Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018/2019. tanév I. forduló Megoldások 2018. december 3.
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny
2018/2019. tanév
I. forduló
Megoldások
2018. december 3.
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
1. Válaszoljon az alábbi négy tesztkérdésre a helyes válasz aláhúzásával (minden kérdésnél
csak egy választ húzhat alá, több válasz aláhúzása esetén 0 pont jár.). A helyes válasz 5 pont
értékű.
1.1. Csónakban egyenletesen evezve (egyenes szakaszon) adott távolságot megteszünk oda-
vissza állóvízben, illetve folyóvízben (folyásiránnyal párhuzamosan). Melyikben tart
kevesebb ideig?
(a) az állóvízben,
(b) a folyóvízben,
(c) mindkettőben azonos,
(d) a sebességektől függ.
1.2. Függőlegesen eső cseppek nyomai a vízszintesen haladó 72 km/h sebességű vonat
ablakán a függőlegessel 45 fokot bezáró csíkok. Mekkora az esőcseppek (földhöz képesti
függőleges) sebessége?
(a) 36 km/h,
(b) 20 m/s,
(c) 36 m/s,
(d) 72 m/s.
1.3. Két test egy kör ugyanazon pontjából indul egyenletes körmozgással ellentétes irányban,
az egyik 6 másodperces, a másik 4 másodperces periódusidővel mozogva. Milyen
időközönként találkoznak?
(a) 2 másodpercenként,
(b) 2,4 másodpercenként,
(c) 5 másodpercenként,
(d) 1,5 másodpercenként.
1.4. Egy 10 kg-os és egy 30 kg-os gyerek egy 4 m hosszú, 40 kg tömegű (homogén) vasrúd
két végére szerelt ülésen ülve szeretne mérleghintázni. A kisebb gyerektől milyen távolságra
kell alátámasztani a rudat (az egyensúlyi állapothoz)?
(a) 1,5 m-re,
(b) 2,2 m-re,
(c) 2,5 m-re,
(d) 2,8 m-re.
Megoldások:
1.1. (a) (5 pont) Az állóvízben az átlagos sebességnagyság nyilván az állandó vcsónak sebesség,
míg folyóvízben ennél kisebb, mivel a folyással szemben a mozgás több ideig tart, mint a
folyás irányába, így az átlagos sebességnagyság a (vcsónak - vfolyó) értékhez közelebb lesz, mint
a (vcsónak + vfolyó) értékhez, tehát állóvízben kevesebb ideig tart a teljes mozgás. Természetesen
tetszőleges sebességértékek és távolság választásával is belátható, hogy állóvízben kevesebb.
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
1.2. (b) (5 pont) Az esőcseppek függőleges esési sebességének és a vonathoz képesti
vízszintes sebességének eredője 45 fokos, így a két sebesség egyenlő, tehát az esőcseppek
függőleges sebessége szintén 72 km/h, azaz 20 m/s.
1.3. (b) (5 pont) A periódusidőkből a fordulatszámok 10 fordulat/perc, illetve
15 fordulat/perc. Ha szemben mozognak, akkor a relatív sebességgel arányos fordulatszám a
kettő összege, azaz 25 fordulat/perc, így 60 s/25 = 2,4 s a találkozások periódusideje.
1.4. (c) (5 pont) Az alátámasztási pontra a forgatónyomaték (erő*erőkar) összeg nulla kell
legyen: 10*x + 40*(x-2) + 30*(x-4) = 0. Az x = 2,5 megoldás: 10*2,5 + 40*0,5 - 30*1,5 = 0
2. Egy kifeszített húr megpendítésekor a húrban terjedő transzverzális hullám terjedési
sebessége a c
képlettel adható meg, ahol σ a
mechanikai feszültség, ρ pedig a húr sűrűsége. A
mechanikai feszültség mértékegysége megegyezik a
nyomáséval, angolszász országokban elterjedten
használt egysége a psi (pound-force/square-inch, azaz
magyarul font/négyzet-hüvelyk). 1 pound-force
(font) = 4,448 N, illetve 1 m=39,37 inch (hüvelyk).
Hány m/s sebességű a transzverzális hullám egy 58000 psi mechanikai feszültséggel
megfeszített, 0,01 g/mm3 sűrűségű fémhúrban? (20 pont)
Megoldás:
A képletbe való behelyettesítéshez váltsuk át az adatokat SI egységekbe.
22 2
4,4481 1 1 6894,4
1
39
(8 po
,37
nt)pound force N N
psiinch m
m
,
így:
8
2=58000 4 10 (2 pont)
Npsi
m .
Másrészt a sűrűség: 3
4
3 9 3 3
10 0,01 0,01 10
10(6 pont)
m m
g kg kg
mm
A kapott értékeket behelyettesítve a képletbe: 8
4
4 1020 (4 p0
10ont)
mc
s
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
3. Egy önvezető autó 50 km/h sebességgel
rendőrlámpához közeledik. A lámpa piros, de
a fedélzeti számítógép kapcsolatba tud lépni
vele, és lekérdezi a szabad jelzésre váltás
idejét. A kapott értékből és a lámpánál álló
kocsisor hosszából megbecsüli, hogy az utolsó
autó (amely 150 m távolságra van az önvezető
kocsitól) 5 másodperc múlva fog elindulni álló
helyzetből 0,5 m/s2 gyorsulással. Az önvezető
autó fékezni kezd, majd amikor eléri a már
mozgásba lendülő utolsó kocsi sebességét, a
kocsisorral együtt gyorsít tovább. Milyen
állandó nagyságú fékezési lassulást válasszon ahhoz, hogy a lassítás végén éppen 10 m legyen
a követési távolság? (Az autókat tekintsük pontszerűnek.) (30 pont)
Megoldás:
Használjuk a következő jelöléseket: v = 50 km/h = 13,89 m/s (1 pont), s = 150 m, ts = 5 s,
as = 0,5 m/s2, x = 10 m. A fékezés lassulásának abszolút értékét jelöljük a-val!
A lassító kocsi tu idő után éri el a gyorsító kocsisor sebességét. Ez utóbbinak ts idővel
kevesebb áll rendelkezésére a gyorsításhoz:
susu ·· ttatav [behelyettesítve: u u13,89 · 0,5· 5 a t t ] (5 pont)
A lassítás végére a követési távolság úgy alakul ki, hogy a kezdő s távolságot a hátul haladó
(lassító) kocsi által megtett út csökkenti, az elöl haladó (gyorsító) kocsi által megtett út
növeli:
22 s
u u u s·2 2
aax s v t t t t
[számértékekkel:
22
u u u
0,510 150 13,89· 5
2 2
at t t ] (8 pont)
E két egyenletben mind a, mind tu ismeretlen. Fejezzük ki az első egyenletből tu-t!
s
ssu
·
aa
tavt
[behelyettesítve: u
13,89 0,5·5 16,39
0,5 0,5
t
a a] (5 pont; ugyanennyit ér, ha a
tanuló a másik ismeretlent fejezi ki bármelyik egyenletből helyesen)
Bontsuk fel a második egyenlet zárójeleit, majd írjuk be tu kifejezését:
2 2 2s su u u s u s s· · ·
2 2 2
a aax s v t t t a t t t [azaz:
2 2 2
u u u u
0,5 0,510 150 13,89· 0,5· ·5 5
2 2 2
at t t t ]
2 2 2 2s ss u s s u u u s s u s u
1· · · · ·
2 2 2 2
a aax s t v t a t t t t v a t t a a t
[számértékekkel:
2 2 2
u u u u
0,5 1 110 150 5 146,25 13,89 0,5·5 · 0,5 16,39· 0,5
2 2 2 t a t t a t ]
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
2 2
s s2s s s s s s ss s s s s s
s s s s
·· · ·1 1· · · · · ·
2 2 2
v a ta v a t v a t v a tx s t v a t a a v a t
a a a a a a a a
[behelyettesítve:
2 216,39 1 16,39 16,39 1 16,39
146,25 16,39· 0,5 · 16,39· ·0,5 2 0,5 0,5 2 0,5
aa a a a
]
Szorozzunk be a nevezővel:
2 22s
s s s s s s s s s s
1 1· · · · · · · ·
2 2 2
ax s t a a v a t v a t v a t v a t [vagyis:
21146, 25· 0,5 ·16,39
2 a ]
Fejezzük ki a-t:
2
s s
s2ss
·1·
2
2
v a ta a
ax s t
2
22
s s
s 22ss 2
m m13,89 0,5 ·5 s
·1 1 ms s· · 0,5
m2 2 s0,5
s2 10 m 150 m 5 s2
v a ta a
ax s t
= 0,418 m/s2 (11 pont jár
az egyenlet megoldásáért összesen)
4. Két személygépkocsi halad lakott területen egymással párhuzamosan azonos irányban.
Egy útkereszteződéshez közelednek, amikor a keresztutcából váratlanul egy tartálykocsi hajt
elébük. A személygépkocsik pontosan egy vonalban vannak, amikor a két vezető észreveszi a
tartálykocsit, és egyszerre kezdenek fékezni. Ebben a pillanatban az egyik személygépkocsi
sebessége v1 = 50 km/h, a másiké v2 = 60 km/h. A gépkocsivezetők reakció ideje tr = 0,5 s,
járműjük lassulása fékezéskor a = 6,5 m/s2. Az 1. gépkocsi h = 1 m-re áll meg a
tartálykocsitól.
(A reakcióidő az akadály észlelése és a jármű lassulásának kezdete közt eltelt idő. A
reakcióidő alatt a gépkocsi lassulása zérus.)
A gépkocsik fékútja a reakcióidő és a lassulás alatt megtett útszakaszok összege.
(a) Mekkora az 1. gépkocsi fékútja? (5 pont)
(b) Mekkora lenne a 2. gépkocsi fékútja, ha nem ütközne a tartálykocsival? (5 pont)
(c) Mekkora sebességgel ütközik a 2. gépkocsi a tartálykocsinak? (10 pont)
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
Megoldás:
(a) Az 1. gépkocsi fékútja:
a
vtvs
2
2
1r11 , m8,21
5,62
89,135,089,13
2
1
s . (5 pont)
(b) A 2. gépkocsi feltételes fékútja:
a
vtvs
2
2
2r22 , m7,29
5,62
67,165,067,16
2
2
s . (5 pont)
(c) A 2. gépkocsi útja az ütközésig:
m22,8m1m21,81ütk hss . (2 pont)
Ebből a tr reakcióidő alatt v2 sebességgel megtett út és az a lassulással megtett út:
m333,82r rtvs , m4,14ütklass rsss . (2 pont)
A 2. képkocsi sebessége az ütközés pillanatában:
lass
2
2ütk 2asvv , km/h34,1m/s9,484,145,6267,16 2
ütk v . (6 pont)
5. Egy vitorlás hajó úgy leng ki oldalirányban, hogy a
25 m magas árboc csúcsa harmonikus rezgőmozgást
végez 5 másodperces periódusidővel. A két szélső
kitérés közötti távolság 2,5 m. Mekkora az árboc
csúcsának sebessége, amikor az árboc éppen
függőleges? (10 pont)
Megoldás:
A kérdezett sebesség egyben a rezgőmozgás
maximális sebessége (4 pont), amiről ismert, hogy max
2· ·v A A
T
(2 pont). A
behelyettesítéshez figyelembe kell venni azt, hogy a rezgés végpontjainak távolsága
kétszerese az amplitúdónak, azaz A = 2,5 m/2 = 1,25 m (2 pont). Ebből
max
2 2· · 1,25 m·
5 sv A A
T
= 1,57 m/s (2 pont).
6. Egy nagytávolságú céllövész versenyen x = 300 m távolságban levő lőlapra kell célozni. A
lap középpontja és a fegyvertorkolat azonos magasságban van. A lövedék torkolati sebessége
v0 = 960 m/s. Tételezzük föl, hogy a torkolatot elhagyó lövedékre csak a súlyerő hat.
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
A lőlap középpontja fölött milyen magasan levő pontot kell célozni, hogy a lövedék a lőlap
középpontját találja el (20 pont)
Megoldás:
A ferde hajítás esetén a röppálya egyenlete:
22
0
2
cos2tan
v
gxxz . (4 pont)
Helyes irányzásnál a lövedék z irányú koordinátája (applikátája) a torkolatnál (x = 0) és a
lőlapnál (x = 300 m) zérus:
0cos2
tan22
0
2
v
gxx ,
22
0 cos2tan
v
gx ,
22
0 cos2cos
sin
v
gx . (4 pont)
Szorozzunk be 2*cos2 α-val, és rendezzük az egyenletet:
2
0
cossin2v
gx , a nevezetes azonossággal
2
0
2sinv
gx . (6 pont)
Behelyettesítés után megkapjuk a célpont fölé irányzás szögét:
003255,0960
300102sin
2
, '595,5 . (2 pont)
A fölé irányzás távolsága a lőlapon mérve:
m0,488'595,5tgm300tg xz . (4 pont)
Megjegyzés!
Az irányzási szög a következő tartományban van: 900 . Ebben a tartományban a
003255,02sin egyenletnek van egy másik gyöke is: 9534,89' . Ez majdnem
függőleges lövési irányt jelent. Ekkor a fölé irányzás távolsága a lőlap fölött 369 km. Ez csak
formális eredmény (az úgynevezett felső röppálya).
7. Az ábrán egy magas ház ablakait tisztító ipari alpinista látható, aki
egy ülésen ül, melyet az épülethez rögzített csigán átvetett kötél tart. A
kötél másik vége az ipari alpinista kezében van. Az ember és az ülés
együttes tömege 95 kg. (A kötél és a csiga tömegét, továbbá a súrlódási
ellenállást és a légellenállást hanyagolja el!) Mekkora erővel kell
húznia az embernek a kötelet ahhoz, hogy az üléssel együtt (a) állandó
sebességgel, ill. (b) 1,3 m/s2 gyorsulással emelkedjék? Ha a kötél nem
az ábrán levő személy kezébe fut, hanem a földön álló munkatárséba,
akkor annak mekkora erővel kell húznia a kötelet ahhoz, hogy az ipari
alpinista az üléssel együtt (c) állandó sebességgel, ill. (d) 1,3 m/s2
gyorsulással emelkedjék? (20 pont)
Megoldás:
Vizsgáljuk a munkás és ülése mozgását olyan vonatkoztatási rendszerben, amiben a felfelé
mutató irány pozitív!
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
Az (a) és a (b) esetben, ha a munkás a kötelet Fk erővel húzza, a kötél
is húzza a munkást a kezénél fogva ugyanakkora
erővel (2 pont), valamint a kötél továbbítja az erőt, és
a kötél másik vége az ülést szintén Fk erővel húzza
fölfelé (2 pont). A munkás+ülés rendszer mozgását
tehát a fölfelé mutató 2·Fk és a lefelé mutató m·g
súlyerő határozza meg: k· 2· ·m a F m g (3 pont).
Az (a) esetben az a gyorsulás 0, ezért
2
k
m95 kg·10
· s
2 2
m gF = 475 N (2 pont).
A (b) esetben a gyorsulás 1,3 m/s2, ezért
2 2
k
m m95 kg· 1,3 10
· s s
2 2
m a gF
=
= 536,75 N (2 pont).
A (c) és a (d) esetben, ha a munkatárs a kötelet Fk erővel húzza, a kötélerő
a munkás+ülés rendszerre csak a kötél másik végén (egy helyen) hat
(2 pont), ezért a mozgásegyenletben a kötélerő csak egyszeresen jelenik
meg (az előző kétszeres helyett): k· ·m a F m g (3 pont).
A (c) esetben az a gyorsulás 0, ezért k 2
m· 95 kg·10
sF m g = 950 N
(2 pont). A (c) esetben a gyorsulás 1,3 m/s2, ezért
k 2 2
m m· 95 kg· 1,3 10
s sF m a g
= 1073,5 N (2 pont).
8. Egy sima padlójú szobában egy a szoba sarkában álló egyenes, egyenletes tömegeloszlású,
kezdetben függőlegesen álló pálca eldől. A pálca mekkora dőlésszöge mellett mozdul ki a
pálcának a padlóra támaszkodó pontja? (30 pont)
Megoldás:
Az 𝑙 hosszúságú pálca kezdetben a sarokba
támasztott pontja körül gyorsuló szögsebességgel
dől. Akkor fog elmozdulni a sarokból az alsó
pontja, amikor a sarokban támasztó kényszererő
vízszintes 𝐾𝑥 komponense nullára csökken, mert
utána előjelet vált (2 pont).
A pálcára, mint merev testre felírhatók a
mozgásegyenletek.
A pálca súlypontjának sebessége irányába eső,
tangenciális erőkre és gyorsulásra:
𝑚 𝑎𝑡 = 𝑚 𝑔 sin 𝛼 + 𝐾𝑥 cos 𝛼 − 𝐾𝑦 sin 𝛼 .
(1)
(2 pont)
A pálca súlypontja a mozgás kezdetén a sarokba
támasztott pontja körül 𝑙/2 sugarú körpályán
körmozgást végez, ezért:
Fk
m·g
Fk
Fk
Fk
+
Fk
m·g
Fk
Fk
Fk
+
Fk
m·g
Fk
Fk
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
𝑚 𝑣2
𝑙 2⁄= 𝑚 𝑔 cos 𝛼 − 𝐾𝑦 cos 𝛼 − 𝐾𝑥 sin 𝛼 . (2) (2 pont)
A pálca gyorsuló körmozgást végez, amelynek a forgástengelytől 𝑙/2 távolságban a kerületi
sebessége 𝑣, gyorsulása 𝑎𝑡, ezért szögsebessége és szöggyorsulása:
𝜔 =𝑣
𝑙/2 , (4) (2 pont)
𝛽 =𝑎𝑡
𝑙/2 . (5) (2 pont)
Az A, rögzített pontra a forgómozgás alapegyenlete:
Θ𝐴 𝛽 = 𝑚 𝑔 sin 𝛼 𝑙
2 , (6) (2 pont)
ahol
Θ𝐴 =1
3 𝑚 𝑙2 . (7) (2 pont)
A rúd dőlése során egyre nagyobb mozgási energiával mozog, amelyet helyzeti energiájának
csökkenése fedez: 1
2Θ𝐴 𝜔2 = 𝑚 𝑔
𝑙
2 (1 − cos 𝛼) . (8) (2 pont)
A (6)-os egyenletbe beírva (7)-es és (5)-ös egyenleteket:
1
3 𝑚 𝑙2
𝑎𝑡
𝑙/2= 𝑚 𝑔 sin 𝛼
𝑙
2 ,
ebből
𝑎𝑡 =3
4 𝑔 sin 𝛼 . (9) (2 pont)
A (9)-es egyenletet beírva az (1)-es egyenletbe:
𝑚 3
4 𝑔 sin 𝛼 = 𝑚 𝑔 sin 𝛼 + 𝐾𝑥 cos 𝛼 − 𝐾𝑦 sin 𝛼 ,
ebből
𝐾𝑦 =𝑚 𝑔
4+ 𝐾𝑥
cos 𝛼
sin 𝛼 (10) (2 pont)
A (8)-as egyenletbe beírhatjuk (7)-es és (4)-es egyenleteket: 1
2 1
3 𝑚 𝑙2 𝜔2 = 𝑚 𝑔
𝑙
2 (1 − cos 𝛼) ,
ebből
𝑣2 =3
4 𝑔 𝑙 (1 − cos 𝛼) . (11) (2 pont)
Végül a (2)-es egyenletbe beírhatjuk a (10)-es és a (11)-es képleteket:
𝑚 3
4 𝑔 𝑙 (1−cos 𝛼)
𝑙 2⁄= 𝑚 𝑔 cos 𝛼 − (
𝑚 𝑔
4+ 𝐾𝑥
cos 𝛼
sin 𝛼 ) cos 𝛼 − 𝐾𝑥 sin 𝛼 ,
ebből
𝐾𝑥 =3
2 𝑚 𝑔 sin 𝛼 (
3
2cos 𝛼 − 1) , (12) (2 pont)
amiből leolvasható, hogy 𝐾𝑥 nagysága nullára csökken, ha
cos 𝛼 =2
3 , (13) (2 pont)
azaz ha
𝛼 = 48,2° . (2 pont)
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
Ezen dőlési szög elérése után 𝐾𝑥 értéke a (12) képlet szerint negatív értékűre változna, de a
sarok támasztó ereje csak nyomni tudja a rúd végét, húzni viszont nem, ezért a rúd vége a
sarokból kimozdul. (2 pont)
9. Függőleges helyzetben alátámasztott 20 N/cm direkciós erejű
(súlytalannak tekinthető) rugóra erősített (elhanyagolható tömegű) tálcára,
H=55 cm magasságból egy m=2 kg tömegű rugalmatlan testet dobunk
függőlegesen (lefelé) v0 kezdősebességgel indítva. Mekkora legyen a v0
kezdősebesség, hogy a rugó maximális összenyomódása Δx=20 cm
legyen? (20 pont)
Megoldás:
Adatok: N
2 kg ; 2000 ; 0,55 m ; 0,2 mm
m D H x .
A megoldáshoz használjuk az energia-tételt!
Válasszuk a h = 0 magasságot a rugó maximális összenyomódásánál mért magassághoz (azaz
a test indítási helye alatt 75 cm-rel). (A koordináta-rendszer rögzítése 2 pont)
Ekkor az elengedés t1 pillanatában a (testből és rugóból álló) rendszer E1 teljes energiája két
tagból tevődik össze, a test mozgási energiájából és gravitációs helyzeti energiájából:
2
1 0 (6 pont)1
2
E mv mg H x .
A t2 pillanatban, amikor a test a legalsó helyzetben van (a rugó maximálisan összenyomott
állapotában) a rendszer E2 teljes energiája csak a rugóenergiát tartalmazza (a test magassága 0
és a sebessége is 0):
2
2
1 ( 6 pont)
2E D x .
Az energia-tétel értelmében a rendszer teljes energiája állandó (a rugóerő ellenében végzett
munkát a rugalmas energiában figyelembevettük, más munkavégzés pedig nem történik), így:
2 2
0
1 1
2 2mv mg H x D x , (4 pont)
amiből:
2 2
0
20002 0,2 2 10 0,55 0,2 5
2
D mv x g H x
m s . (2 pont)
Tehát 0 5 m
vs
kezdősebességgel kell indítani a testet.
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
10. Napjainkban az élményfürdők egyik ismert attrakciója a billenő-
vödör. A billenő-vödör egy csúcsával lefelé fordított kúp alakú nyitott
edény, amely az oldalához rögzített vízszintes tengelyek körül elfordulhat.
A vödörbe fölülről egy csőből megszakítás nélkül víz folyik. Ahogy
emelkedik a vízszint a vödörben, egy idő után labilis egyensúlyi helyzet
alakul ki, a vödör a tengelye körül elfordul és az összes víz kiömlik belőle,
majd ismétlődik az üres vödör feltöltése.
Egy billenő-vödör főbb méretei:
magasság H = 38 cm,
alapkör sugara R = 25 cm,
forgástengely a kúp csúcsától h = 26 cm,
vízsugár térfogatárama q = 20 liter/perc.
A vödör súlyát hanyagoljuk el a benne levő víz súlya
mellett. A légellenállást és a súrlódást, valamint a vízsugár
ütközési erejét is hanyagoljuk el.
A homogén (tömör) kúp súlypontja az alaplapjától
magasságának 1/4-szeresére van.
(a) Mennyi idő alatt töltődik föl az üres vödör a labilis
egyensúlyi állapot beálltáig? (20 pont)
(b) Mekkora a vödör térfogata és mennyi víz van a vödörben a kiömlés előtti pillanatban?
(10 pont)
Megoldás:
(a) A t = 0 pillanatban legyen a vödör üres. A töltőcsőből t idő alatt qtV térfogatú víz
folyik ki. Ez a vödörben r alapkörű, z magasságú kúpot tölt ki, ennek térfogata: 3
2 zrqt
.
Hasonlóság alapján:
H
R
z
r , z
H
Rr , 3
2
2
3z
H
Rqt
, 3
2
23qt
R
Hz
. (10 pont)
A vödörben levő víz súlypontjának távolsága a kúp csúcsától: zs4
3 .
Ha hs , azaz ha hz3
4 , akkor a súlypont a forgástengely fölé kerül, bizonytalan (labilis)
egyensúlyi állapot alakul ki, és a vödör a tengelye körül elfordul (2 pont). Ezt a pillanatot
jelöljük T-vel:
hz3
4 , hqT
R
H
3
433
2
2
. (4 pont)
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
Innen a vödör feltöltődéi ideje:
s6,6581
642
23
H
R
q
hT
. (4 pont)
(b) A vödör és a kiömlő víz térfogata:
liter9,243
2
vödör HR
V
, liter9,18 qTV . (10 pont)
11. 2018. aug. 26-án a Duna vízállása rendkívül alacsony volt. Paksnál a Duna vízhozama
q = 1100 m3/s, a vízhőfok T0 = 24°C volt.
A víz fajhője c = 4183 J/kg/°C, forráspontja
Tf = 100°C, sűrűsége ρ = 1000 kg/m3.
A vizsgált időpontban a Paksi Atomerőmű villamos
teljesítménye P = 2000 MW, eredő termikus
hatásfoka 25% volt.
(a) A Paksi Atomerőmű időegység alatt mennyi
belső energiát ad át a Duna vizének? (10 pont)
(b) Ez a belső energia mennyivel növeli a Duna vizének hőmérsékletét a megadott vízhozam
esetén? (10 pont)
Megoldás:
(a) Az erőmű termikus hatásfoka a leadott villamos teljesítmény és a reaktorban időegység
alatt termelt belső energia hányadosa:
Φ
P .
A reaktorok termikus teljesítménye:
PΦ , MJ/s8000
0,25
MW2000Φ .
Ebből a teljesítményből 2000 MW az országos villamos hálózatba kerül villamos energia
formájában. A maradékot a hűtővíz (Duna) viszi el. Az időegység alatt a Dunának átadott
belső energia:
PΦΦ Duna , GW6MW2000MW8000Duna Φ . (10 pont)
(b) Ha m tömegű vízzel Q hőt közlünk, akkor a víz hőmérsékletváltozása:
TmcQ , tqc
tΦ
mc
QT
Duna ,
qc
ΦT
Duna ,
C1,3110010004183
106000 6
T . (10 pont)
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
12. Egy kerékpárgumi öblös térfogata Vgumi = 2,5 liter. Ezt egy olyan
pumpával pumpáljuk föl, melynek méretei:
pumpacső belső átmérője d = 22 mm,
dugattyú lökethossza L = 260 mm.
A pumpálás előtt a gumiban a nyomás megegyezik a légnyomással, ami
p0 = 100 kPa. A dugattyú fölső helyzetében a pumpacsőben a nyomás
megegyezik a légnyomással. A dugattyú lenyomásakor a pumpacsőbe zárt
levegő mennyiségének csak q = 80%-a préselődik a gumiba egy szelepen
keresztül. A gumin levő szelep nyit, ha a pumpa felöli térben a nyomás
nagyobb, mint a gumiban. A pumpálással az a cél, hogy a gumiban a
nyomás legalább pcél = 400 kPa legyen (a túlnyomás 300 kPa).
A pumpálás során a hőmérsékletet tekintse állandónak. A levegő sűrűsége
a p0 nyomáson ρ0 = 1,25 g/liter.
(a) Hányszor kell teljes lökethosszal lenyomni a pumpadugattyút, hogy
elérjük a kívánt célnyomást? (10 pont)
(b) A pumpadugattyú egyszeri lenyomása során mennyivel változik a gumiban a nyomás?
(10 pont)
Megoldás:
(a) Mivel a hőmérséklet állandó, ezért a gumiban a levegő tömege kezdetben, illetve a
pumpálás végén:
g125,35,225,1gumi00 Vm , (1 pont)
g5,1245,225,10
gumi0cél p
pVm . (3 pont)
A pumpacső térfogata és a csőbe zárt levegő tömege:
322
pumpa cm98,83264
2,2
4
L
dV , (1 pont)
g1235,01000/83,9825,1pumpa0pumpa Vm . (1 pont)
A dugattyúlenyomások száma:
94,91235,08,0
125,35,12
pumpa
0cél
qm
mmn . (4 pont)
A dugattyút legalább n = 95-szor kell lenyomni.
(b) Az i-edik dugattyúlenyomás kezdetén, illetve végén a gumiban a levegő nyomása és a
nyomásváltozás:
0
101
m
mpp i
i
, 0
0m
mpp i
i , gumi
pumpa
0
0
pumpa
01V
qVp
m
qmppp ii ,
kPa3,162500
98,860,8kPa1001
ii pp . (10 pont)
Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny 2018-2019. tanév I. forduló 2018.12.03.
Másik lehetséges megoldás: állandóm
p , így p változása arányos m változásával, mivel m
95 pumpálás alatt egyenletesen nőtt, így p is 95 pumpálás alatt egyenletesen nő p0 –ról pcél ra,
tehát egy pumpálás alatt kPa3,1695
0 ppcél értékkel nő a nyomás.
13. Egy jármű üzemanyagtartályának szintjelzője
elektromosan működik: a kijelző egy 10 belső
ellenállású mutatós műszer, ami sorba van kötve egy
változtatható ellenállással. A változtatható ellenállás
nagyságát az üzemanyag felszínén úszó test változtatja (a
WC-tartály úszós megoldású töltőcsapjához hasonlóan).
Ennek ellenállása 490 , amikor a tank üres, és 140 ,
amikor tele van. A kapcsolást a 12 V feszültségű
(elhanyagolható belső ellenállású) akkumulátor hajtja meg.
Mekkora áram folyik a kapcsoláson, amikor a tartály (a)
üres, ill. (b) tele van? (10 pont)
Megoldás:
A változó ellenállású szintmérő és az állandó ellenállású mutatós műszer soros kapcsolásán
átfolyó áramról van szó a két esetben (4 pont). Az eredő ellenállás üres állapotban:
ü 490 10R = 500 (2 pont), teli állapotban t 140 10R = 150 (2 pont). A
folyó áramok Ohm törvénye szerint (a) üres állapotban: ü
ü
12 V
500
UI
R
= 0,024 A (1 pont),
(b) teli állapotban t
t
12 V
150
UI
R
= 0,080 A (1 pont).
14. Egy méhecske vízszintesen, 45 fokos szögben, 2𝑚
𝑠 nagyságú sebességgel repül egy
függőlegesen álló síktükör felé. Mekkora sebességgel látja közeledni saját tükörképét?
(10 pont)
Megoldás:
A méhecske közeledési sebessége a tükörhöz megegyezik sebességének tükörre merőleges
komponensével, vagyis:
𝑣⊥ = 𝑣 ⋅ cos 45∘ = 2𝑚
𝑠⋅ cos 45∘ = 1,41
𝑚
𝑠 (5 pont)
A méhecske tükörképe is ugyanekkora nagyságú sebességgel közeledik a tükör felé a másik
irányból. (2 pont)
A méhecske így saját tükörképét 𝑣 = 2 ∙ 𝑣⊥ = 2 ∙ 1,41𝑚
𝑠= 2,82
𝑚
𝑠 sebességgel látja maga
felé közeledni. (3 pont)