Studiul Fiabilitatii Sistemelor Utilizand Mediul FIAB

Studiul Fiabilitatii Sistemelor Utilizand Mediul FIAB

REFERAT 1

Studiul fiabilitii sistemelor utiliznd mediul FIAB

AUTOR: Viorel Popescu GRUPA: 301CUPRINS:

3Noiuni teoretice generale

3Modelul boolean

4Moduri minime de funcionare MMF

4Analitic:

5Cu ajutorul programului Fiabilitate

7Moduri minime de defectare MMD

7Analitic:

8Cu ajutorul programului Fiabilitate

9Modelul dinamic

9Analitic:

12Cu ajutorul programului Fiabilitate

15Modelul temporal

Noiuni teoretice generaleSistemul, n teoria fiabilitii, se poate definii ca un ansamblu de pri ce funcioneaz n comun pentru ndeplinirea unor anumite funcii. Prile ce l alctuiesc se numesc elemente ale sistemului. ndeplinirea funciilor individuale ale sistemului este condiionat de modul n care elementele componente i ndeplinesc propriile funcii, ceea ce duce la concluzia c fiabilitatea sistemului este dependent de fiabilitatea elementelor componente.

Pentru a demonstra afirmaia anterioar, cum c fiabilitatea sistemului este dependent de fiabilitatea elementelor componente, este necesar s obinem relaiile de calcul ntre indicatorii de fiabilitate ai sistemului i cei ale elementelor componente. Pentru a obine aceste relaii de calcul este necesar un model matematic al sistemului n sensul fiabilitii. Exist trei modele de sisteme: dinamice, boolene i temporale.

Modelele boolene opereaz cu evenimente caracteristice iar mulimea evenimentelor are o structur de algebr Boole. Cel mai adesea aceast clas de modele implementeaz relaii ntre evenimente de succes i evenimente de insucces( la nivel element i respectiv la nivel sistem). Evenimentului de succes i corespunde aflarea sistemului sau a elementelor sale componente n stare de funcionare. Evenimentului de insucces i corespunde aflarea sistemului sau a elementelor n stare de nefuncionare. Modelele dinamice sunt definite cu ajutorul strilor caracteristice ale unui sistem i urmresc evoluia n timp a strii sistemului. O stare a sistemului reprezint o informaie sintetic cu privire la strile elementelor sale componente. La rndul lor elementele componente sunt considerate ca putnd avea doar dou stri posibile: starea de funcionare i starea de nefuncionare. Modelul temporal folosete metoda simulrii. Metoda simulrii este o metod universal care permite calculul fiabilitii n cele mai generale condiii. Aceast metod estimeaz fiabilitatea unui sistem pe cale statistic cu ajutorul prelucrrii unor selecii artificiale asupra sistemelor n cauz. Datele artificiale se obin din experimentarea unui model, numit model de simulare al sistemului i care se genereaz cu ajutorul unor programe adecvate de simulare. Aplicarea metodei presupune ndeplinirea urmtoarelor condiii: existena unui model al sistemului n sensul fiabilitii, existena unor procedee adecvate pentru generarea variabilelor aleatoare care intervin n cadrul modelului, existena unor procedee adecvate pentru prelucrarea statistic a datelor. Modelul boolean

Pentru a exemplifica modelul boolean att analitic ct i cu ajutorul programului Fiabilitate vom lucra pe urmtoarea problem.

S se calculeze fiabilitatea cu care se poate asigura legtura ntre nodurile A i C din figura de mai jos tiind c nodurile sunt ideale i liniile nereparabile i toate liniile au aceeai probabilitate de funcionare pi=0.9.

Moduri minime de funcionare MMF

Analitic:

Notm strile de funcionare astfel:

E1=(1,3,5);

E2=(1,2);

E3=(2,4,5);

E4=(3,4).

Folosind formula lui Poincare ne rezult:

Verificm condiiile:

monoton cresctoare

Pentru determinarea lui p* ne rezult:

p=0;

p=1;

de aici rezult c rdcina real a ultimei ecuaii este valoarea lui p*, probabilitatea sistemului pentru care fiabilitatea sistemului este mai mare dect cea a componentelor.

Cu ajutorul programului Fiabilitaten continuare vom ilustra pai urmai pentru rezolvarea problemei folosind programul Fiabilitate.

PASUL 1

PASUL 2 vom introduce datele de la tastatur

PASUL 3

n continuare vom alege numrul de noduri al urmtorului sistem si vom completa drumurile dintre ele

PASUL 4

n continuare ne va fi afiat matricea legturilor ntre noduri

PASUL 5

la urmtorul ENTER va fi afiat un grafic care corespunde datelor introduse de noi

PASUL 6

avem urmtorul meniu, din care pentru a finaliza problema vom alege Rulare normal

PASUL 7

ca urmare a acestei opiuni vom avea urmtoarele rezultate

PASUL 8

dup ce ne sunt prezentate nite imagini cu fiecare termeni vom primi urmtorul mesaj

Moduri minime de defectare MMD

Analitic:

Notm strile de defectare astfel:

E1=(1,3,5);

E2=(1,4);

E3=(2,4,5);

E4=(2,3).

Folosind formula lui Poincare ne rezult:

Funciile sunt identice deoarece sistemul din figur este simetric.

Verificm condiiile:

monoton cresctoare

Pentru determinarea lui p* ne rezult:

p=0;

p=1;

de aici rezultnd c rdcina real a ultimei ecuaii este valoarea lui p*, probabilitatea sistemului pentru care fiabilitatea sistemului este mai mare dect cea a componentelor.

Cu ajutorul programului Fiabilitate

PAS 1

PAS 2

pentru a tii pe ce date lucrm ni se va afia matricea legturii ntre noduri

PAS 3

vom afia acum coninutul fiierelor

Fiierul $$LM

Modurile minime de functionare:

bcd

abc

ace

cde

abd

acd

abe

bde

Fiierul $$TM

Modurile minime de defectare:

ace

ad

cde

abe

bc

bde

Modelul dinamic

Vom exemplifica acest model folosind metoda proceselor Markov. Aceast metod urmrete evoluia n timp a strii curente. Aceast metod are avantajul c reduce calculul fiabilitii sistemului la probleme matematice bine puse la punct. Ea se aplic att sistemelor nereparabile ct i sistemelor reparabile atunci cnd defectarea i restabilirea urmeaz legi exponeniale de repartiie. Metoda este legat de un mare volum de calcule i acestea cresc exponenial cu numrul de stri ale sistemului. Vom ilustra aceast metod folosind exemplul anterior.

Analitic:

StareaAbcdeMarcajul strii de funcionare

Starea 100000*

Starea 210000*

Starea 301000*

Starea 400100*

Starea 500010*

Starea 600001*

Starea 711000*

Starea 810100*

Starea 910010

Starea 1010001*

Starea 1101100

Starea 1201010*

Starea 1301001*

Starea 1400110*

Starea 1500101*

Starea 1600011*

Starea 1711100

Starea 1811010

Starea 1911001*

Starea 2010110

Starea 2110101

Starea 2210011

Starea 2301110

Starea 2401101

Starea 2501011

Starea 2600111*

Starea 2711110

Starea 2811101

Starea 2911011

Starea 3010111

Starea 3101111

Starea 3211111

Graful de tranziie al strilor:

Rezult soluiile ecuaiilor:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

De aici rezult probabilitatea de bun funcionare:

Se vede c P(t)=(e-t) de unde rezult:

Cu ajutorul programului Fiabilitate

PAS 1

PAS 2

vom pstra acelai nume pentru fiier; alegem opiunea NPAS 3

vom alege opiunea a 3-a pentru a introduce o nou structur

PAS 4

vom introduce numrul de noduri al sistemului (n cazul nostru 5), iar apoi pe rnd pentru fiecare stare, dac e stare de funcionare sau nu(32 de stari)

PAS 5

dup introducerea strilor, vom revenii la meniul principal iar apoi vom alege opiunea 1 Aplicaii ntr-un sistem fr restabilire. Vom primii urmtoarele opiuni

PAS 6 n urma alegerii opiunii 1 vom obine

PAS 6

n urma alegerii opiunii 2 vom obine

PAS 7

n urma alegerii opiunii 3 vom obine

acest sistem este acelai cu sistemul obinut in urma metodei analitice

singurul dezavantaj al implementrii metodei n programul Fiabilitate este c acest sistem nu este rezolvat

Modelul temporal

Vom exemplifica acest model folosind metoda simulrii.

- se aplica metoda pentru structura de la celelalte metode: Fie evenimentele:

X= { sistemul funcioneaz }

Xi= { canalul i funcioneaz } , i=1,..,5

Deci vom avea X= x1x3+x2x4+x1x4x5+x2x3x5

Asociem evenimentelor definite urmtoarele variabile binare:

Pentru sistemul anterior 1,2,3,4,5 sunt canale de comunicaie independente si identic repartizate dup o lege exponenial de parametru (;

fiecare canal asigura comunicaia in ambele sensuri;

se considera ca sistemul funcioneaz daca este asigurata legtura intre nodurile a si c;

se va estima prin simulare probabilitatea de buna funcionare, funcia de fiabilitate si durata medie de funcionare ;

se cunosc probabilitatea de buna funcionare a unui canal si intensitatea defectrilor.

Atunci :

X= x1x3+x2x4+x1x4x5+x2x3x5

Folosim urmtoarele notaii:

P=P{ x=1 };

pi=P{ xi=1 }=p ( i=1,...,5;

xa=numr ntreg cerut de subrutina de generare a numerelor aleatoare.

Algoritmul de simulare pentru estimarea probabilitii de bun funcionare.

(1) Date iniiale: N, p, xa. Iniializri: M=0, I=1;

(2) Generarea Ui(i), i=1,...,5 cu subrutina de generare a numerelor aleatoare;

(3) Calcului lui xi(i) cu relaia:

(4) Se calculeaz x( i ) cu relaia:

x( i )= : x2(i)*x3(i)*x4(i)+x1(i)*x2(i)*x3(i)+x1(i)*x3(i)*x5(i)+x3(i)*x4(i)*x5(i)+x1(i)*x2(i)*x4(i)+ x1(i)*x3(i)*x4(i)+ x1(i)*x2(i)*x5(i)+ x2(i)*x4(i)*x5(i)5) Dac x( i )=1 (M=M+1;(6) Dac I=N trecem la pasul (9);

(7) I=I+1;

(8) Treci la pasul (2);

(9) Se calculeaz:

(10) Se afieaz

Algoritmul de simulare pentru estimarea funciei de fiabilitate i a duratei medii de funcionare.

Se folosesc notaiile:

- T=Tdef

- Ti = durata de funcionare a canalului i;

- p(t)= P(Tt);

(1) Date iniiale: N, (, xa. Iniializri M=0, I=1;

(2) Generarea Ui(i), i=1,...,5 cu subrutina de generare a numerelor aleatoare;

(3) Se calculeaz Ti( I ) cu relaia:

4) Se calculeaz T( I ) cu relaia:

T( I )= max{ min[T1(i), T3(i)], min[T2(i), T4(i)],

min[T2(i), T3(i), T5(i)], min[T1(i), T4(i), T5(i)]}

(5) Dac I=N se trece la pasul (8);

(6) I=I+1;

(7) Se trece la pasul (2);

(8)

(9) Se calculeaz:

(10) Afieaz

n urma simulrii am obinut urmtoarele rezultate:

PASUL 1

U1 = 0.792352 x[1] = 1 T1(1) = 232.749464

U2 = 0.521439 x[2] = 1 T2(1) = 651.162497

U3 = 0.693808 x[3] = 1 T3(1) = 365.560310

U4 = 0.083560 x[4] = 0 T4(1) = 2482.194185

U5 = 0.736229 x[5] = 1 T5(1) = 306.214716

x = 1 T[1] = 365.560310

PASUL 2

U1 = 0.184759 x[1] = 1 T1(2) = 1688.702701

U2 = 0.502060 x[2] = 1 T2(2) = 689.035646

U3 = 0.414533 x[3] = 1 T3(2) = 880.602901

U4 = 0.024964 x[4] = 0 T4(2) = 3690.314854

U5 = 0.827387 x[5] = 1 T5(2) = 189.482362

x = 1 T[2] = 689.035646

PASUL 3

U1 = 0.987213 x[1] = 1 T1(3) = 12.869716

U2 = 0.901852 x[2] = 1 T2(3) = 103.304327

U3 = 0.190100 x[3] = 1 T3(3) = 1660.206105

U4 = 0.085574 x[4] = 0 T4(3) = 2458.374942

U5 = 0.047426 x[5] = 0 T5(3) = 3048.589659

x = 1 T[3] = 1660.206105

PASUL 4

U1 = 0.929258 x[1] = 1 T1(4) = 73.368758

U2 = 0.344584 x[2] = 1 T2(4) = 1065.415963

U3 = 0.328043 x[3] = 1 T3(4) = 1114.609184

U4 = 0.954375 x[4] = 1 T4(4) = 46.698783

U5 = 0.049898 x[5] = 0 T5(4) = 2997.779107

x = 1 T[4] = 1065.415963

PASUL 5

U1 = 0.225867 x[1] = 1 T1(5) = 1487.806785

U2 = 0.651479 x[2] = 1 T2(5) = 428.510697

U3 = 0.990478 x[3] = 1 T3(5) = 9.567397

U4 = 0.198035 x[4] = 1 T4(5) = 1619.313476

U5 = 0.186254 x[5] = 1 T5(5) = 1680.641458

x = 1 T[5] = 428.510697

PASUL 6

U1 = 0.034608 x[1] = 0 T1(6) = 3363.670706

U2 = 0.612476 x[2] = 1 T2(6) = 490.245575

U3 = 0.324107 x[3] = 1 T3(6) = 1126.682896

U4 = 0.911771 x[4] = 1 T4(6) = 92.366429

U5 = 0.306711 x[5] = 1 T5(6) = 1181.849277

x = 1 T[6] = 490.245575

PASUL 7

U1 = 0.171239 x[1] = 1 T1(7) = 1764.692955

U2 = 0.360515 x[2] = 1 T2(7) = 1020.221291

U3 = 0.150700 x[3] = 1 T3(7) = 1892.461520

U4 = 0.086398 x[4] = 0 T4(7) = 2448.791905

U5 = 0.719443 x[5] = 1 T5(7) = 329.277502

x = 1 T[7] = 1020.221291

PASUL 8

U1 = 0.923215 x[1] = 1 T1(8) = 79.892670

U2 = 0.233467 x[2] = 1 T2(8) = 1454.716264

U3 = 0.347942 x[3] = 1 T3(8) = 1055.720841

U4 = 0.938414 x[4] = 1 T4(8) = 63.564438

U5 = 0.656056 x[5] = 1 T5(8) = 421.508521

x = 1 T[8] = 421.508521

PASUL 9

U1 = 0.664418 x[1] = 1 T1(9) = 408.843102

U2 = 0.770287 x[2] = 1 T2(9) = 260.991874

U3 = 0.715506 x[3] = 1 T3(9) = 334.764659

U4 = 0.624134 x[4] = 1 T4(9) = 471.390130

U5 = 0.567156 x[5] = 1 T5(9) = 567.120916

x = 1 T[9] = 334.764659

PASUL 10

U1 = 0.525895 x[1] = 1 T1(10) = 642.653791

U2 = 0.402905 x[2] = 1 T2(10) = 909.053578

U3 = 0.661946 x[3] = 1 T3(10) = 412.570587

U4 = 0.264901 x[4] = 1 T4(10) = 1328.400383

U5 = 0.665151 x[5] = 1 T5(10) = 407.741326

x = 1 T[10] = 412.570587

durata medie de funcionare este :

688.803935 hprobabilitatea de bun funcionare este: 1.000000

= 0.146683|P - | = 0.022000deci rezultatul simulrii este valid.

Exemplificarea rulrii testului pentru funcia x=x1*x2+x3*x4+x1*x3*x5+x2*x4*x5 cu 10experiene EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 2

_1279148231.unknown

_1279289409.unknown

_1279289745.unknown

_1279289763.unknown

_1279289777.unknown

_1279289786.unknown

_1279289771.unknown

_1279289756.unknown

_1279289452.unknown

_1279289141.unknown

_1279289169.unknown

_1279288744.unknown

_1278939994.unknown

_1279148175.unknown

_1279148204.unknown

_1279148217.unknown

_1279148191.unknown

_1279148038.unknown

_1279148158.unknown

_1278954920.unknown

_1168540455.unknown

_1168541558.unknown

_1168881184.unknown

_1168883935.unknown

_1168541857.unknown

_1168541478.unknown

_1136847583.unknown

_1168540402.unknown

_1168540411.unknown

_1168540419.unknown

_1168533772.unknown

_1136847584.unknown

_1136847577.unknown

_1136847579.unknown

_1136847581.unknown

_1136847582.unknown

_1136847578.unknown

_1136847574.unknown

_1136847576.unknown

_1136847573.unknown