SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 1 1 Successioni RICHIAMI Una successione di elementi di un insieme X è una funzione f: N → X . E’ convenzione scrivere fn x n () = , e indicare le successioni mediante la “infinitupla” ordinata delle immagini di f : ( 29 x x x x n 0 1 2 , , , ...... , , ...... o anche compattamente con ( 29 x n n N ∈ . La nozione di limite (per n →+∞ ) di una successione è un caso particolare di limite di funzio- ne. Seguendo la convenzione precedente: lim lim n n n x fn →+∞ →+∞ = () Ad esempio, se la successione è ( 29 x n n n = + + 1 2 3 lim 1 2 3 1 2 n n n →+∞ + + = (si ricordi che lim 1 2 3 1 2 x x x →+∞ + + = ) Si ricordino le successioni: a) Progressione geometrica di ragione q. Sia q ∈ R. La progressione geometrica di ragione q è la seguente successione: ( 29 1 2 3 ,, , , ....... , , .... qq q q n . Si ha: lim se 1 se 1 1 se 1 non esiste se 1 n n q q q q q →+∞ = + ∞ > < = ≤- 0 b) Successione armonica ( e armonica generalizzata): La successione armonica è la successione degli inversi dei numeri interi: 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , ..... 1 ,... n
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SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE 1 RICHIAMIcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/9335N/modulo/teomate6.pdf · Come controesempio si consideri la serie armonica ∑ ∞ =1 1 n n; il suo
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SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 1
1 Successioni
RICHIAMI
Una successione di elementi di un insieme X è una funzionef : N→ X .E’ convenzione scrivere f n xn( ) = , e indicare le successioni mediante la “infinitupla” ordinata delle immagini di f :
( )x x x xn0 1 2, , ,......, ,......
o anche compattamente con ( )xn n N∈. La nozione di limite (per n → +∞ ) di una successione è un caso particolare di limite di funzio-
ne. Seguendo la convenzione precedente:lim limn
nn
x f n→+∞ →+∞
= ( )
Ad esempio, se la successione è ( )xn
nn = ++
1
2 3
lim1
2 3
1
2n
n
n→+∞
++
= (si ricordi che lim1
2 3
1
2x
x
x→+∞
++
= )
Si ricordino le successioni:a) Progressione geometrica di ragione q.Sia q ∈ R. La progressione geometrica di ragione q è la seguente successione:
( )1 2 3, , , ,......., ,....q q q qn . Si ha:
lim
se 1
se 1
1 se 1
non esiste se 1
n
nq
q
q
q
q
→+∞=
+∞ ><=
≤ −
0
b) Successione armonica (e armonica generalizzata):La successione armonica è la successione degli inversi dei numeri interi:
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 5 Si ricordi la seguente importante proprietà generale delle serie:
Condizione necessaria di convergenza: Se una serie ann=
∞
∑0
converge, allora necessariamente il suo termine generale tende a 0.
In simboli: 0lim0
=⇒∈=∞→
∞
=∑ nnn
n aSa R .
Si osservi che la condizione 0lim =∞→ nn
a è necessaria, ma non sufficiente, affinché la serie converga.
Come controesempio si consideri la serie armonica ∑∞
=1
1n n
; il suo termine generale tende a zero, ma la serie diverge, come visto negli
esempi precedenti. La proprietà precedente si utilizza molto spesso per vedere se una serie non converge, cioè:
se il termine generale di una serie non tende a zero, la serie non può convergere. Per le serie a termini di segno costante (cioè o tutti positivi o tutti negativi, almeno da un certo indice in avanti), si ricordino i criteri del rapporto, della radice e del confronto. Criterio del rapporto
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 6 Criterio del confronto
Date le serie ann=
∞
∑0
e bnn=
∞
∑0
tali che a bn n≤ (almeno da un certo n0 in poi):
(i) Se bnn=
∞
∑0
converge, allora ann=
∞
∑0
converge;
(ii) Se ann=
∞
∑0
diverge, allora bnn=
∞
∑0
diverge.
Per le serie a termini di segno variabile si ricordi la seguente definizione:
Si dice che la serie ann=
∞
∑0
è assolutamente convergente se converge la serie nn
a∑∞
=0 dei valori assoluti dei suoi termini.
Si ricordi che la convergenza assoluta di una serie ne implica la convergenza, come stabilito dal seguente teorema: Criterio di assoluta convergenza: Se una serie è assolutamente convergente, allora converge.
In simboli: nn
a∑∞
=0 converge ⇒ an
n=
∞
∑0
converge.
Per le serie a termini di segno alterno si ricordi il criterio di Leibniz: Criterio di Leibniz
Data la serie ( )−=
∞
∑ 1 nn
n
a0
(con a nn > ∀ ∈0, N),
se a a a an0 1 2≥ ≥ ≥ ≥ ≥........ ..... e se limn na→∞