synotr

Synthse Les Nombres Trapzodaux

Introduction et objectifs


Le document suivant est extrait dun ensemble de ressources plus vastes construitespar un groupe de recherche INRP-IREM-IUFM-LEPS.

La problmatique de ce groupe est centre sur le questionnement suivant :

en quoi les problmes de recherche et la dimension exprimentale quils contiennentpermettent-ils des apprentissages mathmatiques (et pas seulement transversaux) ?

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Situation Mathmatique Les Nombres Trapzodaux

Problme :Trouver tous les nombres entiers qui sont la somme dau moins deux nombres

entiers naturels conscutifs.

1. Analyse mathmatique du problme

La situation mathmatique consiste tudier quels sont les nombres qui sont sommesdentiers conscutifs.

clairage historique : Elle fait partie des thmes de recherche du grand mathmaticien

allemand Carl Fiedrich Gauss (1777-1855). Ce gnie des mathmatiques fut un enfantprodige (ce qui nest pas le cas de tous les grands mathmaticiens !).Lui-mme prtendait avoir su compter avant davoir su parler. Lanecdote qui illustresa prcocit est la suivante : A lge de 10 ans, son matre pose le problme suivant : Quelle est la somme 1 + 2 + ... + 100 de tous les nombres entiers de 1 100 ? Le premier garon ayant trouv la solution devait poser son ardoise sur le bureau dumatre. A peine celui-ci avait-il fini dexposer le problme, le jeune Gauss posa sonardoise sur le bureau. Pendant toute lheure qui suivit, les autres lves peinaient surcette immense addition, Gauss se tenait les bras croiss, le matre le regardant avecscepticisme. Au bout dune heure, le matre regarda lardoise de Gauss, qui contenaitle rsultat exact.

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Il fut si impressionn quil offrit un livre darithmtique Gauss.A 19 ans, celui-ci avait dj dmontr un thorme fondamental en thorie desnombres. Ses travaux portrent non seulement sur larithmtique, mais aussi sur lagomtrie (construction des polygones rguliers la rgle et au compas), sur lesnombres complexes et lanalyse complexe. Il sintressa aussi la rsolution deproblmes pratiques en astronomie, en magntisme, en tlgraphie. Il travailla aussisur les gomtries non euclidiennes.Ses travaux inspirent encore de nombreuses recherches contemporaines, ce qui prouveleur importance, et la fertilit de ses ides. Une dernire anecdote : le 10 juillet 1796, ilnota dans son journal la phrase suivante :

Eurka ! num = + +

Elle signifie tout entier positif est somme de trois entiers triangulaires .

Un entier triangulaire est un entier de la forme 1 + 2 + ... + n , soitn(n + 1)

2.

Un nombre trapzodal est donc la diffrence de deux nombres triangulaires.




Des mthodes de rsolution

Nous rdigeons les mthodes de la plus lmentaire la plusexperte. Certaines ne donnent quune solution partielle au problmepos. Pour chacune nous prsentons les savoirs mathmatiquesutiliss, ainsi que les comptences transversales mises en uvre.




Mthodes Savoirsmathmatiquesutiliss

Comptencestransversalesmises en uvre

Exprimentation numrique :En essayant des sommes de deux, outrois ou quatre entiers conscutifs, onarrive assez vite la conjecture quetous les entiers peuvent tre dcompo-ss en somme dentiers conscutifs, saufles puissances de 2 (diffrentes de 1).Remarque : cette mthode est trs f-conde pour trouver la conjecture, mais ilreste la dmontrer !On peut faire des essais inorganiss, etparvenir la conjecture de faon assezdifficile.

- calcul desommes dentiers- calcul mental etrflchi.- ou bienutilisation de lacalculatriceventuellementpour vrifier descalculs faitsmentalement.

- exprimentersur des valeursnumriques lamain, lacalculatrice.- conjecturer.- rdiger uneconjecture.






On peut par contre mener une recherchetrs organise. On se prte une expri-mentation numrique avec des sommesde deux entiers (0+1=1 ; 1+2=3 ;2+3=5 ; ...), de trois entiers (0+1+2=3 ;1+2+3=6 ; 2+3+4=9 ;...) puis dequatre entiers conscutifs (0+1+2+3=6 ;1+2+3+4=10 ; 2+3+4+5=14 ; ...), etc.On remarque quen considrant unesomme de deux entiers conscutifs, ontrouve tous les entiers solutions en allantde deux en deux partir du premier entiertrouv, soit 1.De mme si on considre une sommede trois (respectivement quatre) entiersconscutifs, on trouve tous les entiers so-lutions en allant de trois en trois (respec-tivement quatre en quatre) partir de 3(respectivement 6).

- organiser descalculs






Ceci permet de trouver, de proche enproche, toutes les solutions et, laide duncrible, darriver la conjecture que seuls 0et les puissances de 2 diffrentes de 1 neconviennent pas :

- organiser descalculs etprsenter lesrsultats sousforme detableau




Mthodes Savoirs ma-thmatiquesutiliss

Comptencestransversalesmises enuvre

Rsolution algbrique la recherchedune formule explicite pour les entierscherchs :On appelle n le plus petit de ces nombresentiers. On rduit lexpression de la sommede deux entiers conscutifs, de trois entiersconscutifs, de 4,...Ceci donne lieu la rsolution de sous-problmes intressants : tous les entiers im-pairs conviennent .La dmonstration utilise le calcul algbrique :soit n un entier naturel, n+ (n+1) = 2n+1,ce qui dmontre que tout entier impair est lasomme de deux entiers conscutifs. Peut-on trouver une mthode par rcur-rence pour dcrire les entiers cherchs ? n+(n+1)=2n+1 les impairs n+(n+1)+(n+2)=3n+3 les multiples de 3 n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10

- utilisation dela lettre pourdsigner unnombre- nombresentiers naturels- entiers pairs,impairs(caractrisation algbrique )- calculalgbrique- arithmtique :divisibilit (icipar 2)

- dgager dessous-problmes, quelon sattache dmontrer- se poser leproblme de ladmonstration,de la preuve






On trouve alors exprimentalement une faonde dterminer les coefficients rouges et lescoefficients bleus : les rouges augmententde 1 chaque ligne ; les bleus sont gaux la somme des deux coefficients (le rouge + lebleu) de la ligne prcdente.Ceci permet, en y mettant le prix, de trouvertous les entiers solutions.En raisonnant de manire plus astucieuse dansle cas de sommes impaires dentiers cons-cutifs, on dmontre que tous les multiples dunnombre impair conviennent.En effet : si au lieu dcrire n+(n+1)+(n+2),on pose N = n + 1, la somme de trois entiersconscutifs scrit (N1) +N + (N +1) ce quiest gal 3N.Les multiples de 3 scrivent donc comme lasomme de trois entiers conscutifs. Exemple :27=3x9=(9-1)+9+(9+1)=8+9+10

- nombresentiersnaturels- entiers pairs,impairs(caractrisation alg-brique )- calculalgbrique- mettre enplace unprocdalgorithmiquepour dfinirles nombrestrapzodaux

- observer desinvariantset/ou desrelations dercurrence






De la mme faon, si au lieu dcrire :n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4)on pose N = n + 2, la somme de cinqentiers conscutifs devient (N2) + (N1) +N + (N + 1) + (N + 2) ce qui est gal 5N.Les multiples de 5 scrivent donc commela somme de cinq entiers conscutifs.Exemple :35 = 5 735 = (72)+(71)+7+(7+1)+(7+2)35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9






Recherche dune preuve de la conjecture en utilisantdes exemples que lon va faire parler

12=3+4+5 et 12=4+4+440=8+8+8+8+8 (5 fois 8) et 40=6+7+8+9+10

Si lon essaye de gnraliser cette ide issue de lex-primentation sur des exemples, on obtient :Si un nombre N scrit (2k+1)n, avec k et n entiersnaturels, alors :

N = (2k + 1)nN = n + n + ... + n + ... + n + navec (2k + 1) termes gaux nN = (n k) + (n k + 1) + ... + (n 1) + n +(n + 1) + ... + (n + k 1) + (n + k)

Les termes se regroupent deux deux, avec poursomme 2n :(n k) + (n + k) = 2n(n k + 1) + (n + k 1) = 2n , etc ...On obtient donc k fois 2n, auquel il faut ajoutern, le terme central, donc on retrouve bien N =(2k + 1)n .

La condition pour que les termes de la sommesoient tous entiers naturels est : n k.

- nombres entiersnaturels- calculalgbrique

- distinguerconjecture etpropritdmontre- se poser leproblme de ladmonstration,de la preuve- revenir desexemples pouren dduire unepreuve(des exemples gnriques ,qui ne donnentpas unedmonstration)






Il semble donc, cette tape, que cettedmonstration ne marche pas dans tousles cas, par exemple :10=52=0+1+2+3+4 correct, car icin k, 14=72=-1+0+1+2+3+4+5 neconvient pas car il y a un nombre entierngatif ! ici n < k.Ce qui est trs fort, cest que de la der-nire galit on peut tirer une autre ga-lit qui va convenir notre problme , savoir, comme -1+0+1=0, on obtient :14=2+3+4+5.Mais l, il nest pas facile de rdiger unedmonstration gnrale .On comprend pourtant aisment que cecalcul va pouvoir tre possible dans tousles cas o n < k.On peut parler dun exemple gnrique,qui lui seul convainc.

- exprimentersur des valeursnumriques lamain, lacalculatrice, autableur- observer desinvariants- critiquer unedmonstration,en percevoir leslimites- analyser lesconditions devalidit duncalcul






Dmonstration de la conjecture :Elle utilise le rsultat suivant : si n estun entier naturel, 1 + 2 + 3 + ... + n =(n + 1)n

2.

On peut noter Sn cette somme.(cette dmonstration permet de revoirou dintroduire ce rsultat, comme ou-til de rsolution de problme)N tant un entier naturel, on cherche silexiste deux entiers naturels a et n telsque : N = a + (a + 1) + (a + 2) + ... +(a + n 1)N = Sa+n1 Sa1N =

(a + n 1)(a + n)2

(a 1)a2

Soit :2N = (a + n)2 a n a2 + a2N = n(2a+n1) ou N = n 2a + n 1

2

- nombres entiersnaturels- entiers pairs,impairs(caractrisation algbrique )- calcul algbrique- somme des npremiers entiersnaturels ( ousuitearithmtique) et ce propos,anecdote surGauss...- fonction dedeux variables ettableau de valeursde cette fonctionsur un tableur

- raisonnementparanalyse-synthse :partie analyse






On peut alors raisonner sur la parit de n.Si n est pair : 2a + n 1 est impairSi n est impair : 2a + n 1 est pairPar consquent, des deux entiers n et 2a+n 1, lun est pair et lautre impair :leur produit tant gal 2N, cela entraneque N possde un facteur premier impair :N nest pas une puissance de 2.Autre raisonnement, par labsurde :si N = 2m alors on cherche a et n tels que2m + 1 = n(2a + n 1), ceci est impos-sible car lun des deux facteurs du secondmembre est impair.Il reste encore dmontrer que toutnombre N qui nest pas une puissance de2 peut scrire comme somme dentiersconscutifs. 2N est donc le produit dunnombre impair i par un nombre pair p.2N = i p et 2N = n(2a + n 1)

- utiliser letableur (adressesabsolues etrelatives)- arithmtique :divisibilit (ici,par 2)

- raisonnement par le pair, etlimpair :raisonnement parexhaustion descas- raisonnementpar labsurde

- raisonnementpar analyse-synthse :partie synthse






si i < p alors il suffit de poser n = i et p = 2a + n 1soit a =

p n + 12

si i > p alors il suffit de poser n = p et i = 2a + n 1soit a =

i n + 12

La conjecture est ainsi compltement dmontre, et cettedmonstration donne un procd pratique pour dtermi-ner a et n entiers naturels tels que :N = a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + n 1).Exemple : N=168 2168=2116, or 21>16 donc onaura : n=16 et a =

i n + 12

=21 16 + 1

2= 3.

168=3+4+5+...+18Par la mthode numrique donne surdes exemples gnriques, on obtient :168=218=8+8+8+...+8 168=(8-10)+(8-9)+(8-8)+(8-7)+...+(8+7)+(8+8)+(8+9)+(8+10) 168=-2-1+0+1+2+3+...+15+16+17+18 168=3+4+...+18On peut aussi remarquer que 168 est un multiple de 3,et 168=356, donc 168=55+56+57En utilisant la mthode par rcurrence : 168 estmultiple de 7 ; or la somme a + (a + 1) + (a + 2) + ... +(a + 6) = 7a + 21 7a + 21 = 168 quivaut a = 21, cequi donne : 168=21+22+23+24+25+26+27.




Remarque :

La dcomposition en somme dentiers conscutifs nest pas unique.Il semble que des mthodes diffrentes donnent des rsultatsdiffrents, sauf la mthode exemples gnriques et ladmonstration par le pair et limpair, qui donnent la mmedcomposition en somme dentiers conscutifs.






Exprimentation sur tableur, visant obtenir toutes les dcompositionspour un nombre entier donn (quinest pas une puissance de 2)On peut aussi envisager, ds lors quelon dispose de la formule :

N = n2a + n 1

2, de construire une

feuille de calcul sur tableur, pour y fairefigurer les nombres entiers solutions, enfonction des entiers a (premier terme)et n (nombre de termes).

- utiliser le tableur(adresses absolueset relatives)

- penser utiliserun tableur pourconstruire letableau de valeursdune fonction dedeux variablesentires- conjecturer- se poser unnouveau problme




premier terme : a sur la ligne 1 ; nombre de termes de la somme : n dans la colonne A.Cet extrait de tableur permet de conjecturer quels sont les entiers solutions du problme et aussi dedterminer, pour un nombre donn N du tableau, quels sont les sommes dentiers qui lui sont gales. Ilpeut permettre de travailler exprimentalement sur le problme suivant : pour un entier N qui nest pasune puissance de 2, trouver toutes les dcompositions de N en sommes dentiers conscutifs.On voit en augmentant droite la taille de ce tableau que 135=67+68 et 135=44+45+46 et135=25+26+27+28+29 et 135=20+21+22+23+24+25 et 135=11+12+ ... +19 et 135=9+10+ ...+18 et 135=2+3+4+ ... +16. Et cest tout ! Sept sommes possibles pour N=135.



lments didactiques Les Nombres Trapzodaux

2. lments didactiques pour la mise en uvre en classe

noncsTrouver tous les nombres entiers qui sont la somme dau moins

deux nombres entiers naturels conscutifs.ou

Quels sont les nombres entiers naturels qui sont somme dau moinsdeux nombres entiers naturels conscutifs ?

Les sances en collge et lyce durent deux heures : une heure pourla recherche, une heure pour la mise en commun.

Il faut prvoir des calculatrices et aussi la possibilit daccs untableur (sur ordinateur, ou sur calculatrice)




3. Exemples de mises en uvreAu collge :Dure de la sance : une heure de recherche.Lecture de lnonc par le professeur. Demander sil y a des termesqui posent problme. Le terme nombres entiers conscutifs doitsouvent tre prcis (donner un exemple, et un contre-exemple).Travail individuel : 10 minutesTravail en petits groupes : 45 minutes, avec 10 minutes avant lafin, la distribution dun transparent pour les conclusions danschaque groupe.Sance suivante : rsum des comptes rendus, correction deserreurs et quelques pistes de solutions partielles. La dmonstrationde la conjecture ne peut tre aborde. Celles de sous problmespeuvent ltre : tous les entiers impairs sont solutions du problme,tous les multiples de 3 aussi.




Voici des conjectures mises au collge :

N = 2n + 1

= 3n + 3

= 4n + 6

= 5n + 10

= 6n + 15

Tous les multiples dun nombre premier impair conviennentTous les nombres, sauf ceux qui sont seulement multiples de 4Tous les entiers, sauf les 2x , x = 1,2,3,...Tous les entiers, sauf 0 et les 2n, n 6= 0.Les entiers impossibles sont 0 et tous les entiers pairs, multiples la fois uniquementde 2 et de 4.Tous les entiers, sauf les puissances de 2 et le nombre 136Des critures algbriques, suivies dune vrification sur un ou des exemples numriquesUn sous problme souvent nonc au collge :Le sous problme suivant est en gnral mis par de nombreux groupes : tous lesentiers impairs conviennent . Sa dmonstration utilise le calcul algbrique :Soit n un entier naturel. n+(n+1)=2n+1, ce qui dmontre que tout entier impair estla somme de deux entiers conscutifs.




Au lyce :Il faut deux sances dune heure.Dure de la sance : une heure de recherche.Lecture de lnonc par le professeur. Demander sil y a des termesqui posent problme. Le terme entiers conscutifs doit parfoistre prcis (donner un exemple, et un contre-exemple).Le matriel dont peuvent disposer les lves est : la calculatrice, etle tableur. Il est disposition, mais ne doit pas tre impos auxlves.Travail individuel : 10 minutesTravail en petits groupes : 45 minutes10 minutes avant la fin, distribution dun transparent pour lesconclusions dans chaque groupe.




Pour relancer la recherche dans les groupes qui ont trouv la conjecture, maisnarrivent pas (ou ne cherchent pas ) la dmontrer, on peut poser la question : daprs votre conjecture, 40 et 52 sont dcomposables en sommes dentiersconscutifs : quelles sont les sommes dentiers conscutifs gales 40 ? 136 ? Puis une autre relance : En sinspirant des deux exemples prcdents, trouver unemthode pour dcomposer un entier convenable en sommes dentiers conscutifs Remarque : 40=235 et 52=2213Sance suivante : rsum des comptes-rendus, correction des erreurs et quelques pistesde solutions partielles.- La dmonstration de la conjecture ne peut tre aborde quen Premire S ouTerminale S.- Celles de sous problmes peuvent ltre : tous les entiers impairs sont solutions duproblme, tous les multiples de 3 aussi.

Forme algorithmique des entiers solutions :n+(n+1)=2n+1 les impairs n+(n+1)+(n+2)=3n+3 les multiples de 3 n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10...et mise en place de deux suites donnant les coefficients a et b de an+b.




Lors des sances suivantes, on peut aborder la dmonstration de la conjecture, desous-problmes, laspect tableur, le prolongement sur le nombre de dcompositionspossibles pour un entier donn. La gestion peut se faire soit par des recherches engroupes en classe, soit en devoir la maison individuel, en groupe, sur un temps long,avec des bilans intermdiaires.La dmonstration experte peut tre aborde par des lves de Premire ou deTerminale scientifique, mais pas en seconde.

Si la formule N = n2a + n 1

2est trouve, on peut, au lyce, envisager de construire

une feuille de calcul sur tableur, pour y faire figurer les nombres entiers solutions, enfonction des entiers a (premier terme) et n (nombre de termes).Dans la mise en commun, dans les bilans intermdiaires, un gros travail sur leraisonnement peut tre fait :La rfutation de certaines conjectures errones ncessite lutilisation decontre-exemples La reconnaissance de conjectures quivalentes ncessite dutiliser unraisonnement par analyse-synthse, (ou double inclusion).Un travail algbrique est aussi conduit :Reconnaissance dexpressions algbriques diffrentes pour un mme rsultat.Reconnaissance des diffrences et des rapports entre deux expressions : utilisation deslettres et leurs sens dans la situation




Avec des tudiants qui prparent le concours de professeurs dcole (PE1)Lorganisation de la classe et les consignes sont les mmes quau lyce. Les procduresdpendent souvent de la culture mathmatique de ltudiant, suivant quil a unelicence de mathmatiques ou quil na pas fait de mathmatiques depuis la terminale.Voici les conjectures mises couramment dans les sections de PE1 :les entiers cherchs scrivent X=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n) avec n entier naturel

N = 2n + 1

= 3n + 3

= 4n + 6

= 5n + 10

= 6n + 15

Tous les multiples dun nombre premier impair conviennentTous les nombres, sauf ceux qui sont seulement multiples de 4Tous les entiers, sauf les 2x , x = 1,2,3, ...Tous les entiers, sauf 0 et les 2n, n 6= 0.Les entiers impossibles sont 0 et tous les entiers pairs, multiples la fois uniquementde 2 et de 4Tous les entiers, sauf les puissances de 2 et le nombre 136Des critures algbriques non rduites, comme par exemple an+(a-1)a/2 ou(n+1)a+n(n+1)/2Des critures algbriques, suivies dune vrification sur un ou des exemples numriques




Avec des stagiaires PLC2 de mathmatiquesCe problme peut tre utilis (comme tous les autres !) dans la formation initiale, pourmettre les stagiaires en situation de recherche au dbut dun module de formationconsacr aux problmes.Voici des conjectures mises en PCL2 :Tous les entiers, sauf 0 et les 2n, n 6= 0.

N = 2n + 1

= 3n + 3

= 4n + 6

= 5n + 10

= 6n + 15

Des critures algbriques non rduites, comme par exemple an+(a-1)a/2 ou(n+1)a+n(n+1)/2Beaucoup dutilisations du symbole , sans quil apporte rien la caractrisation ...Des critures algbriques rduites, comme par exemple nx(a+(n-1)/2)Tous les impairs, tous les multiples de 3, sauf 0.Essai de preuve utilisant la parit du nombre de termes de la sommeSil existe p entier premier qui divise N, alors il existe p entiers conscutifs de sommeN.

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