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9 운동 에너지와 일

1996년 올림픽에서 체메킨(AndreyChemerkin)은 260.0 kg을 마루바닥에서 머리위로 (약 2 m) 들어 올려 역도 신기록을세웠다. 1957년 앤더슨(Paul Anderson)은자동차 부품과 납을 채운 금고를 올려 놓은나무평상으로 기어 들어가, 팔다리를마룻바닥에 대고 버티면서 등으로 평상 및 그위의 짐 전체를 약 1 cm 들어 올렸다. 평상과

그 위의 짐 전체의 무게는 27,900 N이었다.

체메킨과 앤더슨 중에 누가 더 많은 일을했는가?

9 운동 에너지와 일

9-1 서론

9-2 일과 운동 에너지의 도입

9-3 물리적 일의 개념

9-4 일정한 힘에 대한 일의 셈

9-5 용수철 힘이 한 일

9-6 0차원적으로 변하는 힘이 한 일-일반적 고찰

9-7 2·3차원에서의 힘과 변위

9-8 벡터로 벡터를 곱하기: 점곱

9-9 알짜일과 병진 운동에너지

9-10 일률

9-1 서론

점프 스키의 운동 해석?

- 궤적은 정해져 있음

- 비탈길 끝에서의 속도 ?

?

- 를 알지 못함:

※ 충격량-운동량 정리

≡

“입자의 운동량은 충격량만큼 변한다.”

물체의 운동 궤적을 몰라도 쓸 수 있음.

※ “알짜일-운동에너지 정리”

9-2 일과 운동 에너지의 도입 (1): 수식 유도

• 줄을 따라 움직이는 구슬의 위치와 속도 사이의 관계 ?

- 운동방정식

알짜

※

알짜 ≠ 알짜

- 수학적 조작: 양쪽에

를 곱함

알짜

⇒ 알짜

⇒

알짜

※ 비교

•

알짜

•

알짜

9-2 일과 운동 에너지의 도입 (2): 정의, 단위

• 알짜일과 (병진) 운동에너지의 정의

- 알짜일: 알짜 ≡

알짜

- (병진) 운동에너지 ≡

• 알짜일-운동 에너지 정리

알짜

• 일과 운동 에너지의 단위

1 N⋅m = 1 kg⋅ms ≡ 1 J (joule)

생각 9-1축을 따라서 움직이는 입자의 속도가 다음과 같이 바뀔 때, 입자의 운동에너지 변화량과 입자가 받는

알짜일을 셈하라. (1) = -3 m/s, = -2 m/s; (2) = -2 m/s, = +2 m/s.

9-3 물리적 일의 개념; 9-4 일정한 힘이 한 일

* 힘을 받은 물체의 변화 1) 변형 (앞으로는 무시 - 강체)

2) 운동

* 물리적 일: 우리의 피상적 경험과 어긋나는 상황

- 아래의 두 상황에서는 물체에 힘을 주어도 그 힘이 해주는 일은 없다:

1) 물체가 움직이지 않거나,

2) 물체의 운동 방향이 힘과 수직일 때

생각 9-2

다음 네 상황에서 상자가 움직이는 동안 힘이 해준 일이 많은 것부터 차례로 늘어 놓아라.

9-4 일정한 힘에 대한 일의 셈 (1)

• 1차원 직선 운동하는 물체에 일정한 힘이 해준 일

알짜 ≡

알짜

알짜

알짜

알짜 ⇒ 알짜

* 양(+)의 일과 음(-)의 일

- 힘과 물체의 운동 방향이 같은쪽 일 때: 속력이 빨라짐(가속) m , m; N

⇒ m ⇒ N m J- 힘과 물체의 운동 방향이 반대쪽 일 때: 속력이 느려짐(감속)

m, m; N⇒ m ⇒ N m J물체가 받는 일이 양수이면(힘과 변위가 같은 쪽이면) 가속되고,

음수이면(힘과 변위가 같은 쪽이면 반대쪽이면) 감속된다.

* 일은 스칼라량이다.좌표계를 돌려 방향을 바꾸면 힘과 변위의 성분의 부호는 달라질 수 있어도,

물체에 해준 일은 달라지지 않는다.

9-4 일정한 힘에 대한 일의 셈 (2): 중력이 한 일

• 중력이 한 일

- 토마토가 위로 올라갈 때: 더 느려진다

중력 g y

- 토마토가 아래로 내려올 때: 더 빨라진다

중력 g y

9-5 용수철 힘이 한 일

* 후크 법칙

용수철 , : 용수철 상수 [N/m], 클수록 센 용수철

• 용수철 힘이 한 일

용수철 ≡

용수철

생각 9-3

용추철에 매단 토막의 처음 및 나중 위치가 다음과 같을 때, 용추철 힘이 토막에 한 일의 부호는?

1) -3 cm, 2 cm; 2) 2 cm, 3 cm; 3) -2 cm, 2 cm

9-6 1차원적으로 변하는 힘이 한 일-일반적 고찰

• 일 셈하기: 수치 적분

- 처음위치 과 나중위치 사이를 등분

- 낱낱의 구간에서 일을 셈하여 모두 더한다

≅

⟨ ⟩

• 일 셈하기: 적분

- 구간을 한없이 작게 나누어 일을 더함

lim →

⟨ ⟩

9-7 2·3차원에서의 힘과 변위 (1):

• 일정한 각도로 준 힘이 한 일:

각도 를 어떻게 하면 좋을까?

힘을 주어 물체를 움직일 때,

물체의 변위와 나란한 힘 성분만 일을 한다.

오른쪽 그림의 일정한 힘이 한 일

cos

2차원 힘이 변위 을 따라서 한 일

cos (과 사이의 각도로 나타낸 일)

일 = (변위)⋅(힘의 변위 방향 성분)

※ 여러 힘이 한 알짜일?

알짜

⋯ ⇒ 알짜 ⋯

9-7 2·3차원에서의 힘과 변위 (2):

• 3차원 힘이 한 일

물체가 3차원 힘 을 받으면서 을 움직이는 동안 받은 일?

변위와 힘의 직각좌표성분 표현: i j k i j k

물체가 을 움직이는 동안 힘 가 한 작은 일

물체가 에서로 움직이는 동안 받은 일

생각 9-4그림의 네 상황에서 힘의 크기는 같고 방향은 화살표 쪽이다.

힘이 해준 일이 큰 것부터 차례로 늘어놓아라.

9-8 벡터로 벡터를 곱하기: 점곱 (1) - 정의와 성질

• 두 벡터의 점곱(dot product)

⋅ ≡ cos

* 특별한 각도에서의 값

1) (두 벡터가 나란함) ⋅

2) ± (두 벡터가 직교함) ⋅

3) (두 벡터가 반대쪽을 향함) ⋅

* 점곱의 성질

1) 교환법칙: 곱하는 순서를 바꾸어도 됨 ⋅ ⋅

2) 분배법칙: 벡터 덧셈과 점곱의 결합법 ⋅ ⋅ ⋅

3) 스칼라 곱셈과 점곱의 결합법: 순서를 바꾸어도 됨 ⋅ ⋅ ⋅

9-8 벡터로 벡터를 곱하기: 점곱 (2) - 직각좌표성분 셈법과 일의 정의

• 두 벡터의 점곱을 직각좌표성분을 써서 셈하기

⋅ i

j k⋅

i j

k

• 일을 점곱으로 정의하기

일정한 힘이 한 일: ≡ ⋅

변하는 힘이 한 일: ≡

⋅

9-9 알짜일과 병진 운동에너지 (1): 형식 및 실험적 검증

• 알짜일 - 운동에너지 정리: (입자에 해준 알짜일) = (입자의 병진 운동에너지의 변화량)

알짜 ≡ 1차원 꼴:

알짜

3차원 꼴:

알짜

⋅

⋅

⋅

• 알짜일 - 운동에너지의 실험적 검증

알짜

알짜 J J J J

9-9 알짜일과 병진 운동에너지 (2): 보기 두가지

• 물건을 들어 올리고 내릴 때 해준 일?

알짜

우리

중력

알짜 우리 중력

1) 알짜

2) 우리 중력

(우리가 해준 일) = - (중력이 해준 일)

• 에 서 있던 선수의 에서의 속력?

알짜

알짜

알짜

⋅

gsin

g

g

⇒ g

9-10 일률

일률(Power)

1. 뜻: 단위시간(1초, 1시간)에 하는 일 (일을 해내는 비율) [J/s ≡ W: watt]

2. 평균 일률과 순간 일률

평균 일률: ⟨⟩≡

(일의 시간 평균값)

순간 일률: ≡

※ 속도 로 움직이는 물체가 힘 를 받을 때, 그 힘이 물체에 해주는 순간 일률

≡

cos cos

cos ⋅

※ 마력(馬力: horse power): 옛날에 쓰던 일률의 단위 1hp = 746 W

생각 9-5

끝이 고정된 줄에 매달려 등속원운동하는 추에 줄의 장력이 해주는 일률의 부호는?