Synthèse géométrique des manipulateurs parallèles ...

Synthèse géométrique des Synthèse géométrique des manipulateurs parallèles manipulateurs parallèles

sphériques à trois degrés de sphériques à trois degrés de libertéliberté

Présentation de mémoire de maîtrisepar Stéphane Brunet

23 décembre 2003

SommaireSommaire

● Présentation de la démarche● Topologie et géométrie du manipulateur● Cinématique du robot● Calcul d'espaces de travail● Détection de collision● Synthèse géométrique par algorithmes

génétiques

IntroductionIntroduction

Démo

IntroductionIntroductionApplication visée: machine-outil hybride à six axes:

– Le manipulateur sphérique oriente la pièce à usiner;

– Un manipulateur parallèle en translation (3 ddl)déplace la tête d'usinage.

Démarche suivieDémarche suivie

● L'objectif est d'obtenir un manipulateur optimal pour une application donnée:– trouver le nombre minimal de paramètres

nécessaires pour décrire la géométrie;– choisir une technique d'optimisation;– choisir des critères d'optimisation.

Démarche suivieDémarche suivie

● L'optimisation consiste principalement à maximiser l'espace de travail :– Utiliser une méthode de calcul d'espaces de

travail.● Il faut prendre en considération les

particularités du manipulateur :– Plusieurs modes d'opération,– Nombreuses possibilités d'obstructions.

Topologie du manipulateurTopologie du manipulateur

Topologie = description de la chaîne cinématique

Liaison actionnée3 chaînesidentiques

Deux boucles fermées

Description de la géométrieDescription de la géométrieDeux familles de géométrie possibles pour la même topologie:

Axesparallèles

Axesconcourants

Description de la géométrieDescription de la géométrie

Dans un manipulateur sphérique:– Les axes de toutes les liaisons sont concourants;– Toutes les transformations sont des rotations;– Aucune translation n'est utilisée.


● Géométrie du bâti :

Trois angles déterminent l'orientation relative des trois actionneurs attachés au bâti

Axe de rotationd'un actionneur


● Géométrie de l'effecteur :

Trois angles déterminent l'orientation relative des trois rotoïdes attachés à l'effecteur


● Géométrie des jambes :

Pour chaque jambe, deux angles déterminent la longueur des membrures proximale et distale


En résumé:– trois angles pour le bâti,– trois angles pour l'effecteur,– deux angles pour chacune des jambes.

Douze paramètres indépendants décrivent la géométrie du

manipulateur sphérique 3-RRR

Démo

Résolution de la cinématiqueRésolution de la cinématique

● Modèle géométrique direct :– Les variables articulaires sont connues;– La position de l'effecteur est calculée.

● Modèle géométrique inverse :– La position de l'effecteur est connue;– Les variables articulaires sont calculées.


● Inconnues cinématiques:– Angles des trois actionneurs :– Orientation des membrures distales par rapport

aux membrures proximales :– Orientation de l'effecteur par rapport aux

membures proximales :

1A ,1

B ,1C

2A ,2

B ,2C

3A ,3

B ,3C


● Équations de la cinématique:– Pour chaque jambe, une équation à trois

inconnues;– Deux boucles cinématiques relient ces équations.

Seulement six des neuf inconnues doivent être calculées pour obtenir la

position de tous les solides


● Démarche de résolution du MGI:– L'orientation de l'effecteur est donnée (angles

d'Euler);– La position des joints distaux en est déduite;– Les inconnues cinématiques sélectionnées sont

obtenues en deux temps :1. Angles des actionneurs

2.Orientation de la membure distale par rapport à la membrure proximale

1k

2k


● Angles des actionneurs:

Déduits de l'orientationde l'effecteur

Fonctions de l'angle

1k

1k

Trois équations Trois inconnues


● Angles

Déduits de l'orientationde l'effecteur

Exprimé à l'aide de ,préalablement calculé,et de , inconnue

2k

1k

Chaque jambe est résolue

indépendamment

w3k=w3

k

2k


● Modes opératoires = existence de plusieurs solutions

Démo

Trois jambes donnent 8 modes

différents

Calcul d'espaces de travailCalcul d'espaces de travail

● But : évaluer au mieux les caractéristiques du manipulateur

● Méthode : 2k-arbres (quadtree, octree)– Structure hiérarchique permettant de discrétiser

l'espace– k = dimension de l'espace– p = profondeur de discrétisation


● Profondeur de discrétisation

Exemple d'un quadtree (k=2)


● Discrétisation dans un octree (k=3)


● Exemple en 2D (quadtree, k=2)

Représentation dans l'espace (plan)

Représentation de la structure hiérarchique

Noeud intermédiaireNoeudfeuille

Racine de l'arbre

L'appartenance à la formeest calculée au centre


● Simplification de la hiérachie




● Simplification de la hiérachie




● Méthode de numérotation (k=2)

Chemin vers unnoeud feuille


● Méthode de numérotation (k=3)


● Contribution personnelle aux 2k-arbres :

une double utilisation de la structure de données:● Description d'une forme (usage traditionnel)● Ajout d'informations supplémentaires aux noeuds-

feuilles :– Nombre de solutions disponibles (modes opératoires),– Présence ou non de collisions entre les membrures,– Degré d'isotropie du manipulateur,– Etc.

● Inconvénient : les simplifications possibles du 2k-arbre sont plus rares.


● Programmation en C++ :– Utilisation des conteneurs standards map et set ;– Utilisation des templates de classes pour

améliorer la modularité et la réutilisation;– Seulement deux classes particulières :

● Une pour contenir le chemin vers un noeud,● Une pour retrouver le lien entre le chemin et la position

dans l'espace.

– Possibilité de stocker l'information supplémentaire


● Application au manipulateur sphérique– Espace décrit par les angles d'Euler Z-X-Z (k=3)

● Toutes les positions sont décrites lorsque :

– Profondeur « raisonnable » :● Trop petite = temps de calcul excessif● Trop grande = erreur dues à la discrétisation grossière● p = 5 ou 6 donnent des bons résultats

Démo

Détection de collisionDétection de collision

● Manipulateurs théoriques optimaux:– Les membrures proximales et distales font toutes

90°● En pratique, les collisions entre les

membrures sont nombreuses :– 100% de l'espace est parcouru, théoriquement;– Seulement 70% environ est exempt de collisions.

Jusqu'à 30% d'erreur!!


● Problématique en détection de collisions :– Choisir une technique de représentation des

solides :● Modèle polyédrique,● Modèle filaire.

– Trouver des algorithmes de détection de collision rapides et fiables;

– Les algorithmes et la technique de représentation sont indissociables.


● Représentation par modèle polyédrique :– Relativement précis,– Basé sur une facettisation des solides (très

courante en CAO),– Difficile à générer « à la volée ».– Algorithmes de détection de collision :

● Principalement basés sur des polyèdres convexes,● Nécessitent un pré-traitement pour devenir rapide.


● Représentation par modèle filaire :– Bonne précision, surtout pour des volumes

élancés (bras de robots, par exemple),– Basé sur des segments entourés de matière,– Facile à générer « à la volée ».– Algorithmes de détection de collision :

● Basés sur un calcul de distance entre des segments,● Nécessitent un pré-traitement très simple pour devenir

rapide.


● Exemple de modèle filaire

Attention!Ceci est un seul

solide!


● Modèle filaire – algorithme non optimisé de détection de collision :

1.Prendre, un à un, tous les couples de segments entre deux solides;

2.Calculer la distance entre les deux segments;

3.Vérifier que cette distance est suffisamment grande pour qu'il n'y ait pas de collision.

Trop de calculs pour rien!


● Modèle filaire – décomposition hiérarchique :– Permet d'obtenir une description de plus en plus

détaillée;– Si l'algorithme de détection de collision n'a pas

besoin d'une description détaillée, un gain est réalisé.

Temps de calcul divisés par 8!


● Modèle filaire – décomposition hiérarchique :

Racine de la hiérachie=

un seul segmentenglobe tout






● Résultats comparatifs modèle filaire/modèle polyédrique :– Vitesse du même ordre de grandeur,– Plus grande précision pour le modèle polyédrique

mais la différence est faible (4 à 5% pour le manipulateur traité),

– Modèle filaire extrèmement simple!

Synthèse géométrique par Synthèse géométrique par algorithmes génétiquesalgorithmes génétiques

● Choix d'une méthode d'optimisation :– Méthodes déterministes,– Stochastiques,– Semi-déterministe.

● Algorithmes génétiques :– Mécanismes d'évolution calqués sur le modèle

biologique,– Déjà utilisés en synthèse géométrique en

robotique.


● Domaines d'excellence des algorithmes génétiques :– Problèmes avec beaucoup de paramètres (i.e.

espaces de recherche de dimension importante)– Espaces de recherches :

● discontius,● complexes,● peu connus.


● Inconvénients des algorithmes génétiques :– Programmation plus complexe que d'autres

méthodes;– La technique ne garantit pas l'obtention de la

solution optimale globale.


● Fonctionnement – une génération en images...


● Fonctionnement du croisement


● Fonctionnement du croisement


● Fonctionnement de la mutation


● Algorithmes génétiques codés binaires/réels :– Codés binaires :

● Première technique utilisée;● Les paramètres sont codés à l'aide d'un nombre de bits

fixes;● Une correspondance doit être établie.

– Codés réels :● Évolution plus récente des algorithmes génétiques;● Les paramètres sont codés à l'aide de nombre réels.


● Opérateur de croisement : BLX-

Valeur du gènepour le parent B

Valeur du gènepour le parent A

II I

La valeur du gène pour l'enfant est choisie aléatoirement dans cet intervalle

Zonesd'exploration


● Opérateur de mutation :– La mutation aléatoire ne fonctionne pas

correctement;– L'opérateur utilisé est donc particulier au

problème.


● Opérateur de mutation :– Il réalise l'une des opérations suivante :

● Changer la longueur totale d'une jambe;● Changer la position du joint intermédiaire sur la jambe;● Déformer la base ou l'effecteur;● Rendre la base ou l'effecteur symétrique;● Rendre les jambes identiques;● Permuter des angles de la base, des jambes ou de

l'effecteur.


● Critères d'optimisation :– Volume de l'espace de travail,– Facteur de forme de l'espace de travail,

● Étendue de la calotte sphérique où se trouvent des orientations atteignables,

● Poids plus important pour les solutions proches de la position initiale.


● Critères d'optimisation :– Volume de l'espace corrigé en tenant compte de

la position des jambes,


● Critères d'optimisation :– Le degré de symétrie du manipulateur,– La longueur des jambes,– La dimension du bâti,– La dimension de l'effecteur.


● Combinaison linéaire des critères


● Résultat :– Obtenu après 208 générations et quelques jours

de calcul;– Le manipulateur optimal est symétrique.

Il n'est plus nécessaire d'étudier les manipulateurs non symétriques, d'où un

paramétrage simplifié.


● Autre calcul – résultat :

=75°Dimension fixe

Manipulateursymétrique

ConclusionConclusion

● Travail réalisé :– Un paramétrage minimal mais complet de la

géométrie;– Une librairie générique pour les 2k-arbres;– Une contribution dans la détection de collision

appliquée à la robotique;– La synthèse géométrique par algorithmes

génétiques pour une application en fabrication.


● Limites du projet :– Les formes des membrures pourraient être plus

complexes;– Le nombre de critères d'optimisation pourrait être

plus grand.● Travail à réaliser :

– Génération de trajectoires avec passage d'un mode opératoire à un autre;

– Étude dynamique du manipulateur.


● Remarques supplémentaires :– Manipulateur difficile à utiliser;– Modifier légèrement la topologie peut réduire les

risques de collision;– Changer radicalement de manipulateurs pour

l'application en fabrication :● Passer de 6 à 5 degrés de libertés;● Deux degrés en translation pour la tête d'usinage;● Deux degrés en rotation et un en translation pour la

table d'usinage.

Période de questionsPériode de questions

Synthèse géométrique des manipulateurs parallèles ...

Documents