Prof. Carmelo Roma 1 Sussidi didattici per il corso di “Topografia” Esercizio sul cerchio ex-inscritto I cerchi ex-inscritti a un triangolo (ex è la contrazione del vocabolo latino extra = esterno) sono tangenti a un lato e ai prolungamenti degli altri due; si hanno perciò tre cerchi ex-inscritti in ogni triangolo. Del triangolo ABC in figura sono note le misure dei tre lati: a = 76,844 m, b = 78,789 m, c = 99,801 m. Determina la distanza tra i punti O1 e O2, rispettivamente centro del cerchio inscritto al triangolo ABC e centro del cerchio ex-inscritto relativo al lato BC = a. Soluzione Osserva che i punti A, O1 e O2 sono disposti sulla stessa retta, che coincide con la bisettrice dell’angolo , quindi: La somma delle aree dei tre triangoli che il hanno vertice comune in O1 deve essere uguale all’area complessiva del triangolo ABC. Si potrà perciò scrivere: = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 2 ( + + ) = 1 2 , Indicando con p (minuscolo) il semiperimetro, Z C R 2 R 1 N O 2 B a A b V O 1 c M R 1 R 1 H abbiamo che: = 1 2 2 = 1 = 1
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Sussidi didattici per il corso di “Topografia”...1 Sussidi didattici per il corso di “Topografia” Esercizio sul cerchio ex-inscritto I cerchi ex-inscritti a un triangolo (ex
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Prof. Carmelo Roma
1 Sussidi didattici per il corso di “Topografia”
Esercizio sul cerchio ex-inscritto I cerchi ex-inscritti a un triangolo (ex è la contrazione del vocabolo latino extra = esterno) sono tangenti a
un lato e ai prolungamenti degli altri due; si hanno perciò tre cerchi ex-inscritti in ogni triangolo.
Del triangolo ABC in figura sono note le misure dei tre lati: a = 76,844 m, b = 78,789 m, c = 99,801
m. Determina la distanza tra i punti O1 e O2, rispettivamente centro del cerchio inscritto al
triangolo ABC e centro del cerchio ex-inscritto relativo al lato BC = a.
Soluzione
Osserva che i punti A, O1 e O2 sono disposti sulla stessa retta, che coincide con la bisettrice
dell’angolo , quindi:
La somma delle aree dei tre triangoli che il hanno vertice comune in O1 deve essere uguale all’area
complessiva del triangolo ABC. Si potrà perciò scrivere:
𝑠 =𝑎𝑅1
2 +
𝑏𝑅1
2+
𝑐𝑅1
2=
𝑅1
2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =
𝑅1
2 𝑃 , Indicando con p (minuscolo) il semiperimetro,
Z
C
R2
R1
N
O2
B
a
A
b
V
O1
c
MR1
R1
H
abbiamo che:
𝑆 =𝑅1
2 2𝑝 = 𝑅1 𝑝
𝑆 = 𝑅1 𝑝
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2 Sussidi didattici per il corso di “Topografia”
Da cui possiamo ricavare il raggio utilizzando 𝑅1 con la formula di Erone: