Superficies Cuadricas Final

UNIVERSIDAD NACIONALPEDRO RUIZ GALLO

DOCENTE : Lic. CHIROQUE BALDERA JOSE

INTEGRANTES : QUISPE MESTANZA ELLY

LLAJA CHAVEZ RANDY

FLORES RUGGEL JHON GILBERTO

CASTRO MATOS PIER

GOICOCHEA RUIZ EYNER

RESUMEN

INTRODUCCION

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

CONTEXTO DE LA INVESTIGACION

JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION

ANTECEDENTES

OBJETIVOS

MARCO TEORICO

METODOLOGIA

DESARROLLO DEL TEMA

CONCLUSIONES

ANEXOS

RESUMENUna superficie cuadrica o simplemente cuadrica es la grafica de una ecuación de segundo grado en las 3variables x,y,z. La forma más general de la ecuación es:

Ax2+By2+Cz2+ Dxy+Eyz+Fxz+Gx+ Hy+ Iz+J=0

donde A,B,C,…,J son constantes, pero por traslación y rotación puede llevarse a alguna de las dos formas estándar.

Ax2+By2+Cz2+J=0⋀Ax2+By2+ Iz=0

Algunas superficies cilíndricas o superficies de revolución son ejemplo de Cuadricas. En esta sección se dará algunas formas estándar de las superficies Cuadricas cuyas ecuaciones están en su forma más simple.

Las ecuaciones Cuadricas pueden ser: elipses, cilindros, paraboloides, conos, hiperboloides, eso dependerá de lo que puedan variar los coeficientes, signos y exponentes.

Se puede decir que para que la ecuación de la forma F(x, y, z) = cte. represente una superficie cuadrica esta debe poseer las siguientes características:

i. Deben Estar presentes las tres variables (x,y,z).

ii. Debe ser una expresión polinómica de segundo grado.

iii. Al menos dos de las variables deben estar elevados al cuadrado

INTRODUCCIÓN

El estudio de las funciones Cuadricas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial, hasta en piezas de mecánica tales como engranajes, poleas, etc.

Las secciones cónicas: elipse, parábola, hipérbola, etc. Que se encuentran en un plano tienen su generalización en el espacio tridimensional por ejemplo elipsoide, paraboloide e hiperboloide, etc.

Estas figuras que se encuentran en un espacio y que son formadas por otras figuras quese encuentran en un plano, tienen una aplicación en la vida real. En este trabajo de investigación demostraremos con la ayuda de algunos ejemplos en donde se puede utilizarlas superficies cuadráticas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En nuestro estudio de Ing. Mecánica y eléctrica, vemos que diariamente utilizamos objetos, piezas y diversos tipos de mecanismos que tienen que ver acorde con nuestra carrera profesional, por cual motivo nos damos cuenta que es necesario las ciencias matemáticas y la física, por eso surge la pregunta si es que en nuestro entorno laboral nos es necesario aplicar los conocimientos básicos de las ecuaciones Cuadricas para ciertos diseños.

CONTEXTO DE LA INVESTIGACION

JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACIONLas ecuacionesCuadricas tienen su aplicación en diversos proyectos relacionados a las diferentes carreras profesionales tales como la Mecánica, Civil, Arquitectura etc.

Otro ejemplo de superficies cuadráticas en el ámbito profesional por ejemplo en las profesiones de Ing. Civil y Arquitectura las cuales tiene que hacer cálculos para poder diseñar los edificios obviamente relacionados con el tema de superficies cuadricas y las podemos encontrar en las siguientes imágenes:

En Ing. Mecánica las superficies cuadráticas son aplicables en Engranajes Helicoidales

ANTECEDENTESPara la compresion adecuada de este tema de superficies, se requiere de los conocimientos previos de:

Elementos de geometria plana: recta, circunferencias, conicas, etc.

Elementos de geometria del espacio: planos, secciones planas de un cuerpo, etc.

OBJETIVOS Establecer los fundamentos necesarios para la intensificacion de las tecnicas para el trazado de las superficies a partir de sus ecuaciones como premisas asi como tambien las curvas y regiones, para utilizarlos en las diversas aplicaciones. Al finalizar el estudio debemos ser capacez de:

Describir el procedimiento seguido en el trazado de las superficies. Reconocer la forma de la ecuacion de las cuadricas centradas. Representar grafcamente las siguientes superficies: Elipsoide,

Paraboloide, Hiperboloide de una y dos hojas, Esfera, Cilindros y Conos.

Identificar las curvas que resultan de la intersección de las superficies con los planos cartesianos.

MARCO TEORICOPara nuestro estudio de las superfices cuadricas nos es necesario tener como conocimientos los siguientes saberes previos .

Hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de puntos P ( X , Y ) para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en (h , k )es (x−h)2

a2 −( y−k )2

b2 =1

ParábolaLa parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:Eje (E) , VérticeDirectriz.- Recta fija dRadio vector .-Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

La ecuación de la parábola es y2=2 px

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:Centro, OEje mayor, AA´Eje menor, BB´Distancia focal, OF

La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: x2

a2 + y2

b2 =1

Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro, la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio.

(x−a)2+( y−b)2=r2

METODOLOGIA

DESARROLLO DEL TEMA

DISCUSION Y GRAFICA DE LA ECUACION DE UNA SUPERFICIE

En el caso de las superficies es preferible discutir previamente su ecuación antes de construirla. Para discutir la ecuación E(x, y, z)=0 de una superficie se siguen los siguientes pasos:

I. INTERCEPCION CON LOS EJES COORDENADOS.

Son las intersecciones de la superficie con cada uno de los ejes coordenados.

i. Con el eje X. Se reemplaza y=z=0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

ii. Con el eje Y. Se reemplaza x=z=0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

iii. Con el eje Z. Se reemplaza x=y=0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.

La traza de una superficie sobre un plano coordenado es la intersección de la superficie y el plano coordenado.

i. Con el eje XY. Se reemplaza Z=0 en la ecuación de la superficie.ii. Con el eje YZ. Se reemplaza X=0 en la ecuación de la superficie

iii. Con el eje XZ. Se reemplaza Y=0 en la ecuación de la superficie

III. SECCIONES TRANSVERSALES O SECCIONES PARALELAS A LOS PLANOS COORDENADOS.

Son las intersecciones de la superficie con los planos paralelos a los planos coordenados.

i. Al plano XY. Se reemplaza z=k en la ecuación de la superficie.ii. Al plano XZ. Se reemplaza y=k en la ecuación de la superficie.

iii. Al plano YZ. Se reemplaza x=k en la ecuación de la superficie.

IV. EXTENSIONES DE LA SUPERFICIE.

Se entiende por extensión de la superficie a los valores reales que toman las variables x, y, z en la ecuación.

El paso anterior facilita la determinación de la extensión; por ejemplo, si al estudiar las secciones paralelas al plano XY se determina que hay intersección con los planos z=k cuando k є[−3,3 ]. Esto indica que en la superficie z varía entre -3 y 3, es

decir z= [−3,3 ].

V. SIMETRIAS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS, A LOS EJES COORDENADOS Y AL ORIGEN.

Previamente, se dice que dos puntos P y Q son simétricos con respecto a un plano si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

Por otro lado, se dice que una superficie es simétrica con respectó al plano II, si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto al planoII es también un punto del espacio, entonces:

a) El simétrico de P con respecto al plano XY es Q(x, y,-z)b) El simétrico de P con respecto al plano XZ es Q(x, -y, z)c) El simétrico de P con respecto al plano YZ es Q (-x, y, z)

Considerando que el lector está familiarizado a las simetrías con respecto a una recta y a un punto se sigue:

d) El simétrico de P con respecto al eje X es Q(x, -y,-z)e) El simétrico de P con respecto al eje Y es Q(-x, y,-z)f) El simétrico de P con respecto al ejeZ es Q(-x, -y,z)g) El simétrico de P con respecto al origen es Q(-x, -y,-z)

Se dice que una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de cada punto, respecto a la recta L, es también un punto de la superficie.

Se dice que una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de cada punto, respecto al punto C, es también un punto de la superficie.

De las consideraciones anteriores, se deduce fácilmente la siguiente tabla:

VI. CONSTRUCCION DE LA SUPERFICIE (GRAFICA)

Con la ayuda de los pasos anteriores se construye la gráfica de una superficie.

Ejemplo: Discutir y graficar la ecuación 9 x2+4 y2−12 z=0

Solución

I. INTERSECCIONES CON LOS EJES.i. Con el eje X, haciendo y = z = 0 en la ecuación se obtiene

9x2=0→ x=0. La superficie intercepta al eje X en el origen de coordenadas.Comprobando las otras intersecciones se comprueba que le origen es el único punto de intersección.

II. TRAZAS SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS.i. Sobre el plano XY. Haciendo Z=0 se obtiene 9 x2+4 y2=0 .Esta

ecuación, en el plano XY, representa al origen de coordenadas.ii. Sobre el plano XZ. Se hace y=0 y se obtiene 9 x2−12 z=0. Esta

ecuación, en el plano XZ, representa a una parábola.iii. Sobre el plano YZ. Haciendo x=0 se tiene la parábola 4 y2−12 z=0

Si la ecuación de la superficie no se altera cuando se reemplaza:

La superficie es simétrica con respecto al :

x por -x Plano YZ

y por -y Plano XZ

z por -z Plano XY

z por -z ∧ y por -y Eje X

x por -x ∧ z por -z Eje Y

x por -x ∧ y por -y Eje Z

x por -x, y por -y ∧ z por -z Origen

III. SECCIONES TRANSVERSALES O SECCIONES PARALELAS A LOS PLANOS COORDENADOS

i. Al plano XY. Haciendo z=k en la ecuación de la superficie se obtiene 9 x2+4 y2=12k .Se observa que hay intersección solamente cuando k≥0 (si k =0 es un punto, si k>0 es una elipse)

ii. Al plano XZ. Reemplazando y=K en la ecuación de la superficie se obtiene: 9 x2+4 y2−12 z=0; esta ecuación representa a una parábola, ∀ k ϵ R

iii. Al plano XZ. Reemplazando y=k en la ecuación se tiene:

4 y2−12 z+9k2=0 ; Esta ecuación representa a una parábola, ∀ k ϵ R

IV. EXTENSION

De III (iii) se obtiene: X ϵ RDe III (ii) se obtiene: Y ϵ RDe III (i) se obtiene: Z ϵ ¿

V. SIMETRIAS.

La superficie es simétrica son respecto al plano YZ, al plano XZ y al eje Z.

VI. GRAFICA.

Superficies Cuadricas

Una superficie cuadrica o simplemente cuadrica es la grafica de una ecuación de segundo grado en las 3variables x,y,z. La forma más general de tal ecuación es:

Ax2+By2+Cz2+ Dxy+Eyz+Fxz+Gx+ Hy+ Iz+J=0

donde A,B,C,…,J son constantes, pero por traslación y rotación puede llevarse a alguna de las dos formas estándar.

Ax2+By2+Cz2+J=0⋀ Ax2+By2+ Iz=0

Algunas superficies cilíndricas o superficies de revolución son ejemplo de Cuadricas. En este informe se dará algunas formas estándar de las superficies Cuadricas cuyas ecuaciones están en su forma más simple.

Las superficies a estudiar son las siguientes:

ESFERA

CILINDROS

ELIPSOIDE

HIPERBOLOIDE ELIPTICO o CIRCULAR DE UNA HOJA

HIPERBOLOIDE ELIPTICO o CIRCULAR DE DOS HOJAS

PARABOLOIDE ELIPTICO o CIRCULAR

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

CONO ELIPTICO o CIRCULAR

Esfera

Definición

En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de

un punto fijo llamado centro de la esfera, donde la distancia de cualquier punto al centro se llama radio.

La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro

Sea P(x, y, z) cualquier punto de la esfera de centro C(x0, y0, z0) y radio r >0, luego

d2 (P ,C )=r2 ó

Esta ecuación es llamada forma ordinaria de la ecuación de la esfera. Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación (2), tiene la forma:

( x )2+ ( y )2+ ( z)2=r2

Si la ecuación (2) se desarrolla, se obtiene una ecuación de la forma:

x2+ y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0……………………(3)

que es la ecuación de la esfera en su forma general.

Cualquier ecuación de la forma (3), completando cuadrados, se puede expresar en la forma.

( x−h )2+ ( y+k )2+( z+ l )2=t…………………………………. (4)

Si t> 0, (4) se representa a una esfera de centro C (h, k, l) y radio √ t

Si t= 0, (4) representa al punto C (h, k, l)

Si t< 0, (4) representa al conjunto vacio

CILINDROS

Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada, permaneciendo siempre paralela a una recta fija que no está en el plano de dicha curva. La recta que se mueve se llama generatriz del cilindro y la curva plana se llama directriz del cilindro.

( x−x0 )2+( y+ y 0 )2+( z+z0 )2=r2…………………(2)

Degeneradas de la esfera

Si la generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, el cilindro es llamado cilindro recto y en caso contrario, oblicuo.

Si la directriz es una recta, el cilindro es simplemente un plano; En lo que sigue, se considera que la directriz es una curva contenida en uno de los planos coordenados.

Supongamos que la directriz esta en el plano XY luego, su ecuación es de la forma E(x;y)=0, Z=0. Si p(x, y, z) es un punto del cilindro cuya generatriz tiene por vector dirección al vector:

a⃗=(a1 , a2 , a3)y si P0(x ´ , y ´ ,0) es el punto de intersección de la directriz con la P0satisface la ecuación de la curva, es decir.

E(x ´ , y ´ )=0 , x ´=0……………........(α)

La ecuación de la recta que pasa por P y P0es:

x−x ´a1

= y− y ´a2

= z−z ´a3

……………………..…..….(β)

es de (α) y (β) eliminando las variables x ´ , y ´ , z ´ se obtiene la ecuación del cilindro.

ELIPSOIDE

Su ecuación es de la forma:

x2

a2 + y2

b2 + z2

c2=1 donde a , b yc son numeros positivos

Observación:

En el espacio tridimensional, la grafica de una ecuación en dos de las tres variables x,y,z es un a cilindro cuya directriz es una curva que se encuentra en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable faltante, es decir:

1. E(x,y)=0 representa (en el espacio) a un cilindro.Directriz: E(x,y)=0 z=0⋀Generatriz: Eje Z (variable que falta en la ecuación)

2. E(x,z)=0 representa a un cilindro. Directriz: E(x,z)=0 y=0⋀Generatriz: Eje Y (variable que falta en la ecuación)

3. E(y,z)=0 representa a un cilindro.Directriz: E(y,z)=0 x=0⋀Generatriz: Eje X (variable que falta en la ecuación)

X ⋲ [-a,a]

Y ⋲ [-b,b]

Z ⋲ [-c,c]

Si a2=b2=c2 es una esfera.

Si a2=b2(ó b2=c2 , ó a2=c2) es un elipsoide de revolución o esferoide cuyo tercer número es

mayor que los dos números iguales, se llama esferoide alargado.(La elipse que la genera gira alrededor de su eje mayor).

Si el tercer numero es menor que los dos números iguales, se llama esferoide achatado (La elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).

Las secciones transversales a los planos coordenados son elipses o circunferencias. (En los planos x=±a, y=±b, z=±c, se reduce a un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto a uno de los planos coordenados, simétrica con respecto a cada uno de los ejes coordenados y simétrica con respecto al origen.

(x−x0)2

a2 +( y− y0)

2

b2 +¿¿

HIPERBOLOIDE ELIPTICO(O CIRCULAR) DE UNA HOJA

Su ecuación es de la forma:

x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 =1Óx2

a2 −y2

b2 + z2

c2 =1 ó

El origen es el centro del elipsoide. Si el centro del elipsoide es el punto O(x0, y0, z0), su ecuación es de la forma

−x2

a2 + y2

b2 + z2

c2=1

donde; a,b,c son números positivos.

En la figura se muestra la grafica de:

x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 =1 A continuacion se describe algunas propiedades deesta superficie .

x⋲←∞ ,−a¿∪¿

y ⋲ ←∞ ,−b¿∪¿

z⋲←∞ ,+∞>¿

Si a2=b2,es una superficie de revolución(hiperboloide circular de una hoja), si a2≠ b2, es la hiperboloide elíptico de una hoja, las secciones transversales al plano XY son elipses o circunferencias según si.

a2≠ b2, ó a2=b2

Las secciones transversales al plano XZ o el plano YZ son hipérbolas.(En los planos y=b, x=a son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto: a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen.

En el centro de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el centro es C(x0, y0, z0), su ecuación es de la forma.

(x−x0)2

a2 +( y− y0)

2

b2 −¿¿

HIPERBOLOIDE ELIPTICO(O CIRCULAR) DE DOS HOJAS

Su ecuación es de la forma.

−x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 =1 óx2

a2 −y2

b2 −z2

c2 =1 ó− x2

a2 −y2

b2 + z2

c2=1

Donde a, b y c son números positivos; en la figura se

muestra la grafica de −x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 =1.En lo que

sigue, se describe algunas propiedades de esta superficie.

x⋲←∞ ,+∞>¿

y⋲←∞ ,−b¿∪¿

z⋲←∞ ,+∞>¿

Si a2=c2, es una superficie de revolución (hiperboloide

circular de dos hojas).

Si a2≠ b2, es el hiperboloide elíptico según si a2=c2 ó a2 ≠ c2.(En el plano y=b, es un punto).Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen.El centro de esta superficie es el centro de origen de las coordenadas. Si el centro es C(x0, y0, z0), su ecuación es de la forma:

−(x−x0)2

a2 +( y− y0)

2

b2 −¿¿OBSERVACION

Las tres superficies Cuadricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e hiperboloide de dos hojas) también se denominan Cuadricas centrales. En general cualquier ecuación de la forma:

±(x−x0)

2

a2 ±( y− y0)

2

b2 ± ¿¿

Donde a, b y c son números positivos representa a una cuadrica central con centro en C(x0, y0, z0)

Si los tres signos son positivos : Elipsoide Si dos signos son positivos y uno es negativo: Hiperboloide de una hoja Si dos signos son negativos y uno es positivo: Hiperboloide de dos hojas Si los tres signos son negativos: el conjunto vacio.

PARABOLOIDE ELIPTICO (O CIRCULAR)

Su ecuación es de la forma

x2

a2 + y2

b2 =cz∧ x2

a2 +z2

b2 =cy∧ x2

a2 +z2

b2 =cx

Donde a y b son números positivos y c≠0

En la figura se muestra la grafica de x2

a2 + y2

b2 =cz , con c>0,

si c<0 el paraboloide se extiende hacia la parte negativa del eje Z. Las propiedades de esta superficie son:

x⋲¿−∞ ,+∞>¿

y⋲¿−∞ ,+∞>¿

z⋲¿Si c < 0, z⋲¿−∞ ,0¿

Si a2=b2, es una superficie de revolución (paraboloide

circular)

Si a2≠ b2, es el paraboloide elíptico.

Las secciones transversales al plano XY son circunferencias o

elipses según si a2=b2 ó a2≠ b2. (En el plano z = 0, la traza es

un punto)

Esta superficie es simétrica con respecto al eje Z, al plano XZ y al plano YZ.

El vértice de esta superficie es el origen de coordenadas. Si el vértice es V(x0, y0, z0), su ecuación es de la forma

(x−x0)2

a2 +( y− y0)

2

b2 =c (z−z0)

En los otros casos, la ecuación es de la forma.

( x−x0 )2

a2 +( z−z0 )2

b2 =c ( y− y0 ) ó

( y− y0)2

a2 +(z−z0)

2

b2 =c (x−x0)

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

Su ecuación es de la forma

y2

b2 −x2

a2 =cz∧ z2

b2 −x2

a2 =cy∧ z2

b2 −y2

a2 =cx

Donde a y b son números positivos y c≠0

En la figura se muestra la grafica de y2

b2 −x2

a2 =cz, con c > 0.

Las propiedades de esta superficie son:

x⋲¿−∞ ,+∞>¿

y⋲¿−∞ ,+∞>¿

z⋲¿−∞ ,+∞>¿

Las secciones transversales al plano XY son hipérbolas (En el plano z=0 son dos rectas que se cortan). Las secciones transversales al plano XZ y al plano YZ son parábolas.

Esta superficie es simétrica con respecto al eje Z, al plano XZ y al plano YZ. El origen de coordenadas es el punto silla (de montar) de esta superficie. Si el punto silla es S(x0, y0, z0), su ecuación es de la forma.

( y− y0)2

b2 −(x−x0)

2

a2 =c (z−z0)

En los otros casos, la ecuación es de la forma:

( z−z0 )2

b2 −( x−x0 )2

a2 =c ( y− y0 )

(z−z0)2

b2 −( y− y0)

2

a2 =c (x−x0)

Cono Elíptico o Circular

Su ecuación es de la forma

x2

a2 + y2

b2 =z2

c2 ∧x2

a2 + z2

b2 =y2

c2 ∧z2

a2 +y2

b2 = x2

c2

Donde a y b son números positivos.

En la figura se muestra la grafica de la superficie x2

a2 + y2

b2 =z2

c2 .

Esta superficie tiene las siguientes propiedades.

x ℝ⋲

y ℝ⋲

z ℝ⋲

Si a2=b2, es una superficie de revolución (cono circular)

Si a2≠ b2, es el cono elíptico. Las secciones transversales al

plano XY son circunferencias o elipses según si a2=b2 , ó

a2≠ b2.

En el plano z=0 la traza es el origen de coordenadas.

Las secciones transversales al plano XZ y al plano YZ son hipérbolas (En los planos y=0 y x=0 son dos rectas que se cortan).

Esta superficie con respecto: a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen.

El origen de coordenadas es el vértice de esta superficie. Si el vértice es V(x0, y0, z0), la ecuación es de la forma:

(x−x0)2

a2 +( y− y0)

2

b2 =(z−z0)

2

c2

En los otros casos, la ecuación es de la forma

(x−x0)2

a2 +(z−z0)

2

b2 =( y− y0)

2

c2 ó(z−z0)2

a2 +( y− y0)

2

b2 =(x−x0)

2

c2

SUPERFICIES CUADRICAS

ECUACION GRAFICA

ESFERA

( x−x0 )2+( y+ y 0 )2+( z+z0 )2=r2

CILINDROS Cuando una de las variables x,y,z faltan por ejemplo

x2

a2 + y2

b2 =1

ELIPSOIDE

x2

a2 + y2

b2 + z2

c2=1

donde a , b y c sonnumeros positivosHIPERBOLOIDE ELIPTICO o CIRCULAR DE UNA HOJA x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 =1óx2

a2 −y2

b2 + z2

c2=1

−x2

a2 + y2

b2 + z2

c2=1

HIPERBOLOIDE ELIPTICO o CIRCULAR DE DOS HOJAS −x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 =1 óx2

a2 −y2

b2 −z2

c2 =1 ó

−x2

a2 − y2

b2 + z2

c2 =1

PARABOLOIDE ELIPTICO o CIRCULAR x2

a2 + y2

b2 =czóx2

a2 +z2

b2 =cy

x2

a2 + z2

b2 =cx

PARABOLOIDE HIPERBOLICO y2

b2 −x2

a2 =cz óz2

b2 −x2

a2 =cy

z2

b2 −y2

a2 =cx

CONO ELIPTICO oCIRCULAR x2

a2 + y2

b2 =z2

c2 óx2

a2 +z2

b2 =y2

c2

z2

a2 +y2

b2 =x2

c2

TABLA DE LAS SUPERFICIES CON SUS RESPECTIVAS ECUACIONES

CONCLUSIONES

Al finalizar nuestra investigación llegamos a concluir:

Es necesario tener conocimientos de las Ecuaciones Cuadricas, por su importancia y aplicación en diversas carreras profesionales.

Para concluir podemos decir que en la vida cotidiana podemos observar varios tipos de superficie Cuadricas solamente hay que ser muy observadores.

Nos damos cuenta que las ciencias matemáticas son aplicables para llevar un estudio más minucioso en análisis y calculo de superficies.

ANEXOS