CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS 3 CÁLCULO – Vol. 1 – 5ª Edição – James Stewart 1. Exercício 2 – pag. 223 Resposta: dy dx = 3 2 4 + 3 x . 2. Exercício 4 – pag. 223 Resposta: dy dx = sec 2 ( sen ( x ))cos( x ) . 3. Exercício 5 – pag. 223 Resposta: dy dx = e x 2 x . 4. Exercício 6 – pag. 223 Resposta: dy dx = e x cos(e x ) . 5. Exercício 8 – pag. 223 Resposta: ′ F ( x ) = 3(2 x − 1) x 2 − x + 1 ( ) 2 6. Exercício 9 – pag. 223 Resposta: ′ F ( x ) = 2 + 3x 2 41 + 2 x + x 3 ( ) 3 4 . 7. Exercício 12 – pag. 223 Resposta: ′ f ( t ) = sec 2 ( t ) 31 + tg( t ) ( ) 2 3 . 8. Exercício 15 – pag. 224 Resposta: ′ y = −me − mx . 9. Exercício 16 – pag. 224 Resposta: ′ y = 20sec(5 x ) tg(5 x ) . 10. Exercício 18 – pag. 224 Resposta: ′ h ( t ) = 12t 3 t 3 + 1 ( ) 4 t 4 − 1 ( ) 2 + 12t 2 t 3 + 1 ( ) 3 t 4 − 1 ( ) 3 . 11. Exercício 20 – pag. 224 Resposta: ′ y = 2 x ( x 2 + 1) 3 x 2 + 2 ( ) 2 3 + 2 xx 2 + 2 ( ) 1 3 . 12. Exercício 22 – pag. 224 Resposta: ′ y = −5e −5x cos(3x ) − 3 e −5x sen (3x ) . 13. Exercício 23 – pag. 224 Resposta: ′ y = e x cos( x ) cos( x ) − xsen( x ) ( ) . 14. Exercício 26 – pag. 224 Resposta: ′ G ( y ) = 4( y − 1) 3 ( y 2 + 2 y ) − 5( y − 1) 4 (2 y + 2) ( y 2 + 2 y ) 6 . 15. Exercício 27 – pag. 224 Resposta: ′ y = 1 r 2 + 1 − r 2 ( r 2 + 1) 3 2 . 16. Exercício 36 – pag. 224 Resposta: ′ y = e ktg( x ) k sec 2 ( x ) . 17. Exercício 37 – pag. 224 Resposta:
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS 3
CÁLCULO – Vol. 1 – 5ª Edição – James Stewart
1. Exercício 2 – pag. 223 Resposta:
€
dydx
=3
2 4 + 3x.
2. Exercício 4 – pag. 223 Resposta:
€
dydx
= sec2(sen(x))cos(x).
3. Exercício 5 – pag. 223 Resposta:
€
dydx
=e x
2 x.
4. Exercício 6 – pag. 223 Resposta:
€
dydx
= ex cos(ex ).
5. Exercício 8 – pag. 223 Resposta:
€
′ F (x) = 3(2x −1) x 2 − x +1( )2
6. Exercício 9 – pag. 223 Resposta:
€
′ F (x) =2 + 3x 2
4 1+ 2x + x 3( )34
.
7. Exercício 12 – pag. 223 Resposta:
€
′ f (t) =sec2(t)
3 1+ tg(t)( )23
.
8. Exercício 15 – pag. 224 Resposta:
€
′ y = −me−mx .
9. Exercício 16 – pag. 224 Resposta:
€
′ y = 20sec(5x)tg(5x) .
10. Exercício 18 – pag. 224 Resposta:
€
′ h (t) =12t 3 t 3 +1( )4
t 4 −1( )2
+12t 2 t 3 +1( )3
t 4 −1( )3.
11. Exercício 20 – pag. 224 Resposta:
€
′ y =2x(x 2 +1)
3 x 2 + 2( )23
+ 2x x 2 + 2( )13 .
12. Exercício 22 – pag. 224 Resposta:
€
′ y = −5e−5x cos(3x) − 3e−5xsen(3x).
13. Exercício 23 – pag. 224 Resposta:
€
′ y = ex cos(x ) cos(x) − xsen(x)( ) .
14. Exercício 26 – pag. 224 Resposta:
€
′ G (y) =4(y −1)3(y 2 + 2y) − 5(y −1)4 (2y + 2)
(y 2 + 2y)6.
15. Exercício 27 – pag. 224 Resposta:
€
′ y =1
r2 +1−
r2
(r2 +1)32
.
16. Exercício 36 – pag. 224 Resposta:
€
′ y = ektg(x )k sec2(x).
17. Exercício 37 – pag. 224 Resposta:
€
′ y = −2cos(θ)cot g(sen(θ))cossec2(sen(θ)) .
18. Exercício 39 – pag. 224 Resposta:
€
′ y =1+
12 x
2 x + x.
19. Exercício 41 – pag. 224 Resposta:
€
′ y =cos(x) cos(tg( sen(x))) sec2( sen(x))
2 sen(x).
20. Exercício 42 – pag. 224 Resposta:
€
′ y = 21+3x2
3x 2 x ln(2)ln(3) .
21. Exercício 44 – pag. 224 Resposta:
€
y = x .
22. Exercício 45 – pag. 224 Resposta:
€
y = −x + π .
€
23. Exercício 51 – pag. 224 Resposta:
€
2kπ +π2,3
e 2kπ − π
2,−1
, onde k
é um inteiro qualquer.
24. Exercício 52 – pag. 224 Resposta:
€
x = 2kπ e
€
x = 2kπ ±2π3
, onde k é um
inteiro qualquer.
25. Exercício 53 – pag. 224 Resposta:
€
′ F (3) = 28.
26. Exercício 63 – pag. 225 Resposta: a)
€
′ f (x) =4x
; b)
€
′ g (x) =1x
;
c)
€
′ F (x) =4 L(x)( )3
x; d)
€
′ G (x) = −1x
.
27. Exercício 65 – pag. 225 Resposta:
€
v(t) = ′ s (t) =5π2cos(10πt) .
28. Exercício 66 – pag. 225 Resposta:
€
v(t) = ′ s (t) = −Aωsen(ωt + δ) ;
a velocidade é zero quando
€
t =kπ −δω
, onde k é um
número inteiro qualquer.
29. Exercício 79 – pag. 226 Resposta: Observar que a medida x em radianos de
um ângulo de
€
θ graus é
€
x =π180
θ e usar a regra da
cadeia.
30. Exercício 80 – pag. 226 Resposta: b) f não é diferenciável para
€
x = kπ , onde
k é um número inteiro qualquer;
c) g diferenciável para
€
x = 0 .
31. Exercício 2 – pag. 232 Resposta: a)
€
′ y = −4x9y
; b)
€
′ y = ±(−4x)
3 36 − 4x 2.
32. Exercício 4 – pag. 232 Resposta: a)
€
′ y = −yx
; b)
€
′ y =x − 4
x.
33. Exercício 7 – pag. 232 Resposta:
€
′ y = −3x 2 + 2xy
x 2 + 8y.
34. Exercício 8 – pag. 232 Resposta:
€
′ y =2y − 2x3y 2 − 2x
.
35. Exercício 10 – pag. 232 Resposta:
€
′ y =2ex 2 xy − 2xy 3
5y 4 + 3x 2y 2 − ex 2.
36. Exercício 24 – pag. 232 Resposta:
€
dxdy
=ax 2 − 4 x 2 + y 2( )y4 x 2 + y 2( )x − 2axy
.
37. Exercício 25 – pag. 233 Resposta:
€
y = −x + 2.
38. Exercício 27 – pag. 233 Resposta:
€
y = x +12
.
39. Exercício 28 – pag. 233 Resposta:
€
y =33x + 4 .
40. Exercício 29 – pag.233 Resposta:
€
y = −113x +1613
.
41. Exercício 30 – pag. 233 Resposta:
€
y = −2 .
42. Exercício 35 – pag. 233 Resposta:
€
5 34, 54
,
5 34,− 54
, −
5 34, 54
, −
5 34,− 54
.
43. Exercício 38 – pag. 233 Resposta: A equação da reta tangente à curva no
€
x0,y0( ) é
€
y − y0 = −y0x0
x − x0( ) . Fazendo nessa
x = 0, obtemos
€
y = y0 + x0 y0 ; fazendo y = 0,
obtemos
€
x = x0 + x0 y0 . A soma x + y desses
valores é c.
44. Exercício 41 – pag. 233 Resposta:
€
′ y =1
2(1+ x) x.
45. Exercício 44 – pag. 233 Resposta:
€
′ h (x) =1− x1− x 2
arcsen(x).
46. Exercício 45 – pag. 233 Resposta:
€
′ H (x) =1+ 2x arctg(x)
47. Exercício 46 – pag. 233 Resposta:
€
′ y =1
2 + 2x 2.
48. Exercício 49 – pag. 233 Resposta:
€
′ y = −2e2x
1− e4x.
49. Exercício 50 – pag. 233 Resposta:
€
′ y = −sen(θ)
1+ cos2(θ).
50. Exercício 55 – pag. 234 Resposta: No ponto de interseção (1,-1) a inclinação
da tengente à primeira curva é 2 e a inclinação da
tangente à segunda curva é -0,5; no ponto de
interseção (1,1) a inclinação da tangente à primeira
curva é -2 e a inclinação da tangente à segunda curva
é 0,5. Logo as curvas são ortogonais.
51. Exercício 56 – pag. 234 Sugestão: Os pontos de interseção das duas curvas
são (3,2); (3,-2); (-3,2) e (-3,-2). A inclinação da
tangente à primeira em (x,y) é
€
xy
; a inclinação da
tangente à segunda em (x,y) é
€
−4x9y
.
52. Exercício 59 – pag. 234 Sugestão:
€
ax + by = 0 é a equação de uma reta pela
origem, cuja inclinação no ponto (x,y) é
€
yx
.
53. Exercício 60 – pag. 234 Sugestão: As inclinações da retas tangents às duas
familias de círculos num ponto de interseção são
€
′ y =a − 2x2y
e
€
′ y =−2x2y − b
. Mostre que o produto
dessas inclinações é -1.
54. Exercício 62 – pag. 234 Sugestão: As inclinações da retas tangents às duas
familias num ponto de interseção são
€
′ y = 3ax 2 e
€
′ y =−x3y
. Mostre que o produto dessas inclinações
é -1.
55. Exercício 63 – pag. 234 Resposta: A elipse cruza o eixo x nos pontos
€
3,0( ) e
€
− 3,0( ) . A inclinação das retas tangentes
à eleipse nesses pontos é a mesma: 2. Logo elas são
paralelas.
56. Exercício 64 – pag. 234 Resposta: No ponto (1,-1).