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CÁLCULO VECTORIAL
TEMA 10
SUPERFICIES PARAMÉTRICAS
En notas anteriores estudiamos un objeto geométrico de una
dimensión conocido comocurva paramétrica. Es hora de pasar al
estudio de objetos geométricos con una dimensiónmás, conocidos como
superficies. La idea es hacer un análisis similar al estudio de
curvas,es decir, empezaremos por entender qué significa
parametrizar una superficie. Luego,para cierto tipo de
parametrizaciones, veremos cómo construir el plano tangente a
unasuperficie en un punto. Otro aspecto importante será el mostrar
cómo calcular el área deuna superficie no necesariamente plana.
Finalmente, aprenderemos qué significa que unasuperficie esté
orientada.
10.1 Parametrizaciones de superficies
Empecemos definiendo nuestro objeto de estudio en estas
notas.
Definición 10.1.1. Una superficie parametrizada es un conjunto
de la forma S = X(U),donde U es un subconjunto abierto de R2 y X :
U ⊆ R2 → R3 es un campo vectorial con-tinuo, conocido como
parametrización de S. Cada punto de S se representa como X(u, v)
=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)). A las variables u y v se les llama
parámetros.
El concepto de superficie seguramente no parece algo nuevo para
el lector. En efecto, yase ha tenido un contacto con ejemplos
particulares de superficies en el curso anterior deCDIVV, a saber,
las gráficas de funciones de dos variables y las superficies de
nivel defunciones de tres variables. El primero de éstos se trata
de una superficie paramétrica,como detallaremos en breve. Sin
embargo, las superficies de nivel no necesariamente
sonparamétricas, porque no siempre es posible hallar una función X
: U ⊆ R2 → R3 quecubra toda la superficie. Lo bueno es que, bajo
ciertas condiciones, se puede parametrizar
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una superficie de nivel localmente, e ir cubriéndola con varias
parametrizaciones. Parahacer una analogía, es como si se tratase de
cartografiar un país, donde tenemos un mapapara cada región dentro
del mismo, y nos hacemos una idea global de su geografía a partirde
un atlas formado por estos mapas.
Ejemplo 10.1.2. Los siguientes son ejemplos de superficies
paramétricas:
1. Gráfica de una función de dos variables: Dada una función
continua f : V ⊆ R2 → R3,su gráfica G(f) ⊆ R3 es una superficie
paramétrica, con parametrizaciónX : V → R3 dadapor
X(u, v) = (u, v, f(u, v)), para todo (u, v) ∈ V.
Figura 10.1: Gráfico de una función
2. Hemisferios de una esfera: El campoX : U → R3, con U = {(u,
v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1},dado por
X(u, v) = (u, v,√
1− u2 − v2)
es una parametrización del hemisferio norte de la esfera S2 (sin
incluir el Ecuador).
Figura 10.2: Polo norte
Es claro que no es posible cubrir toda la esfera con la
parametrización anterior. Sin embargo,podemos obtener una
descripción completa de la esfera mediante un atlas formado por
variasparametrizaciones que cubren cada hemisferio: norte, sur,
oriental, occdidental, frontal yposterior. Tales parametrizaciones
vienen dadas por:
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Hemisferio norte: (u, v) 7→ (u, v,√
1− u2 − v2)Hemisferio sur: (u, v) 7→ (u, v,−
√1− u2 − v2)
Hemisferio oriental: (u, v) 7→ (u,√
1− u2 − v2, v)Hemisferio occidental: (u, v) 7→ (u,−
√1− u2 − v2, v)
Hemisferio frontal: (u, v) 7→ (√
1− u2 − v2, u, v)Hemisferio posterior: (u, v) 7→ (−
√1− u2 − v2, u, v)
Figura 10.3: Cartas esféricas para cada hemisfero de S2.
3. Coordenadas esféricas: El campoX : U → R3, con U = (0, 2π)×
(0, π/2), dado por
X(u, v) = (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v))
es una parametrización del polo norte de la esfera S2, que no
incluye ni el Ecuador ni elmeridiano 0.
Figura 10.4: Coordenadas esféricas
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10.2 Plano tangente
Cuando estudiamos curvas paramétricas en notas anteriores, vimos
que no siempre esposible definir la recta tangente que pasa por un
punto dado de la curva. Por ejemplo, enpuntos donde la curva
presenta picos, esto no es posible. Es por eso que nos
restringimosa curvas regulares para no tener problemas a la hora de
definir la recta tangente a la curvaen cualquiera de sus puntos. Un
enfoque similar se presenta a la hora de estudiar super-ficies
paramétricas. El concepto de plano tangente a una superficie en un
punto será elanálogo de recta tangente. Acá también puede darse la
imposibilidad de definir el planotangente en uno o más puntos de la
superficie paramétrica. Es por eso que nos restringire-mos a un
tipo especial de parametrizaciones, que definimos a
continuación.
Definición 10.2.1. Sea S una superficie paramétrica, con
parametrización X : U ⊆ R2 → R3.Decimos queX es regular (o suave)
si es de claseC1 y la transformación diferencial dXx0 : R2 →R3 es
inyectiva, para todo punto x0 ∈ U .1
En términos matriciales, dXx0 está representada la matriz
Jacobiana
JX(x0) =
∂x∂u(x0) ∂x∂v (x0)∂y∂u
(x0)∂y∂v
(x0)∂z∂u
(x0)∂z∂v
(x0)
, dondeX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).Entonces, son
equivalentes:
(a) dXx0 es inyectiva.
(b) JX(x0) tiene rango 2.
(c) Los vectores ∂X∂u
(x0) =(∂x∂u
(x0),∂y∂u
(x0),∂z∂u
(x0))
y ∂X∂v
(x0) =(∂x∂v
(x0),∂y∂v
(x0),∂z∂v
(x0))
son linealmente independientes. Éstos también se denotan
comoXu(x0) yXv(x0).
(d) ∂X∂u
(x0)× ∂X∂v (x0) 6= 0.
Ejemplo 10.2.2. Estudiemos la regularidad en las siguientes
parametrizaciones para superficiesconocidas:
1. Esfera unitaria S2: Consideremos la parametrización
X(u, v) = (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)),
sobre el abierto (0, π)× (0, 2π), que cubre a toda la esfera
menos al meridiano 0. Calculemos
1Se puede permitir que U no sea abierto. En estos casos, pedimos
que X sea regular al menos sobre U◦, esdecir, que de haber puntos
en U dondeX no es regular, entonces tales puntos están en ∂U .
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dXx0 y el producto vectorial∂X∂u
(x0)× ∂X∂v (x0) para x0 = (u, v):
dXx0 =
cos(u) cos(v) − sin(u) sin(v)cos(u) sin(v) sin(u) cos(v)− sin(u)
0
,∂X
∂u(x0)×
∂X
∂v(x0) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos(u) cos(v) cos(u) sin(v) − sin(u)− sin(u) sin(v) sin(u)
cos(v) 0
∣∣∣∣∣∣= (sin2(u) cos(v), sin2(u) sin(v), cos(u) sin(u)).
Notamos que ∂X∂u
(x0)× ∂X∂v (x0) = 0 si, y solo si,sin2(u) cos(v) = 0,sin2(u)
sin(v) = 0,cos(u) sin(u) = 0.
Lo anterior implica que cos(u) = 0 o sin(u) = 0. Sin embargo,
sin(u) 6= 0 ya que u ∈ (0, π),lo cual implica que sin(v) = 0 y
cos(v) = 0, y esto es una contradicción. Por lo tanto,∂X∂u
(x0)× ∂X∂v (x0) 6= 0, de dondeX es regular.
2. Bicono circular: El bicono circular tiene por ecuación z2 =
z2 + y2. Su parte con altuna nonegativa (z ≥ 0) acepta la
parametrizaciónX : R2 → R3 dada por
X(u, v) = (u, v,√u2 + v2).
Figura 10.5: Bicono circular
Notamos queX(R2) es la gráfica de la función f : R2 → R dada por
f(u, v) =√u2 + v2, la
cual no es diferenciable en (0, 0). Por lo tanto,X no es una
parametrización regular.
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De manera más general, si f : U ⊆ R2 → R una función de clase
C1, entonces el gráfico def tiene parametrización regularX(u, v) =
(u, v, f(u, v)). Tenemos que
dXx0 =
1 00 1∂f∂u
(x0)∂f∂v
(x0)
,donde ∂f
∂u(x0) y ∂f∂v (x0) existen por ser f ciable. Luego,
∂X
∂u(x0)×
∂X
∂v(x0) =
∣∣∣∣∣∣i j k
1 0 ∂f∂u
(x0)
0 1 ∂f∂v
(x0)
∣∣∣∣∣∣ =(−∂f∂u
(x0),−∂f
∂v(x0), 1
)6= 0.
Volviendo al bicono, consideremos otra parametrización Y :
(0,+∞) × (0, 2π) → R3 dadapor
Y (u, v) = (u cos(v), u sin(v), u),
que cubre la parte positiva a excepción de la recta x = z e y =
0.
Figura 10.6: Parametrización del cono en coordenadas polares
En este caso, el diferencial dYx0 viene dado por
dYx0 =
cos(v) −u sin(v)sin(v) u cos(v)1 0
.Luego,
∂X
∂u(x0)×
∂X
∂v(x0) =
∣∣∣∣∣∣i j k
cos(v) sin(v) 1−u sin(v) u cos(v) 0
∣∣∣∣∣∣ = (−u cos(v),−u sin(v), u) 6= 0.Por lo tanto, la
parametrización Y sí es regular.
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3. Superficie de tangentes a una curva alabeada (no plana): Sea
α : I → R3 una curvaalabeada y regular, donde I es un intervalo
abierto, parametrizada por longitud de arco y concurvatura no nula.
Consideremos el campo vectorialX : R× I → R3 dado por
X(u, s) = α(s) + ut(s).
Es decir, X asigna a cada par (u, s) la recta tangente a α que
pasa por α(s). Al conjuntoX(R× I) ⊆ R3 se le conoce como la
superficie de tangentes a la curva α.
Figura 10.7: Superficie de tangentes
Estudiemos siX es regular. El diferencial dXx0 tiene por
columnas los vectores
∂X
∂u(x0) = t(s),
∂X
∂s(x0) = t(s) + ut
′(s) = t(s) + ukα(s)n(s).
Luego,
∂X
∂u(x0)×
∂X
∂s(x0) = uk(s)b(s).
Tenemos que ∂X∂u
(x0)× ∂X∂s (x0) 6= 0 si, y sólo si, u = 0. Para u = 0, se
obtienen los puntosque corresponden a la curva α. Entonces, la
superficie de tangentes no presenta regularidaden α(I).
4. Tubos alrededor de una curva: Considérese una curva α : I →
R3 como en el ejemploanterior, y sea {t(s),n(s), b(s)} el triedro
de Frénet-Sêrret en α(s). Para θ ∈ (0, 2π), lacombinación
cos(θ)n(s) + sin(θ)b(s) representa un punto de la circunferencia de
radio 1,centrada en α(s) y contenida en el plano perpendicular a la
recta generada por t(s).
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Figura 10.8: Circunferencia perpendicular al versor
tangente.
La parametrizaciónX(s, θ) = cos(θ)n(s) + sin(θ)b(s),
con θ ∈ (0, 2π) y s ∈ I , define un tubo circular de radio 1
alrededor de la curva α, excep-tuando el corte correspondiente a θ
= 0.
Figura 10.9: Tubo alrededor de α.
Estudiemos la regularidad. El diferencial dXx0 viene dado
por:
∂X
∂s(x0) = cos(θ)n
′(s) + sin(θ)b′(s)
= cos(θ)(−k(s)t(s) + τ(s)b(s)) + sin(θ)(−τ(s)n(s)),= −
cos(θ)k(s)t(s)− sin(θ)τ(s)n(s) + cos(θ)τ(s)b(s),
∂X
∂θ(x0) = − sin(θ)n(s) + cos(θ)b(s).
Luego,
∂X
∂s(x0)×
∂X
∂θ(x0) = (− cos(θ)k(s)t(s)− sin(θ)τ(s)n(s) + cos(θ)τ(s)b(s))
× (− sin(θ)n(s) + cos(θ)b(s))= sin(θ) cos(θ)k(s)t(s)× n(s)−
cos2(θ)k(s)t(s)× b(s)− sin(θ) cos(θ)τ(s)n(s)× b(s)− sin(θ)
cos(θ)τ(s)b(s)× n(s)
= sin(θ) cos(θ)k(s)b(s)− cos2(θ)k(s)n(s).
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Como b(s) y n(s) son linealmente independientes, tenemos que
∂X∂s
(x0) × ∂X∂θ (x0) = 0 si,y sólo si, sin(θ) cos(θ)k(s) = 0 y
cos2(θ)k(s) = 0. Al ser α de curvatura no nula, tenemosque ∂X
∂s(x0)× ∂X∂θ (x0) = 0 si, y solo si, sin(θ) cos(θ) = 0 y cos(θ)
= 0, es decir, cos(θ) = 0.
Por lo tanto,X no presenta regularidad en los puntos donde θ =
π/2, 3π/2.
Dada una parametrización regular X : U ⊆ R2 → R3 de una
superficie paramétrica S,fijemos un punto x0 = (u0, v0) ∈ U .
Considere los abiertos
Ix0 = U ∩ {(u, v) ∈ R2 : v = v0} y Jx0 = U ∩ {(u, v) ∈ R2 : u =
u0}.
La curva u 7→X(u, v0), con u ∈ Ix0 , se conoce como la u-curva
que pasa por x0. De manerasimilar, v 7→X(u0, v), con v ∈ Jx0 , se
conoce como la v-curva que pasa por x0.
Figura 10.10: u-curvas y v-curvas
Note que la inyectividad de dXx0 implica la independencia lineal
del conjunto{∂X
∂u(x0),
∂X
∂v(x0)
}.
Note que ∂X∂u
(x0) es un vector tangente a la u-curva en el punto X(x0),
mientras que∂X∂v
(x0) es un vector tangente a la v-curva en el mismo punto.
Entonces, la siguientedefinición cobra sentido.
Definición 10.2.3. Sea S una superficie paramétrica y p ∈ S. Sea
X : U ⊆ R2 → R3 unaparametrización regular con p = X(x0) para algún
x0 ∈ U . El plano tangente a S en p,denotado por Tp(S), es el
espacio afín en el punto p generado por los vectores ∂X∂u (x0)
y
∂X∂v
(x0),es decir,
Tp(S) :={t∂X
∂u(x0) + h
∂X
∂v(x0) + p : (t, h) ∈ R2
}.
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Figura 10.11: Plano tangente a S en p.
Proposición 10.2.4. Sea S una superficie paramétrica, con
parametrizaciones X y Y . Entonces,para cada p ∈ S , el plano
tangente Tp(S) no depende de X o Y . En otras palabras, para
calcularTp(S), se puede tomar cualquier parametrización de S.
Definición 10.2.5. Sea X : U ⊆ R2 → R3 una parametrización
regular de una superficie S, yp ∈ S . Un vector tangente a S en p
es un vector v ∈ R3 no nulo para el cual existe una curvaregular α
: I → X(U), con I un intervalo abierto, es decir α(t) = X(u(t),
v(t)) para todo t ∈ I ,tal que existe un t0 ∈ I con α(t0) = p y
α′(t0) = v.
Figura 10.12: Vector tangente a S.
Proposición 10.2.6. Sea S una superficie paramétrica con
parametrización regularX : U → R3,y sea p ∈ S . Todo vector en
Tp(S) es un vector tangente a S en p. Recíprocamente, si v ∈ R3
esun vector tangente a S en p, entonces v ∈ Tp(S).
Demostración: Primero, supongamos que tenemos un vector v ∈
Tp(S). Luego, comoTp(S) es el espacio afín generado por
{∂X∂u
(x0),∂X∂v
(x0)}
, tenemos que existen t0, h0 ∈ Rno nulos tales que
v = t0∂X
∂u(x0) + h0
∂X
∂v(x0).
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Por otro lado, sea x0 ∈ U tal que X(x0) = p. Lo anterior sugiere
definir β(t) = x0 +t(t0, h0). A partir de β, construimos la
curva
α(t) = X(β(t)) = X(x0 + t(t0, h0)).
Note que α es regular por ser X regular y β(t) una función de
clase C1 con β′(t) =(t0, h0) 6= (0, 0). Por un lado, tenemos que
α(0) = X(x0) = p. Por la regla de la cadenatenemos que:
α′(0) = (X(β(t))′|t=0 = dXβ(0) · β′(0) = dXx0 ·(t0h0
)=
(∂X
∂u(x0),
∂X
∂v(x0)
)·(t0h0
)= t0
∂X
∂u(x0) + h0
∂X
∂v(x0) = v.
Entonces, tenemos que v es un vector tangente a S en p.
Ahora probemos el recíproco. Supongamos que v es un vector
tangente a S en p. Luego,existe una curva regular α : I → X(U) tal
que p = α(t0) y α′(t0) = v, para algún t0 ∈ I .Comoα está contenida
enX(U), podemos escribirla de la formaα(t) = X(u(t), v(t)). Seaβ(t)
= (u(t), v(t)) y x0 = (u(t0), v(t0)). Nuevamente, por la regla de
la cadena, tenemos:
v = α′(t0) = dXβ(t0) · β′(t0) =(∂X
∂u(x0),
∂X
∂v(x0)
)·(u′(t0)v′(h0)
)= u′(t0)
∂X
∂u(x0) + v
′(h0)∂X
∂v(x0).
Entonces, al ser v combinación lineal de ∂X∂u
(x0) y ∂X∂v (x0), tenemos que v ∈ Tp(S).
Ejemplo 10.2.7. Hallemos el plano tangente a cualquier punto del
paraboloide circular:
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2}
Consideremos la pamametrizaciónX : R2 → R3 dada por
X(u, v) = (u, v, u2 + v2).
Al calcular la diferencial para todo punto x0 = (u0, v0) ∈ R2
tenemos dXx0 =
1 00 12u0 2v0
.
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Luego,
∂X
∂u(x0)×
∂X
∂v(x0) =
∣∣∣∣∣∣i j k1 0 2u00 1 2v0
∣∣∣∣∣∣ = (−2u0,−2v0, 1) 6= 0.Tenemos entonces que X es regular.
Luego, el plano tangente a S en X(x0) = (u0, v0, u20 + v20)viene
dado por
t(1, 0, 2u0) + h(0, 1, 2v0) + (u0, v0, u20 + v
20), para todo t, h ∈ R.
Figura 10.13: Paraboloide circular.
10.3 Área de una superficie
Así como ocurrió con la longitud de arco de una curva y el
concepto de integral de línea,es necesario entender primero cómo
hallar el área de una superficie antes de aventurarnosa definir
integrales de superficie.
La idea del cálculo del área de una superficie paramétrica es
parecida a lo que se hizoen su momento para calcular la longitud de
arco de una curva. Para esto último, apro-ximábamos la longitud de
arco mediante longitudes de segmentos rectangulares, ha-ciendo una
partición en el intervalo de definición de la parametrización de la
curva.Ahora la idea será aproximar el área de una superficie
paramétrica a través de áreas deregiones rectangulares,
provenientes de una partición en el dominio de definición de
laparametrización.
Supongamos que tenemos una superficie paraétrica S = X(U), donde
X : U ⊆ R2 → R3es una parametrización regular e inyectiva, con U =
(a, b) × (c, d) un intervalo abiertoy acotado de R2. Sean a = u0
< u1 < · · · < un = b y c = v0 < v1 < · · · < vm
= dparticiones de (a, b) y (c, d), respectivamente. SeaRij el
rectángulo de lados ∆ui = ui−ui−1y ∆vj = vj − vj−1, y sea (u′i,
v′j) un punto cualquiera en el interior de Rij . Consideremosen
dicho punto el vector normal ∂X
∂u(u′i, v
′i)× ∂X∂v (u
′i, v′j) al plano tangente a S que pasa por
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el puntoX(u′i, v′j) (el cual se puede definir ya queX es
regular). Sobre ese plano tangenteconsideramos el paralelogramo de
lados ∂X
∂u(u′i, v
′i)∆ui y
∂X∂v
(u′i, v′j)∆vj , al que llamaremos
Tij . Sabemos del curso de GAL 1 que el área de Tij viene dada
por
a(Tij) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u (u′i, v′i)× ∂X∂v (u′i, v′j)∣∣∣∣∣∣∣∣∆ui∆vj.
A medida que n y m tienden a infinito (es decir, que las
particiones de (a, b) y (c, d) sehacen cada vez más fina), tenemos
que a(Tij) aproxima al área de X(Rij), y por endela suma
∑ij a(Tij) aproxima al área de S = X(U). Por otro lado, al ser X
regular te-
nemos que∣∣∣∣∂X∂u× ∂X
∂v
∣∣∣∣ es una función continua en U , y por lo tanto integrable.
Entonces,limn,m→∞
∑ij a(X(Rij)) converge. Por definición de integral múltipe,
tenemos que
limn,m→∞
∑ij
a(X(Rij)) = limn,m→∞
∑ij
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u (ui, vi)× ∂X∂v (ui, vj)∣∣∣∣∣∣∣∣∆ui∆vj = ∫∫
U
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.
Por lo tanto, la siguiente definición cobra sentido2.
Definición 10.3.1. Sea S una superficie paramétrica, con
parametrización regular e inyectivaX : U ⊆ R2 → R3. Se define el
área de S = X(U) como la integral doble
a(S) =∫∫
U
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv.
Dentro de la generalidad de la definición anterior, y pensando
en las opciones de dominiode integración para las integrales
dobles, se puede permitir que S y X : U → R3 cum-plan que: X es
regular o regular a trozos, donde cada trozo está representado por
unaparametrización Xi : Ui ⊆ R2 → R3 continua, tal que Xi es
regular en U◦i salvo quizá enun número finito de puntos.
Observación 10.3.2.
1. Así como ocurre con la longitud de arco de una curva, el área
de una superficie paramétricano depende de la parametrización
escogida. Esto lo demostraremos más adelante, como uncorolario de
un resultado más general para integrales de superficies.
2Sabemos que el dominio de una parametrización no tiene por qué
ser en general un intervalo abierto. Sinembargo, lo hemos escogido
así para simplificar la explicación del área de una superficie. El
argumentomostrado se puede generalizar sin dificultad al caso donde
U es un conjunto acotado y medible Jordan (Esnecesario que el
lector recuerde esta última definición del curso de CDIVV. Puede
ver por ejemplo las notasdel Prof. Fiori).
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2. SiX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), entonces
a(S) =∫∫
U
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv = ∫∫
U
√√√√√∣∣∣∣∣∣i j k∂x∂u
∂y∂u
∂z∂u
∂x∂v
∂y∂v
∂z∂v
∣∣∣∣∣∣dudv=
∫∫U
√(∂y
∂u
∂z
∂v− ∂z∂u
∂y
∂v
)2+
(∂z
∂u
∂x
∂v− ∂x∂u
∂z
∂v
)2+
(∂x
∂u
∂y
∂v− ∂y∂u
∂x
∂v
)2dudv.
Ejemplo 10.3.3. Calcule el área del helicoideH de radio 1 y
altura 2π:
X : [0, 1]× [0, 2π]→ R3
X(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ), θ).
Figura 10.14: Helicoide.(Imagen tomada de Marsden & Tromba -
Cálculo Vectorial).
La parametrizaciónX es claramente inyectiva. Veamos si es
regular. Tenemos que
∂X
∂r= (cos(θ), sin(θ), 0),
∂X
∂θ= (−r sin(θ), r cos(θ), 1),
∂X
∂r× ∂X
∂θ=
∣∣∣∣∣∣i j k
cos(θ) sin(θ) 0−r sin(θ) r cos(θ) 1
∣∣∣∣∣∣ = (sin(θ),− cos(θ), r).Vemos que ∂X
∂r× ∂X
∂θsiempre es no nulo, pues no existe ningún ángulo que anule a
las funciones
seno y coseno al mismo tiempo. Por lo tanto, X es regular.
Entonces, el área del helicoide H con
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parametrizaciónX viene dada por:
a(H) =∫∫
[0,1]×[0,2π]
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂r × ∂X∂θ∣∣∣∣∣∣∣∣ drdθ = ∫ 2π
0
∫ 10
√sin2(θ) + cos2(θ) + r2drdθ
=
∫ 2π0
∫ 10
√1 + r2drdθ = 2π
∫ 10
√1 + r2dr = 2π
r2
√1 + r2 +
log(r +√
1 + r2)
2
∣∣∣∣∣1
0
= π(
√2 + log(1 +
√2)).
Las superficies de revolución y las gráficas de funciones
continuas de dos variables estánentre los ejemplos principales de
superficies paramétricas. Probaremos a continuaciónfórmulas
generales para calcular su área.
Proposición 10.3.4. Sea f : U ⊆ R2 → R una función continua en U
(acotado y medible Jordan)y de clase C1 en U◦. Entonces,
a(G(f)) =
∫∫U
√(∂f
∂u
)2+
(∂f
∂v
)2+ 1dudv.
Demostración: Por hipótesis, tenemos la parametrización regular
para G(f) dada porX(u, v) = (u, v, f(u, v)) para todo (u, v) ∈ U .
Luego,
a(G(f)) =
∫∫U
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv = ∫∫
U
∣∣∣∣∣∣∣∣(−∂f∂u,−∂f∂v , 1)∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv
=
∫∫U
√(∂f
∂u
)2+
(∂f
∂v
)2+ 1dudv.
Ejemplo 10.3.5. Halle el área del hemisferio norte de la esfera
unitaria S2.
Sabemos que esta superficie en cuestión es la gráfica de la
función f(u, v) =√
1− u2 − v2, donde(u, v) ∈ U = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v2 ≤ 1}. Lo
interesante acá es que f no es de clase C1 en ∂U .Para (u, v) ∈ U◦,
tenemos que
∂f
∂u= − u√
1− u2 − v2y
∂f
∂v= − v√
1− u2 − v2.
Por la proposición anterior, tenemos que
a(G(f)) =
∫∫U
√u2
1− u2 − v2+
v2
1− u2 − v2+ 1dudv =
∫ 1−1
∫ √1−u2−√1−u2
1√1− u2 − v2
dvdu.
15
-
La integral es impropia, pero se puede calcular:∫
√1−u2−√1−u2
1√1− u2 − v2
dv = arcsin
(v√
1− u2
)∣∣∣∣√1−u2
−√1−u2
= arcsin(1)− arcsin(−1) = 2 arcsin(1) = π.
Entonces,
a(G(f)) =
∫ 1−1
∫ √1−u2−√1−u2
1√1− u2 − v2
dvdu =
∫ 1−1πdu = 2π.
Teorema 10.3.6 (de Pappus). Sea f : [a, b] → R una función
continua (positiva o negativa) en[a, b] y de clase C1 en (a, b).
Considere la superficie de revolución Rf obtenida al girar la
gráficade f alrededor del eje X . Entonces,
a(Rf ) = 2π∫ ba
|f(x)|√
1 + (f ′(x))2dx.
Figura 10.15: Rotación de la gráfica de f alrededor del Eje X
.(Imagen tomada de Marsden & Tromba - Cálculo Vectorial).
Demostración: La parametrización en este caso viene dada por
X(x, θ) = (x, f(x) cos(θ), f(x) sin(θ))
donde x ∈ [a, b] y 0 ≤ θ ≤ 2π. Acá, θ es el ángulo de rotación
respecto al plano XY . Al serf continua en [a, b] y de clase C1 en
(a, b), tenemos queX es continua en [a, b]× [0, π] y declase C1 en
(a, b)× (0, 2π). Veamos queX es regular:
∂X
∂x= (1, f ′(x) cos(θ), f ′(x) sin(θ)),
∂X
∂θ= (0,−f(x) sin(θ), f(x) cos(θ)),
∂X
∂x× ∂X
∂θ=
∣∣∣∣∣∣i j k1 f ′(x) cos(θ) f ′(x) sin(θ)0 −f(x) sin(θ) f(x)
cos(θ)
∣∣∣∣∣∣ = (f(x)f ′(x),−f(x) cos(θ),−f(x) sin(θ)).16
-
Estudiemos ahora cuando ∂X∂x× ∂X
∂θ= 0. Vemos que lo anterior ocurre si, y solo si,f(x)f ′(x) =
0,f(x) cos(θ) = 0,f(x) sin(θ) = 0.
Como f no tiene puntos de corte en [a, b], el sistema anterior
nos queda:f ′(x) = 0,cos(θ) = 0,sin(θ) = 0.
No existe solución ya que cos(θ) y sin(θ) no se anulan al mismo
tiempo. Por lo tanto,X esregular. Así, el área deRf viene dada
por:
a(Rf ) =∫∫
[a,b]×[0,2π]
∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂x × ∂X∂θ∣∣∣∣∣∣∣∣ dxdθ
=
∫ ba
∫ 2π0
√(f(x))2(f ′(x))2 + (f(x))2 cos2(θ) + (f(x))2 sin2(θ)dθdx
=
∫ ba
∫ 2π0
|f(x)|√
1 + (f ′(x))2dθdx = 2π
∫ ba
|f(x)|√
1 + (f ′(x))2dθ.
10.4 Orientación de una superficie
En el estudio de integrales de línea, vimos dos tipos: para
campos escalares y para camposvectoriales. Ocurrirá algo similar
con las integrales de superficies. Así como vimos quela integral de
línea de un campo vectorial cambia de signo si se cambia la
orientación dela curva sobre la cual se integra, tendremos una
propiedad similar para las integrales desuperficie de campos
vectoriales en relación al concepto de orientación de una
superficie,que detallaremos a continuación.
Definición 10.4.1. Sea S una superficie que admite una
parametrización regular, y p ∈ S . Unvector n ∈ R3 no nulo es
normal a S en p si 〈n,v〉 = 0 para todo v ∈ Tp(S).
Definición 10.4.2. Una orientación sobre una superficie S (como
en la definición anterior) es uncampo vectorial continuo N : S → R3
tal que N (p) es un vector normal unitario a S en p, paratodo p ∈
S. Se dice que S es orientable si admite una orientación.
17
-
En dos de los ejemplos mostrados más adelante, para ver que una
superficie S no es ori-entable, bastará ver que cierto campo normal
p 7→ np construido a partir de X : U → R3(una parametrización
regular de S) no es continuo. Esto se debe a que toda
superficieorientable admite únicamente dos orientaciones, como
veremos en breve.
Para el siguiente resultado, tenga en cuenta que si S es una
superficie paramétrica ori-entable con parametrización inyectivaX :
U → R3, entonces se tiene una orientación dadapor
S 3 p 7→∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣
donde p = X(u, v) con (u, v) ∈ U único.
Proposición 10.4.3. SeaN : S → R3 una orientación de una
superficie paramétrica orientable S,con parametrización X : U ⊆ R2
→ R3 inyectiva y regular con U conexo (y por ende S
conexa).Entonces, existe σ = ±1 tal que
N (p) = σ∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣
para todo p = X(u, v) ∈ S. Cuando σ = 1, se dice queX preserva
la orientaciónN , mientrasque cuando σ = −1, se dice queX revierte
la orientación deN .
Demostración: Primero probaremos el resultado en U◦ (descartando
de U◦ el númerofinito de puntos en los cuales X no es regular, en
caso de haberlos). Entonces, sea p ∈ Scon p = X(u, v) donde (u, v)
∈ U◦ es único. Consideremos en el punto p los vectoresN (p) = N
(X(u, v)) y ∂X
∂u(u, v) × ∂X
∂v(u, v)/
∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣. Al ser estos vectores
normales y unitarios, se tiene que
N (X(u, v)) =∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣ o N (X(u, v)) = − ∂X∂u (u, v)× ∂X∂v (u, v)∣∣∣∣∂X
∂u(u, v)× ∂X
∂v(u, v)
∣∣∣∣ .La idea es probar que se cumple únicamente una de estas
dos igualdades para cualquieraque sea el punto escogido p, es
decir, no puede ocurrir la igualdad con signo positivo paraun punto
p1, y la otra con signo negativo para otro punto p2. Para esto,
consideremos elcampo escalar f : U◦ → [0,+∞) dado por
f(u, v) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣N (X(u, v))± ∂X∂u × ∂X∂v∣∣∣∣∂X
∂u× ∂X
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Este campo es claramente continuo. Entonces, f(u, v) = 0 o f(u,
v) = 2 para todo (u, v) ∈U◦, debido a la continuidad de f y por ser
U conexo. Supongamos que se da el primercaso. Entonces,
18
-
N (p) =∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣
para todo (u, v) ∈ U◦. El caso f ≡ 2 se trabaja de forma
análoga.
Ahora supongamos que el campo p 7→ ∂X∂u
(u, v) × ∂X∂v
(u, v)/∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣ está
también definido para (u, v) ∈ ∂U . El campo anterior, junto con
p 7→ N (X(u, v)) sonfunciones continuas sobre U que coinciden en
U◦. Por propiedades de continuidad paracampos vectoriales, se tiene
que estos dos campos coinciden también en U = U ∩ ∂U (porlo cual
también coinciden en ∂U ). Queda entonces demostrado en
resultado.
Gracias al resultado anterior, podemos definir orientación
positiva y negativa para unasuperficie orientable.
Definición 10.4.4. Sea S una superficie paramétrica orientable,
con parametrización regular in-yectivaX : U → R3. El campo
p 7→∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣
define la orientación exterior o positiva de S, mientras que
p 7→ −∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣∂X∂u
(u, v)× ∂X∂v
(u, v)∣∣∣∣
define la orientación interior o negativa de S.
En términos coloquiales, una superficie es orientable si tiene
dos lados, a saber, un ladoindicado por la orientación exterior, y
el otro indicado por la orientación interior.
El siguiente resultado es consecuencia de la proposición
anterior, y su demostración sedeja como ejercicio.
Corolario 10.4.5. Sean N1 y N2 orientaciones de una superficie
paramétrica conexa S, que ad-mite una parametrización inyectiva y
regular. Entonces, oN1 = N2 oN1 = −N2.
Ejemplo 10.4.6 (Superficie orientable). Consideremos la esfera
unitaria S2 con la parametrizaciónde coordenada esféricasX : (0,
2π)× (0, π)→ S2 dada por
X(u, v) = (sin(v) cos(u), sin(v) sin(u), cos(v)).
19
-
Para esta parametrización, tenemos el campo normal unitario
N (X(u, v)) =∂X∂u× ∂X
∂v∣∣∣∣∂X∂u× ∂X
∂v
∣∣∣∣ = (sin2(v) cos(u), sin2(v) sin(u), cos(v) sin(v))||(sin2(v)
cos(u), sin2(v) sin(u), cos(v) sin(v))||=
(sin2(v) cos(u), sin2(v) sin(u), cos(v) sin(v))
sin(v)
= (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)).
Al ser continuo el campo vectorial X(u, v) 7→ (cos(u) sin(v),
sin(u) sin(v), cos(v)), tenemos queS2 es orientable.
Ejemplo 10.4.7 (Superficies no orientables).
1. Cinta de Möbius: La cinta de Möbius se define considerando un
segmento de recta AB delongitud menor que 2, perpendicular al plano
XY y con centro en el punto (0, 2, 0). Luego,movemos el centro de
este segmento a lo largo de la curva determinada por la
circunferenciax2 + y2 = 4 en el plano XY . Al mismo tiempo, hacemos
rotar el segmento AB sobre sucentro. Este movimiento se hace de tal
manera que, cuando el centro haya barrido un ángulode u radianes,
el segmento barre u/2 radianes al rotar alrededor de su centro.
Figura 10.16: Movimientos de rotación de AB.
Cuando el segmento regrese a su posición inicial, es decir, con
centro en (0, 2, 0), la superficieresultante se conoce como cinta
de Mob̈ius.
Figura 10.17: Cinta de Moëbius.
20
-
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos dar una parametrizaciónX
: [0, 2π]× [−1, 1]→ R3mediante
X(u, v) = (sin(u)(2− v sin(u/2)), cos(u)(2− v sin(u/2)), v
cos(u/2)).
Figura 10.18: Parámetros en la cinta de Moëbius.
Estudiemos esta parametrización:
∂X
∂u=(
2 cos(u)− v cos(u) sin(u
2
)− v
2sin(u) cos
(u2
),
−2 sin(u) + v sin(u) sin(u
2
)− v
2cos(u) cos
(u2
),−v
2sin(u
2
)),
∂X
∂v=(− sin(u) sin
(u2
),− cos(u) sin
(u2
), cos
(u2
)).
Calcular el campo normal X(u, v) 7→ ∂X∂u× ∂X
∂v/∣∣∣∣∂X∂u× ∂X
∂v
∣∣∣∣ puede resultar tedioso. Sinembargo, tengamos en cuenta que
el objetivo es probar que la cinta de Möbius no es ori-entable, es
decir, que el campo anterior no es continuo. Entonces, se
suficiente probar lano continuidad dentro de cualquier camino en el
dominio del campo normal. Escojamos uncamino sencillo de trabajar,
como por ejemplo, la curva sobre la cinta de Möbius determinadapor
v = 0. Llamemos a esta curva C.
Figura 10.19: Camino v = 0.(Imagen tomada de Marsden &
Tromba - Cálculo Vectorial).
21
-
Sea p = X(u, 0) ∈ C. Tenemos entonces
∂X
∂u(u, 0) = (2 cos(u),−2 sin(u), 0),
∂X
∂v(u, 0) = (− sin(u) sin(u/2),− cos(u) sin(u/2), cos(u/2)),
∂X
∂u(u, 0)× ∂X
∂v(u, 0) =
∣∣∣∣∣∣i j k
2 cos(u) −2 sin(u) 0− sin(u) sin(u/2) − cos(u) sin(u/2)
cos(u/2)
∣∣∣∣∣∣= −2(sin(u) cos(u/2), cos(u) cos(u/2),
sin(u/2)),∣∣∣∣∣∣∣∣∂X∂u (u, 0)× ∂X∂v (u, 0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2√sin2(u) cos2(u/2) + cos2(u) cos2(u/2) + sin2(u/2) =
2.Tenemos sobre C el campo normal
N |C : p = X(u, 0) 7→ −(sin(u) cos(u/2), cos(u) cos(u/2),
sin(u/2)).
Veamos que N |C no es continuo en (0, 2, 0). Supongamos lo
contrario. Note que (0, 2, 0) =X(0, 0) = X(2π, 0), por lo que siN
|C es continuo en (0, 2, 0), se tiene que cumplir que
limu→0,v=0
N (X(u, 0)) = limp→(0,2,0)
N |C(p) = limu→2π,v=0
N (X(u, 0)).
Sin embargo, el límite de la izquierda vale (0,−1, 0), y el de
la derecha vale (0, 1, 0). Por lotanto,N |C no es continuo en (0,
2, 0).
Figura 10.20: Hormigas caminando sobre una cinta de
Möbius.Pintura “Möbius strip II”, por M. C. Escher (1963).(Imagen
tomada de Marsden & Tromba - Cálculo Vectorial).
Intuitivamente, podemos pensar en el hecho de que la cinta de
Möbius no es orientable dela siguiente manera. Supongamos que vamos
a caminar sobre una cinta de Möbius gigantehecha de un material
transparente, y se nos da un disco pintado por ambas caras con
colores
22
-
diferentes (digamos rojo y azul) para marcar nuestro punto de
partida. Colocamos el discosobre el “suelo” con el lado rojo
apuntando hacia nosotros, y empezamos a caminar recto y avelocidad
constante. Eventualmente llegaremos a nuestro punto de partida, el
disco, pero alllegar veremos su cara azul.
2. Botella de Klein: Consideremos la curva ocho α : [0, 2π]→ R2
dada por
α(t) = (sin(t), sin(t) cos(t)).
Figura 10.21: Curva ocho.
La superficie conocida como botella de Klein se genera al rotar
una curva ocho centrada enun punto (0, a, 0), de forma parecida a
como se hizo en el ejemplo anterior, a lo largo de lacircunferencia
x2 + y2 = a2 en el plano Z = 0, para algún a > 0.
Figura 10.22: Movimiento que genera la botella de Klein.
Al movimiento descrito se le puede dar la siguiente
parametrización:
X(u, v) = (((a+ cos(u/2)) sin(v)− sin(u/2) sin(2v)) cos(u),((a+
cos(u/2)) sin(v)− sin(u/2) sin(2v)) sin(u),sin(u/2) sin(v) +
cos(u/2) sin(2v)).
Como ejercicio, compruebe que esta superficie no es
orientable.
23
-
Figura 10.23: Botella de Klein.
Cerraremos estas notas explicando qué significa que el borde de
una superficie orientableesté orientado. Para empezar, aunque ya
tenemos cierta idea, debemos especificar quésignifica que una
superficie tenga borde.
Definición 10.4.8. Sea S una superficie paramétrica con
parametrización inyectiva y regular (atrozos)X : U ⊆ R2 → R3 tal
que:
1. U es acotado.
2. ∂U es una curva regular (a trozos) de R2 cerrada simple.
3. X se puede extender a U de tal manera que X|∂U es inyectiva,
de clase C1, y dXx0 es in-yectiva para todo x0 ∈ ∂U .
Al conjuntoX(∂U), que denotaremos como ∂S, se le conoce como
borde de S.
Note que ∂S es una curva simple en R3, ya queX|∂U es inyectiva.
¿Qué hay de su regular-idad? Consideremos una parametrización
simple y regular de ∂U , digamos β : [a, b]→ R2.Entonces, α := X ◦
β es una parametrización de ∂S. Es claro que α es inyectiva. Por
otrolado, se tiene por la regla de la cadena que
α′(t) = dXβ(t)(β′(t)) 6= 0.
Lo anterior se debe a que dXβ(t) es una transformación lineal
inyectiva, y a que β′(t) 6= 0.Por lo tanto, ∂S es una curva cerrada
simple y regular.
Ahora, si S es una superficie orientable con borde, ¿qué
significa que el borde esté orien-tado? Esto lo especificaremos a
continuación.
24
-
Definición 10.4.9. Sea S una superficie paramétrica con borde,
con parametrización X : U ⊆R2 → R3 que cumple las condiciones de la
definición anterior. Supongamos que S es orientable,con orientación
dada por el campo normal (u, v) 7→ ∂X
∂u× ∂X
∂v/∣∣∣∣∂X∂u× ∂X
∂v
∣∣∣∣. Diremos que la curvacerrada ∂S está orientada
positivamente si ∂U admite una parametrización β : [a, b] → R2
talque la orientación de α := X ◦ β sea coherente con la de S, es
decir,
nα(t) =∂X∂u
(β(t))× ∂X∂v
(β(t))∣∣∣∣∂X∂u
(β(t))× ∂X∂v
(β(t))∣∣∣∣ .
Intuitivamente, que ∂U tenga orientación positiva coherente con
la orientación de S sig-nifica, informalmente hablando, que al
recorrer el borde de la superficie, con el vectornormal siempre
apuntando “hacia arriba”, la la superficie siempre queda “a la
izquierda”.
Figura 10.24: Superficie orientable con borde.
Escrito en LATEX por Marco A. Pérez.
Material consultado:• Geometría Diferencial de Curvas y
Superficies, notas de M. A. Pérez.• Cálculo Vectorial, de Jerrold
E. Marsden y Anthony J. Tromba.• Cálculo Vectorial, notas de A.
González.
Última actualización: 28 de Octubre de 2020.
25
Superficies paramétricasParametrizaciones de superficiesPlano
tangenteÁrea de una superficieOrientación de una superficie