijA a 1,..., ; 1,..., .i m j n

44

Định nghĩa 1.2 Ma trận chuyển vị của ma trận ,mn

A là ma trận

,T

mnA nhận được khi ta chuyển hàng thành cột và chuyển cột thành

hàng (T là dấu chuyển vị-Transpose).

Thí dụ 1.1

1 2 3 4

2 1 0 5 ,

4 3 2 1

A

1 2 4

2 1 3.

3 0 2

4 5 1

TA

Các phép toán trên ma trận

Nhân một số với một ma trận A được một ma trận mới A

với các phần tử tương ứng là .ij

a

Tính chất:

1) .A A 2) .A A A

Tổng của hai ma trận mn ijA a và mn ij

B b cùng cấp là một

ma trận mn ijC c có các phần tử là tổng của các phần tử tương

ứng của mn

A và :mn

B .mm mn mn

c a b

Tính chất:

1) .mn mn mn mn mn mn mn mn mn

A B C A B C A B C

2) .mn mn mn mn

A B A B

Tích của hai ma trận mn ijA a và nk ij

B b là một ma trận

mk ijC c có các phần tử là tích của các phần tử tương ứng của

dòng thứ i của ma trận mn

A với các phần tử tương ứng của cột thứ

j của ma trận :mn

B 1

, 1,..., ; 1,..., .n

ij ip pjp

c a b i m j k

Ta viết: C A B hoặc .C AB

Thí dụ Cho

45

1 2 3 4

2 1 0 5

4 3 2 1

A

,

1 1

2 3

3 1

4 2

B

.

111 1 2 2 3 3 4 4 22;c

121 1 2 3 3 1 4 2 6;c

212 1 1 2 0 3 5 4 20;c

222 1 1 3 0 1 5 2 9;c

314 1 3 2 2 3 1 4 20;c

324 1 3 3 2 1 1 2 17.c

Vậy

22 6

20 9 .

20 17

C

Một số tính chất của tích hai ma trận

Tính chất 1 .mn nk kl mn nk kl mn nk kl

A B C A B C A B C

Tính chất 2) .T T TAB B A

Tính chất 2a) Phép nhân trái: .mn mn nk mn nk nk nk

A B C A C B C

Tính chất 2b) Phép nhân phải: .mn nk nk mn nk mn nk

A B C A B A C

Chú ý Phép nhân hai ma trận AB chỉ thực hiện được khi kích

thước của hai ma trận A và B là tương thích, tức là số dòng của

A phải bằng số cột của .B Vì vậy, phép nhân hai ma trận nói

chung không có tính chất giao hoán ,AB BA thậm chí AB

(hoặc BA ) có nghĩa, nhưng BA (hoặc AB ) không có nghĩa.

Ma trận vuông

Một lớp ma trận quan trọng là lớp ma trận vuông ,nn

A khi số hàng

bằng số cột. Số m n được gọi là cấp hay kích thước của ma trận.

46

Ngoài các phép toán chung của ma trận, ma trận vuông còn có

những khái niệm và tính chất quan trọng sau đây.

Định thức của ma trận vuông

Định thức của ma trận vuông là một số, được kí hiệu là det A

(determinant) hay A . Để dễ hiểu, ta xét các định thức của ma trận

vuông cấp 2 và cấp ba.

Định thức của ma trận vuông cấp hai 11 12

21 22

a aA

a a

là một số

được tính theo công thức 11 22 21 12

det .A a a a a

Định thức của ma trận vuông cấp ba

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

là một

số được tính theo công thức

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 23

11 22 33 11 32 23 12 21 33 12 31 23 13 21 23 13 31 22

det

.

a a a a a aA a a a

a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Như vậy, định thức của ma trận vuông cấp ba A được tính bằng

cách khai triển theo một dòng (hoặc một cột): lấy phần tử của dòng

(với dấu cộng hoặc trừ thay đổi liên tiếp, bắt đầu là phần tử 11

a với

dấu cộng) nhân với định thức của ma trận cấp hai bù với phần tử

ấy (nghĩa là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách xóa các

dòng và cột chứa phần tử ij

a ).

Định thức của ma trận vuông cấp bốn được tính tương tự:

47

11 12 13 14

22 23 24 21 23 24

21 22 23 24

11 32 33 34 12 31 33 34

31 32 33 34

42 43 44 41 43 44

41 42 43 44

21 22 24 21 22 23

13 31 32 34 14 31 32 33

41 42 44 41 42 43

det

.

a a a aa a a a a a

a a a aa a a a a a a a

a a a aa a a a a a

a a a a

a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a

Ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông n

A là ma trận vuông n

B

sao cho ,n n n n n

A B B A I trong đó n

I là ma trận đơn vị (ma trận

gồm tất cả các phần tử trên đường chéo bằng 1 và tất cả các phần

tử ngoài đường chéo bằng 0),

1 0 ... 0 0

0 1 0 ... 0

.... ... ... ... ...

0 0 ... 1 0

0 0 ... 0 1

nI

Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A thường được kí hiệu là 1.A

Như vậy, 1 1 .AA A A I

Định lí 2.1 Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi

det 0.A

Có một số phương pháp và công thức tính ma trận nghịch đảo mà ở

đây không trình bày. Bạn đọc có thể học tính toán ma trận (tính ma

trận nghịch đảo, tính định thức,...) và giải hệ phương trình tuyến

tính nói riêng, Đại số tuyến tính nói chung theo cuốn sách:

48

Lê Tuấn Hoa: Đại số tuyến tính qua các ví dụ & bài tập, Trong Bộ

sách Toán cao cấp-Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

Hà Nội, 2005.

§2 Tính toán ma trận trên CASIO fx-570VN PLUS

Nói chung tính toán với ma trận, ngay cả các phép toán đơn giản

nhất (nhân hai ma trận), cũng mất nhiều thời gian làm các phép

toán nhân và cộng, vì vậy dễ nhầm lẫn, chưa nói đến những tính

toán phức tạp hơn (tính định thức, tính ma trận ngược,...). Máy có

thể thay ta thực hiện các thao tác này nhanh gọn và chính xác.

CASIO fx-570VN PLUS có thể tính toán ma trận đến cấp bốn. Đây

là một trong những tính năng vượt trội CASIO fx-570VN PLUS.

2.1 Khai báo các ma trận Mở máy và vào chương trình tính toán

với ma trận nhờ bấm phím ON MODE 6 . Màn hình hiện:

Matrix?

1:MatA 2: MatB

3: Mat C

Nghĩa là, ta có thể khai báo và làm việc với ba ma trận (matrix).

Muốn khai báo ma trận A thì bấm phím 1 . Màn hình hiện

MatrixA ?m n m n

1: 3 3 2: 3 2

3: 3 1 4: 2 3

5: 2 2 5: 2 1

Nếu bấm phím thì trên màn hình xuất hiện

MatrixA ?m n m n

1: 1 3 2: 1 2

49

3: 1 1

Tức là, có thể khai báo ma trận A với tất cả 9 kích thước từ 1 1

đến 3 3. Cần khai báo ma trận với kích thước nào, ta bấm vào số

tương ứng. Thí dụ, khi bấm số 1 trong ma trận 3 3 , màn hình sẽ

hiện các ô của ma trận A để ta khai báo.

Để khai báo ma trận

1 2 3

4 2 1

0 5 4

A

, ta làm như sau.

Mở máy: ON Vào chương trình ma trận: MODE 6

Khai báo ma trận :A 1 Khai báo số chiều của A là 3 3: 1

Khai báo các hệ số của :A

1 2 3 4 2 1 0 5 4

Sau khi khai báo ma trận ,A ta bấm SHIFT 4 để tiếp tục khai

báo ma trận B . Bấm SHIFT 4 , màn hình hiện:

1: Dim 2: Data

Bấm phím 2 (Data-Dữ liệu). Màn hình hiện:

Matrix?

1: MatA 2: MatB

3: MatC

Bấm phím 2 để chuẩn bị khai báo ma trận

1 1

2 3

3 1

B

có số

chiều là 3 2 . Màn hình hiện:

50

MatrixB ?m n m n

1: 3 3 2: 3 2

3: 3 1 4: 2 3

5: 2 2 5: 2 1

Bấm phím 2 , tức là khai báo B có số chiều là 3 2. Màn hình

hiện bảng ma trận. Khai báo các hệ số của ma trận :B

1 1 2 3 3 1

Bấm phím AC để đưa màn hình về chế độ tính toán ma trận. Sau

đó bấm phím SHIFT 4 , màn hình hiện:

1: Dim 2: Data

3: MatA 4: MatB

5: Mat C 6: MatAns

7: Det 8: Trn

Muốn tính gì, ta phải sử dụng bảng này. Thí dụ, tính tích AB của

hai ma trận A và :B Bấm phím 3 (gọi ma trận A )

SHIFT 4 (trở về tính toán với ma trận). Bấm phím 4 (gọi

ma trận B ). Màn hình hiện

MatAMatB

0

51

Bấm phím được kết quả:

Ans

22 2

5 9 .

22 19

6

Muốn làm việc khác ta phải bấm phím AC SHIFT 4 để trở về

bảng tính toán ma trận và tiếp tục thực hiện tính toán.

Thí dụ 2.1 Nhân ma trận B với một số, thí dụ, với 5, ta phải:

Bấm phím 4 (gọi ma trận B ) rồi bấm phím 5 được kết quả:

2.

Ans

3 5

10 15

15 5

.

Kết luận Với Viacal 570 ES Plus, ta có thể làm việc với các ma

trận cấp ,m n trong đó , 1,2,3,4.m n Các máy khác chỉ cho

phép tính toán ma trận không quá cấp 3 3.

Bài tập

Bài 1.1 Tính tổng các ma trận (bằng tay)

Cho

1 3 4 7,

2 5 6 3A

1 2 4 2,

5 3 4 2B

3 2 2 5

4 3 4 1C

Tính ,A B 2 3 ,A B C 3 2 2 .A B C

Bài 2 Tính tích các ma trận AB và T TB A (bằng tay). So sánh kết

quả, biết

52

1 3 4 7;

2 5 6 3A

1 3 4 7

2 5 6 3

2 1 2 1

1 4 1 2

B

.

Bài 3 Tính các định thức bậc ba (bằng tay và trên máy):

1)

2 1 2

5 3 2

2 4 1

; 2)

4 1 1

2 2 1

1 3 2

; 3)

2 3 2

1 2 3

4 2 3

; 4)

5 3 1

2 1 1

1 3 2

.

Bài 4 Tính các định thức bậc bốn (bằng tay):

1)

1 2 3 4

4 3 2 1

1 2 2 1

3 2 1 2

; 2)

4 1 2 2

2 2 1 1

3 2 3 1

4 3 2 1

; 3)

5 4 3 2

1 2 5 3.

3 1 4 3

2 1 1 2

§3 Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình dạng

0.ax b (1)

Biện luận

Nếu 0a thì phương trình có duy nhất một nghiệm .b

xa

Nếu 0a thì:

Nếu 0b thì phương trình (1) không có nghiệm.

Nếu 0b thì mọi số thực x là nghiệm của (1).

§4 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trên CASIO fx-570VN

PLUS

53

1 1 1

2 2 2

(1)

(2)

a x b y c

a x b y c

(I)

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta sÏ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn b»ng çch dïng ph¬ng ph¸p thÕ ®Ó ®a

vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt.

NÕu 1 0b th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt

1 1a x c , theo Môc 1 ta cã thÓ biÖn luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (tõ

®ã, biện luận nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh) cã nghiÖm hay kh«ng.

Do ®ã ta gi¶ sö 1 0.b

Rót y theo x tõ ph¬ng tr×nh (1):

1 1

1

c a xy

b

(3)

vµ thay vµo ph¬ng tr×nh (2), ta ®îc:

1 12 2 2

1

c a xa x b c

b

hay ta ®îc mét ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi x :

1 2 2 1 1 2 2 1( ) .a b a b x c b c b (4)

Cã thÓ x¶y ra çc trêng hîp sau:

1) 1 2 2 1 0D a b a b . Khi Êy

1 2 2 1

1 2 2 1

xDc b c bx

a b a b D

,

Thay vµo (3) ta ®îc:

1 1 2 2 11

1 1 1 2 2 1 1 2 2 1

1 1 1 2 2 1

( )

y

a c b c bc

Dc a x a b a b a c a cy

b b a b a b D

VËy hÖ ph¬ng tr×nh (I) cã duy nhÊt mét nghiÖm:

54

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

;

,

x

y

Dc b c bx

a b a b D

Da c a cy

a b a b D

trong ®ã

1 2 2 1xD c b c b , 1 2 2 1yD a c a c vµ 1 2 2 1 0D a b a b .

2) NÕu 1 2 2 1 0D a b a b vµ 1 2 2 1 0xD c b c b th× (4) v«

nghiÖm, suy ra (I) v« nghiÖm.

3) NÕu 1 2 2 1 0D a b a b vµ 1 2 2 1 0xD c b c b th× mäi x lµ

nghiÖm cña (4), suy ra (I) cã v« sè nghiÖm d¹ng:

1 1

1

c a xy

b

, x bÊt kú .

NhËn xÐt NÕu

1 2 2 1 0D a b a b vµ 1 2 2 1 0xD c b c b

th×

1 2 2 1 0yD a c a c , hay 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c .

Giải hệ phương trình bậ nhất hai ẩn theo chương trình đã được cài

đặt sẵn trong CASIO fx-570VN PLUS

Ghi nhí Muèn gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cµi ®Æt s½n trong

m¸y CASIO fx-570VN PLUS, tríc hÕt ta ph¶i viÕt hÖ ®ã díi d¹ng

chÝnh t¾c

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

Sau ®ã bấm dãy phím MODE 5 1 ®Ó vµo ch¬ng tr×nh gi¶i hÖ

ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn.

55

Lần lượt khai báo các hệ số cña ph¬ng tr×nh nh sau: khai b¸o hÕt ba hÖ

sè cña ph¬ng tr×nh ®Çu th× khai b¸o tiÕp ba hÖ sè cña ph¬ng tr×nh sau

theo ®óng thø tù, các hệ số ngăn cách nhau bởi phím = . Çc hÖ sè cÇn

®a vµo m¸y còng ph¶i cã d¹ng chÝnh t¾c ®· nªu trong ghi nhí trªn; mµn

h×nh hiÖn lÇn lît bảng các hệ số.

NÕu hÖ ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i cã nghiÖm duy nhÊt th× sau khi ®a ®ñ

çc hÖ sè vµo m¸y, mµn h×nh hiÖn gi¸ trÞ (®óng hoÆc gÇn ®óng) cña Èn

x . Sau khi bấm tiÕp = , mµn h×nh hiÖn gi¸ trÞ cña Èn y .

NÕu hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm th× m¸y trả lời: No-Solution (không có

nghiệm).

Nếu hệ có vô số nghiệm thì máy trả lời infinite Solution (vô số nghiệm).

ChuyÓn sang gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh¸c b»ng çch bấm phím = .

Tho¸t khái ch¬ng tr×nh b»ng çch trở về MODE 1 .

Bµi 4.1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

1031923

251713

yx

yx

Gi¶i: §Ó gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ta vµo MODE 5 1 .

Khai báo các hệ số:

13 = 17 = ( ) 25 = 23 = ( ) 19 = 103 =

Bấm phím: = (Kết quả: X=2)

Bấm tiếp phím: = (Kết quả: Y= -3)

Çch 2 Dïng thuËt to¸n ®Ó gi¶i trùc tiÕp.

Bíc 1. TÝnh 1 1

1 2 2 1

2 2

a bD a b a b

a b :

13 ( ) 19 17 23 (-638) SHIFT STO M

56

Bíc 2: TÝnh

1 1

2 2 1 2 2 1x

c b

c bD c b c bx

D D D

:

( ) 25 ( ) 19 103 17 ALPHA M (2.000)

TÝnh

1 1

2 2 1 2 2 1y

a c

D a c a c a cy

D D D

:

13 103 23 ( ) 25 ALPHA M (-3.000)

§¸p sè: 2

y=-3

x


1,372 4,915 3,123

8,368 5,214 7,318

x y

x y

Gi¶i (Gi¶i trùc tiÕp)

Bíc 1. TÝnh 1 1

1 2 2 1

2 2

a bD a b a b

a b :

1.372 5.214 8.368 ( ) 4.915

(48.28232800) SHIFT STO M

Bíc 2: TÝnh

1 1

2 2 1 2 2 1x

c b

c bD c b c bx

D D D

:

3.123 5.214 7.318 ( ) 4.915 (52.25129200)

ALPHA M (1.082203244)

TÝnh

1 1

2 2 1 2 2 1y

a c

D a c a c a cy

D D D

:

57

1.372 7.318 8.368 3.123 (-16.09296800)

ALPHA M (-0.333309695)

Çch gi¶i 2 (tính trên máy)

1.372 ( ) 4.915 3.123 8.468 5.124 7.318

(KÕt qu¶: 1.082203244) Bấm tiếp: (KÕt qu¶: -0.333309695)

§¸p sè: 1.082203244

y=-0.333309695

x


13,241 17,436 25,168

23,897 19,372 103,618

x y

x y

Gi¶i Khai báo các hệ số:

13.241 17.436 ( ) 25.168 23.897 ( ) 19.372 103.618

(KÕt qu¶: X=1.959569759) (KÕt qu¶: Y=-2.931559026)

VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm lµ: x1.95957, y -2.93156.

Bµi 4.4 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

3,6518 5,8426 4,6821

1,4926 6,3571 2,9843

x y

x y

Bíc 1. TÝnh 1 1

1 2 2 1

2 2

a bD a b a b

a b :

3.6518 6.3571 1.4926 ( ) 5.8426 (31.93552254) SHIFT

STO A

Bíc 2: TÝnh

1 1

2 2 1 2 2 1x

c b

c bD c b c bx

D D D

:

4.6821 6.3571 ( ) 2.9843 ( ) 5.8426 ALPHA A

(0.386043683)

58

TÝnh

1 1

2 2 1 2 2 1y

a c

D a c a c a cy

D D D

:

3.6518 ( ) 2.9843 1.4926 4.6821 ALPHA A

( -0.560083812)

§¸p sè: 0.3860

0.5601

x

y

Bµi 4.5 NÕu x vµ y tháa m·n hÖ ph¬ng tr×nh

83249 16571 108249

16571 83249 41751

x y

x y

th× x

y b»ng (chọn đáp số đúng):

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 5.

Gi¶i: Vào chương trình giải hệ phương trình: MODE 5 1

83249 16751 108249 16751 83249 41751

(KÕt qu¶: 1

14

) (KÕt qu¶: 1

4)

VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm lµ: x=1

14

, y=1

4. Tû sè

x

y b»ng 5.

§¸p sè (E) ®óng.

Bài 4.6 Giải hệ phương trình

o

15 12 2008

sin120 os15o

x y

x y c

§5 Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn trên CASIO fx-570VN

PLUS

Ghi nhí: Muèn gi¶i hÖ ba ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn, tríc hÕt ta ph¶i

viÕt hÖ ®ã díi d¹ng chÝnh t¾c:

59

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

Sau khi bấm phím MODE 5 2 (vµo ch¬ng tr×nh gi¶i hÖ ba ph¬ng

tr×nh bËc nhÊt ba Èn), ta ®a dÇn dÇn çc hÖ sè cña hÖ ph¬ng tr×nh vµo

m¸y t¬ng tù nh ®èi víi hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn.

Ghi kÕt qu¶ vµ tho¸t khái ch¬ng tr×nh nµy còng t¬ng tù nh ®èi víi hÖ

hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn.

Bµi 5.1 Giải hệ phương trình

2 3 26

2 3 24

3 2 39

x y z

x y z

x y z

TÝnh trªn m¸y: MODE 5 2

1 2 3 26 2 3 1 24 3 2 1 39

(KÕt qu¶: 151

12X ) (KÕt qu¶:

29

12Y ) (KÕt qu¶:

73

12Z ).


2 1 2 1. 0. 1

3 1 0. 3 1. 1

4 1 1. 0. 4 1

x y x y z

y z x y z

x z x y z

MODE 5 2 2 1 0 1 0 3 1 1 1 0 4 1

(KÕt qu¶: 9

25X ) (KÕt qu¶:

7

25Y ) (KÕt qu¶:

4

25Z )


2 1

3 1

4 1

x y

y z

z x

Giải

60

2 1 2 0. 1

3 1 0. 3 1

4 1 0. 4 1

x y x y z

y z x y z

x z x y z

TÝnh trªn m¸y: Vµo ch¬ng tr×nh hệ ba phương trình bậc nhất

MODE 5 2

Khai báo các hệ số và giải:

2 ( ) 1 0 1 0 3 ( ) 1 1 ( ) 1 0 DATA 4 1

(KÕt qu¶: 17

23X ) (KÕt qu¶:

11

23Y ) (KÕt qu¶:

10

23Z ).


2 5 13 1000

3 3 9

6 8 5 600

x y z

x z y

y z x

Giải

2 5 13 1000

3 3 9

6 8 5 600

x y z

x z y

y z x

2 5 13 1000 2 5 13 1000

3 9 3 0 3 0

5 6 8 600 5 6 8 600

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z


MODE 5 2

Khai báo hệ số và giải:

61

2 5 ( ) 13 1000 3 ( ) 9 3 0 5 ( ) 6 ( ) 8

600

(KÕt qu¶: X=1200 ) (KÕt qu¶: Y=500) (KÕt qu¶: Z=300)

§¸p sè: 1200; 500; 300x y z .


1

3

1

3

110

3

x y z

y z x

z y

Giải

10

3

10

3

110

3

x y z

x y z

y z

3 3 0

3 3 0

0. 3 30

x y z

x y z

x y z


MODE 5 2


3 ( ) 3 ( ) 1 0 1 ( ) 3 3 0 0 ( ) 1 3 10

(KÕt qu¶: X=45) (KÕt qu¶: 75

2Y ) (KÕt qu¶:

45

2Z ).

Bµi 5.6 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

3 2 30

2 3 30

2 3 30

x y z

x y z

x y z

Gi¶i: TÝnh trªn m¸y: Vµo ch¬ng tr×nh hệ ba phương trình bậc nhất

62

MODE 5 2


3 1 2 30 2 3 1 30 1 2 3 30

(KÕt qu¶: X=5) (KÕt qu¶: Y=5) (KÕt qu¶: 5)

Çch 2 (lµm to¸n): NhËn xÐt r»ng ba ph¬ng tr×nh nµy ®èi xøng (ho¸n vÞ

vßng quanh , , x y z çc ph¬ng tr×nh kh«ng thay ®æi). Do ®ã ph¬ng

tr×nh cã nghiÖm .x y z Céng çc ph¬ng tr×nh l¹i, ta ®îc:

6( ) 90 x y z hay 15 x y z . Suy ra =5x y z .

§¸p sè: x y z =5.

Lêi b×nh: Lµm to¸n hay h¬n.


4

5

31

x y

x y z

x y z

Gi¶i: TÝnh trªn m¸y: Vµo ch¬ng tr×nh hệ ba phương trình bậc nhất

MODE 5 2


63

1 ( ) 1 0 ( ) 4 1 1 1 5 1 1 ( ) 1 31 (

KÕt qu¶: X=7) (KÕt qu¶: Y=11) (KÕt qu¶: Z= -13)

§¸p sè: 7, 11, -13 x y z .

Bµi 5.8 Giải hệ phương trình:

122

123

124

y zx

x zy

x yz

Giải

122

123

124

y zx

x zy

x yz

2 24

3 36

4 48

x y z

x y z

x y z


MODE 5 2


2 1 1 24 1 3 1 36 1 1 4 48

(KÕt qu¶: 60

17X ) (KÕt qu¶:

132

17Y ) (KÕt qu¶:

156

17Z )

§¸p sè: 9

317

x ; 3

7 7,76470588217

y ; 3

917

z .

Bài 5.9 Giải hệ phương trình

4 5 2 5;

3 2 4 8;

3 5 10.

x y z

x y z

x y z

64

Bài 5.10 Giải các hệ phương trình bậc nhât ba ẩn sau đây (bằng tay và

trên máy)

1)

2 3 1,

3 5 2 8,

2 3 1.

x y z

x y z

x y z

2)

2 5 2 7,

2 4 3,

3 4 6 5.

x y z

x y z

x y z

Bài 5.10 Giải các hệ phương trình bậc nhât ba ẩn sau đây:

1)

2 3 1,

3 5 2 8,

2 3 1.

x y z

x y z

x y z

2)

2 5 2 7,

2 4 3,

3 4 6 5.

x y z

x y z

x y z

§6 Giải phương trình bậc hai trên CASIO fx-570VN PLUS

Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng

2 0ax bx c ( 0a ).

Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai

Đưa tam thøc bËc hai vÒ d¹ng b×nh ph¬ng cña tæng nh sau: 2

2 2 2

2

2

2

4( ) ( ) [( ) ]

2 4

[( ) ].2 4

b c b b acf x ax bx c a x x a x

a a a a

ba x

a a

Trêng hîp 1: 2 4 0b ac . Khi Êy

2

2

1 2

( ) [( ) ] ( )( )2 2 24

( )( ).

b b bf x a x a x x

a a aa

a x x x x

Ph¬ng tr×nh cã hai nghiệm thực phân biệt:

12

bx

a

vµ 2

2

bx

a

.

65

Trêng hîp 2: 2 4 0b ac . Khi Êy nếu 0a thì ( ) 0f x

víi mäi x vµ ( ) 0f x khi vµ chØ khi 2

bx

a . Tương tự, nếu

0a thì ( ) 0f x với mọi x và ( ) 0f x khi và chỉ khi 2

bx

a .

Ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm duy nhÊt 1 22

bx x

a .

Trêng hîp 3: 2 4 0b ac . Khi Êy ( ) 0f x víi mäi x .

Ph¬ng tr×nh bËc hai không có nghiệm thực (có hai nghiệm phức liên

hợp 1,22

b ix

a

).

Bµi 6.1 Gi¶i ph¬ng tr×nh:

22,354 1,542 3,141 0x x .

Gi¶i. Ta dïng thuËt to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ë trªn (qua c«ng thøc

nghiÖm):

Bíc 1. TÝnh 2 4b ac :

1.542 2x 4 2.354 3.141 Ans

(5.652735621) SHIFT STO M

Bíc 2. TÝnh 1x : 1.542 ALPHA M 2 2.354

(-0.873131384072)

TÝnh 2x : 1.542 ALPHA M 2 2.354 ( 1.528193632)

§¸p sè: 1 0.87313138407x ; 2 1.528193632x

Bµi 6.2 Gi¶i ph¬ng tr×nh

21,9815 6,8321 1,0581 0x x

Gi¶i Bíc 1. TÝnh 2 4b ac :

6.8321 SHIFT 2x 4 1.9815 1.0581 Ans

(6.187979461) SHIFT STO A

66

Bíc 2. TÝnh 1x : 6.8321 ALPHA A 2 1.9815

(-0.162533570)

TÝnh 2x : 6.8321 ALPHA A 2 1.9815

(-3.285409907)

§¸p sè: 1 -0.162533570x ; 2 -3.285409907x

Bµi 6.3 Gi¶i ph¬ng tr×nh:

22.3541 7.3249 4.2157 0x x

Bíc 1. TÝnh 2 4b ac :

7.3249 2x 4 2.3541 4.2157

Ans (3.735966077) SHIFT STO A

Bíc 2. TÝnh 1x : 7.3249 ALPHA A 2 2.3541 (-

0.7622730391)

TÝnh 2x : 7.3249 ALPHA A 2 2.3541

(-2.349277022)

§¸p sè: 1 -0.762273039x ; 2 -2.349277022x

Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai theo ch¬ng tr×nh cài đặt s½n trong m¸y

CASIO fx-570VN PLUS

Ghi nhí: §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai theo ch¬ng tr×nh cã s½n trong

m¸y CASIO fx-570VN PLUS, tríc hÕt ph¶i

Vµo ch¬ng tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai: Bấm phím

MODE 5 3 .

Khai báo các hệ số.

Bấm phím để = được nghiệm thứ nhất. Bấm phím = để

được nghiệm thứ hai.

67

Bấm tiếp phím = , máy sẽ thông báo: X-Value Minimum=,

nghĩa là hoành độ của điểm cực trị (cực tiểu hoặc cực đại, hoành

độ parabol).

Bấm tiếp phím = , máy sẽ thông báo: Y-Value Minimum=,

nghĩa là tung độ của điểm cực trị (giá trị cực tiểu hoặc cực đại,

tung độ parabol).

Muèn gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai kh¸c, chØ cÇn bấm phím = và khai báo

các hệ số của phương trình mới (không cần vào lại MODE 5 3 .

Tho¸t ch¬ng tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai b»ng çch bấm

MODE 1 .


21,85432 3,21458 2,45971 0x x .

Gi¶i Vµo ch¬ng tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai: MODE 5 3

Khai b¸o çc hÖ sè: 1.85432 = ( ) 3.21458 = ( ) 2.45971 =

= ( 2.308233881) = ( 0.5746711736 )

= (X-Value Minimum=0.8667813538)

= (Y-Value Minimum=-3.852879002)

§¸p sè: 1 2.308233881;x 2 0.5746711736.x

Bµi 6. 5 Gi¶i ph¬ng tr×nh

21,23785 4,35816 6,98753 0x x .

Gi¶i Vì ta đang ở MODE giải phương trình bậc hai nên ta chỉ cần khai

báo các hệ số:

1.23785 = 4.35816 = 6.98753 = ( 1 1.196618891x )

68

Bấm phÝm tiÕp: = ( 2 4.717368578x ) = (X-Value Minimum=-

1.760374843) = (Y-Value Minimum=-10.82352761)

§¸p sè: 1 1.196618891x , 2 4.717368578x .


273 47 25460 0x x

Gi¶i 73 = ( ) 47 = 25460 = (KÕt qu¶: 1 19X )

Bấm tiÕp phÝm: = (KÕt qu¶: 2

1340

73X )

Chú ý Nếu 2 4 0b ac phương trình bậc hai có hai nghiệm

phức. Máy cũng tính cho ta hai nghiệm phức ấy.

Bài 6.7 Gi¶i ph¬ng tr×nh

2 2 0x x

Gi¶i 1 = ( ) 1 = 2 = (KÕt qu¶: 1 1 2X i )

Bấm tiÕp phÝm: = (KÕt qu¶: 2 1 2X i )

§7 Giải phương trình bậc ba trên CASIO fx-570VN PLUS

Chú ý Cũng như phương trình bậc hai, nếu phương trình bậc ba có

nghiệm phức, thì đáp số được cho dưới dạng số phức thông thường.

§8 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn

Định nghĩa 1 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn là hệ phương trình

11 1 12 2 13 3 14 4 1

21 1 22 2 23 3 24 4 2

31 1 32 2 33 3 34 4 3

41 1 42 2 43 3 44 4 4

,

,

,

,

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

(1)

69

trong đó , 1,2,3,4i

x i là các ẩn (các số cần tìm), , 1,2,3,4i

b i là

các hệ số tự do, , 1,2,3,4; 1,2,3,4ij

a i j là các hệ số.

Cách giải 1 (Phương pháp Gauss) Một trong những cách giải hệ

(1) đơn giản nhất là phương pháp Gauss đưa hệ (1) về dạng tam

giác trên (hoặc tam giác dưới)

11 1 2 3 4 1

21 1 22 2 3 4 2

31 1 32 2 33 3 4 3

41 1 42 2 43 3 44 4 4

0 0 0 ,

0 0 ,

0 ,

,

A x x x x B

A x A x x x B

A x A x A x x B

a x a x a x a x b

(2)

nhờ phép cộng đại số.

Để làm được điều này, ta phải nhân phương trình cuối với các hệ

số tương ứng và cộng với ba phương trình trên để được dạng

11 1 12 2 13 3 4 1

21 1 22 2 23 3 4 2

31 1 32 2 33 3 4 3

41 1 42 2 43 3 44 4 4

0 ,

0 ,

0 ,

,

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x a x b

(3)

Tiếp tục làm như vậy cho hệ

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

,

,

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(4)

ta sẽ đi đến hệ (2).

Từ phương trình đầu của hệ (2) ta suy ra 1

1

11

Bx

A (khi

110A ).

Bằng phương pháp thế, lần lượt từ phương trình thứ hai, thứ ba,

thứ tư, ta tìm được nốt các nghiệm 2 3 4, , .x x x

Quá trình này nếu làm bằng tay sẽ mất khá nhiều thời gian (và dễ

nhầm lẫn). Vì vậy nó đã được lập trình và giải tự động trên máy.

70

Hệ (2) cũng cho phép chúng ta biện luận phương trình, tức là chỉ ra

với hệ số bằng chữ, khi nào hệ (1) có duy nhất nghiệm, không có

nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

Chú ý Tư tưởng chung của phương pháp Gauss là đưa hệ phương

trình bốn ẩn về ba ẩn, đưa hệ ba ẩn về hai ẩn, và đưa hệ hai ẩn về

một ẩn. Trong một số bài tập, có thể chỉ sau một bước, ta đã đưa hệ

bốn ẩn về hệ hai ẩn. Khi ấy ta bỏ qua một bước biến đổi.

Thí dụ 8.1 Giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn

2 2 2,

4 3 2 3,

8 5 3 4 6,

3 3 2 2 3.

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

Giải Nhân phương trình đầu với 2, 4, 2 rồi cộng tương ứng

với các phương trình sau ta được:

2 2 2,

4 3 2 3,

8 5 3 4 6,

3 3 2 2 3.

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

.

2 2 2,

0 0 1,

0 3 0 2,

0 0 1.

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

Ta có ngay hệ hai ẩn 1,

3 2.

y z

y z

Giải hệ này ta được 1

2y và

1.

2z Thay vào phương trình

cuối ta được 1

.2

x Thay vào phương trình đầu ta được 1

.2

t

Đáp số: 1 1 1 1

; ; ; .2 2 2 2

x y z t

Giải hệ bốn phương trình bậc nhất bốn ẩn trên CASIO fx-

570VN PLUS

71

CASIO fx-570VN PLUS không được cài đặt chương trình giải hệ

phương trình bậc nhất bốn ẩn. Vì vậy ta phải đưa về hệ phương

trình ba ẩn và giải như trong Mục 5.

Thí dụ 8.2 Giải hệ phương trình bậc nhất sáu ẩn

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5 6

5 6

2 1,

2 1,

2 1,

2 1,

2 1,

2 1.

x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

Cách giải 1 (Khéo léo) cộng tất cả các phương trinh, ta được

1 66x x hay

1 66 .x x Lần lượt thay vào các phương trình từ

trên xuống, ta được

2 1 61 2 11 2 ;x x x

3 1 2 62 1 15 3 ;x x x x

4 2 3 62 1 18 4 ;x x x x

5 3 4 62 1 20 5 .x x x x

Suy ra

63;x

5 620 5 5;x x

4 618 4 6;x x

3 615 3 6;x x

2 611 2 5;x x

1 66 3.x x

Lời bình Cách giải 1 (làm toán) hay, không cần máy tính. Tuy

nhiên, Cách giải này đòi hỏi phải nhận xét tinh tế về tính đối xứng

của hệ. Làm toán hay hay làm tính hay? Cả hai đều hay!

Bài tập

Bài 8.1 Giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn

72

2 2 2,

4 3 2 3,

8 5 3 4 6,

3 3 2 2 3.

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

Bài 8.2 Giải hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn

3 2 5 3,

4 3 5 3,

2 4 3,

4 9 22.

x y z t

x y z t

x y t

x y z t

Bài 8.3 Giải các hệ phương trình bậc nhât bốn ẩn sau đây:

1)

35,

2 3 5 70,

2 3 4 0,

4 14.

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

2)

2 4 3 1,

2 5 2 3,

2 3 4 5,

2 4 10 4 6.

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

Nhiều bài toán của đa thức đưa về giải hệ phương trình ba hoặc

bốn ẩn như các bài tập dưới đây.

Bài 8.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Trung học cơ sở,

2007-2008)

1) Tìm đa thức bậc ba P(x) biết:

0 10; 1 12; 2 4; 3 1.P P P P

2) Với đa thức P(x) tìm được ở Câu 3.1, trình bày cách tìm giá trị

đúng của P(2008).

Bài 8.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, Trung học cơ

sở, 2005-2006)

Cho đa thức 3 2 .P x ax bx cx d Biết :

1 27 ; 2 125; 3 343; 4 735.P P P P

73

1) Tính (kết quả chính xác) các giá trị

1 ; 6 ; 15 ; 2006P P P P .

2) Tìm số dư của phép chia P(x) cho 3x – 5.

Bài 8.6 (Sở Giáo dục và Đào tạo Đăk Nông, Trung học cơ sở,

2007-2008)

Tìm một đa thức bậc ba ( )P x , biết rằng khi chia ( )P x cho 1x ;

2x ; 3x đều được số dư là 6 và 1 18.P

Bài 8.7 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học cơ sở, 2007-2008)

Cho đa thức 4 3 2( )P x x ax bx cx d thỏa mãn:

(0) 12, (1) 12, (2) 0, (4) 60.P P P P

1) Xác định các hệ số , , a b c của ( )P x .

2) Tính (2006)P .

3) Tìm số dư trong phép chia đa thức ( )P x cho 5 6x .

Bài 8.8 (Thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Giải toán trên máy tính,

Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, Trung học cơ sở, 2006-

2007)

Bài 8.9 Cho đa thức 4 3 2P x x ax bx cx d có

1 1, 2 13, 3 33, 4 61.P P P P

Tính P(5), P(6), P(7), P(8).

Bài 8.10 (Thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Sở Giáo dục

và Đào tạo Phú Yên, Trung học cơ sở, 2006-2007)

Cho đa thức 5 4 3 2( )P x x ax bx cx dx e . Biết

(1) 2P ; (2) 9P ; (3) 22P ; (4) 41P ; (5) 66P .

1) Tính (2007)P .

2) Tìm số dư của phép chia đa thức P(x) cho nhị thức 3 2x .

Bài 8.11 (Thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Bộ Giáo dục

và Đào tạo, Trung học cơ sở, 2008-2009)

74

Đa thức 6 5 4 3 2( )P x x ax bx cx dx ex f có giá trị là 3;

0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận các giá trị tương ứng là 1; 2;

3; 4; 5; 6.

1) Xác định các hệ số , , , , ,a b c d e f của ( )P x .

2) Tính giá trị của đa thức ( )P x với x 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17;

18; 19; 20.

75

KẾT LUẬN

Giải toán có kết hợp giữa tư duy và suy luận toán học với sự hỗ trợ

của máy tính điện tử là một xu hướng tự nhiên trong thời đại thông

tin. Nhiều bài toán khó (bài toán bốn màu, bài toán xếp cam, giả

thuyết Erdös-Szekeres cho trường hợp 6n ,...) chỉ giải được (hay

mới chỉ giải được) nhờ máy tính.

Như một công cụ hỗ trợ, máy tính nói chung, máy tính điện tử

khoa học nói riêng, có thể trợ giúp hiệu quả quá trình dạy và học.

Nhiều vấn đề không dễ tiếp thu hoặc không dễ thực hành của toán

học (định thức, tính ma trận ngược, giải hệ phương trình, phân tích

một số ra thừa số nguyên tố,...), có thể dễ dàng thực hiện trên máy

tính, thậm chí máy tính khoa học như CASIO fx-570VN PLUS.

Làm quen với máy tính ở phổ thông, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận

với nghiên cứu toán học và tin học ở bậc đại học hơn.

Tài liệu này sơ lược phác thảo một số tính năng vượt trội của

CASIO fx-570VN PLUS, nhằm giúp bạn đọc có hứng thú và quan

tâm sử dụng máy tính trong dạy và học. Tác giả cố gắng trình bày

lí thuyết cô đọng, nhưng bảo đảm những kiến thức cần thiết để

hiểu và thực hành sử dụng máy một cách chủ động, giúp bạn đọc

không chỉ thành thạo tính toán, mà còn cơ bản hiểu các khái niệm

toán học, các thuật toán và chương trình thực hiện các tính toán ấy.

Hy vọng bạn đọc sẽ tự mình tìm thấy nhiều ứng dụng thú vị khác

trong khi sử dụng Vinacal 570 ES Plus.

Nhằm giúp bạn đọc có thêm tài liệu sử dụng máy tính điện tử khoa

học, chúng tôi giới thiệu một số cuốn sách viết về vấn đề này. Hầu

hết các bài toán đã giải trong các cuốn sách đó, đều giải được thành

công, thậm chí có nhiều bài với cách giải ngắn gọn hơn, trên

CASIO fx-570VN PLUS.

76

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Trường Chấng: Giải phương trình trên máy tính

điện tử, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001.

2. Tạ Duy Phượng: Giải toán trên máy tính điện tử. Nhà xuất

bản Giáo dục, 2003, 2005.

3. Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thế Thạch: Các đề thi học sinh

giỏi Giải toán trên máy tính Casio 1996-2004. Nhà xuất bản

Giáo dục, 2004, 2005.

4. Tạ Duy Phượng, Phạm Thị Hồng Lý: Một số dạng toán thi

học sinh giỏi Giải toán trên máy tính. Nhà xuất bản Giáo

dục, 2005, 2006.

5. Tạ Duy Phượng: Hướng dẫn sử dụng và thực hành giải toán

trên máy tính điện tử Sharp. Nhà xuất bản Giáo dục, Hfa

Nội, 2006.

6. Tạ Duy Phượng: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải

toán trên máy tính điện tử: Hệ đếm và ứng dụng. Nhà xuất

bản Giáo dục, 2007.

7. Tạ Duy Phượng: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải

toán trên máy tính điện tử: Toán thống kê. Nhà xuất bản

Giáo dục, 2007.

8. Trần Đỗ Minh Châu, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Khắc Toàn,

Tuyển tập các đề thi Giải toán trên máy tính (Trung học Cơ

sở, 2003-2011), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2013.

TẠ DUY PHƯỢNG - ninhgiang.haiduong.edu.vnninhgiang.haiduong.edu.vn/null/file_van_ban/38_ToanCasio_fx-570VN... · Chương 4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Documents