-
1
2.2. Modelarea unor circuite electrice, sisteme mecanice,
electromecanice, hidraulice i termice cu ajutorul funciilor de
transfer
2.2.1. Modelarea circuitelor electrice
2.1. S se deduc funcia de transfer a generatorului electric din
figura 2.1, considernd c mrimea de intrare este tensiunea aplicat
nfurrii de excitaie , iar marimea de ieire este tensiunea generat
V2(s). Se cunosc inductana i rezistena nfurrii de excitaie, L i
R.
Fig. 2.1.
Solutie:
Se scriu ecuaiile generatorului cu ajutorul impedanelor
operaionale i se elimin curentul
sI ntre cele 2 ecuaii.
Observaie: pentru simplificarea scrierii, se va subnelege c
variabilele electrice sunt funcii de variabila s.
2
1
VkI
VRIsLI
De unde , prin mprirea celor dou ecuaii, se obine:
11
2
sR
L
R
k
RsL
k
V
VsH
Notnd R
kK
d i T
R
L rezult:
1
Ts
KsH
d
2.2. S se deduc funciile de transfer
sV
sVsH
1
2 ale circuitelor electrice din fig. 2.2
Fig. 2.2.
Soluie:
-
2
Dipolii din figura 2.2 (a, b, c) sunt divizori de tensiune
echivaleni circuitului din fig.1.2 (d), a
crui funcie de transfer este dat de relaia:
21
2
1
2
ZZ
Z
v
vsH
a)
1
1
1
1
1
1
1
2
TssCR
sCR
sC
sV
sVsH
a unde RCT
b)
1
1
1
1
1
1
12
1
21
2
21
2
2
sT
sT
CsRR
CsR
sCRR
sCR
sV
sVsH
b
unde CRT21
i CRRT212
;
11
11
1
1
1
1
1
1
1
c)
21112221
1122
2
2
11
1
2
22
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2
sCRsCRsCRsCR
sCRsCR
sCR
sCR
R
sC
sCR
sCR
sCR
sCR
sCR
sV
sVsH
c
Notnd :321222111
;; CRCRCR rezult:
1
1
321
2
21
21
2
21
ss
sssH
c
2.3. S se deduc funciile de transfer ale reelelor electrice din
fig 2.3 (a,b i c) folosind metoda de calcul cea mai convenabil.
Fig. 2.3.
Soluie: a) Se poate folosi fie metoda curenilor pe ochiuri, fie
metoda potenialelor la noduri.O folosim pe prima, utiliznd curenii
reprezentai n figur.
-
3
021
11
211
1212
IsC
RIsC
VIsC
IRsC
12121
1
21
11
01
1
21
22
21
1
22
12
1
1
2
12
2
sRRCsCRR
sCV
CssC
sCR
sC
sCR
VsC
sCR
sC
sCsCR
sC
VRsC
I
1221
22
21
11
12112
sRRCsCRR
VsCRVIRVV
12
12
12
22
21
2
22
21
1
2
CsRRsCRR
CsRsCRR
V
VsH
a
b) i n acest caz, se poate folosi fie metoda curenilor pe
ochiuri, fie metoda potenialelor la noduri. Utiliznd-o pe ultima se
scriu ecuaiile:
0
01
22
3
2
3
2
2
1
1
1
sCVR
VV
R
VV
R
VsC
RVV
A
AA
A
de unde se obine sistemul echivalent:
01
1111
22
33
11
13
2
321
VsCRR
V
VsCRR
VVsC
RRR
A
A
Rezult:
2
33
3
1
321
3
11
1
1
321
2
11
1111
01
1111
sCRR
RsC
RRR
R
VsCR
sCRRR
V
2
3
21
2
321
2
3
1
2
33231
11
13
1111111
11
RCCs
RRRsC
R
Cs
RRRRR
VsCRR
Funcia de transfer sub forma canonic are forma:
-
4
1
1
21
323121
2
2
21
321
21
11
21
2
1
2
sRR
RRRRRRCs
RR
RRRCC
sRC
RR
R
V
VsH sau
1
1
32
2
21
1
sTTsTT
sTKsH
d unde
21
321
23
21
32
22111
21
2;;;
RR
RRRCT
RR
RRCTRCT
RR
RK
d
c) Folosind teorema lui Thevenin se echivaleaz partea din reea
care conine generatorul de
tensiune sV1
, inductana 1
L i rezistena 1
R cu un generator echivalent avnd tensiunea
electromotoare i impedana intern:
11
11
1
11
1'
1;
sLR
sLRZsV
sLR
RsV
g
Circuitul are forma din fig.2.3 d i, pentru deducerea funciei de
transfer, se folosete relaia divizorului de tensiune:
11
1
22
11
11
2'
1
2
2
1
2
sLR
R
RsLsLR
LsR
RV
sLZ
R
V
V
g
Sub forma canonic, funcia de transfer va avea forma:
1
1
2
1
2
2
1
12
2
2
1
11
2
sR
L
R
L
R
Ls
R
L
R
LV
VsH sau
1
1
321
2
21
sTTTsTT
sH unde 3
3
3
2
2
2
1
1
1;;
R
LT
R
LT
R
LT
2.4. S se calculeze funciile de transfer ale circuitelor din
fig.1.4 a,b i c i s se scrie sub forma canonic; s se precizeze
legea de reglare asigurat de fiecare circuit dac sunt folosite ca
regulatoare.
Fig. 2.4.
-
5
Soluie: Circuitele studiate sunt echivalente circuitului din
figura 2.4 d. Se aplic prima
teorem a lui Kirchhoff in nodul A, se exprim curenii sI1
i sI2
cu ajutorul tensiunilor
de intrare i de iesire innd seama de faptul c potenialul nodului
A este nul.
2
2
1
1
Z
VV
Z
VVAA
Rezult:
1
2
1
2
Z
Z
sV
sVsH
a) Pentru circuitul din figura 1.4 a
2
2
11
1
1
1
1
1
1
1;
11
1
sCZ
RsC
R
sCR
sCR
Z
sCRC
C
sCR
RsC
RsC
R
sC
sV
sVsH
a
112
1
21
11
11
1
2
1
21
11
1
1
Circuitul este un regulator de tip PI avnd funcia de
transfer:
i
RR
sTKsH
11 unde
11
2
1; CRT
C
CK
iR
b) Pentru circuitul din fig. 2.4 b
22
11
1
1
1
1;
1
1
1
1
RZRRsC
sCRR
sCRR
sCRR
Z
sCR
RRsC
R
R
RRsC
sCRR
R
V
VsH
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
Circuitul este un regulator PD cu filtrare, avnd funcia de
transfer:
d
f
RRsT
sTKsH
1
1
1
unde: CRTRRCTR
RK
fdr ;;
1
1
2
c) Pentru circuitul din fig. 2.4 c
2
22
2
22
11
1
1
11;
1 sC
RsC
sCRZ
RsC
RZ
sCRCR
CR
sCRCRCR
CRCR
RsC
RRCCsRCRCs
RsC
RsCRsC
RsC
R
sC
RsC
sV
sVsH
2211
12
221121
2211
12
2121
2
2211
12
1122
11
1
2
22
1
2
11
111
1
1
Circuitul este un regulator PID:
-
6
d
i
RRsT
sTKsH
11
unde: 2211
21
2211
12
2211;;
RCRC
RCTRCRCT
RC
RCRCK
diR
2.5. S se calculeze funciile de transfer ale circuitelor din
fig. 2.5 a, b i c i s se scrie sub forma canonic; s se precizeze,
de fiecare dat, cu ce tip de regulator avem de a face.
Fig. 2.5.
Soluie: n toate cele trei scheme electrice intervine circuitul T
din fig. 2.5 d. n acest circuit,
curentul I care trece prin ramura 2
Z a divizorului de curent 32
, ZZ se determin n funcie de
curentul g
I , dat de generatorul V.
313221
3
32
3
32
32
1
32
2
ZZZZZZ
ZV
ZZ
Z
ZZ
ZZZ
V
ZZ
ZII
g
a) n cazul circuitului T din fig. 1.5 a 1
3,122111
1,
sCZRZRZ i
121111211
1
1
12111211
1
111
1
RRsCRR
V
sCRRRR
sCVI
2
2
2
21
sCR
VI
unde este un factor de reglaj neunitar determinat de poziia
cursorului poteniometrului P.
Din egalitatea 21
II rezultat, prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff n
nodul A, se
obin:
-
7
22
1211
1211
1
1211
2
121111211
22
2
1
21
1
1
11
11
1
RsC
RR
RRsC
RR
R
RRsCRR
RsCR
V
VsH
Circuitul este un regulator PI cu filtrare cu factorul de
amplificare reglabil:
if
RR
sTsTKH
11
1
1 unde
1211
21
RR
RK
R
;
1211
1211
1
RR
RRCT
f
;
22RCT
i
b) n circuitul T din fig. 2.5.b care genereaz curentul I1: 1
3,122,111
1
sCZRZRZ i:
121111211
1
1
12111211
1
11!
1
RRsCRR
V
sCRRRR
sCVI
n circuitul T care genereaz curentul 2
3212221,2
1,,
sCZRZRZI i:
222122221
2
2
22212221
2
221
1
RRsCRR
V
sCRRRR
sCVI
Aplicand prima teorem a lui Kirchhoff, n nodul A, rezult:
2221
2221
2
2
2221
1211
1211
1
1
1211 1
1
1
1
RR
RRsC
V
RR
RR
RRsC
V
RR
de unde:
1211
1211
1
2221
2221
2
1211
2221
1
2
1
1
RR
RRsC
RR
RRsC
RR
RR
V
VsH
b
notnd:
2221
2221
1211
1211
1211
2221;;
RR
RRT
RR
RRT
RR
RRK
dfR
Funcia de transfer de forma: d
f
RRsT
sTKsH
1
1
1, n concluzie, circuitul etse un regulator
PD cu filtrare.
c) Pentru circuitul T din fig. 2.5 c care genereaz curentul
1
31221111
1;;:
sCZRZRZI i
-
8
121111211
1
1
12111211
1
111
1
RRsCRR
V
sCRRRR
sCVI
Pentru circuitul T care d curentul 3
3
2
22312
1;
1;;
sCZ
sCRZRZI i
33322
22
3
3
2
22
32
22
3
3
212
11111
1
RRsCRsC
sCV
sC
R
sC
RsC
sCsC
RsCR
sCVI
Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff n nodul A, 21
II , rezult
121111211
1
RRsCRR
V
sCRRsCRsC
sCV
233322
22
11
de unde:
2
3233223232
2
1211
1211
1
12111
21
1
11
sC
sRCRCRCRRCCs
RR
RRsC
RRV
VsH
c
Circuitul este un regulator PID cu filtrare, avnd funcia de
transfer:
d
if
RRsT
sTsTKsH
11
1
1 unde
33232
3322
33232
1211
1211
1
21211
32232;;
CRCRR
CRCRTCRCRRT
RR
RRCT
CRR
CRCRRK
di
fR
2.6. S se determine funcia de transfer a circuitului din fig.
2.6 a, s se scrie sub forma canonic i s
-
9
se explice funcia lui.
Fig. 2.6.
Soluie : Schema echivalent a circuitului analizat este redat n
figura 2.6.b unde:
22
2
2
2
2
2
2
1
11
1
11
11
1
;11
RsC
R
sCR
sCR
ZsC
RsC
sCRZ
aa
a
a
a
a
a
a
RsC
R
sCR
sCR
Z
11
1
n situaia n care 2
ZZa
si 2
ZRb , se poate scrie:
sVR
RsZsVsV
RsZ
RsV
b
ba
ba
b '
222
'
2
b
ba
R
RZ
V
V
V
VsH
1
'
2
1
2
Deoarece
1
2
1
'
2
Z
Z
V
V rezult c
b
ba
R
RZ
Z
ZsH
1
2
nlocuind expresiile impedanelor Z1, Z2, Za n expresia funciei de
transfer, rezult
-
10
b
b
aa
a
R
RsRC
R
sRCsRC
sRCsH
1
112211
21
1112211
21
sRCR
sRRCRR
sRCsRC
sRC
aab
ababa
1
1
112211
21
sRC
sRR
RRC
sRCsRC
sR
RRRC
aa
ba
ab
a
b
ba
Folosind notaiile:
aa
b
ba
dRCTRCT
R
RRRCT
"
22221;;
11
2
1
ba
b
ba
b
RR
R
R
R
RR
R
Funcia de transfer devine:
1
1
11
1
"
"
2
sT
sT
sTsT
TsH
Circuitul realizeaz derivarea semnalului, constanta de timp de
derivare fiind Td. De asemeni, el efectueaz filtrarea semnalului
datorit elementelor de ntarziere de ordinul I care au constantele
de
timp d
T i T2 i datorit elementului de avans ntarziere cu constantele
de timp T i T, element la
care predomin ntrzierea deoarece constanta adimensional avnd
1
Circuitul este o parte constitutiv a regulatorului liniar
continuu ELC1130 din sistemul de automatizare romnesc SEROM i,
anume, modulul de derivare D
2.7. n fig. 2.7 este reprezentat un regulator cu legi de reglare
diferite pentru canalul erorii (t) i canalul semnalului de ieire,
y(t). Semnalul de referin r(t), introdus cu semn schimbat, semnalul
de pe calea de reacie y(t) i semnalul de la ieirea regulatorului
u(t) sunt tensiuni fa de mas iar R(s), Y(s) si U(s) sunt
transformatele Laplace ale acestor mrimi. Se poate scrie:
Fig. 2.7.
-
11
i
Rr
sTK
RsCR
R
R
sCR
sR
sUsH
11
11
1
221
2
1
2
2
unde 22
1
2; RCT
R
RK
iR
22
11
1
2
12
1122
1
1
1
1
2
2
111
11
1
1
1
RsCRsC
R
R
RsC
RsCRsC
sCR
sCR
sCR
sY
sUsH
y
i
dR
sTsTK
111 unde
11RCT
d
Transformata Laplace a semnalului de eroare tytrte , notat cu
E(s) are expresia:
d
i
R
i
R
yRsT
sTK
sTK
sUsH
sU
sH
sUsYsRsE
11
1
1
11
1
d
d
i
R
sT
sT
sTK
sU
11
1
de unde:
i
d
d
R
e
sTsT
sT
K
sE
sUsH
111
Se observ c semnalul de pe calea de reacie este derivat n timp
ce semnalul de referin nu este; n felul acesta chiar dac r(t) este
de forma unui semnal treapt, nu exist riscul apariiei unor
impulsuri Dirac n componena semnalului u(t).
2.8. S se determine funcia de transfer a regulatorului din
figura 2.8. Mrimea U(s) este
transformata Laplace a semnalului de ieire al regulatorului
u(t), iar E(s) este transformata
Laplace a semnalului de eroare , unde y(t)este mrimea de ieire
a
sistemului automat controlat de regulator.
Fig. 2.8.
-
12
Soluie: Semnalele r(t), y(t) i u(t) sunt tensiuni ntre punctele
menionate i mas. R(s), Y(s),
U(s), V1(s), V2(s) i V3(s) sunt transformatele Laplace ale
acestor tensiuni si ale tensiunilor v1(t), v2(t) i v3(t).
Etajul constituit din amplificatorul A1 mpreun cu rezistenele R1
i R2 joac rolul elementului de comparaie. Se aplic prima teorem a
lui Kirchhoff n nodul A:
(2.8.1)
i din aceast relaie, rezult: (2.8.2)
Amplificatorul A2 mpreun cu elementele pasive R3 i C1 constituie
un regulator de tip I. Aplicnd relaia 2...... pentru acest etaj,
rezult:
(2.8.3)
de unde: (2.8.4)
Amplificatorul A3, rezistenele R4, R5, R6 i condensatorul C2
constituie un regulator de tip PD. Curentul I5 prin rezistena R5
este, conform relaiei 2......:
(2.8.5)
aplicnd prima tensiune a lui Kirchhoff n nodul B, rezult:
(2.8.6)
de unde:
(2.8.7)
Amplificatorul A4 este un sumator inversor:
(2.8.8)
nlocuind, n (2.8.8), expresia tensiunii V1, dat de (2.8.2) i
prelucrnd-o, rezult:
(2.8.9)
(2.8.10)
n concluzie, regulatorul este de tip PID ai crui parametrii sunt
dai de relaiile:
(2.8.11)