Page 1
คณตศาสตรพนฐานสำหรบฟสกส I(Basic Mathematics for Physics I)
ศภปยะ สระนนท(Suppiya Siranan)
[email protected]
สำนกวชาวทยาศาสตร สาขาวชาฟสกสมหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร
สไลดประกอบการสอนฟสกสโอลมปก สอวน.http://physics2.sut.ac.th/~suppiya/note/Mathematics01.pdf
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 1/75
Page 2
“Physical laws should have mathematical beauty.”
PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC
(พอล เอดรยน มอรซ ดรก)The Nobel Laureate in Physics 1933
เกด: 8 สงหาคม ค.ศ.1902 ในเมอง Bristol, ประเทศ England
ตาย: 20 ตลาคม ค.ศ.1984 ในเมอง Tallahassee, Florida, ประเทศ USA
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirac.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 2/75
Page 3
เซตพนฐานทควรทราบเซตวาง (empty set) หมายถงเซตทไมมสมาชก (element) แทนดวย
∅ ≡ ∅ ≡{ }
เซตของจำนวนธรรมชาต (natural number) หรอจำนวนเตมบวก(positive integer) แทนดวยN ≡ Z+ ≡
{1, 2, 3, 4, 5, . . .
}
เซตของจำนวนเตมลบ (negative integer) แทนดวยZ− ≡
{−1,−2,−3,−4,−5, . . .
}
เซตของจำนวนเตม (integer) แทนดวยZ ≡
{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .
}= Z+ ∪ Z− ∪
{0}
ศนยเปนจำนวนเตม ไมใชทงบวกและลบ (0 ∈ Z แต 0 /∈ Z+ และ 0 /∈ Z−)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 3/75
Page 4
เซตของจำนวนตรรกยะ (rational number) แทนดวยQ ≡
{x
∣∣∣ x =a
bเมอ a ∈ Z และ b ∈ Z −
{0} }
จำนวนตรรกยะคอจำนวนทสามารถเขยนอยในรปเศษสวนของจำนวนเตม2 จำนวนไดเซตของจำนวนอตรรกยะ (irrational number) แทนดวย
Q′ ≡{
x∣∣∣ x 6= a
bเมอ a ∈ Z และ b ∈ Z −
{0} }
จำนวนอตรรกยะคอจำนวนทไมสามารถเขยนอยในรปเศษสวนของจำนวนเตม 2 จำนวนได เชน π, e, √2 ฯลฯ สงเกตวา Q ∩ Q′ = ∅เซตของจำนวนจรง (real number) แทนดวย R ≡ Q ∪ Q′
เซตของจำนวนเชงซอน (complex number) แทนดวยC ≡
{z
∣∣∣ z = x + iy เมอ x, y ∈ R และ i ≡√−1
}
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 4/75
Page 5
I
แฟกทอเรยลและทฤษฎบททวนาม(Factorial & Binomial Theorem)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 5/75
Page 6
Factorial
๏ แฟกทอเรยล (factorial) ของ n เมอ n ∈ Z+ ∪{0} (เซตของจำนวนเตมบวกและศนย) แทนดวย n! อาจนยามโดยความสมพนธเวยนเกด (recurrencerelation)
n! ≡
1 เมอ n = 0
n × (n − 1)! เมอ n ∈ Z+(1)
หรออาจนยามโดยตรง0! ≡ 1 และ n! ≡ 1 × 2 × 3 × · · · × n เมอ n ∈ Z+ (2)
โดยอาศยวชาแคลคลส (calculus) เบองตน เราสามารถแสดงไดไมยากวาn! =
∫∞
0
tn e−t dt เมอ n ∈ Z+ ∪{0} (3)
สมการ (3) เปดโอกาสใหขยายขอบเขตการนยามแฟกทอเรยล n ออกไปในกรณท n ∈ R หรอ n ∈ Z ใดๆ กไดSuppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 6/75
Page 7
Binomial Theorem
๏ อนกรมทวนาม (Binomial Series)(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4...
๏ สามเหลยมปาสกาล(Pascal’s Triangle)1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1...๏ ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem) สำหรบกรณ n ∈ Z+
(a + b)n =n∑
k=0
(n
k
)an−kbk = an +
(n
1
)an−1b +
(n
2
)an−2b2 + . . . (4)
เรยก (n
k
)≡ n!
(n − k)! k!วาสมประสทธทวนาม (binomial coefficient)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 7/75
Page 8
(n
k
)=
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k!(5)
สมการ (5) เปดโอกาสใหนยาม สมประสทธทวนาม ในกรณ n ไมจำเปนตองเปนจำนวนเตมบวก เชน n เปนจำนวนจรงใดๆ (n ∈ R)
๏ ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem) สำหรบกรณ n ∈ R
(1 + x)n =∞∑
k=0
(n
k
)xk
= 1 + nx +n(n − 1)
2x2 +
n(n − 1)(n − 2)
6x3 + . . . (6)
เมอ −1 < x 6 1 หรอ x ∈(1, 1
]
กรณ a > b สามารถเขยน (a + b)n ใดๆ ไดเปน(a+b)n = an
[1 + n
(b
a
)+
n(n − 1)
2
(b
a
)2
+n(n − 1)(n − 2)
6
(b
a
)3
+ . . .
]
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 8/75
Page 9
BLAISE PASCAL
(เบลส ปาสกาล)
เกด: 19 มถนายน ค.ศ.1623ในเมอง Clermont (ปจจบนคอเมอง Clermont-Ferrand),
Auvergne, ประเทศ France
ตาย: 19 สงหาคม ค.ศ.1662ในกรง Paris, ประเทศ France
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pascal.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 9/75
Page 10
ตวอยาง: ตองการคำนวณคา √11
วธทำ เนองจาก √11 = (9 + 2)1/2 = 91/2
(1 +
2
9
)1/2 จะไดวา√
11 = 3
[1 +
1
2
(2
9
)+
1
2
(1
2
) (1
2− 1
)(2
9
)2
+1
6
(1
2
)(1
2− 1
)(1
2− 2
) (2
9
)3
+ . . .
]
= 3
[1 +
1
2
(2
9
)− 1
8
(2
9
)2
+1
16
(2
9
)3
− 5
128
(2
9
)4
+ . . .
]
= 3 +1
3− 1
54+
1
486− 5
17 496+ . . .
∴√
11 = 3.316 . . .
�Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 10/75
Page 11
II
สตรของผลรวม(Summation Formulae)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 11/75
Page 12
Summation Formulaen∑
k=1
k = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n
เขยนใหมโดยการบวกจากหลงมาหนาn∑
k=1
k = n + (n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + . . . + 1
แลวจบมารวมกน จะได2
n∑
k=1
k = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1)︸ ︷︷ ︸n เทอม
= n(n + 1)
n∑
k=1
k =n(n + 1)
2(7)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 12/75
Page 13
เนองจาก (k + 1)3 − k3 = k3 + 3k2 + 3k + 1 − k3 = 3k2 + 3k + 1
ดงนน n∑
k=1
[(k + 1)3 − k3
]=
n∑
k=1
(3k2 + 3k + 1
) แตเนองจากn∑
k=1
[(k + 1)3 − k3
]=
[(n + 1)3 − n3
]+
[n3 − (n − 1)3
]+ . . .
+[43 − 33
]+
[33 − 23
]+
[23 − 13
]
เปนการบวกจากหลงมาหนาเชนเดม เทอมระหวางกลางจะกำจดกนเองจนหมดเหลอแค 2 เทอมn∑
k=1
[(k + 1)3 − k3
]= (n + 1)3 − 1
เรยกเทคนคการหาผลบวกซงเทอมระหวางกลางจะกำจดกนเอง แบบนวา“telescoping sum”Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 13/75
Page 14
จะไดวา(n + 1)3 − 1 =
n∑
k=1
(3k2 + 3k + 1
)
= 3
n∑
k=1
k2 + 3
n∑
k=1
k +
n∑
k=1
1
= 3
n∑
k=1
k2 + 3n(n + 1)
2+ n
นนคอ จะไดวา3
n∑
k=1
k2 = (n + 1)3 − 1 − 3n(n + 1)
2− n
n∑
k=1
k2 =n(n + 1)(2n + 1)
6(8)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 14/75
Page 15
อาศยเทคนคเดยวกน โดยการพจารณา n∑
k=1
[(k + 1)4 − k4
] และใชสตร(7) กบ (8) จะได
n∑
k=1
k3 =
[n(n + 1)
2
]2 (9)ทำตอไป โดยการพจารณา n∑
k=1
[(k + 1)5 − k5
] พรอมทงใชสตร (7), (8) และ(9) จะได
n∑
k=1
k4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)
30(10)
ถาทำตอไปอก โดยการพจารณา n∑
k=1
[(k + 1)6 − k6
] แลวใชสตร (7)–(10)กจะได
n∑
k=1
k5 =n2(n + 1)2(2n2 + 2n − 1)
12(11)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 15/75
Page 16
III
ฟงกชนเลขชกำลงและลอการทม(Exponential & Logarithm
Functions)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 16/75
Page 17
Exponential Function
๏ ฟงกชนเลขชกำลง (exponential function) คอฟงกชนทอยในรป ax เมอa ∈ R+ และ x ∈ R
เรยก a วาฐาน (base) และเรยก x วาเลขชกำลง (exponent)๏ ฐานของลอการทมธรรมชาต (natural logarithmic base) แทนดวย eนยามโดย
e ≡ limn→∞
(1 +
1
n
)n
≡ limm→0
(1 + m
)1/m (12)โดยอาศยทฤษฎบททวนาม(
1 +1
n
)n
= 1 +n
1!
(1
n
)+
n(n − 1)
2!
(1
n
)2
+n(n − 1)(n − 2)
3!
(1
n
)3
+ . . .
= 1 +1
1!+
1
2!
(1 − 1
n
)+
1
3!
(1 − 1
n
)(1 − 2
n
)+ . . .
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 17/75
Page 18
นนคอe =
∞∑
k=0
1
k!= 1 +
1
1!+
1
2!+
1
3!+
1
4!+ . . . = 2.718 281 828 459 045 . . . (13)
ex =
[lim
ℓ→∞
(1 +
1
ℓ
)ℓ]x
= limℓ→∞
(1 +
1
ℓ
)ℓx
ให n = ℓx ได 1
ℓ=
x
nในลมตท ℓ → ∞ จะได n → ∞ ดวย
๏ ฟงกชนเลขชกำลงทมฐานลอการทมธรรมชาตexpx ≡ ex = lim
n→∞
(1 +
x
n
)n (14)โดยอาศยทฤษฎบททวนามแบบเดม จะไดวา
ex =∞∑
k=0
xk
k!= 1 + x +
x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+ . . . (15)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 18/75
Page 19
Logarithm Function
๏ ฟงกชนลอการทม (logarithmic function) ฐาน a ∈ R+ ของ x ∈ R+
แทนดวย loga x โดยทy = loga x กตอเมอ ay = x (16)
นนคอy = loga
(ay
) และ a(loga x) = x (17)๏ ฟงกชนลอการทมธรรมชาต (natural logarithmic function) หมายถงa ≡ e แทนดวย ln x = loge x โดยท
y = lnx กตอเมอ ey = x (18)นนคอ
y = ln(ey
)= ln(exp y) และ exp(ln x) = e(ln x) = x (19)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 19/75
Page 20
สมบตบางประการของฟงกชนเลขชกำลงและลอการทมa0 = 1
a−x =1
ax
axay = ax+y
ax
ay= ax−y
a(x loga y) = yx
loga x + loga y = loga(xy)
loga x − loga y = loga
(x
y
)
loga x
loga y= logy x
loga
(yx
)= x loga y
ในทน x, y, a ∈ R+
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 20/75
Page 21
IV
ตรโกณมต(Trigonometry)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 21/75
Page 22
Trigonometryกำหนดวงกลมรศมหนงหนวยมจดศนยกลางอยทจด O(0, 0) พกดของจดใดๆ บนวงกลมระบไดดวยมม θ วดทวนเขมนาฬกา (มคาเปนบวก) เทยบกบแกน x
มมในหนวยเรเดยน (radian)มม θ ในหนวยเรเดยน นยามเปน อตราสวนระหวางสวนโคงของวงกลมทรองรบมม θ กบรศมวงกลม นนคอ
θ ≡ s
r
ในกรณน r = 1 จะได s = θดงนน มมฉาก 90◦ =π
2rad,
180◦ = π rad และ360◦ = 2π rad
x
y
θ
r s
O(0, 0)
P(x, y)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 22/75
Page 23
๏ ฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)1. ฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน (cosine & sine functions) นยามเปนพกด
(cos θ, sin θ) ≡ (x, y) ใดๆ บนวงกลมหนงหนวย สงเกตวาcos(θ + 2nπ) = cos θ และ sin(θ + 2nπ) = sin θ เมอ n ∈ Z
cos(−θ) = cos(2nπ − θ) = cos θ และsin(−θ) = sin(2nπ − θ) = − sin θ เมอ n ∈ Z
cos2 θ + sin2 θ = 1 เมอ cos2 θ ≡ (cos θ)2 และ sin2 θ ≡ (sin θ)2
2. ฟงกชนซแคนทและฟงกชนโคซแคนท (secant & cosecant functions)นยามเปนsec θ ≡ 1
cos θและ csc θ ≡ 1
sin θ
3. ฟงกชนแทนเจนทและฟงกชนโคแทนเจนท (tangent & cotangent func-tions) นยามเปนtan θ ≡ sin θ
cos θและ cot θ ≡ cos θ
sin θ=
1
tan θ
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 23/75
Page 24
๏ คาตรโกณมตทนาสนใจบางคาในชวงมม [0◦, 90◦
]
มม θ sin θ cos θ tan θ
0◦ 0 1 0
15◦√
6 −√
2
4
√6 +
√2
42 −
√3
30◦1
2
√3
2
√3
3
45◦√
2
2
√2
21
60◦√
3
2
1
2
√3
75◦√
6 +√
2
4
√6 −
√2
42 +
√3
90◦ 1 0 ∞
√6 −
√2
4= 0.258 819 . . .
√6 +
√2
4= 0.965 926 . . .
2 −√
3 = 0.267 949 . . .
2 +√
3 = 3.732 050 . . .√
3 = 1.732 050 . . .√
2
2= 0.707 106 . . .
√3
2= 0.866 025 . . .
√3
3= 0.577 350 . . .
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 24/75
Page 25
V
แคลคลสเชงอนพนธ(Differential Calculus)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 25/75
Page 26
Derivative
๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x) เทยบกบ x
f ′(x) ≡ d
dxf(x) ≡ lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h(20)
เรยกฟงกชน f ′(x) วาเปน “อนพนธ” ของฟงกชน f(x) เทยบกบ x (derivativeof function f(x) with respect to x)๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x) เทยบกบ x ณ จด x = x0
f ′(x0) ≡d
dxf(x)
∣∣∣∣x=x0
≡ limh→0
f(x0 + h) − f(x0)
h(21a)
หรออาจเขยนใหม ไดเปนf ′(x0) ≡
d
dxf(x)
∣∣∣∣x=x0
≡ limx→x0
f(x) − f(x0)
x − x0(21b)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 26/75
Page 27
สตรการหาอนพนธของฟงกชนโดยทวไป1. กรณผลคณของคาคงตวกบฟงกชน เชน cf(x) เมอ c เปนคาคงตว
d
dx
[cf(x)
]= lim
h→0
cf(x + h) − cf(x)
h= c lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
d
dx
[cf(x)
]= c
d
dxf(x) (22)
2. กรณผลบวก (หรอผลตาง) ของสองฟงกชน เชน f(x) ± g(x)
d
dx
[f(x) ± g(x)
]= lim
h→0
[f(x + h) ± g(x + h)
]−
[f(x) ± g(x)
]
h
= limh→0
[f(x + h) − f(x)
h± g(x + h) − g(x)
h
]
d
dx
[f(x) ± g(x)
]=
[d
dxf(x)
]±
[d
dxg(x)
] (23)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 27/75
Page 28
3. กรณผลคณของสองฟงกชน เชน f(x) g(x)
d
dx
[f(x) g(x)
]= lim
h→0
f(x + h) g(x + h) − f(x) g(x)
h
= limh→0
f(x + h) g(x + h) − f(x) g(x + h) + f(x) g(x + h) − f(x) g(x)
h
= limh→0
{[f(x + h) − f(x)
h
]g(x + h) + f(x)
[g(x + h) − g(x)
h
]}
=
[limh→0
f(x + h) − f(x)
h
]g(x) + f(x)
[limh→0
g(x + h) − g(x)
h
]
d
dx
[f(x) g(x)
]=
[d
dxf(x)
]g(x) + f(x)
[d
dxg(x)
] (24)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 28/75
Page 29
4. กรณผลหารของสองฟงกชน เชน f(x)/g(x) เมอ g(x) 6= 0
d
dx
[f(x)
g(x)
]= lim
h→0
1
h
[f(x + h)
g(x + h)− f(x)
g(x)
]
= limh→0
f(x + h) g(x) − f(x) g(x + h)
h g(x + h) g(x)
= limh→0
f(x + h) g(x) − f(x) g(x) + f(x) g(x) − f(x) g(x + h)
h g(x + h) g(x)
= limh→0
[f(x + h) − f(x)
h
]g(x) − f(x)
[g(x + h) − g(x)
h
]
g(x + h) g(x)
d
dx
[f(x)
g(x)
]=
[d
dxf(x)
]g(x) − f(x)
[d
dxg(x)
]
[g(x)
]2 เมอ g(x) 6= 0 (25)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 29/75
Page 30
5. กรณฟงกชนของฟงกชน เชน f(g(x)
) หรอ f(z) เมอ z ≡ g(x)
ให z + k = g(x + h) เมอ h → 0 จะได k → 0 ดวยd
dxf(g(x)
)= lim
h→0
f(g(x + h)
)− f
(g(x)
)
h
= limh→0
(k→0)
f(z + k) − f(z)
hโดย k = g(x + h) − g(x)
= limh→0
(k→0)
[f(z + k) − f(z)
k· k
h
]
=
[limk→0
f(z + k) − f(z)
k
] [limh→0
g(x + h) − g(x)
h
]
d
dxf(g(x)
)=
[d
dzf(z)
] [d
dxg(x)
] เมอ z ≡ g(x) (26)สมการ (26) เปนทรจกกนในนาม “กฎลกโซ” (chain rule)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 30/75
Page 31
สตรการหาอนพนธของบางฟงกชนทจำเปน Id
dxc = 0
d
dxxn = nxn−1
d
dxex = ex
d
dx|lnx| =
1
xเมอ x 6= 0
d
dxax = ax ln a
d
dx|loga x| =
1
x ln aเมอ x 6= 0
d
dxsinx = cosx
d
dxcosx = − sinx
d
dxtanx = sec2 x
d
dxsecx = secx tanx
d
dxcscx = − cscx cot x
d
dxcotx = − csc2 x
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 31/75
Page 32
สตรการหาอนพนธของบางฟงกชนทจำเปน IId
dxsin−1 x =
1√1 − x2
(เมอ |x| < 1)d
dxcos−1 x =
−1√1 − x2
(เมอ |x| < 1)d
dxtan−1 x =
1
1 + x2
d
dxsec−1 x =
1
|x|√
x2 − 1(เมอ |x| > 1)
d
dxcsc−1 x =
−1
|x|√
x2 − 1(เมอ |x| > 1)
d
dxcot−1 x =
−1
1 + x2
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 32/75
Page 33
Higher Order Derivatives
อนพนธอนดบสงขน (higher order derivatives) กคอการหาอนพนธครงถดไปเรอยๆ เชนอนพนธอนดบสอง (second order derivative) คอ
f ′′(x) ≡ d2
dx2f(x) ≡ d
dx
[d
dxf(x)
]≡ lim
h→0
f ′(x + h) − f ′(x)
h(27)
อนพนธอนดบสาม (third order derivative) คอf ′′′(x) ≡ d3
dx3f(x) ≡ d
dx
[d2
dx2f(x)
]≡ lim
h→0
f ′′(x + h) − f ′′(x)
h(28)
ตงแตอนพนธอนดบสขนไป จะเขยนเปน f (4)(x), f (5)(x), f (6)(x), . . . ไมใชf ′′′′(x), f ′′′′′(x), f ′′′′′′(x), . . . !!
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 33/75
Page 34
ในการหาอนพนธอนดบท n ของผลคณของฟงกชนทำไดโดยใชสตรของไลบนซ๏ สตรของไลบนซสำหรบการหาอนพนธอนดบท n ของผลคณ (Leibniz’sFormula for nth Derivative of a Product)Leibniz’s Formula for nth Derivative of a Product:
dn
dxn
[f(x)g(x)
]=
n∑
k=0
(n
k
)[dn−k
dxn−kf(x)
] [dk
dxkg(x)
]
=dn
dxnf(x) + n
[dn−1
dxn−1f(x)
] [d
dxg(x)
]
+n(n − 1)
2!
[dn−2
dxn−2f(x)
] [d2
dx2g(x)
]
+ . . . +dn
dxng(x) (29)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 34/75
Page 35
GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ (หรอ LEIBNITZ)
(กอททฟรด วลเฮลม ฟอน ไลบนทซ)
เกด: 1 กรกฎาคม ค.ศ.1646ในเมอง Leipzig, Saxony,ปจจบนอยในประเทศ Germany
ตาย: 14 พฤศจกายน ค.ศ.1716ในเมอง Hannover,ปจจบนอยในประเทศ Germany
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 35/75
Page 36
Partial Derivatives
พจารณาเพยงแคฟงกชนของ 2 ตวแปรกอน กรณมมากกวา 2 ตวแปร กใชหลกการเดยวกนได๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ x เมอ y คงตว
fx(x, y) ≡ ∂
∂xf(x, y) ≡ lim
h→0
f(x + h, y) − f(x, y)
h(30)
เรยกฟงกชน fx(x, y) วาเปน “อนพนธยอย” ของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ x(partial derivative of function f(x, y) with respect to x)๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ y เมอ x คงตว
fy(x, y) ≡ ∂
∂yf(x, y) ≡ lim
k→0
f(x, y + k) − f(x, y)
k(31)
เรยกฟงกชน fy(x, y) วาเปน “อนพนธยอย” ของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ y(partial derivative of function f(x, y) with respect to y)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 36/75
Page 37
อนพนธยอยอนดบสอง (second order partial derivatives) ม 4 คอแบบอนพนธอนดบสองเทยบกบ x อยางเดยว คอ
fxx(x, y) ≡ ∂2
∂x2f(x, y) ≡ ∂
∂x
[∂
∂xf(x, y)
] (32a)อนพนธอนดบสองเทยบกบ y อยางเดยว คอ
fyy(x, y) ≡ ∂2
∂y2f(x, y) ≡ ∂
∂y
[∂
∂yf(x, y)
] (32b)อนพนธอนดบสองเทยบกบ x และ y คอ
fxy(x, y) ≡ ∂2
∂y∂xf(x, y) ≡ ∂
∂y
[∂
∂xf(x, y)
] (32c)อนพนธอนดบสองเทยบกบ y และ x คอ
fyx(x, y) ≡ ∂2
∂x∂yf(x, y) ≡ ∂
∂x
[∂
∂yf(x, y)
] (32d)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 37/75
Page 38
VI
แคลคลสเชงปรพนธ(Integral Calculus)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 38/75
Page 39
Indefinite Integral (Antiderivative)
๏ ปรพนธไมจำกดเขต (indefinite integral) หรอ ปฏยานพนธ (antideriva-tive)f(x) =
∫F (x) dx เมอ F (x) ≡ d
dxf(x) (33)
เรยกฟงกชน f(x) วาเปน “ปฏยานพนธ” (antiderivative) ของฟงกชน F (x)
นนคอd
dx
[∫F (x) dx
]= F (x) (34a)
แต ∫ [d
dxf(x)
]dx = f(x) + C (34b)
เมอ C เปนคาคงตวใดๆ (arbitrary constant)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 39/75
Page 40
สตรการหาปรพนธไมจำกดเขตของบางฟงกชนทจำเปน∫
0 dx = C
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C
(เมอ n 6= −1)∫
x−1 dx = ln |x| + C
∫ex dx = ex + C
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫sinx dx = − cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫tanx dx = ln |sec x| + C
∫secx dx = ln |sec x + tanx| + C
∫cscx dx = ln |csc x − cotx| + C
∫cotx dx = ln |sinx| + C
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 40/75
Page 41
Definite Integral
๏ ปรพนธจำกดเขต (definite integral) นยามในรป “ผลบวกรมนน” (Rie-mann Sum) เปน∫ b
a
F (x) dx ≡ limmax ∆xi→0
(n→∞)
n∑
i=1
F (x⋆i ) ∆xi (35)
แบงชวง [a, b
] ออกเปน n ชอง โดยแตละชองกวาง ∆xi ≡ xi − xi−1 เมอx0 ≡ a และ xn ≡ b ผลรวมทงหมดของทกชองคอ n∑
i=1
∆xi = (b − a) เลอกx⋆
i ใหอยในชองท i นนคอ xi−1 6 x⋆i 6 xi หรอ x⋆
i ∈[xi−1, xi
]
เพอความงาย อาจเลอกใหทกชองกวางเทากน นนคอ ∆x ≡ ∆xi = (b − a)/n
และเลอก x⋆i เปนทขอบของชองท i เชน x⋆
i = xi−1 หรอ x⋆i = xi หรออาจเลอก
ตำแหนงกลางชอง เชน x⋆i = (xi−1 + xi)/2
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 41/75
Page 42
xi = a + i∆x = a +i
n(b − a) (36)
∫ b
a
F (x) dx = (b − a) limn→∞
1
n
n∑
i=1
F (x⋆i ) (37)
อาจเลอก x⋆i เปน
x⋆i = a + i
b − a
n(38a)หรอ
x⋆i = a + (i − 1)
b − a
n(38b)หรอ
x⋆i = a +
(i − 1
2
)b − a
n(38c)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 42/75
Page 43
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN
(เกออรก ฟรดรช แบรนฮารด รมนน)
เกด: 17 กนยายน ค.ศ.1826ในเมอง Breselenz, Hanover,ปจจบนอยในประเทศ Germany
ตาย: 20 กรกฎาคม ค.ศ.1866ในเมอง Selasca,ประเทศ Italy
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Riemann.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 43/75
Page 44
ตวอยาง: ตองการคำนวณคา ∫ 3
1
x2 dx
วธทำ เพอความงายจะเลอก x⋆i เปน x⋆
i = a + ib − a
n= 1 +
2i
nจะไดวา
∫ 3
1
x2 dx = 2 limn→∞
1
n
n∑
i=1
(1 +
2i
n
)2
= 2 limn→∞
1
n
n∑
i=1
(1 +
4i
n+
4i2
n2
)
= 2 limn→∞
1
n
[n∑
i=1
1 +4
n
n∑
i=1
i +4
n2
n∑
i=1
i2
]
= 2 limn→∞
1
n
[n +
4
n
n(n + 1)
2+
4
n2
n(n + 1)(2n + 1)
6
]
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 44/75
Page 45
∫ 3
1
x2 dx = 2 limn→∞
[1 + 2
n(n + 1)
n2+
2
3
n(n + 1)(2n + 1)
n3
]
= 2 limn→∞
[1 + 2
(1 +
1
n
)+
2
3
(1 +
1
n
) (2 +
1
n
)]
= 2 limn→∞
[1 + 2 +
4
3
]
∴
∫ 3
1
x2 dx =26
3
สงเกตวา d
dx
(x3
3
)= x2 และ x3
3
∣∣∣∣x=3
− x3
3
∣∣∣∣x=1
= 27 − 1
3=
26
3นนคอ
∫ 3
1
x2 dx =x3
3
∣∣∣∣x=3
− x3
3
∣∣∣∣x=1
นำไปสทฤษฎบท ทเชอมโยงระหวางการหาอนพนธและการหาปรพนธ . . . �
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 45/75
Page 46
๏ ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส (Fundamental Theorem ofCalculus) แบงไดเปน 2 สวน คอFundamental Theorem of Calculus I:ถาฟงกชน F (x) ตอเนองบนชวง [
a, b] และฟงกชน f(x) เปนปฏยานพนธใดๆของ F (x) บนชวง [
a, b] แลว
∫ b
a
F (x) dx = f(b) − f(a) ≡ f(x)∣∣∣b
x=a(39)
นนคอ ∫ b
a
[d
dxf(x)
]dx = f(b) − f(a) และ
Fundamental Theorem of Calculus II:ถาฟงกชน F (x) ตอเนองบนชวง I แลว F (x) จะมปฏยานพนธบนชวง I นนนนคอ ถา a ∈ I แลวฟงกชน f(x) =
∫ x
a
F (t) dt จะเปนปฏยานพนธของF (x) บนชวง I:
d
dxf(x) =
d
dx
[∫ x
a
F (t) dt
]= F (x) (40)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 46/75
Page 47
ในกรณทวไปมากขนคอการหาอนพนธของอนทกรล๏ กฎของไลบนซสำหรบการหาอนพนธของอนทกรล (Leibniz’s Rule forDifferentiating an Integral)Leibniz’s Rule for Differentiating an Integral:ถา F (x, t) และ ∫ b(x)
a(x)
F (x, t) dt ตอเนองบนชวง I เมอ a(x), b(x) ∈ I แลวd
dx
[∫ b(x)
a(x)
F (x, t) dt
]=
∫ b(x)
a(x)
[∂
∂xF (x, t)
]dt
+ F (x, b)db(x)
dx− F (x, a)
da(x)
dx(41)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 47/75
Page 48
VII
อนกรมเทยเลอรและอนกรมแมคลอรน(Taylor & Maclaurin Series)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 48/75
Page 49
Taylor & Maclaurin Series
๏ อนกรมเทยเลอร (Taylor series) ของฟงกชน f(x) รอบจด x = a
∞∑
k=0
(x − a)k
k!f (k)(a) = f(a) + (x − a)f ′(a) +
(x − a)2
2!f ′′(a)
+(x − a)3
3!f ′′′(a) +
(x − a)4
4!f (4)(a) + . . . (42)
กรณ a = 0 กคออนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) รอบจด x = 0 มชอวาอนกรมแมคลอรน (Maclaurin series) ของฟงกชน f(x)
∞∑
k=0
xk
k!f (k)(0) = f(0) + x f ′(0) +
x2
2!f ′′(0) +
x3
3!f ′′′(0)
+x4
4!f (4)(0) +
x5
5!f (5)(0) +
x6
6!f (6)(0) + . . . (43)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 49/75
Page 50
BROOK TAYLOR
(บรก เทยเลอร)
เกด: 18 สงหาคม ค.ศ.1685ในเมอง Edmonton, Middlesex,ประเทศ England
ตาย: 29 ธนวาคม ค.ศ.1731ในเมอง Somerset House,
London, ประเทศ England
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 50/75
Page 51
COLIN MACLAURIN
(คอลน แมคลอรน)
เกด: กมภาพนธ ค.ศ.1698ในเมอง Kilmodan (หางจากเมองTighnabruaich ไปทางเหนอ 12กโลเมตร), Cowal, Argyllshire,ประเทศ Scotland
ตาย: 14 มถนายน ค.ศ.1746ในเมอง Edinburgh,ประเทศ Scotland
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Maclaurin.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Colin_Maclaurin
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 51/75
Page 52
มเงอนไขเฉพาะบางอยางททำให อนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) รอบจดx = a ใดๆ มคาเทากบฟงกชน f(x) พอด ทำใหเราสามารถใชอนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) รอบจด x = a นนๆ ประมาณคาของฟงกชน f(x) ได๏ ตวอยางของฟงกชนทเทากบอนกรมแมคลอรนของตวเองฟงกชน f(x) = ex สำหรบทกคา x ∈ R
ex =∞∑
k=0
xk
k!= 1 + x +
x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
5!+ . . . (44)
ฟงกชน f(x) = ln(1 + x) สำหรบ −1 < x 6 1
ln(1 + x) =∞∑
k=1
(−1)k−1
kxk = x − x2
2+
x3
3− x4
4+ . . . (45)
ทำใหได ln 2 = 1 − 1
2+
1
3− 1
4+ . . . แตลเขา (converge) ชามากๆ
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 52/75
Page 53
ฟงกชน f(x) = cosx สำหรบทกคา x ∈ R เมอ x เปนมมในหนวยเรเดยน (radian)cosx =
∞∑
k=0
(−1)k
(2k)!x2k = 1 − x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ . . . (46)
ฟงกชน f(x) = sinx สำหรบทกคา x ∈ R เมอ x เปนมมในหนวยเรเดยน (radian)sin x =
∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)!x2k+1 = x − x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ . . . (47)
ฟงกชน f(x) = 1/(1 + x) สำหรบ −1 < x < 1
1
1 − x=
∞∑
k=0
xk = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + . . . (48)ทฤษฎบททวนามของ (1 + x)n กรณ n ∈ R กคออนกรมแมคลอรนนนเอง
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 53/75
Page 54
ฟงกชน f(x) = tan−1 x สำหรบ −1 < x 6 1
tan−1 x =∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)!x2k+1 = x − x3
3+
x5
5− x7
7+ . . . (49)
ทำใหได π
4= 1 − 1
3+
1
5− 1
7+ . . . แตลเขา (converge) ชามากๆ
เราสามารถปรบปรงสมการ (45) ใหลเขาเรวขนโดยอาศยวธตอไปนln(1 + x) = x − x2
2+
x3
3− x4
4+
x5
5− x6
6+ . . .
ซงใชไดกรณ −1 < x 6 1 โดยการแทนคา x ดวย −x จะไดln(1 − x) = −x − x2
2− x3
3− x4
4− x5
5− x6
6− . . .
ซงใชไดกรณ −1 6 x < 1 จบทงสองอนกรมมาลบกนพจนตอพจน จะไดln
(1 + x
1 − x
)= 2
[x +
x3
3+
x5
5+
x7
7+ . . .
]
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 54/75
Page 55
ซงใชไดในกรณ −1 < x < 1 ให z ≡ 1 + x
1 − xนนคอ x =
z − 1
z + 1จะได
อนกรมสำหรบหาคา ln z กรณท z ∈ R+ เปนln z = 2
[x +
x3
3+
x5
5+
x7
7+ . . .
] เมอ x =z − 1
z + 1(50)
ตวอยาง: ตองการหาคา ln 2 นนคอ z = 2 จะได x =2 − 1
2 + 1=
1
3
ln 2 = 2
[(1
3
)+
1
3
(1
3
)3
+1
5
(1
3
)5
+1
7
(1
3
)7
+ . . .
]
= 2
[1
3+
1
81+
1
1215+
1
15 309+ . . .
]
= 0.693 147 . . .
ซงลเขาเรวกวาเดมมาก ใชเพยงแค 3–4 พจน กไดทศนยมตำแหนงท 3 แลวSuppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 55/75
Page 56
VIII
สเกลารและเวกเตอร(Scalar & Vector)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 56/75
Page 57
Scalar & Vector
๏ ปรมาณสเกลาร (scalar) คอปรมาณทระบเพยงแคขนาด (magnitude) กไดความหมายสมบรณ เชน อณหภม (temperature), มวล (mass), เวลา (time),พลงงาน (energy) ฯลฯ๏ ปรมาณเวกเตอร (vector) คอปรมาณทตองระบทงขนาด (magnitude) และทศทาง (direction) จงจะไดความหมายสมบรณ เชน การกระจด (displace-ment), ความเรว (velocity), ความเรง (acceleration), แรง (force), โมเมนตม(momentum) ฯลฯคำจำกดความขางตน เปนเพยงคำจำกดความพนฐาน ในระดบสงตอไป จะใหคำจำกดความทดกวาน โดยทวไป อาจแทนปรมาณเวกเตอรไดหลายแบบ เชน~A, A, A, A
˜, A (ตวหนาตรง), A (ตวหนาเอยง), ~A, ~A ฯลฯ
ขนาดของปรมาณเวกเตอร ~A แทนดวย A, ∣∣~A∣∣ หรอ ∥∥~A∥∥ เปนปรมาณสเกลาร
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 57/75
Page 58
สมบตบางประการของเวกเตอร1. เวกเตอร ~A และเวกเตอร ~B จะเทากนกตอเมอ ทงสองมขนาดเทากน และชในทศเดยวกน แทนดวย ~A = ~B
2. เวกเตอรศนย (zero vector) คอเวกเตอรทมขนาดเปนศนย ชทศทางใดกไดแทนดวย ~0 นนคอ ∣∣~0
∣∣ = 0
3. เมอคณปรมาณเวกเตอร A ดวยปรมาณสเกลาร m แทนดวย m~A จะไดเวกเตอรทมขนาด เปน m เทาของเวกเตอร ~A ชในทศขนานกบเวกเตอร ~A
(a) ถา m > 0 และ ~A 6= ~0 แลว m~A จะชในทศเดยวกบ ~A
(b) ถา m < 0 และ ~A 6= ~0 แลว m~A จะชในทศตรงขามกบ ~A(c) ถา m = 0 หรอ ~A = ~0 แลว m~A จะเปนเวกเตอรศนย m~A = ~0
−~A ≡ (−1)~A เปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ ~A แตชในทศตรงขามกบ ~A
ถาเวกเตอร ~A ขนานกบเวกเตอร ~B แทนดวย ~A ‖ ~B แลว~B = p~A หรอ ~A = q~B เมอปรมาณสเกลาร p, q ∈ R (51)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 58/75
Page 59
4. เวกเตอรหนงหนวย (unit vector) คอเวกเตอรใดๆ ทมขนาดเปนหนงหนวยแทนเวกเตอรหนงหนวยทชในทศเดยวกบเวกเตอร ~A ดวย A, eA หรอ uA
ถาเวกเตอร ~A ไมใชเวกเตอรศนย (~A 6= ~0) แลว เวกเตอรหนงหนวย ในทศเดยวกบ ~A คอA =
1∣∣~A∣∣
~A =1
A~A (52)
นนคอ เวกเตอร ~A ใดๆ สามารถเขยนไดในรป ผลคณของขนาดและทศทาง~A = A A (53)
5. เมอกำหนดพกดคารทเซยน (x, y, z) แลว จะสามารถเขยนเวกเตอร ~A ในรปองคประกอบ (components) ตามแกน x, แกน y และแกน z ไดเปน~A = Ax ı + Ay + Az k (54)
เมอ ı, และ k เปนเวกเตอรหนงหนวยชในทศทคา x, y และ z มคาเพมขน ตามลำดบSuppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 59/75
Page 60
Scalar Product (Dot Product)
๏ ผลคณเชงสเกลาร (scalar product หรอ dot product) ของเวกเตอร ~Aและ เวกเตอร ~B เขยนแทนดวย ~A · ~B เปนปรมาณสเกลาร นยามโดย~A · ~B ≡ AB cos θ = ~B · ~A (55)
เมอ A =∣∣~A
∣∣, B =∣∣~B
∣∣ และ θ เปนมมระหวาง ~A และ ~B
จะไดวา ı · ı = · = k · k = 1 และ ı · = · k = k · ı = 0
เมอเวกเตอร ~A และเวกเตอร ~B เขยนอยในรปองคประกอบตามแกน x, แกน yและแกน z โดย ~A = Ax ı+Ay +Az k และ ~B = Bx ı+By +Bz k จะได~A · ~B =
(Ax ı + Ay + Az k
)·(Bx ı + By + Bz k
)
นนคอ~A · ~B = AxBx + AyBy + AzBz (56)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 60/75
Page 61
Vector Product (Cross Product)
๏ ผลคณเชงเวกเตอร (vector product หรอ cross product) ของเวกเตอร~A และ เวกเตอร ~B เขยนแทนดวย ~A × ~B เปนปรมาณเวกเตอร นยามโดย
~A × ~B ≡ AB sin θ n = −~B × ~A (57)เมอ A =
∣∣~A∣∣, B =
∣∣~B∣∣, θ เปนมมระหวาง ~A และ ~B และ n เปนเวกเตอร
หนงหนวยทตงฉากกบทง ~A และ ~B ชในทศทางตามกฏมอขวา จาก ~A ไป ~B
~A × ~B
n
θ~A
~B~B × ~A
n
θ
~A~B
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 61/75
Page 62
จะไดวา ı×ı = × = k×k = ~0 แต ı× = −×ı = k, ×k = −k× = ıและ k × ı = −ı × k =
เมอเวกเตอร ~A และเวกเตอร ~B เขยนอยในรปองคประกอบตามแกน x, แกน yและแกน z โดย ~A = Ax ı+Ay +Az k และ ~B = Bx ı+By +Bz k จะได~A × ~B =
(Ax ı + Ay + Az k
)×
(Bx ı + By + Bz k
)
นนคอ~A × ~B =
(AyBz − AzBy
)ı +
(AzBx − AxBz
)
+(AxBy − AyBx
)k (58a)
หรออาจเขยนในรปดเทอรมแนนท (determinant) ไดเปน~A × ~B =
∣∣∣∣∣∣∣∣
ı k
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣∣∣(58b)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 62/75
Page 63
Gradient, Divergence & Curl
๏ สนามเวกเตอร (vector field) ~A(~r) ≡ ~A(x, y, z) คอฟงกชนทมคาเปนเวกเตอร เมอ ~A(~r) = Ax(~r) ı + Ay(~r) + Az(~r) k
๏ สนามสเกลาร (scalar field) ϕ(~r) ≡ ϕ(x, y, z) คอฟงกชนทมคาเปนสเกลารตวดำเนนการเดล (del operator หรอ nabla) ~∇ นยามโดย
~∇ ≡ ∂
∂xı +
∂
∂y +
∂
∂zk (59)
เกรเดยนต (gradient) ของสนามสเกลาร ϕ = ϕ(~r) จะเปนสนามเวกเตอรนยามโดย~∇ϕ ≡ ∂ϕ
∂xı +
∂ϕ
∂y +
∂ϕ
∂zk (60)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 63/75
Page 64
ไดเวอรเจนซ (divergence) ของสนามเวกเตอร ~A = ~A(~r) จะเปนสนามสเกลาร นยามโดย~∇ · ~A ≡ ∂Ax
∂x+
∂Ay
∂y+
∂Az
∂z(61)
เครล (curl) ของสนามเวกเตอร ~A = ~A(~r) จะเปนสนามเวกเตอร นยามโดย~∇ × ~A ≡
(∂
∂yAz − ∂
∂zAy
)ı +
(∂
∂zAx − ∂
∂xAz
)
+
(∂
∂xAy − ∂
∂yAx
)k (62a)
หรออาจเขยนในรปดเทอรมแนนทไดเปน~∇ × ~A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ı k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(62b)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 64/75
Page 65
IX
จำนวนเชงซอน(Complex Number)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 65/75
Page 66
Complex Number
สมการ x2 + 1 = 0 ไมมคำตอบในระบบจำนวนจรง นนคอ ไมมคา x ∈ R ใดๆทสอดคลองสมการ x2 + 1 = 0
๏ จำนวนเชงซอน (complex number) z คอ จำนวนทสามารถเขยนใหอยในรปz = x + iy โดยท i ≡
√−1 (63)
เมอ x กบ y เปนจำนวนจรง (x, y ∈ R) เรยก i วา หนวยจนตภาพ (imaginaryunit) i2 = −1 เซตของจำนวนเชงซอน C นยามโดยC ≡
{z
∣∣∣ z = x + iy เมอ x, y ∈ R และ i ≡√−1
} (64)เรยก x วาเปนสวนจรง (real part) ของ z แทนดวย ℜ(z) หรอ Re(z) และเรยกy วาเปนสวนจนตภาพ (imaginary part) ของ z แทนดวย ℑ(z) หรอ Im(z)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 66/75
Page 67
จำนวนเชงซอน 2 จำนวน a + ib และ c + id สามาถบวก ลบ คณ หรอหารกน ไดผลลพธเปนจำนวนเชงซอน จำนวนใหม ดงน
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)
(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad)
(a + ib)
(c + id)=
(a + ib)(c − id)
(c + id)(c − id)=
(ac + bd
c2 + d2
)+ i
(bc − ad
c2 + d2
)
สงยคเชงซอน (complex conjugate) ของ z = x + iy แทนดวย zนยามเปนz ≡ x − iy (65)
นนคอRe(z) =
z + z
2และ Im(z) =
z − z
2i(66)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 67/75
Page 68
มอดลส (modulus) ของ z แทนดวย |z| เปนจำนวนจรงบวกหรอศนย(|z| > 0) นยามเปน|z| ≡
√x2 + y2 =
√(x + iy)(x − iy) (67)
นนคอ |z| =√
zz =√
zz
จำนวนเชงซอน z = x + iy ใดๆ แทนไดดวยจด (x, y) ในพกดคารทเซยน(ในระนาบ xy)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 68/75
Page 69
นอกจากนยงอาจแทน จำนวนเชงซอน z = x + iy ดวยจด (r, θ) ในพกดเชงขว เมอ x = r cos θ และ y = r sin θ
๏ จำนวนเชงซอนในรปเชงขว (polar form of complex number)z = r
(cos θ + i sin θ
)≡ r∠θ (68)
เมอ r =√
x2 + y2 และ θ = tan−1(y
x
)
จะเหนวาz = r
[cos(θ + 2nπ) + i sin(θ + 2nπ)
] เมอ n ∈ Z (69)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 69/75
Page 70
Euler Formula
เนองจากeiθ = 1 + (iθ) +
(iθ)2
2!+
(iθ)3
3!+
(iθ)4
4!+
(iθ)5
5!+
(iθ)6
6!+
(iθ)7
7!+ . . .
= 1 + iθ − θ2
2!− i
θ3
3!+
θ4
4!+ i
θ5
5!− θ6
6!− i
θ7
7!+ . . .
=
(1 − θ2
2!+
θ4
4!− θ6
6!+ . . .
)
︸ ︷︷ ︸cos θ
+i
(θ − θ3
3!+
θ5
5!− θ7
7!+ . . .
)
︸ ︷︷ ︸sin θ
๏ สตรของออยเลอร (Euler formula)eiθ = cos θ + i sin θ (70)
เชอมโยงระหวางฟงกชนเลขชกำลง (exponential function) และฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 70/75
Page 71
ทำใหสามารถเขยนจำนวนเชงซอนในรปใหมไดเปน๏ จำนวนเชงซอนในรปแบบออยเลอร (Euler form of complex number)
z = reiθ = rei(θ+2nπ) เมอ n ∈ Z (71)จะเหนวา (
eiθ)m
= eimθ จะไดเอกลกษณทนาสนใจ คอ๏ เอกลกษณของเดอมวฟวร (de Moivre’s identity)
(cos θ + i sin θ
)m= cos(mθ) + i sin(mθ) (72)
รากท m ของ cos θ + i sin θ มทงหมด m ตว ดงน(cos θ + i sin θ
)1/m= cos
(θ + 2nπ
m
)+ i sin
(θ + 2nπ
m
) (73)เชน รากท 3 ของ 1 มทงหมด 3 ตว คอ 1, −1
2+ i
√3
2และ −1
2− i
√3
2
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 71/75
Page 72
LEONHARD EULER
(เลออนฮารด ออยเลอร)
เกด: 15 เมษายน ค.ศ.1707ในเมอง Basel,ประเทศ Switzerland
ตาย: 18 กนยายน ค.ศ.1783ในเมอง St. Petersburg,ประเทศ Russia
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 72/75
Page 73
ABRAHAM DE MOIVRE
(อาบราอาม เดอ มวฟวร)
เกด: 26 พฤษภาคม ค.ศ.1667ในเมอง Vitry-le-François,
Champagne, ประเทศ France
ตาย: 27 พฤศจกายน ค.ศ.1754ในกรง London, ประเทศ England
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 73/75
Page 74
References
[1] Howard Anton, Irl C. Bivens and Stephen L. Davis, Calculus, 7th ed.,
Wiley, New York (2002).
[2] Eugene Hecht, Physics: Calculus, Brooks/Cole, Pacific Grove,
California (1996).
[3] David Halliday, Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of
Physics, 6th ed., Wiley, New York (2001).
[4] วทธพนธ ปรชญพฤทธ, ฟสกส (กลศาสตร: หนวยของการวด กฎของการ-เคลอนท การเคลอนทภายใตอทธพลของแรง ทฤษฎสมพทธภาพ),มลนธ สอวน. (๒๕๔๘).
Powered by LATEX with Prosper Class (Version: 16/10/2007 – 16:03)
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 74/75
Page 75
Institute of Plane Geometry vs. Institute of Solid Geometry
Image Credit: Science Cartoons Plus—The Cartoons of S. Harrishttp://www.sciencecartoonsplus.com/
Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 75/75