Rozdział 1 Statyka 1.1 Twierdzenie o trzech siłach Twierdzenie dotyczy równowagi płaskiego zbie ˙ znego układu sił. Twierdzenie 1 (Twierdzenie o trzech siłach) Aby trzy nierówno- ległe do siebie siły działaj ˛ ace na ciało sztywne były w równowadze, linie działania tych sił musz ˛ a przecina´ c si ˛ e w jednym punkcie, a same siły musz ˛ a tworzy´ c trójk ˛ at zamkni ˛ ety. Niech b ˛ ed ˛ a dane trzy siły P 1 , P 2 , P 3 . Zakładamy, ˙ ze s ˛ a w równowadze. Zast ˛ epujemy P 2 i P 3 sił ˛ a R (wypad- 11
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Rozdział 1
Statyka
1.1 Twierdzenie o trzech siłach
Twierdzenie dotyczy równowagi płaskiego zbieznego układu sił.
Twierdzenie 1 (Twierdzenie o trzech siłach) Aby trzy nierówno-
ległe do siebie siły działajace na ciało sztywne były w równowadze, linie
działania tych sił musza przecinac sie w jednym punkcie, a same siły
musza tworzyc trójkat zamkniety.
Niech beda dane trzy siły P1, P2, P3.
Zakładamy, ze sa w równowadze. Zastepujemy P2 i P3 siła R (wypad-
11
kowa tych dwóch).
R = P2 + P3.
Pozostaja wiec dwie siły: P1 i R. Poniewaz układ jest w równowadze,
wiec
P1 = −R, P1 = R.
Stad P1, P2, P3 sa zbiezne i tworza wielobok zamkniety. W kazdym
przypadku jest to trójkat.
1.2 Równania równowagi płaskiego zbieznego
układu sił
Wprowadzmy układ współrzednych.
Poniewaz siła jest wektorem, mozemy ja zapisac nastepujaco
P = Px + Py = Pxi+ Pyj,
Px = P cosα, Py = P sinα,
P =qP 2x + P 2y .
Jezeli mamy układ n sił zbieznych, to wypadkowa
R =X
Pi.
12
Stosujac twierdzenie, rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolna os
równa sie sumie rzutów tych wektorów na ta sama os, otrzymujemy⎧⎨⎩ Rx = P1x + P2x + . . .+ Pnx =P
Dana siła P . Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy.
P i P 0 = −P .
Otrzymujemy układ:
siła P ,
para sił o momencie MO = aP .
Jezeli mamy układ n sił, to mozna go spróbowac do siły i pary sił, gdzie
R =X
Pi - wektor główny,
MO =X
MiO -moment główny wzgledem srodka redukcji O.
19
Redukcja w układzie współrzednych
Rx =X
Pix, Ry =X
Piy.
Moment kazdej siły wzgledem srodka redukcji, którym jest poczatek
układu, wynosi
MiO = Piyxi − Pixyi.
Moment główny
MO =X
MiO =X
(Piyxi − Pixyi)
1.6.1 Redukcja układu do wypadkowej
Jezeli moment główny układu da sie przedstawic w postaci
MO = hR, R- wektor główny,
to układ redukuje sie do wypadkowej.
W przypadku, gdy suma geometryczna układu sił P1, P2, . . . , Pn
działajacych w jednej płaszczyznie na ciało sztywne jest rózna
od zera, układ zastapic mozemy jedna siła wypadkowa równa
wektorowi głównemu
R =X
Pi.
20
Moment tej siły wypadkowej
MO
³R´
=X
MiO,
MO
³R´
= Ryx−Rxy- równanie prostej, na której lezy wypadkowa.
1.7 Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu
sił
Aby układ znajdował sie w równowadze wektor i moment główny musi
byc równy 0.
R = 0, MO = 0.
Równania równowagi dowolnego płaskiego układu
XPix = 0,
XPiy = 0,
XMiO = 0,X
Pix = 0,X
MiA = 0,X
MiB = 0,XMiA = 0,
XMiB = 0,
XMiC = 0.
1.8 Siły zbiezne w przestrzeni
Wypadkowa zbieznego przestrzennego układu sił
R =X
Pi.
Dowolny układ sił przyłozonych do jednego punktu zastapic
mozemy jedna siła wypadkowa przyłozona w tym punkcie i
równa sumie geometrycznej sił.
21
R = P1 + P2 + P3.
Px = P cosα, Py = P cosβ, Pz = P cos γ,
P =pOA02 +AA02, AA0 = Pz, OA02 = P 2x + P 2y ,
P =qP 2x + P 2y + P 2z .
Stad wypadkowa układu
R = Rxi+Ryj +Rzk,
Rx =X
Pix, Ry =X
Piy, Rz =X
Piz,
R =qR2x +R2y +R2z.
22
Równania równowagi
XPix = 0,
XPiy = 0,
XPiz = 0,
z warunku
R =X
Pi = 0.
1.9 Przestrzenny układ sił równoległych
Dany jest układ n sił w przestrzeni
Wektor główny tego układu jest
R =X
Pi = Rxi+Ryj +Rzk.
Moment główny wzgledem poczatku układu
MO =X
Mi =MxOi+MyOj +MzOk,
gdzie
Rx =X
Pix, Ry =X
Piy, Rz =X
Piz,
MxO =X
(Piyzi − Pizyi) = Ryz −Rzy,
MyO =X
(Pizxi − Pixzi) = Rzx−Rxz, (1.1)
MzO =X
(Pixyi − Piyxi) = Rxy −Ryx.
23
Katy nachylenia sił do osi układu sa α, β, γ.
Pix = Pi cosα, Rx = R cosα,
Piy = Pi cosβ, Ry = R cosβ, (1.2)
Piz = Pi cos γ, Rz = R cos γ.
Podstawiamy 2.2 do 2.1
X(Pi cosβ · zi − Pi cos γ · yi) = R cosβ · z −R cos γ · y,X(Pi cos γ · xi − Pi cosα · zi) = R cos γ · x−R cosα · z,X(Pi cosα · yi − Pi cosβ · xi) = R cosα · y −R cosβ · x.
Po uporzadkowaniu wg kosinusów kierunkowych otrzymujemy
³Rz −
XPizi
´cosβ =
³Ry −
XPiyi
´cos γ,³
Rx−X
Pixi
´cos γ =
³Rz −
XPizi
´cosα,³
Ry −X
Piyi
´cosα =
³Rx−
XPixi
´cosβ.
Stad otrzymujemy
Rx−P
Pixicosα
=Ry −
PPiyi
cosβ=
Rz −P
Pizicos γ
.
Dzielac stronami przez R mamy
Rx−P
PixiR
cosα=
Ry−P
PiyiR
cosβ=
Rz−P
PiziR
cos γ.
Oznaczajac
x0 =
PPixiR
, y0 =
PPiyiR
, z0 =
PPiziR
, (1.3)
24
otrzymujemy równanie wypadkowej
x− x0cosα
=y − y0cosβ
=z − z0cos γ
.
Punkt S (x0, y0, z0) nazywamy srodkiem sił równoległych.
Zwiazki 2.3 mozna zapisac nastepujaco:
r0 =
PPiriPPi
, x0 =
PPixxiPPix
, y0 =
PPiyyiPPiy
, z0 =
PPizziPPiz
.
1.10 Srodki ciezkosci
Mamy bryłe. Mozna ja podzielic na n elementów.
Srodkiem ciezkosci nazywamy punkt, wzgledem którego suma mo-
mentów wszystkich sił ∆Gi równa sie zero (srodek równoległych sił
ciezkosci).P∆Gi = G- wypadkowa
xoX∆Viγi =
X∆Gixi,
xoX∆Viγi =
X∆Viγixi,
xo =
Pγixi∆ViPγi∆Vi
.
25
Obracajac układ otrzymujemy
yo =
Pγiyi∆ViPγi∆Vi
,
zo =
Pγizi∆ViPγi∆Vi
.
Przechodzac do granicy przy n→∞ mamy
xo =
RV
γxdVRV
γdV,
yo =
RV
γydVRV
γdV,
zo =
RV
γzdVRV
γdV.
Jezeli ρ = const. (ciało jednorodne), to
xo =
RV
xdV
V,
yo =
RV
ydV
V,
zo =
RV
zdV
V.
Jezeli uwzglednimy, ze γ = ρg, ρ = const., to otrzymamy wzory na
współrzedne srodka masy:
xo =
Pρixi∆ViPρi∆Vi
=
Pxi∆miP∆mi
=
Pxi∆mi
M,
yo =
Pρiyi∆ViPρi∆Vi
=
Pyi∆miP∆mi
=
Pyi∆mi
M,
zo =
Pρizi∆ViPρi∆Vi
=
Pzi∆miP∆mi
=
Pzi∆mi
M.
26
Przechodzac do granicy przy n→∞ otrzymujemy
xo =
RρxdVRρdV
=
Rxdm
M,
yo =
RρydVRρdV
=
Rydm
M,
zo =
RρzdVRρdV
=
Rzdm
M,
gdzie
ZxdmZydm - momenty statyczne.Zzdm
1.11 Uogólnienie redukcji układu na układ przestrzenny
Mamy siłe P w punkcie A. Przykładajac układ P,−P w punkcie O,
otrzymujemy P i MO = r × P .
Kazda siłe działajaca na ciało sztywne mozna sprowadzic do dowolnego
punktu O przykładajac siłe o momencie równym momentowi siły.
27
Podobnie mozna postapic ze wszystkimi siłami układu przestrzennego:
R = P1 + P2 + . . .+ Pn =X
Pi,
MO = MO1 +MO2 + . . .+MOn =X
MOi
= r1 × P1 + r2 × P2 + . . .+ rn × Pn,
gdzie r1 =−→OA1, r2 =
−→OA2, . . . , rn =
−→OAn,
R - wektor główny,
MO - moment główny.
Analitycznie:
Momenty wzgledem osi:
MOx =X
Mix =X
(Pizyi − Piyzi) ,
MOy =X
Mix =X
(Pixzi − Pizxi) ,
MOz =X
Mix =X
(Piyxi − Pixyi) ,
gdzie xi, yi, zi - współrzedne punktów przyłozenia sił Pi.
MO =qM2
Ox +M2Oy +M2
Oz.
1.12 Ogólne warunki i równania równowagi dowol-
nego przestrzennego układu sił
Aby dowolny układ był w równowadze, musi byc
R = 0, MO = 0.
28
Ogólne równania równowagi
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩P
Pix = 0,P
Mix = 0,PPiy = 0,
PMiy = 0,P
Piz = 0,P
Miz = 0.
1.13 Zmiana bieguna redukcji
Załózmy, ze układ sił P1, . . . , Pn zredukowalismy wzgledem punktu
O.
MO =X
MiO =X
ri × Pi =X−→
OAi × Pi.
Obierzmy teraz punkt O1 jako punkt redukcji
MO1 =X
MiO1 =X−−−→
O1Ai × Pi,
−−−→O1Ai =
−−→O1O +
−−→OAi.
Wtedy
MO1 =X−−−→
O1Ai × Pi =X³−−→
O1O +−−→OAi
´× Pi
=−−→O1O ×
XPi +
X−−→OAi × Pi,X
Pi = R,X−−→
OAi × Pi =MO.
29
Zatem
MO1 =MO +−−→O1O ×R.
1.14 Niezmienniki redukcji układu sił
1. Wektor główny nie zalezy od srodka redukcji.
2. Rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego
MO1 ◦R =MO ◦R+³−−→O1O ×R
´◦R,
czyli
MO1 ◦R = MO ◦R = const.
MO ◦R = MOR cosα.
Poniewaz R = const. wzgledem srodka redukcji, to
MO cosα = const.
1.15 Przypadki redukcji układu
Gdy moment główny jest prostopadły do wektora głównego, układ sił
mozemy zredukowac do jednej siły wypadkowej
R =X
Pi.
Wówczas moment wypadkowej równa sie momentowi głównemu.
1. R 6= 0, MO 6= 0 - siła, para sił.
2. R 6= 0, MO = 0 - wypadkowa.
30
3. R = 0, MO 6= 0 - para sił.
4. R = 0, MO = 0 - równowaga.
1.16 Kratownice
Układ złozony z pretów, których konce sa ze soba połaczone