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Mixbaal Rev. Met. de Mat.Vol. 2, No 1, Mayo 2011. 127 149

El Primer Teorema Fundamental deValuacin de Activos para tiempo discreto

y horizonte finitoAlejandro Snchez Peralta

ResumenEl Primer Teorema Fundamental de Valuacin de Activostiene una relevancia histrica que destaca por caracteri-zar la relacin entre no-arbitraje y la existencia de unamedida de probabilidad equivalente, bajo la cual el pro-ceso de precios descontado de algn derivado financieroes una martingala. En este trabajo abordamos una de laspruebas del Primer Teorema Fundamental de Valuacinde Activos en tiempo discreto y horizonte temporal finito,pero con un espacio de estados no necesariamente finito.Apegndonos a la referencia [3] establecemos en detallela demostracin de este resultado usando el principio deinduccin matemtica.

Palabras clave: Primer Teorema Fundamental 0, arbitraje financiero,medida martingala equivalente.

Clasificacin de la AMS: 91B28

1. Introduccin

El proceso de comprar y vender simultneamente (o casi) un mis-mo instrumento financiero en diferentes mercados, generando algnbeneficio econmico con base en la diferencia de precios se denominaarbitraje financiero. Esta estrategia de mercado es tal, que nos permitegenerar una ganancia libre de riesgo de manera indiscriminada.

0Originalmente llamado El Teorema Fundamental de las Finanzas. A partirla ltima parte de los 90s se le llam Primer Teorema Fundamental, pues enesta dcada se establece un Segundo Teorema Fundamental relacionado con lacompletez de mercado.

128 A. Snchez

Si en un mercado financiero algn agente logra una oportunidad dearbitraje1, dicho agente puede ejecutar tal estrategia de manera ilimi-tada, basado nicamente en la idea de que ms es mejor que menos.No obstante, esta posicin es incompatible dentro de un mercado en elque existan otros agentes competitivos, ya que no habra un portafoliode inversin ptimo para los otros agentes que tambin prefieren mspor menos.

Esto da lugar a una de las ramas ms importantes dentro de lasfinanzas matemticas, que es la llamada valuacin por arbitraje. Elestudio contemporneo del arbitraje financiero se centra en el anlisisde las implicaciones de la ausencia de las oportunidades de arbitraje.Y es en esta lnea que surge uno de los resultados ms interesantes enlas finanzas matemticas actuales. Este es el Primer Teorema Funda-mental de Valuacin de Activos (PTFVA).

Fueron Phillip Dybvig y Stephen Ross quienes acuaron el trminoTeorema Fundamental de las Finanzas en un diccionario de economaen 1987 (ver [2]). Sin embargo, un primer acercamiento a este resulta-do fue publicado por el segundo autor (S. Ross) once aos antes. Ennuestro caso comentaremos algunos aspectos del arbitraje financieroen un contexto matemtico y financiero sencillo y, posteriormente de-sarrollamos en detalle la demostracin del PTFVA en tiempo discretoy horizonte finito. Por ltimo, comentaremos un ejemplo desarrolladopor Stanley Pliska ([7]) para el que no se satisface el Primer TeoremaFundamental.

2. Un caso sencillo de arbitraje financiero

A lo largo de esta seccin trabajaremos en RD. Esto obedece a dosrazones principalmente. La primera de ellas es que RD es un espaciovectorial, lo cual es ventajoso para establecer conceptos tales comoel de portafolio financiero. La segunda razn es porque varias de lashiptesis de un mercado financiero real, se satisfacen suficientementebien en este espacio como veremos ms adelante.

Supongamos que trabajamos con un modelo de mercado en el queexisten un nmero finito de activos del mercado (digamos D), cuyosperfiles de pago estn dados en trminos de bienes de consumo. Si

1De existir una oportunidad de arbitraje, sta es tomada de manera inmediatadebido a la gran cantidad de agentes que participan en el mercado. Esto ocasionaque la ventana se cierre al momento, haciendo que el arbitraje se desvanezca.

El Teorema Fundamental de las Finanzas 129

xd RJ es el perfil de pago para el d-simo activo, definimos la matrizde perfiles de pago o de pagos X MJD(R) como

X = [x1, . . . , xD],

donde J es el nmero de escenarios del mercado (estados del mundo).En trminos generales, un portafolio es un conjunto de instrumen-

tos financieros en el que un determinado agente del mercado coloca susinversiones para su posterior intercambio. Para nosotros, un portafolioes un elemento de RD en el que cada entrada representa las deudas las posesiones del agente.

Consideramos portafolios en RD, ya que esto permite tener en-tradas positivas, negativas o cero en el portafolio2. Adems, dado queen la prctica es comn intercambiar lotes de activos, al trabajar eneste espacio se satisface la condicin de divisibilidad del mercado.

Si h es un portafolio con D activos, su perfil de pago est dadocomo

Xh =Dd=1

xdhd,

donde hd es el d-simo activo del portafolio y xd el perfil de pagocorrespondiente a esta entrada. Con esta nocin de perfil de pago deun portafolio podemos establecer la siguiente

Definicin 2.1. (Ley de un mismo precio). Si h y h son dosportafolios cuyo perfil de pago es el mismo, entonces ambos portafoliostienen el mismo precio. Es decir, si Xh = Xh entonces ph = ph,donde p RD es un vector de precios.

En este caso podemos ver que cualquier portafolio cuyo perfil depago es cero, tiene precio igual a cero. Veamos que si h = h h,entonces Xh = 0 implica que ph = 0, i.e.,

ker(X) ker(p), (1)

donde p es un vector en RD, tal que existe un portafolio h con lapropiedad de que ph R+.

Si bien es posible establecer diferentes nociones de arbitraje, en elcontexto que estamos trabajando es necesario introducir una definicinen trminos del perfil de pago de un portafolio.

2Esto es a lo que se le denomina liquidez del mercado.

130 A. Snchez

Definicin 2.2. Un arbitraje fuerte es un portafolio cuyo precio esestrictamente negativo y que tiene un perfil de pago positivo en algntiempo futuro.

Definicin 2.3. Un arbitraje es un portafolio que es un arbitrajefuerte o que tiene precio igual a cero y un perfil de pago positivo, hoyo en algn estado en el futuro.

En vista de que el precio inicial para un arbitraje no es mayor quecero, no requerimos de riqueza alguna para participar en el mercado.Sin embargo, es posible que al trmino del periodo hayamos consegui-do algn beneficio gracias al perfil de pago final. Esto lo podemosconjuntar en forma de desigualdades como veremos a continuacin.

Sea h un portafolio de arbitraje, entonces

ph 0,

y su payoff siempre es positivo

Xh 0.

Cuando escribamos debemos entender mayor que o igual que encada componente. Por otra parte > quiere decir mayor o igual estric-tamente y mayor en algunas componentes. Por ltimo, cuando se tratede >> estaremos hablando de estrictamente mayor que en todas lascomponentes. Observemos que el arbitraje h, tiene una desigualdadestricta en alguna de las desigualdades anteriores, al menos en unacomponente. As, una oportunidad de arbitraje puede representarsecomo

Yh =[pX

]h > 0, (2)

donde Y MJ+1D(R).Proposicin 2.1. Si no hay arbitraje entonces se satisface la ley deun mismo precio.

Demostracin. Sea h RD un portafolio, tal que h ker(X) y h 6ker(p). De esta manera hay dos casos para el precio del portafolio, asaber ph > 0 ph < 0.

Si ocurre el primer caso, entonces ph < 0. De esta manera, conXh = 0 se satisface la definicin de arbitraje fuerte para el portafolioh. Es decir, p(h) < 0 y en particular X(h) 0. Por otro lado elcaso ph < 0 no es posible, ya que la otra condicin para el arbitrajees que ph = 0.


Hemos establecido uno de los supuestos financieros ms usados enla prctica, como una implicacin del principio de no arbitraje en uncontexto sencillo. Este hecho adems, permite adentrarse en el concep-to de equilibrio de mercado y algunas otras relaciones estructurales.Ms por el momento nos limitaremos al Primer Teorema Fundamental.

Ejemplo 2.2. Consideremos dos activos cuyos perfiles de pago son x1 =(1, 1)t y x2 = (1, 2)t respectivamente. Supongamos que el precio deestos activos es p1 = 1 y p2 = 2. En este caso el vector de preciosp = (1, 2) pertenece a la frontera del cono generado por los perfiles depago, de hecho coincide con uno de ellos, tal como se muestra en laFigura 1.

x2x1

p=(1,2)

-3 -2 -1 0 1 2 3ACTIVO 1

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0ACTIVO 2

Figura 1: El precio p coincide con una de las fronteras del cono generado por los perfilesde pago.

La matriz de pagos es

X =

(1 11 2

),

por lo que con el portafolio h = (1,1/2), tenemos que z = Xh =(1/2, 0)t. Este perfil de pago no pertenece al subespacio generado porx1 y x2. Adems ph = 0, es decir, h es un portafolio de arbitraje. Sinembargo, dado que z 0 y ph 0, se sigue que no es un arbitrajefuerte.

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3. El PTFVA de Dalang-Morton-Willinger

El Primer Teorema Fundamental caracteriza la existencia de unamedida de probabilidad equivalente, bajo la cual el proceso de preciosdescontado de algn derivado financiero es una martingala.

Existen varias versiones de este resultado en mltiples contextos.Muchas de ellas de nivel elemental, y otras tantas sofisticadas y dif-ciles de abordar. En nuestro caso trabajamos con una versin de ni-vel intermedio, conocida como la versin de Dalang-Morton-Willinger.Vamos a proceder con el enfoque presentado en [11] y, apegndonosa [3] construimos la prueba de este resultado mediante el principiode induccin matemtica. Tal medida martingala equivalente es im-portante ya que nos permite valuar portafolios, derivados financieros,entre otras aplicaciones.

3.1. Estableciendo el teorema

Sea (, (=t)Tt=0, P ) un espacio de probabilidad filtrado, donde(=t)Tt=0 es la filtracin finita =0 =1 . . . =T .

Si St = (S0(t), . . . , Sd(t)) es un vector de precios de algn mercadofinanciero, tenemos que la variable aleatoria Si(t) : Rd+1 denotaal vector de precios que prevalece al tiempo t. Suponemos que cadacomponente de S(t) representa el proceso de precio para d+ 1 activosfinancieros distintos que son medidos en relacin al primer activo. Esteactivo recibe el nombre de numerario. Y dado que los precios restantesson medidos relativos al numerario, se puede tomar S0(t) = 1.

Definicin 3.1. Sea P la mnima -lgebra sobre R+ que contienea los conjuntos {0} A,A =0 y (u, v] B,B =u, con 0 u < v.A P se le denomina la -lgebra de los conjuntos predecibles.

Definicin 3.2. Un proceso estocstico {X(t)}t0 es =t-predecible sies P-medible.

A continuacin establecemos formalmente el concepto de portafoliofinanciero. Este es uno de los conceptos que podemos considerar comouniversales en finanzas.

Definicin 3.3. Un portafolio es un proceso predecible (d + 1)-di-mensional denotado por h = (h0(t), . . . , hd(t)), donde cada hi(t) es elnmero de activos del i-simo tipo que hay en el portafolio durante elintervalo (t 1, t].


Cuando algn agente del mercado adquiere las cantidades corres-pondientes a los portafolios h(0), . . . , h(T 1) en los instantes t =0, 1, . . . , T 1, para conformar cualquier estrategia de mercado de-ber usar nicamente los recursos y la informacin disponibles hastaese momento, atendiendo nicamente al pasado y al presente. As,podemos decir que el agente no puede ver en el futuro debido a que seconsideran estrategias predecibles.

Definicin 3.4. Sea {=t}t0 una familia creciente de -lgebras deconjuntos de . Un proceso X(t, ) : [0,) Rn se llama =t-adaptado si para cada t 0 la variable aleatoriaX(t, ) es =t-medible.

Definicin 3.5. Si h es un portafolio, el proceso de valor de dichoportafolio es V = (Vt)Tt=0 y est dado como

(V h)(0) =di=0

hi(1)Si(0) y (V h)(t) =di=0

hi(t)Si(t 1), t > 1.

Notemos que el proceso de valor es un proceso adaptado, debido aque tanto Si(t) y hi(t) son =t-adaptados para toda t T 1.

Definicin 3.6. Un portafolio h es autofinanciable si su proceso devalor V satisface

V =di=1

hi(t)(Si(t)), t 1.

Los portafolios autofinanciables son de gran importancia pues sonaquellos que no involucran movimientos de entrada o salida de dinerodespus de t = 0. Es decir, que no entran ni salen flujos de efectivocuando t > 0. De esta manera lo que gana o pierde un agente delmercado viene dado mediante la siguiente expresin

T1t=0

h(t), S(t+ 1) S(t) = (V h)(0) +T1t=1

h(t),S(t) .

Si en general denotamos

(h S)t =t

u=1

h(u),S(u) , t 1,

134 A. Snchez

entonces(V h)(t) = (V h)(0) + (h S)t

para un portafolio que sea autofinanciable. Una vez establecido loanterior pasamos a definir el concepto de arbitraje.

Definicin 3.7. Una oportunidad de arbitraje es un portafolio autofi-nanciable h(t), para el cual su proceso de valor satisface las siguientescondiciones

(i) P [(V h)(0) = 0] = 1,

(ii) I = {0, 1, . . . , T}, tal que P [(V h)() 0] 0,

(iii) P [V h() > 0] > 0.

Si consideramos al conjunto

K = {T1t=0

h(t),S(t) :h(t) : Rd es =t-adaptado para

t {0, 1, . . . , T 1}} ,

tenemos que este es un subespacio de L0(,=t, P ). Este conjunto esel espacio de variables aleatorias real valuadas que son iguales P -casiseguramente (lo que denotaremos en adelante como P -c.s.). Podemosentonces reescribir la definicin de arbitraje financiero en trminosgeomtricos.

Definicin 3.8. Decimos que en un mercado financiero no hay arbi-traje si

K L0+(,=, P ) = {0},donde L0+ es el cono de variables R-valuadas que son iguales P -c.s.

Debemos verificar entonces que con las definiciones anteriores, enefecto el subespacio K es cerrado en L0(,=, P ). Esto es lo que seestablece en el teorema 3.2.

Definicin 3.9. Sea H L0(,=0, P ;Rd). Diremos que H est enforma cannica para (S(0), S(1)) si H HX , donde

HX = {f : Rd | f es =0-medible y Pf = f},

aqu X = S(1) S(0).


A continuacin introducimos la notacin para sucesiones de inte-grales estocsticas de menos el mximo. Si S(t) es un proceso adap-tado a (, (=t)Tt=0, P ) y {Hn}n=1 una sucesin en forma cannicaperteneciente a L0(,=t, P ;Rd), entonces

(H S) = max{H S, 0}.

Proposicin 3.1. Sea S = (S(0), S(1)) un proceso adaptado a(, (=t)1t=0, P ) y sea {Hn}n=1 una sucesin en L0(,=0, P ;Rd) en for-ma cannica. Entonces

(i) La sucesin {Hn}n=1 es acotada c.s. sii {(H S)}n=1 es aco-tada.

(ii) {Hn}n=1 converge c.s. sii {(H S)}n=1 converge c.s.

Si suponemos adems que el proceso S satisface la condicin de no-arbitraje tenemos

(iii) La sucesin {Hn}n=1 es acotada c.s. sii {(H S)}n=1 es aco-tada.

(iv) {Hn}n=1 converge c.s. sii {(H S)}n=1 converge c.s.

Demostracin. Vase [3], Cap. 6, pp. 92-93.

Teorema 3.2. Sea S = (S(0), S(1)) un proceso estocstico Rd-valuadoa un paso adaptado a (, (=t)1t=0, P ). Entonces

(i) El subespacio vectorial K es cerrado3 en L0(,=1, P ).

(ii) Si S satisface la condicin de no-arbitraje, entonces el cono

C = K L0+(,=1, P )

es cerrado4 en L0(,=, P ).3Esta parte del teorema aparece en: C. Stricker, (1990), Arbitrage et Lois de

Martingale. Annales de l Institute Henri Poincar-Probabilits et Statistiques, vol26, pp. 451-460.

4La demostracin de esta afirmacin es debida a Walter Schachermayer y apare-ci en W. Schachermayer, (1992), A Hilbert space proof of the fundamental theoremof assets pricing in finite discrete time. Insurance: Mathematics and Economics,vol. 11, no. 4, pp. 249-257.

136 A. Snchez

Nota. A la parte (i) del enunciado se le conoce como el Lema deStricker.

Demostracin. (i) Sea {fn} = Hn,Sn=0 una sucesin en K queconverge a f0 L0(,=1, P ) con respecto a la convergencia en medida.Por simplicidad podemos suponer que Hn est en forma cannica. Porotra parte, pasando a una subsucesin podemos suponer que {fn}n=1converge casi seguramente a f0.

La Proposicin 3.1, implica que la sucesin {Hn}n=0 converge casiseguramente a H0 L0(,=1, P ;Rd), de modo que f0 = H0,S ypor lo tanto f0 K.

(ii) Para probar esta afirmacin supongamos que fn = gn hn,es una sucesin que converge en probabilidad a f0 L0(,=1, P ),donde gn = Hn,S , para lo cual Hn es un integrando en formacannica y hn L0+(,=1, P ). Tenemos que probar entonces que f0 C, para esto de nueva cuenta podemos suponer que {fn}n=1 convergecasi seguramente a f0. Como fn gn inferimos que {Hn,S}n=1es acotada c.s., de tal forma que podemos concluir de la condicin deno-arbitraje y de la Proposicin 3.1, que {Hn}n=1 tambin es acotadac.s.

Pasando a una subsucesin parametrizada medible (ver [3], pp.90) {k}k=1 podemos suponer que la subsucesin gk = Hk ,Sconverge casi seguramente a H0,S , para algn H0 E. Obsrveseque la sucesin {fk}k=1 sigue convergiendo c.s. a f0, de modo tal quehk = fkgk converge casi seguramente a algn h0 0. Por lo tanto

f0 =H0,S

h0 K L0+(,=1, P ) = C.

Antes de pasar a la demostracin, debemos introducir algunos ele-mentos adicionales.

Sean p, q [1,], de modo tal que 1p

+ 1q

= 1, y consideremosE = Lp(,=, P ), E = Lq(,=, P ). Vamos a denotar por

E+ = {f LP | 0 f c.s.}

al cono de variables aleatorias no-negativas en el espacio LP .

Lema 3.3. Sea C E un cono convexo (E,E )-cerrado en la to-pologa de E (Ver [6] u [8]) que contiene a E y supongamos que


C E+ = {0}. Entonces existe una medida de probabilidad Q sobre =,la cual es equivalente a P, satisface dQ

dP E y es tal que para cualquier

f C, tenemos que EQ[f ] 0.

Demostracin. Ver [3], Cap. 5, pp. 81-82.

Pasemos al PTFVA en una versin no-elemental. Esta es de hechouna versin que podemos calificar como intermedia, aunque no por esomenos interesante.

Teorema 3.4. (PTFVA). Sea (,=T , P ) un espacio de probabilidad ysea (S(t))Tt=0 un proceso estocstico Rd-valuado adaptado a la filtracin(=t)Tt=0. Entonces se cumple la condicin de no-arbitraje

K L0+(,=T , P ) = {0},

si y solo si existe una medida de probabilidad equivalente Q, (Q P )tal que

(i) S(t) L1(,=T , Q), t = 0, . . . , T,

(ii) (S(t))Tt=0 satisface la propiedad martingala,

(iii) dQdP

es acotada, i.e., dQdP L(,=T , P ).

3.2. La base de la induccin

Vamos a establecer el enunciado del teorema para cuando T = 1.Sea S = (S(0), S(1)) un proceso Rd-valuado, (=0,=1)-adaptado quesatisface la condicin de no-arbitraje. Entonces existe una medida deprobabilidad Q equivalente a P, tal que

(i) S(0), S(1) L1(Q)

(ii) S(0) = E[S(1)|=0]

(iii) dQdP

es acotada.

Consideremos una medida de probabilidad equivalente P1, tal que dP1dPsea acotada y S(0), S(1) L1(P1).

En segundo lugar vamos a considerar al conjunto

C1 = C L1(,=1, P1),

138 A. Snchez

dondeC = K L0+(,=1, P ).

En vista de que C es cerrado en L0(P ), el conjunto C1 es cerradoen L1(P1). Tenemos adems que C1 es un cono convexo debido a queC es un cono convexo.

Por la condicin de no-arbitraje tenemos que

C1 L1+(,=1, P1) = 0.

Denotamos comoE+ = L

1+(,=1, P1, )

dado queC1 E+ = {0},

aplicando el lema (3.3), vemos que existe una medida de probabilidadequivalente Q en =1 tal que dQdP1 es acotada y EQ[f ] 0, f C1.

Nota: Observemos que el hecho de que dQdP1

sea acotada implicaque S(0), S(1) L1(Q).

Puesto que para cada coordenada j = 1, . . . , d y cada A =0tenemos que

1A(S(1)j S(0)j) C1 y 1A(S(1)j S(0)j) C1,

entonces

EQ[1A(S(1)j S(0)j)] 0 y EQ[1A(S(1)j S(0)j)] 0.

Esto implica que E[1A(S(1)jS(0)j)] = 0, con lo que queda demostra-do que

EQ[1AS(1)j] = EQ[1AS(0)

j].

As, si usamos el hecho de que S(0)j es =0-medible para toda j, de ladefinicin de esperanza condicional se tiene que

S(0) = EQ[S(1)|=0].

Por otra parte, dado que P1 P se tiene que P1 es absolutamentecontinua con respecto a P (y visceversa). De donde se sigue que dQ

dP=

dQdP1

dP1dP, usando las propiedades de la derivada de Radon-Nikodym (ver

[9]). Por consiguiente tenemos que dQdP

tambin es acotada.Con lo anterior hemos demostrado la base de la induccin.


3.3. El paso inductivo

Supongamos ahora que el teorema es vlido para cuando hay T 1periodos de tiempo y sea (S(t))Tt=1 un proceso adaptado a la filtracin(=t)Tt=1. Entonces existe una medida de probabilidad Q P, definidasobre =T y tal que

(i) dQdP

est acotada

(ii) S(1), . . . , S(T ) L1(,=T , Q)

(iii) (S(t))Tt=1 es una Q-martingala, es decir, que para cualquier t 1, A =t, tenemos

A

S(t)dQ =

A

S(t+ 1)dQ.

La base de la induccin aplicada a (S(t))1t=0, al espacio de pro-babilidad (,=1, Q) y a la filtracin (=)1t=0, nos da una funcin aco-tada f1, que satisface las siguientes condiciones: (a) La funcin f1 es=1-medible; (b)f1 > 0; (c) EQ[f1] = 1; (d) EQ[|S(1)|f1] < ; (e)EQ[|S(0)|f1] 0 c.s., por lo tanto dQdP

> 0 c.s., y as Q P.

140 A. Snchez

Debemos revisar ahora las propiedades de integrabilidad y la pro-piedad martingala para nuestro proceso. As, cuando t = 1, . . . , T,tenemos

|St|dQ =

|S(t)|dQdQ

dQ

=

|S(t)|f1dQ


Con lo que queda demostrado que (S(t))Tt=1 es una Q-martingala.Probamos ahora la implicacin recproca. Supongamos que existe

la medida martingala equivalente Q. Si f K, se sigue que EQ[f ] = 0.Como

K L0+(,=, Q),

se tiene que si f L0+(,=, Q), entonces

EQ[f ] = 0 f = 0 c.s.

As, tenemos que K L0+(,=, Q) = {0}.

Hemos demostrado as la versin de Dalang-Morton-Willinger delPrimer Teorema Fundamental. Si bien esta es una prueba construc-tiva, tambin es posible establecer este resultado en trminos de lacerradura del cono convexo C (vase [11]).

Notemos adems, la brevedad de esta ltima implicacin. En ge-neral todos los desarrollos giran en torno a la implicacin de que si nohay arbitraje, entonces hay una medida martingala equivalente.

4. Un contraejemplo al PTFVA

Existen gran cantidad de ejemplos de aplicacin para el PTFVAen tiempo discreto y horizonte temporal finito. No obstante cuandose considera un nmero infinito de periodos de tiempo, la implicacinNo arbitraje implica la existencia de una MME no se satisface. Estehecho es una consideracin importante que comenta S. Pliska en [7].

Aclaremos primero a que nos referimos con horizonte infinito. Siconsideramos un modelo de mercado para el cual el ndice t indica elnmero de periodos, as como el tiempo transcurrido y para el cualcabe la posibilidad de que T = entonces hablamos de un modelocon horizonte temporal infinito.

Cierto tipo de estrategias consideradas como patolgicas dentro delos mercados financieros dinmicos son los llamados dobleteos. Estasestrategias de mercado acarrean arbitraje si el espacio de estados noes finito. El problema del dobleteo radica en el hecho de que no tienecosto alguno, sin embargo dicha estrategia converge con probabilidad1 a algo positivo.

142 A. Snchez

4.4. El modelo binomial 1-periodo

El modelo binomial 1-periodo es la herramienta bsica para enten-der los principios de la valuacin por arbitraje. Y nos ser de utilidaden la construccin de una estrategia de mercado que no satisface elPTFVA. En este modelo se considera un activo del stock cuyo preciounitario se denota por S0 al tiempo t0 = 0. Al tiempo t1 el precio deeste activo puede tomar uno de dos valores denotados como Su1 si elmercado sube, y Sd1 si el mercado baja. Existe una medida de proba-bilidad asociada de tal manera que la probabilidad de que el precio demercado suba es p, y la probabilidad de que el precio de mercado bajees q = 1 p. Esto es lo que se ilustra en el siguiente diagrama.

Su1 = uS0

S0

Sd1 = dS0

Notemos que se introducen los factores

u =Su1S0

y d =Sd1S0,

los cuales son ambos positivos y satisfacen la desigualdad d < u. Siocurre que u = d el precio del stock no es aleatorio y el modelo escompletamente trivial.

Introducimos adems una tasa de inters constante r. Con la cualuna unidad monetaria invertida en t0 = 0, nos produce un total de1+r unidades monetarias al siguiente periodo de tiempo. Similarmentesi se pide un prstamo a la tasa r, al final del periodo se tendr unadeuda de 1 + r unidades monetarias. En particular suponemos que latasa de inters para un prstamo es la misma que para una inversin.Ms an, es sencillo verificar que para este modelo la nica posibilidadde que no existan oportunidades de arbitraje es que se cumpla

0 < d < 1 + r < u.

Para el modelo binomial 1-periodo un derivado financiero es unactivo del mercado que paga cierta cantidad Su1 al tiempo uno si el


mercado sube y paga una cantidad diferente Sd1 si el precio del mer-cado baja. Las opciones constituyen un tipo particular de derivadosfinancieros. El perfil de pago de una opcin de compra de tipo eu-ropeo (call europeo) es (S1K)+, donde K es un valor constante quecorresponde al precio de ejercicio de la opcin.

En este caso la valuacin por arbitraje se usa para encontrar el pre-cio del derivado al tiempo cero, que es cuando se introduce al mercado.La idea es replicar al derivado5 de alguna manera. Si comenzamos conuna riqueza inicial de X0 y adquirimos 0 activos del stock al tiempocero, el portafolio h(0) = (X0,0) tiene el balance

(V h)(0) = X0 0S0.

Esto implica que al tiempo uno podemos alcanzar un portafolio parael cual su balance es

(V h)(1) = 0S1 + (1 + r)(X0 0S0),

en vista de la adquisicin de 0 en t0. Si elegimos las cantidades deriqueza inicial X0 y 0 de modo tal que Xu1 = (V hu)(1) y Xd1 =(V hd)(1), tenemos

X0 + 0

(1

1 + rSu1 S0

)=

1

1 + r(V hu)

X0 + 0

(1

1 + rSd1 S0

)=

1

1 + r(V hd)

Una manera para resolver este sistema de ecuaciones es multiplicarla primera ecuacin por un nmero p y la segunda por q = 1 p.Sumando ambas ecuaciones llegamos a

X0 + 0

(1

1 + r

[pSu1 + qS

d1

] S0

)=

1

1 + r

[pV u1 + qV

d1

]Si

S0 =1

1 + r

[pSu1 + qS

d1

],

obtenemos la frmula para la riqueza inicial necesaria en la replicacin

X0 =1

1 + r

[pV u1 + qV

d1

].

5La replicacin financiera se refiere a igualar el valor de algn instrumentofinanciero mediante otro tipo de instrumentos del mismo mercado.

144 A. Snchez

Ms an, podemos encontrar fcilmente los valores de p y q, entrminos de la tasa de inters y de los factores u y d. As

p =1 + r du d

y q =u 1 ru d

.

El nmero de activos 0 que debemos adquirir al inicio est dadopor la llamada delta para la cobertura

0 =V u1 V d1Su1 Sd1

.

Y en vista de que queremos replicar una posicin corta6 para el deriva-do por (V h)(1), este activo debe tener el precio

V (0) = X0 + 0

(1

1 + r

[pSu1 + qS

d1

] S0

)=

1

1 + r

[pV u1 + qV

d1

]al tiempo cero para no acarrear arbitraje.

El objetivo del siguiente ejemplo es mostrar que cuando se traba-ja con un nmero infinito de periodos de tiempo, siempre es posibleobtener una ganancia estrictamente positiva (digamos de $1) con pro-babilidad uno, es decir, se logra un arbitraje. Implcitamente apareceuna medida de probabilidad asociada y se pueden calcular explci-tamente las probabilidades neutras al riesgo. Ms no es lo que nosacomete en este momento.Ejemplo 4.1. Consideremos un modelo binomial 1-periodo. Sean u =1.1 y d = 0.9, los factores multiplicativos dependiendo si el precio delstock sube o baja. Supongamos que la tasa libre de riesgo es r = 0.

Si al tiempo t = 0 conformamos el portafolio h(0) = (10, 10) (efectivo, stock), usando el modelo binomial tenemos el siguiente es-quema

Su1 = 11

S0 = 10

Sd1 = 9

6Dentro de la jerga financiera se entiende que es algo que ya no se tiene o quese debe.


Con esta estrategia podemos lograr un dobleteo. Pidiendo un prs-tamo por $10 para armar el portafolio, si el precio sube al tiempo unopodemos pagar el prstamo y quedarnos con $1 libre. Por otro lado, siel precio del mercado baja quedamos en deuda por $1. Sin embargo,una manera de pararse de nuevo es pedir un prstamo que dupliquela cantidad inicial invertida, por ejemplo $11. As, al tiempo 1 tenemos$1 para nuestras arcas y conformamos el portafolio h(1) = (20, 20).De acuerdo al modelo binomial tendramos

Su1 = 22

S0 = 20

Sd1 = 18

En este caso si el mercado sube podemos pagar la deuda y retirarnoscon $1. Aunque si el mercado cae estaremos endeudados con $3, porlo que si queremos tener siempre una ganancia de $1, tendramos querecurrir a la misma estrategia otra vez.

Podemos ver con este ejemplo que siempre que ocurra un mo-vimiento de subida del mercado durante los primeros t periodos detiempo, habremos logrado el objetivo de $1 para nuestro bolsillo. Sipor el contrario no ocurre un solo movimiento de subida durante lost primeros periodos, la deuda ascender a 1 2t. Con esto debere-mos 11 2t1 1, por encima del prstamo inicial y la inversin en elmercado es de 9 2t1, pues

1 2t = 9 2t1 9 2t1 2 2t1 + 1= 9 2t1 (9 + 2) 2t1 + 1= 9 2t1 [11 2t1 1].

En esta situacin al tiempo t, para mantenerse andando el prs-tamo debe ser de 11 2t1. Con esto la inversin para este periodode tiempo sube a 10 2t. As, si consideramos un nmero infinito deperiodos de tiempo, la probabilidad de que el mercado siempre est ala baja es cero. Por lo que en algn momento podremos realizar unarbitraje va el dobleteo.

146 A. Snchez

4.5. El contraejemplo de Pliska

El siguiente ejemplo es debido a Stanley Pliska ([7], pp. 246-248).En ste se muestra como en un mercado con un horizonte temporalinfinito, la versin del PTFVA que manejamos en este trabajo no secumple.

Consideremos un modelo de mercado con un activo con riesgo de-notado por S, una tasa asociada constante r = 0 y un espacio deprobabilidad contable = {1, 2, . . .}. Hagamos S0 = 1 y para cua-lesquiera t 1 y sea

St() =

{ (12

)t , t < ;(2 + 2 + 2)

(12

) , t .El cambio en el precio del activo con riesgo por periodo de tiempo

viene dado mediante la siguiente expresin

St() = St() St1() =

(1

2)t , t < ;

(2 + 2)(12) , t = ;

0 , t > .

Intuitivamente esto quiere decir que en el estado del mundo , elprecio cae un 50 % por periodo para 1 periodos consecutivos. Deltiempo 1 al tiempo el precio aumenta en (2 + 2)

(12

). Es

decir, si t =

St() = S() S1() (8)= (2 + 2 + 2)(1/2) (1/) 1 (9)= (2 + 2)(1/2) + 2(1/2) (1/2) 1 (10)= (2 + 2)(1/2). (11)

A partir de t > el precio permanece constante, es decir, para t > el valor del portafolio no cambia.

Sea H(t) el nmero de activos con riesgo que se tienen del tiempot 1 al tiempo t. En vista de la naturaleza del proceso de precios, sinprdida de generalidad podemos concentrarnos en aquellas estrategiaspara las cuales {Ht}t0 R. Algo importante que debemos considerares que la sucesin {Ht}t1 es acotada (para evitar dobleteos) y que


adems cada estrategia de la sucesin es autofinanciable. De tal ma-nera que las estrategias admisibles son descritas completamente porla riqueza inicial V0 y la sucesin acotada {Ht}t0.

Si consideramos la estrategia admisible (V0, {Ht}t0), el valor delportafolio es

Vt() =

{V0

ts=1(1/2)

sHs , t < ;V0

1s=1 (1/2)

sHs + (2 + 2)(1/2)H , t .

Como estamos suponiendo que la sucesin {Ht}t0 es acotada, en-tonces el proceso para el valor del portafolio es acotado inferiormente.

La ausencia de oportunidades de arbitraje se sigue de tres factores:La fecha en la que el precio crecer es impredecible; si es suficien-temente grande el precio estar bajo an cuando haya habido ciertocrecimiento y solamente se permiten estrategias acotadas.

Sea Bt un factor de descuento y definamos V t =VtBt, as V0 = V 0 .

Si V0 = 0 y {Ht} es tal que Vt V, con V (), , entonces

1t=1

(1

2)tHt + (

2 + 2)(1

2)H 0, . (12)

Sea > 0 y supongamos que para algn k Z se cumple

kt=1

(1

2

)t> . (13)

Usando induccin matemtica y la ecuacin (12), llegamos a

(2 + 2)

(1

2

)H > , > k. (14)

Sin embargo, esto no puede ocurrir dado que la sucesin {Ht}t0 esacotada. De esta manera no existe ningn k Z, ni tampoco > 0tales que se cumpla (13). Es decir, debe ser

kt=1

(1

2

)t 0, k 1. (15)

Si en la ecuacin (14) tomamos = 1 y k = 1, tenemos queH1 = 0.Y en general cuando consideramos H1 = H2 = . . . = Hk1 = 0, las

148 A. Snchez

ecuaciones (12) y (15) implican que Hk = 0. Esto indica que nuestrocandidato a oportunidad de arbitraje cumple con la condicin Ht = 0para cualquier eleccin de t, con lo que se concluye que no puedenexistir oportunidades de arbitraje.

Por una parte ya verificamos que no hay arbitraje, lo que restaes ver que sucede en relacin a la posible existencia de una medidade probabilidad equivalente a la medida neutra al riesgo. Para estosupongamos que qt1 es la probabilidad condicional neutra al riesgode que se de un movimiento a la alza del tiempo t 1 al tiempo t.

La correspondiente esperanza condicional de St debe ser cero, i.e.,

qt1(t2 + 2t)

1

2t+ (1 qt1)

1

2t= 0, t 1.

La probabilidad incondicional Q( t) debe igualar (t+1)/2t, lo queconverge a 1/2, cuando t es arbitrariamente grande.

Para tener una medida de probabilidad vlida, debe suceder que

lmt

Q( t) = 0,

mientras que en nuestro caso el lmite es 1/2. De esta manera no existeninguna medida de probabilidad equivalente bajo la cual el procesode precios descontado sea martingala, con lo que se muestra que elPTFVA no se cumple en este caso.

5. Agradecimiento

Quiero agradecer al Dr. Julio Cesar Garca Corte por sus comenta-rios y aclaraciones. De igual manera al rbitro que revis este trabajopor sus observaciones y sugerencias.

Referencias

[1] Bingham, N. H., Kiesel, R., Risk-neutral valuation: Pricing andhedging of financial derivatives. Springer, Heidelberg, second edi-tion, 2004.

[2] Dybvig Ph., Ross, S., Arbitrage. In: The new palgrave: a dictionaryof finance, pp. 5771, J. Eatwell, M. Milgate, P. Newman, Eds., WWNorton NYC, 1987.


[3] Delbaen F., Schachermayer, W., The Mathematics of Arbitrage.Springer Heidelberg New York, 2006.

[4] Ibarra, C., La Frmula de Black-Scholes. Notas de MtodosMatemticos para Finanzas II, MCMAI, UAM-I, 2009.

[5] Leroy, S., Werner, J., Principles of Financial Economics. Cam-bridge University Press, 2001.

[6] Megginson, R. E., An Introduction to Banach space Theory.Springer-Verlag, 1998.

[7] Pliska, S., Introduction to Mathematical Models: Discrete Models.Blackwell Publishing, 1997.

[8] Royden, H. L., Real Analysis. Prentice Hall, Inc., 1998.

[9] Rudin, W., Functional Analysis. McGraw-Hill, 1973.

[10] Snchez Peralta, A., El Primer Teorema Fundamental deValacin de Activos. Tesis de Maestra, MCMAI, UAM-I, 2010.

[11] Schachermayer, W., A Hilbert space proof of the fundamental the-orem of asset pricing in finite discrete time. Insurance: Mathematicsand Economics, Vol. 11, No. 4, pp. 249257, 1992.

Direccin del autorAlejandro Snchez PeraltaUniversidad Autnoma Metropolitana,Unidad Iztapalapa,Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera,Departamento de Matemticas.Av. San Rafael Atlixco 186, Col. VicentinaDel. Iztapalapa, C.P. 09340 Mxico, D.F.e-mail: [email protected]

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