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Chapitre 9
Analyse des asservissements
continus non linaires
9.1 INTRODUCTION9.1.1 GnralitsAu cours des huit premiers
chapitres, nous navons tudi que des systmes dont la principale
proprittait la linarit, autrement dit des systmes pour lesquels
sappliquent le principe de la conservation, auniveau de sa sortie
de la combinaison linaire dentre, chaque si(t) tant la sortie
correspondant ei(t) :
e(t) = l1e1(t) + l2e2(t) + + lnen(t)s(t) = l1s1(t) + l2s2(t) + +
lnsn(t)
De tels systmes sont rgis par des quations diffrentielles
linaires coefficients constants et possdentune fonction de
transfert au sens o nous lavons dfinie au chapitre 1.
Pour tre tout fait franc, les systmes physiques rellement
linaires nexistent pas. Les quationsdiffrentielles linaires, donc
les fonctions de transfert, ne sont que des modles qui
correspondent plus oumoins bien la ralit. Partant du principe que
tout systme qui nest pas linaire doit tre considr commenon linaire,
cela revient dire que tous les systmes physiques, en gnral, sont
non linaires.
Il nous faut donc apprcier, lors du choix dun modle, la
pertinence de celui-ci au regard de la prcisiondes rsultats quil
nous permet de mettre en vidence. Il est alors ncessaire de trouver
un compromis entrela justesse (toute relative) du modle et sa
complexit. Il est en effet logique de penser que plus un modledoit
coller la ralit, plus il sera complexe.
Pour rassurer le lecteur, nous pouvons malgr tout signaler quune
majorit de systmes physiquespeuvent tre apprhender comme des
systmes linaires, tout du moins sous certaines conditions de
fonc-tionnement. Ces conditions, en gnral, sexpriment sous la forme
dune limitation des amplitudes dessignaux ou de la restriction un
certain intervalle de frquences. Lensemble de ces conditions permet
dedterminer ce quon appelle le domaine de linarit dun systme.
Toutefois, lorsque la prcision de ltude le ncessite ou lorsque
les phnomnes engendrs par certainssystmes notoirement non linaires
ne peuvent tre ngligs, il est ncessaire dapprhender ltude demodles
de fonctionnement qui en tiennent compte. Cest ce que se propose de
prsenter ce chapitre ainsique le chapitre suivant.
9.1.2 Diffrents types de non-linaritsOn distingue en gnral deux
types de systmes non linaires : ceux pour lesquels ces non linarits
peuvent tre considres comme gnantes ou parasites ; ceux dans
lesquels un organe volontairement non linaire est volontairement
introduit pour produire un
effet particulier.
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174 9 Analyse des asservissements continus non linaires
Ce dernier cas saccomode fort mal, en gnral, dune modlisation
linaire. Quant au premier, il peutsen accomoder condition que lon
puisse considrer le fonctionnement du systme dans son domaine
delinarit ou que lon value comme ngligeable linfluence des non
linarits sur les prvisions tires dunmodle linaire.
9.2 TUDE DU DOMAINE DE LINARIT DUN SYSTME9.2.1 Le phnomne de
saturationConsidrons un systme physique trs simple, par exemple un
amplificateur de gain K (figure 9.1).
Lune des plus frquentes limitations de son modle linaire
correspond lincapacit dcrire lquationde fonctionnement s(t) =
Ke(t), notamment pour de fortes amplitudes des signaux.
En effet, tout amplificateur possde un intervalle [smin, smax]
lintrieur duquel volue obligatoirementle signal de sortie. Cette
plage de variation du signal de sortie est appele excursion du
signal de sortie etest d, la plupart du temps, des limitations
techniques. Dans le cas dun amplificateur, les bornes
delalimentation lectrique utilise constituent, en quelque sorte,
des limites infranchissables pour le signal desortie.
Figure 9.1 Modle linaire dun amplificateur.
Si lon tente damplifier un signal dentre e(t) possdant une
amplitude telle que Ke(t) > smax, le signalde sortie saturera la
valeur smax.
On ne peut plus crire : s(t) = Ke(t)La figure 9.2 illustre ce
phnomne de saturation dun signal sinusodal pour une entre e(t)
possdant uneamplitude trop importante. Le signal de sortie nest
plus sinusodal.
Figure 9.2 Saturation dun signal sinusodal.
La figure 9.3 prsente la caractristique entre - sortie dun
amplificateur rel avec sa plage de fonction-nement linaire et ses
deux plages de saturation.
Remarque : Le phnomne de saturation est souvent symtrique et lon
a :
smin = smax
Il est fondamental de bien comprendre que le sige du phnomne de
saturation se trouve au niveau dela sortie du systme mais quil se
traduit, en pratique, par une limitation de lamplitude du signal
dentre.
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9.2 tude du domaine de linarit dun systme 175
Figure 9.3 Caractristique relle dun amplificateur avec
saturation.
9.2.2 Dtermination du domaine de linarit dun systme asserviLes
amplificateurs ne sont pas les seuls organes prsentant un phnomne
de saturation. En ralit, tousles systmes physiques, quils soient
lectriques, lectroniques, mcaniques, etc. sont caractriss par
cephnomne. Ainsi, en mcanique, les butes qui bloquent le mouvement
dune pice se traduisent par unesaturation.
Dans une boucle dasservissement compose de plusieurs lments,
chacun dentre eux possde sapropre limitation en sortie. Dans
lexemple de la figure 9.4, les organes de fonctions de transferts
A( p),B( p) et C( p) sont ainsi caractriss par des valeurs
maximales de leurs sorties respectives : Amax, Bmax etCmax.
Figure 9.4 Saturations des sorties de chaque lment dune
boucle.
Chacune des valeurs maximales de sortie des diffrents lments
impose une valeur maximale de sonentre. Au final, toutes ces
contraintes imposent une limitation du signal dentre.
En supposant que e, , x, s et s reprsentent les amplitudes de
signaux qui sont tous sinusodaux, onpeut ainsi, dans notre exemple,
crire les diffrentes contraintes lies aux saturations ventuelles
que loncherche, bien videmment, viter :
s < Amax x