1 Számítógépes algebrai problémák a geodéziában Készítette: Zaletnyik Piroska
Jan 02, 2016
1
Számítógépes algebrai problémák a geodéziában
Készítette: Zaletnyik Piroska
BevezetésJoseph L. Awange, Erik W. Grafarend: Solving Algebraic Computational Problems in Geodesy and Geoinformatics, Springer, 2004
Geodéziai, geoinformatikai feladatok → nem lineáris algebrai problémák megoldása
Számítógépes algebrai szoftverek ismerete (Mathematica, Maple, Matlab)
Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása → többnyire egyenletek linearizálása, nem zárt képletek, nem egzakt megoldás
Nemlineáris, többváltozós egyenletrendszerek megoldása
n=m → zárt formulával megoldható
Gyakorlatban közelítő numerikus módszerek a megbízható, egzakt eljárások nehézkessége miatt
Linearizálás, iterációk, közelítő kezdeti értékek felvétele
Bizonyos esetekben a numerikus módszer instabil, vagy a kezdeti értékek rossz becslése miatt nem konvergál
Hagyományos megoldás hiányoságai
Részleges megoldásban használt linearizálás során az egyenlet gyökeinek megtalálásában vétett kis hiba, a számítások kiterjesztésekor a teljes megoldásra, nagymértékben növekedhet
A nem lineáris hatásokat figyelmen kívül hagyja
Többnyire iteráció szükséges
Nagyon fontos a helyes kezdeti érték felvétel
Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása zárt képletekkel
Számítógépek teljesítményének növekedése, algebrai szoftverek
Egzakt eljárások kidolgozása: Gröbner bázisok, Buchberger algoritmus, multipolinomiális rezultáns, Sylvester rezultáns, Macaluay, Strumfels formulák
Alapelv: többváltozós nemlin. egy. rsz.-nél a változók számát egyre lecsökkentik, innen egyszerű gyökkeresés (pl. roots parancs)
Túlhatározott egyenletrendszerek
Egzakt megoldások keresése n=m esetében
Ill. egzakt megoldás, amikor n>m
Több mérés, mint ismeretlen (pl. 7 paraméteres koordináta transzformáció)
Megoldás: Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus
Gröbner bázisok eredete
Zárt képletek nemlineáris többváltozós egyenletrendszerek megoldására
W. Gröbner javasolta 1949-ben, tanítványa Buchberger dolgozta ki részletesen 1965-ben (közben tőlük függetlenül 1964-ben Hironaka is alkalmazta ugyanazt)
Buchberger nevezte el Gröbner bázisnak az alkalmazott formulát
Gröbner bázisok
Nemlineáris, többváltozós egyenletrsz-ek „legnagyobb közös osztói”
Lineáris egyenletrendszerek Gauss eliminációs megoldásával analóg eljárás
Gröbner bázisok
f1=0, f2=0
22222221 22 xyxxyyyxfyf
323222221 2222)(2 xxxxyxxyfxfyf
3221 2)2(2 xxfxfy
Buchberger algoritmus
Buchberger algoritmus
Buchberger algoritmus
Buchberger algoritmus
Buchberger algoritmus
363 zzgg
Sylvester rezultánsKétváltozós, homogén polinomok esetében
Sylvester rezultáns
Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus
Általában több a mérés, mint az ismeretlenek száma
Lineáris egyenletrendszer esetében alkalmazható a legkisebb négyzeteken alalpuló, lineáris Gauss-Markov modell
Nem lineáris esetben linearizálás szükséges, megfelelő kezdeti értékek felvétele és iteráció
Gauss-Jacobi kombinatorikus modell
Nem szükséges linearizálni
Nincs szükség iterációra
Minden paraméter variancia-kovariancia mátrixa számításba vehető
Ki lehet szűrni a durva hibás méréseket
n>m esetben alkalmazható
Gauss-Jacobi kombinatorikus modell
Pl. ívmetszés (síkban) kettőnél több mért távolsággal
Gauss-Jacobi kombinatorikus
Pl. 3 mért távolság → 2 szükséges az egyértelmű megoldáshoz
Minden 2-es kombináció (jelen esetben 3) kiválasztása, megoldása pl. Gröbner bázisok segítségével
Gauss: megoldás súlyozott számtani közép (súlyok távolságok négyzetétől függenek)
Tőle függetlenül Jacobi is kitalálta a módszert (súlyok: determináns négyzete)
Gauss-Jacobi: megoldandó kérdés maradt a nemlineáris egyenletrendszerek esete
Gauss-Jacobi kombinatorikus modell
Gauss-Jacobi kombimatorilus modell
Lineáris esetben a megoldás megegyezik a lineáris Gauss-Markov modellel
Ellenkező esetben a variancia-kovariancia mátrix meghatározható nem lineáris hibaterjedési törvények alkalmazásával
Végeredmény a speciális lineáris Gauss-Markov modellel számítható (az egyenletek linearizálására csak a variancia-kovariancia mátrix levezetésekor van szükség)
Gauss-Jacobi kombinatorikus megoldás
Nem lineáris egyenletrendszerek megoldása
GPS helymeghatározás
GPS helymeghatározás
GPS helymeghatározás
GPS helymeghatározás
152
56
!2!4
!6
4
6
kC
GPS helymeghatározás
GPS helymeghatározás
GPS helymeghatározás
GPS helymeghatározás
Nemlineáris hibaterjedési törvények → variancia-kovariancia mátrix → súlyok számítása a megoldáshoz
A maradék eltérések nagyságrendileg azonosak mind a lineáris Gauss-Markov modell, mind a kombinatorikus Gauss-Jacobi modell esetében
Ha a felhasználó a hagyományos lineáris kiegyenlítést választja, a Gauss-Jacobi megoldás akkor is jól használható a kezdeti értékek jó megválasztásához, a gyors konvergáláshoz
Egyéb alkalmazások
Hátrametszés 2 és 3 dimenzióban is
Előmetszés 3 dimenzióban is
GPS meteorológia (pl. refrakciós szögek meghatározása, CHAMP adatok elemzése)
7 paraméteres koordináta transzformáció
Durva hiba szűrés
ÖsszefoglalóA bemutatott módszerek új eszközei a nemlineáris egyenletrendszerek kezelésének a geodéziában
Egzakt megoldást szolgáltatnak a problémákra.
Nincs szükség linearizálásra (csak a kovariancia mátrix meghatározásához),
se kezdeti érték felvételére,
se iterációkra.
Alkalmazásuk a mai számítógépes algebrai szoftverek használatával nem jelent nehézséget.
Köszönöm a figyelmet!