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2. SUPERFICIES POLIDRICAS. POLIEDROS REGULARES.
Pabelln de cristal para la exposicin del Werkbund, Colonia
(1914). Bruno Taut.
2.1. Generalidades.
Una superficie polidrica es aquella que est formada por un nmero
limi-tado de caras planas, cada una de las cuales tiene un permetro
poligonal. Dos caras contiguas de una misma superficie polidrica
tienen en comn un lado de sus respectivos polgonos perimetrales, el
cual constituye una arista de dicha superficie.
Los vrtices de los polgonos perimetrales de las caras son a su
vez los vrti-ces de la superficie polidrica, de modo que cada
vrtice es comn a tres o ms caras y en l confluyen tres o ms aristas
de la superficie polidrica. Al segmento que une dos vrtices no
situados en una misma cara lo denomi-namos diagonal de la
superficie.
Las superficies polidricas son desarrollables. El desarrollo de
una superficie polidrica se obtiene mediante la yuxtaposicin sobre
un plano de todas las caras de la superficie en el orden
adecuado.
Se denomina poliedro a una regin del espacio delimitada por una
superfi-cie polidrica. Tambin se puede definir un poliedro como un
slido geom-trico delimitado por un nmero finito de caras planas que
determinan en su interseccin una serie de aristas y vrtices.
Denominamos tetraedro al po-liedro que tiene cuatro caras,
pentaedro al que tiene cinco, hexaedro al que tiene seis, octaedro
al que tiene ocho, etc.
Una superficie polidrica, como cualquier superficie geomtrica,
puede ser abierta o cerrada, pero, si se trata de la envolvente de
un poliedro, la super-ficie es siempre cerrada. No obstante, la
envolvente de un poliedro puede ser convertida en una superficie
polidrica abierta mediante la eliminacin o cambio de posicin de
alguna o algunas de sus caras.
Las caras concurrentes en un mismo vrtice de una superficie
polidrica de-terminan un ngulo poliedro. Todo ngulo poliedro
consta, por tanto, de un vrtice y de tres o ms caras y aristas.
Un ngulo poliedro es convexo cuando tambin lo es el polgono
resultante de la seccin que produce cualquier plano que corte a
todas sus aristas. De-cimos que un poliedro es convexo cuando todos
sus ngulos poliedros tam-bin lo son. Tambin podemos definir un
poliedro convexo como aquel que se encuentra siempre en un mismo
semiespacio de los dos que determinan cada una de sus caras. Un
poliedro convexo no puede ser cortado por una recta en ms de dos
puntos.
En todo poliedro convexo, la frmula de Euler permite relacionar
el nmero de caras, de vrtices y de aristas mediante la siguiente
expresin:
C + V = A + 2
donde C es el n de caras, V el n de vrtices y A el n de
aristas.
En funcin de sus propiedades geomtricas, los poliedros se pueden
clasifi-car en regulares, semirregulares e irregulares.
Poliedro regular es aquel cuyas caras estn delimitadas por
polgonos regu-lares de igual tamao y de idntico nmero de lados.
Dicho de otro modo, todas las caras de un poliedro regular son
iguales y, como consecuencia de ello, sus ngulos poliedros tambin
lo son.
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En un poliedro semirregular las caras tambin estn delimitadas
por polgo-nos regulares, pero no todos ellos con el mismo nmero de
lados, pudiendo existir en ellos caras de dos o tres tipos
distintos.
2.2. Poliedros regulares convexos.
Existen un total de cinco poliedros regulares convexos, tambin
denomina-dos slidos platnicos: tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro e ico-saedro. La razn de que existan slo estos cinco est
relacionada con la ge-neracin de sus respectivos ngulos
poliedros:
- partiendo del polgono regular con menor nmero de lados, con
tres trin-gulos equilteros generaramos el ngulo poliedro
correspondiente a un te-traedro regular, con cuatro el de un
octaedro regular y con cinco el corres-pondiente a un icosaedro
(con seis no es posible generar un ngulo poliedro convexo, ya que
los ngulos interiores de los tringulos suman 360).
- con tres cuadrados se genera un triedro trirrectngulo, el
ngulo poliedro que correspondiente a un hexaedro regular (con
cuatro cuadrados no ser posible generar un ngulo poliedro convexo
por la misma razn anterior).
- por ltimo, con tres pentgonos regulares se genera el ngulo
poliedro co-rrespondiente a un dodecaedro (con cuatro pentgonos no
se puede gene-rar un ngulo poliedro convexo porque la suma de los
ngulos interiores de los polgonos es mayor de 360).
En los poliedros regulares convexos las caras equidistan de un
punto, centro geomtrico del poliedro, e igual sucede con las
aristas y con los vrtices. Es posible por tanto determinar para
cada poliedro tres esferas concntricas: una esfera inscrita o
tangente a todas las caras, una esfera tangente a todas las aristas
y una esfera circunscrita o que contiene a todos los vrtices del
poliedro. En las dos primeras, los puntos de tangencia estn
respectivamen-te en los centros de las caras y en los puntos medios
de las aristas.
Denominamos seccin principal de un poliedro regular convexo a la
seccin que se obtiene al cortarlo por un plano que pasa por su
centro geomtrico y que contiene a una de sus aristas, el cual
coincide con uno de los planos de simetra del poliedro. En la
seccin principal es posible relacionar mtrica-mente todas las
dimensiones significativas del poliedro, incluidos los radios de
las tres esferas asociadas al mismo.
Generacin de los cinco poliedros regulares convexos a partir de
sus ngulos poliedros.
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TETRAEDRO REGULAR
Es el poliedro regular de cuatro caras. Podemos definirlo tambin
como una pirmide de base triangular cuyas caras son todas ellas
tringulos equilte-ros. Tiene seis aristas y cuatro vrtices.
Sus dimensiones principales son: longitud de arista (a), altura
de cara (h), al-tura del tetraedro (H) (equivale a su altura como
pirmide) y distancia entre aristas opuestas (mnima distancia)
(md).
Seccin principal con indicacin de las dimensiones
principales:
Ri: radio de la esfera inscrita
Ra: radio de la esfera tangente a las aristas
Rc: radio de la esfera circunscrita
Entre sus propiedades geomtricas cabe destacar las
siguientes:
- Las alturas se cortan en el centro geomtrico del tetraedro y,
en cualquie-ra de ellas, dicho centro se encuentra a una distancia
de 3H/4 del vrtice y a H/4 de la cara.
- Las aristas opuestas se cruzan en el espacio ortogonalmente y
el segmento que mide la mnima distancia entre ellas tiene su punto
medio en el centro geomtrico del tetraedro.
- La seccin que produce un plano perpendicular a la mnima
distancia en-tre dos aristas opuestas es un rectngulo cuyo permetro
mide 2a. Si el pla-no pasa por el centro geomtrico del tetraedro la
seccin es un cuadrado de lado a/2 cuyos vrtices son puntos medios
de esas aristas.
Vistas particulares de un tetraedro regular en proyeccin
ortogonal:
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Representacin de un tetraedro regular en posiciones
particulares:
Posibles desarrollos de un tetraedro regular:
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HEXAEDRO REGULAR
Poliedro regular de seis caras cuadradas, tambin denominado
cubo. Tiene doce aristas y ocho vrtices. Las caras contiguas forman
en todos los casos diedros rectos por lo que se puede clasificar
como un ortoedro.
Sus dimensiones principales son: longitud de arista (a),
diagonal de cara (d) y diagonal principal (D) (distancia entre
vrtices opuestos).
Seccin principal con indicacin de las dimensiones
principales:
Ri: radio de la esfera inscrita
Ra: radio de la esfera tangente a las aristas
Rc: radio de la esfera circunscrita
Entre sus propiedades geomtricas cabe destacar las
siguientes:
- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro
geomtrico, el cual es punto de corte y punto medio de todas las
diagonales principales.
- Las aristas opuestas son simtricas con respecto al centro
geomtrico. La distancia entre ellas es igual a d.
- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro
geomtrico.
- Todo plano perpendicular a una diagonal principal cortndola en
un punto situado a D/3 de uno de sus extremos produce una seccin
que es un trin-gulo equiltero de lado d cuyos vrtices lo son tambin
del hexaedro. Si el plano pasa por el centro geomtrico del hexaedro
la seccin es un hexgo-no regular de lado d/2 cuyos vrtices son
puntos medios de aristas.
Vistas particulares de un hexaedro regular en proyeccin
ortogonal:
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Representacin de un hexaedro regular en posiciones
particulares:
Posibles desarrollos de un hexaedro regular:
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OCTAEDRO REGULAR
Poliedro regular de ocho caras triangulares, el cual podemos
visualizar fcil-mente como dos pirmides iguales de base cuadrada,
unidas por sus bases y dispuestas simtricamente. Tiene de doce
aristas y seis vrtices.
Dimensiones principales: longitud de arista (a), altura de cara
(h), diagonal (D) (distancia entre vrtices opuestos) y distancia
entre caras opuestas (H).
Seccin principal con indicacin de las dimensiones
principales:
Ri: radio de la esfera inscrita
Ra: radio de la esfera tangente a las aristas
Rc: radio de la esfera circunscrita
Entre sus propiedades geomtricas cabe destacar las
siguientes:
- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro
geomtrico, el cual es punto de corte de las diagonales y punto
medio de todas ellas.
- Las aristas concurrentes forman entre s un ngulo de 60, si
ambas perte-necen a la misma cara, o de 90. Las opuestas son
simtricas con respecto al centro geomtrico, siendo por tanto
paralelas entre s.
- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro
geomtrico y, por tanto, se encuentran en planos paralelos y
equidistantes del centro. La sec-cin media de dos caras opuestas es
un hexgono regular de lado a/2 cuyos vrtices son puntos medios de
aristas y cuyo centro coincide con el centro geomtrico del
octaedro.
Vistas particulares de un octaedro regular en proyeccin
ortogonal:
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Representacin de un octaedro regular en posiciones
particulares:
Posibles desarrollos de un octaedro regular:
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DODECAEDRO REGULAR
Poliedro regular convexo de doce caras pentagonales. Tiene
treinta aristas y veinte vrtices.
Dimensiones principales: longitud de arista (a), altura de cara
(h), diagonal principal (D) (mide la distancia entre vrtices
opuestos), distancia entre ca-ras opuestas (H) y distancia entre
aristas opuestas (d).
Seccin principal con indicacin de las dimensiones
principales:
Ri: radio de la esfera inscrita
Ra: radio de la esfera tangente a las aristas
Rc: radio de la esfera circunscrita
Entre sus propiedades geomtricas cabe destacar las
siguientes:
- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro
geomtrico, el cual es el punto de corte de las diagonales
principales y punto medio de to-das ellas.
- Las aristas opuestas son simtricas con respecto al centro
geomtrico.
- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro
geomtrico y, por tanto, se encuentran en planos paralelos y
equidistantes del centro. La sec-cin que produce el plano medio de
dos caras opuestas es un decgono re-gular lado la mitad de la
diagonal de la cara (diagonal del pentgono). Otros dos planos
paralelos a ste producen secciones pentagonales de lado igual a la
diagonal de la cara con vrtices en coincidentes con los del
dodecaedro.
Vistas particulares de un dodecaedro regular en proyeccin
ortogonal:
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Representacin de un dodecaedro regular en posiciones
particulares:
Desarrollo de un dodecaedro regular:
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ICOSAEDRO REGULAR
Poliedro regular convexo de veinte caras triangulares. Tiene
treinta aristas y doce vrtices.
Dimensiones principales: longitud de arista (a), altura de cara
(h), diagonal principal (D) (mide la distancia entre vrtices
opuestos), distancia entre ca-ras opuestas (H) y distancia entre
aristas opuestas (d).
Seccin principal con indicacin de las dimensiones
principales:
Ri: radio de la esfera inscrita
Ra: radio de la esfera tangente a las aristas
Rc: radio de la esfera circunscrita
Entre sus propiedades geomtricas cabe destacar las
siguientes:
- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro
geomtrico, el cual es el punto de corte de las diagonales
principales y punto medio de to-das ellas.
- Las aristas opuestas son simtricas con respecto al centro
geomtrico del geomtrico del poliedro, siendo, por tanto, paralelas
entre s.
- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro
geomtrico y, por tanto, se encuentran en planos paralelos y
equidistantes del centro.
- Un plano perpendicular a una diagonal y que pasa por el centro
geomtri-co produce como seccin un decgono regular de lado a/2.
Vistas particulares de un icosaedro regular en proyeccin
ortogonal:
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Representacin de un icosaedro regular en posiciones
particulares:
Desarrollo de un icosaedro regular:
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RELACIONES ENTRE POLIEDROS REGULARES CONVEXOS
La dualidad es la relacin geomtrica que puede existir entre dos
poliedros regulares convexos a travs de sus respectivas esferas
asociadas (la inscrita, la tangente a las aristas y la
circunscrita). Cuando esta relacin se produce decimos que un
poliedro y su dual son poliedros conjugados.
La dualidad entre dos poliedros concntricos se puede establecer
en base a la esfera inscrita en uno de ellos, de modo que sta sea
la esfera circunscri-ta del otro y que los vrtices de ste coincidan
con los puntos de tangencia con la esfera, es decir, con los
centros de las caras del primero. Por tanto, el nmero de caras (C)
del primer poliedro debe ser igual al nmero de vrti-ces (V) de su
poliedro dual o conjugado.
Igualmente, si la dualidad se establece en base a la esfera
circunscrita, sta ser la inscrita del poliedro dual, coincidiendo
los vrtices del primero con los centros de las caras del segundo.
En este caso, el nmero de vrtices (V) del primer poliedro debe ser
igual al nmero de caras (C) del segundo.
La dualidad se puede establecer tambin con respecto a la esfera
tangente a las aristas. En este caso, las aristas se cortan una a
una perpendicularmen-te en sus puntos medios, debiendo ser, por
tanto, igual el nmero de aristas (A) en ambos poliedros.
En el caso de los poliedros regulares convexos se cumple
que:
- un tetraedro tiene como poliedro dual o conjugado a otro
tetraedro,
- un hexaedro tiene como poliedro conjugado a un octaedro y
viceversa,
- un dodecaedro tiene como poliedro conjugado a un icosaedro y
viceversa.
En la siguiente tabla, donde se indican, adems de los valores de
C, V y A, el nmero de lados de las caras (X) y el nmero de aristas
de los ngulos po-liedros (P), se pone de manifiesto la dualidad
existente entre los poliedros regulares convexos:
C V A X P
Tetraedro 4 4 6 3 3
Hexaedro 6 8 12 4 3
Octaedro 8 6 12 3 4
Dodecaedro 12 20 30 5 3
Icosaedro 20 12 30 3 5
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La relacin de inscripcin o circunscripcin entre poliedros se da
cuando un poliedro queda incluido en otro o bien lo envuelve,
existiendo una determi-nada correspondencia entre los vrtices, las
aristas o las caras de ambos.
Entre los poliedros conjugados que estn relacionados mediante
las esferas inscrita y circunscrita se producen relaciones de
inscripcin-circunscripcin, pero, en el caso de los poliedros
regulares convexos, encontramos, adems de stas, otras:
-Tetraedro inscrito en un hexaedro: en un hexaedro regular se
pueden ins-cribir dos tetraedros regulares conjugados con respecto
a la esfera tangente a sus aristas, que es a su vez la esfera
inscrita en el hexaedro, teniendo to-dos ellos una misma esfera
circunscrita. Los tetraedros se pueden obtener truncando
completamente cuatro vrtices del cubo.
- Octaedro inscrito en un tetraedro: en todo tetraedro regular
se inscribe un octaedro regular cuya longitud de arista es la mitad
que la del tetraedro, de modo que ambos poliedros tienen una misma
esfera inscrita. El octaedro se puede obtener truncando los vrtices
del tetraedro a la mitad de la arista.
Los dos tetraedros regulares inscritos en un hexaedro regular se
circunscri-ben a su vez a un octaedro regular, al cual tienen como
slido comn y que es conjugado del cubo con respecto a la esfera
inscrita.
- Hexaedro inscrito en un dodecaedro: las doce aristas del
hexaedro regular coinciden con otras tantas diagonales de las caras
del dodecaedro regular. La relacin entre las longitudes de arista
de ambos poliedros es, por tanto, la que existe entre el lado del
pentgono y su diagonal, es decir, la determi-nada por la seccin
urea. En un mismo dodecaedro pueden estar inscritos un total de
cinco hexaedros. Por su parte, un hexaedro regular admite dos
dodecaedros circunscritos distintos.
- Dodecaedro inscrito en un hexaedro: ocho aristas del
dodecaedro regular coinciden con paralelas medias de las caras del
hexaedro. La esfera inscrita en el cubo es tangente a las aristas
del dodecaedro. Si consideramos la rela-cin anterior, se cumple que
la longitud de arista de los cubos inscrito y cir-cunscrito a un
mismo dodecaedro es la seccin urea.
- Icosaedro inscrito en un hexaedro: como en el caso anterior,
ocho aristas del icosaedro regular coinciden con paralelas medias
de las caras del hexae-dro, siendo la relacin entre las longitudes
de arista igual a la seccin urea. La esfera inscrita en el cubo es
tangente a las aristas del icosaedro.
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Otras relaciones derivadas, por combinacin, de las anteriores
son la de te-traedro inscrito en dodecaedro (inscrito en un
hexaedro inscrito a su vez en un dodecaedro), octaedro inscrito en
dodecaedro (conjugado del cubo cir-cunscrito a un dodecaedro) u
octaedro inscrito en un icosaedro (conjugado del cubo circunscrito
a un icosaedro).
Las relaciones de dualidad entre poliedros regulares con
respecto a la esfe-ra tangente a las aristas permiten tambin
definir las siguientes maclas:
- Tetraedro-tetraedro.
- Octaedro-hexaedro. La longitud de arista del primero es igual
a la diagonal de cara del segundo.
- Dodecaedro-icosaedro. La longitud de arista del primero es la
seccin u-rea del segundo.