7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
1/36
1
ABSTRACT
Until recent years, the history of modern modal logics and of related philosophical
developments has been mostly uncontroversial, in part due to the small amount of literaturewritten on the subject. This paper uses the most recent historical work on modal logic and
possible-world semantics that has thrown a new light on the history of the field. We conclude
that, even though Kripkes paternity of some important concepts and formal methods is now
wholly excluded, he remains in large part due to his elegant and simple way of handling what
had been considered until him rather difficult and obscure ideas, the most prominent logician
of what has been called the classical period of modern modal logic. We end the paper by
signaling and describing the most important areas of contemporary research in modal logic.
REZUMAT
Acest referat valorific cercetri de dat recent nistoria logicii modale moderne i a
dezvoltrilor filosofice din jurul acestora. Studiile lui Copeland sau Goldblatt i mrturii noi
ale pionerilor acestui domeniu ne permit astzi s privim istoria timpurie a logicii modale i a
semanticilor Kripke ntr-o alt lumin, recunoscnd merite multiple pentru realizrile care au
marcat dezvoltarea uluitoare a acestei discipline n ultima jumtate de secol. Kripke rmne
totui cea mai important figur a epocii clasice a istoriei logicii modale moderne, n mare
parte datorit manierei sale simple i elegante de a trata idei considerate nainte dificile i
obscure. n ultimul capitol, am semnalat i descris succint cele mai importante subramuri ale
logicii modale contemporane.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
2/36
2
1. Studiul modalitilor naintea epocii clasice a logicii modale
Noiunile modale au n spate o tradiie filosofic ndelungat i respectabil, dar nu pot
fi nici reduse la aceasta, nici aprate exclusiv pe temeiul ei. Pe lng faptul c necesitatea i
posibilitatea (sau corelatele lor i celelalte modaliti epistemice, deontice, temporale .a.)
apar i n discursulaltor forme de cunoatere (i m refer, n principal, la tiinele naturalei
matematic), aceste modaliti fac parte din limbajul cotidian, par nscrise n mindset-ul care
direcioneaz evalurile pe care le facem n mod curent, chiar dac acestea sunt nesistematice
i lipsite de rigoare. Probabil cea mai mare provocare pentru un sceptic n privina
modalitilor ar fi s arate c acestea sunt dispensabile la nivelul limbajului natural, c pot fi
nlocuite aici fr probleme sau rest. La fel de bine putem ns admite c abundena acestor
noiuni nu cauioneaz un entuziasm modal fr margini de genul celui ocazionat de boom-
ul teoretic post-kripkean. Dar nainte de toate trebuie s ne definim termenii, nu fr a observa
c n acest moment, datorit centralitii acestei teme n cercetarea logico -filosofic de astzi
i a cantitii uriae de literatur scris pe acest subiect, multe elucidri informale trec foarte
repede, uneori complet peste acest stagiu iniial.
Dup modelul din(Goldblatt 2006, 2-3), spunem c o modalitate este orice cuvnt sau
fraz care aplicat()unui enun S genereaz un nou enun care face o aseriune privind modul
adevrului lui S: despre cum, unde sau cnd S este adevrat sau despre circumstanele n care
S poate fi adevrat. Definiia lui Goldblatt este general i fr parti pris-uri filosofice o
acceptm aadar fr obiecii. Pe msur ce vom intra mai profund n subiectul propus, va fi
tot mai dificil s regsim aceast neutralitate teoretic.
Aa cum reiese din titlul acestui capitol, vom trata acum istoria timpurie a studiului
tehnic al modalitilor, pe care o putem plasa ntre ultimele decenii ale secolului XIX i
sfritul anilor 50, nceputul anilor 60 ai secolului trecut, cnd apar importantele lucrri ale
lui Kripke i Hintikka i logica modal i atinge faza de maturitate sau, dup (Blackburn, deRijke i Venema 2001, 72), logica modal intr n epoca sa clasic. Studii recente ntreprinse
de Blackburn, Goldblatt, Copeland ne permit astzi s avem o viziune de ansamblu asupra
acestui domeniu, dar ne oblig i la cteva schimbri de accent n raportarea la acest spaiu
teoretic, n special n ce privete asumpiile i implicaiile filosofice. Nu ne vom opri aici la
preistoria logicii modale (fr conotaii peiorative), nu din cauz c am desconsidera acest
domeniu, dar el merit o abordare mult mai vast, contribuiile lui Aristotel, Duns Scotus,
Ockham sau Leibniz la gndirea modal sunt subiecte crora nu le putem face dreptate ntr-un spaiu limitat. Se cuvine totui s subliniem c discursul modal ocup un loc important n
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
3/36
3
cadrul logicii aristotelice i s-a bucurat de o tratare sistematic remarcabil n cadrul
scolasticii medievale. Astzi maturitatea i complexitatea logicii scolastice, pe lng
adecvarea remarcabil cu teoria filosofic general pe care i-a propus s o serveasc, sunt
aspecte stabilite. Raionamentele modale joac un rol important n cadrul logicii medievale
pentru c aristotelismul medieval se ntemeiaz pe un punct de vedere modalist, adic pe o
form de gndire n carepotenialitile lucrurilor sunt centrale, tot la fel cum noiunile de
prim importan ale metafizicii aristotelice admit i ncurajeaz acest tip de discurs. Dar, aa
cum spuneam, subiectul este prea vast ca s-l tratm aici ntr-un mod satisfctor. Nevom
preocupa aadar aici de studiul formal al modalitilor, adic de abordrile moderne, care
folosesc mijloacele logicii matematice dezvoltate la sfritul secolului XIX i nceputul
secolului XX prin contribuiile lui Frege, Russell, Wittgenstein, Carnap, Gentzen, Hilbert .a.
Ceea ce nu nseamn c nu vom face trimiteri, acolo unde credem de cuviin, la sursele
filosofice i abordrile timpurii ale unor idei care sunt prezente n gndirea occidental cu
mult naintea demersurilor moderne.1
1.1. Modalitile nainte de C. I. Lewis
Copeland situeaz nceputul epocii moderne a semanticii lumilor posibile n
contribuia lui Peirce, care propunea analiza condiionalului filonian n termenii cuantificrii
peste lumile posibile (Copeland 2002, 99). n studiul lor fundamental, Bull i Segerberg
disting trei tradiii majore care au contribuit la dezvoltarea logicii modale: tradiia sintactic,
tradiia algebric i cea model-teoretic - n principal semanticile lumilor posibile (Bull i
Segerberg 1984). Reprezentanii cei mai importani ai ultimelor dou moduri istorice de
abordare i-au elaborat n prim faz contribuiile n interiorul uneia dintre tradiii, de regul
fr s se inspire foarte mult din rezultatele obinute de cealalt parte. Dup consacrarea
logicii modale prin Kripke i Hintikka, o bun parte din cele mai importante contribuii ndomeniu le aparine celor care s-au ocupat de descoperirea i evidenierea corelaiilor dintre
algebra modal i semanticile lumilor posibile. Astzi se tie c aceste dou tipuri de abordare
sunt strns legate (ct despre corelaia dintre tradiiile sintactic i model-teoretic, n acest
caz se poate vorbi mai degrab de o continuare aprimeia, mai limitat, prin cea de-a doua). n
1tim bunoar c Aristotel sesiza deja diferena fundamental de dicto-de re, c Leibniz nu este neaprat
primul care s discute despre lumi posibile multe din problemele contemporane ale teoriei modale pot fi
identificate i nainte de secolul logicii matematice, tot la fel cum mijloacele formale pot contribui semnificativla reinterpretarea unor noiuni i teze filosofice tradiionale.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
4/36
4
aceast relatare nu vom separa cele trei tradiii, singurul criteriu de ordonare fiind cel
cronologic. Aceast strategie ne va permite s sesizm mai bine importana fiecrei contribuii
(algebric, sintactic, model-teoretic sau filosofic) nmomentul istoric n care s-a produs.
Logica propoziional modern a nceput ca algebr, cu contribuia lui Boole. (...)
acelai lucru este adevrat n privina logicii modale moderne, prin contribuia lui MacColl.
(Goldblatt 2006, 9). Gnditorului englez i revine onoarea de a fi fost primul logician modern
care a propus un tratament formal al modalitilor (a publicat pe acest subiect ntre 1880 i
1906), interpretate de el ca operatori propoziionali care pot fi adugai algebrei boolene.
Vedem aadar c prima abordare modal cu adevrat formal vine din cadrul tradiiei
algebrice. MacColl propune doi operatori notai cu (este cert c) i (este imposibil c),
care sunt ataai literelor sau combinaiilor de litere propoziionale n superscript dreapta.
Logicianul englez observ deja c cele dou simboluri greceti sunt repetabile, cu alte cuvinte
observ c modalitile se pot itera la infinit. Importana acordat contribuiilor lui MacColl
este variabil n funcie de orientrile sau angajamentele celor care l menioneaz. Astfel,
pentru Blackburn, de Rijke i Venema, care scriu n continuarea direct a interpretrii
semantice a modalitilor realizat de van Benthem, este dificil s sesizeze legturi
semnificative ntre abordarea lui MacColl i problemele contemporane din logica modal(vz.
Blackburn, de Rijke i Venema 2001, 38). Goldblatt, un specialist n algebre modale, i acord
ceva mai mult atenie, pentru a conchide totui, similar cu autorii mai sus menionai, c
stilul lui MacColl, specific logicienilor de secol XIX, l situeaz pe acesta n premodernitatea
logicii modale. O abordare de secol XIX, pentru Goldblatt, nseamn c se ofer o descriere a
semnificaiilor i proprietilor operaiilor logice, dar n contrast cu ateptrile contemporane,
nu i o definiie formal a clasei de formule luate n considerare, nici o axomatizare riguroas
a acestor operaii (adic precizarea unei mulimi de axiome i a unor reguli de inferen care
s permit derivarea teoremelor din axiomele sistemului formal, ceea ce am numi astzi
abordarea modern). (cf. Goldblatt 2006, 5)
Este cunoscut faptul c doi dintre prinii fondatori ai logicii matematice, Frege i
Russell, nu s-au aplecat asupra noiunilor modale, acestea fiind fie ignorate complet (Frege),
fie tratate neunitar, pasager sau colateral (Russell). Motivele celor doi gnditori pentru aceste
atitudini sunt probabil diferite. n privina primului, sunt de acord cu alturarea fcut de
(Benthem 1988, 13) ntre el i Kant. Frege nu era un kantian n toat puterea cuvntului, dar
unul dintre punctele sale de vedere n care putem identifica o ascenden kantian (chiar i
neasumat ca atare) privete chiar problema modalitilor. Dup logicianul german, a califica
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
5/36
5
o judecat cu ajutorul modalitilor nu adaug nimic n privina coninutului, ci ne spune ceva
mai degrab despre atitudinea noastr fa de acea judecat. Pentru Frege, noiunile modale
sunt epistemologice, i nu logice, i pot fi identificate cu cunoaterea adevrurilor universale,
respectiv particulare.
n ce l privete pe Russell, problema este ceva mai complicat, ntruct optica sa
asupra modalitilor nu este unitar, ba chiar la prima vedere poate prea inconsistent.
Totui, n ciuda opoziiei unui Dejnoka bunoar (Dejnoka 1999), punctul de vedere al
majoritii specialitilorortodoxia russellian, dac se poate spune aa este cel mai bine
ntemeiat pe textele filosofului britanic. Iar ortodoxia russellian afirm c i Russell mai
degrab desconsidera aceste noiuni. n 1905, el afirm deja fr echivoc: Comparative sau
superlative ale adevrului cum sunt cele implicate de noiunile de contingen i necesitate nu
exist.(Russell 1994, 520) Sau: ...nu exist nicio noiune logic fundamental de necesitate,
i deci nici de posibilitate. Dac aceast concluzie este valid, subiectul modalitii ar trebui
alungat din logic, din moment ce propoziiile sunt doar adevrate sau false. (Russell 1994,
520) Sau: O propoziie este doar adevrat sau fals i att: nu poate fi o problem de
circumstane. (Russell 1992, 194) n textul din care provin primele pasaje, Russell susine c
nu exist o concepie univoc asupra necesitii, ci un mnunchi de noiuni ntreptrunse. Dar,
ne putem ntreba, cum de distingem noiunile din mnunchi i care este punctul de referin
care i permite lui Russell s se declare nemulumit de echivocitatea noiunilor modale? Nu
cumva are el n vedere, chiar i neasumat, o noiune pur de necesitate logico-matematic?
Rspunsul la aceast ntrebare este dificil. Dar s observm c nsui Russell cauioneaz
ideea de adevr n toate lumile posibile n (Russell 1919, 192). Respingnd modalitile la
nivelul propoziiilor, el le admite la nivelul funciilor propoziionale. Totui, n ansamblu,
punct de vedere susinut i de Kripke sau Rescher, Russell nu este un susintor al noiunilor
modale.
Se poate argumenta c tot o deformaie filosofic este responsabil pentru rezervelelui Russell n privina modalitilor. Legtura dintre logica extensional i metafizica de tip
humean este destul de evident, cu toate acestea exegeze care s releve amnuntele istorice i
teoretice ale acestei corelaii sunt puine. Pn la critica recent din (Ellis 2001),
angajamentele metafizice ale criticii necesitii ntreprinse de Hume erau mai degrab
ignorate. n referatele viitoare i n tez, vom reveni la viziunea humean asupra necesitii. n
acest moment, se cere totui s subliniem cteva aspecte importante. Naterea logicii
extensionale i a doctrinei atomiste se petrec ntr-un cadru de gndire humean. Una dintresursele principale ale rezervelor lui Russell fa de noiunile modale este adeziunea sa la
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
6/36
6
tradiia empirist, n care critica necesitii fcut de Hume este central. Dac aceste afirmaii
sunt adevrate (fie i numai raportndu-ne la citatele de mai sus, simim deja aroma gndirii
humeene), atunci nu repudiem, ba chiar susinemo tez tare: logica extensional clasic este
un instrument construit pe potriva teoriilor empiriste. Desigur, nu facem greeala s afirmm
c formalismele ar spune ceva fr interpretare (prin ele nsele), doar c, aa cum logicii
modale i s-a reproat c ar fi un instrument adecvat pentru teoriile esenialiste, totaa i logica
extensional funcioneaz cel mai bine n frameworkul humean, unde lucrurile sunt atomi
separai i ineri, antrenai de pseudo-legi naturale care le sunt extrinseci i care, de fapt, nu
sunt altceva dect sesizri ale unor regulariti, generalizri fcute pe temeiul obinuinei.
Odat realizat acest fapt, ne este mai uor s nelegem linia quineean de gndire n privina
modalitii, direcie care include i scepticismul generalizat quineean, dar i realismul modal
tare al lui David Lewis. Acestea sunt motivate de o adeziune humean evident (i asumat,
de altfel, att de Quine, ct i de Lewis). Extensionalismul profesat de Quine nu mai este doar
preferina logicianului pragmatic pentru un instrument lipsit de defecte, ci s-ar putea s in de
o viziune de ansamblu asupra realitii. Nu spunem, n fond, mare lucru atunci cnd
accentum dependena metafizic a construciilor noastre intelectuale. C aceasta explic de
ce anumite instrumente se potrivesc mai bine unui anume tip de investigaie filosofic, n timp
ce altele servesc alte demersuri, nu e un secret. Dar desigur c aceasta nu descalific
respectivele instrumente, nici nu le calific definitiv ntr-un anume fel. Vom reveni mai trziu
la aceast discuie.
1.2. C. I. Lewis - naterea logicii modale moderne
Toi cei care au scris despre istoria logicii modale i-au acordat fr rezerve titlul de
printe al logicii modale moderne lui Clarence Irving Lewis. Nu doresc s-i contrazic, dar
subliniez totui c interesul primar al lui Lewis nu era de a oferi o teorie a modalitilor.Principala preocupare a lui Lewis era legat de faptul c logica clasic nu ofer o analiz
satisfctoare a implicaiei (acea implicaie care este constitutiv pentru inferenele valide, nu
implicaia material). Analiza de tip Frege-Russell (pentru care este sinonim cu este
fals c este adevrat i este fals) are de fapt n vedere un alt tip de condiional (cel
filonian), iar dac se consider c ea relev adevrata natur a consecinei logice(mai bine zis
dac susinem c implicaia material definit prin clasicele tabele este considerat lege de
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
7/36
7
deducie), ajungem la binecunoscutele paradoxuri. 2 Pentru Lewis, nicio analiz
verifuncionalnu poate surprinde adevrata semnificaie a lui implic din raionamentele
noastre. Acest motiv l-a condus pe logicianul american la ncercarea de a construi un calcul
propoziional ntemeiat pe un alt tip de relaie, implicaia strict (notat cu simbolul ).
Implicaia strict a lui Lewis este o relaie intensional, bazat pe accepia intensional a
disjunciei (accepia extensional fiind cea prin care se definete implicaia algebric) .
Disjuncia intensional este definit de Lewis ca fiind astfel nct cel puin una din
propoziiile disjunse este nmod necesar adevrat. (Lewis 1912, 523) Definiia implicaiei
stricte va fi atunci:
( )=Df ( )
unde simbolul st pentru operatorul modal este posibil c, iar restul simbolurilor
au aceleai semnificaii ca n logica propoziional.3Am introdus cu aceast ocazie operatorul
pentru posibilitate. Logica modal modern folosete n mod curent nc o modalitate: -
care nseamn este necesar c. Cei doi operatori sunt interdefinibili:
=Df
adic este necesar dac i numai dac nu este posibil (dup cum se poate defini i
posibilitatea analog, dac vom considera necesitatea ca noiune primitiv).4
Nu vom strui foarte mult asupra sistemelor lui Lewis, ntruct acesta este un subiect
bine acoperit. Trebuie totui s notm cteva idei, eseniale pentru expunerea ulterioar.
Astfel, remarcm c Lewis face parte dintre cei care au abordat strict sintactic logica modal.
Contribuia lui Lewis nu include o semantic formal, ci doar remarce disparate n aceast
privin. Ceea ce l las desigur n poziia de a nu putea obine rezultate de completitudine cu
privire la calculul propoziional construit. n prim faz (Lewis 1918), Lewis a elaborat un
singur sistem formal (Survey Sistem, numit dup lucrarea n care a aprut, mai trziu S3), dar
ulterior, n lucrarea clasic (Lewis i Langford 1959), el definete nc patru sisteme
(numerotate de la S1 la S5, unde vechiul sistem este echivalat cu S3). Neavnd mijloacelesemantice de a art c toate formulele acceptabile sunt derivabile n oricare dintre aceste
sistemepornind de la axiome i folosind reguli infereniale, pentru nici unul dintre acestea nu
se pot emite pretenii de ntietate (n cadrul formalismelor inventate de Lewis, dar i fa de
2O propoziie fals implic orice (adic, dac citim implic n sensul deductiv, orice poate fi dedus dintr-o
propoziie fals.) sau O propoziie adevrat este implicat de orice.3Se presupune c acestea sunt deja cunoscute.
4
Decizia asupra cror noiuni s fie considerate ca primitive se face innd cont de considerente formale i defacilitate n operare, dar i de argumente filosofice.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
8/36
8
oricare alt tip de formalism care poate fi construit), dect pe baza considerentelor de
intuitivitate sau uurin i elegan n operare.
O alt problem a operei lui Lewis sesizat n (Blackburn, de Rijke i Venema 2001,
39) este c sistemele sale modale nu sunt construite modular, ca n prezent. Lewis nupornete
de la un sistem propoziional de baz cruia s-i adauge axiome modale specifice, ci definete
sistemele sale direct n termenii implicaiei stricte. Sistemele lui Lewis includ toate
tautologiile logicii propoziionale, dar dac aceste calcule modale nu sunt concepute ca
extensii ale logicii propoziionale clasice, atunci acest lucru trebuie demonstrat printr-o
procedur extrem de laborioas. Abordarea modular a sistemelor formale a fost introdus de
Gdel (cf. Blackburn, de Rijke i Venema 2001, 181), care a artat c logica intuiionist
poate fi translatat n sistemul S4 al lui Lewispstrndu-se toate teoremele. Folosind i cteva
sugestii ale lui Becker, Gdel nu preia axiomatizarea lui Lewis i Langford, ci, considernd
operatorul drept primitiv, pornete de la sistemul standard al logicii propoziionale, cruia i
adaug axioma K (( ) ( )), specific tuturor sistemelor modale normale, plus
axiomele (axioma T) i (sau axioma 4) i regula de generalizare.Gdel nu
face parte propriu-zis din niciuna dintre tradiiile menionate mai sus, fiind interesat de
modaliti din punctul de vedere al logicii demonstrabilitii. Dar astzi stilul su de
prezentare a logicilor modale este predominant. n acest context, urmnd din nou o definiie a
lui (Goldblatt 2006, 8), vom spune c o logic se refer la orice mulime de formule care
include formulele valide ale logicii propoziionale i este nchis sub modus ponens i reguli
de substituie uniform. O logic este modal dac include axioma K - cel mai simplu sistem
modal normal este sistemul K, care are doar aceastaxiom modal specific i respect
regula necesitrii (din se poate deriva ).5
n lipsa unei semantici adecvate pentru sistemele modale, cele mai importante
rezultate ale perioadei sintactice erau teoremele de distincie ntre diversele formalisme (dou
sisteme genereaz mulimi diferite de formule). Metodele algebrice reprezentau o manierprivilegiat pentru asemenea demonstraii, fiinddup cum susin i(Blackburn, de Rijke i
Venema 2001, 39) - instrumentul-cheie al dezvoltrii logicii modale pn la sfritul anilor
5Termenul logic are aadar mai multe accepii distincte. Una dintre ele este cea clasic, n care subs tantivul
logic apare doar la singular, i este vorba de domeniul tiinific n ansamblu. A doua semnificaie utilizat n
mod curent este cea definit mai sus. O logic denumete un anumit sistem formal (i putem vorbi n acest sens
de o logic modal sau de mai multelogici modale (de ex., K, T, S4, S5 .a.). De asemenea, n cazuri n care
spunem logic modal (simplu) sau logic de ordinul nti sau logica predicatelor .a.m.d., ne referim la ontreag familie de sisteme logice bazate pe acelai limbaj.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
9/36
9
50. McKinsey a folosit metode algebrice pentru a demonstra decidabilitatea lui S2 i S4
(McKinsey 1941). Metoda folosit de acesta a fost de a artac pentru fiecare formul care nu
este o teorem a unuia dintre aceste sisteme, exist un model finit care satisface acea logic i
falsific formula considerat. Aceast proprietate este cunoscuta proprietate a modelului finit
(finite model property), dup numele dat de Harrop, care a demonstrat c orice logic
propoziional finit axiomatizabil care are proprietatea modelului finit este decidabil (cf.
Goldblatt 2006, 9).
Colaborarea aceluiai McKinsey cu Tarski a dus la elaborarea unei intrepretri
topologice a sistemului S4; Dummett i Lemmon s-au folosit de contribuiile lui McKinsey i
Tarski pentru a analiza diverse sisteme formale intermediare ntre S4 i S5. McKinsey a
demonstrat c n S2(i S1) exist o infinitate de modaliti complexe ireductibile. Parry a
artat c n sistemul S3exist 42 de modaliti ireductibile. Primele trei sisteme ale implicaiei
stricte sunt puin folosite astzi, nefiind nite instrumente de lucru facile. n schimb, pentru S4
i S5, axiomele de reduciepermit s se arate c n aceste sisteme exist 14, respectiv 6
modaliti fundamentale.
1.3. Contribuia lui Carnap
Prima abordare a modalitilor propus de Carnap n (Carnap 1937) era i ea una
sintactic. Ulterior,prolificul filosof i logician a renunat la acest tip de abordare, prin
(Carnap 1946) i (Carnap 1947), n care are meritul de a fi elaborat prima semantic pentru
logica modal. Inspirat, dup cum recunoate el nsui, de concepia lui Wittgenstein asupra
naturii adevrului logic, Carnap opereaz cu o modalitate numit L-adevr, pe care o
echivaleaz cu adevrul necesar al lui Leibniz i cu adevrul analitic al lui Kant. Carnap are,
de asemenea, meritul de a fi fost primul care a introdus tot n (Carnap 1946) noiunea de lume
posibil (i cea de adevr necesar ca adevr n toate lumile posibile) n elaborarea formal alogicii modale. Pn atunci, acest aspect fusesediscutat doar la nivel non-tehnic. Conceptul
pivotal al semanticii lumilor posibile realizate de Carnap pentru sistemul QS5 (S5 cuantificat)
este cel de descriere de stare, definit ca: o clas de propoziii care reprezint o stare de
lucruri particular posibil prin realizarea unei descrieri complete a universului de indivizi cu
privire la toate proprietile i relaiile desemnate de predicatele din sistem. (Carnap 1946,
50). O descriere de stare conine pentru fiecare propoziie atomar Si fie aceast propoziie, fie
negaia ei
Si, dar nu pe amndou. n mod informal, c o propoziie se verific ntr-odescriere de stare nseamn c aceast propoziie ar fi adevrat dac descrierea de stare ar
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
10/36
10
reprezenta starea actual a universului. Carnap remarc faptul c descrierile de stare
corespund lumilor posibile ale lui Leibniz sau strilor de lucruri posibile ale lui Wittgenstein.
(cf. Carnap 1947, 9) O propoziie va fi, deci, adevrat din punct de vedere logic pentru
Carnap (ceea ce el ar echivala cu necesitateasimpliciter) dac i numai dac este adevrat n
toate descrierile de stare (i posibil dac este adevrat n cel puin o descriere). Cei
familiarizai cu logica modal modern vor spune c totui lipsete ceva. Este vorba de ideea
unei relaii de accesibilitate ntre lumi sau descrieri de stare. Preocupat de a oferi o abordare
formal a concepiei despre adevrul logic exprimate de Wittgenstein n Tractatus, Carnap nu
s-a gndit s impun restricii asupra descrierilor de stare i a operat exclusiv cu clasa
universal a acestora. Astfel c, nu numai c el nu a putut s ajung la o demonstraie de
completitudine pentru sistemele tratate, dar semantica sa modal este incomplet. Este
momentul acum pentru cteva comentarii filosofice.
n primul rnd, aa cum am spus-o deja, Carnap recunoate c i este ndatorat lui
Wittgenstein i concepiei acestuia despre adevrul logic. Ce crede totui Wittgenstein n
privina necesitii? Propoziia 6.37 din Tractatus este destul de clar asupra orientrii
humeene a filosofului austriac: O constrngere, dup care ar trebui s se ntmple ceva,
fiindc s-a ntmplat altceva, nu exist.Exist numai o necesitate logic. Ideea unei descrieri
complete a lumii prin atribuirea de valori de adevr tuturor propoziiilor atomareapare deja n
Notele anterioare Tractatusului.Aceste idei se regsesc i n Tractatus, unde Wittgenstein d
condiiile de adevr ale tautologiilor i contradiciilor n termenii adevrului n toate
combinaiile posibile de stri de lucruri. Dar Wittgenstein se preocup, la fel ca mai trziu
Carnap, de o singur necesitate, cea logic. Cum a fost aceast reducie pus la ndoial vom
vedea ceva mai trziu. Aici vom mai meniona doar c, n ciuda scepticismului su, care
reduce necesitatea doar la ipostaza sa trivial, logic, Wittgenstein a exercitat o influen
semnificativ asupra mai multor pionieri ai logicii modale n afar de Carnap, cum ar fi
Meredith i Prior.Trebuie s subliniem c faimoasa critic a logicii modale realizat de Quine se aplic
n primul rnd lui Carnap i Lewis.Argumentele lui Quine se bazeaz parial pe concepiile
anti-esenialiste care prevalau n filosofia analitic timpurie sub influena empirismului i a
pozitivismului logic. Problema major este identificat de Quine n folosirea logicii modale
cuantificate concomitent cu susinerea tezei c singurul tip de necesitate acceptabil este
analiticitatea. Incompatibilitatea celor dou este dat de fapul c, pentru Quine, logica modal
cuantificat presupune acceptarea atribuirii de proprieti necesare lucrurilor (necesitatea dere) i acceptarea distinciei esenial-contingent n cazul proprietilor. Lewis i Carnap sunt,
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
11/36
11
aa cum spuneam, cei care se fac vinovai de aceast eroare. Dei resping mai mult sau mai
puin explicit teza c necesitatea ar putea rezidai n lucruri, ei las esenialismul aristotelic s
intre pe ua din spate, permind cuantificarea n contexte modale. Quine este, de fapt, un
sceptic absolut n privina modalitilor critica distinciei analitic-sintetic care ntemeiaz
filosofic pozivitismul logic al lui Carnap este unul dintre reperele majore ale istoriei filosofiei
analitice. Dac se ndoiete chiar i de necesitatea lingvistic, desigur c alte modaliti i se
par cu att mai suspecte lui Quine.
Muli adepiai logicii modale au ncercat s-i rspund lui Quine, dar foarte puini
au fcut-o n mod direct. Unele dintre argumentele acestuia au fost mai uor de demontat, dar
nici mcar acum nu se poate considera c ndoielile sale au fost cu totul alungate. Critica lui
Quine rmne scheletul din dulap al logicii modale. Dezvoltarea extraordinar a acestei
discipline n jumtatea de secol care a trecut de la publicarea rezultatelor lui Kripke este un
rspuns poate impresionant la nivel cantitativ, statistic, dar nu este nicidecum un argument
hotrtordin punct de vedere filosofic. C acum exist demonstraii de completitudine pentru
foarte multe calcule modale, c acestea sunt folosite pe scar larg n numeroase domenii ale
cunoaterii umane i orice alte argumente de acest tip pe care le-am mai putea emite mpotriva
lui Quine nu rspund remarcabilelor provocri filosofice ridicate de acesta. Atta vreme ct
probleme metafizice centrale, cum ar fi natura i rolul lumilor posibile, au rmas n suspensie,
critica lui Quine trebuie luat n considerare. Vom reveni i la argumentele acestui redutabil
critic cu alte ocazii.
1.4. Jnsson i Tarski
ntr-o serie de articole de la sfritul anilor 40 nceputul anilor 50 (Jnsson i
Tarski 1948, 1951, 1952), Jnsson i Tarski au anticipat soluiile lui Kripke. Istoricii logicii
modale de astzi afirm c autorilor le-ar fi fost la ndemn s sesizezeconexiunea dintrerezultatele obinute i posibilitatea de a oferi demonstraii de completitudine n maniera lui
Kripke (folosind relaia de accesibilitate ntre lumi posibile), dar cei doi nu au realizat acest
lucru. Este cu att mai surprinztor acest fapt cu ct, aa cum am menionat deja, Tarski
colaborase recent cu McKinsey, elabornd interpretri algebrice pentru sistemele S4 i S5.
Jnsson i Tarski au demonstrat teoreme generale de conexiune ntre algebre boolene i
mulimi ale cror elemente stau n diverse relaii. (Copeland 2002, 105) menioneaz n
special teoremele 3.5 i 3.14 din (Jnsson i Tarski 1951)pentru legtura lor cu semanticilelumilor posibile. Prima teorem stabilete echivalene ntre diverse condiii funcionale i
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
12/36
12
relaionale (ntre acestea din urm numrndu-se reflexivitatea, tranzitivitatea i simetria).
Teorema 3.14 aserteaz existena unui izomorofism ntre orice algebr interioar i un sistem
algebric format dintr-o mulime i o relaie reflexiv i tranzitiv ntre elementele acestei
mulimi. [A]ceste teoreme pot fi considerate ca tratri formale ale tuturor axiomelor modale
fundamentale i ale proprietilor corespunztoare ale relaiei de accesibilitate. (Copeland
2002, 105) Tehnicile algebrice folosite de Jnsson i Tarski sunt perfecte analoge tehnicii
modelelor canonice descoperite ulterior. Dup cum remarc Blackburn, cei doi au artat, fr
s o tie, cum pot fi algebrele modale reprezentate drept ceea ce numim astzi modele
(Blackburn, de Rijke i Venema 2001, 41). Jnsson i Tarski se aflau deci n posesia unui
instrument formal (o algebr boolean cu operatori) care le-ar fi permis s formuleze
demonstraii de completitudine pentru obun parte din sistemele modale (nu lipsea dect
sesizarea conexiunii dintre algebre i sistemele modale, caracterizarea acestora din urm ar fi
decurs imediat). i totui, ei nu au sesizat acest lucru.
Kripke mrturisete ntr-un schimb de corespondencu Copeland, citat n (Copeland
2002, 105) cTarski era de fa la celebrul simpozion din 1962 din Finlanda n care Kripke
i-a prezentat unul dintre studiile sale fundamentale de logic modal, dar ar fi spus c nu
vede nicio legtur ntre munca sa i aceste rezulate. Ceea ce e cu att mai surprinztor cu ct
Tarski nu numai c era la curent cu descoperirile din logica modal (n fond, lucra n
California, care era pe atunci i este i astzi unul dintre cei mai importani poli academici
pentru studiul logicii i al filosofiei formale din Statele Unite, n special prin centrele de la
UCLA, Berkeley, unde lucra Tarski, i Stanford, dar nu doar att, este i unul dintre
leagnele logicii modale), ci a lucrat chiar el n analiza calculelor modale prin metode
algebrice. Acest caz uluitor de orbire, n care unul sau mai muli autor(i) are / au toate
mijloacele pentru a sesiza c a realizat ceva (n spe, au oferit demonstraii matematice de
completitudine pentru sisteme modale, chiar dac nu au elaborat o semanticpentru acestea)
rmne unul dintre misterele istoriei logicii i a matematicii.Kripke a recunoscut contribuialui Jnsson i Tarski ntr-o not de subsolla (Kripke, Semantical Analysis of Modal Logic I:
Normal Propositional Calculi 1963), recunoatere hastily written (Copeland 2002, 131),
chiar dup cuvintele autorului ei, care neag, n schimb, orice influen a lucrrilor celor doi
asupra propriei opere. Primul care a neles i integrat importana contribuiilor lui Jnsson i
Tarski pentru logica modal a fost Kanger, dar timp de dou decenii de la publicare, acestea
au fost n mare parte ignorate.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
13/36
13
1.5. Prior
Prior pare s fi fost primul care a folosit o relaie binar ntr-un context explicit
modal [...] i primul care a folosit o interpretare a acestei relaii n termenii accesibilitii.
(Copeland 2002, 108) Logicianul neo-zeelandez a introdus aceast relaien logica sa modal-
temporalexpus n (Prior 1953) i (Prior 1958), ca relaie ntre dou momente distincte pe
axa timpului (relaia ). Prior a specificat mai multe condiii pentru relaia , printre care i
cea de tranzitivitate, care rezult din axioma specific sistemului S4. Copeland speculeaz
dac Prior era contient sau nu de faptul c o abordare relaional poate fi aplicat i logicii
modale aletice. El citeaz un manuscris nepublicat, redactat m 1951, pentru a arta c Prior
sesizase ideea c modalitile pot fi analizate n termenii cuantificrii peste lumi posibile
(Copeland 2002, 109-110). Chiar dac neasumat (n ce privete programul de cercetare, a fost
preocupat n primul rnd de explorri axiomatice), Prior este deja un membru al tradiiei
semantice: el a interpretat limbajul modal fundamental n termenii modelelor bazate pe i a
distins ntre diferitele logici folosind argumente de consisten.
n colaborare cu Carew Meredith, Prior a lucrat asupra sistemelor modale, publicnd
semantici cu lumi posibile pentru mai multe sisteme, printre care K, M, S4, B sau S5 (Prior,
Possible Worlds 1962) i (Prior, Tense Logic and Continuity 1962). Aceste contribuii au
aprut la trei ani dup A Completeness Theorem in Modal Logic, dar ceidoi logicieni au
ajuns la rezultate semnificative n mod indepedent de munca lui Kripke. ntr-o lucrare
nepublicat din 1956 semnalat n (Copeland 2002), Meredith i Prior au extins calculul
proprietilor realizat de Meredith cu o relaie binar U, care le-a permis explicitarea
operatorilor modali n maniera acum familiar:
(p)x=y (Uxy py)
( p)x = y (Uxy py)
Ceea ce nu se tiecu certitudine este dac n acel moment Meredith i Prior gndeaudeja n termenii lumilor posibile. Kripke crede c nu, fiindc altfel Prior ar fi comentat asupra
acestui fapt n articolul menionat. Dovezi descoperite relativ recent i prezentate de Copeland
demonstreaz c Kripke nu are dreptate. ntr-o scrisoare ctre Prior din acelai an, 1956,
Meredith vorbete deja despre lumi posibile. Dup cum noteaz acelai Copeland, dup
Meredith, o lume posibil este orice propoziie suficient de cuprinztoare pentru a implica sau
(disjuncie exclusiv) a fi inconsistent cu orice propoziie dat i n acelai timp nu destul de
cuprinztoare pentru a implica orice propoziie(Copeland 2002, 118). Sub influena ideilor luiWittgenstein, Meredith va introduce n calcul o constant propoziional n care denot lumea
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
14/36
14
(adic tot ce se ntmpl, dup Wittgenstein, sau, ntr-o formulare mai clar n englez,
everything that is the case). Trei axiome publicate n (Carew i Prior 1965) includ acest
concept:
1. n (propoziia care aserteaz c lumea are loc, adic the world is the case.)
2. (n este contingent, fiindc este o conjuncie n care unii membri sunt
contingeni, ceea ce poate fi exprimat afirmnd c propoziia c n este necesar
implic orice).6
3. ( )(the world is everything that is the case).
Meredith i Prior nu au interpretat la nceput n niciun fel relaia U. Ideea interpretrii
acesteia drept relaie de accesibilitate ntre lumi i-a fost sugerat lui Prior de Geach ntr-o
scrisoare din 1960. Acesta folosete termenul Trans World Airlines pentru a denumi saltul
ntre lumi care se petrece dup regulile furnizate de axiomele diverselor sisteme modale. Prior
valorific ideea lui Geach n (Prior, Possible Worlds 1962) i (Prior, Tense Logic and
Continuity 1962), denumind aceast noiunerelaie de accesibilitate. Adevrul necesar va fi
definit ca adevr n lumea de referin i n toate lumile accesibile din ea.
Alte contribuii importante care preced epoca inaugurat de publicarea lucrrilor lui
Kripke i Hintikka le aparin lui: von Wright, Montague (prima abordare exclusiv model-
teoretic a modalitilor, folosirea unei relaii binare, dar nu ntre punctele sau indivizii unui
model, ci ntre modele), Kanger (a crui lucrare principal, Provability in Logic este
renumit nu numai pentru valoarea contribuiilor sale, ci i pentru dificultatea de a o urmri,
defect imputat, printre alii, i de Kripke; dup cum arat (Fllesdal 1994), Kanger este i
primul care a folosit semantici modale pentru a aborda probleme filosofice legate de identitate
sau existen), Bayart, care a publicat o demonstraie de completitudine pentru S5 cuantificat
bazat pe modele Henkinn acelai timp cu primul articol al lui Kripke, dar din pcate, opera
sa fiind publicat n francez, nu a fost cunoscut n comunitatea tiinific mult vreme). Din
considerente de ntindere i relevan, nu vom trata aceste contribuii n detaliu aici. Scopul
nostru a fost de a arta care era stadiul cercetrii n logica modal n momentul apariiei
rezultatelor lui Kripke. Chiar dac am artat c o bun parte din ideile semnificative pentru
dezvoltarea logicii modale i a semanticilor Kripke fuseser deja introduse, momentul 1958 -
6tim din definiia verifuncional a implicaiei c falsul implic orice.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
15/36
15
1959, cu apariia studiilor fundamentale ale lui Kripke i Hintikka, reprezint fr discuie
examenul de absolvire al logicii modale.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
16/36
16
2. Epoca clasic a logicii modale. Kripke i Hintikka
n aceast seciune, vom proceda altfel dect n prima. Dup cum cred c este clar,
capitolul anterior a fost dedicat unui studiu istoric, n cea mai mare parte informal, cu
comentarii filosofice ocazionale, n care am dorit s conturm evoluia tratrii formale a
noiunilor modale n logica modern dinainte de anul 1959. Aceast parte va cuprinde detalii
ceva mai precise i mai bogate asupra contribuiilor formale ale celor doi logicieni tratai,
urmnd s se ncheie cu un subcapitol extins dedicat problemelor i deschiderilor filosofice
antrenate de aceste contribuii.Kripke i Hintikka sunt cei care stabilesc primatul abordrii
semantice n logica modal i cei care aduc la maturitate semanticile lumilor posibile.
2.1. Revoluia kripkean
Publicarea lucrrii (Kripke 1959) a fcut senzaie la acea vreme, nu numai datorit
valorii contribuiei, dar i deoarece autorul avea n momentul apariiei articolului doar
optsprezece ani. De fapt, dac ne raportm la data aproximativ la care Kripke i amintete c
ar fi trimis primul draft (n primvara lui 1958), el nu trecuse nc de vrsta majoratului.
Interesul pentru logica modal i-a fost trezit lui Kripke de lectura unui studiu al lui Prior
(Prior 1956). La nceputul lui 1957, Beth i trimitea remarcabilului adolescent lucrrile sale
despre metoda tablourilor semantice, pe care Kripke avea s le foloseasc n demonstraia sa
de completitudine. Dup un an, Kripke i elaborase deja semantica pentru sisteme modale i
o nainta spre publicare. Vom oferi n cele ce urmeaz o succint trecere n revist a primei
contribuii a lui Kripke, pstrndu-ne ct mai aproape de textul original.
Autorul realizeaz o demonstraie de completitudine pentru sistemul S5suplimentat cu
cuantificatori de ordinul I i semnul egalitii. Fiind dat un domeniu nevid Di o formul A,definim o asignare complet (complete assignment) pentruA n D ca o funcie care fiecrei
variabile individuale libere din A i asigneaz un element din D, fiecrei variabile
propoziionale dinAi asigneaz fie T(rue), fie F(alse), fiecrei variabile predicative n-adice
dinAi asigneaz o mulime de n-tupluri ordonate alctuite din membri ai lui D. Definim un
modelal luiAn Dca un dublet ordonat (G, K) unde Geste o asignare complet pentru An
Di Keste o mulime de asignri complete pentruAn Dastfel nct GKi fiecare membru
al lui K concord cu G n asignrile pentru variabilele individuale libere ale lui A (dar nunecesar i pentru variabilele propoziionale i predicate). Fie Hun membru al mulimii KiB
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
17/36
17
o subformul a lui A; H asigneaz T sau F lui B astfel: Dac B este o formul n-adic
P(x1,...,xn) i este mulimea de n-tupluri ordonate asignat de HluiPi asignm elemente
ale lui D1, ..., n luix1, ...,xn, atunci luiBi se asigneaz Tdac (1, ..., n) ; altfel, luiBi
se asigneazF
. Prin ipotez, variabilelor propoziionale li s-a asignat T sau F
. DacB are
formax = y, atunci i se asigneaz Tdac luixiyli se asigneaz acelai element din D; altfel
i se asigneaz F. Unei formule de forma ~Bi se asigneaz T(F) dac i numai dac luiBi se
asigneaz F(T). Formulei BC i se asigneaz T dac lui B i se asigneaz T i lui C i se
asigneaz T; altfel, i se asigneaz F. Formulei x B(x) i se asigneaz Tdac lui B(x) i se
asigneaz T pentru orice asignare a unui element al lui D lui x; altfel i se asigneaz F.
Formulei Bi se asigneaz Tdac orice membru al lui Kasigneaz TluiB(cu stipularea c
toi membrii lui Kconcord n asignri cu variabilele individuale libere ale formuleiB); altfel
i se asigneaz F.
A este valid ntr-un model (G,K) al lui A n Ddac i numai dac formulei A i se
asigneaz T n G.Aeste validn Ddac i numai dacAeste valid n orice model al luiA
n D.Aestesatisfiabiln Ddac i numai dac exist un model al lui An Dn careAeste
valid.Aeste universal validdac i numai dacAeste valid n orice domeniu nevid.
Ideea de baz a interpretrii acestor noiuni o reprezint definirea adevrului necesar
ca adevr n toate lumile posibile. Astfel, spre deosebire de logica extensional, logica modal
vizeaz, dup Kripke,toate lumile conceptibile.7De aceea, avem nu o singur asignare, ci o
mulime K de asignri care reprezint o mulime de lumi, dintre care una este actual, iar
restul doar posibile. Lumea actual este lumea G, iar dubletul (G, K) reprezint un model al
lui A. Cum x1, ..., xn reprezint obiecte individuale, care se presupune c rmn identice n
toate lumile, toi membrii lui K vor concorda n asignrile pentru variabilele individuale. n
schimb, valorile de adevr ale propoziiilor pot s difere de la lume la lume. Astfel, regulile
pentru asignarea lui T sau F devin n mod evident valide cnd sunt interpretate ca evaluri ale
adevrului sau falsitii unei propoziii ntr-o lume dat, real sau posibil. B este adevrat,
prin urmare, dac i numai dacB este adevrat n toate lumile posibile.Observm c relaia
de accesibilitate nu este nc prezent n semantica lui Kripke, demonstraia de completitudine
fiind realizat cu ajutorul funciei de asignare complet.
7Dar sunt toate lumile conceptibile posibile? Sau sunt toate lumile posibile conceptibile? Vom reveni la
problema relaiei dintre conceptibilitate i posibilitate n celelalte referate i tez. S notm totui c aceasta este
una dintre cele mai intens dezbtute probleme n literatura de astzi, deoarece este un topos n care ies foartefacil la iveal presupoziiile metafizice din spatele diverselor construcii intelectua le.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
18/36
18
n toamna lui 1958, Kripke devine student la Harvard, unde este descurajat de
profesorii cu care intr n contact (la acea vreme, empirismul i scepticismul modal humean
preluat i n filosofia lui Quine, cunoscut critic al logicii modale, erau dominante, bineneles
cu att mai mult la Harvard, unde Quine era profesor) s-i continue studiile de logic modal.
De aceea, dei anunase demonstraii de completitudine pentru mai multe sisteme modale
importante ntr-un addendum la primul su articol i ntr-un rezumat publicat la sfritul lui
1959 tot nJSL, au trecut patru ani pn la apariia unora dintre contribuiile promise.
Astfel, n 1963 apare Semantical Analysis of Modal Logic I, unde Kripke se ocup de
analiza mai multor sisteme modale normale (T numit de el M , S4, S5 i B). Pentru
calculele modale propoziionale, logicianul american definete o structur de model normal
(numit mai trziu cadru) (normal)model structure (n.m.s.sau M model structure)ca un
triplet ordonat (G, K, R), cu G i K definite la fel ca mai sus, iar R o relaie reflexiv
definit pe K. n funcie de proprietile adiionale ale relaiei R (tranzitivitate, simetrie,
echivalen), aceast structur va fi definit ca S4, B, respectiv S5- model structure. De
asemenea, definim un M(S4, S5, B)modelpentru o formul bine formatA a sistemului M
(S4, S5,B) ca o funcie binar (P, H) asociat cu o M (S4, S5 ,B) m.s. dat, undeP reprezint
subformulele atomare ale formulei A, iar H pe membrii mulimii K. Domeniul de valori al
funciei este mulimea {T, F} i. e. (P, H) = T sau (P, H) = F. Primul argument al
funciei poate fi extins peste toate subformulele lui A (nu doar peste cele atomare).
Presupunnd c (B, H) i (C, H) sunt cunoscute, asignarea de valori formulelor non-
atomice este definit prin inducie:
Dac (B, H) = (C, H) = T, atunci (BC, H) = T; altfel, (BC, H) = F.
(~B, H) = F ddac (B, H) = T; altfel, (~B, H) = T.
(B, H) = T ddac(B, H) = Tpentru orice HK astfel nct H RH; altfel, (B,
H) = F.
O formulA este adevrat ntr-un model asociat cu o m.s. (G, K, R) dac (A, G)
= T.A este valid dac este adevrat n toate (M, S4, S5 ,B) modelele. Formula A este
satisfiabil dac este adevrat n cel puin un model. O formul A este valid ddac este
demonstrabil n sistemul adecvat(completitudine + consisten).
Se observ cteva diferene importante fa de (Kripke 1959). Astfel, avem definirea
funciei auxiliare (P, H), care lipsea nainte, unde H era o asignare complet, o funcie care
asigna valori de adevr fiecrei subformule a lui A ceea ce nseamn c lumi distincte
presupun asignri complete distincte. Aadar, avem o mulime de lumi posibile K, o lumereal Gi o funcie care asigneaz fiecrei propoziii P o valoare de adevr n lumea H.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
19/36
19
Dar cel mai important adaos este cel al relaiei R. H1 R H2 este interpretat de Kripke ca
Lumea H2 este posibil n raport cu lumea H1, ceea ce nseamn c fiecare propoziie
adevrat n H2este posibil n H1.Ne amintim c aspectul care nu i-a permis lui Carnap s
realizeze demonstraii de completitudine pentru sistemele modale ine de faptul c acesta
evalua necesitatea doar la nivelul tuturor strilor de lucruri posibile. Chiar dac aceast idee a
fost anticipat, este meritul lui Kripke de a fi propus, folosit i explicat clar rolul structurilor
set-teoretice arbitrare ca modele pentru modaliti.Aceast abordare ofer un temei intuitiv
pentru acceptarea diverselor axiome de reducie ale logicilor modale, care pot fi transformate
i explicitate caproprieti ale relaiei binare.De notat c, pentru Kripke, se nelege c relaia
R este reflexiv, deoarece orice lume este posibil n raport cu ea nsi. Aceast proprietate
este o constrngere filosofic probabil de neevitat (dac relaia binar este definit ca
posibilitate relativ ntre lumi), dar strict din punctul de vedere al structurilor relaionale
formale, nu este nici o problem dac R nu are aceast proprietate. Astfel, folosind metoda
tablourilor semantice, Kripke arat c o formul este adevrat n toate modelele ddac este o
teorem a lui T, adevrat n toate modelele tranzitive ddac este o teorem a lui S4,
adevrat n toate modelele simetrice i tranzitive ddac este o teorem a lui S5 .a.m.d.8O
ultim diferen n ce privete funcia este aceea c dac (B, G) = T, atunci formulaB nu
va mai fi considerat valid, ci adevrat n modelul .
Revenind la introducerea relaiei binare, Kripke afirm c aceast idee i-ar fi venit la
scurt vreme dup naintarea spre publicare a primului articol, n primvara lui 1958.
Copeland citeaz ca dovad n sprijinul acestei afirmaii o scrisoare a lui Kripke ctre Prior, n
care apare o matrice temporal ramificat, caracteristic pentru S4 (Copeland 2002, 129-130).
Kripke ar fi oferit deja o interpretare a relaiei de accesibilitate simetric i tranzitiv a acestui
sistem, deci nelesese deja c se pot obine rezultate de completitudine pentru logici modale
explicitnd proprietile relaiei de posibilitate relativcare caracterizeaz diferitele sisteme.
Am discutat deja despre motivele ntrzierii lui Kripke n a-i finaliza i publica contribuiile.Tot n 1963, apare (Kripke, Semantical Considerations on Modal Logic 1963). Nu ne
vom apleca n detaliu asupra aspectelor formale ale acestei lucrri, ele fiind n principiu
extensii ale contribuiilor precedente pentru sisteme modale cuantificate. Notm doar noutile
majore. Kripke ofer axiomatizri ale sistemelor T (M), S4, S5 i B cuantificate i
contraexemple pentru formula Barcan:
8
S nu uitm c trebuie s adugm tuturor modelelor care caracterizeaz sisteme modale tratate n articoluldiscutat proprietatea reflexivitii, care este, aa cum spuneam, de la sine neleas pentru Kripke.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
20/36
20
Autorul noteaz c infirmarea formulei Barcan i a conversei vine cu o modificare fa
de abordarea anterioar asupra calculelor modale cuantificate, este vorba de acceptarea
exclusiv a formulelor nchise. Tot spre deosebire de (Kripke 1959), unde Kripke folosea un
domeniu universal de indivizi D, acum el va lua n considerare domenii variabile de existeni
pentru fiecare lume posibil.Dac n (Kripke, Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal
Propositional Calculi 1963) Kripke definete o propoziie ca o funcie de la lumi la valori de
adevr, n acest articolo liter predicativ n-ar este definit ca o funcie de la lumi la relaii
n-are (aceast modelare, astzi clasic n logica intensional i teoria lumilor posibile, este
una dintre contribuiile originale ale lui Kripke).
2.2. Hintikka
Cealalt contribuie major la dezvoltarea semanticilor relaionale pentru operatori
modali n epoca clasic a logicii modale i aparine filosofului i logicianului finlandez
Jaakko Hintikka. n Quantifiers in Deontic Logic (1957), Hintikka introduce o relaie binar
ntre stri de lucruri posibile i actuale numit de el permisibilitate(cf. Copeland 2002, 123).9El definete acest operator n felul urmtor:
Dac Pf , atunci exist o mulime copermisibil cu astfel nct f
unde Pf nseamn c f este permis, iar i sunt mulimi de formule logice numite de
Hintikka model sets (mulimi model).
Hintikka definete satisfacia pentru formule ale logicii deontice cuantificateutiliznd
mulimile model, despre ale cror condiii considera c ar exprima proprieti ale mulimii
tuturor enunurilor adevrate ntr-o anumit stare de lucruri. Autorul afirm explicit c aceast
soluie face parte dintr-o teorie general nou pentru logicile modale care i aparine. Dar n
acest studiu el nu impune nici o condiie pe relaia binar . Copeland noteaz c Hintikka iamintete c ar fi ajuns la ideea posibilitii de a realiza modelri diferite prin impunerea de
condiii pe relaia de copermisibilitate cam n acelai timp cu introducerea acestui concept
(Copeland 2002, 124-125). Deja la nceputul lui 1957, el ar fi avut o idee vag despre o
demonstraie de completitudine, dar nu a consemnat-o atunci. Hintikka susine i c era
contient de conexiunea cu logicile modale aletice i gndea relaia binar ca relaie de
9Nu am avut acces la articolul original al lui Hintikka. Rezumatul contribuiilor prezentate de logicianul
finlandez n acest studiu urmeaz lucrarea (Copeland 2002).
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
21/36
21
posibilitate relativ ntre lumi, asemeni lui Kripke. Mulimile model formau o sintax pentru
lumi posibile.(Copeland 2002, 125)
Se pare c Hintikka ar fi prezentat public o serie de demonstraii de completitudine
pentru M, S4 i S5 cuantificate n cadrul unei serii de prelegeri n zona Bostonului care ar fi
avut loc n 1958 sau 1959. Aceste demonstraii ar fi inclus ideea unei relaii de
alternativitate (alternativeness) ntre lumi. Din pcate, notele lui Hintikka pentru aceste
prelegeri s-au pierdut, iar forma exact a demonstraiilor i noiunile tratate nu pot fi
reconstituite dect parial din memoria autorului. Alt articol (Modality and Referential
Multiplicity), publicat n 1957, este o dovad clar a faptului c amintirile lui Hintikka sunt
corecte. Aici el d printre altele o definiie a adevrului necesar ca adevr n toate modelele
interconectate i afirm c aceste modelear reprezenta stride lucruri alternative.10
Hintikka i-a publicat o parte din rezultatele generale doar n (Hintikka 1961), lucrare
unde, valorificnd i contribuia lui Carnap, definete o mulime model maximal ca mulimea
tuturor formulelor care sunt adevrate ntr-o descriere de stare. Satisifiabilitatea este definit
pentru o mulime de formuleca incluziune ntr-o mulime model, care la rndul ei aparine
unui sistem de astfel de mulimi ntre care are loc o relaie binar de alternativitatece respect
anumite condiii. Aceast relaie este analog relaiei de composibilitate din logica deontic
sau celei de accesibilitate. O formul este valid dac {}nu este satisfiabil.Cu toate c
Hintikka precizeaz mijloacele teoretice de care ar avea nevoie pentru a da demonstraii de
completitudine ale sistemelor modale, el nu le include nici n acest articol, ci se ocup de
problema cuantificrii, probabil sub imperativitatea unei replici la criticile lui Quine.
2.3.Probleme filosofice i controverse asupra ntietii
Am artat pn acum c o bun parte din ideile prezente n opera lui Kripke apruser
deja n lucrrile altor logicieni i filosofi, chiar dac tnrul logiciannu avea cunotin de ele.S-ar putea atunci susine c faptul c i se atribuie rolul cel mai important n dezvoltarea
semanticilor care i poart numele pentru logicile modale, c este considerat printele
acestora, este poate o exagerare. Dar ntietatea n discipline cum ar fi logica i filosofia, care
se ocup cu clarificarea modului n care raionm, este o realizare mai puin semnificativ,
atunci cnd nu este combinat cu puterea de ptrundere a analizei i cucapacitatea de a oferi o
abordare intuitiv i stimulatoare. Cel mai mare merit i revine deciaceluia care a contribuit
10i n acest caz urmm relatarea din (Copeland 2002).
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
22/36
22
cel mai mult la clarificarea noiunilor de baz ale teoriei i la punerea n eviden a
conexiunilor posibile dintre domenii. Publicarea contribuiilor lui Kripke este adevrata
deschiztoare de drum n logica modal, dovad st dezvoltarea uluitoare a acestei
discipline dup 1960, cei mai muli logicieni care au lucrat dup Kripke prelund ideile i
metodele acestuia.
Comparnd noiunile folosite de Kripke cu cele vehiculate naintea lui, putem constata
c multe dintre ele erau deja folosite de ali autori. Am stabilit bunoar c noiunea unei
relaii binare ntre stri de lucruri maximale a aprut pentru prima dat la Prior, tot el fiind
ceva mai trziu i primul care a publicat demonstraii de completitudine bazate pe aceast
relaie. Desigur, rmne n suspensie problema ntietii n realizarea unei demonstraii de
completitudine pentru unul dintre calculele modale, care este disputat ntre Kripke i
Hintikka. n rezumatul din 1959, Kripke amintete rezultatele de completitudine pe care le-ar
fi oferit Hintikka pentru S4, S5 i T (M). Cum data prelegerilor lui Hintikka nu poate fi
stabilit cu certitudine, nu tim totui cine a fost primul autor al unei demonstraii de
completitudine pentru sisteme modale. Dar acest lucru nu este att de important. Contribuiile
lui Hintikka au avut un efect mai puin notabil asupra dezvoltrii logicii modale. Chiar i cei
care nu cunosc particularitile operei filosofului i logicianului finlandez pot ghici de ce, doar
amintindu-i faptele trecute n revist aici.Este cunoscut afirmaia lui Kripke c matematica
nu poate nlocui filosofia. Dar la fel de bine se poate spune i c filosofia nu ine loc de
matematic. Fr ca aceasta s fie o critic, se poate constata urmrind opera lui Hintikka
faptul c filosoful finlandezneglijeaz de multe ori n studiile sale cu tematic logic tocmai
expunerea prii formale. Preocupat mai mult de problemele filosofice, nu rareori Hintikka
omite deliberat demonstraii formale n ntregime sau pri ale acestora. Dei ar fi fost un
rezultat important la acea vreme, logicianul finlandez nu a ncercat s-i consemneze i
publice demonstraiile de completitudine. Din aceste motive, abordarea sa a avut efecte mai
puin semnificative asupra logicienilor interesai de modaliti, care nu au gsit n opera luiHintikka o abordare extins, riguroas i unitar a modalitilor (aa cum apare la Kripke),
apts-i inspire pentru a dezvolta cercetrile privind logicamodal.
Goldblatt conchide i el n studiul su istoric c meritul cel mai mare pentru
semanticile modale relaionale i revine lui Kripke. Goldblatt subliniaz faptul c S. Kripke a
fost primul care a folosit structuri set-teoretice arbitrare ca modele (Rpoate fi o relaie cu
diverse proprieti care conecteaz diverse mulimi, nu ne mai raportm doar la mulimea
tuturor lumilor posibile, ca la Carnap), aceasta n timp ce Hintikka, Montague i Kanger auutilizat relaii binare ntre modele ale fragmentului non-modal al limbajului predicaional. De
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
23/36
23
asemenea, acetia din urm nu au oferit axiomatizri complete ale semanticilor proprii.
Inovaia lui Kripke este considerat de Goldblatt catalizatorul dezvoltrii i definitivrii unei
teorii a modelelor pentru logici intensionale (cf. Goldblatt 2006, 35). Goldblatt accentueaz i
influena contribuiilor lui Kripke asupra logicii constructive, a logicilor substructurale (logica
relevanei, logica liniar), logica demonstrabilitii, logici ale sistemelor de tranziie n
informatic, iar n cadrul logicii filosofice, la elaborarea de ctre Montague, Cresswell i
Barwise a semanticilor formale pentru limbajul natural i bineneles la dezvoltarea teoriei
lumilor posibile, cu menajeria lor de dificulti filosofice, dar i cu noua perspectiv
deschis asupra unor probleme tradiionale, la care vom reveni n alte referate i n cadrul
tezei.
Profitm de faptul c am deschis subiectul relaiei dintre filosofie i logic pentru a
discuta acum succint cteva dintre problemele legate de aceast relaie i evideniate de istoria
logicii modale. Aceasta este una dintre temele majore ale tezei, de aceea problemele luate n
considerare acum vor fi discutate i dezvoltate mai departe (alturi de altele noi), folosind i
contribuiile semnificative contemporane din filosofie i logic.
Critica fcut de Quine logicii modale, menionat deja, este astzi clasicizat, dar i
destul de rar luat n considerare. Am artat c intele principale ale lui Quine sunt acei
filosofi-logicieni care susin modalitatea de re (cuantificarea n contexte modale), dar n
acelai timp cred c singurul tip de necesitate este cea din limbaj. Dar Quine se arat mefient
n alte locuri i fa de necesitatea lingvistic (analiticitate), i fa de doctrina filosofic
esenialist pe care crede c ar presupune-o modalitatea de re (jungla metafizic a
esenialismului aristotelic). Pentru Quine, necesitatea este un concept dispensabil, dei
distincia analitic-sintetic, a priori-a posteriori nu este cu totul fr sens.
Marcus (1967, 1971) i Parsons (1967, 1969) au artat c tipul de esenialism cerut de
logica modal cuantificat este minimal i orice teorie intensional presupune un asemenea
esenialism. S renunm atunci la orice teorie intensional? Poate aceasta era o opiune pevremea lui Quine, dar astzi (dup cum voi arta n cele ce urmeaz), acest lucru ar fi destul
de greu de conceput (desigur, fiecare poate s se ocupe cu ce vrea, la nivel individual, dar
astzi logicile intensionale i filosofia care face uz de ele sunt mult mai bine reprezentate
dect n anii 40-50). Quine, un extensionalist convins, nu ar avea o problem cu
respingerea n bloc a logicilor intensionale. Ajungem aici la una dintre problemele cele mai
importante ale demersului nostru: nu cumva preferina pentru un anumit instrument formal i
respingerea altora sunt orientate (i) de o adeziune fa de o anumit teorie metafizic?Desigur, nu ne putem reformula ntrebarea n termeni mai tari, repetm c nu facem greeala
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
24/36
24
s afirmm c limbajele formale spun ceva din punct de vedere filosofic prin ele nsele, fr
interpretare. Sunt destui matematicieni i logicieni care folosesc logica modal penru alte
scopuri, fr a fi deloc preocupai de presupusele ei angajamente metafizice. Orice asemenea
discuie le-ar repugna. Logica modal e un instrument formal eficient i att. Dar sperm c
vom arta n cadrul tezei c preferina pentru anumite instrumente i metode formale(atunci
cnd acestea sunt folosite n primul rnd pentru finaliti filosofice) nu e deloc inocent de
asumpiile filosofice de fond. Logica matematic extensional este n bun parte produsul
unui cadru de gndire humean n ce privete metafizica, epistemologia i filosofia naturii.
Putem atunci reconsidera ndoiala lui Quine n felul urmtor: nu cumva este logica modal
cuantificat un instrument adecvat pentru teoriile esenialiste? La ce e bunlogica modal n
filosofie, dac nu credem c lucrurile pot avea proprieti eseniale i accidentale? Rspunsul
la aceast ntrebare nu este simplu i nici nu poate fi decisiv (ntruct resursele formale le
depesc pe cele filosofice), dar sperm s aducem anumite clarificri importante.
Trebuie s menionm n acest stadiu i altntrebare: n fond, de ce ar fi esenialismul
de evitat? Unii specialiti, printre care (Cocchiarella 1984), au argumentat n sprijinul tezei c
soluiile formale ale lui Kripke au fost ghidate de preferinele sale metafizice sau cel puin c
se poate vedea o legtur ntre acestea dou. Alii resping un asemenea punct de vedere.
Ballarin susine cu argumente c inovaiile logice ale lui Kripke sunt rezultatul exclusiv al
problemelor formale ntmpinate (Ballarin 2005). Dac exist totui o adecvare ntre partea
tehnic i cea filosofic, atunci s-ar putea argumenta c aceasta este mai originar sau se
petrece la un nivel mai general (adic ine de particularitile fundamentale ale discursului
modal). Sunt totui contribuiile lui Kripke (i, n completare, Putnam) n filosofia limbajului
omologe celor din logica modal ale aceluiai autor? Cu siguran, ele se ntlnesc. Teoria
designrii rigide poate fi vzut ca o cale de a salva substituia n contexte modale
cuantificate. Principiile esenialiste care se adaug filosofiilor limbajului date de Kripke i
Putnam (e demonstrabil c nu e nevoie de aceste principii pentru o teorie a referinei, vz.Salmon 1982)pot fi vzute i ca o form de reabilitare a esenialismului, chiar dac nu acesta
este scopul primar din Numire i necesitate sau The Meaning of Meaning.
Ne oprim aici cu discutarea problemelor filosofice legate de logica modal. Vom
reveni la ele i n celelalte referate (unul dintre ele avnd ca subiect teoria lumilor posibile i
dificultile, dar i deschiderile acesteia) fiindc sunt, de fapt, tema major a lucrrii noastre.
Pentru a ncheia acest referat, vom realiza o trecere n revist i o discuie a principalelor
domenii i contribuii din logica modal post-kripkean.Dorim totui s subliniem faptul cdac la nivelul formalizrilor dezvoltarea logicii modale este una extrem deprolific (i vom
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
25/36
25
oferi doar o imagine schematic a multitudinii de rezultate i cercetri din ultimele decenii), la
nivel filosofic cadrele dezbaterii rmn trasate n mare parte ntre coordonatele criticii lui
Quine, a deschiderilor i aplicaiilor filosofice amintite de Kripke n studiile sale formale i a
contribuiilor de filosofia limbajului, epistemologice i metafizice ale lui Plantinga, David
Lewis i bineneles Kripkei Putnam, care i-au formulat principalele teze la sfritul anilor
60nceputul anilor 70.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
26/36
26
3. Dup cincizecide ani
Dup cum arat Goldblatt, contribuia lui Kripke a avut un impact revoluionar
(Goldblatt 2006, 37) asupra logicii modale. Modelele Kripke s-au dovedit un instrument
perfect pentru investigaia sistematic a limbajelor modale, lucru atestat de multitudinea
inovaiilor i dezvoltrilor conceptuale ce au urmat. Logica modal este un produs al
filosofiei, naterea ei se datoreaz unor filosofi cu interese i aptitudini formale i unor
logicieni / matematicieni cu interese i aptitudini filosofice. Dar, ca orice alt produs tiinific
al filosofiei care a atins vrsta maturitii, astzi multe dintre ramurile i aplicaiile logicii
modale mai au foarte puin de a face cu nceputurile sale filosofice. Pentru o vreme, logicile
modale au strnit un interes extraordinar, ba chiar un entuziasm despre care chiar icei mai
dedicai specialiti aidomeniului trebuie s recunoasc astzi c depea cu mult posibilitile
disciplinei. O parte din acest interes se datora faptului c logicile modale erau (n special
datorit caracterului intuitiv remarcabil al modelrilor lui Kripke) un instrument formal foarte
uor de deprins i folosit. n plus, la nceput se credea c sistemele modale normale sunt (n
ansamblu) mai well-behaveddect s-a descoperit mai apoi c suntde fapt. Pentru o vreme,
filosofii s-au lsat cuprini de o adevrat manie modal (Fine 2005, 9).
Astzi, logica modal este la fel de dificil de utilizat ca orice alt disciplin formal
supraspecializat(cu o meniune special pentru algebrele modale). Mai mult, dac utilizarea
onto-metafizic ocupa altdat prim-planul investigaiilor modale, acum cei mai activi
cercettori sunt cei care se preocup de aspectele matematice ale logicilor modale, tratndu-le
de obicei ca fragmente ale logicii standard. Aceasta nu nseamn c dac, aa cum era normal
pentru o disciplin tiinific formal destul de puternic s se susin prin ea nsi, interesul
principal s-a mutat nspre o caracterizare independent a domeniului i nspre relaiile care se
pot stabili cu alte ramuri ale matematicii, conexiunea cu filosofia a fost cu totul ntrerupt.
Doar c odat ce criza de entuziasm s-a potolit i a devenit destul de clar ceea ce ar fi trebuits se tie de la nceput, i anume c arsenalul conceptual al logicii modale, chiar dac mai
ordonat, nu este mai util ca alte instrumente pentru a trata probleme filosofice intratabile, c e
vorba de existena lui Dumnezeu, necesitatea binelui, existena universurilor paralele sau orice
altceva mai putem aduga, s-a intrat ntr-o alt etap a investigaiei filosofice, n care
rezultatele propuse sau obinute nu mai sunt la fel de spectaculoase, dar nici la fel de
scandaloase, prudena i ndoiala recptndu-i rolul normal n cadrul investigaiei filosofice.
Asupra acestui context i n cadrul lui ne-am propus s lucrmpentru a deslui contribuiareal a logicii modale la evoluia dezbaterii filosofice. ntrebrile majore vor fi: ce putem
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
27/36
27
spune cu adevrat cu ajutorul logicilor modale n filosofie? Care este valabilitatea lor real,
sustenabil, din punct de vedere epistemologic i metafizic? n acest ultim capitol al
referatului de fa, ne propunem ns un scop mai modest: s artm care au fost principalele
contribuii formale cu relevan filosofic dup Kripke, cum arat logica modal astzi i cum
au contribuit rezultatele formale la configurarea imaginii actuale a metafizicii modale.
3.1. Completitudine, modele canonice, filtrare
Primele nume importante ale istoriei logicii modale dup Kripke sunt cele ale lui E. J.
Lemmon i Dana Scott (Lemmon i Scott 1977). Celebrele Lemmon Notes sunt prima
ncercare de expunere general sistematic a logicii intensionale, proiect a crui finalizare nu
a fost posibil din cauza morii premature a lui Lemmon. Cu toate acestea, studiul a circulat n
comunitatea academic i pn la publicarea sapuin tardivn 1977, exercitnd o influen
semnificativ asupra cercettorilor interesai de acest domeniu. Lemmon este, de asemenea,
primul care a investigat relaia dintre algebrele modale i semanticile Kripke. De notat c n
articolele pe aceast tem, Lemmon a renunat la introducerea n structura model a lumii
actuale a lui Kripke. Cea mai important construcie formal care apare n Lemmon Notes
este modelul canonic.Acest model este construit din orice logic normal i are forma:
M= (K, , )
unde Keste mulimea tuturor mulimilor de formule maximal -consistente, i avem
uRt ddac { : t} u ddac { : u}t(pentru oricare u i t K)
i (p, u) = ddac pu.
Orice formul este adevrat n M la u ddac u. Completitudinea decurge
imediat: se poate observa c M este un model pentru (i. e. este valid n M, adic
adevrat n toate mulimile de formule maximal -consistente) ddac este o -teorem. M
caracterizeaz exclusiv logica i este ceea ce numim un model canonic pentru . Metoda
folosit de Lemmon ofer o metod formal care permite s se demonstreze c anumite
sisteme formale (cu axiomele specifice) sunt caracterizate de condiiiadecvate pe modele.
Dup cum am menionat, Bayard a fost primul care a a adaptat metoda modelelor
Henkin pentru a oferi demonstraii de completitudine pentru logici modale normale.
(Goldblatt 2006, 39) i menioneaz i pe Makinson i Cresswell care au folosit tehnici
similare cu aceleai rezultate, lucrnd n acelai timp cu Lemmon i independent de acesta.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
28/36
28
O ultim inovaie important identificat de Goldblatt n studiile lui Lemmon este
metodafiltrrii, care permite demonstrarea proprietii de model finit pentru diverse modele
Mi deci decidabilitatea sistemelor modale caracterizate de acestea. Acest proces se bazeaz
pe faptul c putem s considerm doi membri aiM
ca fiind echivaleni dac asigneazaceleai valori de adevr tuturor subformulelor formulei . Desigur, pentru a afla valoarea de
adevr a lui ntr-un punct al lui M, trebuie doar s cunoatem valorile de adevr ale
subformulelor sale. Dac exist n subformule ale formulei , atunci vor exista cel mult 2n
clase de echivalen ale membrilor modelului considerat, chiar dac acesta este nenumrabil
de mare. Ceea ce permite colapsarea lui M ntr-un model finit care are proprietatea c
falsific dac Mfalsific .
Contribuiile lui Segerberg trebuie, de asemenea, menionateca momente importanteale istoriei logicii modale. Eseul su a stabilit conveniile notaionale i terminologice care
sunt acum folosite aproape exclusiv n logica modal. Dintre acestea, (Goldblatt 2006, 42)
amintete folosirea termenului cadru (frame) n locul celui kripkean de structur model. De
asemenea, Segerberg a impus notaia lui Lemmon i Scott n locul (,x)= T, unde M
este un model Kripke, nlocuit la rndul ei mai apoi de o notaie asemntoare M x . M
fr subscript nseamn bineneles c este adevrat n modelul M (n toate punctele
acestuia).Desfurndu-i munca n perioada entuziasmului maxim fa de posibilitile oferite
de noile tehnici din logica modal, Lemmon conjectura c orice sistem normal este
caracterizat de o clas de cadre relaionale (adic este consistent i complet n raport cu acea
clas). S-a demonstrat repede c acesta nu este cazul. Blok a demonstrat c majoritatea
logicilor normale nu sunt caracterizate de nicio clas de cadre, fiind incomplete (exist
formule valide n toate cadrele acelei logici care nu sunt teoreme ale ei). (Thomason 1972)
oferprimul exemplu de logic modal incomplet folosind modaliti temporale. Thomason
din nou (Thomason 1974) i Fine (Fine, An Incomplete Logic Containing S4 1974) au
construit logici modale aletice incomplete. Cel mai simplu exemplu de logic modal normal
incomplet i aparine lui van Benthem (cu axioma (pp)p). Thomason a artat, de
asemenea, ntr-o serie de studii de la mijlocul anilor 70 c logica modal propoziional (cu
semanticile Kripke) trebuie neleas ca un fragment tare (n ce privete puterea expresiv) al
logicii predicative clasice de ordinul al doilea.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
29/36
29
3.2. Aplicaii
Dezvoltarea logicii modale nu a fost nicidecum limitat la cadrul stabilit iniial.
Limbaje formale cu modaliti au fost dezvoltate ntr-o multitudine de domenii i pentru o
multitudine de finaliti. Vom enumera i descrie pe scurt cele mai importante rezultate:
Logica epistemic
Prima contribuie semnificativ n domeniu i aparine, dup cum se tie,lui Hintikka
(Hintikka 1962). Se folosete un operator Ki, analog operatorului modal aletic care exprim
necesitatea. Ki se citete agentul i tie c i nseamn c este adevrat n toate situaiile
nedistinctibile din punct de vedere epistemic ale lui i. Axiomele diverselor sisteme modale au
o lectur epistemic adecvat, la fel bineneles i alte formule modale. Cel mai interesant
aspect este legat de formalizarea cunoaterii comune, rezultate din interaciunea agenilor n
grupuri, care cuprinde mai multe noiuni semnificative, cum ar fi opinia public. Cunoaterea
comun (de grup, notat cu G) este definit n logica epistemic n felul urmtor (Benthem,
Modal Logic 2002, 399):
CG este adevrat n orice lume accesibil prin intermediul oricrui lan finit de
relaii de incertitudine pentru ageni din G.
Logica temporal i spaial
La fel ca n cazul logicii epistemice, vorbim de un domeniu cu semnificaie filosofic
i oarecare tradiie n spate (am vorbit deja de interesul lui Prior pentru relaiile temporale).
Modelele modale sunt interpretate ca fluxuri temporale, relaia de accesibilitate fiind o relaie
de anterioritate. n ce privete logica spaial, analiza modal este adecvat pentru fragmente
modale ale geometriei unde cel mai bine se lucreaz cu sisteme care nu au K ca axiom.
Logica dinamic
Pionierul logicii dinamice este Vaughan Pratt, care a aplicat logica modal abordrii
formale a unei construcii a lui C.A.R. Hoare p {a} q dac p este adevrat naintearulrii programului a, atunci q se obine dup rularea acestui program. Pratt a asignat o
modalitate [] fiecrui program , iar formula []se citete dup , . Acest conector este,
de fapt, o relaie de tranziie ntre stri posibile de execuie. xRy are loc atunci cnd exist o
executare a programului care ncepe n stareaxi se termin n stareay.
Multimodaliti
O bun parte din cercetrile contemporane sunt legate de combinaii ale modalitilor
pentru modelarea matematic a unor situaii complexe. Printre acestea, se numr combinaia
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
30/36
30
logicii epistemice cu cea dinamic pentru a descrie modificarea unui model epistemic prin
aciune comunicativ.Scenariile care pot fi imaginate i modelate folosind aceste modaliti
sunt extrem de diverse i complexe, cum sunt cele din belief revision theory, care fac uz de
condiionali contrafactuali n stil Lewis i Stalnaker. De asemenea, combinaii ntre
modalitile dinamice i cele epistemice sunt folosite pe scar larg n teoria jocurilor (game
theory).
Aplicaii n logica standard
Astzi exist dou perspective (care nu se exclud reciproc, pot fi chiar complementare)
asupra logicii modale. Muli specialiti din domeniu vd n continuare logicile modale ca la
nceputurile dezvoltrile disciplinei: aceste limbaje sunt formalizri ale modalitilor, fie c e
vorba de interpretarea metafizic a noiunilor modale din limbajul natural (de care ne ocupm
n principal), fie c e vorba de modalitile epistemice, deontice, dinamice, temporale, spaiale
etc., despre care se presupune c sunt extensii ale logicii standard, realizate pentru o
comprehensivitate formal mai mare a diversitii de inferene pe care le practicm n mod
curent. Pn acum am discutat logicile modale mai ales din aceast perspectiv clasic. i n
continuare ne vom preocupa n mod special de aceast concepie, deoarece aici este spaiul de
desfurare al problemelor de interes special pentru filosofie.
Trebuie totui s amintim i cealalt perspectiv, n acest moment la fel de rspndit
printre cercettori, care are la rdcin tocmai interpretarea cuantificaional a operatorilor
modali: logicile modale sunt fragmente ale logicilor standard, care ofer o perspectiv intern
asupra structurii sistemelor clasice. Este de asemenea ct se poate de rezonabil s se afirme
c logicile modale sunt fragmente ale logicilor clasice, care reuesc cumva s ating echilibrul
ntre puterea expresiv i simplitatea computaional, spun editorii unuia dintre cele mai noi
handbook-uri de logic modal (Blackburn, Benthem i Wolter 2007, xiv), ceea ce le face
desigur foarte interesante.
Dar nu doar att. Exist acum interpretri (ce e drept, destul de excentrice) ale logiciipredicatelor ca logic modal sau dinamic, dup cum arat (Benthem 2002). Astfel, exist o
segmentare a logicii de ordinul nti n felul urmtor:
- un miez decidabil, care este o logic modal minimal, fr asumpii asupra formei
modelelor
- legile care exprim efectele universale ale asignrilor variabile pentru diverse stri
plus o relaie special de schimbare (shift). Van Benthem d ca exemplu formula
, care ar exprima tranzitivitatea acestei relaii.- anumite legi de ordinul I care exprim proprieti de existen pentru stri
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
31/36
31
ntr-o alt abordare de acelai tip citat de (Benthem 2002, 407), formulele logicii de
ordinul I denot aciuni de evaluare. Se accentueaz aici schimbarea de stare implicit n
evaluarea cuantificrii existeniale. Rezult o versiune dinamificat a logicii modale, foarte
potrivit pentru semantici ale limbajului natural, i n special pentru abordarea formal a
naturii i rolului pronumelor personale.
Logici procesuale
Hennessy i Milner au fost primii care au aplicat tehnici modale algebrei procesuale
(process algebras). Un proces este considerat un agent care interacioneaz cu mediul su
realiznd aciuni observabile care duc la schimbarea strilor proprii. Condiiile de identitate
ale proceselor sunt date de aceste stri, deci observaia intervine direct asupra acestora,
genernd un proces nou. Dou procese vor fi echivalente din punct de vedere observaional
numai dac satisfac aceleai proprieti modale.
Logica demonstrabilitii (provability logic)
Interesul pentru demonstrabilitatea interpretat modal a stat la baza unor inovaii
importante n logica modal. Gdel a artat c demonstrabilitatea n aritmetica Peano (PA)
poate fi aritmetizat i exprimat chiar n interiorul acestui limbaj formal. Dup cum am
menionat i la nceput, Gdel a folosit sistemul modal S4, lui revenindu-i meritul pentru
prima definire modular a acestui sistem. Celebrul matematician a utilizat formulaBew(v)din
PA, pentru care are loc: PA ddac Bew() este advrat, unde este un numeral
pentru numrul Gdel . Toate propoziiile demonstrabile n PA sunt adevrate, dar nu toate
propoziiile adevrate sunt demonstrabile(prima teorem de incompletitudine). Gdel arat c
anumite principii ale lui S4 nu sunt valabile pentru modalitatea demonstrabil n PA (de
exemplu, consistena sistemului nu este demonstrabil n interiorul acestuia). Mulimea
tuturor formulelor valide n PA este o logic modal normal, botezat GL (de la Gdel i
Lb, ultimul fiind cel care a demonstrat acest lucru). Solovay a artat c GL este identic cu
sistemul K4W al lui Segerberg i a oferit o demonstraie de completitudine pentru acestsistem (Solovay 1976).
Acestea sunt doar cteva dintre aplicaiile contemporane ale logicilor modale,
selectate n virtutea conexiunilor evidente cu filosofia. Mai sus, vorbeam despre normala
reducere a entuziasmului modal al filosofilor dup explozia postkripkean. Acum putem
nuana aceast afirmaie, n lumina rezultatelor prezentate. Este evident c, oricte critici ar
mai putea strnge, modal logics are here to stay. Logica modal este un instrument formal
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
32/36
32
puternic, care a permis integrarea teoretic a multor realiti, procese sau noiuni folosite n
tiin, filosofie, dar i n limbajul natural i cunoaterea cotidian, pre- sau non-tiinific.
Semnificaiile modale par astzi de neeliminat nu doar din logic i filosofie, dar i din
informatic, matematic, teorii despre inteligena artificial i alte domenii. Logicile modale
au contribuit n mod semnificativ la conturarea celor mai noi teorii n filosofia limbajului,
epistemologie, etic (logica deontic, despre care nu am mai discutat pe larg, dar trebuie
menionat), lingvistic (att semantica, ct i pragmatica lingvstic), ba chiar au permis o
reconsiderare a logicii clasice. Ceea ce arat c discursul modal este o parte important a
cunoaterii i limbajului uman, cel puin n epoca noastr. Dar aceasta nu nseamn i c
problemele filosofice legate de gndirea modal pot fi pur i simplu mturate sub pre.
Modalitile nu sunt chei pentru orice u, cum poate s-a crezut acum cinci decenii, iar faptul
c s-au putut construi att de multe limbaje formale de succes n diverse discipline nu
cauioneaz orice tip de abordare filosofic a lor. Din cauza diversitii i a gradului nalt de
complexitate a demersurilor contemporane legate ntr-un fel sau altul de modaliti, o
abordare unificatoare nu mai este posibil. O clarificare unitar a problemelor filosofice este
ns binevenit i acesta va fi principalul scop al tezei de doctorat.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
33/36
33
BIBLIOGRAFIE
Ballarin, Roberta. Validity and Necessity.Journal of Philosophical Logic, 34, 2005: 275-303.
Benthem, Johan van.A Manual of Intensional Logic. Second edition. Revised and expanded.Stanford:
CSLI, 1988.
Benthem, Johan van. Modal Logic. nA Companion to Philosophical Logic, de Dale Jacquette, 391-
409. Oxford: Blackwell, 2002.
Blackburn, Patrick, Johan van Benthem, i Frank Wolter. Handbook of Modal Logic.Amsterdam:
Elsevier, 2007.
Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke, i Yde Venema. Modal Logic.Cambridge: Cambridge University
Press, 2001.
Bull, R. A., i Krister Segerberg. Basic Modal Logic. n Handbook of Philosophical Logic, vol. II
Extensions of Classical Logic, de Dov M. Gabbay i Franz Guenthner, 1-88. Dordrecht: D. Reidel, 1984.
Carew, Meredith A., i Arthur N.Prior. Modal Logics with Functorial Variables and a Contingent
Constant. Notre Dame Journal of Formal Logic, 6, 1965: 99-109.
Carnap, Rudolf. Meaning and Necessity: A Study in Semantics and Modal Logic.Chicago: University of
Chicago Press, 1947.
Carnap, Rudolf. Modalities and Quantification.Journal of Symbolic Logic, 11, 1946: 33-64.
. The Logical Syntax of Language.Londra: Routledge Kegan Paul, 1937.
Cocchiarella, Nino B. Philosophical Perspectives on Quantification in Tense and Modal Logic. n
Handbook of Philosophical Logic, vol. II - Extensions of Classical Logic, de Dov M. Gabbay i Franz
Guenthner, 309-354. Dordrecht: Reidel, 1984.
Copeland, Jack. The Genesis of Possible World Semantics.Journal of Philosophical Logic, 31, 2002:
99-137.
Dejnoka, Jan. Bertrand Russell on Modality and Logical Relevance.Aldershot: Ashgate, 1999.
Ellis, Brian D. Scientific Essentialism.Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
Fine, Kit. An Incomplete Logic Containing S4. Theoria, 40, 1974: 23-29.
. Modality and Tense. Philosophical papers.Oxford: Clarendon, 2005.
Fllesdal, Dagfinn. Stig Kanger in Memoriam. n Logic, Methodology and Philosophy of Science IX,
de Dag Prawitz, B Skyrms i D. Westerstahl. Amsterdam: Elsevier, 1994.
Goldblatt, Robert. Mathematical Modal Logic: A View of Its Evolution. n Handbook of the History of
Logic. Volume 7 - Logic and the Modalities in the Twentieth Century, de Dov M. Gabbay i John
Woods, 1-98. Amsterdam: Elsevier, 2006.
7/25/2019 Studiul Formal Al Modalitatilor
34/36
34
Hintikka, Jaakko. Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions.Ithaca, NY:
Cornell University Press, 1962.
Hintikka, Jaakko. Modality and Quantification. Theoria, 27, 1961: 119-128.
Jnsson, Bjarni, i Alfred Tarski. Boolean Algebras with Operators. Bulletin of the AmericanMathematical Society, 54, 1948: 79-80.
Jnsson, Bjarni, i Alfred Tarski. Boolean Algebras with Operators, part I.American Journal of
Mathematics, 73, 1951: 891-939.
Jnsson, Bjarni, i Alfred Tarski. Boolean Algebras with Operators, partII.American Journal of
Mathematics, 74, 1952: 127-162.
Kripke, Saul. A Completeness Theorem in Modal Logic.Journal of Symbolic Logic, 24, 1959: 1-14.
. Naming and Necessity.Cambridge, MA: Harvard University Press, 1980.
Kripke, Saul. Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Propositional Calculi.Zeitschrift fr
Mathematische Logik und Grun