Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geolog ie 1 Filterung der räumlichen Frequenzen
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Filterung der räumlichen Frequenzen
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Helligkeitsvariationen in einem Bild
• Ein Bild kann als die Summe von Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz betrachtet werden
• Die räumliche Frequenz bezieht sich auf die Anzahl der (periodischen) Variationen der Helligkeitswerte pro Raumeinheit (in cycles/Pixel für ein Bild)
y
x
y- Höhe räumliche Frequenz: abrupte Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: Grenze Schwarz/Weiß)
- Niedrige räumliche Frequenz : allmähliche Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: eintonige Fläche, Abstufung von Grauwerten)
xf(x,y): Helligkeitswert im Ort (x,y)
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Räumliche Variation der Helligkeit im Bild
DN
255
0
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1. Eintonige Fläche: keine räumliche Variation der Helligkeitswerte in x- und y- Richtung => räumliche Frequenz =0 in beide Richtungen
2. Eintonige Fläche in x-Richtung => räumliche Frequenz=0 in x-Richtung Abstufung von Helligkeitswerten in y-Richtung => niedrige räumliche Frequenz in y-Richtung
3. Wiederholung von abrupten Variationen der Helligkeitswerte in x- und y-Richtungen => höhe räumliche Frequenz in beiden Richtungen
y
x
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=
+
x
Originalbild
HP-gefiltertes Bild
LP-gefiltertes Bild
Helligkeitswert (DN)
Filterung der Signalkomponente hoher räumlichen Frequenz
Filterung der Signalkomponente niedriger räumlichen Frequenz
Zerlegung des Signals in 2 Komponenten verschiedener Frequenz
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(DN)
Entfernung (x)
Amplitude
Periode=1/Frequenz
Periodisches Signal
Phase
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Sinus- und kosinusförmige Periodische Signal
Parameter eines periodischen Signals:
• Amplitude
• Periode (Frequenz)
• Phase
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X (Reihe von Pixel)
Helligkeitswerte (DN)
+
+
=
Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen
Frequenz 1
Frequenz 2
Frequenz 3
Amplitude 1
Amplitude 2
Amplitude 3
Phase 1
Phase 2
Phase 3
Amplitude= Gewicht des periodischen Signals
Phase = Verschiebung zwischen den Signalen (=> konstruktive oder destruktive Summe)
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Helligkeitswerte (DN)
A1=
A2=
A3=
Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen
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Zerlegung des Bildsignals in Kosinus- und Sinusfunktionen
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Zerlegung eines Bild in periodischen Helligkeitsvariationen
unterschiedlicher räumlichen Frequenz • Ein Bild kann als Summe von sinusförmigen
Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlicher Frequenz betrachtet werden
• f(i,j): Helligkeitswert des Pixels (i,j) im Bild• f(i,j) = ∑ (periodische Helligkeitsvariationen
unterschiedlicher räumlichen Frequenz)• Fourier Transform (FT): mathematische Methode zum
Zerlegen eines Bildes in sinusförmigen Komponenten unterschiedlischer räumlichen Frequenzen 1D
• Z.B für ein Signal von „Quadrat-Wellen“ in einer Reihe von Pixel:
.....))5sin(5
1)3sin(
3
1)(sin(
4
1)(
iiiif
Beitrag jeder Sinusfunktion
=Amplitude
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2D-inverse diskrete Fourier Transform
1
0
)**
(21
0
),(1
),(y
yxx
N
y
N
vy
N
uxiN
xyx
evuFNN
yxf
f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y)
Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung
Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung
F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung)
Helligkeitswerte f(x,y) als Summe von Kosinus- und Sinus- Funktionen (Wellen) unterschiedlicher räumlichen Frequenzen (u,v):
sincos iewobei i
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2D diskrete Fourier Transform
1
0
)**
(21
0
),(),(y
yxx
N
y
N
vy
N
uxiN
x
eyxfvuF
f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y)
Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung
Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung
F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung)
Die „Fourier Transform“ liefert die Koeffizienten (Amplitude bzw. Beiträge) F(u,v) der Sinus- und Kosinusförmigen Funktionen im Bild f(x,y):
sincos iewobei i
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FT: Ortsraum => Frequenzraum
• f(x,y) als Bildfunktion (Grauwert-Ort-funktion)• F(u,v) als Ortsfrequenzfunktion• Der Funktionswert F(u,v) gibt Phase und Betrag
(Amplitude) der sinusförmigen Grauwertskomponenten in f(x,y) von Frequenz in X-Richtung und Frequenz in Y-Richtung an.
• Zwischen den stetigen Funktion f(x,y) und F(u,v) besteht eine eindeutigeeindeutige Beziehung, so dass eine Inverse-Transformation möglich ist
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Die Parameter der Fourier Transform
))],(sin(),([cos(),(),( vuivuvuFvuF
Richtung)-Y(in vund Richtung)-X(in u Frequenzenvon
FFunktionder(Beitrag)Amplitude:),( vuF
v)F(u,Funktion der Phase:
),(),(),( vuievuFvuF
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Ortsraum Spektrum im Frequenzraum
f(x) Amplitude (F(u))
Frequenz (u)
x
Frequenz (u)
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u
A
u
u
AA A
AAAA
AAAA
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Steigende Frequenz
Amplitudespektrum im Frequenzraum
Orientierung
v : Frequenz in y-Richtung
u : Frequenz in x-Richtung(0,0)
Intensität (Pixelwert) = Amplitude
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Amplitudenspektrum:Visualisierung im Frequenzraum der Amplituden
(=Beiträge) der periodischen Funktionen verschiedener Frequenzen (u,v)
F(u,v) = Pixelwert im Frequenzraum = Amplitude der periodischen Funktion, die die Frequenzen u (in x-Richtung) und v (in y-Richtung) besitzt
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Fourier-Transformation (FFT) von einfachen periodischen
Bildsignalen
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v
u
x
y
FFT
f(x,y) bzw. Ortsraum IF(u,v)I bzw. Amplitudenspektrum im Frequenzraum
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Ortsraum (x,y) bzw. Frequenzraum (u,v)
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Bilder und zugehörige Amplitudenspektrum
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Fourier-Filterung
• Durch eine Multiplikation jeder Frequenz-Komponenten F(u,v) eines Bildes anhand einer bestimmte Gewichtungsfunktion (Filter) kann man bestimmte Frequenz-Komponenten erniedrigen und Anderen erhöhen (Erhöhung der Amplitude)
• Die zugehörige Veränderungen sind im Ortsraum durch eine Rück-Transformation (FFT-
1) sichtbar• Diese selektive Beseitigung von Frequenz-
Komponenten heißt Fourier-Filterung
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Originalbild f(x,y)
Bildspektrum: F(u,v)= IF(u,v)I *exp( -i *(u,v))
Transfer-Funktion („Amplitude Filter“): H(u,v)
Gefiltertes Bildspektrum G(u,v): = IG(u,v)I * exp( -i *(u,v))
IG(u,v)I= IF(u,v)I * IH(u,v)I
G(u,v) = F(u,v) + H(u,v)
Gefiltertes Bild g(x.y)
FT
FT-1
ORTSRAUM (x,y)
FREQUENZRAUM (u,v)
ORTSRAUM (x,y)
Z.B: Low Pass Filter: H(u,v)= IH(u,v)I mit
IH(u,v)I =1 für u<uc & v<vc
IH(u,v)I =0 für u>uc & v>vc
wobei uc & vc : „cutoff“ -Frequenzen
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Filter werden eingesetzt, um z.B. den Einfluss von Datenfehlern oder Störsignalen zu verringern, hochfrequente von niederfrequenten Komponenten des Signals zu trennen, oder um bestimmte Frequenzbereiche in Signalen hervorzuheben
Filterungsart
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Filterung im Frequenzraum
Transfer-Funktion H(u,v)
Gefiltertes Bildspektrum
IG(u,v)I= IF(u,v)I*IH(u,v)I
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Spektrum von H(u,v):IH(u,v)I =0=>SchwarzIH(u,v)I =1=>Weiß
Bildspektrum IF(u,v)I (Amplitude im Frequenzraum)
Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I=IF(u,v)I*IH(u,v)I
Gefiltertes Bild g(x,y)Helligkeitswerte im Ortsraum
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u (cycles/ pixels) v (cycles/ p
ixels)
HOCHPASS-FILTER
),(
),(),(
vuF
vuGvuH
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Butterworthfilter als Tiefpass-Filter (1D)
)(
)()(
uF
uGuH
u
1