Systèmes de référence et de coordonnées

ÉCOLE NATIONALE DES SCIENCES GÉOGRAPHIQUES

Systèmes de référence et de

coordonnées

Fascicule 1 : L'ellipsoïde

Serge Botton

Novembre 2011

Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 2 ENSG / DPTS

P L A N - Définitions d'un ellipsoïde géodésique, d'un méridien origine - Géométrie de l'ellipsoïde de révolution aplati:

. Paramétrages . Coordonnées géographiques . Arc d'ellipse . Courbures et lignes géodésiques


DÉFINITION DE L ' ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION APLATI ( 1 / 2 )

Dans le plan affine muni du repère 1 2R ( ; , )O= u u , considérons le cercle C de centre O et de rayon a,

U1

M

a

bm

O u1

2u

U2

( )R21,UUm

R21,

Ua

bUM

La transformée de C par l'affinité de rapport a

b selon u2 est une

ellipse E de centre O et de grand axe selon u1.

Rotation de E autour de (O,u1)

� Ellipsoïde de révolution allongé Rotation de E autour de (O,u2)

� Ellipsoïde de révolution aplati


DÉFINITION DE L ' ELLIPSOÏDE DE

RÉVOLUTION APLATI ( 2 / 2 )


� Ellipsoïde de révolution allongé


� Ellipsoïde de révolution aplati

L'ellipsoïde de révolution aplati est la forme mathématique simple qui modélise le mieux la surface terrestre.


PARAMÉTRAGE DE L ' ELLIPSOÏDE

Utilisation des coordonnées

sphériques (a,λ,u): Les coordonnées d'un point

m quelconque de la sphère sont:

λλ

ua

ua

ua

m

sin

cossin

coscos

O

p

P

M

m

HA

b

a

i j

ku

λ

L'ellipsoïde étant le transformée de la sphère par l'affinité de rapport

ab selon k, les coordonnées d'un point M quelconque de l'ellipsoïde

sont:

λλ

ub

ua

ua

M

sin

cossin

coscos


QUELQUES DÉFINITIONS

• u: latitude paramétrique

• λ: longitude O

i j

k u

λ

équateur

méridien

parallèle

PN

M

• Axe de rotation: axe des pôles

• Intersection de l'axe des pôles avec l'ellipsoïde: pôles Nord et Sud

• Plan ( )j,i;O : plan équatorial

• Intersection du plan équatorial avec l'ellipsoïde: équateur

• Intersection du plan contenant l'axe des pôles avec l'ellipsoïde: courbe méridienne

� courbe le long de laquelle λ est constant � 1ère courbe-coordonnées

• Intersection d'un plan parallèle à l'équateur avec l'ellipsoïde: cercle parallèle

� courbe le long de laquelle u est constant � 2ème courbe-coordonnées


COORDONNÉES D ' UN POINT

DE L'ELLIPSE MÉRIDIENNE ET DE L'ELLIPSOÏDE

a

b

Z

r

m

M

Oi jk u

Coordonnées paramétriques d'un point M quelconque de l'ellipse méridienne:

==

ubZ

uarM

sin

cos

Équation cartésienne de l'ellipse méridienne:

12

2

2

2

=+b

Z

a

r

→ Équation cartésienne de l'ellipsoïde de révolution:

12

2

2

22

=++b

Z

a

YX


DÉTERMINATION DE L ' ELLIPSOÏDE (1/2)

Définition géométrique:

Définition à l'aide de deux paramètres géométriques:

• demi grand axe a et demi petit axe b

• a et aplatissement f (en anglais "flattening"):

a

baf

−=

• a et (première) excentricité e :

2

22

a

bae

−=

• a et deuxième excentricité e' :

2

22

'b

bae

−=


DÉTERMINATION DE L ' ELLIPSOÏDE (2/2)

Définition dynamique:

Un ellipsoïde de masse M crée un champ de gravité dont le potentiel U se développe en harmoniques sphériques sous la forme:

( )

θ

−= ∑∞+

=cosP1 22

1

2

nnn

n

Jr

a

r

GMU

où: • le terme r

GM correspond au cas d'une sphère homogène,

• les fonctions ( )θcosP2n sont les polynômes de Legendre de

degrés 2n,

• les coefficients J2n sont inconnus. Ils dépendent de la géophysique de la Terre. Ils s'expriment tous en fonction de J2.

On a: mffmfJ21

2

3

1

3

1

3

2 22 +−−=

avec GM

bam

22Tω= , ωT étant la vitesse de rotation de la Terre

� La donnée de a et J2 définit donc parfaitement l'ellipsoïde.


EXEMPLES D ' ELLIPSOÏDES

Désignation

Définition

Paramètres

géométriques dérivés

Ellipsoïde des poids et mesures (1799)

a = 6375739,0 m f = 1/334,29

b ≈ 6356666,521 m

Clarke 1866

a = 6378206,4 m b = 6356583,8 m

Clarke 1880 IGN

a = 6378249,2 m b = 6356515,0 m

Hayford 1909 (International 1924)

a = 6378388,0 m f = 1/297

b ≈ 6356911,946 m

GRS 1980

a = 6378137,0 m J2 = 108263.10-8

b ≈ 6356752,314 m

etc.

En moyenne: a ≈ 6380000 m f ≈ 1/300 e2 ≈ 1/150


CONNAISSANCE DES PARAMÈTRES D'UN ELLIPSOÏDE EXEMPLE 1 : CLARKE 1880

"Geodesy"; A.R.Clarke; 1880:

a = 20 926 202 pieds b = 20 854 895 pieds b

a =

292,465

293,465 , soit

1

293,465f =

Pour la conversion des pieds en mètres:

"Comparisons of the standards of length"; A.R.Clarke; 1866:

→ "Clarke 1880 anglais":

a = 6378249,14533 m f = 1/293,495 soit b ≈ 6356514,870 m

→ "Clarke 1880 IGN":

a = 6378249,20 m b = 6356515,02 m

Utilisation d'un autre facteur de conversion:

→ "Clarke 1880 Palestine":

a = 6378300,789 m b = 6356566,435 m

"Clarke 1866":

a = 6378206,4 m b = 6356583,8 m


CONNAISSANCE DES PARAMÈTRES D'UN ELLIPSOÏDE EXEMPLE 2 : ELLIPSOÏDE D ' EVEREST

"Lambert numerical tables, India Zone IV"; (1943):

a = 6 974 310,6 yards = 20 922 931,8 pieds 1 yd = 3 ft

1

300,8017f =

Conversion en mètres:

- utilisation du facteur de conversion du "pied indien":

1 Ind ft = 0,304 798 41 m

→ a ≈ 6 377 276,345 m → b ≈ 6 356 075,413 m

(ellipsoïde "Everest 1830" utilisé au Bengladesh)

- utilisation du "pied du Survey of India":

1 ft S.o.I. = 0,304 799 6 m

→ a ≈ 6 377 301,243 m → b ≈ 6 356 100,228 m

- utilisation du "British imperial yard" (Weights and Measures Act, 1872):

=⇔=

m 73799304,0ft Imp 1

m 203990,914=yd Imp 1yd Imp

36113370,39

m 1

→ a ≈ 6 377 304,033 m → b ≈ 6 356 103,009 m

Utilisation du "International yard" (1959) et du "Survey foot":

36001 Int yd m

3937= , et

12001 Surv ft m 0,304800610 m

3937= =


CONNAISSANCE DES PARAMÈTRES D'UN ELLIPSOÏDE EXEMPLE 3 : GRS80

A.G. de l'Association Internationale de Géodésie à Canberra en 1979:

Adoption de l'ellipsoïde "Geodetic Reference Surface 1980" (GRS80):

a = 6378137,0 m GM = 3986005 108 m3/s2 J2 = 108263 10-8 ωT = 7292115 10-11 rad/s

D'où: b ≈ 6356752,3141 m

Définition du "World Geodetic System 1984" (WGS84) par la Defense Mapping Agency (DMA, Etats-Unis):

Utilisation de GRS80, mais recalcul des paramètres géométriques:

b = 6356752,3142 m


VECTEURS TANGENTS À L'ELLIPSOÏDE

Soient pt vecteur tangent au cercle parallèle et mt vecteur tangent au méridien.

p

∂∂λ

= OMt

m u

∂∂

= OMt

O

M

ij

k

λ

u

tp

t m

λλ

ub

ua

ua

sin

cossin

coscos

OM donc

λλ−

0

coscos

cossin

p ua

ua

t et

λ−λ−

ub

ua

ua

cos

sinsin

sincos

mt


VECTEUR UNITAIRE NORMAL À L'ELLIPSOÏDE

Appelons n le vecteur unitaire normal à l'ellipsoïde. La latitude géographique ϕ est l'angle entre le plan équatorial et n.

On a uϕ >

( cf. page 18 )

O

M

n

ij

k

λ

ϕ

tp

t m

u


RELATION ENTRE LA LATITUDE PARAMÉTRIQUE u

ET LA LATITUDE GÉOGRAPHIQUE ϕϕϕϕ ( 1 / 3 )

O

M

n

ij

k

λ

ϕ

tp

t m

uλ

+=+=

ksinucosn

jsinicosu

ϕϕλλ

λ

λdonc les composantes de n sont

ϕϕλϕλ

sin

cossin

coscos



ET LA LATITUDE GÉOGRAPHIQUE ϕϕϕϕ ( 2 / 3 )

La définition de n impose que n soit un vecteur unitaire orthogonal à pt et nt :

ainsi mp

mp

tt

ttn

∧∧

=

où

λλ

∧uua

uba

uba

cossin

cossin

coscos

2

2

2

mp tt

on aboutit à ubuaua 2222mp cossincos +=∧ tt

Siueubua

bw

222222 sin1

1

cossin ′+=

+= ,

alors w

uba cosmp =∧ tt

et

λλ

ub

wauw

uw

sin

cossin

coscos

n



ET LA LATITUDE GÉOGRAPHIQUE ϕϕϕϕ ( 3 / 3 ) Transformation de u à ϕϕϕϕ:

uwcoscos =ϕ

uwb

asinsin =ϕ

uew

22 sin1

1

′+=

et ub

atantan =ϕ

Transformation de ϕϕϕϕ à u:

wu

ϕ= coscos

wa

bu

ϕ= sinsin

ϕ−= 22 sin1 ew

ϕ= tantana

bu

Relation différentielle entre u et ϕϕϕϕ:

La différentiation de la relation ub

atantan =ϕ donne:

ϕϕ= 22 cos

d

cos

d

a

b

u

u

2cos

1tan'=

ainsi 2d

d

aw

bu =ϕ


MÉRIDIEN ORIGINE Méridien origine: Plan méridien passant par un lieu L donné servant d'origine à la mesure des longitudes λ'. Soient λ la longitude de M par rapport à Greenwich, λ0 la longitude de L par rapport à Greenwich, En valeurs algébriques, λ = λ' + λ0

X

Y

Z

h

λ

ϕ

0M

M

λ 'λ0

L

Longitude origine de Paris par rapport à Greenwich: 2°20'14,025" Est


COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUES

- longitude λ: angle entre le plan méridien de M et un plan méridien origine choisi arbitrairement, habituel-lement compté positivement vers l'Est.

- latitude géographique ϕ: angle entre le plan équatorial et la normale à

l'ellipsoïde.

- hauteur par rapport à l'ellipsoïde h: abscisse de M sur la normale à l'ellipsoïde, comptée

positivement à l'extérieur de l'ellipsoïde.

X

Y

Z

h

λ

ϕ

0M

M


COORDONNÉES CARTÉSIENNES EN FONCTION DE λλλλ ET DE ϕϕϕϕ

Coordonnées d'un point M quelconque de l'ellipse méridienne:

( )

ϕ−=ϕ==

ϕ==

sin1sin

sin

coscos

22

w

ea

aw

bubZ

w

auar

M

a

b

Z

r

m

M

M*h

Oi jk ϕu

Coordonnées d'un point M quelconque de l'ellipsoïde:

( )

ϕ−=ϕλ=ϕλ=

sin1

cossin

coscos

2eNZ

NY

NX

M , avec w

aN =

Point quelconque M* quelconque de l'espace:

( )[ ]

ϕ+−=ϕλ+=ϕλ+=

∗

sin1

cossin)(

coscos)(

2 heNZ

hNY

hNX

M


TRANSFORMATION ENTRE COORDONNÉES CARTÉSIENNES ET GÉOGRAPHIQUES

Passage de (λ,ϕ,h) à (X,Y,Z):

( )[ ]

ϕ+−=ϕλ+=ϕλ+=

sin1

cossin)(

coscos)(

2 heNZ

hNY

hNX

avec ϕ−

=22 sin1 e

aN

Passage de (X,Y,Z) à (λ,ϕ,h), formule itérrative :

X

Yarctan=λ

ϕ et h sont obtenues comme limites des suites convergentes ( ) N∈nnϕ et ( ) N∈nn

h définies par:

−ϕ+=

+=ϕ

00

22

0

220

cos

arctan

NYX

h

YX

Z

et

−ϕ+=

+−

×+

=ϕ

−−

−

ii

i

ii

ii

NYX

h

hN

NeYX

Z

cos

1

1arctan

2211

1222

Dans les deux sens, les formules fournissent des résultats exacts

au niveau millimétrique.


TRANSFORMATION ENTRE COORDONNÉES CARTÉSIENNES ET GÉOGRAPHIQUES

Passage de (X,Y,Z) à (λ,ϕ,h), formule directe :

21 1f e= − − 2 2 2R X Y Z= + + Y

arctgX

λ =

( )2

2 21

Z e aarctg f

RX Yµ

= ⋅ − +

+

( )( )

2 3

2 2 2 3

1 sin

1 cos

Z f e aarctg

f X Y e a

µϕ

µ

− + =

− + −

[ ]2 2 2 2cos sin 1 sinh X Y Z a eϕ ϕ ϕ = + ⋅ + − −

Les deux processus fournissent un résultat numérique identique.


LONGUEUR D ' UN ARC D ' ELLIPSE Arc de méridien infiniment petit:

( ) ϕ−=ϕρ=β d1

dd 3

2

w

ea

avec ϕ−= 22 sin1 ew

M

O

k ϕ

ϕd

uλ

... et donc la longueur d'un arc de méridien entre l'équateur et un point

quelconque M de latitude ϕ est égale à ( )

∫∫ϕϕ

ϕ−=β=β0

3

2

0d

1d

w

ea .

Pratiquement, β peut s'écrire comme un développement en série

des fonctions ( ) N∈nnϕsin .

Une étude de convergence montre que, pour atteindre le mm d'exactitude, il est nécessaire d'utiliser le terme sin8ϕ :

( )ϕ+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=β 8sin6sin4sin2sin 43210 bbbbba

with 86420 16384

175

256

5

64

3

4

11 eeeeb −−−−=

86421 4096

105

1024

45

32

3

8

3eeeeb −−−−=

8642 16384

525

1024

45

256

15eeeb ++=

863 12288

175

3072

35eeb −−=

84 131072

315eb =


COURBURES D 'UNE SURFACE Soient une surface Σ et M un de ses points,

γ une courbe quelconque de Σ passant par M dans la direction de T,

Sn la section normale à Σ en M dans la direction de T,

Rn

nSM

γΣ

nT

Sn est l'intersection de Σ avec le plan normal ( )n,T;M .

Rayon de courbure normale:

Parmi toutes les courbes γ dans la direction de T, Sn est celle qui admet le plus grand rayon de courbure en M; son rayon de courbure est le rayon de courbure normale Rn .

Rayon de courbure principal:

On démontre qu'il existe 2 directions particulières 1T et 2T selon lesquelles Rn est extremum.

1T et 2T sont les directions principales de Σ en M.

( )11 TnRR = et ( )22 TnRR = sont les rayons de courbures principaux .

MΣ

n

Dans une direction T quelconque: ( )2n1 T RRR ≤≤

Sur un ellipsoïde de révolution aplati:

• 1T est la direction du méridien,

• 2T est la direction du parallèle.


RAYONS DE COURBURE PRINCIPAUX

DE L ' ELLIPSOÏDE Rayons de courbure pricipaux:

• dans la direction du méridien:

( )3

2

(mér)1

d

d

w

eaR

−=ρ=ϕβ=n

• dans la direction du parallèle:

w

aNR ==(paral)n avec

( ) 21

22 sin1−

ϕ−= ew

N est appelé grande normale.

O

M

ij

k

Tm

AzpT

T

Sphère de courbure totale: ρ= NRT

Sphère de courbure moyenne:

ρ+= 11

2

11

M NR

Courbure d'une section normale d'azimut Az: (formule d'Euler):

L'azimut Az est l'angle entre le Nord et une direction considérée,

N

AzAz

R

22 sincos1 +ρ

=

méridien

parallèle

direction

Az


COORDONNÉES SYMÉTRIQUES D ' UNE SURFACE

Soit ds une longueur élémen-

taire sur la surface Σ munie du paramétrage ( )vu, .

ΣM

ds

OMv

∂∂

uOM∂∂

L'expression de ds peut se mettre sous la forme:

222 ddd2dd vGvuFuEs ++= avec

∂∂=

∂∂⋅

∂∂=

∂∂=

2

2

vG

vuF

uE

OM

OMOM

OM

- Si 0=F , le paramétrage ( )vu, est dit orthogonal. Les courbes-coordonnées (courbes à u ou à v constant) se coupent alors angles droits.

- Si

==

0F

GE , le paramétrage est dit symétrique. Dans ce cas,

l'élément de longueur ds peut s'écrire:

( )222 ddd vuEs +=


COORDONNÉES SYMÉTRIQUES DE L'ELLIPSOÏDE

22222222 ddddd λ+ϕρ=λ+β= rrs

→ les coordonnées géographiques sont orthogonales non symétriques

mér.

paral.m

dβ

r dλ

Une fonction ( )ϕL telle que ( )L,λ soit un paramétrage

symétrique peut être définie comme suit :

2222 dd Lr=ϕρ avec ( )

−=ρ

ϕ=ϕ=

3

21

coscos

w

eaw

aNr

donc ( ) ϕϕϕ−

−=ϕϕ

−= dcossin1

1d

cos

1d 22

2

2

2

Le

e

w

e

L s'intégre en: ϕ−ϕ+−

ϕ+π=sin1

sin1ln

224tanlnL

e

ee

L est la latitude isométrique


LIGNES GÉODÉSIQUES DE L ' ELLIPSOÏDE Définition:

Soit une surface Σ quelconque, une ligne géodésique GΓ est une courbe telle que, en tout point, son vecteur unitaire de normale principale N soit égal au vecteur normal à Σ n.

Σ

ΓG

A

B

N = n

Propriété géométrique fondamentale:

Parmi toutes les courbes γ tracées sur Σ entre A et B, la ligne géodésique est le chemin le plus court.

En navigation, la ligne géodésique entre 2 points est appelée l'orthodromie.

Relations caractéristiques:

- relation de Clairaut:

r désignant le rayon du parallèle,

sinr Az est constant sur une géodésique - relation de Laplace: λϕ= dsind Az


PROBLÉMATIQUE DU CALCUL DES LIGNES

GÉODÉSIQUES SUR L ' ELLIPSOÏDE

O

ij

k

Az2

1M

M2

1Az

Problème direct:

Connaissant ( )111 ,ϕλM 1Az et s∆ , calcul de ( )222 ,ϕλM et 2Az . Problème inverse:

Connaissant ( )111 ,ϕλM et ( )222 ,ϕλM , calcul de 1Az , s∆ et 2Az . Méthodes:

• méthode générale (calcul des grandes géodésiques),

• méthode approximatives (géodésiques courtes),

• utilisation d'une surface intermédiaire (plan conforme).


CALCUL APPROCHÉ DES LIGNES GÉODÉSIQUES

Principe: Modéliser la ligne géodésique entre M1 et M2 par son cercle osculateur

1GC en M1.

� Problème de trigonométrie plane.

Applicabilité: Exact jusqu'à quelques dizaines de km au niveau millimétrique.

1M

M2αs

ϕ1

λ1

M1

M2

RG1α

s

(dans le plan osculateur en M1)

n

Az1

t G1

t G1

n

1GR est fourni par la formule d'Euler:

1

12

1

12

G

cossin1

1ρ

+= Az

N

Az

R

On a 1GR

s=α et

+=−α+α=

ϕλ ttt

ntMM

11G

GGG21

cossin

)1(cossin

1

111

AzAz

RR ,

d'où, si ( )222 LLL ,, ZYX représente les coordonnées de M2 dans le

repère local en M1 ( )ntt ,,;1L1

R ϕλ= M :

−ααα

=

1

1

1

2

2

2

G

G1

G1

L

L

L

)1(cos

cossin

sinsin

R

RAz

RAz

Z

Y

X


CALCUL APPROCHÉ DES LIGNES GÉODÉSIQUES (suite 1)

Passage entre le repère local 1

LR et le repère géocentrique TR :

( )

λ

ϕ−π

π=

+++

ϕ

λ

k

j

i

Rn

t

t

��

13123 R2

R2

R avec

ππ−

ππ

=

π+

100

02

cos2

sin

02

sin2

cos

2R3

ϕ−π

ϕ−π

ϕ−π−

ϕ−π

=

ϕ−π+

11

11

12

2cos0

2sin

0102

sin02

cos

2R

et ( )

λλ−λλ

=λ+

100

0cossin

0sincos

R 11

11

13

On en déduit:

ϕ−−ϕλ−ϕλ−

ϕλϕλϕϕλϕ−λϕ−

λλ−=

12

12

1112

1112

11111

11111

11

L

L

L

sin)1(

cossin

coscos

sinsincoscoscos

cossinsincossin

0cossin

2

2

2

eNz

Ny

Nx

Z

Y

X

et

ϕϕλϕλϕ−λλϕλϕ−λ−

+

ϕ−ϕλϕλ

=

2

2

2

L

L

L

11

11111

11111

12

1

111

111

2

2

2

sincos0

sincossinsincos

coscoscossinsin

sin)1(

cossin

coscos

Z

Y

X

eN

N

N

z

y

x

où (x2,y2,z2) sont les coordonnées de M2 dans TR .


CALCUL APPROCHÉ DES LIGNES GÉODÉSIQUES (suite 2: formulaire)

Problème direct: ( ) ( )2221 ,,, ϕλ→AzsAz

−ααα

=

1

1

1

2

2

2

G

G1

G1

L

L

L

)1(cos

cossin

sinsin

R

RAz

RAz

Z

Y

X

avec

ρ+=

=α

1

12

1

12

G

cossin1

1

1

Az

N

Az

R

R

s

G ,

+

ϕ−ϕλϕλ

=

−

2

2

2

L

L

L1

12

1

111

111

2

2

2

sin)1(

cossin

coscos

Z

Y

X

eN

N

N

z

y

x

R ,

puis (x2,y2,z2) fournit (λ2,ϕ2) par itération (cf. page 22).

Problème inverse: ( ) ( )2122 ,,, AzsAz→ϕλ (λ2,ϕ2) fournit (x2,y2,z2),

ϕ−−ϕλ−ϕλ−

=

12

12

1112

1112

L

L

L

sin)1(

cossin

coscos

2

2

2

eNz

Ny

Nx

Z

Y

X

R ,

ϕϕ=

α=

+=α

ρ+=

=

.

sincos

cossin

sin

cossin1

tan

puis

122

112

G

2G

2L

2L2

1

12

1

12

G

L

L1

1

1

22

1

2

2

AzN

NAz

RsR

YX

Az

N

Az

R

Y

XAz


BIBLIOGRAPHIE - J.-J. Levallois; "Géodésie générale"; tome 2 ("Géodésie classique bidimensionnelle"); éd. Eyrolles; 1970.

- H. Duquenne; "Cours de géodésie bidimensionnelle"; publication IGN; 1987.

J.-Ph. Dufour; "Cours d'introduction à la géodésie"; éd ENSG; Marne la Vallée; 1999.

- "Geodetic glossary"; édité par le National Geodetic Survey, Rockville (États-Unis); 1986.

Systèmes de référence et de coordonnées

Documents