T10. Elementos placa 10.1. Teoría de placas: ecuaciones de equilibrio y relaciones momento-curvatura 10.1.1. Placas delgadas: teoría de Kirchhoff 10.1.2. Placas gruesas: teoría de Reissner-Mindlin 10.1.3. Consideraciones generales 10.2. Aplicación del PTV y formulación de los elementos 10.2.1. Placas delgadas 10.2.2. Placas gruesas 10.3. Elementos finitos para placas delgadas 10.3.1. Elemento rectangular MZC 10.3.2. Otros elementos rectangulares 10.3.3. Elementos triangulares: elemento DKT 10.4. Elementos finitos para placas gruesas 10.4.1. Matriz de deformación y rigidez 10.4.2. Cuadraturas de integración y bloqueo de la solución 10.5. Cálculo de esfuerzos y tensiones 10.5. Efecto del esviaje 10.6. Ejemplos de aplicación
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T10. Elementos placa
10.1. Teoría de placas: ecuaciones de equilibrio y relaciones momento-curvatura 10.1.1. Placas delgadas: teoría de Kirchhoff 10.1.2. Placas gruesas: teoría de Reissner-Mindlin 10.1.3. Consideraciones generales 10.2. Aplicación del PTV y formulación de los elementos 10.2.1. Placas delgadas 10.2.2. Placas gruesas 10.3. Elementos finitos para placas delgadas 10.3.1. Elemento rectangular MZC 10.3.2. Otros elementos rectangulares 10.3.3. Elementos triangulares: elemento DKT 10.4. Elementos finitos para placas gruesas 10.4.1. Matriz de deformación y rigidez 10.4.2. Cuadraturas de integración y bloqueo de la solución 10.5. Cálculo de esfuerzos y tensiones 10.5. Efecto del esviaje 10.6. Ejemplos de aplicación
Estructura laminar: una de las dimensiones (espesor t) es mucho menor que las otras dos, lo quepermite trabajar únicamente con su superficie media
La distinción entre placas y láminas es artificial, el comportamiento puro como placa solo existe en teoría lineal y casos especiales de geometría
T10. Elementos placa: introducción
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��
Placa delgada: t/L < 0.05
Placa gruesa: t/L > 0.1
Placas trabajan sólo a flexión y cortanteLáminas se añade el trabajo de membrana al de placa
Las placas son una generalización de los elementos viga a 2D, con un acoplamiento de la flexión enlas dos direcciones ortogonales del plano
Teorías de placas:Placas delgadas Teoría de Kirchhoff (Euler-Bernuilli en barras)Placas gruesas Teoría de Reissner-Mindlin (Timoshenko en barras)
En las placas delgadas se desprecia la deformación por cortante transversal, mientras que las placasgruesas la incluyen
Placa homogénea, isótropa y teoría elástica lineal
Se trata de obtener las ecuaciones de equilibrio diferencial, las relaciones entre esfuerzos y tensiones, las deformaciones y las relaciones momento – curvatura en placas delgadas y gruesas
En la superficie media u = v = 0, w no nuloσx = σy = τxy = 0
Todos los puntos contenidos en una normal a la superficie media tienen la misma flecha wLa tensión normal σz se considera despreciable frente a σx, σy y τxy
T10. Elementos placa: Teoría de placas
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Carga y tensiones
Esfuerzos en un elemento diferencial
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Relación entre esfuerzos y tensiones
T10. Elementos placa: Teoría de placas
Los esfuerzos son por unidad de longitudLos valores máximos de las tensiones son
∫∫
∫∫∫
−−
−−−
τ=τ=
τ=σ=σ=
2t
2tyzy
2t
2txzx
2t
2txyxy
2t
2tyy
2t
2txx
dzVdzV
dzzMdzzMdzzM
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=τ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=τ 2
2y
yz2
2x
xz tz41
t2V3
tz41
t2V3
tV51
tV51
tM6
tM6
tM6 y
yzx
xz2xy
xy2y
y2x
x
..=τ=τ=τ=σ=σ
qy
Vx
V0F yxz −=
∂∂
+∂∂
⇒=∑
yxyy
x Vx
My
M0M =
∂∂
+∂∂
⇒=∑
xxyx
y Vy
Mx
M0M =∂
∂+
∂∂
⇒=∑
qyM
yxM
xM yxyx −=
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
2
( )
4 4 4
4 2 2 4
3
2
2
12 1
qx x y y D
E tD
ω ω ω
ν
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
=−
Ecuaciones de equilibrio en el elemento diferencial
D = rigidez a flexión de la placa
Placas delgadas: Teoría de Kirchhoff
T10. Elementos placa: Teoría de placas delgadas
• Campo de movimientos
Se desprecia la deformación por cortante ( )
( )yy
xx
wzdy
yxdwzzvyzEn
wzdx
yxdwzzbbu
,
,
,:
,'''
−=−=θ−=
−=−=θ−==
( )( )( )
{ }Tyxy
x
www
yxw
yxwzyxwz
zyxwzyxvzyxu
,,,
,
u
),(
),(),(
,,,,,,
u =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
• Campo de deformaciones y tensiones
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=γ=γ≈ε
−=+=γ
−==ε
−==ε
0;0
wz2vu
wzvwzu
yzxzz
xyxyxy
yyyy
xxxx
,,,
,,
,, { } { }Txyyyxx
Txyyx w2wwz ,,,−=γεε=ε
{ }Txyyx τσσ=σ
Las tensiones tangenciales τxz y τyz se calculan a posteriori a partir de las ecuaciones de equilibrioentre flectores y cortantes.La tensión σz es nula, respecto a εz su valor se puede calcular a posteriori como: )(
E yxz σ+σν
−=ε
�
�
��
��
�
��
��� ��
�
�
��
Placas delgadas: Teoría de Kirchhoff
T10. Elementos placa: Teoría de placas delgadas
• Relación tensión-deformación
• Relación momento-curvatura
Coincide con la ecuación constitutiva de tensión planaEn el caso de material isótropo y deformaciones iniciales térmicas:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧∆α=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν
ν
ν−=−=
011
Ty
2100
0101
1Econ 2 00 εεεσ KK D)(D
( )
{ }
{ }⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
=
=
−=
Txyyyxx
3
Txyyx
w2ww12t
MMM
con
,,,
KXKXK DD
M
DM
χ
χχ 0
Siendo DXK la matriz constitutiva de flexión en la teoría de Kirchhoff.
∫ ∫ ∫− − −
ν+ν−
−=νε+εν−
=σ=2t
2t
2t
2t
2t
2tyyxx2
2yx2xx dzww
1Ezdz
1EzdzzM
/
/
/
/
/
/,, )()(
)()( ,, yyxx2
3
x ww112
EtM ν+ν−
−=
En el caso del momento flector en x:
Placas gruesas: Teoría de Reissner-Mindlin
T10. Elementos placa: Teoría de placas gruesas
• Campo de movimientos
Se considera de forma simplificada la deformación por cortante
Los giros y la flecha de cada punto del plano medio pasan a ser variables independientes
⎪⎩
⎪⎨
⎧
φ−=θ−=+=γ
φ−=θ−=+=γ
θ+θ−=+=γ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈ε
θ−==ε
θ−==ε
yyyyzyz
xxxzxxz
xyyxxyxy
z
yyyy
xxxx
wwvwuw
zvu
0
zvzu
,,,
,,,
,,,,
,,
,, )(
{ }Tyzxzxyyx γγγεε=ε
{ }Tyzxzxyyx τττσσ=σ
�
�
�
��
�
�������
�����
T10. Elementos placa: Teoría de placas gruesas
• Relación momento-curvatura
( )
{ }
{ }⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−θ−θθ+θθθ−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
−=
Tyyxxxyyxyyxx
3
Tyxxyyx
)w()w()(
t12t
t
VVMMM
con
,,,,,,
C
K
C
XKXRMXRM
D0
0DD0
0DD
M
DM
χ
χχ 0
• Relación tensión-deformación
En el caso de material homogéneo e isótropo, a partir de las expresiones de elasticidad 3D y aplicandoque σz = 0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=
1001
Gycon cc
KRMRM D
D00D
D)(D 0εεσ
Con DK la matriz constitutiva de Kirchhoff asociada a la flexión, y DC la de cortadura.
Coeficientes de distorsión transversal:
En el caso de placas de espesor constante e isótropas se toma:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α
αν+
=2
1
00
12E
)(Dc
α1 = α2 = 5/6
Placas gruesas: Teoría de Reissner-Mindlin
El comportamiento a flexión de las placas esta acoplado en las direcciones x e y, incluso en las placas isótropas
En el caso de una flexión cilindrica:
T10. Elementos placa: Consideraciones generales
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν
ν
ν−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
yy
xx
2
3
xy
y
x
w2
ww
2100
0101
112Et
M
MM
,
,
,
)(
�
��
��
��
�
� w,yy = constante y w,xx = w,xy = 0Pero el flector en x ya no es nulo dentro de la placa
Mx = -(νt3E/12(1-ν2)) w,yy
Las tensiones σx originadas se llaman anticlasticas
La torsión si que esta desacoplada de las flexiones, siendo posible alcanzar estados de torsión pura
Con w = xy, que produce w,xx = w,yy = 0 y w,xy = 1 , las flexiones son nulas y el torsor es constante
Los GDL en los elementos finitos placa delgada son (w, w,x, w,y) y los elementos son de clase C1, mientras que en los de placa gruesa son (w, θx, θy) , y los elementos son de clase C0
Se considera un elemento placa en equilibrio bajo la acción de la carga distribuida q, las cargas nodales de equilibrio Pzi y los momentos nodales de equilibrio Mxi y Myi
T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos
• Placas delgadas
Elementos de clase C1
�
�
�
�����
���������
)MM(PwdAwqdV yiyii
xixii
zii
AV
T
ee
δθ+δθ+δ+δ=δ ∑∑∫∫ σε
dAMw2MwMwdAWLuego
dAdAdzzdVzdVW
ee
eeee
Axyxyyyyxxx
A
ΤF
A
Τ2t
2tA
Τ
V
Τ
V
TF
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫++−=δ=
δ=δ=δ=δ=−
)(:
)(
,,,
/
/
Μχ
Μχσχσχσε
int
int
Para asegurar la continuidad nodal de flechas y giros se toman como variables nodalesla flecha y los dos giros en cada nudo
{ } { } { }yixiziyixii1 MMPw =θθ== iin raaaa K
T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos
• Placas delgadasEn un elemento de n nudos habrá 3n términos en el polinomio de aproximación de la flecha
K+α+α+α+α+α= xyxyxw 52
4321
Calculándose los 3n coeficientes mediante la flecha y los giros en cada nudo
n1iyw
xwww iyiixiii ,...,)()()( =
∂∂
=θ∂∂
=θ= BaNa == χyw
Los vectores y matrices elementales se definen como:
rqra)(
NfNaaN
BDBKaBDBa
e
e
XKe
XK
=⇒δ=δθ+δθ+δ
=⇒δ=δ=δ
=⇒δ=δ=δ
∑∑
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫
Tyiyi
ixixi
izii
A
T
A
TT
AA
A
T
A
TT
AV
T
MMPw
dAqdAqdAqdAwq
dAdAdAdV
eeee
eeee
χΜσε
Ensamblando las contribuciones elementales se obtiene la ecuación de equilibrio global
∑∫∫∑∫∫ ===e A
T
e A
T
ee
dAqydAcon NfBDBKfaK XK
T10. Elementos placa: PTV y formulación de los elementos finitos
• Placas gruesas
Elementos de clase C0
Elemento isoparamétrico de n nudos
dAdVee A
T
V
T ∫∫∫ δ=δ Μχσε
{ } { }yixii1 w θθ== in aaaa K
[ ]⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θ
θ==⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θ
θ= ∑=
3
2
1
in1
n
1i
iyi
ixi
ii
y
x
N000N000N
...,conNN
wNwN;N,NNNau
Las funciones de forma son las ya estudiadas en el caso de elasticidad bidimensional
Se toman como variables nodales la flecha y los dos giros en el plano de cada nudo
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgada
Elemento rectangular MCZ�
�
�
��
�
�
�
���
��b
yya
xx
o
o
−=η
−=ξ
�� �
� �� �
� �� �� �
�� �� �� �� ��
���������
������
����������
� ����
312
311
310
29
28
37
265
24321
xyyxyxyyx
xyxyxyxw
α+α+α+α+α+
+α+α+α+α+α+α+α=
Na=w
))()((Na ,,
4
1iiyiixiii wNwNwNw ++== ∑
=
[ ] [ ] { } { }
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ξξ+η+η−η=
ηη+ξ+ξ−ξ=
η−ξ−ηη+ξξ+ηη+ξξ+=
θθ====
811bN
811aN
8211N
siendo
wNNN
ii2
i
ii2
i
22iiiii
Tyixiiiii
/))()((
/))()((
/))()((
,,a;aaa;,,N;N,N,N,NN i41e
i4321 K
La flecha es continua entre elementos con una variación cúbica en los lados del elemento, pero los giros en las caras del elemento son incompatiblesSolución explícita de Melosh para las funciones de forma:
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgadaElemento rectangular MCZFunciones de forma
8/)2)(1)(1(N 221 η−ξ−η−ξ−η−ξ−=
0N
rad1NNLuego
aN
8111aN
111
x11111x1
111
21
=
=ξ⋅=
=
η−−ξ−ξ=
−−η
−−ξ−−
−−ξ
),(,
,),(,),(,
),(,
)(
)()(:
)(
/))()((
rad1NNLuego
aN
0N
8111bN
y11
111
y1
111
111
21
=η⋅=
=
=
ξ−−η−η=
−−η
−−
−−η
−−ξ
,),(
,),(
,
),(,
),(,
)()(:
)(
)(
/))()((
Matriz de deformación [ ]4321
4
1iii B,B,B,BB;aBBa === ∑
=
χ
∑=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++
++
++
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
−
=4
1i
iyxyiixxyiixyi
iyyyiixyyiiyyi
iyxxiixxxiixxi
xy
yy
xx
wN2wN2wN2
wNwNwN
wNwNwN
w2
ww
)()()()()(
)()()()()(
)()()()()(
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,
,
,
χ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−−−
=
xyixyixyi
yyiyyiyyi
xxixxixxi
i
N2N2N2NNNNNN
,,,
,,,
,,,
)()()()()()()()()(
Β
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgadaElemento rectangular MCZ• La matriz de deformación y los esfuerzos varían linealmente en el elemento• Las derivadas en cartesianas se calculan mediante la regla de la cadena
• El elemento es incompatible, ya que los giros entre elementos no son continuos.En el ejemplo siguiente, suponiendo todos los GDL son nulos salvo una flecha unitaria en en nudo 1
• Si el elemento MZC es rectangular, satisface el criterio de la parcela y produciendo resultadosmuy precisos, pero con formas cuadrangulares no es convergente
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
η∂∂
=∂∂
ξ∂∂
=∂∂
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
η∂∂
=η
⋅η∂∂
=∂∂
ξ∂∂
=ξ
⋅ξ∂∂
=∂∂
2
2
22
2
2
2
22
2
b1
y
a1
xy
b1
dyd
y
a1
dxd
x
!
�
"
#
$
%
&
'
��
Flechas en los elementos: Na=w
08/)2)(1)(1(1N
B
221A
=ωη−ξ−η−ξ−η−ξ−=⋅=ω
0w
81w8331w
0w
0w8331w
B
21A
22A
B
1A22
A
=
ξ−ξ=⇒η+ξ+ξ+−ξ−=
=
=⇒η+η+ξ+−η−=
η
=ηηη
ξ
=ηξξ
,
,,
,
,,
)(
/)()(/))(()(
)(
)(/))(()(
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa delgadaOtros elementos rectangulares
• Hay una gran variedad de elementos a los que se añaden nuevas variables nodales como w,xy, peroninguno de ellos garantiza la convergencia
• Los elementos rectangulares conformes se obtienen por unión de triángulos conformes
Elementos triangulares
• Los elementos triangulares de tres nudos no son compatibles, volviendo a producirse el problemade falta de continuidad en los giros normales entre elementos
• Para conseguir un elemento triangular conforme es necesario introducir nudos adicionales en elcentro de las aristas, y con una única variable asociada, el giro normal
• Elemento DKT (Discrete Kirchhoff Triangle): se obtiene a partir del elemento de tres nudos y la imposición de ecuaciones de restricción en puntos de su contorno. El comportamiento del elementoes bueno, incluso con distorsiones altas de su geometría
�
"
#
$%
��� �����������
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesaPermiten analizar placas delgadas y gruesas, sin embargo, al utilizarse en placas delgadas son menos precisos que los elementos de Kirchhoff
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesaCuadraturas de integración y bloqueo de la solución
[ ]
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
−=
=
=
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
∫∫
∫∫
∫∫∫∫
iyi
ixici
xiyi
yi
xi
fi
Ac
Tc
ec
Af
Tf
ef
ec
ef
A c
fTc
Tf
A
T
N0N0NN
NN0N000N0
dAt
dA
con
dAdA
e
e
ee
,
,
,,
,
,
C
XK
XRMXRMe
BDBK
BDBK
KKBB
DB,BBDBK
Β
Β
faKKfaK(K =ν+
+ν−
⇒=+ ))1(2
Et)1(12
Et() *c
*f2
3
cf
• Si la placa se hace delgada, la deformación por cortante transversal es despreciable, y la respuestadebe estar gobernada por Kf. Sin embargo, si t tiende a cero Kc gobierna la solución, pudiendo llegara obtenerse en el límite resultados con movimiento nulo
• Para evitar este problema se utilizan integraciones reducidas o selectivas de Kc, con el fin de hacerlasingular
T10. Elementos placa: Elementos finitos placa gruesaCuadraturas de integración y comparación de resultados
Elementos placa gruesa, integración y mecanismos
Tipo de integración Tipo de elemento Kf Kc Mecanismos
Comportamiento de los elementos placa gruesa (wc/wt = flecha calculada/teórica)
T10. Elementos placa: Cálculo de esfuerzos y tensionesConocidos los desplazamientos, las relaciones momento curvatura permiten calcular los esfuerzos, y a partir de estos las tensiones mediante las relaciones tensión esfuerzo.
Los errores máximos tensionales se producen en el cálculo de las tensiones tangencialestransversales
En elementos lineales el error mínimo se produce siempre en el centro del elemento. Es habitualasumir ese valor central como constante en todo el elemento
El error debido a la distorsión por esviaje es importante tanto en elementos triangulares comocuadrangulares
N 90º 80º 40º
4
8
14
-20
-15
-10
-5
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.31/N
% error
P4-80º
P4-40º
P3-80º
P3-40º
T10. Elementos placa: EjemplosCálculo de forjados
Movimiento vertical (m)
Flectores My (KNm/m)
Flectores Mx (KNm/m)
T10. Elementos placa: EjemplosTablero ortótropo
2 m
10 m
1 m 1 m
0.5 m0.3 m
1.2 m
2 m 2 m 2 m
Y
40 m
10 m
X
Y
X
10 m40 m
30°
Caso 1: Peso Propio Caso 2: Sc. de –5 kN/m2 Caso 3: Sc de –5 kN/m2 Caso 4: Sc de –10 kN/m2
Modelizaciones• Emparrillado plano
• Emparrillado espacial
• Losa ortótropa plana
• Elementos sólidos
T10. Elementos placa: EjemplosTablero ortótropo Resultados de flechas máximas
Peso propio
Recto 13.53 cm 4.60 cm 3.36 cm 4.80 cm Elementos sólidos Esviado 30º 13.18 cm 4.48 cm 3.25 cm 4.65 cm
Recto 13.99 cm 4.48 cm 3.32 cm 4.75 cm Elementos lámina Esviado 30º 13.64 cm 4.37 cm 3.25 cm 4.64 cm
Recto 17.73 cm 6.02 cm 3.27 cm 2.89 cm Vigas +
Barras rígidas Esviado 30º 14.45 cm 4.91 cm 2.78 cm 2.46 cm
Recto 13.33 cm 4.53 cm 3.05 cm 3.31 cm Emparrillado
Esviado 30º 12.87 cm 4.37 cm 3.01 cm 3.76 cm
Movimiento vertical (m) en LC4 para el modelo 1 en el caso de tablero recto