1 M. Escher. 1943. Xilografia. Collezione Federico Giudiceandrea SUSI RACCOLTA casuale di esercizi elementari, non tutti standard, dei quali si fa memoria per cogliere l’occasione di analizzare le procedure psicologiche di soluzione. Il nome del file vorrebbe richiamare i “Quesiti con la Susi” che compaiono periodicamente nella “Settimana enigmistica” e che talvolta richiedono delle procedure un po’ diverse da quelle imposte dai libri abituali scolastici di matematica. Spesso è utile il confronto fra la soluzione ottenuta con metodi abituali e quella che si può ottenere con programmi di calcolatore.
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SUSI - Carlo Felice Manara - Carlo Felice Manara...(Settimana enigmistica. N. 2193. 6 aprile ’84). La somma delle due cifre di un numero è 10. Scritte in ordine inverso esse danno
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M. Escher. 1943. Xilografia. Collezione Federico Giudiceandrea
SUSI
RACCOLTA casuale di esercizi elementari, non tutti standard, dei quali si fa
memoria per cogliere l’occasione di analizzare le procedure psicologiche di
soluzione. Il nome del file vorrebbe richiamare i “Quesiti con la Susi” che
compaiono periodicamente nella “Settimana enigmistica” e che talvolta richiedono
delle procedure un po’ diverse da quelle imposte dai libri abituali scolastici di
matematica. Spesso è utile il confronto fra la soluzione ottenuta con metodi abituali e
quella che si può ottenere con programmi di calcolatore.
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1 CALCOLO ENIGMATICO.
Sia ***4** 7 = 6743*56. Mettere delle cifre al posto degli asterischi.
(Pierre Berloquin. 100 jeux numériques)
R. Si osserva che solo i numeri ottenuti da 6743*56 sostituendo la cifra 1 o la cifra 8
al posto dell’asterisco sono divisibili per 7. Si trova subito: 6743856 = 7 963408.
PROGRAMMA IN BASIC
10 A = 6743056
20 IF K > 9 GOTO 110
30 B = A + 100K
35 D = INT(B/7)
40 C = B – 7D
50 IF C = 0 GOTO 80
60 K = K+1
70 GOTO 20
80 PRINT B, B/7
90 K = K+1
100 GOTO 20
110 PRINT “END”
120 END
Il programma costruisce tutti i 9 numeri della forma X = 6743056 + 100 K ( 0 < K <
10); ognuno viene diviso per 7, per cercare quale dà zero come resto.
Si ritrova: 6743856 = 7 963408. Ramponio 061688
2 - Esercizio sulla nota domanda di determinare qual è il massimo numero
rappresentabile con tre cifre; c’è la scelta tra:
A = e B = .
OSSERVAZIONE. Occorre precisare che si vogliono impiegare soltanto tre cifre,
perché nella realtà occorrono cinque segni, ed occorre anche enunciare una regola di
lettura delle formule, che, per esempio, dia senso alle parentesi.
Indichiamo con il logaritmo decimale di x: quindi se è per esempio =
3, 45678, si avrà 1000 < x < 10000.
Si ha: = 0,954242…, e quindi: = 9 = 8,58817…
Dunque: . Ma è ; quindi si ottiene:
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0,954242 < < 0,954242 .
Si trae da qui che l’espressione di A richiede almeno cifre arabe.
Si ha: = , ossia: = 9 8,58817… = 77, 2935…..
Quindi l’espressione di B richiede meno di 78 cifre arabe. 112600
3 PROBLEMA ARITMETICO. Elementare, ma interessante per analizzare la
procedura logica di soluzione. (Settimana enigmistica. N. 2944 - 082788)
Un fruttivendolo confeziona parecchie ceste; alcune di limoni, altre d’arance, altre di
cedri. Ogni cesta contiene lo stesso numero di agrumi. Poiché i limoni sono più delle
arance, e queste più dei cedri, ed il prodotto dei tre numeri vale 365010, quanti
limoni, quante arance e quanti cedri ha egli disposto?
R. Poiché si ha: 65010 = 2 3 5 , vi sono 2 ceste di cedri, 3 di arance e 5 di limoni.
Il numero totale dei frutti è ovviamente:
(2 + 3 + 5) 23 = 46 + 69 + 115 = 230.
4 PROBLEMA ARITMETICO. (Settimana enigmistica. N. 2193. 6 aprile ’84).
La somma delle due cifre di un numero è 10. Scritte in ordine inverso esse danno un
numero che è inferiore di 1 al doppio del numero cercato.
R. Siano x ed y le cifre della rappresentazione decimale del numero N, sia cioè
N = 10 x + y. Si hanno le equazioni:
x + y = 10 ; 10 y + x = 2(10 x + y) –1. Si trova N = 37.
OSSERVAZIONE. Si tratta di un facilissimo esercizio di trascrizione dei dati del
problema con il linguaggio matematico, tenendo presenti le convenzioni della
rappresentazione decimale. Le procedure dell’algebra permettono poi di giungere al
risultato in modo automatico. Ramponio 072788
5 PROBLEMA (Pierre Berloquin - 100 jeux numériques)
Tizio ha speso tutto quanto aveva in tasca in 5 negozi: nel primo ha speso la metà di
tutto quello che aveva più un franco; nel secondo la metà di quello che gli era rimasto
più un franco, ecc.; nel quinto metà di quello che gli era rimasto più un franco, ed è
rimasto a zero. Quanto aveva all’inizio?
Si tratta qui di un tipico problema che si risolve, per così dire, con “moto
contrario”, cioè ponendosi coll’immaginazione nelle condizioni finali della procedura
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descritta: se nell’ultimo negozio Tizio ha speso la metà di tutto quello che era rimasto
più un franco, ciò significa che quel franco era la metà di quello che aveva. Quindi è
entrato nell’ultimo negozio con 2 franchi. Questi due franchi, più 1, sono la metà di
quello che aveva entrando nel quarto: perciò a quel punto aveva 6 franchi… E così
via retrocedendo si ottiene che entrando nel primo negozio aveva 62 franchi.
Il problema si presta come divertente esercizio di programmazione in BASIC. In
questi casi si può adottare la procedura che porta ad analizzare tutti i possibili
patrimoni iniziali, fino a che non si incontri quello che soddisfa alle condizioni del
problema.
Chiamiamo X la somma iniziale, e passiamo in rivista i valori di X, partendo da
X=1.
10 X = 1
20 A = X – X/2 –1
30 B = A – A/2 – 1
40 C = B – B/2 -1
50 D = C -C/2 –1
60 E = D – D/2 –1
70 IF E=0 GOTO 100
80 X = X+1
90 GOTO 20
100 PRINT “X=”X
110 END
Ovviamente A indica la somma con cui si esce dal primo negozio, B quella con cui si
esce dal secondo ecc. L’istruzione 70 traduce la condizione del problema.
OSSERVAZIONE. Questo esercizio ritorna spesso nelle rubriche di enigmistica
sotto forme diverse: spesso viene proposto con riferimento a contenuti che non si
possono spezzare, per esempio uova.
6 PROBLEMA. ( Pierre Berloquin. 100 Jeux numériques N. XXIX)
In una certa città, su 100 abitanti adulti 85 sono sposati, 70 hanno il telefono, 75
hanno l’automobile, 80 sono proprietari di case. Qual è il minimo numero di abitanti
che sono contemporaneamente sposati, abbonati al telefono, proprietari di automobili
e proprietari di case ?
Ecco un esercizio inconsueto, perché avvia ad utilizzare la relazione tra l’algebra di
Boole dei sottoinsiemi di un insieme e l’algebra abituale dei numeri. Occorre partire
dalla relazione fondamentale tra le due algebre: detti e due insiemi finiti, ed
indicati con ed rispettivamente le loro cardinalità intere, si ha:
(1) .
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Siano ora: i quattro insiemi ricordati nell’enunciato, e siano
rispettivamente le loro cardinalità. Dall’enunciato del problema si ha:
(2) x = 85 ; y = 70 ; z = 75 ; u = 80.
Utilizzando la (1) si può scrivere:
(3) .
Teniamo ora conto che si ha ovviamente:
(4) .
Segue di qui e dalla (3) che si deve avere:
(5) – .
Possiamo ora porre:
(6) e rifare i ragionamenti svolti sopra per l’insieme
(7) .
Si avrà, analogamente alla (5):
(8) .
Possiamo ora porre:
(9) ;
ripetendo i ragionamenti fatti finora sull’insieme si trova: – – – . Pertanto i cittadini che sono contemporaneamente sposati, proprietari di casa e di
automobile, ed utenti del telefono, sono almeno il 10% della popolazione.
Si noti che la formula (10) è simmetrica rispetto ai dati: quindi il risultato non
dipende dall’ordine scelto per eseguire le operazioni logiche ed aritmetiche. 120300
7 PROBLEMA ARITMETICO.
Determinare un numero minore di 100 il quale, diviso per 2, dia resto 1, diviso per 3
dia resto 2, diviso per 4 dia resto 3, diviso per 5 dia resto 4.
Siano x, y, z, u opportuni numeri interi. Il numero N che si cerca deve soddisfare
alle equazioni:
(1) 2x + 1 = 3y + 2 = 4z + 3 = 5u + 4 .
Indichiamo provvisoriamente con A, B, C, D i quattro polinomi che figurano tra i
segni di uguaglianza. Dall’equazione:
(2) A = C,
si trae:
(3) x = 2z +1
e dall’equazione:
(4) B = C,
scritta nella forma:
(5) 3y = 4z +1,
si trae l’insieme di soluzioni:
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(6) y = 3 + 4n ; z = 2 + 3n (n intero arbitrario);
e quindi si ha anche:
(7) x = 5 + 6n.
L’equazione:
(8) C = D
può ora essere scritta come un legame tra u ed n; fatti i calcoli si ottiene:
(9) 5u = 12 n + 7.
A questo punto si può instaurare un procedimento per tentativi, analizzando in modo
esauriente tutti i multipli di 12 che, aumentati di 7, danno un multiplo di 5. Si trova: