Sukcesivne (periodične) isplate-rente
Sukcesivne (periodične) isplate-
rente
2 n-2 n-1 n
RRRRRK
vn
vn-1
vn-2
...
v2
v1
0 1
n1 2 n-2 n-1 n-1
pn
r (r -1)K`=R (1+v +v +...+v +v )=R =R (1+IV )
r (r-1)
Rente
Renta je isplaćivana po proteku 4 godine od uplate u toku 4 godine dekurzivno, a zatim po proteku dvije godine od zadnje isplate početkom svake godine u naredne 4 godine. U prvoj seriji isplaćivalo se po 1000 a u drugoj po 2000 n.j., uz 5%. Koliko je iznosila uplata?
Rente
35
65
145
45 1
?
%5
20001000
IIIIIVRRIVK
K
p
RR
RENTA PRVE SERIJE
RENTA DRUGE SERIJE
Renta se isplaćivala krajem svakog polugodišta u toku 3 godine po 1000 n.j. Zatim je po proteku 3 godine od zadnje isplate isplaćivano po 2000 n.j. na početku svake godine, u toku naredne 4 godine. Kolika je uplata. Ako je k.s. 11%.
611
411
311 12000
200
111221000 IIIVIVK
Rente
RenteRenta se isplaćivala na sljedeći način: U toku prvih godinu i 6 mjeseci početkom
svaka tri mjeseca. U toku narednih godinu dana na kraju
svakog mjeseca. U toku narednih godinu i 6 mjeseci na kraju
svaka tri mjeseca, s tim da je svaka naredna renta manja od prethodne za 2%.
Kamata se obračunava tromjesečno, gdje je kamatna stopa za prve dvije godine i dva mjeseca 8% a za naredni period 10%.
Kolika je uplata?
Rente
52
3 62 2
1 92,5 2
6 61 92,5 26
1
3 1 23
200
3 1 2,53
200
1,025 0,98
1,025 1,025 0,98
K R IV
R IV II
R II II
R II II
Prva serija.
Druga serija, po prvoj kamatnoj stopi.
Druga serija, poslije promjene kamatne stope.
Zadnja serija.
RenteUlagano je u toku 4 godine na početku svakog
tromjesečja po ... n.j. Na bazi uplaćenih sredstava isplaćivana je renta u toku 8 godina na sljedeći način:
U toku prvih 5 godina svakog mjeseca po ... n.j. U toku naredne tri godine svakih pola godine po ...n.j.
Kamata za 4. godinu isplate iznosi 451.12 n.j.
Kamatna stopa je 4% (d) uz polugodišnje kapitalisanje.
Koliko je iznosio pojedinačan ulog, ako znamo da je renta druge serije veća od renta prve serije za 100%, iako je prva renta isplaćena po proteku 22 mjeseca od dana posljednje uplate?
Rente
4 6 42 2 2
2 6 22 2 2
7 3 10 6 102 2 2 2 2
451,12
2 56 2
200
2 56 2
200
12
400 2 800
2 3 2 52 1 400 6 800
200 200
x
y
x y
I
K R IV RIV II
K R IV RIV II
K R I K
R R
U III I IV IV II
RenteUlagano je u toku 5 godine na početku svakog
dvomjesečja po ... n.j. Na bazi uplaćenih sredstava isplaćivana je renta u toku 9 godina na sljedeći način:
U toku prvih 6 godina svakog tromjesečja po ... n.j. U toku naredne 3 godine svake godine po ...n.j.
Kamata za 4. godinu isplate iznosi 436,89 n.j.
Kamatna stopa je 6% (d) uz polugodišnje kapitalisanje.
Koliko je iznosio pojedinačan ulog, ako znamo da je renta druge serije veća od renta prve serije za 120%?
Rente
6 6 3 63 2 3 3
4 6 3 43 2 3 3
9 4 123 3 3
6 3 123 3 3
436,89
3 12 2,2 0,03200
3 12 2,2 0,03200
4
500 1100
3 4 3 13 1 500 2200 200
1100 0,03
x
y
x y
I
K R IV RIV V II
K R IV RIV V II
K R I K
R R
U III I IV
IV V II
Ulagano je 5 godina na početku svake godine. Po proteku 18 mjeseci od zadnje uplate, isplaćena prva renta od . . . n.j. i tako narednih 8 godina krajem svakog polugodišta. Koliki je pojedinačni ulog, aku je kamata za 3. i 4. godinu 4000, a kamatna stopa 5% (d).
Rente
35
55
85
55
200
5122
200
512244000
200
5*122
IVRIVRR
IVRUIII
Rente
Renta je isplaćivana prvih četiri godine na kraj svake godine, po 1000 n.j. U naredne četiri godine, rente su isplaćivane na kraj svakog polugodišta. Kolika je uplata ako je kamata za šestu godinu isplate 240 n.j.? Kamatna stopa 10%, godišnje kapitalisanje.
Rente
Uvedimo oznake:
R
R
RENTA PRVE SERIJE
RENTA DRUGE SERIJE
?
200
10122 4
10410
410
R
IIIVRRIVK
Rente
9607844,521
200
102
200
1022240 2
10310
R
IVRIVRR
Rente
Renta se isplaćuje na kraju svakih 6 mjeseci u toku 3 godine po 1400 n.j.. Zatim u toku naredne 2 godine na kraju svaka 2 mjeseca. U toku narednih 5 godina renta se isplaćuje na kraju svake godine. Kamata se obračunava polugodišnje. Kamatna stopa za prve 4 godine i 4 mjeseca je 6% a za naredni period 9 %. Kolika je uplata ako je renta druge serije manja od rente prve serije za 30%, a renta druge serije manja je od renta treće serije za 50%?
Rente
*
4 3 2 4,53,5
6
0,001 0,0015
0,0015
p
R R R R
R R
R
Prva renta zajedno s akamatom obračunatom na tu rentu u toku naredna 4mjeseca.
Druga renta u polugodištu u kome je došlo do promjene kamatne stope, zajedno sa pripadajućom kamatom.
Posljednja renta. Na nju se neobračunava jer ona i jeste realizovana na kraju posmatranog polugodišta.
Prosječna kamatna stopa za polugodište u kome je došlo do promjene.
63
2 63 3
* 1 83,5 3
1 1 84,5 3,5 3
10 2 1 1 84,5 4,5 4,5 3,5 3
3 1 33
200
3 1 4,53
200
4,5
100
K RIV
R IV II
R II II
R II II II
R IV V II II II
Renta prve serije.
Renta druge serije poslije promjene kamatne stope.
Renta koja je jednaka svim rentama u toku polugodišta u kome je došlo do prom+jene kamatne stope, prolongoranih na kraj polugodišta uvažavajaući prosti kamatni račun.
Renta druge serije prije promjene kamatne stope.
Zadnja serija.
RenteRenta se isplaćuje u toku 16 godina uz 6% (d) i
dvomjesečno kapitalisanje. U toku prvih 6 godina renta se isplaćuje na početku svakog dvomjesečja i konstantno se povećava za 0,2%. U toku narednih 8 godina renta se isplaćuje na početku svakog dvomjesečja po ... n.j. Posljednja renta se isplaćuje na kraju 16-te godine i iznosi ... n.j. Kolika je uplata ako je posljednja renta veća od renta druge serije za 900%, a renta druge serije manja od posljednje,rente prve serije za 10%. Kamata sadržana u posljednjoj renti je 752,29 n.j.
Rente
Uvedimo oznake:
R
R
R
RENTA PRVE SERIJE
RENTA DRUGE SERIJE
RENTA TREĆE SERIJE
Rente
Dakle, prvo moramo uzeti u obzir poznatu kamatu koja je sadržana u posljednjoj renti:
131
35
1 752,29 6200
10 75,229
0,9 77,94221,002
R II R
RR
RR
RR
Rente
Za prvu seriju imamo:
36 36
36
1,01 1,01 1,002
1,01 1,01 1,002R
Rente
Za drugu seriju ( koju trebamo diskontovati za 36 perioda) imamo:
4811R IV
Posljednju rentu, budući da se radi o pjedinačnom iznosu diskontujemo drugim tablicama za 96 perioda.
Rente
Uzmimo izraz za rentu prve serije, druge serije i našu posljednju rentu, te ih sintetizujemo u jedinstven izraz, da bi dobili iznos koji treba biti uplaćen:
36 36
48 36 961 1 136
1,01 1,01 1,0021
1,01 1,01 1,002K R R IV II R II
Rente
Renta se isplaćuje u toku 12 godina uz 9% (d) i četvoromjesečno kapitalisanje. U toku prve 4 godine renta se isplaćuje na početku svake godine ... n.j. U toku narednih 6 godina renta se isplaćuje na kraju svakog četvoromjesečja i konstantno se smanjuje za 0,4%. Posljednja renta se isplaćuje na kraju 12-te godine i iznosi ... n.j. Kamata sadržana u posljednjoj renti iznosi 455,05 n.j. Kolika je uplata ako je posljednja renta veća od posljednje rente druge serije za 40%, a renta prve serije veća od prve renta druge serije za 180%?
Rente
63
18 1812 3 123 3 318
363
1 455,05 2344,9864
2800
1,03 0,9965994,86 2141,02
1,03 1,03 0,966
2800
x xR I R
R
K IV V II
II